2a) Sia dato un processo P(s) descrivibile mediante la funzione di trasferimento 250( s + 500)

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1 ) Il sistema in figua è composto da un motoe in c.c. contollato in tensione (inezia Jm ed attito Dm), un amplificatoe di tensione di costante, una molla di costante elastica K, e una massa M. Si icavi lo schema a blocchi del sistema supponendo che il distubo dovuto alla foza di gavità sia applicato all istante zeo e che il aggio della puleggia (di massa tascuabile) collegata all asse del motoe sia pai ad. Si icavi, infine, il valoe di Vin che mantiene fema la massa M. (VDPHGL)RQGDPHQWLGL$XWRPDWLFD &RUVLGL/DXUHDLQ(OHWWURQLFDHLQHFFDQLFD Vin OXJOLR Va K M g 2a) Sia dato un pocesso P(s) descivibile mediante la funzione di tasfeimento 25( s 5) Ps () = 2 ( s 4s 25) Sintetizzae un sistema di contollo a contoeazione tale che il guadagno a ciclo chiuso sia pai a 4 e l'eoe a egime pe ingesso a ampa u(t)=.2t sia minoe di.. Inolte, l'omega di attavesamento ed il magine di fase della funzione a ciclo apeto soddisfino le: <ω t <4 ad/sec ed mφ tale da avee un modulo alla isonanza minoe di.4. 2b) Pe un ingesso del tipo 2sin(ωt), fino a quale pulsazione l'eoe di ipoduzione isulteà infeioe a.? Deteminae, infine, utilizzando la cata di Nichols, la banda passante (in Hz) e l effettivo modulo alla isonanza della funzione a ciclo chiuso. 2c) Tacciae il diagamma di Nyquist della funzione compensata e si supponga di inseie una satuazione unitaia. Si innesca un ciclo limite? E aumentando il guadagno in catena dietta? Se si, qual è il guadagno minimo da inseie e a quale pulsazione si avà l oscillazione? 3) Dato il sistema disceto in figua con G(z) ottenuta dalla discetizzazione esatta di G(s)=/(s) e Tc=.sec, deteminae il contolloe R(z) che assicui una funzione di tasfeimento a ciclo chiuso W(z) tale che in isposta ad un gadino unitaio poduca la sequenza {y k }={, /2,,,...}. Quindi, supponendo di applicae un segnale a ampa all ingesso u a quale valoe tende l eoe e? u _ e R(z) G(z) y 4) Dato il sistema di contollo ipotato in figua, con 4 2 A=, b=, C = [ ] 2, deteminae a quale sottospazio di 2 deve appatenee x ef pe avee eoe nullo a egime. Supposto che appatenga a detto sottospazio deteminae la matice F in modo da assegnae gli autovaloi (-,-). u dx/dt=axbu Y=Cx x F _ x ef y Nome Cognome.. Maticola.....

2 RGHOOLVWLFD Vin Va K g M Vin - RasLa Km Km J T sd t ω s Xm - K Mg s - Ms 2 X Pe calcolae il valoe di Vin che bilanci esattamente la foza peso si può pensae che pe questo paticolae valoe la velocità di otazione del motoe sia Æ ω=. Questo implicheà che la f.c.e.m. nel pimo amo di contoeazione saà nulla. Inolte, a egime, il blocco dovuto al cicuito di amatua si semplificheà in /Ra. Pe di più la massa M saà immobile e la coppia esistente che toneà al motoe saà costituita dalla foza peso M g moltiplicata pe. A questo punto la coppia geneata dal motoe dovà essee pai alla coppia esistente: Vin /Ra Km = M g Da cui Vin = M g Ra / Km

3 6LQWHVL Moduli di Pocesso modificato, Rete e Catena dietta 4 2 Cs () = 4.7s s (.7/ 4) s db Omega di taglio del pocesso modificato= Kd a< e F( jω ) d 4*2 F( jω ) > = e. F( jω ) > 8 = 38dB ω < ad/sec Fasi di Pocesso modificato, Rete e Catena dietta magine di fase pocesso modificato= 6.6

