11 - Taglio. 1. Sezione ad T. Lê2 L Lê2. à Soluzione

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1 11 - aglio ü [A.a : ultima revisione 5 marzo 013] In questo capitolo si studiano alcune sezioni rette soggette a sforzo di taglio, si utilizza la formula di Jourawsky per tracciare il diagramma delle relative tensioni tangenziali, si deduce il fattore di taglio e si localizza il centro di taglio 1. Sezione ad L L Lê L Lê Figura 1 - Una sezione compatta a Disegnare il diagramma delle tensioni s 3, e calcolare il valore della s 3 massima à Soluzione 1. Calcolo baricentro - Il baricentro della sezione sara' situato sull'asse di simmetria verticale. Per identificare la sua altezza, si calcola l'area A della sezione, ed il momento statico S 1 rispetto ad un asse orizzontale passante per la base inferiore. Sara': A = 3 L S 1 = LL L+ L da cui l' altezza del baricentro : + LL L = 7 L3 (1) y = S 1 A = 7 6 L ()

2 aglio.nb. Calcolo momento d' inerzia baricentrico dell' intera sezione - Si calcola il momento di inerzia della sezione considerandola come costituita da un rettangolo superiore di base L ed altezza L, e da un quadrato inferiore di lato L. Per ciascuno di essi si calcola il momento baricentrico, e si aggiunge il momento di trasporto: I 11 = L L3 1 + LL 3 L 7 6 L + L L3 1 + LL 7 6 L L = 11 1 L4 3. Calcolo del momento statico della parte di sezione sottostante la corda generica, rispetto all'asse orizzontale baricentrico: Se la corda generica A, a distanza x dal baricentro, interseca il rettangolo superiore, allora il momento statico dell'area S' rispetto all'asse x 1 baricentrico e' fornito da: (3) S 1 ' = LL 7 6 L L L L L L L L x x = 5 L3 36 L x (4) mentre se la corda interseca il quadrato inferiore, si ha: S 1 '' = L 7 6 L x L x + x = 49 L3 7 L x Ne segue che la tensione tangenziale s 3 e' fornita, nei punti del rettangolo superiore, da: σ 3 = S 1 ' I 11 L = I5 L 36 x 66 L 4 mentre nei punti del quadrato inferiore si ha : M (5) (6) σ 3 = S 1 '' M I 11 L = I49 L 36 x 66 L 4 Qualitativamente, il diagramma avra' andamento parabolico, annullandosi agli estremi, con una discontinuita' in corrispondenza dell'attaccatura tra rettangolo e quadrato. Il valore delle tensioni cresce fino all'asse baricentrico, dove il diagramma ha tangenza verticale, per poi decrescere lungo la parte inferiore della sezione. Il valore massimo della tensione si raggiunge sulla fibra superiore del quadrato, dove x = Lê6 : σ 3 max = 8 (8) 11 L mentre lungo la fibra inferiore del rettangolo vale la meta' di questa. In corrispondenza della fibra baricentrica, si ha x = 0, e quindi: (7) σ 3 bar = 5 66 L Il diagramma si presenta come : (9)

3 11 - aglio.nb 159 L L X Lê L Lê Figura - Il diagramma delle s 3. Sezione ad s s Figura 3 - Un profilato a Per la sezione di Figura 3, calcolare la tensione tangenziale massima nell'ala e nell'anima

4 aglio.nb à Soluzione 1. Calcolo baricentro - Il baricentro della sezione sara' situato sull'asse di simmetria verticale. Per identificare la sua altezza, si calcola l'area A della sezione, ed il momento statico S 1 rispetto ad un asse orizzontale passante per la base inferiore. Sara': A = s S 1 = s K+ s O+ s = s + K+ s O s da cui l' altezza del baricentro : (10) y = S 1 (11) A = 1 3 +sl 4. Calcolo momento d' inerzia baricentrico dell' intera sezione - Si calcola il momento di inerzia della sezione considerandola come costituita da un rettangolo superiore (ala) di base ed altezza s, e da un rettangolo inferiore (anima) di base s ed altezza =. Per ciascuno di essi si calcola il momento baricentrico, e si aggiunge il momento di trasporto: I 11 = s s +sê y L + s s y = (1) 4 s I5 + 6 s+5 s M 3. Calcolo della massima tensione tangenziale nell'ala - Il massimo valore della tensione tangenziale nell'ala si raggiunge all'attacco tra l'ala e l'anima, quindi lungo le corde a-a e b-b. Si calcoli allora il momento statico dell'area S' ombreggiata rispetto all'asse orizzontale baricentrico: a a b b s X s Figura 4 - Il calcolo della tensione all'attacco tra ala ed anima

