LOGICA. La logica aristotelica

Transcript

1 LOGICA Cs è la lgica? Il termie deriva dal grec!"#$%&, ciè scieza del pesier (!#"'). La lgica frmale si ccupa delle frme di ragiamet, essa e esamia le strutture per idagare la lr validità idipedetemete dal lr sigificat. Le radici della lgica frmale pss essere idividuate elle leggi e ei metdi dimstrativi elabrati dai filsfi e matematici greci ( a.c. circa) che per primi perar ua rigrsa idagie delle crrette frme di ragiamet. La lgica aristtelica Aristtele ( a.c. circa) dichiarò che, beché la lgica traesse le sue rigii dalla matematica, dveva cmuque essere csiderata idipedete e prelimiare a tutte le altre scieze. Le leggi della lgica fur quidi cdificate i ua teria separata dalla matematica, azi cstituir ua vera e prpria fdazie della matematica, perché l uic md di stabilire la verità di u euciat era ua dimstrazie lgica. Ma N tutt può essere dimstrat, perché quest prterebbe ad u regress ifiit ( Metafisica). La verità della cclusie csegue ecessariamete dalla verità delle premesse, la cclusie può essere falsa ache se è stata dedtta c rigre lgic. Ma cme dimstrare la verità delle premesse? La verità delle premesse deve essere dedtta dalla verità di altre premesse. Ma cme dedurre la verità delle premesse delle premesse? Il prcedimet deduttiv può ctiuare all ifiit, ccrre arrivare a dei pricipi, prpri delle sigle scieze, che abbia la verità i se stessi e che pssa quidi essere le premesse di tutte le dimstrazii. Aristtele rilevò l imprtaza delle defiizii di cui ebbe ua zie mdera, sstee la ecessità di termii defiiti che rappresetasser dei puti di parteza ella serie di defiizii e discusse i pstulati, pricipi fdametali accettabili per gi sigla scieza. Gli Elemeti di Euclide cstituir la prima realizzazie di quest mdell. Le pere di Aristtele ispirate alla lgica fur riuite el prim secl d.c. ell Orga, Strumet prpedeutic a gi scieza e ella Metafisica, Oltre la Fisica, i ses letterale: successiva all pera Fisica. L Orga è cstituit da sei libri, i più iteressati s l Iterpretazie, i cui veg itrdtti i quatificatri e le mdalità, e gli Aalitici Primi, che sviluppa la teria del sillgism. La Metafisica è cstituita da quattrdici libri, il più iteressate, dal put di vista della lgica è il quart i cui veg euciati i pricipi della lgica. La scula stica La grade lgica aristtelica descrive i md astratt il prcess deduttiv, csa che ivece fu realizzata dalla scula stica il cui fdatre fu Zee at itr al 335 a.c. La persalità stica più iteressate fu Crisipp ( circa) u dei massimi lgici dell atichità, creatre degli strumeti esseziali che usiam acra ggi. Gli stici perar ua dettagliata aalisi delle prpsizii atmiche, defiir i cettivi, gli assimi e le regle, fur i primi ad esigere per gi euciat il su essere ver fals, la lgica classica si sviluppò sulla base di due sli valri di verità. La distizie fra la egazie di u itera prpsizie e la egazie dei termii fu u altra cquista degli stici. La lgica prpsiziale è sstazialmete la stria dei quattr cettivi: egazie, cgiuzie, disgiuzie, implicazie. I cettivi e i quatificatri ci permett di iterpretare i fatti, ciè le prpsizii. La lgica classica raggiuse u rigre csì alt da sembrare isuperabile e rimase l uica lgica praticamete fi alla metà dell ttcet. Durate il mediev, accat alla prduzie di pere tevli di lgica che idirizzar il pesier i ses razialistic, vi fu la tedeza ad u eccessiva schematizzazie, a u vut frmalism, alla ricerca della sttigliezza, spess iutile, L effimera sttigliezza sclastica (Kat). A questa tedeza si reagì durate il ciquecet e il seicet da ua parte disiteressadsi al frmalism lgic, dall altra cercad di sviluppare l ifereza iduttiva trascurata da Aristtele. Leibiz Nel seicet assume particlare riliev il lavr di Leibiz ( ) che si può csiderare il ver precursre della lgica mdera. Egli sl ritee utile la lgica classica per le dimstrazii, ma la csiderò sterile perché dava la pssibilità di ivetare e immagiò che si ptesse realizzare ua scieza astratta del ragiamet i grad di perare cme l algebra, ma applicabile al ragiamet i tutti i campi. 1

