Fenomeni ondulatori. 1) Generalità

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1 Ver. del 07/0/0 Feneni ndulatri ) Generalità Muvend una estreità di una crda tesa, prvchia una perturbazine nella crda che si uve lung la crda stessa. Le parti di crda dve vi è la perturbazine si uvn rispett alla psizine di equilibri e pertant psseggn una quantità di energia cinetica K, che a tepi successivi trvia assciata ad altre parti della crda. Dp il passaggi della perturbazine, il ezz resta inalterat. Analgaente, un sasslin lasciat cadere su una superficie d acqua in quiete prvca delle increspature della superficie che viaggian e si allntanan dal punt in cui il sasslin è cadut. L energia cinetica psseduta dal sasslin appena pria di clpire la superficie dell acqua viene (parzialente) trasprtata dall increspature in punti più lntani, senza trasprt del ezz. Infatti, un eventuale piccl ggett galleggiante presente sulla superficie, viene spstat dalle increspature (vver acquista entaneaente energia) a dp il passaggi della perturbazine, ess ritrna in quiete esattaente nella stessa psizine iniziale. Dire, in entrabi i casi, che abbia generat un nda eccanica. Pssia definire un nda eccanica ce una perturbazine che si prpaga nell spazi, trasprtand energia a senza che vi sia trasprt di ateria.

2 Un nda eccanica può prpagarsi sl grazie alle prprietà elastiche del ezz ateriale in cui ha rigine. Al passaggi della perturbazine la ateria subisce una defrazine elastica: le particelle che cstituiscn il ezz ateriale si spstan rispett alla lr psizine di rips e vi ritrnan successivaente grazie alle frze elastiche di richia. Cn quest eccanis, l'energia eccanica (cinetica e ptenziale elastica) di un eleent di assa viene trasessa a quell adiacente. In quest d le nde trasprtan energia eccanica attravers la ateria. Per tale tiv le nde eccaniche sn anche dette nde elastiche. Per frare un'nda elastica servn: una srgente della perturbazine (vver di energia), un ezz che subisca la perturbazine, una cnnessine (vver una frza elastica) tra la ateria perturbata e quella adiacente. Se la perturbazine è un sl ipuls, si genera una singla nda vver un nda ipulsiva, se la perturbazine è peridica si genera un tren d nde peridic sepliceente un nda peridica. Le nde che si prpagan in una sla diensine, ce in una crda tesa in una lla elicidale, sn dette nde unidiensinali, quelle che si prpagan in un pian, ce le nde su una superficie di acqua in quiete al cadere di un sasslin, sn dette bidiensinali, quelle che si prpagan nell spazi sn dette tridiensinali. Dbbia prre attenzine al fatt che durante la prpagazine di un nda abbia due ti distinti: il t di scillazine delle particelle del ezz intrn alla psizine di equilibri cn velcità v (t), il t della perturbazine (dell nda) nel su insiee cn velcità v. Il cnfrnt fra i due ti perette di classificare le nde. Se le particelle del ezz scillan, sllecitate dalla perturbazine, perpendiclarente alla direzine di prpagazine dell nda si parla di nda trasversale. Se le particelle del ezz scillan nella stessa direzine lung la quale si prpaga l nda, questa è detta nda lngitudinale. Le spire della lla si allntanan e si avvicinan, entre l nda si prpaga.

