Esercizi di Matematica Finanziaria

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1 Esercizi di Matematica Finanziaria Rischio di tasso di interesse e contratti indicizzati Claudio Pacati Università degli Studi di Siena claudio.pacati@unisi.it Roberto Renò Università degli Studi di Verona roberto.reno@univr.it Versione del 18 settembre 2016 Temi trattati in questa raccolta di esercizi: Duration e convexity Rischio di tasso di interesse Tassi variabili Titoli a cedola variabile Derivati su tasso di interesse Esercizio 1 Un portafoglio obbligazionario è formato da: a) BTP con valore di mercato 10 milioni di euro e duration 8 anni e mezzo; b) rendite perpetue con rata annuale per un valore attuale di 6 milioni di euro; c) BOT a 3 mesi per un valore di rimborso di 5 mln di euro. Assumendo che la struttura per scadenza dei tassi sia piatta al tasso annuo i = 4%, si calcoli il valore V e la duration D del portafoglio. Il portafoglio viene poi ribilanciato nel seguente modo: tutti i titoli di Stato Italiani vengono venduti a al loro posto viene acquistato un valore pari a V (incognito) titoli di Stato a cedola nulla Tedeschi a 2 anni, in modo tale che la duration complessiva del nuovo portafoglio sia di 10 anni. Si calcoli il valore V necessario a tale scopo. Esercizio 2 In un mercato in cui la struttura per scadenza è piatta al tasso annuo i = 4.36%, un investitore detiene un portafoglio del valore complessivo di 38 mln di euro, formato per il 60% del valore da rendite perpetue a rata annuale costante e per il resto da BOT a 6 mesi. Si calcoli la duration del portafoglio. L investitore decide poi di acquistare titoli a cedola nulla con maturità T da decidere, per un valore complessivo di 200 mln di euro. Si calcoli la maturità che deve essere fissata anziché il portafoglio complessivo dell investitore abbia una duration di 4 anni. Esercizio 3 Si consideri un portafoglio interamente composto di BTP con maturità 5 anni e tasso nominale annuo del 3%, del valore complessivo di V = 28 milioni di euro. Ipotizzando che la struttura dei tassi di interesse sia piatta, al tasso annuo i = 12%, si calcoli la duration D del portafoglio. A tale portafoglio, vengono aggiunti CTZ con vita residua di 9 mesi per un valore V. Si calcoli il valore complessivo V + V del nuovo portafoglio, con V tale che la duration complessiva di del portafoglio risulti di D = 2 anni. Esercizio 4 La Ducktown University ha debito che consiste in una rendita trentennale con rata mensile di 1 000$. Si calcoli anzitutto il valore V e la duration D (in anni) del debito, sapendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta, con tasso annuo i = 6%. Il direttore amministrativo vuole dimezzare la duration del debito, acquistando titoli per un importo V (n.b.: acquisto in senso stretto, cioè con V > 0). Può scegliere tra titoli a cedola nulla a un anno, titoli a cedola nulla a due anni e titoli a cedola nulla trentennali. Determinare per ciascuna dei tre TCN se è adatto allo scopo, tra quelli adatti, quale sia quello che gli fa spendere di meno e l importo da spendere nel caso di acquisto di titoli del TCN scelto. Motivare le risposte! Esercizio 5 Una famiglia deve gestire un patrimonio di euro e lo investe interamente in BTP con maturità di 5 anni e tasso nominale annuo del 5.5%. Assumendo che sul mercato viga una struttura per scadenza piatta al tasso i = 6%, si calcoli la duration del portafoglio, esprimendola in anni. Un consulente convince la famiglia ad abbassare il rischio dell investimento, disinvestendo parte dei BTP (per un valore di mercato complessivo V ) e acquistando con il ricavato BOT a 3 mesi, in maniera da ottenere una duration del portafoglio di 1 anno. Si calcoli il valore V necessario a tale scopo. Esercizio 6 Il fondo MoneyGest deve investire V tot = 100 mln di euro raccolti fra la sua clientela in un portafoglio composto da

2 BTP a un anno, con tasso nominale annuo del 1.5%, e CTZ a due anni; l obiettivo è di avere una duration complessiva di 1.8 anni. Si determini l importo V BTP da investire nel BTP e l importo V CTZ da investire nel CTZ, sapendo che i tassi di mercato (in base annua) sono i(0, 0.5) = 3%, i(0, 1) = 4%, i(0, 1.5) = 4.5%, i(0, 2) = 5%. Subito dopo avere effettuato l investimento, il fondo riceve la richiesta dell autorità di vigilanza di effettuare uno stress test, consistente nel calcolare le variazione di valore del fondo V +100pb e V 50pb nell ipotesi che i tassi di interesse salgano istantaneamente di 100 punti base ( = 1%) o scendano di 50 punti base, rispettivamente. Si calcolino gli importi da comunicare all autorità di vigilanza, sapendo che essa accetta l uso di approssimazioni ragionevoli. Esercizio 10 Si consideri un mercato in cui sono quotati tre titoli, con duration rispettivamente D 1 = 1 anni, D 2 = 5 anni, D 3 = 10 anni. Un investitore ha a disposizione euro e vuole investirne un quartol primo titolo e il resto nei rimanenti due, con l obiettivo di ottenere una duration di 6 anni. Si calcoli l importo V 2 che investirà nel secondo titolo e l importo V 3 che investirà nel terzo. Se invece il terzo titolo fosse una rendita immediata, perpetua a rata semestrale costante e se la struttura per scadenza dei tassi di interesse fosse piatta, con tasso annuo i = 5%, fermi rimanendo tutti i rimanenti dati del problema, quale sarebbe la soluzione? Esercizio 7 Un investitore acquista un portafoglio del valore attuale di euro, composto per il 10% del valore da TCN a un anno, e per il valore restante da TCN a 10 anni. Assumendo una struttura per scadenza piatta al tasso i = 4.65%, si calcoli la duration del portafoglio esprimendola in anni. Ritenendo tale duration troppo rischiosa, l investitore decide di liberarsi dei TCN a 10 anni e investire una frazione α dei proventi in altri TCN a 1 anno, e la restante frazione (1 α) in rendite perpetue mensili, con rata R = euro. Si calcoli la frazione α necessaria a rendere la duration complessiva pari a 3 anni. Esercizio 8 Un fondo obbligazionario detiene un portafoglio di obbligazioni del valore di 45 milioni di euro e con la duration di 6.6 anni. Tale portafoglio viene arricchito con l investimento in BOT a 1 anno con l obiettivo di abbassare la duration fino a 6 anni. Sapendo che la struttura per scadenza è piatta al tasso i = 4.5%, si calcoli il valore V da investire in BOT a tale scopo. Subito dopo avere effettuato l investimento, il gestore del fondo vuole calcolare la fluttuazione di valore del portafoglio che conseguirebbe ad una variazione dei tassi di 50 punti base. Si calcoli tale variazione utilizzando approssimazioni ragionevoli. Esercizio 9 Un gestore di un