4 6LQWHVL 4 M odulo ad anello chiuso W =F/F 3 2 db Kw=4.4, B3=4.46Hz, M =.4 Diagamma di Nichols db 3.25 db 2 db.5 db - d B 3 db 6 db -3 d B -6 d B Open-Loop Phase (deg) -2 d B -2 d B

5 6LQWHVL Nyquist Diagams 2 Imaginay Axis Real Axis Poiché il diagamma di Nyquist non inteseca la funzione descittiva della satuazione (-inf, -), il sistema non si poteà sul ciclo limite. Tuttavia moltiplicando il guadagno in catena dietta pe un valoe maggioe di 3.2 il diagamma si poteà sul punto (,) dando oigine ad una oscillazione pemanente alla pulsazione ω=5ad/sec. L ampiezza della stessa dipendeà dal guadagno utilizzato.

6 'LVFUHWR Pe cominciae discetizziamo la G(s) con il metodo indicato: G(z)=R/(-βz - ) con R= e β=e -Tc Pe cui: G(z)=/(-βz - ) Pe calcolae il egolatoe in gado di assegnae il compotamento ichiesto bisogna adesso deteminae quale sia la funzione di tasfeimento a ciclo chiuso W(z) in isposta ad un gadino unitaio fonisce la sequenza indicata. La y(z) che si ottiene dalla tasfomata Z della sequenza si può calcolae sommando un contibuto di ampiezza /2 all instate k= alla tasfomata del gadino taslato di due campioni: Y(z)=/2 z - z/(z-) z -2 La tasfomata dell ingesso vale U(z)=z/(z-) Pe cui la W(Z) imane definita come W(z)=Y(z)/U(z)=/2(z)/z 2 A questo punto, dovendo essee W(z)=R(z)G(z)/(R(z)G(z)) Si otiene R(z)=/G(z) W(z)/(-W(z))=/(z-β)(z)/[z(2z 2 -z-)] La G(z) di patenza non conteneva poli o zei al di fuoi del cechio unitaio quindi la cancellazione è consentita.. Pe calcolae l andamento dell eoe si deve calcolae la funzione di tasfeimento ta u ed e: We(z)=E(z)/U(z)=/(R(z)G(z))=/2 (2z 2 -z-)/z 2 da cui si icava l espessione di E(z) imponendo pe U(z) la ampa unitaia: E(z) = We(z). z/(z-) 2 = /2 (2z 2 -z-)/[z(z-) 2 ] E, applicando il teoema del valoe finale pe la tasfomata Z: e(inf)=lim zæ (-z- )E(z)=.5

7 6SD]LRGL6WDWR A ciclo chiuso l equazione che si ottiene è la seguente: dx/dt=(abf)x-bfx ef All equilibio dx/dt= la soluzione x soddisfeà la seguente equazione: AxbFx-bFx ef =. Affinchè si possa avee eoe nullo pe tæinf, ovveo x=x ef, x ef dovà appatenee al nucleo della matice A: Ax ef =: [ 4 2 ] [ x ] = [ ] [ 2 ] [ x 2 ] [ ] Da cui si evince che x ef deve appatenee al sottospazio descitto pe esempio dal vettoe: x ef = [ ] [-2 ] A questo punto, supposto che x ef appatenga a questo sottospazio si può pocedee con la nomale assegnazione degli autovaloi dallo stato che pevede solo di veificae la aggiungibilità del sistema: La matice di aggiungibilità vale: R=[b Ab]=[ 4 ] [ 2 ] Ed il suo deteminante vale 2Î ha ango pieno Î il sistema è tutto aggiungibile. La sua invesa vale: R - =[ -2 ] [ ½ ] e l ultima iga quindi γ=[ ½ ]. Il polinomio caatteistico desideato, visti gli autovaloi desideati, si può espimee come P(λ)=(λ) 2 e la matice F isulteà pai a F = -γ P(A) = [ -7-4 ].