PROGETTO DI ECCELLENZA PERCORSI INNOVATIVI in Matematica e in Fisica. Conferenze

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1 PROGETTO DI ECCELLENZA 2014 PERCORSI INNOVATIVI in Matematica e in Fisica Conferenze

2 Lo studio della matematica costituisce un educazione formativa della mente. La matematica sviluppa tutte le facoltà dell ingegno, affina in particolare le facoltà logiche, educa e rende più retta l intuizione, insegna a ragionare, a parlare con precisione e a non accontentarsi di sole vuote parole.

3 Dalla città ideale alle cellule: l ubiquità della Matematica LUCA LUSSARDI Università Cattolica del Sacro Cuore Brescia Aprile 2014

4 L inizio di una storia: Sbarcarono là dove grandi mura vedrai e di Cartagine l arce che sorge; e tanto terreno comprarono chiamandolo Birsa, dal nome di ciò che avevan fatto, quanto del luogo potessero cingere con pelle taurina tagliata.

5 L inizio di una storia: Sbarcarono là dove grandi mura vedrai e di Cartagine l arce che sorge; e tanto terreno comprarono chiamandolo Birsa, dal nome di ciò che avevan fatto, quanto del luogo potessero cingere con pelle taurina tagliata. Virgilio, Eneide, libro I, versi

6 ... la fondazione di Cartagine Giovanbattista Pittoni ( ), Ermitage, San Pietroburgo

7 Ricostruzione dell antica Cartagine (800 a.c. circa)

8 Il problema di Didone

9 Il problema di Didone Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato

10 Il problema di Didone Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella che racchiude area massima

11 La natura massimizza e minimizza

12 La natura massimizza e minimizza

13 La soluzione di Steiner (1838) al problema di Didone

14 La soluzione di Steiner (1838) al problema di Didone La soluzione del problema di Didone è il cerchio

15 given perimeter. La soluzione di Steiner (1838) al problema di Didone La soluzione del problema di Didone è il cerchio F I d l t La soluzione deve essere convessa

16 the same N th of ne fig So suppose that F is convex, an equal area and equal perimeters.

17 the same No N th of ne fig La figura deve avere (almeno) un asse di simmetria So suppose that F is convex, an equal area and equal perimeters.

18 B B C C A A Steiner s idea was and BC, andto change. Thus, H i bounded by AB a the analogous regi the area and shap rigid shapes that triangle with base altitude is maxim

19 B B C C A Ogni angolo al vertice B deve essere retto: A C trian Steiner s ideaaltit was and BC, Aandto not change. B Thus, H i bounded by AB a the analogous regi the area and shap rigid shapes that triangle with base altitude is maxim

20 B B C C A Ogni angolo al vertice B deve essere retto: A A triangolo = 1 2 b c sin α C trian Steiner s ideaaltit was and BC, Aandto not change. B Thus, H i bounded by AB a the analogous regi the area and shap rigid shapes that triangle with base altitude is maxim

21 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica!

22 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Sostanzialmente sì,

23 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Sostanzialmente sì, ma è incompleta:

24 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che

25 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che Se una soluzione esiste

26 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che Se una soluzione esiste allora è il cerchio

27 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Problemi: Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che Se una soluzione esiste allora è il cerchio

28 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Problemi: Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che Se una soluzione esiste allora è il cerchio Come dimostrare che una soluzione al problema di Didone deve esistere?

29 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Problemi: Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che Se una soluzione esiste allora è il cerchio Come dimostrare che una soluzione al problema di Didone deve esistere? Potrebbe anche non esistere una soluzione?

30 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Problemi: Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che Se una soluzione esiste allora è il cerchio Come dimostrare che una soluzione al problema di Didone deve esistere? Potrebbe anche non esistere una soluzione? In matematica è fondamentale avere anche dimostrazioni astratte di esistenza:

31 La soluzione di Steiner è corretta? Occhio alla logica! Problemi: Sostanzialmente sì, ma è incompleta: abbiamo infatti dimostrato solo che Se una soluzione esiste allora è il cerchio Come dimostrare che una soluzione al problema di Didone deve esistere? Potrebbe anche non esistere una soluzione? In matematica è fondamentale avere anche dimostrazioni astratte di esistenza: Das ist nicht Mathematik. Das ist Theologie

32 Un problema simile che non ha soluzione

33 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone:

34 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato

35 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima

36 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva)

37 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione.

