Matematica finanziaria classica

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1 Matematica finanziaria classica Ogni disciplina scientifica identifica come proprio oggetto di studio alcune quantità fondamentali: la meccanica classica, ad esempio, misura e studia il movimento; la medicina fa lo stesso con l'essere umano; la matematica (questo è davvero complicato da dire), i "numeri". Ora, l'economia di che cosa si occupa? Non ho idea di quanto questa definizione sia precisa, ma penso che, in prima approssimazione, sia lecito rispondere che l'economia si occupa di studiare il "valore" delle cose. Questa parola, valore, non è da intendersi in senso assoluto: ogni bene viene richiesto da un certo numero di persone, disposte a pagare un certo prezzo per ottenerlo. Un diverso (a priori) numero di persone desidera invece vendere lo stesso bene, anche qui richiedendo prezzi ipoteticamente diversi tra di loro. Quando le richieste di compratore e venditore si incontrano, avviene una transazione:in un istante T, il signor A cede al signor B il bene X al prezzo Y. Quest'ultima frase mostra esplicitamente quanto poco di oggettivo ci sia nel concetto di valore di un bene, o meglio, quanto poco senso abbia parlare di valore di un bene senza parlare di chi, come, perchè e soprattutto quando viene trattato lo scambio di quel bene. Proprio a riguardo del quando, uno dei primi argomenti che vengono solitamente trattati in finanza classica è il tempo. Il tempo infatti è un bene di consumo allo stesso modo del petrolio o delle arance: a ben pensarci, un rapporto di lavoro non è altro che una compravendita del bene tempo tra due controparti, il datore di lavoro e l impiegato. Certamente si potrebbe obbiettare che questo esempio non è calzante: infatti, se un rapporto di lavoro si limitasse a una compravendita di tempo, la retribuzione oraria dovrebbe essere la stessa per ogni impiegato, mentre invece gli stipendi sono strutturati in base ad esperienza, abilità, etc. Un esempio più calzante è quello del prestito: supponiamo di cedere a qualcuno un importo di! euro per un certo lasso di tempo. Abbiamo la garanzia assoluta che al termine di questo lasso di tempo il nostro capitale " ci verrà restituito del tutto. D altra parte, da oggi fino alla data di scadenza del prestito non potremmo disporre del capitale #: non potendo prevedere il futuro, non possiamo sapere quali possibilità di investimento e quindi di guadagno si presenteranno da oggi fino alla scadenza. Sappiamo però che, nel caso tali opportunità si presentino, noi non potremo sfruttarle, visto che non disponiamo di denaro da investire. Vediamo quindi come, anche nel caso di certezza assoluta di restituzione del capitale, il soggetto ricevente il prestito deve in qualche modo rimborsarci per queste opportunità mancate. Inoltre, più la durata del prestito è lunga, più il campo delle possibili opportunità a cui rinunciamo aumenta: quindi un indennizzo equo dovrà essere in qualche modo proporzionale al tempo dell operazione. In altre parole, il ricevente il prestito sta pagando il prezzo di un tempo. Questo semplice esempio dovrebbe fornire qualche ragione a favore di un assioma della matematica finanziaria classica, noto come Assioma di De Finetti: tale assioma afferma semplicemente che il tempo ha valore positivo. Chiamiamo interesse su un certo periodo di tempo il prezzo del suddetto periodo. Ritorniamo all esempio di prima, questa volta più in dettaglio. Supponiamo che l investitore A necessiti di denaro oggi, al tempo $ %. Chiede quindi all investitore B un importo di, ammettiamo, & euro. A restituirà ' euro al tempo ( ), ossia la scadenza del prestito. B, accettando di finanziare A, si vede quindi privato della possibilità di investire * euro nel tempo che va da +, a -.. Pertanto, richiederà ad A un importo maggiore di / euro al tempo 0 1, diciamo pari a Questo 4 è l interesse, il prezzo di un investimento differito. L esempio è stupido, ma può essere molto istruttivo. A priori, 5 è un numero determinato da: 1) L entità del prestito richiesto (6 euro). 2) Il tempo in cui il denaro viene consegnato (7 8 ) 3) Il tempo in cui il denaro viene restituito (9 : ) 4) Il richiedente del denaro (A) 5) Il fornitore del prestito (B) Idealmente, cambiando ciascuna di queste ipotesi, l interesse richiesto su un prestito potrebbe variare di conseguenza. Cominciamo allora a semplificare ulteriormente le cose: tornando all esempio di prima, rilassiamo 1) come segue: se A vuole 1 euro, dovrà ridare 1 + ;, se vuole 2 euro ridarà 2 < (1+=) euro, etc In sostanza stiamo dicendo che l interesse ha una relazione moltiplicativa con l entità dell importo prestato: se > è l entità del prestito, alla fine del periodo A paga

2 ?<(1 B, C D, E F )) Mettiamo anche un altra assunzione semplificativa: l affidabilità del creditore e le esigenze del debitore non sono tenute in conto (abb vero per la seconda, molto semplificativo per la prima), ossia G diventa H(I J, K L ) Quasi ci siamo per poter trattare elementarmente qualche strumento finanziario. Supponiamo che A chieda lo stesso importo in prestito a B per un periodo M N a 2 <O P Quanto sarà richiesto ad A per indennizzare B delle opportunità perdute durante tale periodo? Naturalmente l importo dovuto in Q R = 2 < S T sarà U<(1 + V(W X, Y Z )) Supporremo anche che [(\ 0, ] 2 ) = 2 < ^(_ 0, `1) Questa ipotesi è abbastanza intuitiva: in sostanza, richiediamo che l interesse abbia una dipendenza moltiplicativa rispetto alla durata del prestito. Formalmente, ciò equivale a richiedere che la funzione a(b c, d e ) sia del tipo f(g h, i j ) = k<(l m no p ) con q costante positiva (per l assioma di de finetti). In parole povere, il costo di un investimento posticipato di un anno è doppio rispetto al costo di un investimento posticipato sei mesi. A questo punto possiamo formalizzare i ragionamenti esposti in precedenza. L investitore A richiede all investitore B l importo X al tempo r s L investitore A restituirà al tempo w x l importo: t u : v y z : {< 1+}<(~ n! )" Questo esempio non illustra solamente lo scambio di flussi tra due agenti in un contratto finanziario, ma stabilisce anche una caratteristica peculiare della moneta, alla quale abbiamo già fatto riferimento in precedenza: un importo di moneta non è completamente determinato se non viene caratterizzato da una precisa collocazione temporale. Non ha senso parlare di 10, 100 o Euro. Ha senso parlare di 10 euro oggi, 100 euro ieri, euro domani. Alla luce di quanto esposto, l operazione descritta nell esempio non è altro che uno scambio di importi equivalenti: l investitore B possiede # euro in $ % e accetta di scambiarli con euro & < '1 +( < () * n +, )- in. /. In altri termini, l importo 0 1 : 2 È equivalente all importo 3 4 : 5 < 61+7 < (8 9 n : ; )< Per riassumere, possiamo quindi dire che: 1. gli importi monetari sono completamente determinati solamente se vengono associati alla loro collocazione temporale, ossia alla data in cui diventano esigibili. 2. Esiste una relazione di equivalenza tra importi collocati in diversi istanti temporali, e il tramite di questa relazione è l interesse