fondo comune obbligazionario deve investire il patrimonio del fondo che ammonta a 100 milioni di euro in un portafoglio di obbligazioni, in modo che la duration del fondo risulti di 6.1 anni. A tale scopo ha può scegliere tra titoli a cedola fissa annuale a 10 anni, con tasso cedolare 3%, e TCN a 1 anno. Nell ipotesi che sul mercato sia in vigore una struttura per scadenza dei tassi di interesse piatta, al tasso annuo i = 3%, determinare le duration (in anni) D TCF e D TCN dei due titoli e gli importi V TCF e V TCN che il gestore investirà nei due titoli. Subito dopo avere composto il portafoglio, al fondo affluiscono altri 10 milioni di euro e il gestore li investe in una rendita immediata perpetua a rata semestrale costante posticipata. Si determini la duration D (in anni) del fondo dopo quest ultima aggiunta. Esercizio 11 Si consideri un portafoglio obbligazionario del valore complessivo di 500 mln di euro, investito per il 30% del valore in BOT a un anno, e per il resto in BTP con duration di 9 anni. La struttura dei tassi di interesse è piatta al tasso annuo i = 4.25%. Si calcoli la duration D del portafoglio. Si decide di ribilanciare il portafoglio per aumentarne la duration di 8 mesi, vendendo un certo ammontare V di BOT e acquistando rendite immediate, posticipate a rata annuale costante con durata m = 20 anni per un valore identico. Si calcoli il valore V da disinvestire (e reinvestire) a tale scopo Esercizio 12 Al tempo t = 0, la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta al tasso i = 4.5%. Il signor Tedesco possiede un portafoglio del valore di euro investito interamente in BT P di maturità 6 anni, e t.n.a. del 6%. Si calcoli la duration del portafoglio. Giudicando la duration eccessiva, il signor Tedesco decide di ridurla vendendo una quota del portafoglio, dal valore V espresso in euro, e re-investendola in BOT a 6 mesi. Quanto deve essere la quota V affinché la duration complessiva risulti pari a 3 anni? Esercizio 13 Un portafoglio obbligazionario è formato da: a) BOT a 3 mesi con valore di rimborso 10 mln di euro; b) rendite perpetue con rata annuale per un valore attuale di 6 milioni di euro; c) titoli a cedola nulla a due anni per un valore di rimborso di 5 mln di euro. Assumendo che la struttura per scadenza dei tassi sia piatta al tasso annuo i = 4%, si calcoli il valore V e la duration D del portafoglio. Il portafoglio viene poi ribilanciato nel seguente modo: i titoli a due anni vengono integralmente venduti, e al loro posto viene acquistato un valore pari a V (incognito) di rendite perpetue con rata annuale, in maniera tale da raddoppiare la duration precedente. Si calcoli il valore V necessario a tale scopo. 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3 Esercizio 14 Nel mercato eurobond sono disponibili due titoli: a) un titolo a cedola nulla con scadenza sei mesi; b) una rendita perpetua con rata semestrale. La struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore su questo mercato è piatta, di tasso annuo i = 3%. Si calcolino le duration D a e D b, rispettivamente, dei due titoli, esprimendole in anni Il sig. Rossi ha un portafoglio con valore euro e duration 5 anni e vuole investire altri euro in questo mercato, in modo tale che la duration del suo portafoglio non cambi. Si determini come deve ripartire i euro fra i due titoli, indicando con V a l investimento nel primo titolo e con V b l investimento nel secondo. Esercizio 15 Nel mercato eurobond viene emesso un TCF con cedola annuale, vita a scadenza 5 anni e tasso cedolare 3%. Sapendo che la struttura per scadenza è piatta al tasso annuo 3.5%, si calcoli il prezzo P (riferito ad un facciale C = 100) e la duration D del TCF. Un investitore, che possiede 12 mln di euro investiti in TCN con maturità di 4 mesi, desidera portare la duration del proprio portafoglio a 2 anni, investendo ulteriori V milioni di euro nel TCF di cui sopra. Si calcoli la quantità V necessaria allo scopo. Esercizio 16 Un azienda ha un esposizione debitoria di valore attuale 10 milioni di euro e duration 5.5 anni. Dovendo finanziare un nuovo progetto, accede ad un finanziamento che prevede il rimborso di 1 milione di euro fra un anno. Se la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta, al tasso annuo i = 6%, si determini il valore V e la duration D dell esposizione dell azienda dopo il nuovo finanziamento. Un istituto di credito propone una ristrutturazione del debito dell azienda, che consiste nel sostituirne la metà del valore V con un finanziamento di pari valore attuale ma con il doppio della duration. Calcolare la duration D delle passività dell azienda, nell ipotesi che la ristrutturazione venga effettuata. Esercizio 17 Ipotizzando che il debito pubblico italiano sia composto interamente da BTP decennali con tasso nominale annuo del 4% e valore nominale complessivo C = 2.2 trilioni di euro (1 trilione = miliardi), se ne calcoli la duration e il valore di mercato V in t = 0 assumendo che la struttura sia piatta al tasso i = 0.5%. Il Tesoro decide di allungare la duration di 1 anno, sostituendo BTP per un valore di mercato complessivo di 400 miliardi di euro con titoli a cedola nulla dello stesso valore. Si calcoli la maturità T dei titoli a cedola nulla necessaria a tale scopo. Esercizio 18 Il signor Russo vuole investire V = euro in un portofoglio composto da BTP trentennali di tasso nominale annuo 3% e BOT a 6 mesi. Come deve ripartire l importo a disposizione V = V BTP + V BOT tra i due titoli, in modo tale che la duration del portafoglio sia di 10 anni? Nel mercato è in vigore una struttura per scadenza dei tassi di interesse piatta, al tasso annuo 4%. Si dia inoltre una stima della variazione di valore V che subisce il portafoglio così costruito se, immediatamente dopo l acquisto, tutti i tassi di mercato scendono di 60 punti base (1 punto base = 0.01%). Esercizio 19 Un fondo pensione attiva una linea di investimento in obbligazioni italiane del valore di 180 milioni di euro. Essa viene investita, al tempo t = 0, in BTP di due tipi: 1) a 3 anni, per il 50% del valore; 2) a 30 anni, per il restante 50%. Sapendo che la struttura per scadenza è piatta e che il tasso semestrale di interesse è pari al tasso cedolare di entrambi i BTP, e cioè pari a 0.55%, si calcoli la duration D del portafoglio esprimendola in anni. Il gestore decide di aumentare il rendimento del fondo aumentandone la duration di 5 anni. A tale scopo acquista rendite perpetue posticipate, con rata triennale (pagata cioè ogni tre anni) per un valore complessivo V. Si calcoli il valore di V necessario allo scopo. Esercizio 20 Si consideri un mercato in cui sono