38 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio 2p = 8 cm.

39 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio 2p = 8 cm.

40 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio 2p = 8 cm.

41 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio 2p = 8 cm

42 Un problema simile che non ha soluzione Variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato trovare quella di area minima Se pretendiamo di avere come soluzione una figura piana che ha una certa estensione (area positiva) allora questo nuovo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio 2p = 8 cm L area può diventare arbitrariamente piccola

43 Un altro problema che non ha soluzione

44 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone:

45 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata

46 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo

47 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione.

48 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm 2.

49 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm 2.

50 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm 2.

51 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm

52 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm Il perimetro può diventare arbitrariamente grande,

53 Un altro problema che non ha soluzione Un altra variante del problema di Didone: Tra tutte le figure piane di area assegnata trovare quella di perimetro massimo Anche questo problema non ha una soluzione. Fissiamo ad esempio A = 3 cm Il perimetro può diventare arbitrariamente grande, quindi non c è un perimetro massimo

54 L ultima variante: la geometria delle api

55 L ultima variante: la geometria delle api Tra tutte le figure piane che racchiudono un area assegnata

56 L ultima variante: la geometria delle api Tra tutte le figure piane che racchiudono un area assegnata trovare quella di perimetro minimo

57 L ultima variante: la geometria delle api Tra tutte le figure piane che racchiudono un area assegnata trovare quella di perimetro minimo

58 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle

59 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari:

60 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano.

61 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano.

62 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano.

63 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano.

64 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano. Sono possibili solo tre tassellazioni regolari del piano:

65 Le api preferiscono non lasciare spazi vuoti tra le celle Per far le celle tutte uguali e regolari le api cercano di coprire completamente il piano con poligoni regolari: tassellazione regolare del piano. Sono possibili solo tre tassellazioni regolari del piano: come mai?

66 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno:

67 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno:

68 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni:

69 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = 360 p

70 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = 360 p Tre sole possibilità:

71 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = 360 p Tre sole possibilità: p = 3, q = 6

72 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = 360 p Tre sole possibilità: p = 3, q = 6 p = q = 4,

73 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = 360 p Tre sole possibilità: p = 3, q = 6 p = q = 4, p = 6, q = 3

74 Tasselliamo con poligoni regolari di p lati ciascuno: In ogni vertice si incontrano q poligoni: ) q ( = 360 p Tre sole possibilità: p = 3, q = 6 p = q = 4, p = 6, q = 3 Conclusione: le api scelgono le celle esagonali.

75 Scegliendo celle circolari?

76 Scegliendo celle circolari?

77 Scegliendo celle circolari? Lo spreco è circa il 9%

78 Scegliendo celle circolari? Lo spreco è circa il 9% I 6 esagoni esterni formano gratis il perimetro dell esagono interno:

79 Scegliendo celle circolari? Lo spreco è circa il 9% I 6 esagoni esterni formano gratis il perimetro dell esagono interno: 7 circonferenze sono 7 circonferenze,

80 Scegliendo celle circolari? Lo spreco è circa il 9% I 6 esagoni esterni formano gratis il perimetro dell esagono interno: 7 circonferenze sono 7 circonferenze, ma 7 perimetri esagonali sono in realtà ottenuti con 5 perimetri esagonali

81 Il miracolo della matematica

82 Il miracolo della matematica Abracadabra...

83 Il miracolo della matematica Abracadabra... La disuguaglianza isoperimetrica area perimetro2 4π

84 E ora tante cose si spiegano...

85 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha

86 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A

87 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A isoperimetrica (2πr) 2 4π

88 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A isoperimetrica (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π