3 TASSI DI INTERESSE Si è detto che l interesse è il costo di un investimento posticipato, ossia la somma dovuta come compenso per poter disporre di un certo capitale. In questa sezione cercheremo di dare qualche informazione in più riguardo al calcolo effettivo di questa somma. Nell esempio precedente abbiamo utilizzato in maniera implicita una di queste modalità di calcolo dell interesse, ovvero il cosiddetto interesse semplice: il costo dell investimento posticipato si accumula linearmente con il tempo. In sostanza, la somma dovuta a scadenza del prestito cresce di una frazione dell importo prestato (nel nostro caso tale frazione è =) in maniera lineare nel tempo. In un ottica di importi equivalenti possiamo quindi scrivere che un importo è pari all importo >? A B : C < D1+E < (F G n H I )J Solitamente, viene fissata una unità di misura del tempo, in modo tale da esprimere la quantità (K L n M N ) come un multiplo di tale unità. La scelta più praticata è quella dell anno (vedremo in seguito che la misurazione del tempo nei mercati finanziari avviene in maniera diversa dalla misurazione del tempo fisico; per il momento, possiamo proseguire il nostro ragionamento misurando il tempo come tempo fisico). Pertanto, l importo O P : Q < R1+S < (T U n V W )X Viene riscritto come Y Z : [ < \1+]^ < _`,a b dove c d è il tasso di interesse semplice annuo e f,g è il tempo trascorso tra h i e j k misurato in anni. Abbiamo altre due definizioni importanti: come si è detto, l interesse è il mezzo che ci permette di traslare nel tempo importi equivalenti. Per trasportare l importo l da m n a o p abbiamo moltiplicato q per r1+s t < u v,w x. L operazione di trasportare importi presenti avanti nel tempo mantenendo la relazione di equivalenza di cui abbiamo parlato si chiama capitalizzazione (compounding) Definiamo allora y1+! " < # $,% & fattore di capitalizzazione semplice dal tempo ' ( al tempo ) *. In maniera analoga, l esempio di prima mostra anche come trasportare indietro nel tempo importi monetari lasciando invariata la relazione di equivalenza. Se l importo equivale all importo +, : - <.1+/ 0 < 1 2, : 7 segue che per trasportate da 8 9 a : ; l importo < < =1 +>? A,B C è sufficiente moltiplicare per allora 1 N1+O P < Q R,S T D EFGH I <J K,L M. Definiamo

4 fattore di attualizzazione semplice dal tempo U V al tempo W X. Consideriamo adesso la seguente situazione: supponiamo che nell esempio precedente Y Z sia oggi e che [ \ sia pari a due anni. L investitore A richiede quindi ] euro in prestito oggi, restituendo tra due anni ^ < (1+_` < 2) euro. Supponiamo invece che lo stesso investitore A richieda lo stesso importo di a euro, ma con scadenza a un anno. Alla scadenza dell anno, l investitore A dovrà restituire b < (1+c d ). In alternativa, A può decidere di posticipare di un altro anno il suo debito, chiedendo in sostanza un altro prestito, questa volta di e < f1+g h i, da estinguere l anno dopo, ossia in j k =2. Questa volta però l importo da restituire sarà pari a: l m : n < o1 +p q r < s1+t u v = w < x1+y z {! In questo esempio, l investitore A ha ottenuto un prestito di " euro per due anni, ma l interesse dovuto a scadenza non viene calcolato sull importo nominale prestato (pari a #), bensì sulla somma di importo nominale e interesse maturati. Per questo motivo, questa modalità di calcolo dell interessa è detta interesse composto. Continuando a prendere spunto dall esempio, possiamo dire che, in regime di interesse composto (annuo), un importo è equivalente agli importi $ % = 0 & ' ( ) = 1 & * < +1+, -. / 0 = 2 & 1 < = 3 & 9 < :1+; < = = 4 & A < B1+C D E F Più in generale, è vero che, in regime di interesse composto annuo, l importo attuale È equivalente all importo G H & I J K & L < M1 +N O P Q R,S Dove T U è il tasso di interesse composto annuo V W,X è il tempo trascorso tra Y Z e [ \ misurato in anni. In analogia con quanto detto prima, definiamo inoltre ]1+^_`ab,c fattore di capitalizzazione composto dal tempo d e al tempo f g. E definiamo

