GENERATORE MHD e EQUAZIONI

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1 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA (ultima modifica 9//07) GNRATOR MHD QUAZIONI M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD

2 quazioni dlla Magntoidrodinamica MHD La Magntoidrodinamica o MHD studia la dinamica di fluidi lttricamnt conduttori soggtti all azion di un campo magntico. ssa dscriv il comportamnto dinamico dl fluido dl plasma com unico fluido nutro, snza considrar gli ioni gli lttroni com du ntità sparat. Ida di bas l condizioni dlla Magntoidrodinamica MHD consist nl considrar la corrnt ch trasporta il plasma complssivamnt nutra ma costituita da: - ioni ch trasportano massa, quantità di moto nrgia - lttroni ch trasportano corrnt nrgia trmica. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD

3 Magntoidrodinamica MHD L quazioni dll MHD idal, lgano l caus : vlocità dl plasma u campi magntici B all fftto : campo lttrico pr un sistma ch funziona com gnrator l caus : campo lttrico campo magntico B all fftto : vlocità dl plasma u pr un sistma ch funziona com motor. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 3

4 Magntoidrodinamica MHD I fnomni multifisici rlativi alla Magntoidrodinamica sono dscritti da un sistma di quazioni non linar costituito dall insim dll: a) quazioni dlla Idrodinamica (HD) quazion di consrvazion dlla massa (Continuit quation); quazion di consrvazion dlla quantità di moto (Momntum quation); quazion di consrvazion dll nrgia; b) quazioni dll lttromagntismo (M) quazioni di Maxwll; Lgg di Ohm gnralizzata pr fluidi conduttori in moto, considrando il plasma rsistivo. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 4

5 quazioni dlla Magntoidrodinamica MHD a) quazioni dlla Idrodinamica (HD) La I quazion sprim l quazion di continuità o dlla consrvazion dlla massa : ρ ρ ρu 0 u ρ ρ u t t La II quazion sprim la consrvazion dlla quantità di moto di Navir Stoks: u ρ t u u p ρg τ p ρg ρ u p ρg ρ u - u x B 3 La III quazion corrispond alla consrvazion dlla nrgia: h ρ t u h pu ρ u u - M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 5 u 3 T x B u x B 3 u kt S Q

6 quazioni dlla Magntoidrodinamica MHD La IV quazion è l quazion di stato: ρ f(p,h) p ρrt con R /(mol K) costant di gas M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 6

7 quazioni dlla Magntoidrodinamica MHD b) quazioni di Maxwll (M) La V quazion sprim la consrvazion dl flusso di induzion magntica: B 0 La VI quazion sprim la Lgg di Farada: B t La VII quazion corrispond alla lgg di Ampr: μ 0 B l VIII quazion è la lgg di Ohm gnralizzata: u B M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 7

8 quazioni dlla Magntoidrodinamica MHD l VIII quazion è la lgg di Ohm: σ u B Si sottolina ch in un campo di corrnt σ in gnral in un campo lttromagntico, quando l carich lttrich sono in movimnto con vlocità u in una rgion intrssata da un campo magntico di induzion σ ' σ B u B la conducibilità σ è un tnsor ossia sprimibil con matric 3x3 di trmini di conduttività lttrica diffrnti nll divrsdirzioni dgli assi di rifrimnto M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 8

9 quazioni dlla Magntoidrodinamica MHD Simbologia utilizzata : massa volumica p prssion dl gas h ntalpia spcifica viscosità cinmatica k diffusività trmica Q quantità di calorfornita alsistma u vlocità dl fluido campo lttrico B induzion magntica S nrgia fornita dalla gnrica sorgnt strna g campo di gravità Dnsità di corrnt lttrica tnsor di conduttività lttrica opratornabla i j k x z opratordi Laplac o laplaciano 0 prmabilità magntica nl vuoto Hm x x x M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 9