89 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A isoperimetrica (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2

90 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A isoperimetrica (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2 A (2p)2 4π diventa A = (2p)2 4π

91 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A isoperimetrica (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2 A (2p)2 4π diventa A = (2p)2 4π Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato, il cerchio include area massima

92 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A isoperimetrica (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2 A (2p)2 4π diventa A = (2p)2 4π Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato, il cerchio include area massima Tra tutte le figure piane di area assegnata, il cerchio ha perimetro minimo

93 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A isoperimetrica (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2 A (2p)2 4π diventa A = (2p)2 4π Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato, il cerchio include area massima Tra tutte le figure piane di area assegnata, il cerchio ha perimetro minimo Se fisso l area non ho una limitazione da sopra per il perimetro

94 E ora tante cose si spiegano... Per il cerchio di raggio r si ha πr 2 = A isoperimetrica (2πr) 2 4π = 4π2 r 2 4π = πr 2 A (2p)2 4π diventa A = (2p)2 4π Tra tutte le figure piane di perimetro assegnato, il cerchio include area massima Tra tutte le figure piane di area assegnata, il cerchio ha perimetro minimo Se fisso l area non ho una limitazione da sopra per il perimetro Se fisso il perimetro non ho una limitazione da sotto per l area

95 Un applicazione curiosa della disuguaglianza isoperimetrica

96 Un applicazione curiosa della disuguaglianza isoperimetrica

97 Un applicazione curiosa della disuguaglianza isoperimetrica

98 Un applicazione curiosa della disuguaglianza isoperimetrica I distributori automatici funzionano necessariamente con monete circolari?

99 Il triangolo di Reuleaux

100 Il triangolo di Reuleaux

101 Il triangolo di Reuleaux È una figura a spessore costante, ma non è un cerchio

102 50 pence e 20 pence inglesi: sono eptagoni a spessore costante

103 Nel 1860 il matematico francese Barbier dimostra che ogni figura convessa di spessore costante d ha perimetro 2p = πd

104 Nel 1860 il matematico francese Barbier dimostra che ogni figura convessa di spessore costante d ha perimetro 2p = πd Fissare lo spessore implica fissare il perimetro

105 Nel 1860 il matematico francese Barbier dimostra che ogni figura convessa di spessore costante d ha perimetro 2p = πd Fissare lo spessore implica fissare il perimetro quindi tra tutte le figure di spessore costante d il cerchio massimizza l area ovvero

106 Nel 1860 il matematico francese Barbier dimostra che ogni figura convessa di spessore costante d ha perimetro 2p = πd Fissare lo spessore implica fissare il perimetro quindi tra tutte le figure di spessore costante d il cerchio massimizza l area ovvero produrre monete circolari vuol dire spendere il massimo possibile in materiale di produzione

107 Ma anche gli inglesi non sono i più furbi...

108 Ma anche gli inglesi non sono i più furbi poiché nel 1915 i matematici Blaschke e Lebesgue dimostrano che tra tutte le figure convesse di assegnato spessore costante, il triangolo di Reuleaux ha area minima.

109 Un altra applicazione del triangolo di Reuleaux

110 Un altra applicazione del triangolo di Reuleaux

111 Da 2D a 3D: le bolle di sapone Gli stessi problemi possono essere posti in 3D,

112 Da 2D a 3D: le bolle di sapone Gli stessi problemi possono essere posti in 3D, e vale ancora la disuguaglianza isoperimetrica, da cui: Tra tutti i solidi che hanno bordo di area fissata la sfera è quella che massimizza il volume

113 Da 2D a 3D: le bolle di sapone Gli stessi problemi possono essere posti in 3D, e vale ancora la disuguaglianza isoperimetrica, da cui: Tra tutti i solidi che hanno bordo di area fissata la sfera è quella che massimizza il volume Tra tutti i solidi che hanno volume fissato la sfera è quella che minimizza l area del bordo