5 h1+i j k lm 1 n,o = p1 +q r s t u,v fattore di attualizzazione composto dal tempo w x al tempo y z. Pur essendo banale, vale la pena sottolineare che tasso di interesse composto e tasso di interesse semplice NON SONO LA STESSA COSA. Dovere restituire dopo due anni un importo di un euro con tasso semplice pari al 5% implica restituire 1 < (1 +2< 5%) = 1,1 Alla scadenza del secondo anno. Se l interesse del 5% è invece composto, l investitore restituirà 1 < (1 + 5%) { = 1,1025 Ossia un importo maggiore. Infatti, l investitore dovrà restituire anche gli interessi sugli interessi del primo anno! Introduciamo infine l ultimo metodo di calcolo dell interesse, ovvero l interesse composto continuo, estendendo l esempio che ci ha permesso di introdurre l interesse composto. Prima di tutto, va sottolineato il fatto che, in queste righe, ci siamo sempre soffermati su interessi (semplici e composti) annui. Nulla vieta però di parlare di interessi semestrali, trimestrali, mensili o giornalieri. Il passaggio da interesse annuo a, ad esempio, semestrale, è immediato: basta esprimere le unità di tempo nella stessa unità di misura e risolvere un equazione di primo grado. Se } è l interesse semplice annuo e ~! è l interesse semplice semestrale, allora deve valere " < #1 +$ % & = ' < (1 +2< ( )*+ ) Infatti, LHS è l importo tra un anno equivalente ad, euro oggi misurando il tempo trascorso in anni, mentre RHS è l importo tra un anno equivalente ad - euro oggi misurando il tempo trascorso in semestri. Eguagliando le due equazioni segue che. /01 = Ossia l interesse semplice annuo è pari al doppio dell interesse semplice semestrale. In generale, è immediato vedere che l interesse semplice relativo a un 4-esimo di anno è pari a = 8 9 : Precisato questo possiamo introdurre il concetto di interesse composto continuo. Come dice il nome stesso, l interesse composto continuo è una estensione dell interesse composto. Si è detto che, in regime di interesse composto, l interesse dovuto a scadenza è calcolato su capitale e interessi maturati nel periodo di riferimento (nel nostro esempio precedente, l anno). L interesse composto continuo si ottiene restringendo sempre di più il periodo di riferimento, ossia calcolando gli interessi sugli interessi in intervalli di tempo sempre più piccoli. Utilizziamo ancora una volta un esempio per chiarire il concetto. Prestare ; euro oggi con scadenza a un anno in regime di interesse semplice annuo implica ricevere tra un anno < < Se il regime è quello di interesse composto semestrale, supponendo di utilizzare il tasso semestrale semplice otteremo invece

6 A < (1+B CDE ) < (1+F GHI ) = J < (1 +K LMN ) O = P < Q1+ R S 2 T U Supponiamo invece di essere in regime di interesse composto trimestrale. Otterremo allora a scadenza V < (1+W XY ) < (1+Z [\ ) < (1+]^_ ) < (1+`ab )= c < d1+ e f g hi Passando al limite per intervalli sempre più piccoli otteniamo il limite notevole j < k l m Anche in questo ultimo esempio possiamo definire fattori di sconto e attualizzazione che ci permettono di muoverci nel tempo in una classe di importi equivalenti tramite opportune moltiplicazioni: al solito, l importo attuale È equivalente all importo n o & p q r & s < t u v<w x,y Dove z { è il tasso di interesse composto continuo annuo! ",# è il tempo trascorso tra $ % e & ' misurato in anni. In analogia con quanto detto prima, definiamo inoltre ( ) *<+,,- fattore di capitalizzazione continuo dal tempo. / al tempo 0 1. E definiamo <6 7,8 = 1 9 : ;<< =,> fattore di attualizzazione continuo dal al tempo A B. NOTA Come accennato sopra, il tempo finanziario si misura in maniera diversa dal tempo fisico. Convenzioni di mercato hanno portato allo sviluppo di calendari standard per ovviare alle disomogeneità tra i diversi mesi e tra gli anni bisestili e non. In sostanza, il fatto che gli interessi maturino nel tempo ha reso necessario lo sviluppo di metodi di misurazione comuni a tutti i partecipanti del mercato finanziario. Per tali motivi si comprende l utilizzo delle cosiddette day-count conventions, ovvero di regole standard per misurare il tempo finanziario. Due tra le più diffuse day count conventions sono la CDE FGH e la IJ KLM. Nella prima, si assume che l anno sia sempre di 360 giorni. Secondo questa convenzione ad esempio il tempo trascorso tra le date 30 marzo 2010 e 30 marzo 2011 è 1, anni. La seconda assume invece che ogni mese sia composto da 30 giorni esatti, quindi lo stesso intervallo di tempo in NO è pari a 1 anno. PQR

7 OBBLIGAZIONI Una volta introdotto il concetto di tasso di interesse, fattore di sconto e fattore di attualizzazione siamo pronti a prezzare alcune strumenti finanziari. Prima di ogni altra cosa però è forse meglio precisare cosa si intende per prezzare un contratto finanziario. Un contratto finanziario è un accordo scritto tra due controparti che si impegnano a scambiare, in una o più date future, degli importi di denaro (cashflows) che possono essere deterministici ( ossia già noti oggi, alla data di stipula del contratto) o da determinare (ossia legati all esito di eventi che devono ancora verificarsi). Nel capitolo precedente abbiamo visto come trasportare importi futuri in importi equivalenti presenti utilizzando il fattore di sconto. Prezzare un contratto significa per l appunto calcolare il valore attuale di tali importi futuri. Il primo contratto che viene affrontato è di solito l obbligazione a tasso fisso (fixed rate bond): un obbligazione è un contratto finanziario che attribuisce al possessore il diritto di ricevere a scadenza del contratto stesso un ammontare di denaro ( il nominale), più gli interessi maturati tra la data di emissione e la scadenza. Le obbligazioni nascono sostanzialmente per raccogliere capitale: un ente che pianifica un investimento può infatti avere bisogno di liquidità ma preferire non rivolgersi a una banca per un prestito. Una delle scelte possibili (vedremo in seguito almeno un altro tipo di soluzione) è quella di emettere obbligazioni: alla data di emissione, l acquirente dell obbligazione presta denaro alla ditta per ricevere a scadenza dell obbligazione il denaro prestato più gli interessi maturati. I fixed rate bond possono essere raggruppati in due categorie principali: nella prima troviamo i cosiddetti zero coupon bond (o bullet bond), nella seconda i coupon bond. ZERO COUPON BOND Uno zero coupon bound (zcb) è un contratto finanziario stipulato tra due controparti contraddistinto dalle seguenti quantità: N = ammontare nominale o face value S = scadenza o maturity del contratto Acquistando uno zcb, il compratore acquista il diritto di ricevere alla maturity del contratto un importo pari all ammontare nominale. Per garantire questo diritto, il compratore paga a colui che emette il bond un prezzo, che chiameremo p. Per prezzare un contratto di questo tipo basta ricordare quanto detto in precedenza sugli importi equivalenti: trovare il prezzo p di un contratto vuol dire calcolare il valore attuale dei flussi di cassa futuri garantiti dal contratto stesso. Utilizzando la notazione precedente, il prezzo p di uno zcb è quell importo attuale Che risulta equivalente all importo T = 0 (oggi) & U V = W (maturity) : N Se il tasso di interesse composto continuo annuo è pari a X Y, segue subito che Z =N< [ \]^<_ In altre parole, il prezzo di uno zero coupon bond non è altro che il valore scontato del nominale pagato a scadenza.

