(3k + 2)! (26) [(3k+l)!!!]3. Come 9ià fatto notare per la formula di Wallis, la convergenza verso il

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1 uttavia 'espressione generae assume una forma preferibie perché più compatta sostituendo nea (4) k a (k) con i che S ottie ne: m im k (kn+)(n)! (kn)(n)! [( kn+ ) (n)!] (5) Specificando a (5) per n = e tenendo presente che (k)!!!' ( ).(k+)!!! (k+)!!! = (k+)! (ave i simboo i!! sta per!)si ottiene: (k + )! (6) [(k+)!!!] Come 9ià fatto notare per a formua di Wais a convergenza verso i imite dee successioni (5) e (6) è moto enta. II.. L'integrazione dee FG di ordine e 4. Nee tabee II e III è riportata una sceta di integrai indefini t1 ' 16). concernent1 e FG di ordine rispettivamente e 4. In particoare 16) Come già accennato in precedenza 15) per ragioni di sempicità non è indicata a costante di integrazione impicitamente contenuta in ogni integrae indefinito. Ne segue che quando per un certo integrae sono riportate due o più funzioni esse differiscono tra oro per una costante.

2 4 sono riportati gi integrai di tutti que monomi che mediante e formue di ricorrenza descritte ne II.1 permettono di risaire a' integrae di un quasiasi monomio in e. Per 'ordine 4 praticamente tai monom esauriscono a tabea mentre per 'ordine sono riportati anche pareccchi atri integrai di tipo più compicato in quanto e corrispondenti FG a causa dee oro notevoi proprietà di simmetria risutano essere assai più "versatii" per quanto rguar da 'integrazione. In ogni caso è evidente che e tabee suddette hanno soprattutto un vaore indicativo e che una trattazione esauriente de'integrazione dee FG di ordine e 4 richiede uno studio ben più approfondito. ornando di nuovo agi integrai riportati nee tabee si noterà che in essi otre ae funzioni eementariae stesse FG e ae oro funzi oni inverse (i nd ica te impropri amente con a notazione "arc": si veda a proposito i 1 di I) si trova una nuova funzione indicata con i simboo (e con un indice o 4 che si riferisce a J 'ordine ma che in certe circostanze potrà essere omesso senza generare am In particoare considerando monomi di FG di ordine S vede

3 5 che tae nuova funzione deve essere introdotta soo per 'integrazione dea funzione ; e ciò non deve sorprendere in quanto (cf. eq. (18) e sostanziamente una ~u di Weierstrass ed è ben noto che per 'integrae f ~u du si richiede una nuova funzione trascendente indicata con ~u. Ne contesto dee FG 'introduzione dea çu (singoare ne 'origine) non è conveniente ed è megio sostituira con un'atra funzione J (x) definita appunto come 'integrae di per 'ordine : (7) Daa definizione (7) considerata insieme a egame tra FG di ordine e funzioni di Weierstrass equianarmoniche 17) si trova: J (x) 1 ç(uidi)+(x)(x) I 1m ove u = x+rn 1 e a costante che figura a secondo membro asscura a condizione di normaizzazione J (0) = o. In manera anaoga per e FG di ordine 4 S definisce: 17 ) Ricordiamo che per e due costanti nn' caratteristiche d"e funzioni di Weierstrass e abbondantemente citate da ricomi ) ne caso dea fu equianarmonica con g = 1 si ha n = * n m e

4 6 J 4 (X) = r X ( ) b 4 Y (y)dy 4 (8) e i egame con a ~(x4o) e i seguente 18) ) 4(x) f~(x[4o) (x) ] (9) ( x). ' Poiché come già accennato nee tabee figurano anche e funzioni inverse dee FG per esse S deve fare attenzione a probema dea determinazione dei oro vaori anche per argomento reae; per non appesantire e tabee a ricerca dea corretta determinazione di tai fun zioni é asciata a 'attenzione de ettore. In termini di integrai e ittici e suddette funzioni inverse corrispondono ad integrai di pri ma spec1e. Quando tai funzioni figurano come argomento dea funzione ~ ciò significa che entrano in gioco anche integrai eittici di seconda specie. Nei casi sempici presentati nee tabee II e III non figurano integrai eittici di terza specie; tuttavia ess1 verranno (per 'ordine 4) neo studio degi integrai dee FG inter este se (v. prossimo paragrafo). 18) Sfruttando i egame tra e funzioni di Weierstrass con g = 4 g = O e quee con 9 = g = O (che risuta essere un caso particoare dea trasformazione di second'ordine sui periodi estesamente discussa in I) si può esprimere )4 anche in termini di ~(xo).l'ar90mento verrà ripreso in forma più generae ne prossimo paragrafo.

