h, i: V V! R (v 1,v 2 ) 7! hv 1,v 2 i ! R v 7! hv, v 0 i èlineare. Perlacommutativitàdelprodottoscalaresegueanchelalinearità dell applicazione

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1 Lezione. Prodotti scalari Definizione. (Prodotto scalare). Sia V uno spazio vettoriale su R. Un prodotto scalare su V è un applicazione tale che valgono i seguenti assiomi: h, i: V V! R (v,v ) 7! hv,v i (PS) per ogni v,v V,sihahv,v i = hv,v i (il prodotto scalare è commutativo); (PS) per ogni v,v,v 3 V,sihahv,v +v 3 i = hv,v i+hv,v 3 i (il prodotto scalare èdistributivorispettoallasomma); (PS3) per ogni R e v,v V,siha hv,v i = h v,v i; (PS4) per ogni v V \{ 0 V },sihahv, vi > 0 (il prodotto scalare è definito positivo). Osservazione.. Elenchiamo alcune immediate conseguenze degli assiomi della definizione precedente.. Sia v 0 V fissato. Allora l applicazione h,v 0 i: V! R v 7! hv, v 0 i èlineare. Perlacommutativitàdelprodottoscalaresegueanchelalinearità dell applicazione hv 0, i: V! R v 7! hv 0,vi. Per questa doppia proprietà di linearità si dice spesso che il prodotto scalare èun applicazione bilineare.. Per linearità, si ha che h0,vi = hv, 0i =0per ogni v V : in particolare hv, vi =0se e solo se v =0. 3. Se W V èunsottospazio,hasensoconsiderarelarestrizioneh, i W W,che èunprodottoscalaresuw. 3

2 4 Definizione.3 (Modulo di un vettore). Sia V uno spazio vettoriale su R munito di prodotto scalare h, i. Per ogni v V,ilnumero v = p hv, vi si dice modulo di v. Ivettoridimodulo si dicono versori. Si noti che in uno spazio vettoriale V su R munito di prodotto scalare l unico vettore di modulo zero è il vettore nullo ~0 V. Esempio.4. Nello spazio V 3 (O) dei vettori applicati si può definire un prodotto scalare ponendo h~v, ~w i = ~v ~w cos( c ~v ~w ) (..) per ogni coppia di vettori ~v, ~w V 3 (O) non nulli, come avevamo visto nella Lezione 8. Fissato un sistema di riferimento O~ı~ ~ k,se~v = v x ~ı +v y ~ +v z ~ k e w = wx ~ı +w y ~ +w z ~ k, ènotoche h~v, ~w i = v x w x + v y w y + v z w z. Esempio.5. Dati x =(x,...,x n ) e y =(y,...,y n ) in V = R n,sidefinisce prodotto scalare standard il prodotto scalare Si noti che in tal caso risulta hx, yi = x y + + x n y n. (..) hx, yi = t xy= t xi n y come prodotto di matrici. Il fatto che tale applicazione soddisfi gli assiomi (PS), (PS) e (PS3) è evidente dalla definizione. Per quanto riguarda l assioma (PS4), si noti che hx, xi = x + + x n èunasommadinumerirealinonnegativi,comelosonoiquadratidinumerireali, quindi è non negativa ed è nulla se e solo se tutti gli addendi sono nulli. B Quello standard non è l unico possibile prodotto scalare che possiamo definire su R n! Per esempio si verifichi che l applicazione ((x,x ), (y,y )) 7! 3x y + x y / èunprodottoscalareinr diverso dal prodotto standard. Si noti che 3 0 y 3x y + x y /= x x. 0 /4 Sia V uno spazio vettoriale su R munito di prodotto scalare h, i. vettori v, w V \{0 V },perognitr si ha v thv, wi + t w = hv tw, v twi > 0. y Dati due Il primo membro di tale trinomio non può avere radici distinte, dovendo altrimenti cambiare di segno, quindi hv, wi v w 6 0: essendo v, w > 0, segueallorala cosiddetta disuguaglianza di auchy Schwartz (si veda l Osservazione 8.9).