8 (FIXED) COUPON BOND Un coupon bound (zcb) è un contratto finanziario stipulato tra due controparti contraddistinto dalle seguenti quantità: N = ammontare nominale o face value ` = scadenza o maturity del contratto a = tasso cedolare o coupon rate, solitamente annuo bcde = frequenza delle cedole o coupon frequency Acquistando un fixed cb, il compratore acquista il diritto di ricevere alla maturity del contratto un importo pari all ammontare nominale. Inoltre, il compratore riceverà anche il pagamento di importi aggiuntivi, detti cedole, corrisposti a intervalli di tempo regolari (di solito annuali, semestrali o trimestrali, raramente mensili). Le cedole corrisposte sono pari all interesse maturato sull ammontare nominale tra una data di pagamento cedola e la successiva, ad un tasso di interesse fisso pari al tasso cedolare f. In questo caso, non abbiamo più un unico importo futuro da trasportare ad oggi, bensì un flusso di importi futuri. A scadenza avremo infatti : g = h (maturity) : N Se le cedole sono pagate alle date i j, k l,, m nop, q r = s avremo gli importi t = u v & N < w < x y,! " = # $ & N < % < & ',( ) = * + & N <, < -.,/ 0 = 1 2 = 3 & N < 4 < 5 678,9 Per stabilire il prezzo p il compratore deve corrispondere all emittente basta osservare che un fixed coupon bond non è altro che la somma di : zero coupon bond. Rifacendoci alla formula di prima segue che, se il tasso di interesse composto continuo annuo è pari a ; <, avremo 1 = = >N <? A,B C < D EF G<H I + (N < J < K L,M ) < N OP Q<R S + ( N < T < U V,W ) < X YZ [<\ ] + + (N+1) < ^ < _`ab,c < d ef g<h 1 Nella formula appaiono le quantità i j,!, " #,$ etc.., ossia le distanze temporali, espresse nella stessa unità di tempo utilizzata dall interesse cedolare, tra una cedola e l altra. Un contratto fixed coupon bond specifica anche quale sistema di misura temporale finanziaria utilizzare (vedi nota precedente).

9 IL PRINCIPIO DI NON ARBITRAGGIO E I TASSI FORWARD Nelle pagine precedenti abbiamo visto come prezzare due titoli obbligazionari. In entrambi i casi, una caratteristica del contratto semplificava enormemente il lavoro; tutti i cashflows futuri erano già noti all emissione del contratto. Ovviamente i due contratti da noi studiati sono casi particolari. Esistono comunemente (comunissimamente direi ) contratti finanziari dove le due controparti si accordano oggi per scambiarsi flussi di denaro futuri il cui importo è stabilito in date future. Facciamo subito un esempio pratico. Si è detto in precedenza che l interesse è il prezzo di un investimento differito, ossia in parole povere il prezzo del tempo. Come precisato nell introduzione, il prezzo non è una costante assoluta, una quantità immutabile nel tempo: il prezzo di un libro 10 anni fa è diverso dal prezzo odierno, similmente accade per il tempo. A seconda dello scenario che si presenta, gli investitori possono attribuire un valore diverso, giorno dopo giorno, a un investimento differito. Così come il libro, il prezzo di un tempo varia con il.passare del tempo! In altre parole, i tassi di interesse vengono continuamente ri-quotati dagli investitori giorno dopo giorno. Alcuni giornali o siti internet riportano le quotazioni di tali tassi su alcune scadenze standard (ad es 1gg, 1 sett 1 mese 1 anno) giorno per giorno: i valori riportati non sono altro che il prezzo delle rispettive quantità di tempo. Questi data provider riportano quindi il costo corrente di giorni, mesi e anni: il prezzo di ieri di un investimento differito per un certo lasso di tempo è diverso da quello di oggi. E opportuno ricordare infine che tali prezzi vengono raggiunti quando il prezzo di offerta del tempo (ossia il tasso di interesse al quale si è disposti a prestare denaro) scende fino a incontrare quello di domanda (ossia il tasso di interesse al quale si è disposti a farsi prestare denaro). Questo tipo di ragionamento è alla base del cosiddetto principio di non arbitraggio, un principio prettamente empirico (che può comunque essere rigorosamente formalizzato) che si rivela molto utile per prezzare flussi futuri ad oggi sconosciuti. Per introdurre tale principio consideriamo il seguente esempio. Supponiamo che ad oggi il prezzo di un arancia sia pari a un euro: questo vuol dire che i venditori di arance accettano di vendere a prezzi >= 1 euro e i compratori a prezzi <= di un euro. Supponiamo infine che un investitore riesca a comprare ( o a produrre, in generale a mettere sul mercato) arance al costo di 0.80 euro ciascuna. Che cosa succede? Tale investitore ovviamente paga 0.80 euro e rivende l arancia a un euro, realizzando un profitto di 0.20 centesimi. Tale guadagno realizzato presenta una caratteristica importante: è certo. Qualsiasi scenario si presenti, il guadagno verrà realizzato, indipendente da qualsiasi altro fattore esterno. Il principio di non arbitraggio stabilisce che, sotto opportune condizioni 2, tali opportunità non possono presentarsi. La motivazione di questo fatto è chiara: subito dopo l immissione sul mercato di questo bene a questo prezzo, gli altri agenti dovranno riequilibrare le loro curve di offerta e di domanda per continuare a essere competitivi. Inoltre, il bene immesso sul mercato sottocosto, sotto ipotesi di risorse limitate, andrà ad esaurirsi, diventando più raro, e quindi richiedendo un prezzo maggiore. Da un punto di vista pratico, possiamo dire che il principio di non arbitraggio non nega in senso stretto la possibilità di un guadagno certo, piuttosto afferma che tale possibilità, sotto ipotesi di equilibrio, non possa durare abbastanza per essere sfruttata. 2 Tra queste ipotesi una in particolare merita di essere enunciata, risultando utile nelle prossime lezioni: gli investitori che agiscono sul mercato possiedono lo stesso livello di informazione.