5 11 - aglio.nb 161 S 1 ' = s s K+ s y O = 1 8 sl s +sl (13) Ne segue che la tensione tangenziale s 3 e' fornita, nei punti delle corde a-a e b-b, da: σ 3 = S 1 ' I 11 s = 3 sl +sl I5 + 6 s+5 s M s (14) 3. Calcolo della massima tensione tangenziale nell'anima - Il massimo valore della tensione tangenziale nell'anima si raggiunge in corrispondenza della corda barcentrica c-c. Si calcoli allora il momento statico dell'area S' ombreggiata rispetto all'asse orizzontale baricentrico: s c c X s Figura 5 - Il calcolo della tensione massima nell'anima y S ' 1 = s y = 1 s 3 +sl 3 Ne segue che la tensione tangenziale s 3 e' fornita, nei punti della corda c-c, da: (15) σ 3 = S 1 ' I 11 s = 3 3 +sl 4 I5 + 6 s+5 s M s (16)

6 aglio.nb 3. Sezione a tre rettangoli L L L L L L L Figura 7 - Una sezione compatta costruita assemblando tre rettangoli Disegnare il diagramma delle tensioni s 3, e calcolare il valore della s 3 massima Si suddivide la sezione nei tre rettangoli di Figura 8, la cui area e momento di inerzia baricentrici sono, rispettivamente : A 1 = L LL3 ; I 1 = L 1 A = 6 L LL3 ; I = 3 L 1 (17) A 3 = L ; I = L L Calcolo baricentro - Il baricentro della sezione sara' situato sull'asse di simmetria verticale. Per identificare la sua altezza, si calcola l'area A della sezione, ed il momento statico S 1 rispetto ad un asse orizzontale passante per la base inferiore. Sara': A = 10 L S 1 = A 1 L+A L+ LL+A 3 da cui l' altezza del baricentro : y = S 1 A = 9 10 L L + 4 L = 9 L3 (18) (19)

7 11 - aglio.nb 163 L 3 L L 1 L L L L Figura 8 - La sezione di Figura 7 vista come insieme di tre rettangoli. Calcolo momento d' inerzia baricentrico dell' intera sezione - Si calcola il momento di inerzia della sezione considerandola come costituita dai tre rettangoli di Figura: I 11 = I 1 + A 1 y LL + I + A y 3 LL + I 3 + A 3 y 4 L L = L4 (0) 3. Calcolo del momento statico della parte di sezione sottostante la corda generica, rispetto all' asse orizzontale baricentrico. Occorre distinguere tre casi: Caso A - La corda interseca il rettangolo superiore. Calcolando, per semplicita', il momento statico del complemento di S' si ha: S 1 ' = L h d ' = L h x + h dove l'altezza h e' fornita da : h = 5 L y x = 441 L3 100 L x (1) ()

8 aglio.nb L a ' a h x X y L L L Figura 9 - Caso A - La corda taglia il rettangolo superiore Caso - La corda interseca il rettangolo centrale. Si ha: S 1 '' = A 1 y LL+3 L h x + h = 1003 L L x (3) con : h = y L x (4) L a X a x h y L L L Figura 10 - Caso - La corda taglia il rettangolo centrale Caso C - La corda interseca il rettangolo inferiore. Si ha: S ''' 1 = L y x L Kx + y x O = 841 L3 00 L x (5)