3 Proposizione.6 (Disuguaglianza di auchy Schwartz). Sia V uno spazio vettoriale su R munito di prodotto scalare h, i. Perogniv, w V si ha 5 hv, wi 6 v w (..3) Inoltre vale l uguaglianza in (..3) se e solo se v e w sono proporzionali. Dimostrazione. Rimane da dimostrare solo la seconda affermazione. Vale l uguaglianza in (..3) se e solo se l equazione v thv, wi+t w =0ha soluzione, ovvero se e solo se hv tw, v twi =0 ha soluzione, cioè se e solo se v = tw. Osservazione.7. Sia V uno spazio vettoriale su R munito di prodotto scalare h, i. Sev, w V \{0 V },allora hv, wi 6 v w 6 : possiamo perciò definire l angolo fra v e w come hv, wi cvw =arccos. v w Si ha quindi hv, wi = v w cos(cvw), chegeneralizzalaformula(..)aprodotti scalari qualsiasi. Osservazione.8. Sia V uno spazio vettoriale su R munito di prodotto scalare h, i. Dalladisuguaglianza(..3)ricaviamoancheladisuguaglianza triangolare (si veda di nuovo l Osservazione 8.9): v + w = hv + w, v + wi = v + hv, wi + hw, vi + w = v +hv, wi + w 6 v + hv, wi + w 6 v + v w + w =( v + w ), quindi v +w 6 v + w. In modo analogo il lettore verifichi che v w > v w. Esempio.9. Sia I = [a, b] R non vuoto e si consideri nello spazio 0 (I) l applicazione hf,gi = Z b a f(x)g(x)dx. È immediato verificare che gli assiomi di prodotto scalare (PS), (PS), (PS3) sono soddisfatti; inoltre il teorema della permanenza del segno per funzioni continue ci assicura che lo stesso vale per l assioma (PS4). In questo caso la disuguaglianza di auchy Schwartz diviene s s Z b Z b Z b f(x)g(x)dx 6 f(x) dx g(x) dx. Per ogni f 0 (I) la quantità a a s Z b a viene detta norma L di f. f = a f(x) dx

4 6. Basi ortonormali Definizione.0. Sia V uno spazio vettoriale su R munito di prodotto scalare h, i. Ivettoriv,v V si dicono ortogonali (o perpendicolari) sehv,v i =0ein tal caso si scrive v? v. L insieme { v,...,v n } V si dice ortogonale se v i? v j per i, j I con i 6= j. L insieme { v,...,v n } V si dice ortonormale se è ortogonale e i v i sono versori. Se V èfinitamentegenerato,unabase ortonormale B =(v,...,v n ) èunabase di V tale che l insieme { v,...,v n } sia ortonormale. Dalla definizione sopra possiamo dedurre che un insieme { v,...,v n } V è ortonormale se per ogni i, j =,...,n ( i = j, hv i,v j i = i,j = 0 i 6= j. Esempio.. Si fissi un sistema di riferimento O~ı~ ~ k nello spazio. Allora l insieme { ~ı, ~, ~ k } èortonormaleinv 3 (O) rispetto al prodotto scalare geometrico definito nell Esempio.4. Quindi B =(~ı, ~, ~ k) èunabaseortonormalediv 3 (O). Esempio.. Si consideri lo spazio R n munito del prodotto scalare standard h, i definito nell Esempio.5. I vettori { e,...,e n } formano un insieme ortonormale: perciò la base canonica =(e,...,e n ) èunabaseortonormalerispettoalprodotto scalare standard. Invece {e,e } non è ortonormale rispetto al prodotto scalare ((x,x ), (y,y )) 7! 3x y + x y / introdotto nello stesso Esempio. Infatti è vero che e? e, ma e = p 3 e e =/ p. oncludiamo che, rispetto a tale prodotto scalare, {e / p 3, p e } èortonormale. Esempio.3. Si consideri lo spazio V delle funzioni continue e periodiche di periodo : per esempio, cos px, sin px V per ogni p N (si noti che sin px e cos px hanno periodo minimo /p). In V definiamo l applicazione hf,gi = Z f(x)g(x)dx;