quotati tre titoli, con duration rispettivamente D 1 = 6 mesi, D 2 = 2 anni, D 3 = 6 anni. Un investitore ha a disposizione euro e vuole investirne nel primo titolo e il resto nei rimanenti due, con l obiettivo di ottenere una duration di 3 anni. Si calcoli l importo V 2 che investirà nel secondo titolo e l importo V 3 che investirà nel terzo. Nel portafoglio vengono successivamente investiti altri in una rendita perpetua con rata semestrale costante. Assumendo che la struttura per scadenza sia piatta, con tasso annuo i = 4.04%, si calcoli il valore V e la duration D (in anni) del portafoglio dopo quest aggiunta Esercizio 21 Nel mercato eurobond sono disponibili due titoli: a) il titolo x, con prezzo P x = 200 euro e duration D x = 8 anni; b) il titolo y, con prezzo P y = 100 euro e duration D y = 2 anni; Il sig. Bianchi ha un portafoglio z composto da α x = 6 unità del titolo x e α y = 4 unità del titolo y. Si calcoli il prezzo P z e la duration D z del portafoglio. Il sig. Bianchi si accorge che il portafoglio ha una duration troppo bassa e decide di aumentarla di un anno, vendendo un certo numero di quote del titolo y e investendo l intero ricavato nel titolo x. Determinare le nuove quote di composzione α x e α y del portafoglio dopo questa movimentazione. Pagina 3 di 12

4 Esercizio 22 Mario Rossi investe 100 euro in un BOT a 6 mesi, 200 euro in un BTP a tre anni con tasso nominale annuo il 3% e 300 euro in una rendita perpetua a rata annuale costante posticipata. Sapendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta al tasso annuo i = 5%, si determini il valore V e la duration D (in anni) del portafoglio. Supponendo che improvvisamente i tassi subiscano una variazione i = +0.5%, di quanto cambia (approssimativamente) il valore del portafoglio del nostro investitore? Mario Rossi guadagna o perde? Motivare le risposte. Esercizio 23 Si consideri un portafoglio del valore complessivo di 300 mln di euro, investito interamente in BTP con maturità T = 20 anni e t.n.a. del 2.2%. Si calcoli il payoff (flusso di cassa) x T del portafoglio in T e la duration D del portafoglio stesso, esprimendola in anni, nel caso in cui sul mercato viga una struttura piatta al tasso annuo i = 4.45%. Si decide, successivamente, di vendere una parte del portafoglio di valore V e di investirla in BOT a 6 mesi allo scopo di portare la duration complessiva del portafoglio a D = 10 anni. Si calcoli il valore V necessario. Esercizio 24 Si consideri un mercato in cui sono quotati tre titoli, con duration rispettivamente D 1 = 6 mesi, D 2 = 2 anni, D 3 = 4 anni. Un investitore ha a disposizione euro e vuole investirne nel primo titolo e il resto nei rimanenti due, con l obiettivo di ottenere una duration di 3 anni. Si calcoli l importo V 2 che investirà nel secondo titolo e l importo V 3 che investirà nel terzo. Subito dopo vince euro al lotto e decide di aggiungerli al portafoglio, investendoli in una rendita perpetua con rata semestrale costante. Assumendo che la struttura per scadenza sia piatta, con tasso annuo i = 4.04%, si calcoli il valore V e la duration D (in anni) del portafoglio dopo quest aggiunta Esercizio 25 Il sig. Bianchi ha in portafoglio i seguenti titoli: una rendita perpetua con rata annuale di 100 euro; un BOT a sei mesi di nominale euro. Sapendo che sul mercato è in vigore una struttura per scadenza piatta, di tasso annua i=7%, si calcoli il valore V e la duration (in anni) D del portafoglio Un consulente finanziario lo convince che il suo portafoglio è troppo rischioso e gli suggerisce di dimezzarne la duration. A questo scopo, gli propone di vendere un po della rendita, per un valore di V euro, e di comprare con questa somma un titolo a cedola nulla a 2 anni. Si determini il valore V necessario allo scopo. Esercizio 26 L Università di Siena detiene un portafoglio obbligazionario del valore di 12 milioni di euro e con la duration di 8.6 anni. Tale portafoglio viene arricchito con l investimento in CT Z a 2 anni con l obiettivo di abbassare la duration fino a 7 anni. Si calcoli il valore complessivo V del nuovo portafoglio dopo l operazione. Subito dopo avere effettuato l investimento, l Università vuole calcolare la fluttuazione eventuale del fondo in seguito ad una variazione dei tassi di 50 punti base. Si calcoli tale variazione utilizzando approssimazioni ragionevoli. Esercizio 27 Nel mercato eurobond sono disponibili due titoli: a) il titolo x, con prezzo P x = 100 euro e duration D x = 10 anni; b) il titolo y, con prezzo P y = 200 euro e duration D y = 3 anni; Il sig. Bianchi ha un portafoglio z composto da α x = 6 unità del titolo x e α y = 4 unità del titolo y. Si calcoli il prezzo P z e la duration D z del portafoglio. Il sig. Bianchi si accorge che il portafoglio ha una duration troppo elevata e decide di abbassarla di un anno, vendendo un certo numero di quote del titolo x e investendo l intero ricavato nel titolo y. Determinare le nuove quote di composzione α x e α y del portafoglio dopo questa movimentazione. Esercizio 28 Il fondo pensioni dell azienda Rossi & Figli investe solo in titoli di Stato e ha un patrimonio di euro, investito con duration di 7 anni. Il gestore del fondo deve investire i contributi raccolti nell ultimo mese, che ammontano complessivamente a euro, con l obiettivo di mantenere inalterata la duration del fondo. Per fare questo ha a disposizione BTP a 10 anni, con tasso nominale annuo del 3% e BTP a 3 anni, con tasso nominale annuo dell 1%. Nell ipotesi che la struttura per scadenza dei tassi di interesse sia piatta, al 2.01% annuo, si determini l importo V 10 che investirà nel BTP a 10 anni e l importo V 3 che investirà nel BTP a 3 anni. Subito dopo, il fondo deve fare fronte ad una spesa di Per questioni di tattica di mercato, il gestore decide di reperire i fondi necessari smobilizzando parte dei BTP a 10 anni. Determinare il patrimonio P e la duration del fondo, dopo questo smobilizzo. Esercizio 29 Un portafoglio di attività finanziare obbligazionarie composto da BTP appena emessi a 15 anni, con t.n.a del 4.3% e del valore complessivo di 28.5 mln di euro. Si calcoli la duration D di tale portafoglio assumendo che la struttura per scadenza sia piatta al tasso i = 4.2%. Si decide di abbassare tale duration di 3 anni disinvestendo parte dei BTP e rimpiazzandoli con BOT a 3 mesi, in maniera tale che il valore del portafoglio resti immutato. Si calcoli il valore V, in milioni di euro, che va disinvestito in BTP e investito in BOT a tale scopo. Pagina 4 di 12