10 Tenendo a mente il principio di non arbitraggio, introduciamo il concetto di tassi forward. Il tasso di interesse forward è il costo stabilito oggi di un investimento differito a partire da una data futura S fino a un altra data futura T (con ovviamente T>S). Se la definizione formale può sembrare uno scioglilingua, usiamo un esempio per spiegare meglio. Supponiamo allora che due investitori A e B decidano oggi (% = 0) di entrare nella seguente transazione Al tempo & = ' ( l investitore B consegnerà all investitore A un certo ammontare di denaro, diciamo ). Al tempo * = +, l investitore A restituirà a B l ammontare -, comprensivo degli interessi maturati durante il lasso temporale nel quale l investitore B non ha potuto disporre del capitale. dato a prestito. Tale periodo è quindi uguale al tempo trascorso tra / 0 e 1 2. La domanda da fare è la seguente: quale è il tasso di interesse da applicare in questa transazione? A e B concordano i dettagli del contratto finanziario in questione oggi: in altre parole, essi concordano oggi un prezzo per un lasso di tempo futuro. A rigor di logica, il tasso di interesse cercato è quello che, rilevato al tempo 3 4, verrà applicato fino al tempo 5 6. L unico problema è che questa quantità, ad oggi ( 7 = 0 ), non è ancora nota. Chiamiamo 8(9, : ;, < = ) il tasso di interesse incognito che esclude ogni possibilità di arbitraggio e cerchiamo di stabilire il suo valore. Il ragionamento che segue è molto comune in matematica finanziaria (in forme più o meno complicate) ed è quindi bene spiegarne in dettaglio la logica sottostante. Il metodo è molto simile al ragionamento per ansatz: 1. Si formula un valore ipotetico > per il tasso incognito; 2. Si prova che, nel caso in cui?(@, A B, C D ) > E, esistono possibilità di arbitraggio; 3. Si prova che, nel caso in cui F(G, H I, J K ) < L, esistono possibilità di arbitraggio; 3 Procediamo come descritto sopra: la nostra ansatz si può ricavare dalla seguente relazione 4 : Da cui segue che: M1+N < O P,Q R < S1+T(U, V W, X Y ) < Z [,\ ] = ^1+_ < `a,b c d(e, f g, h i ) = 1 j k,l < m 1+n < o p,q 1+r < s t,u n 1v Proseguendo nel ragionamento di non arbitraggio, supponiamo che venga invece applicato un tasso di interesse pari a w > x(y, z {,! " ). Proviamo quindi che esiste una strategia che permette all investitore B di realizzare un profitto certo. B può infatti: Entrare oggi nel contratto per un importo # = 1+$ < % &,' ; Comprare oggi un bond con scadenza in ( ) per un importo nominale di 1+* < +,,- ; Vendere oggi un bond con scadenza in. / per un nominale pari a 1+0 < 1 2,3 ; Applicando questa strategia, i flussi di cassa (corrisposti o ricevuti) relativi a B oggi saranno: 4 = 0 (oggi) & n 1+5 < 6 7,8 1+9 < : ;,< + 1+= < >?,@ 1+A < B C,D =0 3 Un matematico integerrimo storce il naso davanti a questo ragionamento: infatti, chi ci dice che un prezzo E per il quale vengano escluse possibilità di arbitraggio esista? La rigorosa formalizzazione di questi concetti (un riferimento è Asset Pricing di J.Cochrane) richiede infatti anche una ipotesi più sottile, ovverosia la completezza dei mercati. 4 Relazione in caso di tassi semplici. Analoghe relazioni si possono ricavare per tassi composti e composti continui

11 Tali flussi corrispondono al costo di acquisto del bond con scadenza in F G per un importo nominale di 1+H < I J,K e al guadagno di vendita di un bond con scadenza in L M per un nominale pari a 1+N < O P,Q. Al tempo R S il bond acquistato da B sarà maturato e B riceverà 1+T < U V,W. B cederà ad A tale quantità, rispettando gli obblighi del contratto. Al tempo X Y A restituirà a B l importo pattuito secondo il contratto, e B pagherà il nominale e gli interessi sul bond che aveva acquistato in Z =0. Sommando tali flussi otteniamo [1 +\ < ]^,_` < a1+b < c d,e f n g1+h < i j,k l >0 In conclusione, B realizzerà un profitto certo al tempo m n, violando il principio di non arbitraggio. Tale strategia ha costo iniziale netto pari a zero: il guadagno di B è sicuro e gratuito. Supponendo un tasso di interesse forward pari a o < p(q, r s,! " ), è facile ricavare una simile violazione del principio di non arbitraggio da parte dell investitore A. In conclusione, abbiamo dimostrato che il costo stabilito in # (oggi) di un investimento differito a partire da una data futura $ % fino a un altra data futura & ' è pari a ((), * +,, - ) = 1. /,0 < < 3 4,5 1+6 < 7 8,9 n 1: FLOATING RATE NOTES e FRA Un contratto finanziario di tipo FRA (forward rate agreement) è sostanzialmente identico al contratto dell esempio precedente. Un FRA è caratterizzato da N = ammontare nominale o face value ; = scadenza o maturity del contratto < = data di reset o reset date = = tasso contrattuale Il contratto non prevede scambi di denaro alla data di stipula (ossia oggi ). Le controparti A e B si accordano per scambiare alla data > i seguenti importi: L acquirente del FRA (posizione FRA long) cederà alla controparte il nominale? più gli interessi maturati e A ad un tasso concordato oggi B. Pertanto, l importo complessivo ceduto sarà: C < D1 +H< E F,G H In cambio, la posizione long FRA riceverà dalla controparte (venditore del FRA, o short FRA) l importo I < J1+K(L, M) < N O,P Q dove R(S, T) indica il tasso di interesse rilevato in S a scadenza T. La domanda è ancora una volta: quale è il tasso U tale da escludere possibilità di arbitraggio per le controparti impegnate nel contratto? Il compratore del FRA corrisponderà alla controparte un importo stabilito oggi, mentre il venditore cederà un importo determinato in una data futura V = W: alla luce di quanto detto prima sui forward rate, è facile vedere (solito ragionamento di non arbitraggio, provare per credere) che il tasso cercato X è proprio il tasso forward stabilito oggi (in Y) e applicabile tra le date future Z e [.