9 11 - aglio.nb 165 L a X a y x L L L Figura 11 - Caso C - La corda taglia il rettangolo inferiore 4. Calcolo della tensione tangenziale. Nei tre intervalli in cui la corda e' costante si ha, rispettivamente: σ 3 = σ 3 = σ 3 = S 1 ''' S' 1 I 11 L = L I441 4 L 100 x M S'' 1 3 I 11 L = L I L 300 x M I 11 L = L 4 I841 L 100 x M e quindi il diagramma si presenta come in Figura 1. (6) (7) (8) 5. Calcolo dei valori notevoli Il valore massimo viene attinto sulla corda che separa il rettangolo inferiore dal rettangolo centrale, e vale: σ 3 max = S 1 ''' I 11 L x = y LL = L 0.49 L (9) Significati sono anche i valori sulla corda baricentrica e sulla corda che separa il rettangolo centrale dal rettangolo superiore: σ 3 bar = S'' 1 3 I 11 L x = 0L = L 0.11 L (30) σ 3 sup = S' 1 I 11 L x = y 4 LL = L L (31)

10 aglio.nb L L L L L L L Figura 1 - Il diagramma delle s 3 6. Verifica dell'equilibrio La risultante delle tensioni dovra' essere pari alla forza di taglio applicata. Ed infatti si puo' verificare che: 5 L y 3 L 4 L y 9140 L I441 4 L 100 y M y+ 4 L y 3 L L y 9140 L I L 300 y M y+ L y 3 L y 9140 L I841 4 L 100 y M y = = (3)

11 11 - aglio.nb Sezione a tre rettangoli L L L L L L Figura 13 - Una sezione compatta Le coordinate del baricentro sono note: x = L y = L Il momento di inerzia dell'intera sezione rispetto all'asse orizzontale baricentrico e' allora fornito da: + (33) I 11 = L L3 1 + L L L+ L (34) LL3 4 L + L L L L L+ L = 1 L 4 Se la corda interseca i due rettangoli superiori, il momento statico dell'area ad essa sottostante, rispetto all'asse orizzontale baricentrico sara' fornito da: S 1 ' = L L x L x + L x mentre se interseca il rettangolo centrale si avra': = 4 L 3 L x (35) S 1 '' = L L L+ L + 4 L L x L x + L x L Se infine la corda interseca il rettangolo inferiore, si avra' : = 5 L 3 L x (36) S 1 ''' = L 3 L x L x + 3 L x 4. Calcolo della tensione tangenziale. = 4 L 3 L x (37) Nei tre intervalli in cui la corda e' costante si ha, rispettivamente:

12 aglio.nb σ 3 = σ 3 = S 1 ' I 11 L = 4 L x 4 L 4 S 1 '' 3 I 11 L = 5 L x 48 L 4 (38) (39) σ 3 = S 1 ''' I 11 L = 4 L x 4 L 4 e quindi il diagramma si presenta come : (40) L L L Figura 14 - Il diagramma delle s 3 Si noti la simmetria del diagramma, dovuta al fatto che i due rettangoli superiori possono riguardarsi come un singolo rettangolo di base L, eq uindi equivalente al rettangolo inferiore. 5. Calcolo dei valori notevoli Il valore massimo viene attinto sulle corde che separano il rettangolo centrale dai corpi inferiore e superiore, e vale: S 1 ' σ 3 max = I 11 L x = LL = S 1 ''' Significativo e' anche il valore sulla corda baricentrica: I 11 L x = LL = 8 L = 0.15 L (41) 6. Verifica σ 3 bar = S'' 1 4 I 11 L x = 0L = 5 48 L L (4) 4 L y 4 L y 3 L y 5 L y L y + 4 L y = 3 L y 4 L 4 L y 48 L = (43)

13 11 - aglio.nb Sezione quadrata sollecitata lungo una diagonale A C X D Figura 15 - Una sezione quadrata sollecitata lungo la diagonale (da Cavallina - D'Anna) Si tracci il diagramma delle tensioni tangenziali utilizzando corde parallele all'asse orizzontale Soluzione - Il baricentro e' immediatamente calcolabile, essendo situato all'incrocio delle due diagonali. Il momento di inerzia dell'intera sezione rispetto all'asse baricentrico puo' calcolarsi riguardando la sezione come somma dei due triangoli AC ed ACD. Si ha allora: I 11 = L 3 = 4 3 (44) Il momento statico dell'area sottostante ad una generica corda appartenente al triangolo inferiore si puo' scrivere: S ' 1 = b x L d ' = b x L x x L = b 6 x L + x L e quindi le tensioni su quella corda valgono : (45) σ 3 = 4 x L + x L (46)