10 quazioni dlla Magntoidrodinamica MHD Lgnda con la trminologia ingls: h = spcific nthalp τ = shar viscous strss tnsor ν = kinmatic viscosit = lctric fild B = magntic induction ρ = fluid mass dnsit g = gravit acclration p = prssur u = vlocit = currnt dnsit S = gnric xtrnal nrg sourc Q = wall hat transfr k = fluid thrmal diffusivit µ 0 = magntic prmabilit of fr spac M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_C onvrsion Dirtta MHD 0

11 FLUSSI DI CONDUTTORI LIQUIDI IN CONDOTTI IMMRSI IN UN CAMPO MAGNTICO TRASVRSAL PARAMTRI CARATTRISTICI L proprità di flussi all intrno di condotti in prsnza di un campo magntico applicato sono tra i problmi basilari dlla MHD. Tali proprità incidono significativamnt sul moro dl fluido conduttor dl dispositivi MHD, ch è sottoposto contmporanamnt sia a Forz lttromagntich ch a Forz viscos. Ni rgimi laminari, ch la modllazion ha compltamnt sviluppato, l unich componnti rilvanti dl campo magntico di induzion B sono qull prpndicolari alla vlocità u o v. Pr qusto tipo di sistmi non il rgim non è gnralmnt laminar, ma può ssr turbolnto. Il tipo di rgim è strttamnt lgato alla natura all proprità dl fluido conduttor. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD

12 FLUSSI DI CONDUTTORI LIQUIDI IN CONDOTTI IMMRSI IN UN CAMPO MAGNTICO TRASVRSAL PARAMTRI CARATTRISTICI I paramtri adimnsionali ch assumono un importanza particolar in qusti tipi di flusso sono: numro di Rnolds cinmatico: R ρul μ ul ν con ν μ ρ numro di Rnolds magntico: R m μ σ U L numro di Hartmann: H a B L σ paramtro di intrazion tra Forz lttro-magntich Forz d inrzia N = (H a ) /R m In particolar il quadrato dl numro di Hartman (H a ) è proporzional al rapporto fra l Forz lttromagntich l Forz viscos. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD

13 NUMRI CARATTRISTICI I paramtri adimnsionali ch assumono un importanza particolar in qusti tipi di flusso, sono: ρul ul Forz d'inrzia numro di Rnolds cinmatico: R R μ ν Forz viscos numro di Rnolds magntico: R m μ σ u L R m Campo indotto dal moto dl fluido Campo magntico applicato numro di Hartmann : H a B L σ H a Forz lttromagntich Forz viscos paramtro di intrazion N tra Forz lttro-magntich Forz d inrzia N = (H a ) /R m In particolar il quadrato dl numro di Hartman (H a ) è proporzional al rapporto fra l Forz lttromagntich l Forz viscos. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 3

14 Il numro di Rnolds cinmatico Il movimnto di un fluido dntro un cilindro è pnsabil com il movimnto di strati lamllari concntrici,dov lo strato di liquido in contatto con la suprfici dl tubo si può ritnr frmo, mntr lungo l ass cntral la vlocita di scorrimnto dl liquido è massima. S L Fra du strati adiacnti, in moto rlativo l'uno risptto all'altro, nasc quindi una forza di attrito viscoso. La viscosità di un fluido misura la rsistnza ch, all intrno dl fluido stsso, gli strati adiacnti oppongono allo scorrimnto rciproco) Nlla rgion di contatto di un fluido con il bordo dl dominio o rgion in cui avvin il moto, non sono trascurabili gli fftti dovuti alla viscosità. La dimnsion di tal rgion δ è dtta strato limit: δ con L = diamtro dl condotto. All intrno dllo strato limit vi è un sotto-stratto viscoso ( 5% δ) una zona intrmdia di transizion. L R M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 4

