Calcolo degli integrali Abeliani tramite quadratura di Gauss 1

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1 Clcolo degli integrli Abelini trmite qudrtur di Guss E. Rognini Theoreticl Plsm Physics, IPCF-CNR, Vi Moruzzi, I-564 Pis (I) Technicl report n. 00-TR-00 August 00 KEYWORDS Integrli ellittici, integrli belini, qudrtur di Guss, metodi numerici Atti del tirocinio formtivo n 00035/00 nell mbito dell convenzione 35 del 5/05/008 CNR-Privinci di Pis con l supervisione del Dr. L. Nocer

2 Clcolo degli integrli Abelini trmite qudrtur di Guss Edordo Rognini CNR-IPCF, vi Moruzzi, 564, Pis Keywords: Integrli ellittici, integrli belini, qudrtur di Guss, metodi numerici Indice Introduzione Teori dell qudrtur di Guss 3 Tipi di qudrtur 5 4 Test di clcolo 5 5 Integrli ellittici 8 6 Ringrzimenti 3. Introduzione Gli integrli Abelini ([]) rivestono notevole importnz in fisic e mtemtic. Spesso il clcolo di un sifftto integrle non è relizzbile per vi nlitic, per cui si rendono necessrie delle tecniche di integrzione numeric. Un esempio clssico è costituito dgli integrli ellittici. Il metodo più vnzto per il clcolo di integrli ellittici è stto sviluppto d Crlson ([],[3],[4]); esso consiste nell operre un cmbimento di vribile in modo d lvorre su un integrle che bbi come estremi di integrzione 0 e, per poi ricondurre

3 questo integrle trsformto d un combinzione di integrli stndrd: R F (z, z, z 3 ) = R J (z, z, z 3, z ν ) = 3 R C (z, z ) = R F (z, z, z ) = R D (z, z, z 3 ) = R J (z, z, z 3, z 3 ) = 3 dt 0 t+z t+z t+z3, dt 0 t+z, t+z t+z3 (t+z ν) dt, 0 t+z (t+z ) dt 0 t+z t+z (t+z 3. ) 3/ Ognuno di questi integrli viene su volt clcolto grzie l teorem di dupliczione R({z i }) = R({z i + λ}) () dove λ è un opportun funzione di z, z, z 3. Crlson dimostr che esistono delle successioni z,n, z,n, z 3,n, λ n tli che z,n, z,n, z 3,n tendono l medesimo limite per n, e l integrle cercto dipende d tle limite in modo semplice ([]). A titolo di esempio riportimo l espressione degli integrli di Legendre di prim e second specie: K(k) = R F (0, k, ), E(k) = k [R 3 D (0, k, ) + R D (0,, k )]. In questo lvoro illustrimo il clcolo di integrli Abelini effettuti trmite l qudrtur di Guss, che si bs sull lgoritmo ([5], [6]): () W (x)f(x)dx = n w i f(x i ) + R (3) i= dove W (x) è l funzione peso, w i sono detti pesi, x i sono i nodi e R è il resto. Il nostro scopo è quello di effetture clcoli trmite un procedur più semplice, mostrndo comunque come si possibile rggiungere discrete precisioni pur tenendo conto di certe limitzioni in csi specifici.. Teori dell qudrtur di Guss Dte due funzioni f, g e un funzione peso W si definisce il prodotto sclre tr f e g come f g = W (x)f(x)g(x)dx. (4)

4 L qudrtur di Guss è costruit in modo d dre risultto estto (cioè R = 0 nell 3) qundo l funzione f è un polinomio. Si llor f un polinomio di grdo n: n f(x) = i p i (x), (5) i=0 dove i p i (x) sono polinomi di grdo i, scelti in modo d formre un bse ortogonle sull intervllo [, b], ovvero Con quest scelt bbimo che p i p j = C ij δ ij. (6) i = f p i p i p i. (7) L costruzione dell bse di polinomi si può eseguire in modo stndrd ponendo p 0 = (8) e definendo ogni polinomio di grdo superiore p i come un polinomio con potenze di x che rrivno fino x i, e imponendo l ortogonlità coi precedenti ([6]). Or, dll (5) n W (x)f(x)dx = i W (x)p i (x)dx. (9) i=0 In quest somm i termini reltivi i polinomi di ordine i > 0 si nnullno per l scelt di ortogonlità, in qunto W (x)p i (x)dx = W (x) p i (x) = p 0 p i i>0 = 0. (0) i>0 i>0 Dunque W (x)f(x)dx = 0 W (x)dx. () Si può dimostrre che ogni polinomio p i h i rdici nell intervllo [, b]. Sino dunque x j=,...,n le n rdici del polinomio di grdo mssimo p n ; scrivimo il vlore dell funzione f clcolt nei vri x j n n f(x j ) = i p i (x j ) = i p i (x j ). () i=0 3 i=0