5 Esercizio 30 Il signor Russo deve investire euro ha a disposizione i seguenti titoli: una rendita immediata e perpetua con rata semestrale costante; un BOT a 3 mesi; un BTP con duration 9.5 anni. La struttura per scadenza dei tassi di interesse di mercato è piatta, con tasso annuo i = 2%. Sapendo che il signor Russo vuole investire metà della somma nel BOT e che il portafoglio dovrà avere una duration complessiva di 10 anni, determinare l importo V ren che investirà nella rendita e l importo V BTP che invesitrà nel BTP. Subito dopo avere effettuato l investimento, il signor Russo vince euro al lotto e decide di investirli tutti nello stesso BTP già acquistato. Si determini la duration D del portafoglio dopo questo ulteriore investimento Esercizio 31 Nel mercato eurobond sono disponibili due titoli: a) un titolo a cedola nulla con scadenza 10 anni; b) un titolo a cedola fissa annuale del 3% e durata 5 anni. La struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore su questo mercato è piatta, di tasso annuo i = 3%. Si calcolino le duration D a e D b, rispettivamente, dei due titoli, esprimendole in anni Il sig. Rossi vuole investire euro in questo mercato, in modo tale che la duration del suo portafoglio sia esattamente di 7 anni. Si determini quanto deve investire nel primo titolo (V a ) e quanto nel secondo (V b ). Esercizio 32 Si consideri un BTP appena emesso con tasso nominale annuo del 4% e maturità di 5 anni. Si calcoli la duration del BTP se la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso annuo i = 3%. Si consideri un portafoglio investito per il 20% del valore totale nei BTP di cui sopra, per il 50% in BOT a 3 mesi, e per il resto in rendite perpetue con rata annuale. Si calcoli la duration D di tale portafoglio. Esercizio 33 Nel mercato eurobond sono disponibili due titoli: a) un titolo a cedola nulla con scadenza sei mesi; b) una rendita perpetua con rata semestrale. La struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore su questo mercato è piatta, di tasso annuo i = 3%. Si calcolino le duration D a e D b, rispettivamente, dei due titoli, esprimendole in anni Il sig. Rossi ha un portafoglio con valore euro e duration 5 anni e vuole investire altri euro in questo mercato, in modo tale che la duration del suo portafoglio non cambi. Si determini come deve ripartire i euro fra i due titoli, indicando con V a l investimento nel primo titolo e con V b l investimento nel secondo. Esercizio 34 Un istituzione finanziaria detiene un portafoglio obbligazionario composto da 500 ZCB a tre mesi, da 200 ZCB a sei mesi e da 399 ZCB ad un anno. Tutti gli ZCB presentano valore nominale C = 100e. Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcoli la duration D del portafoglio: L istituzione decide di aumentare la duration del portafoglio di 0.1 anni, operando solo sui titoli a tre mesi e su quelli a sei mesi nel modo seguente: incrementa il portafoglio di α titoli a sei mesi e decrementa di α titoli a tre mesi. Si determini il valore α che permette di ottenere l aumento di duration desiderato. Esercizio 35 Si consideri, al tempo t = 0, un mercato di titoli obbligazionari, con due contratti: il titolo x, con valore 100 euro e duration 5 anni; il titolo a cedola nulla a un anno y, con valore 300 euro; Si consideri il caso di un investitore con un capitale di 1000 euro. Si determini anzitutto quale è la durata media finanziaria minima D min e quale quella massima D max dei portafogli di questo mercato che l investitore può acquistare senza operare vendite allo scoperto. Infine, nel caso voglia investire tutto il suo capitale in un portafoglio con durata media finanziaria di 4 anni, si determini quante quote α x e α y, dei titoli x e y rispettivamente, deve acquistare. Esercizio 36 Un istituzione finanziaria detiene due portafogli obbligazionari: il primo x vale 1.5 milioni di euro e ha una duration di 2 anni. Il secondo y vale un milione di euro ed è interamente composto da BOT a un anno. Si calcoli il valore e la duration del portafoglio complessivo z = x + y. Si supponga poi che l istituzione aggiunga al portafoglio un acquisto nominale di 0.5 milioni di euro interamente in BOT a sei mesi. Ipotizzando che la struttura dei tassi sia piatta al tasso annuo i = 3%, si calcoli il valore e la duration del portafoglio u, ottenuto dalla somma fra il portafoglio z e il nuovo acquisto in BOT semestrali. Esercizio 37 Si consideri un azienda che deve investire la sua liquidità di euro in un portafoglio composto da BOT a 3 mesi e BOT a 1 anno, in modo che la durata media finanziaria del portafoglio sia di 4 mesi. Determinare l importo V 3m da investire in BOT a 3 mesi e l importo V 1a da investire in BOT a 1 anno. L azienda possieda anche un altro portafoglio di titoli di Stato, con valore euro e durata media finanziaria 3 anni e mezzo. Determinare il valore V tot e la durata media finanziaria D tot (in anni) della posizione complessiva in titoli di Stato dell azienda. Esercizio 38 Si consideri un istituzione finanziaria che detiene un portafoglio di titoli di Stato con valore V 0 = euro e Pagina 5 di 12

6 durata media finanziaria di D 0 = 2 anni. A questo portafoglio aggiunge una rendita perpetua, con rata mensile posticipata di R = 100 euro. Sapendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato è piatta al tasso annuo i = 5%, si calcoli il valore V 1 e la durata media finanziaria D 1 (in anni) del nuovo portafoglio. L isituzione ritiene che il nuovo portafoglio abbia una durata media finanziaria troppo elevata. Decide di riportarla al livello iniziale D 0 mediante l acquisto di BOT a tre mesi. Determinare l importo V BOT che deve investire in BOT a tre mesi per raggiungere lo scopo e il valore V 2 del portafoglio risultante. x: TCN a pronti con valore facciale euro, maturity sei mesi; y: TCN a pronti con valore facciale euro, scadenza tra un anno e mezzo. Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei due titoli: Supponendo di voler investire euro in un portafoglio composto da α quote del primo titolo e da β quote del secondo; si calcoli per quali valori di α e β il portafoglio così ottenuto ha duration pari ad 1 anno: Esercizio 39 Siano dati i titoli: x: TCN a pronti con valore facciale euro, maturity sei mesi; y: TCF con cedola semestrale, tassso nominale annuo 6%, valore facciale euro, scadenza tra un anno e mezzo. Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei due titoli: Supponendo di voler investire euro in un portafoglio composto da α quote del primo titolo e da β quote del secondo; si calcoli per quali valori di α e β il portafoglio così ottenuto ha duration pari ad 1 anno: Esercizio 40 Si calcolino valore attuale e duration al tempo t 0 = 0 di una rendita perpetua immediata posticipata r con rata bimestrale pari a 35 euro secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = Si supponga di aggiungere al portafoglio un BOT a sei mesi con valore facciale pari a Si calcolino le stesse grandezze per il nuovo portafoglio p, nell ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa Esercizio 41 Siano dati i titoli: x: TCN a pronti con valore facciale euro, maturity sei mesi; y: rendita perpetua con rata mensile posticipata di 10 euro. Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei due titoli: Si assuma di essere già in possesso di un titolo a cedola nulla z, che rimborsa euro a un anno, e di avere a disposizione ulteriori euro, da investire nei titoli x e y con l obiettivo di non modificare la durata media finanziaria di quanto già detenuto. Determinare quante unità α del titolo x e quante unità β del titolo y bisogna comprare. Esercizio 43 Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza dei fattori di sconto: v(0, s) = 1 ks con k = 0.03 e le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si calcolino: il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un TCF biennale con cedola annuale, tasso nominale del 6%, capitale facciale C = 100 euro. il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e 3 mesi, per avere il pagamento di 50 euro in s = 2 anni e 4 mesi. l intensità istantenea di interesse a 4 anni. Esercizio 44 Siano dati i titoli: x: rendita perpetua con rata semestrale costante di 200 euro; y: TCN a pronti con valore facciale euro, scadenza tra un anno e mezzo. Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcolino i valori attuali e le duration dei due titoli. Si calcolino inoltre il prezzo e la duration del portafoglio z composto da α = 0.4 quote di x e β = 0.6 quote di y. Esercizio 45 Un portafoglio del valore complessivo di V = 2 milioni di euro è costituito, per un quarto del valore, da BOT a 3 mesi, e per il valore restante da un titolo con duration pari a D 2 = 7 anni. Si calcoli la duration complessiva del portafoglio. Si supponga di voler sostituire il secondo titolo con titoli a cedola fissa con duration pari a D 3 = 10 anni. Si calcoli il valore complessivo V del portafoglio così ottenuto in maniera che la duration non cambi rispetto al portafoglio precedente. Esercizio 42 Siano dati i titoli: Esercizio 46 Siano dati i titoli seguenti: Pagina 6 di 12

7 r: rendita posticipata perpetua immediata a rata trimestrale costante R = 500 euro; x: TCN a pronti con valore facciale , scadenza tra un anno e 8 mesi Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcoli il valore e la duration (in anni) dei due titoli. Si assuma di volere costruire un portafoglio del tipo αr + βx, che abbia valore euro e duration 10 anni: si determinino le quote α e β che realizzano la richiesta. Esercizio 47 Siano dati i titoli seguenti: r: rendita posticipata perpetua immediata a rata semestrale costante con valore attuale pari a euro; x: TCN a pronti con valore facciale 2 000, scadenza tra un anno e 9 mesi Nell ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 5% annuo, si calcolino la rata R della rendita, il prezzo del TCN e le duration in anni dei due titoli: Si calcoli inoltre il prezzo e la duration del portafoglio s = 0.8r + 0.2x. Esercizio 48 Si consideri, in t = 0, un portafoglio del valore complessivo di V = 2 milioni di euro, composto per un terzo del valore da BOT con scadenza T = 6 mesi, e per due terzi del valore da rendite perpetue immediate posticipate annuali. Sotto l ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 4% annuo, si calcoli la duration D del portafoglio: Si supponga poi di aggiungere al portafoglio BOT con scadenza ad una maturità incognita x e del valore, in t = 0, di due milioni di euro. Si calcoli il valore di x tale per cui la duration del nuovo portafoglio risulti pari a D = 10 anni. Esercizio 49 Un istituzione finanziaria detiene un portafoglio obbligazionario composto da 500 ZCB a tre mesi, da 200 ZCB a sei mesi e da 200 ZCB ad un anno. Tutti gli ZCB presentano valore nominale C = 100 e. Sotto l ipotesi che la struttura dei tassi sia piatta al livello del 3% annuo, si calcoli la duration D del portafoglio. L istituzione decide di incrementare la duration del portafoglio di 3 anni acquistando un numero n di rendite perpetue con rata annuale posticipata R = 100 e. si indichi il valore n che permette di ottenere l incremento desiderato. Esercizio 50 Un istituzione detiene al tempo t = 0 due portafogli, il primo indicato con x e dal valore complessivo di 3 milioni di euro, formato per il 20% del valore da ZCB a un anno e per il restante 80% del valore da ZCB a due anni; il secondo, indicato con y, dal valore complessivo di 5 milioni di euro e costituito da una rendita posticipta perpetua con rata annuale R = euro. Assumendo una struttura per scadenza piatta, si calcolino le duration di entrambi i portafogli. Esercizio 51 Si consideri in t = 0 un titolo a cedola nulla, che promette 100 euro dopo 6 mesi e ha prezzo P = 95, e una rendita posticipata a rata costante semestrale, di 10 anni e rata R = 10 euro. Assumendo che la struttura dei tassi sia piatta al tasso interno di rendimento del TCN, si valuti il valore V e la duration D della rendita. Avendo a disposizione un capitale di 5000 euro e volendolo investire tutto in un portafoglio dei due titoli, si calcoli quante quote α della rendita e quante quote β del TCN occorre acquistare per avere una duration complessiva di 4 anni. Esercizio 52 Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza dei fattori di sconto: v(0, s) = e s/10 con le scadenze s espresse in anni. In questo mercato, si calcolino: il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un TCF triennale con cedola annuale, tasso nominale del 4%, capitale facciale pari a C = 100 euro. il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 1 anno e 4 mesi, per avere il pagamento di 100 euro in s = 3 anni. Esercizio 53 Un istituzione finanziaria detiene un portafoglio obbligazionario, del valore di 1 milione di euro, che prevede il pagamento di due poste: dopo un anno, di 400 mila euro, e dopo due anni di 700 mila euro. Assumendo che la struttura per i tassi di interesse sia piatta, si calcoli la duration D di tale attivo finanziario. Si supponga poi che l istituzione aggiunga al portafoglio 500 mila euro di obbligazioni, ripartiti in BOT a 3 mesi e TCF di duration pari a 5.1 anni. Si calcolino le quantità V BOT e V T CF di acquisto di BOT e TCF rispettivamente, affinché la duration complessiva del portafoglio risulti invariata. Esercizio 54 Un università pubblica ha, in t = 0, un debito di C = 200 milioni di euro, da restituire in unica soluzione in T = 3 anni. A questo debito si somma un uscita mensile posticipata perpetua pari a euro. Assumendo una struttura piatta al tasso i = % in base annua, si calcoli il valore complessivo V del debito al tempo zero e la sua duration D espressa in anni. In caso di struttura piatta, si calcoli il valore i del tasso in base annua che renderebbe la duration complessiva del debito pari a 3 anni, e lo si esprima in forma percentuale e su base annua. Pagina 7 di 12