3 Nell stess ezz pssia prdurre un nda trasversale lngitudinale in relazine al tip di perturbazine ipsta al ezz. Onda trasversale in una lla elicidale sllecitata trasversalente Onda lngitudinale in una lla elicidale sllecitata lngitudinalente Onda trasversale in una barretta sllecitata trasversalente Onda lngitudinale in una barretta sllecitata lngitudinalente Alcune nde nn sn né puraente trasversali né puraente lngitudinali ce nella prpagazine di nde su una superficie di acqua dve le particelle del ezz si uvn descrivend delle ellissi (vedi fig.). v Per cpletezza, dbbia dire che ci sn anche delle nde che hann alla base una variazine di un cap elettric e di un cap agnetic (ce la luce e le nde radi) che per esistere e prpagarsi nn richiedn la presenza di un ezz ateriale. Esse sn dette nde elettragnetiche e si prpagan anche nel vut. Le nde elettragnetiche sarann descritte in seguit. 3

4 ) Descrizine ateatica di un nda unidiensinale Osservand la prpagazine di una perturbazine unidiensinale in un ezz elastic, in cui le perdite di energia per attrit sn trascurabili, si riscntran due fatti sperientali: la perturbazine si prpaga antenend inalterata la sua fra, la velcità v cn cui essa si prpaga è cstante. Cnsideria di aver prvcat a t 0 = 0, intrn ad x i = 0 una perturbazine di fra y =f(x) che si spsta nella direzine di x psitiva cn velcità v. Dp un tep Δt = t t 0 = t 0 = t, tutti i punti della perturbazine si sarann spstati di v Δt = v t, la perturbazine si trverà nel punt x = x i + v t e avrà la stessa fra y = f(x i ) = f(x- v t). Infatti: f(x- v 0 t)= f(x i + v t v t)= f(x i ). y t 0 = 0 v t t x i x x In cnclusine: un nda unidiensinale y che si prpaga cn velcità v nella direzine x psitiva è ateaticaente descritta da una funzine nelle variabili x e t nella cbinazine x v t y(x,t) = f(x v t) Le stesse cnsiderazini valgn per nde peridiche unidiensinali y(x,t) dve f sarà una funzine peridica di x v t. Essend un nda un fenen di prpagazine nel tep e nell spazi, pssia averne due visualizzazini: a) a tep fissat: per t = cst y(x,t) = g(x). Essa è l andaent dei valri di y in gni punt dell spazi x in cui si prpaga l nda a ad un tep fissat (ft del fenen ndulatri) g(x) x 4

5 b) a psizine fissata: per x = cst y(x,t) = h(t). Essa è l andaent dei valri di y in funzine del tep di un punt fissat dell spazi in cui si prpaga l nda (t di un punt del ezz disturbat dall nda) h(t) t 3) Equazine delle nde sinusidali Sfruttand il terea di Furier che affera che una qualsiasi funzine peridica g(t) può essere ttenuta ediante la sa di un terine cstante e di infinite funzini sinusidali, le cui frequenze sn ultipli interi di quella del segnale f 0 =ω 0 /π, ssia: g( t ) = A0 + An sen( nω 0t + ϕn ) = A0 + A sen( ω0t + ϕ ) + Asen( ω0t + ϕ ) +... n= liitere il nstr studi alle nde sinusidali vver alle nde in cui f sen che scrivere ce; π 3.) y( x,t ) = ysen ( x v0t ) λ cn: λ grandezza avente diensini di una lunghezza () intrdtta per rendere adiensinale l argent della funzine sen. Essa è detta lunghezza d nda. y grandezza delle stesse diensini di y, intrdtta per pter avere per y(x,t) un intervall di valri divers da ±. La quantità y è detta apiezza dell nda. Pst π k = ( nuer d nda, in ) e λ 3.) y( x,t ) = ysen( kx ωt) La quantità kx ωt è detta fase dell nda. πv = (pulsazine, in s ) la () diviene: λ ω 0 Per cpletezza, dvre scrivere ( x,t ) = y sen( kx ω t + φ) iniziale) che specifica la cndizine iniziale dell nda vver y( x 0,t = 0 ) = y sen( φ) y cn φ (detta fase =. Nell spazi investit da un nda tridiensinale, l insiee dei punti in cui l nda ha la stessa fase cstituisce il csiddett frnte d nda. Se il ezz è gene ed istrp, il frnte d nda è sepre perpendiclare alla direzine di prpagazine dell nda che viene talvlta detta raggi. I frnti d nda pssn avere fre diverse: se essi sn dei piani 5