5 L somm si rrest l termine n poiché p n (x j ) = 0. relzione per tutti gli x j bbimo un sistem di n equzioni f(x ) = n i=0 ip i (x ) = 0 p 0 (x ) n p n (x ) = = 0 p 0 + p (x )... + n p n (x ),... f(x n ) = n i=0 ip i (x n ) = 0 p 0 (x n ) n p n (x n ) = 0 p 0 + p (x n )... + n p n (x n ). che può essere posto in form mtricile f(x ) p 0 p (x )... p n (x )... = f(x n ) p 0 p (x n )... p n (x n ) 0... n Scrivendo tle (3). (4) L soluzione di questo sistem mostr che ogni i è scrivibile come un combinzione linere dei f(x j ); dunque, tornndo ll (), bbimo che W (x)f(x)dx = 0 W (x)dx = W (x)dx n λ i f(x i ) = i= n w i f(x i ), (5) che è l formul di prtenz (3). Il clcolo dei pesi w i può essere effettuto in diversi modi. Il più semplice (m non il più efficiente) è quello di imporre che l qudrtur risolv esttmente l (3) per i primi n polinomi ortogonli: p 0 (x )... p 0 (x n ) p n (x )... p n (x n ) w... w n = W (x)p 0(x)dx... 0 i=, (6) dove si è tenuto conto dell ortogonlità (0). Un ltro sistem è dto dll formul: w i = p n p n p n (x i )p n(x i ). (7) L dimostrzione esul di nostri scopi; bsti spere che quest procedur grntisce un migliore efficienz, dunque srà quell impiegt nei clcoli. 4

6 3. Tipi di qudrtur A second del tipo di funzione peso si hnno diversi polinomi ortogonli di riferimento. I csi più comuni sono: Guss-Legendre: W (x) = per < x < Guss-Chebyshev: W (x) = x per < x < Guss-Lguerre: W (x) = x α e x per 0 < x < Guss-Hermite: W (x) = e x per < x < Di nostro prticolre interesse sono i primi due csi. Il clcolo dei pesi e delle rdici viene effettuto considerndo l intervllo [, ]; l dttmento l cso generle di integrzione fr e b richiede dunque un opportun trsformzione linere di coordinte in modo d ricondurre l intervllo di integrzione [, ]: x = λξ + µ. (8) Imponendo che gli estremi di integrzione per l vribile ξ diventino e bbimo { = λ + µ b = λ + µ, (9) d cui λ = b, µ = +b. 4. Test di clcolo Abbimo verificto l precisione e l efficienz dell qudrtur di Guss clcolndo integrli i cui vlori sono tbulti ([7]) e che sono riconducibili d integrli di tipo Abelino; bbimo monitorto per quli n si rggiunge di volt in volt un buon precisione. Come primo integrle test bbimo considerto I = x x che, con l sostituzione t = xu, divent cos(t) dt (0) x t cos(xu) u du = πj 0(x) () 5

7 dove J 0 (x) è l funzione di Bessel di ordine 0. L second funzione test è dt dll integrle di Dwson: x F (x) = e x e u du. () Operndo il cmbimento di vribile x t = u si ottiene D(x) = x 0 0 e t dt. (3) x t Entrmbe i csi sono risolvibili con l qudrtur di Guss-Chebyshev: f(x) (x )(b x) dx = w i = π n, n w i f(y i ) + R, (4) i= Inftti nel primo cso bbimo y i = b+ x i = cos + b ( (i )π n x i, ). (5) cos(xu) du = u e nel secondo x 0 e t x t dt = cos(xu) ( + u)( u) du f(u) = cos(xu), =, b = x 0 te t x t t dt f(t) = te t, = 0, b = x. I risultti delle integrzioni sono riportti nelle tbelle, indicndo con n l differenz fr vlore corretto e vlore clcolto, per l qudrtur di Guss di ordine n. Possimo notre un mggiore difficoltà dell lgoritmo rggiungere un cert precisione nel cso dell integrle di Dwson. 6

8 x J 0 (x) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-008.3e-008.3e e e e e e-008.6e-008.6e e e e e e-008.e-008.4e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-00-6.e e e e e-006.e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-006 Tbell : rffronto tr vlore J 0 (x) teorico e clcolto x D(x) e e e e e e-003.9e e e e e e e e e e-00.59e-003.5e e e e e e e e e e-003.7e e e e e-003.0e-003.3e e-004 Tbell : risultti per l integrle di Dwson 7