15 Il numro di Rnolds cinmatico Il numro di Rnolds cinmatico R è un paramtro adimnsional proporzional al rapporto tra l Forz d inrzia l Forz viscos. R F i F v F i F v ma S ρul μ L SL t u S L L Lt ul ν con con ν μ ρ a acclrazion dl fluido con u vlocità dl fuido R L SL t L S Lt ρul μ S L M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 5

16 Il numro di Rnolds cinmatico Ossrvazioni sprimntali hanno consntito di stabilir con i dati mpirici ottnuti, l sistnza di un campo di valori di soglia dl numro di Rnolds cinmatico, ch consnt di discriminar tra il rgim dl fluido laminar il moto turbolnto. Rgim laminar Moto turbolnto Sulla bas di dati mpirici si può affrmar ch: s R 000 il rgim dl fluido è all incirca laminar, s 000 R 4000 si ha una fas di transizion tra laminar turbolnto s R 4000 si ha un moto turbolnto M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 6

17 Il numro di Rnolds magntico R m misura l influnza dl moto dl fluido conduttor con vlocità u, dll corrnti lttrich ch lo attravrsano x, sulla distribuzion dl campo magntico B La sua sprssion è dducibil dall quazioni dlla MHD, assumndo l ipotsi smplificativ di: plasma isotropo (condizion ch si vrifica s la frqunza di collision è lvata) nll quazioni dlla MHD, i cofficinti di trasporto (viscosità, rsistività, conducibilità trmica) sono scalari ( σ scalar ) non tnsionali trascurando procssi ch avvngono su tmpi scala brvi con vlocità u << c In qust ipotsi si dtrmina l sprssion di R m combinando tra loro: B Lgg di Farada: x t Lgg di Ohm gnralizzata: l ipotsi di plasma isotropo u B u B pr la lgg di Ampr: μ 0 B 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD M. Usai 7

18 Il numro di Rnolds magntico Applicando l oprator rotor alla sprssion dlla Lgg di Ohm gnralizzata: Applicando l oprator rotor u B μ0 B x x μ 0 ssndo B u x B x x x u x B alla sprssion dlla Lgg di Ampr: B B B B uguagliando tra di loro l du sprssioni trovat di x si ottin: x x u x B - B x x u x B 0 μ 0 B 0 0 μ 0 Quindi pr la lgg di Farada si ha: B t x B t x u x B B 0 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD M. Usai 8

19 Dalla quazion ottnuta: Il numro di Rnolds magntico B t x x u x B B si può rilvar com la variazion tmporal di B quindi dl Campo lttrico indotto dipnda da du trmini: - Il primo rapprsnta un trmin convttivo è lgato alla vlocità u dl fluido conduttor. - Il scondo rapprsnta un trmin diffusivo dl campo magntico B nl plasma in moto (prsnta una analogia con l quazion dlla tmpratura pr il trasporto di calor). Qusti du procssi fisici avvngono contmporanamnt ma con tmpi divrsi: τ f τ d 0 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD M. Usai 9

20 Il numro di Rnolds magntico B t x x u x B B Il trmin convttivo dimnsionalmnt ha la forma: B u/l=b/τ f con τ f =L/u tmpo di transito il trmin diffusivo dimnsionalmnt ha la forma: B /μ 0 σl = B/τ d con τ d = μ 0 σ L con L = lunghzza carattristica dlla configurazion Il numro di Rnolds è il rapporto tra i du trmini: 0 R m =(B u/l)/(b / μ 0 σ L ) con D m =/µ 0 σ è la diffusività magntica. u B/L u L Rm μ 0 D B/L D m m σ u L 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD M. Usai 0