8 Esercizio 55 Si calcolino valore attuale e duration al tempo t 0 = 0 di un TCF X con cedola semestrale e tasso nominale annuo pari al 6%, vita a scadenza 1 anno, valore facciale pari a euro secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.04anni 1. Si supponga di aggiungere al portafoglio un BOT a tre mesi con valore facciale pari a Si calcolino le stesse grandezze per il nuovo portafoglio, nell ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa. Esercizio 56 Un istituzione detiene due portafogli, il primo indicato con x e del valore complessivo di 10 milioni di euro, formato per il 25% del valore da BOT a 3 mesi e per il restante 75% del valore da BOT a 6 mesi ed il secondo indicato con y, del valore complessivo di 5 milioni di euro, composto da un TCF di durata decennale, tasso nominale annuo del 5% che quota alla pari, con cedola semestrale. Assumendo la struttura dei tassi piatta al tasso i = 4%, si calcolino le duration di entrambi i portafogli e la duration del portafoglio z = 2x + y. Esercizio 57 Si calcolino valore attuale e duration al tempo t 0 = 0 di una rendita perpetua immediata posticipata r con rata bimestrale pari a 200 euro secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = Si supponga di aggiungere al portafoglio un BOT a sei mesi con valore facciale pari a Si calcolino le stesse grandezze per il nuovo portafoglio, nell ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa Esercizio 58 Un investitore viene risarcito con una rendita perpetua di 1000 euro al mese in un mercato in cui la struttura per scadenza è piatta al tasso annuo i = 4%. Si calcoli la duration D della rendita. L investitore decide di investire una somma S in BOT a 3 mesi allo scopo di ottenere una duration complessiva del portafoglio così ottenuto pari alla metà di D. Si calcoli la somma S da investire. Esercizio 59 Si calcolino valore attuale e duration al tempo t 0 = 0 di un portafoglio P composto da 2 titoli a cedola nulla con scadenze s 1 = 1, s 2 = 2 trimestri e valore facciale C 1 = 1 500, C 2 = euro, secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.035anni 1. Si supponga di aggiungere al portafoglio un TCF a tre anni con valore facciale pari a 3 000, cedola annuale, tasso cedolare 5%. Si calcolino le stesse grandezze per il nuovo portafoglio, nell ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa. Esercizio 60 Si calcolino valore attuale e duration al tempo t 0 = 0 di un portafoglio P composto da 3 titoli a cedola nulla con scadenze s 1 = 1, s 2 = 2, s 3 = 3 semestri e valore facciale C 1 = 1 000, C 2 = 4 000, C 2 = euro, secondo la legge esponenziale con intensità istantanea di interesse δ = 0.04anni 1. Si supponga di aggiungere al portafoglio un BOT ad un anno con valore facciale pari a Si calcolino le stesse grandezze per il nuovo portafoglio, nell ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa. Esercizio 61 Si calcolino valore attuale e duration al tempo t 0 = 0 di una rendita r immediata con 3 rate trimestrali posticipate di importo R = euro secondo la legge esponenziale con tasso annuo di interesse i = 4%. Si calcolino le stesse grandezze al tempo t 1 = 2 mesi, nell ipotesi che la legge di equivalenza finanziaria rimanga la stessa. Si calcoli infine al tempo t 0 la duration in semestri del portafoglio P composto dalla rendita e da un TCN a due anni con valore nominale euro. Esercizio 62 Si consideri un mercato di titoli obbligazionari in cui, al tempo t = 0 sia in vigore la seguente struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse: { s 1.5, δ(0, s) = 0.06 s > 1.5, con il tempo espresso in anni. calcolino: In questo mercato, si il prezzo P 1 e la duration D 1 espressa in anni di un rendita immediata, posticipata, temporanea composta da quattro rate costanti annue ognuna di importo R = 200 euro; il prezzo P 2, pattuito in t = 0, pagabile in T = 2 anni, per avere il pagamento di 500 euro in s = 4 anni. Esercizio 63 Una banca detiene al tempo t = 0 un portafoglio x, dal valore complessivo di 10 milioni di euro e formato per il 10% del valore da ZCB a 3 anni e per il restante da ZCB a 10 anni. Si calcoli la duration del portafoglio x. Si calcoli il valore V da investire in ZCB a 6 mesi tale per cui la duration del portafoglio complessivo, formato dal titolo x e dagli ZCB, sia di 2 anni, assumendo una struttura per scadenza piatta al tasso i = 2% annuo. Esercizio 64 Nel mercato TXSWAP sono in vigore ad un certo istante i seguenti tassi swap del tipo fisso a un anno contro varaibile a un anno: i sw (0; 1) = 3.6%, i sw (0; 2) = 3.4%, i sw (0; 3) = 3.2%. Si determini la struttura per scadenza dei tassi a pronti e delle intensità di rendimento a scadenza implicati Pagina 8 di 12

9 da questi tassi swap (grandezze in base annua, tassi in forma percentuale). In questo mercato, si determini il tasso nominale annuo i nom di un titolo a cedola fissa annuale di durata residua triennale, in modo che quoti alla pari e lo spread contrattuale σ di un CCT, in modo che la duration (calcolata un attimo dopo l emissione ) sia di sei mesi. Esercizio 65 Si consideri un titolo (non standard) che, emesso in t = 0, paga, in t 2 = 3, l importo 100 I 2,3, dove I 2,3 è una cedola indicizzata con periodo di indicizzazione tra t 2 = 2 e t 3 = 3. Si calcoli il prezzo P di emissione del titolo che non consente arbitraggi, se i titoli a cedola nulla con scadenza 2 e 3 anni quotano, rispettivamente, a 97 e 95.5 (riferiti ad un facciale C = 100). Nello stesso mercato, il titolo a cedola nulla con scadenza di 1 anno quota a Si calcoli il tasso swap in t = 0 corrispondente ad un contratto plain vanilla con maturità di T = 3 anni e con periodicità delle cedole annuale, esprimendolo in forma percentuale e su base annua. Esercizio 66 Si consideri al tempo t = 0 un portafoglio del valore di V = 12 mln di euro, investito unicamente in CCT con cedola semestrale priva di spread, quotati sul mercato secondario al prezzo P = (riferiti a un facciale C = 100) e con maturità di 1 anno e 4 mesi. Ipotizzando una struttura per scadenza dei tassi di interesse piatta al tasso annuo i = 6%, si calcolino la duration D del portafoglio e il flusso di cassa x 1 di tale