6 paralleli parlere di nde piane, se sn delle sfere cncentriche parlere di nde sferiche. Le nde piane hann apiezza cstante e la lr espressine ateatica è ancra la 3.. Nelle nde sferiche, ce vedre in seguit, l apiezza invece diinuisce cn la distanza dalla srgente. Le nde piane sn in effetti sl un apprssiazine delle nde sferiche che, a grandi distanze dalla srgente, pssn essere cnsiderate piane per una liitata regine di spazi. Frnti d nda λ raggi λ Srgente puntifre raggi nda sferica nda piana 3.) Significat di λ Vedia la cndizine dell nda in un punt x che dista λ da un punt x tale che x = x + λ y( x = y,t ) = y sen kx sen ( kx ωt) = y sen( k( x + λ ) ωt) = y sen( kx + kλ ωt) π + λ ωt = y λ sen ( kx + π ωt) = y sen( kx ωt) = y( x,t ) quindi per x = x + λ y(x,t) = y(x,t) ssia dp un tratt lung λ l nda si ripete uguale a se stessa, all stess istante. 6

7 3.) Significat di ω λ Indichia cn T il tep necessari all nda per percrrere un tratt λ T = e valutia v 0 la cndizine dell nda ad un istante t successiv di T rispett ad un istante t tale che t = t + T y( x,t ) = ysen πv = y sen kx t 0 ω λ ( kx ωt ) = y sen( kx ω( t + T )) = y sen( kx ωt ωt ) λ = ysen v 0 ( kx ωt π ) = y sen( kx ωt ) = y( x,t ) quindi per t = t + T y(x,t ) = y(x,t ) ssia dp un tep T l nda si ripete uguale a se stessa, nell stess punt. (T è dett perid dell nda). = Pssia prre f = T (detta frequenza dell nda) e risulta πv 0 π ω = = = π λ T f 7

8 4) Velcità delle nde. Da quant dett un nda sinusidale risulta avere una peridicità nell spazi, individuata dalla lunghezza d nda λ e una peridicità nel tep individuata dal perid T, a queste due peridicità nn sn indipendenti. Infatti: T = λ v f λ = v v = λf (3) ssia un nda che si prpaga cn velcità v nn può avere una qualsiasi λ e una qualsiasi f a scelta una l altra resta iprescindibilente fissata dalla relazine 3; all auentare della frequenza si riduce la lunghezza d nda della perturbazine. Inltre, ce vedre di seguit la velcità di prpagazine di un nda v è fissata dal ezz in cui l nda si prpaga. Di cnseguenza, vlend creare un nda in un ezz, l unica csa che pssia deterinare arbitrariaente è sl λ sl f. 8

9 5) Velcità delle nde trasversali. Suppnia di creare un nda trasversale in una crda, di densità lineare di assa μ, tesa cn una tensine T. Facend cincidere la direzine dell asse x cn la crda, la perturbazine iniziale sarà un vient lung l asse y prvcat da una frza applicata F y. y t 0 =0 T O x y Q P T O F y t > 0 Δ t = t t 0 = t O A x L estreità O della crda sllecitata da F y si innalza di un tratt OO' = v Δt = vt cn v velcità cn cui si uve verticalente l eleent di crda. Nell stess tep l nda prgredisce di un tratt OA = v Δ t = vt cn v velcità dell nda. Si assue che Δt 0, in d che i tratti AO,OO' e AO' sian picclissii e che valga AO' AO. Per la siilitudine dei triangli QPO e O OA abbia: OA OO' T vt T v T v = = = F y = T. Fy vt Fy v Fy v Usand la secnda legge della dinaica in terini di variazine della quantità di t, pssia scrivere: ΔP Fy = ΔP = FyΔt ΔP = T Δt v v t (*) ΔP è la quantità di t acquistata dal tratt di crda AO '. Nella cndizine che si ha che la assa della crda in t può essere scritta = μ OA = μ v t. AO' AO, Δ P = Δv = ( v fin v iniz ) = ( v 0 ) = v = μ v t v 9