14 aglio.nb a X ' a x x b Figura 16 - Il caso della corda parallela all'asse orizzontale Le tensioni s 3 raggiungono il valore massimo in corrispondenza del punto di tangenza verticale, ossia dove si annulla la derivata: d S' 1 dx b = d dx e quindi in /4. Su tale corda si ha: 9 σ 3 max = 16 laddove la tensione sulla corda baricentrica vale : 1 6 x L + x L = x L σ 3 bar = 1 Infine, il diagramma si viene a completare per simmetria nella parte superiore : (47) (48) (49) A C ê4 ê4 X D Figura 17 - Il diagramma delle s 3 Il diagramma delle s 13 - Sui punti del contorno la tensione tangenziale dovra' essere tangente al contorno

15 11 - aglio.nb 171 stesso, quindi dovra' essere: σ 13 = σ 3 lungo i bordi A e AD, e (50) σ 13 = σ 3 (51) lungo i bordi C e CD. Infine, la s 13 variera' linearmente lungo la corda, annullandosi sull'asse verticale. Nel punto generico della generica corda relativa al triangolo inferiore, la tensione tangenziale sara' diretta verso il punto D, mentre nel generico punto della generica corda relativa al triangolo superiore, la tensione tangenziale sara' diretta verso il punto. A σ 13 C σ 13 σ 3 σ t σ t σ t σ 3 D Figura 18 - Il quadro tensionale completo delle s t 6. Sezione quadrata sollecitata lungo una diagonale m l A m l C D Figura 19 - La stessa sezione, caso delle corde parallele ai lati Si suddivida lo sforzo verticale nelle due componenti l e m secondo i lati C ed A. Si tracci il dia-

16 aglio.nb l m gramma delle tensioni tangenziali in presenza di m, utilizzando corde parallele al lato C. Soluzione - Il momento statico dell'area tratteggiata rispetto all'asse l e' fornito da: m l a A m D l a m L m L C Figura 0 - Il calcolo del momentoi statico rispetto all'asse l S ' l = L L m m+ 1 L m = L 8 IL 4 m M e quindi la tensione s 3 m e' fornita da: (5) σ 3 m = m S l ' I 11 L = S' l I 11 L = 3 L 4 IL 4 m M = 6 L 4 L 4 m (53) Ripetendo l' analisi in presenza di l, ed utilizzando corde parallele ad A, si ottiene un identico risultato, e sovrapponendo gli effetti si ha una tensione tangenziale diretta secondo la verticale, che equilibra la forza verticale, e pari a: σ 3 = 3 L 4 L x (54)

17 11 - aglio.nb Sezione triangolare Figura 1 - Una sezione a triangolo isoscele Le coordinate del baricentro sono ben note, cosi' come e' noto il valore del momento di inerzia I 11 rispetto all'asse baricentrale: I 11 = 3 36 (55) Resta da calcolare il momento statico dell'area sottostante la corda generica rispetto allo stesso asse. In questo caso, e' preferibile calcolare il momento statico dell'area sovrastante la corda, e considerare che esso e' l'opposto del momento statico desiderato: S 1 ' = 1 b 3 +x d ' = 1 b 3 +x 1 3 x x 3 = b 7 3 x L +3 x L (56)

18 aglio.nb ' 3 x Figura - Il calcolo del momento statico Ne segue l' espressione della tensione tangenziale: 4 σ 3 = x L +3 x L e quindi l' andamento del diagramma risulta parabolico : (57) X Figura 3 - Il diagramma delle s 3 Per il calcolo del massimo valore delle s 3, si identifica la corda su cui il diagramma presenta pendenza verticale: d S' 1 = 0 dx b ossia si calcola il valore di x per cui: d 3 x L +3 x L = 0 dx (58) (59)