5 7 èfacileverificarecheh, i èunprodottoscalare.inoltredall analisiènotoche hp, p i = hcos px, cos qxi = ( se p = q 6= 0, 0 se p 6= q, hsin px, cos qxi =0 ( se p = q 6= 0, hsin px, sin qxi = 0 se p 6= q, quindi, per ogni N N, l insieme p, cos px, sin qx p,q=,...,n èortonormale. Osserviamo che in tutti gli esempi trattati è stato possibile determinare una base ortonormale. Questo è un risultato generale che si può dimostrare in modo algoritmico, come spiegato nel seguente risultato. Proposizione.4 (Metodo di ortonormalizzazione di Gram Schmidt). Sia V 6= { 0 V } uno spazio vettoriale finitamente generato su R munito di prodotto scalare h, i. AlloraesistonoinV basi ortonormali. Dimostrazione. Sia B =(v,...,v n ) una base di V ;vogliamocostruireunabaseortonormalea partire da B. Procediamonelmodoseguente. Passo (). Il vettore u èsemplicementeugualeav : u = v. Passo (). Il vettore u è v meno la proiezione ortogonale di v nella direzione di u,si veda l Osservazione 8.0: hv,u i u = v u u. Si noti che, per costruzione, hu,u i = 0 e L(u,u ) = L(v,v ), quindi u e u sono linearmente indipendenti. Passo (3). Il vettore u 3 è v 3 cui vengono sottratte le proiezioni ortogonali di v 3 nelle direzioni di u e u : u 3 = v 3 hv 3,u i u u hv 3,u i u u. Si noti che, per costruzione, hu 3,u i = hu 3,u i =0e L(u,u,u 3 )=L(v,v,v 3 ),quindi u,u,u 3 sono linearmente indipendenti.. Passo (i). Il vettore u i è v i cui vengono sottratte le proiezioni ortogonali di v i nelle direzioni di tutti i vettori precedenti u,...,u i : u i = v i hv i,u i u u hv i,u i u u hv i,u i i u i u i. Si noti che, per costruzione, hu i,u i i = = hu i,u i =0e L(u,...,u i )=L(v,...,v i ), quindi u,...,u i sono linearmente indipendenti.

6 8 Alla fine otteniamo una base ortogonale (u,...,u n ). Normalizzando i vettori ricaviamo la base ortonormale cercata. Esempio.5. Data la matrice 0 4 A = B 4 A R4,3, 0 vogliamo trovare una base ortonormale per lo spazio W generato dalle sue colonne. Èimmediatoverificarecheletrecolonnesonolinearmenteindipendenti,quindicome base B di partenza possiamo prendere B =(v,v,v 3 ) con v = A, v = 4 4 A, v 3 = 4 A. 0 Seguendo l algoritmo di Gram Schmidt costruiamo la nuova base ortonormale B 0 = (w,w,w 3 ) nel modo seguente. Passo (). Si ha che 0 u = v = A Passo (). alcoliamo il prodotto scalare hv,u i = +4+4 =6. Definiamo poi il vettore / hv,u i u = v u u = B A = B 5/ A. 5/ Passo (3). alcoliamo i due prodotti scalari hv 3,u i =0e hv 3,u i = definiamo il vettore / hv 3,u i hv 3,u i u 3 = v 3 u u u u 3 = A 0 A + 4 B 5/ 5/ A = 0 5/ oncludiamo normalizzando i 3 vettori, quindi la base ortonormale di W cercata è / / / p w = u u = /A, w = u u = B / A, w 3 = u 3 u 3 = B 0 / / / p A Il lettore verifichi che la base B 0 così ottenuta è effettivamente ortonormale. 0 e 0 0 A.

7 L importanza e utilità delle basi ortonormali è data dalla seguente proposizione. Proposizione.6. Sia V uno spazio vettoriale su R munito di prodotto scalare h, i. Se{ v,...,v n } V èuninsiemeortonormale,allora: (i) v,...,v n sono linearmente indipendenti; (ii) se V èfinitamentegeneratoedim R (V )=n, allorab =(v...,v n ) èunabase ortonormale di V esihav = hv, v iv + + hv, v n iv n per ogni v V. Dimostrazione. Per definizione { v,...,v n } V èuninsiemedivettoriortonormaliseesolose ( 0 se i 6= j, hv i,v j i = se i = j, quindi, se v + + n v n =0èunarelazionedidipendenzalineare,siha 0=h0,v j i = h v + + n v n,v j i = hv,v j i + + n hv n,v j i = j. 9 In particolare v,...,v n sono linearmente indipendenti. Se V èfinitamentegeneratoedim R (V )=n, perlaproposizione6.7,seguecheb èunabase di V. In particolare per ogni v V esistono,..., n R tali che v = v + + n v n.quindi per ogni j =,...,n. hv, v j i = h v + + n v n,v j i = hv,v j i + + n hv n,v j i = j Il coefficiente hv, v j i viene detto coefficiente di Fourier (di v rispetto a v j ). Esempio.7. Si consideri lo spazio R 3 munito del prodotto scalare h, i definito nell Esempio.5. I tre vettori v = (,, ), v 3 = (,, ), v 3 3 = (,, ) 3 formano un insieme { v,v,v 3 } ortonormale, quindi B =(v,v,v 3 ) èunabasedi R 3. Sia v =(,, ) R 3.Allorahv, v i =5/3, hv, v i = hv, v 3 i =/3: quindi,come èanchefacileverificaredirettamente,risulta v = 5 3 v + 3 v + 3 v 3..3 Matrici ortogonali In questo paragrafo introduciamo un importante famiglia di matrici quadrate invertibili. Definizione.8 (Matrici ortogonali). Una matrice P R n,n si dice ortogonale se vale l uguaglianza t PP = I n. Osservazione.9. Sia P R n,n ortogonale.. La matrice identità I n èortogonale;ancheognimatriceottenutadai n cambiando segno a una o più delle sue entrate è ortogonale.