114 Da 2D a 3D: le bolle di sapone Gli stessi problemi possono essere posti in 3D, e vale ancora la disuguaglianza isoperimetrica, da cui: Tra tutti i solidi che hanno bordo di area fissata la sfera è quella che massimizza il volume Tra tutti i solidi che hanno volume fissato la sfera è quella che minimizza l area del bordo

115 Una variante delle bolle di sapone: le superfici minime Un problema simile alle bolle di sapone:

116 Una variante delle bolle di sapone: le superfici minime Un problema simile alle bolle di sapone: data una curva chiusa nello spazio,

117 Una variante delle bolle di sapone: le superfici minime Un problema simile alle bolle di sapone: data una curva chiusa nello spazio, trovare una superficie che ha la curva assegnata come bordo

118 Una variante delle bolle di sapone: le superfici minime Un problema simile alle bolle di sapone: data una curva chiusa nello spazio, trovare una superficie che ha la curva assegnata come bordo e che ha area minima.

119 Una variante delle bolle di sapone: le superfici minime Un problema simile alle bolle di sapone: data una curva chiusa nello spazio, trovare una superficie che ha la curva assegnata come bordo e che ha area minima.

120 Come mai questi problemi sono così difficili?

121 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema isoperimetrico originario:

122 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema isoperimetrico originario: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima

123 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema isoperimetrico originario: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice:

124 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema isoperimetrico originario: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p,

125 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema isoperimetrico originario: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p, abbiamo x + y = p, p > 0 fissato,

126 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema isoperimetrico originario: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p, abbiamo x + y = p, p > 0 fissato, che fornisce y = p x.

127 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema isoperimetrico originario: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p, abbiamo x + y = p, p > 0 fissato, che fornisce y = p x. Dobbiamo massimizzare la quantità xy

128 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema isoperimetrico originario: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p, abbiamo x + y = p, p > 0 fissato, che fornisce y = p x. Dobbiamo massimizzare la quantità xy = x(p x)

129 Come mai questi problemi sono così difficili? Semplifichiamo un po il problema isoperimetrico originario: Tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Questo nuovo problema è decisamente più semplice: infatti, se denotiamo con x, y le lunghezze dei lati del generico rettangolo di semiperimetro fissato p, abbiamo x + y = p, p > 0 fissato, che fornisce y = p x. Dobbiamo massimizzare la quantità xy = x(p x) = px x 2, al variare di x [0, p].

130 Analizziamo il grafico della funzione A(x) := px x 2, al variare di x [0, p] :

131 Analizziamo il grafico della funzione A(x) := px x 2, al variare di x [0, p] :

132 Analizziamo il grafico della funzione A(x) := px x 2, al variare di x [0, p] : Notiamo che A assume massimo per x = p/2,

133 Analizziamo il grafico della funzione A(x) := px x 2, al variare di x [0, p] : Notiamo che A assume massimo per x = p/2, che vuol dire y = p/2:

134 Analizziamo il grafico della funzione A(x) := px x 2, al variare di x [0, p] : Notiamo che A assume massimo per x = p/2, che vuol dire y = p/2: la soluzione è il quadrato di perimetro 2p.

135 Come mai quest ultimo problema è elementare?

136 Come mai quest ultimo problema è elementare? Ce lo potevamo aspettare:

137 Come mai quest ultimo problema è elementare? Ce lo potevamo aspettare: abbiamo infatti ridotto la classe delle figure ammissibili.

138 Come mai quest ultimo problema è elementare? Ce lo potevamo aspettare: abbiamo infatti ridotto la classe delle figure ammissibili. Il problema appena descritto ha però una particolarità dal punto di vista matematico:

139 Come mai quest ultimo problema è elementare? Ce lo potevamo aspettare: abbiamo infatti ridotto la classe delle figure ammissibili. Il problema appena descritto ha però una particolarità dal punto di vista matematico: richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale, nella fattispecie A(x) = px x 2.

140 Il caso dei triangoli

141 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente:

142 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima

143 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Se denotiamo con p il semiperimetro del triangolo,

144 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Se denotiamo con p il semiperimetro del triangolo, per la formula di Erone l area vale A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z), x, y, z lati del triangolo.