19 11 - aglio.nb 175 ossia: x max = 6 (60) Ne segue il valore della tensione tangenziale massima : σ 3 max = 3 In corrispondenza della corda baricentrica si ha un valore leggermente inferiore: (61) σ 3 max = 8 3 (6) 3 ê6 X 8 3 Figura 4 - I valori notevoli L' andamento delle tensioni s 13 - Su ciascuna corda orizzontale la tensione s 13 varia con legge lineare. Agli estremi, la tensione tangenziale s t e' diretta secondo il contorno, e quindi nel punto di sinistra si ha: σ 13 sin = σ 3 an@α 1 D dove a 1 e' fornita da: (63) α 1 = Arcan F (64) Nel punto di destra si ha : σ 13 des = σ 3 an@α D = σ 13 sin (65) In mezzeria, evidentemente, la s 13 si annulla. In ogni altro punto della corda, la tensione s t e' diretta verso il vertice del triangolo. à Calcolo à Calcolo

20 aglio.nb 8. La sezione a C Si consideri la sezione retta a forma di C, illustrata in Figura 5, con ali larghe e con anima alta. Lo spessore delle ali sia pari a t, lo spessore dell'anima sia d. La sezione sia soggetta a forza di taglio baricentrica diretta lungo l'asse X, sicche' l'asse neutro flessionale coincide con l'asse. d t ê ê X t Figura 5 - La sezione retta a C soggetta a taglio verticale à Lo stato tensionale nelle ali Considerando la sezione come un insieme di tre rettangoli, si inizi a determinare lo stato tensionale tangenziale nelle ali. Per esse conviene considerare corde parallele all'asse X : data infatti la loro minore lunghezza rispetto a corde parallele all'asse lo stato tensionale su tali corde sara' sicuramente piu' significativo. Scelta allora una corda generica a distanza x 1 dall'estemo di destra dell'ala inferiore, si puo' enucleare subito l'area S' di cui calcolare il momento statico rispetto all'asse baricentrale. Dalla Figura 6 si ottiene subito:

21 11 - aglio.nb 177 d t ê ê X ξ 1 t m t l Figura 6 - La corda parallela all'asse x per il calcolo delle tensioni nelle ali S ' 1 = t ξ 1 t e quindi la tensione s m3 e' fornita da: (66) σ m3 = S 1 ' I 11 b = I 11 tl ξ 1 (67) Si noti che ora l'asse m viene a coincidere con l'asse, quindi la tensione (67) e' pari alla componente cartesiana s 13. Essa varia linearmente lungo l'ala, annullandosi all'estremo, dove x 1 = 0, e divenendo massima all'attacco con l'anima, dove x 1 = -d: σ m3 max = I 11 tl dl (68) L'altra componente di tensione varia con legge quadratica lungo la corda prescelta. Agli estremi la tensione tangenziale t sara' diretta secondo il contorno, e quindi viene a coincidere con la s m3. Ne segue che in tali punti s l3 e' nulla, e di conseguenza l'andamento della s l3 sara' simmetrico rispetto all'asse dell'ala. L'inclinazione dei diagramma sara' dato da: σ l3 l = 1 I 11 b S 1 ' m x = I 11 t x (69) e quindi l'inclinazione sara' nulla (come prevedibile per la simmetria) sull'asse dell'ala, mentre sara' massima per x =, bordo inferiore dell'ala, e per x = - t (bordo superiore dell'anima), dove varra': σ l3 l max = t I 11 Per ottenere l'espressione analitica delle s l3 si inizi col porre: σ l3 = al + bl+c (70) (71)