8 0. Poiché t PP = I n,seguechep èinvertibileep = t P : in particolare si ha anche P t P = I n.inmanieraanalogasidimostrachesep t P = I n allora anche t PP = I n,cioèp èortogonaleseesolosep t P = I n. 3. Si ha =det(i n )=det( t PP)=det( t P )det(p )=det(p ),dunque det(p )=± : quanto osservato sulla matrice identità ci permette di affermare che esistono matrici di entrambi i tipi. 4. Poiché la riga i esima di t P èlacolonnai esima P i di P,lacondizione t PP = I n si può leggere dicendo che il prodotto scalare standard dell Esempio.5 delle colonne P i e P j di P è i,j :inaltreparoleunamatriceèortogonalesee solo se le sue colonne sono un insieme ortonormale, rispetto al prodotto scalare standard, di n vettori di R n. 5. Identificando R,n con R n tramite la trasposta, si verifica in maniera simile che la condizione P t P = I n equivale a dire che le righe di P formano un insieme ortonormale di n vettori di R n rispetto al prodotto scalare standard. Le matrici ortogonali si dividono, quindi, in due classi non vuote, quelle con determinante e quelle con determinante. Definizione.0 (Matrici ortogonali speciali e non speciali). Una matrice ortogonale P R n,n si dice speciale se det(p )=, non speciale se det(p )=. Esempio.. Le matrici di R 3,3 0 0 P A, P 3 3 A, sono ortogonali. La prima è non speciale, la seconda speciale. Esempio.. Determiniamo tutte le matrici ortogonali di ordine due; sia p, p P =, R, p, p, ortogonale. La condizione P t P = I si traduce nel sistema 8 >< p, + p, = p, p, + p, p, =0 >: p, + p, =. La prima e la terza equazione implicano l esistenza di #, [0, ] tali che p, =cos#, p, = sin #, p, =sin, p, =cos.

9 La seconda equazione è allora equivalente a 0=cos# sin sin # cos =sin( #). In particolare, a meno di multipli di, sideveavereo = # ovvero = # +. Nel primo caso cos # sin # P =, sin # cos # (e P èortogonalespeciale);nelsecondo P = cos # sin # sin # cos # (e P èortogonalenonspeciale). oncludiamo l esempio con un interpretazione geometrica delle matrici ortogonali speciali: consideriamo nel piano due sistemi di riferimento O~ı~ e O~ı 0 ~ 0 esia l angolo misurato in senso antiorario fra i versori ~ı e ~ı 0. Allora si deve avere ~ı 0 = a~ı + b~, ~ 0 = c~ı + d~ e si ha, per la Proposizione.6, a = h~ı 0,~ıi =cos', b = h~ı 0,~ i =sin', c = h~ 0,~ıi = sin ', d = h~ 0,~ i =cos'. Se ora consideriamo ~v = x 0 ~ı 0 + y 0 ~ 0 = x~ı + y~, sostituendoleespressioniottenute sopra di ~ı 0 e ~ 0 in funzione di ~ı e ~,tenendocontoche(~ı, ~ ) èunabasediv (O), si ottiene x 0 cos ' sin ' x y 0 =. sin ' cos ' y oncludiamo che le matrici ortogonali speciali di ordine due corrispondono alle rotazioni nel piano. Per questo spesso indichiamo con R ' la matrice cos ' sin ' sin '. cos ' Nella figura. qui sotto vediamo un sistema Ox 0 y 0 ottenuto da Oxy con una rotazione.

10 y x' y' v O ϕ x Figura. Un analoga interpretazione può essere data per matrici ortogonali in R n,n con n > 3.