2 Secd Leibiz questa lgica simblica, che avrebbe bbedit alle leggi della lgica frmale, avrebbe frit u liguaggi simblic uiversale capace di esprimere il pesier seza ambiguità e di redere più semplici le deduzii. Per elabrare tale liguaggi simblic Leibiz, iizialmete, pesò di assciare ad gi ccett primitiv u umer prim e u prdtt fra umeri ai ccetti cmpsti, i seguit di assciare ai ccetti dei simbli. Ma la vastità dei ccetti primitivi e la cmplessità delle cmbiazii, cert esprimibile sl tramite la cgiuzie, l uica perazie usata, gli permiser di elabrare ua lgica sstazialmete uva. Nessu prestò attezie al lavr di Leibiz che fu riscpert sl ell ttcet. Itr alla metà dell ttcet avvee la svlta che avrebbe impstat la lgica su basi uve. De Mrga I quest perid De Mrga ( ) prdusse degli iteressati lavri di lgica i cui ampliò e perfeziò la sillgistica tradiziale. Le parti più sigificative del su lavr, che l stacca dalla tradizie, fur la quatificazie dei termii el prcess deduttiv e l avvi della lgica delle relazii. De Mrga è t per la legge di dualità: per gi prpsizie che cmprta l addizie e la mltiplicazie lgica, esiste ua prpsizie ella quale addizie e mltiplicazie s scambiati: il cmplemetare dell uie dei due isiemi A e B è l itersezie dei cmplemetari di A e B, e il cmplemetare dell itersezie dei due isiemi A e B è l uie dei cmplemetari di A e B. I frmule per le prpsizii ( p " q) = p! q e p " q) = p! q (. De Mrga è stat csiderat, per alcui dei risultati raggiuti, u precursre di Ble, ache se egli seppe realizzare prspettive di u calcl più geerale e mder. Ble L aspett rivluziari dell pera di Ble ( ) csiste ell affermazie della atura frmale del calcl i geerale e, i particlare, della lgica che si rivela cessa c la teria del liguaggi. Ble, cvit che ua simblizzazie del liguaggi avrebbe res più rigrsa la lgica, si dedicò alla creazie di u sistema lgicalgebric. Alcue idicazii ci pss dare u idea di questa algebrizzazie della lgica. L isieme uivers è idicat c il umer 1 e l isieme vut c l 0; l itersezie (detta elezie) fra gli isiemi x e y è idicata c xy; l uie c x+y; il cmplemetare di x è 1-x; il pricipi del terz esclus viee euciat ella frma x+(1-x)=1; il calcl degli isiemi pùò essere iterpretat cme calcl delle prpsizii: x=1 sigifica che la prpsizie è vera, x=0 che la prpsizie è falsa, 1-x è la egazie di x. L adereza alla geeralità del calcl algebric, che per certi versi cstituisce u limite, permise a Ble di superare, per la prima vlta, il mdell sillgistic aristtelic che i quest md risulta iserit i u schema ifereziale più ampi. Ble c il su calcl prpsiziale e c la zie di valre di verità delle prpsizii arriva a scrivere le prime tavle di verità che cstituisc il put di parteza della lgica algebrica degli ai successivi. 2

3 LOGICA Ua prpsizie è cstituita da sggett e predicat. Ua prpsizie i cui il sggett è ua variabile è ua prpsizie aperta predicat. N esiste il valre di verità di u predicat. Per attribuire u valre di verità al predicat si deve chiudere la prpsizie aperta:! sstitued a ciascua variabile u elemet dell uivers dei sggetti, ppure! quatificad le variabili c i quatificatri uiversale ed esisteziale. I quest md il predicat diveta ua prpsizie chiusa euciat. Le sigle prpsizii si pss cmbiare fra lr tramite i cettivi lgici. Il valre di verità delle prpsizii cmpste dipede dal valre di verità delle prpsizii cmpeti secd le segueti regle tavle di verità. I CONNETTIVI LOGICI! Cmpletare le segueti tavle di verità: CALCOLO DELLE PROPOSIZIONI Negazie: p p! Cgiuzie: p! q! Disgiuzie alterativa: p! q! Disgiuzie esclusiva: p >! < q p q p! q p! q p >! < q! Leggi di De Mrga Verificare che ( p " q) equivale a p! q p q p! q ( p! q ) p q p! q Verificare che ( p " q) equivale a p! q p q p! q ( p! q) p q p! q 3