12 Il contratto FRA è utile anche per presentare il concetto di forward rate sotto un ottica abbastanza particolare, che risulterà più familiare dalla prossima lezione (ossia dopo aver collocato il pricing di contratti finanziari in un ambito probabilistico). In un FRA, il tasso di interesse corrisposto dalla controparte long è noto sin dalla data di stipula, mentre il tasso pagato dalla posizione short lo sarà solo in una data futura. Se il contratto risulta equo, ossia se sono escluse possibilità di arbitraggio (e quindi il tasso pagato da chi è long è il tasso forward), il tasso corrisposto dal long dovrebbe essere una buona previsione del tasso di interesse futuro pagato dallo short.. Più formalmente, il tasso di interesse che verrà rilevato in futuro è una possibile realizzazione di una variabile aleatoria, e il valore atteso di tale variabile aleatoria è proprio il tasso forward 5. Una buona rule of thumb per trattare tassi di interesse che verranno stabiliti in date future è pertanto quella di sostituire questi tassi con i loro valori attesi, ossia i tassi forward. Facciamo un esempio a riguardo. All inizio del nostro discorso abbiamo considerato diversi tipi di bond, accomunati però dalla caratteristica di essere a tasso fisso: l interesse utilizzato per calcolare i coupons dovuti era costante e fissato alla data di stipula. Esistono comunemente strumenti obbligazionari che non hanno tasso fisso, ma variabile: le cedole future non sono note alla data odierna, ma verranno stabilite in corrispondenza delle date di pagamento del coupon future. Il più semplice esempio di questo tipo di contratti è la floating rate note, o obbligazione a tasso variabile. Tale contrato è caratterizzato dalle seguenti quantità: N = ammontare nominale o face value \ = scadenza o maturity del contratto ]^_` = frequenza delle cedole o coupon frequency Acquistando un floating rate bond, il compratore acquista il diritto di ricevere alla maturity del contratto un importo pari all ammontare nominale. Inoltre, il compratore riceverà anche il pagamento di importi aggiuntivi, detti cedole, corrisposti a intervalli di tempo regolari, come specificato da frequenza contrattuale. Le cedole corrisposte sono pari all interesse maturato sull ammontare nominale tra una data di pagamento cedola e la successiva, secondo il tasso di interesse rilevato per il periodo cedolare corrente. La successione di importi corrisposti al compratore è quindi questa: a scadenza avremo a = b (maturity) : N Se le cedole sono pagate alle date c d, e f,, g hij, k l = m avremo gli importi n = o p & N < q(r s, t u ) < v w,x y = z! & N < "(# $, % & ) < ' (,) * = +, & N < -(. /, 0 1 ) < 2 3,4 5 = 6 7 = 8 & N < 9(: ;<=, >? ) ABC,D Per stabilire il prezzo del FRN, trasportiamo i flussi di cassa descritti sopra nei loro equivalenti ad oggi. Sia E F il tasso di interesse semplice annuo. Il ripagamento del nominale a scadenza corrisponde ad un importo presente di 1 G < H 1+I J,K < L M 5 Anche qui il matematico rigoroso inorridisce.ma ancora una volta è colpa mia Infatti non ha senso parlare di valore atteso per una variabile aleatoria senza specificare quale misura si considera. Vedremo in seguito che la misura scelta è proprio l unica misura tale da garantire l assenza di possibilità di arbitraggio (misura risk-free).

13 Teniamo ora a mente quanto detto rispetto ai tassi forward, ossia che tali tassi sono il valore atteso dei tassi di interesse che verranno rilevati in futuro. Procediamo quindi a prezzare le cedole. La cedola corrisposta in N O corrisponde al pagamento degli interessi maturati tra P Q (oggi) e R S al tasso rilevato tra queste due dati. Pertanto, il primo tasso di interesse (pari a T U ) risulta quindi noto. Per prezzare la cedola in V W è quindi sufficiente scontarla fino a X Y : quindi l importo Z = [ \ & N < ] < ^_,` È equivalente all importo a = b c (oggi) & 1 dn < e < f g,h i< j o 1+k < l m,n Le altre cedole non sono ancora note ad oggi. Abbiamo però detto che il loro valore atteso è proprio il corrispettivo tasso forward. Per prezzare questo tipo di importi futuri è quindi necessario: Sostituire il tasso di interesse rilevato in data futura (ad oggi incognito) con il suo corrispettivo forward (ossia con il suo valore atteso). Scontare la cedola risultante moltiplicando per il corrispettivo fattore di sconto. Procedendo come descritto, segue che il valore atteso degli importi futuri È pari a p = q r & N < s(! ", # $ ) < % &,' ( = ) * & N < +(, -,. / ) < 0 1,2 3 = 4 5 = 6 & N < 7(8 9:;, < = ) < >?@A,B C = D E & N < F(G, H I, J K ) < L M,N O = P Q & N < R(S, T U, V W ) < X Y,Z [ = \ ] = ^ & N < _(`, a bcd, e f ) < g hij,k Scontando ad oggi tali flussi otteniamo l importo equivalente l = m n (oggi) & o t +! N < "(#, $ 1+p < q %, & ' ) < ( ),* +, N < 3(4, 5 r,s 1+- <. 678, 9 : ) < ; < A F /,0 1+B < C D,E Ricordando che GHI, J K, L M N = 1 O P,Q < R 1+S < T U,V 1+W < X Y,Z n 1[ Segue che 1 \]^, _`, a b c < d e,f < g l = m 1+n < o p,q n 1" < # ( = n 1+h < i j,k 1+r < s t,! 1+$ < % &,' 1+) < * +,, 1+- <. /,0

14 Semplificando l espressione relativa al valore attuale delle cedole future incognite otteniamo la somma telescopica = 2 3 (oggi) & 4 < 56 n? n I + J K n VW 1+7 < 8 9,: 1+; < < =,> 1+A < B C,D 1+E < F G,H 1+L < M N,OPQ 1+R < S T,U Che si riduce a 1 X = Y Z (oggi) & [ < \ n 1+] < ^_,` 1 1+a < b c,d e Per ottenere il valore attuale del contratto FRN dobbiamo sommare i valori attualizzati dei due flussi di cassa considerati precedentemente, ossia il ripagamento del nominale a scadenza e il pagamento della prima cedola ad oggi nota. Sommando otteniamo l importo attuale 1 f = g h (oggi) & i < j n 1+k < l m,n s +!N < " < # 1+o < p $,% &< ', + - <. 3 = 4 q,r 1+( < ) *,+ 1+/ < 0 1,2 Abbiamo quindi dimostrato che il prezzo di un contratto FRN (quale che sia l importo nominale, la frequenza cedolare o la maturity) è pari al valore del nominale previsto da contratto.