21 Il numro di Rnolds magntico Il numro di Rnolds magntico misura l influnza dl moto dl fluido conduttor con vlocità u, dll corrnti lttrich = x + ch lo attravrsano, sulla distribuzion dl campo magntico di induzion B. sso prsnta una analogia con il numro di Rnolds cinmatico o idrodinamico, ch vin usato pr valutar quando il rgim fluidodinamico sia laminar o turbolnto. R m è dfinibil anch com il rapporto tra il campo indotto dal moto dl flusso conduttor il campo magntico applicato B in un fluido in movimnto. Si è dimostrato ch in trmini analitici: u B/L u L Rm μ0 σ u L D dov : DmB/L m L è una scala di lunghzza carattristica dl campo di vlocità dl sistma studiato; µ 0 è la prmabilità dl vuoto; u è la vlocità mdia dl fluido; σ è la conducibilità lttrica dl fluido; D m =/µ 0 σ è la diffusività magntica. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD

22 Numro di Rnolds magntico I fnomni fisici dlla MHD sono lgati al rapporto fra il tmpo carattristico dlla diffusion magntica il tmpo di transito dl fluido, ch a sua volta è funzion dl Numro di Rnolds Rm. Infatti il rapporto fra: il tmpo carattristico dlla diffusion magntica (magntic diffusion tim): d μ 0 σ δm il tmpo di transito (convction tim): c L / u μ σ δ risulta: m δ m δm L L μ σ u L R L m con m skin dpth L L Rm ul u quindi risulta ch il rapporto dl tmpo di diffusion dl tmpo di transito si può sprimr in funzion dl numro di Rnolds magntico, R m μ σ u L in funzion dl rapporto tra il quadrato lo skin dpth δ m dlla dimnsion maggior tra qull più significativ dl dispositivo ralizzato L M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD

23 Il numro di Rnolds magntico u B/L u L Rm μ 0 D B/L D m m σ u L Ni mtalli fusi ( µ σ s/ m ) su scala di laboratorio u 0. m/s L 0., il numro di Rnolds magntico non può andar molto oltr il valor di 0.0 Rm 0.0 D altro canto, su scala plantaria (µ σ s/ m, u 0-3 m/s L 0 7 ) può raggiungr valori molto più grandi dll unità Rm 0 4, su scala astrofisica divnta strmamnt grand (Rm =0 0 0 ). Nl campo industrial (gnratori MHD, grandi pomp lttromagntich, rattori nuclari a frtilizzazion vloc raffrddati da sodio liquido, ) si raggiungono anch valori di divrs dcin di m/s. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 3

24 Il numro di Rnolds magntico In bas al valor di R m è possibil distingur 3 diffrnti rgimi di funzionamnto. R m misura quindi l influnza dl moto dl fluido conduttor, dll corrnti lttrich ch lo attravrsano, sulla distribuzion dl campo magntico ) Quando R m >> si dic ch il campo magntico è «conglato» ntro il fluido; l su lin di forza sono trascinat dformat dal fluido nl suo moto, in quanto «incollat» all particll altamnt conduttiv ch lo costituiscono. Il campo magntico ha un basso grado di pntrazion nl plasma; di consgunza la dnsità di corrnt è concntrata in sottili strati di spssor (skin dpth): L m ul ) Al contrario quando R m <<, si ha un abbattimnto di trmini convttivi risptto a qulli diffusivi nll quazion dll induzion; prval la diffusion dll lin di forza dl campo magntico; il campo, inizialmnt localizzato in un punto, si diffond a tutto il fluido in un tmpo τ d, sottoponndo l particll dl fluido in movimnto all forz magntich. La corrnt fluisc nl fluido, occupando tutto lo spazio disponibil: δ m L. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 4

25 Il numro di Rnolds magntico 3) Al limit, quando Rm 0, il campo di vlocità u non ha influnza sulla distribuzion dl campo magntico, ch risulta prdominant qust ultimo può ssr calcolato com s il fluido foss a riposo. Qusta ipotsi giustifica il disaccoppiamnto dll quazioni gnrali dlla MHD in 3 sistmi distinti di quazioni: : sistma di quazioni rlativ al problma magntico; sistma di quazioni rlativ alla mccanica di fluidi, sistma di quazioni rlativ al problma trmico. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 5