5 7 B E L L II INEGRLI CGN[NENI Lé FG DI ORDINE. ''a...~ =.' ~. i ') '1 " (+) ; ( j ;d.x og(+).'. ~v =' j '.. ' dx = '1 (x) o àx <Ix :: (/.." ) è>'. = '1 ~. ~ ( J.. cix = C v '0 0 o ". J 1+'>. r dx? og + / 1+~ arctg I = t arctg 1+::'1 Sdx = o ' ùg / c ''et" _ ~.... ~ ~_.... og ; I J cix og 5. è>: r = " 5 I 5 dx ' J '... ' 1 J :~.. "dx =.."..\. ~ ~+'f ". dx t (+)L + +5 ( Jx ('Ù7. 15 GX _ 1 (::y? or L ex (x ) i dx I+S = (x +1 ). ( I ex [+1/5 ] _/. + L... \... + ).... '::;'~.~. ;'.:... ) ".. +(j ' '.:' '" I C:.:.' '... :..~.. + :cg\ t±. ). x "'~ J (... :\r'i'.. '''' J. L J C" '.... '. '. \. "1 ~... )? ". ')..... x ~ dx 10g C.+ " 1 (O t I './i og' x+(x) 1+ ""; '? L ~J? / ~ (x ) x '...

6 fare (x)dx x are (x) 8 [ (x) og x+(x ) 1 aretgj [ x 1/] 1 /. fare S(x)dx = x are S(x) [ 1/ og (+x) xj aretg 1 1! dx = 4/ r. J ~ / i og(1 (+»+ og(+) (P +/ / / r.: dx= og(1 (+»+ og(+) () v _ i " I aretg (1+ (+» 1 f 1/ dx / are 1/ f dx = / are ( 1/ ) dx = / ~ /] 1/ / are L S; f dx = are / S J J f S/dx / 1/ are ( + ) / J ; fs 1/ dx_ I / 1/ 1 J arc(+) 1/ j() dx= arcsn / / 1/ ~ aretg S ;f() 1/ 11 [4/'~ ] dm = ' are(+) ~ ' 1/ 1 ( )() 11 41} ( L/ 1/ ; dx= arc+) ); f dx = 4/1 r / I) (are _. f 1/ / / ~ dx= tgh ( )= eosh ( ); f 1/ dx= / 1 ' tgh ( )~ )"osh ( ) i? 1/ 1/ r 4/ ] 1/ 1/ IL / J : (+) dx = are _ (+) ;f(+) dx= eosh (+) / 5/ 1/J ('. r 4/ 1) 5/ 1/! (+) dx= are.? (+)";f (+) dx=() (+)! 1/ 1/ j()(+) dx (+) f 1/ ; ( +1) dx=./ / V ( + )() V + og + aretg''''::_.i V ( + ) + ()

7 9 I 1/ 1/! ( ) dx= /4 1. aretg /i 1 / 4 ( _ )1/ I()(+) +tgh / 1/4( 1/ ) ) I() + (+) fare (x)dx x are (x) J [are (x)]