9 5. Integrli ellittici Un integrle ellittico è un qulsisi integrle dell form R(t, s(t))dt (6) essendo s un polinomio di grdo 3 o 4 dotto di rdici semplici e R è un funzione rzionle dei suoi rgomenti contenente lmeno un potenz dispri di s. Si può dimostrre ([8]) che qulsisi integrle ellittico è esprimibile come somm di un integrle di un funzione rzionle in t cui si ggiunge un combinzione linere di tre integrli dell form ([]): F = dθ, (7) m sin (θ) E = m sin (θ) dθ, (8) Π = dθ, (9) ( + n sin θ)( m sin (θ)) denominti rispettivmente integrli di prim, second e terz specie. Vle che 0 m <. D questo momento ci occuperemo degli integrli in form complet. Per poter clcolre questi integrli usndo le formule dell qudrtur di Guss mntenimo l vribile t = sin(θ), e fissimo gli estremi di integrzione 0 e ; in tl modo gli integrli sono esprimibili secondo l formul di Legendre: il cui vlore medinte qudrtur di Guss è dove f(x) b x dx = b f(x) b x dx (30) n w i f(y i ) + R, (3) y i = + (b )x i = + (b )( ξ i ) essendo ξ i l i-esim rdice positiv di p n (x); i= 8

10 i pesi di ordine n bbinti in ordine i cor- w i = wi n essendo wi n rispondenti ξ i. Dunque bbimo, per gli integrli di prim specie, 0 dt t mt = dt mt + t t, (3) d cui, per confronto con l (30), si vede che 0 f(t) = mt + t (33) con limiti di integrzione = 0, b =. Per gli integrli di second specie bbimo: mt t = mt + t t (34) ovvero Infine per l terz specie f(t) = mt + t. (35) d cui ( nt ) mt t = ( nt ) mt + t t f(t) = ( nt ) mt + t ( nt ) sin (α)t + t (36) (37) dove si è posto m = sin (α). I risultti dell tecnic di qudrtur d noi dottt mostrno un cert efficienz e precisione: bstno pochi termini nell somm di Legendre (dell ordine di 0) per vere risultti corretti ll ottv/non cifr significtiv. D segnlre tuttvi, per gli integrli di prim e terz specie, un mggiore lentezz di convergenz qundo α π, vlore per il qule gli integrli effettivmente divergono. 9

11 m K(m) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-009.6e e e e e e e e e-008 Tbell 3: risultti clcolo di integrli di prim specie m K(m) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-008 Tbell 4: risultti clcolo di integrli di prim specie 0

12 α( ) E(α) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-008 Tbell 5: risultti clcolo di integrli di second specie α( ) E(α) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-009 Tbell 6: risultti clcolo di integrli di second specie

13 n α Π Π 4 Π 6 Π 8 Π 0 Π Π Tbell 7: risultti clcolo per l integrle di terz specie, Π n essendo il vlore clcolto usndo n termini dell qudrtur di Legendre

14 n α Π Π 4 Π 6 Π 8 Π 0 Π Π Tbell 8: risultti clcolo per l integrle di terz specie, Π n essendo il vlore clcolto usndo n termini dell qudrtur di Legendre 6. Ringrzimenti Lvoro svolto nell mbito dell convenzione n. 35 del 05/05/008 tr l mministrzione provincile di Pis e il CNR, presso l Istituto Processi Chimico-Fisici del CNR (tirocinio prot /00) Riferimenti bibliogrfici [] N. H. Abel, Recherches sur les fonctions elliptiques, Journl für die reine und ngewndte Mthemtik, 0-8 (87) [] B. C. Crlson, Elliptic integrls: symmetry nd simbolic integrtion, conferenz di Torino Tricomi s ides nd contemporry pplied mthemtics (997) 3

15 [3] B. C. Crlson, Towrd Symbolic Integrtion of Elliptic Integrls, J. Symbolic Computtion 8, (999) [4] B. C. Crlson, Three Improvements in Reduction nd Computtion of Elliptic Integrls, J. Res. Ntl. Inst. Stnd. Technol. 07, (00) [5] W. H. Press, W. T. Vetterling, S. A. Teukolsky, B. P. Flnnery, Numericl recipes in fortrn - the rt of scientific computing, Cmbridge University Press (99) [6] J. Stoer, Introduzione ll nlisi numeric, vol., Znichelli, Bologn (988) [7] L. Milne, M. Thompson, Elliptic integrls in M. Abrmowitz, I. A. Stegun, (eps.) Hndbook of mthemticl functions with formuls, grphs, nd mthemticl tbles, Dover, New York (97) [8] F. Tricomi, Funzioni ellittiche, Znichelli, Bologn (937) 4