26 Quando il numro di Rnolds magntico tnd a zro: Rm 0 cioè x (u x B) 0 u 0 Il sistma può ssr disaccoppiato: B 0 B x (u x B) B t μσ u p ν u x B t ρ ρ dt C k T v dt p. lttromagntico p. dlla mccanica fluida p. trmico B 0 B t μσ B u 0 u p ν t ρ C dt dt k T u ρ x B v M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 6

27 Il numro di Rnolds magntico Il numro di Rnolds magntico consnt di far una stima dll influnza dl profilo dl campo di vlocità sul campo magntico. S si suppon ch qusto paramtro R m sia sufficintmnt basso, si può considrar uniform l induzion magntica, trascurando la componnt dlla prturbazion nlla dirzion dl moto parallla al contorno dl profilo ch dlimita la rgion dl moto dl fluido. ) In particolar quando la vlocità è sufficintmnt bassa così ch la distribuzion dlla prssion, in prima approssimazion, risulta idrostatica, si può formular un primo problma com puramnt magntostatico. La soluzion fornisc sia la distribuzion dll grandzz lttro-magntich B, ch la posizion dll intrfacc fluid. ) Il scondo passo consist nlla soluzion dll quazioni dl moto sia pr il campo dll vlocità u sia ch pr la variazion di prssion indotta. Si può vrificar a postriori la validità dll accoppiamnto usato. 3) Nota si può risolvr la fisica trmica autonomamnt. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 7

28 Il numro di Hartmann fftti sulla configurazion dl Flusso Il numro di Hartmann è dfinito com: H a B L σ L / (H a ) è proporzional al rapporto fra l Forz lttro-magntich l Forz viscos Dov δ è lo spssor dllo «strato di Hartmann» in cui risultano prssoché confinat l dissipazioni dovut sia all fftto oul ch all attrito viscoso; ) Ad lvati valori di Ha corrispondono fftti lttromagntici prvalnti su qulli viscosi, quindi strati limit viscosi molto sottili; di consgunza nllo studio dl flusso si possono trascurar tali strati limit; Il fluido sarà non viscoso; i profili di vlocità di consgunza la distribuzion dlla corrnt, saranno quasi compltamnt piatti; l variazioni di vlocità dnsità di corrnt saranno concntrat nl sottil «strato di Hartmann» adiacnt alla part. ) Pr piccoli valori di Ha, al contrario, prvalgono gli fftti viscosi; i profili di vlocità corrnt saranno praticamnt parabolici. M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 8

29 Paramtri carattristici pr divrsi matriali N = (Ha) /R m paramtro di intrazion tra Forz lttro-magntich Forz d inrzia S H a N sono ntrambi sufficintmnt lvati, l Forz lttromagntich risultano prdominanti l quazion di moto divnta: p x B M. Usai 8b_AI_Magntoidrodinamica_Convrsion Dirtta MHD 9

30 Flusso di Hartmann L forz sul flusso conduttor dovut al campo lttrico magntico influnzano la dirzion dl movimnto dlla carica. Infatti ni gas ni plasmi l carich non sono vincolat com ni conduttori mtallici, ma hanno un grand grado di librtà di movimnto ch, pr cui gli fftti di du campi (campo indotto il campo di Hall, sono importanti. B campo magntico applicato; u x vlocità dl flusso in assnza di fftto Hall; t t è la tnsion total agnt sul fluido pari alla somma -dlla tnsion applicata = x + -dlla tnsion indotta u x B ssndo - x è la tnsion dovuta al campo indotto dal passaggio dlla corrnt sul carico, - è la tnsion dovuta all fftto Hall B x ub z u x a S si collga il carico circolala corrnr divnta σ σ t ux x B σ x, la corrnt total,pr la Lgg ux x B di Ohm, M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 30