10 Sstituend in (*) abbia: T v v t = μ v t v T = μ v v = T μ La velcità dell nda trasversale dipende sl dal ezz in cui si prpaga vver è fissata dalla densità lineare di assa μ ( prprietà inerziale) e dalla tensine T a cui è tesa la cda (prprietà elastica). 6) Onde lngitudinali: il sun Ogni vlta che un ggett vibra in aria prduce delle nde lngitudinali. Tali vibrazini, alternativaente, avvicinan allntanan le lecle di aria che si trvan in lr prssiità generand delle zne di cpressine di rarefazine dell aria che si prpagan: le lecle di aria cpresse spingn altre attigue lasciand dietr di sé zne di rarefazine. Queste vibrazini vengn, per un api intervall di frequenze e di energia trasprtata, percepite dall recchi ce sun quindi il sun è un nda lngitudinale che nasce cn delle vibrazini nell aria,(a anche in liquidi e slidi) ce quelle prdtte dalle crde di una chitarra, dalle crde vcali dai cni degli altparlanti. 0

11 Ce per le nde trasversali, anche qui la velcità di prpagazine è fissata dal ezz ed è deterinata dalla prprietà elastica e dalla prprietà inerziale del ezz: prprietà elastica B v 0 = = (4) prprietà inerziale ρ La prprietà elastica viene espressa dal cefficiente di cpriibilità B del ezz. Cnsiderand un vlue V 0 di un ateriale, se cnseguenteente alla variazine di pressine Δp su ess si ha una variazine ΔV di V 0 a teperatura cstante, B è csi definit: Δp B = in N/ Il segn perette di avere B > 0 in quant Δp e ΔV hann ΔV sepre segn ppst fra lr. V 0 B rappresenta la facilità di cpressine di un crp sttpst a degli sfrzi nrali: se è nuericaente piccl il ezz si cprierà facilente, viceversa se B è nuericaente grande. La prprietà inerziale è la densità vluetrica ρ del ezz. La reazine 4 perette di calclare la velcità del sun in un ezz; di seguit il valre della velcità del sun in alcuni ezzi: ateriale Velcità del sun (/s) Aria (a T = 0 C) 33 Aria (a T = 5 C) 343 Acqua distillata (a T = 5 C) 486 Acqua di are (a T = 5 C) 50 Rae 3800 Acciai

12 6.) Velcità delle nde lngitudinali. Dbbia ra distrare la relazine (4). Suppnia di creare una perturbazine in un tub cilindric di sezine A cntenente un fluid di densità ρ 0 a pressine p 0. Il tub è chius ad una estreità da un pistne a tenuta che può uversi senza attrit. Muvend il pistne cn velcità cstante v p, creia una perturbazine (un nda lngitudinale) che si uverà parallelaente al pistne cn velcità v. Si assue che sia v p < v. p 0, ρ 0 t 0 = 0 d = v 0 t p 0 + Δp p 0, ρ 0 t > 0 Δ t = t t 0 = t s = v p t Il pistne si uve di un tratt s = v p Δ t = v pt cpriend il fluid. Nella zna dve il fluid è cpress si ha un auent di pressine Δp. Nell stess tep, l nda prgredisce di un tratt d = v Δ t = vt. I punti della zna di transizine fra il fluid cpress e nn cpress (vver il frnte d nda) nn sn in equilibri in quant su essi è applicata una frza F nn nulla, infatti: F = (p 0 + Δp)A p 0 A =ΔpA. (*) Usand la secnda legge della dinaica in terini di variazine della quantità di t pssia scrivere: ΔP F = FΔt = MΔv Ft = MΔv (**) cn: Δt M la assa psta in vient dal pistne M = Vρ = Adρ= Av tρ Δv la variazine di velcità di M Δv = (v fin v iniz ) = v p 0 = v p. Segue, usand (**) e (*): ΔpA t = Av tρ v p Δp = ρ v v p. Intrducia il cefficiente di cpriibilità B e sservia che in quest cas: V 0 = Ad = A v t, ΔV = As = Av p t Δp B = ΔV V 0 ρ v v p = Av t p Av t B = ρv v = B ρ