4 REGOLE DI INFERENZA I gi tip di argmetazie lgica si fa us di regle di deduzie. Il ucle del metd di dimstrazie s i pricipi lgici. TAUTOLOGIA: Euciat ver per qualuque valre di verità delle prpsizii che l cmpg. Verificare che i segueti euciati s delle tautlgie 1. PRINCIPIO DI IDENTITÀ: p è p. 2. PRINCIPIO DE L TE RZO E SCLUSO: Tertium datur : p -p. N è pssibile che ci sia alterative ad ua ctraddizie, ed è ecessari affermare ua e egare l altra (Metafisica). I frmule = ( p! p). Negli Aalitici Primi Aristtele eucia due pricipi fdametali della csegueza, la trasitività e la ctrappsizie.. p p p! p 3. PRINCIPIO DI NO N CO NTRA DDIZIO NE:: : p è -p Il più ferm di tutti i pricipi è che è impssibile per l stess attribut apparteere e apparteere all stess sggett dall stess put di vista (Metafisica). Frmalmete, i tazie mdera, = ( p! p).. p p p! p ( p! p ) IMPLICAZIONE: p! q : vale q se vale p Verificare che p " q equivale a ( p! q) (es.: U triagl equilater è isscele equivale a N esiste u triagl che sia equilater e sia isscele ) E quidi ( p " q) equivale a p! q (es.: N è ver che u multipl di 2 è multipl di 4 equivale a Esiste u umer multipl di 2 e multipl di 4 ) p q p! q q p! q ( p! q) ( p! q) Cdizie sufficiete: p è cdizie sufficiete per q. Cdizie ecessaria: q è cdizie ecessaria per p. Quidi la egazie di p! q è p! q. 4

5 ! Dppia implicazie equivaleza: p! q p # q equivale a ( p! q) " ( q! p) e quidi a ( p! q)! ( q! p) p q p! q q! p ( p! q) " ( q! p ) ( p! q)! ( q! p) 1. PRINCIPIO DI CONTRAPPOSIZIONE : Se dat p è ecessari q, allra dat -q è ecessari -p. p! q I frma di regle q! p Verificare che p! q equivale a q! p p q p q p! q q! p Da cui la reducti ad absurdum. Chiamiam l implicazie p! q diretta allra q! p è detta ctrmiale ctriversa; q! p è detta iversa p! q è detta ctraria. diretta iversa ctraria ctrmiale p q p! q q! p p! q q! p 5

6 p! q i v e r s a q! p p! q c t r a r i a c c t t r r m m i v e r s a i i a a l l e e c t r a r i a q! p 2. TRANSITIVITA DELL IMPLICAZIONE Se dat p è ecessari q e dat q è ecessari r, allra dat p è ecessari r. p! q q! r I frma di regle p! r Verificare che l euciat è ua tautlgia p q r p! q q! r ( p " q)! ( q! r) p! r ( p " q)! ( q! r)! ( p! r) p! q p 3. MODUS PONENS : q Verificare che l euciat è ua tautlgia : schema per aggiugere ua prpsizie vera ad altre prpsizii già dimstrate p q p! q ( p " q)! p (( p! q) " p)! q Se p è vera e si vule dimstrare che q è vera, si dimstra che p! q. 6

7 4. MODUS TOLLENS : p! q p q : schema per rimuvere ua prpsizie dall isieme delle prpsizii vere. Verificare che l euciat è ua tautlgia p q p q p! q ( p " q)! q (( p! q) " q)! p Se i u terema ver si ega la tesi ecessariamete è egata l iptesi. QUANTIFICATORI Nel discrs predicativ s preseti le variabili e diveta pssibile quatificarle: tutti, essu, alcui. Il prim studi sistematic dei quatificatri risale ad Aristtele. Ua secda fase dell studi dei quatificatri si ha ella sclastica e ifie ell età mdera i cui si pera ua trattazie frmalizzata e u ampliamet, che cmprta ua tevle cmplessità, la quatificazie viee riferita a predicati c più argmeti. I simbli ",! si ispira a All e Exists. Alcue prprietà lgiche dei quatificatri. Se gi A è B, allra qualche A è B. Ad esempi, se gi piacere è u bee, allra qualche piacere è bee (Aalitici Primi) Frmalmete: # x P( x) "! x P( x) ciè # "!. Altre relazii s discusse da Aristtele ell Iterpretazie. Sapere tutt sigifica N igrare qualcsa, Sapere qualcsa sigifica N igrare tutt. Quidi egare Si sa tutt sigifica affermare N si sa qualcsa. Le relazii si pss sitetizzare el quadrat di ppsizii. Uiversale Affermativ Negativ Tutti! x A P(x) Qualcu Nessu! x P(x) E N tutti Le espressii ctrarie s cteute elle righe: alle lettere veg sstituite le lr egazii. Le espressii ctraddittrie s cteute elle diagali: alle frmule veg sstituite le lr egazii. Le espressii duali s cteute elle cle: si scambia i cettivi. Schema del quadrat lgic. Aristtele sviluppò a fd l aalisi delle prpsizii semplici suddivise i quattr tipi fdametali, che i lgici medievali idicar c quattr lettere (A e I da AdfIrm, E e O da EgO): Particlare! x I P(x)!x P(x) O A, prpsizie uiversale affermativa: Tutti gli allievi s studisi ; E, uiversale egativa: Nessu alliev è studis ; I, particlare affermativa: Alcui allievi s studisi ; O, particlare egativa: N tutti gli allievi s studisi. 7