31 fftto Hall Il fattor adimnsional ch valuta l ntità dll fftto Hall ni plasmi è il Paramtro di Hall : β Il Paramtro di Hall corrispond al rapporto tra l du componnti di campo lttrico x : β = / x = ω τ = ω/ν = B/m ν = B τ/m = µ B Dov: ω = cclotron frqunc τ = man fr tim btwn collisions ν =/ τ =collision frqunc x =lctric fild componnts in x and dirction B = magntic induction m = lctron mass = lctron charg µ = lctron mobilit β= / x B z ********************************************************************************************************************************************************* * La mobilità lttrica è la capacità di particll carich (comioni, lttroni o protoni) di muovrsi attravrso un mzzo (gas, solido o liquido) in risposta all'azion di un campo lttrico. Nl caso dgli ioni si parla in particolar di mobilità ionica, mntr nl caso dgli lttroni si parla di mobilità lttronica. M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 3

32 Rlazioni lttrodinamich: sprssion dlla Lgg di Ohm S un conduttor si muov alla vlocità u in un campo magntico B si gnra un Campo lttrico, proporzional al prodotto vttorial u x B. Il flusso risultant dll carich, gnra un Campo w proporzional alla vlocità di driva w pari a w x B, la cui dirzion vrso dipnd dal sgno dlla carica : w x B pr carich positiv w w x B pr carich ngativ Trascurando la vlocità di driva dgli ioni, si ottin una sprssion dlla Lgg di Ohm, ch tin conto dlla vlocità di driva mdia di un lttron w, dovuta all fftto Hall : con ν w m m w w mobilità lttronica xb con u x B τ tmpo mdio tra lcollisioni τ vlocità mdia di driva nl fluido dgli lttroni pr fftto dllforz di campo M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 3 t

33 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD M. Usai 33 Rlazioni lttrodinamich: sprssion dlla Lgg di Ohm Moltiplicando pr n c con n c dnsità di corrnt lttronica, si ottin la dnsità di corrnt di tutti gli lttroni: x x x x x x x x x x B x w w w w xb w w divnta : componnti du nll a splicitat u dirtto nlla dirzion x B nlla dirzion la rlazion Pr B τ - Hall paramtro di tmpo mdio tra lcollisioni con τ mobilità lttronica τ m ν campo pr fftto dllforz di lttroni fluido dgli driva nl di vlocità mdia τ m ν corrnt dnsità di n lttroni ; dgli conducibilità τ m n σ x B n μ μ n n x c c c c c

34 a) Caso snza l fftto Hall: = β= / x = / x B z =0 La corrnt total pr Lgg di Ohm in gnral si scriv : σ u x B In gnral, ssndo una rlazion vttorial, ssa quival a tr rlazioni, una pr ciascuna componnt di Il campo lttrico ch si oppon al campo lttrico mozional u x B, è originato dalla diffrnza di potnzial V ch si forma tra i du lttrodi: V S, si ipotizza ch la vlocità u (u x ) la conducibilità σ lttrica siano uniformi, pr il sistma di coordinat rapprsntato in figura, trascurando l fftto Hall, la dnsità di corrnt prsnta una sola componnt nlla dirzion =, la lgg di Ohm si può scrivr con un unica quazion scalar: σ u B M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 34

35 a) Caso snza l fftto Hall: = σ u B A circuito aprto ( = 0) il campo lttrico risulta: In corto circuito ( = 0) la dnsità di corrnt è:,cc u B σ σ u B In una gnrica condizion di carico, 0 0 si dfinisc il fattor di carico K ch assum K valori comprsi tra [0 ] con : applid gnratd applid ub K = 0 in condizioni di c.to c.to applid =0 K = a vuoto (circuito aprto) applid = gnratd applid = tnsion applicata al carico M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 35