13 7) Onde di pressine. Le nde lngitudinali pssn essere interpretate anche ce nde di pressine. Cnsideria un nda piana lngitudinale y(x,t) = y sen(kx-ωt). Mentre l nda si prpaga vers x psitiv di un tratt Δx, le lecle di fluid della superficie A si uvn nella stessa direzine di un tratt Δy cstringend le lecle vicine in un spazi inre in cui di cnseguenza auenta la pressine a p 0 +Δp. Δy A p 0 +Δ p p 0 x p < p 0 Δx Cnsiderat un vlue di riferient V 0 (= AΔx), che subisce un auent di pressine Δp cn cnseguente variazine di vlue ΔV = AΔy, abbia Δp ΔV AΔy Δy Δy B = Δp = B = B = B Δp = B (*) ΔV V AΔx Δx Δx 0 V 0 ( il segn testinia che il vlue diinuisce all auentare della pressine) Per essere precisi, Δx deve essere picclissi (Δx 0) ed in tal cas derivand, rispett ad x, l espressine dell nda: Δy Δx può essere ricavat Δy Δx x ( y sen( kx ωt )) = y k cs( kx ωt ) che sstituit in (*) prta a: (7.) Δ p = By k cs( kx ωt ) N N Il terine By k è una pressine (infatti = ) e pnia p = By k. Ess rappresenta il assi valre raggiunt dalla pressine relativa nel ezz in cui si prpaga l nda (apiezza di pressine). Se cnvenia di indicare Δp cn p vver la pressine relativa nel ezz in cui si prpaga l nda pssia scrivere: (7.) p(x,t) = p cs (kx-ωt) = p sen (kx-ωt -π/) ssia un nda di pressine. 3

14 Si nta che l nda di pressine, rispett all nda di spstaent : ) ha la stessa λ (e la stessa f ) ) è sfasata di π/. x scala p 0 p (sservazine: da v B = e p By k segue : (7.3) p = v ρ y k ). ρ = 8) Ptenza ed intensità di un nda Cnsideria un nda trasversale sinusidale che si prpaga lung x in una crda tesa di y( x,t ) = ysen kx ωt. densità lineare di assa μ: ( ) Pnia l attenzine ad un tratt della crda lung Δx intrn ad un generic punt fissat x f. Il tratt Δx ha una assa = μδx che si uve cn equazine del t: y( ( kx ω t) = y sen( ω + φ) x f,t ) = ysen f t cn φ = kx f + π = cst vver il tratt Δx intrn ad x f si uve di t arnic cn la stessa frequenza dell nda. t < t < t 3 Δx v x f 0 f(x f,t) 4

15 Ricrdand che l energia ttale di una assa in t arnic è tutta cinetica nel centr di scillazine, dve si uve cn velcità assia v ax, pssia scrivere l energia ttale ΔE T del tratt di crda Δx ce: Δ ET = vax = μ Δx yω ΔET = μ Δx y ω. (8-) ( ) L nda uvendsi cn velcità v cpre il tratt Δx in un tep Δt Δx = v Δt, e quindi: (8-) Δ ET = μ Δt v y ω. Le relazini precedenti esprin l energia ttale ΔE T psseduta da un tratt di crda Δx in cui si prpaga l nda, a la 8- perette di interpretare ΔE T ce l energia transitata in un tep Δt attravers un pian perpendiclare alla crda a causa del prpagarsi dell nda quindi la 8- può essere usata per calclare: l energia edia trasprtata ad un nda per unità di tep ΔET Δt = μ v y ω vver la ptenza edia trasprtata da un nda sinusidale unidiensinale: (8-3) ΔET P = = μ v y ω. Δt Il cas più interessante è quell di un nda tridiensinale che si prpaga in un vlue. In tal cas, la assa disturbata dall nda in un tep Δt è = ρδv cn ΔV eleent di vlue ΔV = AΔx v A x Δx kg kg = ρδv = ρ A Δx sservia che ρ A ha diensini = vver le stesse 3 diensini di μ, quindi dalla 8-3 sstituend μ cn ρ A ttenia la ptenza edia trasprtata da un nda sinusidale tridiensinale: (8-4) ΔE T P = = ρ A v y ω. Δt 5