22 aglio.nb e poi si calcolino i tre coefficienti incogniti imponendo le tre condizioni: σ 13 l = = 0 a 4 + b + c = 0 σ 13 l = t = 0 a t + b t + c = 0 (7) (73) σ l3 l Si ha subito: l = = I 11 t a + b = I 11 t (74) a = ; b = tl; c = I 11 I 11 e quindi la tensione si scrivera': 8 I 11 tl (75) tl σ 13 = l l tl+ I 11 4 con valore massimo lungo l'asse dell'ala pari a: (76) σ 13 max = σ l3 l = t = t 8 I 11 (77) ale valore e' di solito molto basso, rispetto ai valori delle componenti s m3, e pertanto l'effetto delle s l3 lungo le ali e' usualmente trascurato. Lo stato tensionale nell'ala inferiore e' schematizzato in Figura 7, nell'ala superiore e' del tutto analogo. d σ l3max t σ m3max Figura 7 - Lo stato tensionale nell'ala inferiore della sezione a C à Lo stato tensionale nell'anima Lo stato tensionale nell'anima andra' valutato scegliendo corde orizzontali, che hanno la lunghezza minore. Con una corda a distanza x dall'asse si avra', come risulta dalla Figura 8:

23 11 - aglio.nb 179 S 1 ' = t t + d t x I t x M + x = t t + d e quindi, semplificando: t x t+x σ m3 = I 11 tl t d + t x (79) Si noti che ora l'asse e' orientato secondo X, e quindi la (79) coincide con s 3, e che tale tensione varia con legge quadratica lungo l'asse, raggiungendo il suo massimo in x = 0: σ m3max = I 11 tl t d + t (80) In corrispondenza dell'incrocio tra ali ed anima si ha x = - t, e la tensione vale: d t ê l x ê m X ξ 1 t Figura 8 - La corda parallela all'asse x 1 per il calcolo delle tensioni nell'anima σ m3 t = tl t I 11 d (81) Si ha quindi il diagramma di Figura 9. Da esso si osserva come sia spesso possibile assimilare il diagramma delle tensioni tangenziali ad un rettangolo, trascurando il contributo delle ali ed assumendo una distribuzione costante di tensioni tangenziali, pari a: σ m3max = tl d La componente di tensione s l3 e' ovunque nulla nell'anima. (8)

24 aglio.nb Il fattore di taglio Il fattore di taglio puo' essere valutato approssimativamente trascurando il contributo delle ali, e quindi utilizzando la (8). In tal caso si ha una energia di deformazione pari a: L t = 1 V' V = σ 3 e volendo porre l'energia nella nota forma: d l tl d = tl d l tl d (83) t X t Figura 9 - Il diagramma delle tensioni s 3 nell'anima L t = κ l A si giunge all'espressione approssimata del fattore di taglio: A κ = tl d e quindi il fattore di taglio e' pari al rapporto tra l'area totale A della sezione e l'area dell'anima. (84) (85) à Il centro di taglio L'ala inferiore e' soggetta ad una distribuzione triangolare di tensioni, la cui risultante puo' calcolarsi come: r1 = σ 13 A ξ (86) e quindi, trattandosi di un diagramma triangolare: r1 = t dl σ 13 max = t 4 I 11 dl tl (87) Nell'ala superiore la risultante delle tensioni tangenziali e' uguale e contraria, in quanto i momenti statici cambiano di segno. Infine, la risultante delle tensioni tangenziali nell'anima, utilizzando la (8), e' pari a,

25 11 - aglio.nb 181 ed e' diretta secondo l'asse baricentrale dell'anima. Complessivamente, quindi, le tensioni agenti sono equivalenti ad una forza applicata nel baricentro dell'anima, e ad un momento torcente dovuto alle due forze risultanti nelle ali, e tale momento torcente e' pari a (Figura 30): f3 M t f = C X f1 δ X Figura 30 - Le risultanti delle tensioni tangenziali ed il centro di taglio M t = r1 tl = t 4 I 11 dl tl (88) ale sistema di forza piu' momento torcente puo' infine ridursi alla singola forza traslata, rispetto alla sua posizione originaria, di una quantita': d t = M t (89) Indicando con d la distanza del baricentro dall'estremo esterno dell'anima si ha che la coordinata x C1 del centro di taglio puo' calcolarsi come x C1 = δ d + t 4 I 11 dl tl (90) mentre per la simmetria della sezione sara' sicuramente x C = 0. Se non passa per il centro di taglio occorrera' aggiungere alle tensioni tangenziali calcolate in questa sezione anche le tensioni tangenziali da torsione. Figure

26 aglio.nb rafici