15 IL MERCATO AZIONARIO Nella lezione precedente abbiamo prezzato alcuni semplici esempi di titoli obbligazionari, come i fixed rate bond e i floating rate bond. Introducendo tali strumenti, si è detto che l operazione di emettere obbligazioni permette a un ente (sia esso una società, un ente pubblico o uno stato) di racimolare capitali necessari all operatività finanziaria dell ente stesso: un obbligazione non è altro che un prestito concesso all ente da un gruppo di investitori, che vengono ripagati tramite i cosiddetti coupon (ossia i pagamenti della quota interessi di cui abbiamo parlato prima). Da un punto di vista prettamente contabile, l emissione di obbligazioni al fine di procurare capitale presenta un vantaggio importante: gli interessi pagati agli investitori sono deducibili dal bilancio contabile, ossia l ente in questione non paga tasse sui soldi che dovrà restituire agli investitori come quota interessi. D altra parte, un obbligazione obbliga la controparte emittente a rispettare determinati impegni, quali il pagamento di interessi e nominale, a date stabilite. Nel caso in cui l ente non sia nella condizione di corrispondere agli acquirenti gli importi dovuti, i titolari dei bond sono i primi creditori a dover essere soddisfatti. Questo significa che, in caso di failure to pay, i titolari di bond possono teoricamente intraprendere vie legali e costringere l ente emittente a (s)vendere asset (macchinari, edifici, proprietà finanziarie) per onorare il proprio debito ( i crac finanziari di Parmalat o Enron mostrano come la teoria sia spesso diversa dalla pratica ). L emissione di obbligazioni è quindi una possibile soluzione al problema del capitale, che presenta però sia svantaggi che vantaggi. L altra strategia esistente per ottenere capitali è l emissione di azioni. Un azione (stock) è una quota del valore dell ente emittente. In seguito all annuncio di un emissione di titoli azionari, il compratore di tali titoli corrisponde all ente emittente un importo di denaro. Tale importo viene utilizzato dall ente emittente per la sua operatività finanziaria. In cambio, l acquirente diventa azionista dell ente emittente, ossia compra una quota del valore della ditta e acquista potere decisionale riguardo all amministrazione effettiva dell ente. Precisiamo meglio questo concetto. A differenza di un obbligazione, non esiste nessun impegno di natura legale tra azionista e ente emittente. In particolare, l ente emittente non è tenuta a pagare alcun tipo di importo all azionista, ma può decidere di farlo tramite i cosiddetti dividendi, pagamenti che vengono corrisposti ai titolari di azioni, solitamente in corrispondenza della chiusura del bilancio semestrale o annuale. L importo ( e il pagamento stesso) di tali dividendi è completamente arbitrario, e dipende solamente dalla scelte del consiglio di amministrazione dell ente emittente. Inoltre, in caso di fallimento dell ente stesso, i titolari di azioni sono i creditori più deboli, ossia sono gli ultimi ad essere soddisfatti. Come fa allora l investitore azionario a preferire un azione a un titolo obbligazionario? Ancora una volta, la risposta a tale domanda va cercata nella legge di domanda e offerta. In seguito all emissione dei titoli azionari da parte dell ente (mercato primario), tali titoli vengono ancora attivamente scambiati tra investitori sul cosiddetto mercato secondario. Il prezzo a cui le azioni vengono scambiate dipenderà da diversi fattori, tra cui la percezione della performance dell emittente, la visione macroeconomica del mercato, la situazione politica attuale e via dicendo. In generale, un emittente virtuoso vedrà il valore delle proprie azioni salire: questo vuol dire che gli investitori sono disposti a scommettere sulla performance futura dell emittente, che le loro richieste di finanziare l ente stesso sono in aumento e che quindi il costo di tale finanziamento è in aumento. Ciò può accadere ad esempio in coincidenza di una chiusura di bilancio in positivo, di una fusione/acquisizione ben vista dal mercato, di una variazione delle norme legislative riguardanti il business dell emittente o in infinite altre situazioni diverse.

16 Similmente, un ente meno virtuoso vedrà il valore unitario delle proprie azioni scendere, in coincidenza della versione negativa degli stessi eventi descritti prima. La dinamica del mercato azionario è il vero motivo che spinge un investitore a scegliere tale tipologia di investimento: se l investitore, tramite informazioni ottenute in maniera più o meno lecita, è convinto della performance di una certa società in un determinato lasso di tempo, acquisterà azioni di quella società, aspettando che il prezzo di mercato di tali azioni si alzi (in risposta alle buone notizie future che la riguardano), per poi vendere quando lo riterrà più opportuno e realizzare un guadagno. Inoltre, come accennato prima, le azioni remunerano i loro possessori con i dividendi: è perciò comune trovare sul mercato azionario investitori che acquistano titoli azionari nella convinzione di poter realizzare un guadagno in seguito ad un imminente pagamento di dividendi. 1 Questa brevissima introduzione trascura moltissimi aspetti rilevanti del mercato azionario (Come si comprano in pratica le azioni? Chi può vendere azioni? Che costi affronta un investitore in azioni?) ma dovrebbe comunque riuscire a rendere l idea delle difficoltà che si incontrano nel costruire un modello per simulare (nota bene: non prevedere) uno stock. Un esempio pratico dovrebbe essere sufficiente a far capire la difficoltà di realizzare un modello sensato : nella figura che segue è riportato il prezzo di chiusura delle azioni AT&T dal 04/01/2010 al 04/03/2010 (i primi tre mesi dell anno). 29 AT&T INC AT&T INC /01/ /02/ /03/2010 Nel prossimo grafico è invece riportato il prezzo di chiusura delle stesse azioni per i tre mesi successivi. 1 A voler essere precisi, le date di pagamento dei dividendi non sono totalmente arbitrarie: solitamente, un ente decide di pagare dividendi in seguito alla pubblicazione del bilancio semestrale / annuale. E bene precisare che anche i dividendi sono una quota del valore dell emittente. Proprio per questo motivo, in seguito ad un pagamento di dividendi, il prezzo delle azioni corrispondenti scende di un importo pari al dividendo pagato: il valore dell ente resta lo stesso, ma viene parzialmente distribuito agli investitori in denaro (ad es. un azione a quota 2 che paga un dividendo di 0.30 scenderà all incirca a quota 1.70.