16 Per le nde tridiensinali si intrduce il cncett di Intensità dell nda: l energia trasprtata dall nda per unità di tep e per unita di superficie vver la ptenza trasprtata dall nda per unità di superficie. Dalla 8-4, segue che l intensità edia I di un nda sinusidale tridiensinale è (8-5) I P ΔET = = = ρ v y ω. (in W/ ) ricrdand che ω = π f A Δt A (8-6) I = π ρ v f y. Osservazini: ) La relazine (8-6) ci dice che l intensità di un nda di frequenza f, essend ρ e v fissati dal ezz, può essere variata sl cabiand l apiezza dell nda. ) L intensità dipende dal quadrat dell apiezza 3) Per un nda di pressine, dalla 7-3 segue: I 3 3 ( f λ ) ΔET p p ω p p = = ρ v ω = = = v = Δt A ρkv ρv k ρv ρv 3 p ρv (8-6) I = p p = ρv Bρ L intensità dipende sl dal quadrat dell apiezza di pressine. L intensità del sun percepibile dall recchi uan va da circa 0 - W/ ad un assi di circa 00 W/ ssia un intervall enre; 4 rdini di grandezza! Per perettere ciò, la percezine dell intensità da parte dell recchi uan nn è lineare a sl lgaritica: se l intensità ad esepi auenta di un fattre 000 la nstra percezine auenta sl di un fattre 3 ssia del lg A causa di questa relazine fra la sensazine sggettiva e il valre dell intensità dell nda, si preferisce parlare, invece che d intensità I, di livell snr β isurat in decibel (db) csi definit: β (in db) I = 0 lg 0 cn I 0 = 0 - W/ inia intensità percepibile. I 0 Livelli snri db Ptenza (W/ ) Sglia dell udibile Frusci di fglie Cnversazine Ristrante, uffici rursi, traffic Asciuga capelli, aspiraplvere , Discteca, sirena (a 30 ) 00 0, Cncert rck (a 50 ) 0 Sglia del dlre 0 Jet (a 30 )

17 9) Equazine delle nde sferiche Un nda prdtta da una srgente puntifre iersa in un ezz gene ed istrp ha un frnte d nda sferic: la perturbazine prdtta a t 0 =0 nell rigine si prpaga in tutte le direzini cn la stessa velcità v percrrend in un tep t l stess spazi r = v t in gni direzine. Al tep t tutti i punti in fase (frnte d nda) sn quelli che cstituiscn una superficie sferica di raggi r = v t. r = v t t > t > t 0 srgente r = v t Piché l energia si cnserva, all istante t sulla sfera S di raggi r si trva la stessa energia che all istante t sulla sfera S di raggi r, vver l energia trasprtata dall nda in un Δt intrn a t e t è la stessa. E = E I S Δt = I S Δt I 4πr = I 4πr I r = I r I I r =. r L intensità di un nda sferica diinuisce cn il quadrat della distanza dalla srgente, e ricrdand che,, y r y, r I y = = segue che y r y r, L apiezza di un nda sferica diinuisce cn la distanza dalla srgente. L equazine di un nda sferica sinusidale è: y y( r,t ) = sin( k r ω t ) cn r distanza dalla srgente. r 7