145 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Se denotiamo con p il semiperimetro del triangolo, per la formula di Erone l area vale A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z), x, y, z lati del triangolo. Bisogna quindi massimizzare la funzione A(x, y, z) sapendo che:

146 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Se denotiamo con p il semiperimetro del triangolo, per la formula di Erone l area vale A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z), x, y, z lati del triangolo. Bisogna quindi massimizzare la funzione A(x, y, z) sapendo che: x, y, z sono le misure dei lati di un triangolo;

147 Il caso dei triangoli Una variante del problema del rettangolo di area massima potrebbe essere il seguente: Tra tutti i triangoli di perimetro assegnato trovare quello che ha area massima Se denotiamo con p il semiperimetro del triangolo, per la formula di Erone l area vale A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z), x, y, z lati del triangolo. Bisogna quindi massimizzare la funzione A(x, y, z) sapendo che: x, y, z sono le misure dei lati di un triangolo; 2p = x + y + z.

148 Il problema della massimizzazione di A(x, y, z), sotto le condizioni date, si risolve facilmente, per esempio, col calcolo differenziale.

149 Il problema della massimizzazione di A(x, y, z), sotto le condizioni date, si risolve facilmente, per esempio, col calcolo differenziale. Anche il problema dei triangoli ha però una particolarità dal punto di vista matematico, che lo rende trattabile con strumenti ancora elementari, come il calcolo differenziale:

150 Il problema della massimizzazione di A(x, y, z), sotto le condizioni date, si risolve facilmente, per esempio, col calcolo differenziale. Anche il problema dei triangoli ha però una particolarità dal punto di vista matematico, che lo rende trattabile con strumenti ancora elementari, come il calcolo differenziale: richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z).

151 Il problema della massimizzazione di A(x, y, z), sotto le condizioni date, si risolve facilmente, per esempio, col calcolo differenziale. Anche il problema dei triangoli ha però una particolarità dal punto di vista matematico, che lo rende trattabile con strumenti ancora elementari, come il calcolo differenziale: richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z). La filosofia generale è che possiamo risolvere problemi di massimo/minimo con strumenti elementari, come il calcolo differenziale, se

152 Il problema della massimizzazione di A(x, y, z), sotto le condizioni date, si risolve facilmente, per esempio, col calcolo differenziale. Anche il problema dei triangoli ha però una particolarità dal punto di vista matematico, che lo rende trattabile con strumenti ancora elementari, come il calcolo differenziale: richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: A(x, y, z) = p(p x)(p y)(p z). La filosofia generale è che possiamo risolvere problemi di massimo/minimo con strumenti elementari, come il calcolo differenziale, se si richiede la massimizzazione/minimizzazione di una funzione di un numero finito variabili reali.

153 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni

154 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti:

155 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale:

156 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1;

157 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali:

158 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: diciamo che il problema ha dimensione 3;

159 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: diciamo che il problema ha dimensione 3; Non è difficile risolvere i problemi di dimensione finita.

160 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: diciamo che il problema ha dimensione 3; Non è difficile risolvere i problemi di dimensione finita. Ebbene:

161 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: diciamo che il problema ha dimensione 3; Non è difficile risolvere i problemi di dimensione finita. Ebbene: Il problema di Didone è un problema di dimensione finita?

162 La dimensione infinita: il Calcolo delle Variazioni Rifacciamo ora delle osservazioni su alcuni dei problemi precedenti: Il problema delle determinazione del rettangolo di area massima tra tutti i rettangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di una variabile reale: diciamo che il problema ha dimensione 1; Il problema delle determinazione del triangolo di area massima tra tutti i triangoli di perimetro assegnato richiede la massimizzazione di una funzione di tre variabili reali: diciamo che il problema ha dimensione 3; Non è difficile risolvere i problemi di dimensione finita. Ebbene: Il problema di Didone è un problema di dimensione finita? NO!!