36 a) Caso snza l fftto Hall: = Pr la Lgg di Ohm la corrnt divnta: σ u B K Infatti: σ σ u B ssndo K u B u B K u B K u B σu B K u B σ u B K applid applid M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 36

37 a) Caso snza l fftto Hall: = La potnza lttrica pr unità di volum stratta dal gas è: P l ssndo : σ u B K u B K si ottin: P l σu B K K Qusta dnsità di potnza è massima pr un fattor di carico K=/ : dpl d σ u B K K) σ u B 0 pr k P l. Max dk dk 4 La potnza mccanica pr unità di volum sottratta al fluido conduttor dal campo lttromagntico è data dal prodotto scalar tra la vlocità u il gradint di prssion p : p B P mcc u p u x B σ u B (K ) M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 37

38 a) Caso snza l fftto Hall: = Si dfinisc, prtanto, il rndimnto lttrico di convrsion di un gnrator MHD com: P σ u B K K η l P u xb σ u B (K ) mcc Ch sostitundo l prcdnti sprssioni, divnta: K Ricordando ch il fattor di carico: K applid u B 0 in c.to c.to a vuoto si dduc ch il gnrator di Farada lavora mglio in condizioni di basso carico. M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 38

39 a)caso snza l fftto Hall: = Poiché la lgg di Ohm è: σ B con B componnt dlla induzion nlla dirzion u K Pmcc u p u x B σ u B (K ) ssndo B la componnt dlla induzion nlla dirzion S K < si ha un funzionamnto da gnrator, infatti risulta ch il sistma fornisc corrnt < 0 il sistma consuma nrgia cintica P mcc < 0 S K= non si ha induzion =0 S K > si ha un funzionamnto motor, (o pompa) infatti risulta ch : il sistma assorb corrnt > 0 il sistma fornisc nrgia cintica P mcc > 0.. M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 39

40 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD M. Usai 40 b) Caso con l fftto Hall: = x + Considrando anch l fftto Hall la dnsità di corrnt prsnta du componnti una nlla dirzion x: x una nlla dirzion : pr la Lgg di Ohm: Poiché gli lttrodi di un gnrator di tipo Farada continuo si stndono pr tutta la lunghzza dl condotto ( dirzion x), ssi tndono a indurr nl flusso, suprfici quipotnziali normali alla dirzion, pr cui si può trascurar x. Ponndo x = 0 = applid - gnratd = K u B - u B = u B(K - ), si ottin: x - K B u σ σ σ σ σ x x x x x σ σ B u x σ

41 b) Caso con l fftto Hall: = x + In bas a qust rlazioni la potnza lttrica P l si modifica nl sgunt modo: P l P l σ u x cos(90) B K K cos(0) L fftto Hall ch provoca il manifstarsi di una corrnt di Hall nl plasma, ch scorr nlla dirzion dl moto dl gas richiudndosi attravrso gli lttrodi, provoca anch una riduzion dlla corrnt dlla potnza P l di un fattor (+ β ), il campo indotto mozional gnratd = u B, dv compnsar: sia il campo tra gli lttrodi, sia il campo x dovuto alla f..m. di Hall M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 4

42 Gnratori a gomtria particolar Oltr alla gomtria linar all su vari configurazioni dgli lttrodi, sono stati proposti gnratori MHD di gomtria divrsa. Ni gnratori Hall a disco gnratori Hall anulari, riportati in figura b-c, la componnt di corrnt u x B indotta a scorrr nlla dirzion si richiud su s stssa all intrno dl plasma, ovviando, quindi, alla ncssità di lttrodi a sgmnti. La gomtria a vortic (a) è simil a qulla di un gnrator di tipo Farada continuo, prtanto richid ch il paramtro di Hall sia piccolo. Il gnrator Hall a disco attualmnt dtin il rcord di dnsità di fficinza di nrgia pr la produzion MHD. M. Usai 8c_AI_MAGNTOIDRODINAMICA_Gnrator MHD 4