17 AT&T INC 27 26, , , , ,5 30/03/ /04/ /05/ /06/2010 AT&T INC Ovviamente un singolo esempio non permette di trarre conclusioni di nessun tipo: se però ripetiamo la stessa procedura con altri titoli e con altri periodi, la difficoltà di trovare un modello per uno stock diventa sempre più evidente. In particolare, l evidenza empirica dei dati mostra come non sia possibile trovare una funzione deterministica di un certo numero di parametri tale da poter descrivere con sufficiente precisione la dinamica di uno stock. Per questi motivi un approccio sensato all equity modeling passa necessariamente per una descrizione probabilistica: in sostanza, ogni prezzo rilevato a fine giornata è la realizzazione di una determinata variabile aleatoria. Il modello non si occupa di spiegare perché il prezzo di un certo stock al tempo! è pari a un certo valore, ma stabilisce quali relazioni intercorrono tra la variabile aleatoria prezzo dello stock in " e, ad esempio, la variabile "prezzo dello stock in # $1. L approccio è quindi totalmente differente: nessun modello azionario ha la pretesa di stabilire quale sarà il livello di uno stock domani, sapendo quale è il livello oggi. Viceversa, ogni modello sensato cercherà di descrivere un legame tra la varibaile aleatoria prezzo domani e la variabile prezzo oggi, di cui è nota una (l unica ) realizzazione.

18 PREREQUISITI DI TEORIA DELLA MISURA Prima di descrivere alcuni modelli per la dinamica di uno stock, è conveniente richiamare qualche definizione utile in seguito. Def:!-algebra Sia! un insieme non vuoto e % una famiglia di sottoinsiemi di! (ovvero un sottoinsieme dell insieme delle parti di!). Diremo che & è una "-algebra su! se: 1. l'insieme vuoto appartiene ad ' : () *. 2. Se un insieme A è in, allora il suo complementare è in +:, )-./0 A 1 )2. 3. Se gli elementi A i di una famiglia numerabile di insiemi {3 4 } 5)6 sono in 7, allora la loro unione è in 8: La coppia (!, G) è detta spazio misurabile. 9 : ) ; < = )>?/@ AD)E B C ) F Def: misura Dato uno spazio misurabile (!, H), una misura è una funzione di insieme IJ K L R che risulta sigma additiva, ossia M N ) O, P Q RS T = ( < U VW, X, Y) Z [/\ ](A`)a ^_ ) = b d)e c (f g ) Una misura di probabilità è una misura positiva e tale che h(i) = 1. La terna (!, j, k) è detta spazio di probabilità. Def: funzione misurabile Siano (!, l) e (#, m) due spazi misurabili e sia n J o p/q r una funzione. s si dice misurabile se t uv (w) )x < y )z

19 Def: Misura assolutamente continua Siano {J L R e } J ~ L R due misure di probabilità su (!, ). si dice assolutamente continua rispetto a!, e si scrive " #$, se vale la seguente relazione < % ) &, '(() = 0 )/* +(,) =0 Teo: Radon Nikodym Siano - J. L R e / J 0 L R due misure di probabilità su (!, 1) e sia 2 assolutamente continua rispetto a 3. Allora esiste 4 ) 5 6 (o, 7, 8) tale che: e più in generale vale 9(:) = E ; [ <=1 > ] E? ] = E A [ B =C ] < D ) E 1 (o, F, G) La funzione H è detta densità di I rispetto a J e si indica con K = LM NO Def: :!-algebre, eventi e funzioni indipendenti Siano P Q, R S,,T U "-algebre su o e sia V J W L R una probabilità tale che X Y Z [ < \ ) ]. Tali "- algebre si dicono indipendenti se per ogni numero finito di insiemi ^_ ) `a, b c ) d e,, f g ) h i vale la seguente relazione j (k l R m n R R o p ) = q(r s ) = t(u v ) = =w(x y ) Dati insiemi z misurabili! ", # $,,% & diremo che tali insiemi sono indipendenti se le sigma algebre da loro generate sono indipendenti. Stessa definizione nel caso di funzioni misurabili.

20 Def: Valore atteso condizionato (o Teorema di Kolmogoroff) Siano ' Y ( due "-algebre su! e sia ) J o */+ R una funzione, ) -. (o, /, 0). Esiste un unica funzione 1 J o 2/3 R tale che 4 ) 5 6 (o, 7, 0) < 8 ) 9 vale :[ ; = 1 < ] = =[ > = 1? ] Tale funzione è detta valore atteso condizionato rispetto alla sigma algebra A e viene solitamente indicata con la notazione B[ C D]. Il valore atteso condizionato di una variabile aleatoria corrisponde alla migliore approssimazione possibile della suddetta variabile, data l informazione contenuta nella sigma algebra E. Si può infatti provare che, così come il valore atteso di una variabile aleatoria è la costante che minimizza lo scarto quadratico medio (qualora F sia in G H (o, I, 0) ), il valore atteso condizionato è la funzione J che minimizza il valore di dove O è una funzione P misurabile. K[ (L $ M) N ] Ad esempio, se la sigma algebra Q è banale, è immediato vedere che R[ S T] = U[ V ], ossia il valore atteso condizionato si riduce al valore atteso della variabile W. Questa situazione corrisponde al caso di minima informazione : l approssimazione cercata deve infatti essere misurabile rispetto alla sigma algebra banale, quindi costante. Viceversa, quando X = Y, siamo nel caso di massima informazione possibile: pertanto è facile vedere che Z[ [ \] = ]. Il valore atteso condizionato presenta alcune proprietà notevoli: Se ^ è _ misurabile, `[ a b] = c; Se d e e sono indipendenti, f[ g h] = i[ j ]; klm[ n o]p = q[ r ] s[ t = u + v = w x] = y =![ " #] + $ = %[ & ']; Se ( ) 0 quasi ovunque, allora *[ +,] ) 0 quasi ovunque. Il valore atteso condizionato è stabile per convergenza monotona e convergenza dominata. Il valore atteso condizionato rispetta il lemma di Fatou; Siano - Y. Y / "-algebre su!. Vale la cosiddetta proprietà della torre 0[1[ 2 3 ] 4] = 5[ 6 7] Sia 8 una funzione 9 misurabile e supponiamo che : = ; ) < = (o, >, 0). = A B] = C[ D E] = F