163 Il caso dei rettangoli: la variabile x può assumere infiniti valori, ma è una variabile.

164 Il caso dei triangoli: le variabili x, y, z possono assumere infiniti valori ciascuna, ma sono tre variabili.

165 I problema di Didone è un problema di massimo in cui la variabile indipendente è una curva e non una lista finita di numeri reali:

166 I problema di Didone è un problema di massimo in cui la variabile indipendente è una curva e non una lista finita di numeri reali: Per ognuno degli infiniti valori che può assumere la variabile dipendente ho a disposizione infiniti valori per la variabile indipendente.

167 I problema di Didone è un problema di massimo in cui la variabile indipendente è una curva e non una lista finita di numeri reali: Per ognuno degli infiniti valori che può assumere la variabile dipendente ho a disposizione infiniti valori per la variabile indipendente. Il Calcolo delle Variazioni risolve problemi di massimo/minimo nei casi di dimensione infinita, come il caso del problema di Didone,

168 I problema di Didone è un problema di massimo in cui la variabile indipendente è una curva e non una lista finita di numeri reali: Per ognuno degli infiniti valori che può assumere la variabile dipendente ho a disposizione infiniti valori per la variabile indipendente. Il Calcolo delle Variazioni risolve problemi di massimo/minimo nei casi di dimensione infinita, come il caso del problema di Didone, ma non è più elementare come il calcolo differenziale.

169 Alcuni problemi risolti dal Calcolo delle Variazioni

170 Alcuni problemi risolti dal Calcolo delle Variazioni Brachistocrona Qual è la curva lungo la quale un grave impiega il tempo minimo per scendere da un punto A ad un punto B?

171 Alcuni problemi risolti dal Calcolo delle Variazioni Brachistocrona Qual è la curva lungo la quale un grave impiega il tempo minimo per scendere da un punto A ad un punto B? È un arco di cicloide.

172 Catenaria Qual è la curva formata da una fune appesa a due estremi?

173 Catenaria Qual è la curva formata da una fune appesa a due estremi? È sostanzialmente il grafico della funzione y = ex +e x 2 (= cosh x).

174 Applicazioni alla biologia

175 While this interesting combination of properties is clearly related to the chemical makeup of the lipids most importantly, the hydrophobic character of the Applicazioni tails quantitative alla biologia and detailed understanding of the phenomenon is still lacking. Here we focus on a simple question that has already been alluded to above: how can we understand the stability of these planar structures, and their pseudo-solid behaviour, if they are constructed from independent, non-bound molecules? This is the main question behind the analysis of this paper. Fig. 1. Lipid molecules aggregate into macroscopically surface-like structures Nel 1973 Wolfgang Helfrich propone un modello matematico per studiare la flessione delle membrane cellulari e quindi per determinarne la forma

176 L energia immagazzinata dalla membrana quando questa si flette è proporzionale a quanto la membrana si curva;

177 L energia immagazzinata dalla membrana quando questa si flette è proporzionale a quanto la membrana si curva; Helfrich propone allora la seguente variante del problema isoperimetrico 3D:

178 L energia immagazzinata dalla membrana quando questa si flette è proporzionale a quanto la membrana si curva; Helfrich propone allora la seguente variante del problema isoperimetrico 3D: Tra tutti i solidi di volume fissato e di area del bordo fissata

179 L energia immagazzinata dalla membrana quando questa si flette è proporzionale a quanto la membrana si curva; Helfrich propone allora la seguente variante del problema isoperimetrico 3D: Tra tutti i solidi di volume fissato e di area del bordo fissata trovare quello che curva il meno possibile

180 Il problema di Helfrich e molto piu complicato del problema isoperimetrico,

181 Il problema di Helfrich e molto piu complicato del problema isoperimetrico, e potrebbe spiegare la forma a ciambella che hanno i globuli rossi...

182 Il problema di Helfrich e molto piu complicato del problema isoperimetrico, e potrebbe spiegare la forma a ciambella che hanno i globuli rossi ma questi sono lavori in corso