portafoglio in t 1 = 4 mesi. Quanto sarebbe il valore V del portafoglio se, nelle medesime condizioni di mercato, la struttura per scadenza dei tassi fosse del 6.5% in base annua? (per questa domanda è accettabile una soluzione approssimata, se ben motivata) Esercizio 67 Alla data del 1/10/2012, il sig. Viola investe la somma di euro in CCT privi di spread la cui prima cedola verrà pagata in data 1/1/2013, e il capitale nominale verrà rimborsato in data 1/1/2014. Sapendo che l ammontare complessivo della cedola sarà pari a euro, e assumendo di ragionare in un mercato perfetto, si calcoli la duration D dei CCT e il valore nominale C che il sig. Viola riscuoterà alla scadenza. Si assuma che la struttura sia piatta al tasso annuo i = 4% e nel considerare le scadenze si ragioni in mesi interi. Si risponda alla medesima domanda se i CCT fossero invece dotati di uno spread di 80 punti base. Esercizio 68 Alla data odierna (8/09/2014) un azienda investe tutta la sua liqidità in un CCT privo di spread, per un nominale complessivo di euro, che scade il giorno 1/11/2015. Sapendo che il tasso cedolare della prossima cedola è lo 0.51% e che la struttura per scadenza dei tassi di interesse è piatta al tasso annuo 1.5%, si calcoli la liquidità V dell azienda e la duration D (in anni) dell investimento. Fino al 27/09/2014 l azienda non ha né entrate né uscite e, a quella data, smobilizza parte dell investimento per pagare gli stipendi dei sui dipendenti, per un esborso totale i euro. Si determini il valore V e la duration D (in anni) dell investimento residuo, nell ipotesi che la struttura per scadenza dei tassi di interesse sia rimasta invariata. Esercizio 69 Si consideri un CCT con scadenza 9 marzo 2017, quotato oggi sul mercato secondario al prezzo P = 102, riferito a un facciale C = 100. Il CCT è privo di spread e la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso i = 1.91%. Si calcoli la duration e l importo della prima cedola del CCT. Il Dipartimento del Tesoro decide di premiare i detentori del CCT aggiungendo, a ciascuna cedola residua, uno spread di 15 punti base. Si calcoli il nuovo prezzo P e la nuova duratoin D del CCT. Esercizio 70 Nella data odierna un investitore acquista un CCT privo di spread (con cedole semestrali) con maturità 8 agosto 2015 al prezzo P = 102 (riferito ad un facciale C = 100). Sapendo che la struttura per scadenza è data dalla formula: i(0, t) = 4% + 1%t si calcoli la duration del CCT e il valore della prima cedola I 1. Con le stesse ipotesi precedenti, si calcoli il tasso swap di un contratto plain vanilla con scambi semestrali e maturità di due anni, esprimendolo in forma percentuale e su base annua. Esercizio 71 Un CCT privo di spread scade fra un anno e 5 mesi in un mercato in cui la struttura per scadenza è piatta al tasso i = 5%. Sapendo che il prezzo, riferito a un facciale di 100 euro, è P = euro, si calcoli l importo della prima cedola (la prossima ad essere pagata) e la duration del CCT espressa in anni. Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui il CCT abbia uno spread di 80 punti base su ogni cedola. Esercizio 72 Un CCT privo di spread ha nominale 100 euro, duration D = 2 mesi e prossima cedola I 1 = 2 euro. Sapendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato è piatta al tasso annuo i = 6%, si determini il prezzo di mercato P del CCT e fra quanti anni t 1 verrà pagata la prossima cedola. Si consideri ora un altro CCT, di nominale 100 euro e prossima cedola sempre di importo I 1 in t 1, che preveda altre 9 cedole indicizzate dopo quella in t 1. Si calcoli la vita a scadenza t m (in anni) del titolo e se ne calcoli il prezzo P e la duration D in anni, sempre in riferimento alla stessa struttura per scadenza dei tassi di interesse. Pagina 9 di 12

10 Esercizio 73 Il Tesoro decide di emettere un CCT special, con maturità di 1.5 anni, cedola semestrale e spread 4.50% su ciascuna cedola. Se la struttura dei tassi di interesse è piatta al tasso annuo del 5.50%, e immaginando di acquistarlo sul mercato secondario in un istante immediatamente successivo all emissione, si calcoli prezzo P (relativo ad un facciale pari a 100) e la duration D del CCT. Una banca investe 150 mln di euro in questo CCT, ma decide di rivenderli tre giorni dopo. Si determini, anche approssimativamente, il ricavo dell operazione (di acquisto e successiva vendita) dei CCT se la struttura per scadenza è cresciuta, nei tre giorni in questione, di 18 punti base per tutte le maturità, giustificando adeguatamente la risposta. Esercizio 74 Alla data odierna (12/2/2014) un investitore forma un portafoglio di CCT con maturità 8/3/2015 e privo di spread. Si calcoli (approssimativamente, ma non troppo) la duration D del portafoglio e il prezzo di acquisto P dei CCT, riferito ad un facciale C = 100, sapendo che la prima cedola che verrà pagata è pari a I 1 = 4, e che la struttura per scadenza dei tassi è piatta al tasso i = 6.1%. Si risponda alla medesima domanda nel caso in cui i CCT possiedano uno spread di 250 punti base. Esercizio 75 Nell istante t = 0, un CCT privo di spread con durata residua T = 1 anno e 2 mesi è quotato al prezzo P = (riferito ad un facciale C = 100). La struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato è piatta, al tasso annuo i = 5%. Si calcoli l istante t 1 nel quale verrà corrisposta la prossima cedola, l importo I di tale cedola e la duration D del titolo Si consideri adesso lo stesso CCT, ma con in aggiunta uno spread di 0.80% su ogni cedola (compresa la prima). Assumendo che la struttura per scadenza dei tassi segua la formula: i(0, s) = 4% + 1% s, si calcolino prezzo P e duration D di tale CCT provvisto di spread. Esercizio 76 Sul mercato flbond sono quotati i seguenti titoli a tasso variabile perfettamente indicizzati e senza spread: a) titolo x con cedola annuale e scadenza 5 anni e mezzo, nominale 100 euro, prossima cedola 3 euro e prezzo euro. b) titolo y con cedola semestrale e scadenza 7 anni e tre mesi, nominale 100 euro, prossima cedola 1 euro e prezzo euro. Si determinino le duration D x e D y (in anni) dei due titoli, nonché il prezzo P e la duration V di un titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato appena emesso, con nominale 4 euro, cedola trimestrale, durata sei mesi e spread di 110 punti base ( = 1.10%) su ogni cedola. Esercizio 77 Si assuma che la struttura per scadenza dei tassi swap sia i sw (0, t) = (4 + t)% con t = 1, 2,... anni. Si calcoli innanzitutto la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti, esprimendola in forma percentuale e su base annua, relativa alle scadenze 1, 2 e 3 anni. Si calcoli poi il prezzo P di un