8 0 B E L L III INEGRLI CONENENI LE FG DI ORDINE 4 1 f dx = 1 are 5 ( r 1 / J dx = 7 are 5 ( ) 1 dx f f dx = S j 5 dx og(+ )og og(+ )+og ; og 5 f dx = are Sin " arcos? ( +)dx : aretg 1 ' 1 ; f ( )dx = ;z tgh = k+ k+ f k dx k+1 k+ (k " 1) 4 4 dx = og ' dx 101'. ; f cix = (x); f( )cix = J r f :J.. ~? j ' cix =1~ [are S( / ] / '1 ; /:qare 5( )i ) f dx J cix f cix 5 f Z 5 cix = r( f( 1 _. + )cix = tgh ; + )cix tgh f( 4 (x); f cix : (x) )dx are ti'. f(.._) cix aretg cix f (+) ( cix.; (±) ±10g(±5) ; cix J (±) +og(± ) S x ± f cix + f cix ; + = x + " f dx + I+ (cix J ± x + J 1+ ; x 1±

9 1 BELL IV INEGRLI CONENENI LE FG ESESE DI ORDINE 4 f d" =.f? _ 1/4 1/4 1 h(.) () are S( O) +. 1/4 1/ (>._1) 1) Sh ( +À 1 O) ([I<1) ([. [> 1) J dx _ 1/4 1 1/4 /() = 1 (.) are S( O) +. (.<) JS dx = og(1+ +. )10g 1; dx f (1+1 + )+Iog ; = og S ( ( +. ) = /0+~ 1 (!c>i) ; ~rf~; tgh Z/(.i) i(i ) 1 IzO.) tgh I h() + ( dx = 1 ( +. ) ; J Idx = 1 (1') (1 +. ) (.# ±I) og fdx; ( j ::dx og. f dx ; f dx j 4 (x)

10 I ( 4 4 ( )dx 4 4 ; f( + )dx x)) (x) f 4 ' S fs dx= (1) ) 1(x)\(+x) 1 /4(. f dx (1\) J 4 \arc S( 1/4. n(1))'' +)' '\ I O) io/ ( +)) 1+(1_))4 f ; /4" (. dx (1)).)4 \arc S( 1/4 1(1» I ")' ( +)" ) 1+(1))4 [N. B Per sostituire 1/4 (\ ) con e are S con 5h h ( I J dx )j dx; f dx ( +) )fdx) ; f dx ~o( (1_)) +À +)fdx) I dx 4 4 ( ) + _. (I dx (1) )' 1/4 r 1/4 (1)) arctgl(1\) J /4 _ ' /!... () ;=(1)) tgh ~(i).'11(+) ( jdx 1/4 " 1/4 1/4 r i":> (1)) arctgl(1)) 1();=(1)) q~h i () ''i\+) ( per 1)1<1);. i" /I' () ]) '0 ) i )= / arctg! 1h~i1 I C);= ' 1/4 ' VL" ()L) 11/(\'1) ":1 / tgh t 1+1>/::1' '['" (+)

11 Si noti anche che gi integrai esprimibii come funzioni dea soa S hanno o stesso aspetto per gi ordini e 4; tae fatto è un'immedia ta conseguenza dee () e S verifica per tutti ~i ordini (e anche per e FG estese di ordine 4 trattate ne pross1mo paragrafo). Per e proprietà di simmetria dee FG (e dee funzioni ~u di Weierstrass) anche e funzioni J definite in precedenza godono di acu ne interessanti proprietà: su di esse torneremo in un contesto più gene rae ne prossimo paragrafo. II.4. L'integrazione dee FG estese di ordine 4. Come già richiamato ne 'introduzione di questo avoro. una descrizio ne competa dee funzioni eittiche si può ottenere in termini dee FG estese di ordine 4 caratterizzate da un parametro (esse riproducono e FG ordinarie per À = O e e funzioni trigonometriche e iper bo iche per À rispettivamente ugua i a +1 e (casi degeneri)). E' quindi immediato porsi i probema di generaizzare e formue di integrazione date precedentemente in modo da coprire i caso di " generico. La prima cosa da fare è di generaizzare e reazioni di ricorrenza (19) e (0) che permettono di variare sotto i segno di integrae e potenze dei monomi in e per mutipi di 4. Senza sviuppare a dimostrazione riportiamo qui direttamente e formue ottenute:. f D q+4 (11")(p+q+) ' dx = (0)