8 Fra questi tipi di prpsizii esist delle relazii, la A e la O, la E e la I s ctraddittrie (Aristtele), la egazie di ua prpsizie cmprta l affermazie della ctraddittria: la egazie della A implica la O, la egazie della E la I. La A implica la I (e la E implica la O), ma viceversa; queste prpsizii s duali, gli sclastici usava il termie subaltere. La A e la E, la I e la O s ctrarie (Aristtele); la A e la E pss essere ctempraeamete vere, ma pss essere ctempraeamete false, la I e la O pss essere ctempraeamete vere, ma pss essere ctempraeamete false. Questa teria fuge da premessa alla lgica deduttiva il cui scp è la dettagliata aalisi dei prcedimeti di ifereza di u giudizi ad u altr, ciè la crretta cstruzie di u euciat ver a partire da premesse vere. Negazie dei quatificatri! (# x P( x)) "! x P( x)! (# x P( x)) "! x P( x) questa regla, isieme all equivaleza ( p # q) " p! q, fa cmpredere il rul del ctresempi per dimstrare che u terema è fals: si vule dimstrare che " x P( x))! Q( x) è fals, quidi (" x P( x))! Q( x)) è ver. E sufficiete trvare u x tale che P(x) sia ver e Q(x) fals. Esercizi Negazie 1. Scrivere i simbli: Ogi x è u grade filsf Scrivere la egazie dell affermazie precedete: ((x, P(x)) ) (*x), P(x) 2. Scrivere i simbli: Esiste u grade filsf Scrivere la egazie dell affermazie precedete. 3. Qual è la egazie di Tutti i gatti s eri? Nessu gatt è er Tutti i gatti s eri N tutti i gatti s eri Esiste alme u gatt er Esiste alme u gatt er. Scrivere i simbli tutte le affermazii precedeti. 4. Qual è la egazie di Alme u studete di questa classe è più alt di 1,80m? 5. L affermazie Ogi equazie di secd grad ha alme ua radice reale è vera falsa? Scrivere la sua egazie. 6. Qual è la egazie di Esiste alme ua crda della circfereza passate per il cetr della circfereza : Nessua crda passa per il cetr della circfereza Tutte le crde passa per il cetr della circfereza Ua sla crda passa per il cetr della circfereza 7. Sia A l isieme degli studeti della 3. Sia. p(x): x è u sprtiv q(x): x gica a glf r(x): x è u studis Rappresetare i frma simblica le segueti prpsizii: a) tutti gli studeti s sprtivi b) essu studete gica a glf c) qualche studete è studis d) qualche studete è sprtiv Date le segueti scritture simbliche, scrivere le prpsizii crrispdeti i liguaggi aturale e le lr egazii i frma simblica. (x+a, r(x),q(x) *x+a, p(x) (x+a, r(x) (x+a, q(x)-p(x) Implicazie 8

9 8. Scrivere i simbli le segueti affermazii: Cdizie sufficiete perché u plig sia iscrittibile i ua circfereza è che sia reglare Tutti i pligi reglari s iscrittibili i ua circfereza Dat u plig, essere iscrittibile i ua circfereza è ecessari per essere reglare Cdizie ecessaria affiché u iter sia divisibile per 9 è che sia divisibile per 3 Essere divisibile per 3 è cdizie ecessaria per essere divisibile per 9 Essere divisibile per 9 è cdizie sufficiete per essere divisibile per 3 9. Scrivere i simbli la seguete affermazie: Tutti i triagli equilateri s issceli e acutagli. Scrivere la egazie dell affermazie precedete. Scrivere pi l espressie ctrmiale 10. Scrivere l espressie ctrmiale dell affermazie: Se a e b, due iteri psitivi, ha prdtt dispari, allra a e b s etrambi dispari. 11. Euciare ua cdizie sufficiete affiché u iter sia divisibile per 4. La cdizie è ache ecessaria? 12. Scrivere ua cdizie ecessaria ma sufficiete affiché u umer iter psitiv sia divisibile per Scrivere i simbli le segueti prpsizii, pi la lr egazie: Esiste alme u umer aturale multipl di 5 e di 3 Nessu parallelgramma ha cique lati. 14. Scrivere i simbli le segueti prpsizii, pi la lr egazie, ifie la prpsizie ctrmiale: Tutti i quadrati s rettagli I rmbi ha i lati uguali e le diagali perpediclari. 9