CCT con scadenza in T = 1 anno, cedola semestrale e spread 80 p.b., riferendolo ad un valore nominale C = 100. Esercizio 78 Si consideri un CCT appena emesso, con nominale 400 euro, durata un anno e privo di spread. Si assuma che i(0, 0.5) = 2% e i(0, 1) = 2.6%. Si calcoli il prezzo P e la duration D (in anni) del CCT Si ripeta l esercizio nel caso che il CCT abbia uno spread di 80 punti base su ogni cedola, calcolando il prezzo P e la duration D. Esercizio 79 Si consideri un CCT quotato, sul mercato secondario, al prezzo P = (riferito a un facciale C = 100) con maturità di 1 anno e 8 mesi. Assumendo che il CCT sia privo di spread e che la struttura per scadenza sia piatta al tasso i = 4.5%, si calcoli la duration D del CCT e la prima cedola I 1 da esso pagata. Si risponda alla medesima domanda ipotizzando stavolta che le cedole del CCT abbiano uno spread di 60 punti base (1 punto base = 0.01%). Esercizio 80 Si consideri un mercato in cui, al tempo zero: il tasso di interest rate swap a 2 anni è il 5.5%; il tasso di interest rate swap a 3 anni è il 6%; il titolo a cedola nulla che paga 100 euro a un anno quota 95 euro. Si calcoli anzitutto la struttura per scadenza dei tassi a pronti in base annua. Si calcoli quindi il prezzo P al tempo zero della cedola indicizzata che, al tempo in 3, paga l importo 1 000j(2, 3) euro, dove j(2, 3) è il tasso periodale di interesse di mercato, rilevato in al tempo 2 per la scadenza 3. Esercizio 81 Si consideri un portafoglio formato da due CCT. Il primo è privo di spread e ha una maturità di 5 anni. Il secondo ha la stessa maturità ma uno spread di 20 punti base. Assumendo una struttura per scadenza piatta al tasso annuo i = 3.45%, si calcoli la differenza di valore V tra i due CCT esprimendola rispetto ad un nominale C = 1000 euro. Si calcoli ora la differenza di duration D tra i due CCT, esprimendola in anni. Pagina 10 di 12

11 Esercizio 82 Si consideri un mercato in cui, al tempo zero, è in vigore la seguente struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti in base annua: i(0, 1) = 2.0%, i(0, 2) = 2.5%, i(0, 3) = 3.0%. Si calcoli la struttura per scadenza dei tassi di interest rate swap in vigore in questo mercato. Si calcoli il valore P, esigibile in t = 0, di un titolo a cedola nulla indicizzato che paga, in t 3 = 3, la somma X t2,t 3 = 1 000(1 + j(t 2, t 3 )), dove j(t 2, t 3 ) è il tasso di struttura rilevato in t 2 = 2. Esercizio 83 Sul mercato secondario sono quotati due titoli a tasso variabile perfettamente indicizzati e privi di spread: a) titolo x con cedola annuale e scadenza 3 anni e mezzo, nominale 100 euro, prossima cedola 3 euro e prezzo euro. b) titolo y con cedola semestrale e scadenza 5 anni e tre mesi, nominale 100 euro, prossima cedola 1 euro e prezzo euro. Si determinino le duration D x e D y (in anni) dei due titoli, nonché il prezzo P e la duration D di un titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato appena emesso, con nominale 400 euro, cedola trimestrale, durata sei mesi e spread di 50 punti base ( = 0.50%) su ogni cedola. Esercizio 84 Nel mercato eurorates sono quotati i seguenti tassi di interest rate swap, del tipo fisso a 1 anno contro variabile a sei mesi: i sw (0; 1) = 3.15%, i sw (0; 2) = 3.60%, i sw (0; 3) = 3.25%. Si determini la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti implicata da queste quotazioni e il prezzo P di un titolo a cedola fissa annuale del 1.5%, durata tre anni e nominale 100 euro. Esercizio 85 Nel mercato FLOB sono quotati i seguenti titoli, tutti con nominale 100 euro: a) un CCT special x, con durata residua 4 anni e mezzo e cedole prive di spread; b) un CCT y, con durata residua 4 anni e mezzo e spread di 50 punti base; c) un CCT z, con durata residua 9 mesi, prossima cedola di 3 euro e spread di 100 punti base. Si determini il prezzo e la duration (in anni) dei tre titoli, sapendo che la struttura per scadenza dei tassi di interesse in vigore sul mercato è piatta, con tasso annuo i = 3% (nel caso la data di valutazione sia data di stacco cedola di un titolo, si assuma di essere un attimo dopo la data di stacco cedola). Esercizio 86 Si consideri un mercato in cui, al tempo zero, è in vigore la seguente struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti in base annua: i(0, 1) = 2.0%, i(0, 2) = 2.5%, i(0, 3) = 3.0%. Si calcoli la struttura per scadenza delle intensità di rendimento a scadenza (in base annua) e dei tassi di interest rate swap in vigore in questo mercato. Esercizio 87 Nel mercato telebnk sono quotati alla data t = 0: il tasso a pronti a un anno è il 2.1%; un contratto a termine, che rimborsa euro a due anni a fronte del pagamento del prezzo di 100 euro fra un anno; un titolo cedola fissa annuale, con nominale 100, durata 3 anni, cedola di 2.5 euro e quotato alla pari. Si determini la struttura per scadenza dei tassi a pronti e tassi swap in vigore su questo mercato al tempo t, esprimendo i tassi in forma percentuale e in base annua. Esercizio 88 Si consideri un CCT privo di spread sul mercato secondario in t = 0 e con maturità di 1 anno e 2 mesi. Conoscendo l importo della prima cedola I 1 = 6, se ne calcolino prezzo P e duration D nell ipotesi di una struttura per scadenza piatta al tasso i = 4%, riferita ad un facciale C = 100. Si risponda alla medesima domanda nel caso che le cedole (esclusa la prima) abbiano uno spread di 80 punti base. Esercizio 89 Sul mercato secondario sono quotati due titoli a tasso variabile perfettamente indicizzati e privi di spread: a) titolo x con cedola annuale e scadenza 3 anni e mezzo, nominale 100 euro, prossima cedola 3 euro e prezzo euro. b) titolo y con cedola semestrale e scadenza 5 anni e tre mesi, nominale 100 euro, prossima cedola 1 euro e prezzo euro. Si determinino le duration D x e D y (in anni) dei due titoli, nonché il prezzo P e la duration D di un titolo a tasso variabile perfettamente indicizzato appena emesso, con nominale 400 euro, cedola trimestrale, durata sei mesi e spread di 50 punti base ( = 0.50%) su ogni cedola. Esercizio 90 Nel mercato eurorates sono quotati i seguenti tassi, tutti espressi in base annua: il tasso a pronti a 2 anni, al 3%; il tasso a termine i(0, 1, 2) = 3.4%; il tasso swap a tre anni, al 3.3%. Si determini anzitutto la struttura per scadenza dei fattori di sconto in vigore in questo mercato. Si calcoli poi la cedola I che deve avere di un titolo a cedola fissa a 3 anni con cedola annuale e nominale C = euro, in modo che quoti alla pari in questo mercato. Esercizio 91 Si consideri un mercato in cui è in vigore la struttura per scadenza dei tassi di interesse in base annua (tempo in Pagina 11 di 12