ESERCIZI SVOLTI DI GEOMETRIA ANALITICA

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1 ESERCIZI SVOLTI DI GEOMETRIA ANALITICA A cura di Valter Gentile E-Notes pubblicata dalla Biblioteca Centrale di Ingegneria Siena, settembre 006 A cura di gentile Valter Ed. 006

2 Indice Indice LA RETTA E LE SUE APPLICAZIONI... 5 Problema... 5 Problema... 5 Problema... 5 Problema... 6 Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema... 9 Problema... 9 Problema... 0 Problema... 0 Problema 5... Problema 6... Problema 7... Problema 8... Problema 9... Problema 0... Problema... Problema... Problema... 5 Problema... 5 Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema... 8 Problema... 9 Problema... 9 Problema... 0 Problema Problema Problema 7... Problema 8... Problema Problema Problema... 8 Problema... 0 LA CIRCONFERENZA E LE SUE APPLICAZIONI... Problema... Problema... Problema... Problema... 5 Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema... 8 Problema... 9 Problema... 0 Problema... Problema 5... A cura di gentile Valter Ed. 006

3 Indice Problema 6... Problema Problema Problema Problema Problema... 5 Problema... 5 Problema LA PARABOLA E LE SUE APPLICAZIONI... 6 Problema... 6 Problema... 6 Problema... 6 Problema... 6 Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema L ELLISSI E LE SUE APPLICAZIONI... 8 Problema... 8 Problema... 8 Problema... 8 Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema... 9 Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema... 9 Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema L IPERBOLE E LE SUE APPLICAZIONI... Problema... A cura di gentile Valter Ed. 006

4 Indice Problema... Problema... 5 Problema... 6 Problema Problema ESERCIZI IN CUI SONO PRESENTI PIU CURVE E LORO RELAZIONI... 0 Problema... 0 Problema... 7 Problema... 5 Problema... 9 Problema 5... Problema 6... Problema Problema 8 ( sessione 98/98 )... 5 Problema Problema A cura di gentile Valter Ed. 006

5 Esercizi svolti: la retta e sue LA RETTA E LE SUE APPLICAZIONI Problema Determinare la distanza tra i punti A( ; ) e B( ; 5 ). Applicando la formula d ( ) ( ) della distanza tra due punti, si ottiene d ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( 6) ( 8) Problema Determinare la distanza tra i punti A( 5 ; ) e B( ; ). Applicando la formula : d B A della distanza tra due punti aventi la stessa ordinata, si ottiene d B A Problema Determinare il perimetro del triangolo di vertici A( ; ), B( ; ) e C( ; ). Si applicano le formule della distanza tra due punti per trovare le misure dei lati AB, AC, BC del triangolo cioè d ( ) ( ), e per punti che hanno ugual ordinata d B A e per quelli che hanno ugual ascissa d B A. Si ottiene: AB ( ) ( ) ( ) ( ) B A B ( ) ( ) A A cura di Gentile Valter Ed

6 Esercizi svolti: la retta e sue AC C A BC B C Il perimetro del triangolo ABC è p (ABC) 5 Problema Verificare che il triangolo di vertici A( ; ), B( ; 5 ),C( ; ) è rettangolo e determinarne l'area. Applicando la formula d ( ) ( ), della distanza tra due punti, si ottiene: AB ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) 9 0 B A B A AC ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7) ( ) 9 50 c A c A BC ( ) ( ) ( ) ( 5) ( 6) ( ) 6 0 C B C B Per verificare che il triangolo ABC è rettangolo, basta verificare il teorema di Pitagora, cioè l'identità AC AB BC. Si ottiene ; Dunque il triangolo ABC è rettangolo con ipotenusa AC. L'area del triangolo è: ABBC As Problema 5 Verificare che il triangolo di vertici A( ; ), B( ; ), C( ; ) è isoscele e determinarne il perimetro. Applicando le formule per trovare la distanza tra due punti, si ottiene A cura di Gentile Valter Ed

7 Esercizi svolti: la retta e sue A cura di Gentile Valter Ed ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A c A c AC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B C B C BC ( ) ( ) Poichè risulta AB BC, il triangolo è isoscele sulla base AC. Il perimetro del triangolo ABC è p ( ABC ) Problema 6 Verificare che il triangolo di vertici A( ; ), B( ; ), C( ; 6) è isoscele e determinarne l'area. Applicando la formula d ( ) ( ), della distanza tra due punti, si ottiene AB ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B AC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A c A c BC ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B C B C Poichè risulta AB AC, il triangolo è isoscele sulla base BC. Inoltre il triangolo ABC è rettangolo: infatti basta verificare il teorema di Pitagora, cioè l'identità BC AB AC. Si ottiene 68 ; Dunque il triangolo ABC è rettangolo con ipotenusa BC. L'area del triangolo è 7 ABBC As Problema 7 Determinare la mediana relativa al lato AB del triangolo di vertici A(0;), B( ;0), C( ; ). Sapendo che la mediana è il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto,

8 Esercizi svolti: la retta e sue avremo: Applicando le formule: ( ) ( ) m m per trovare le coordinate del punto medio di un segmento. In questo caso per determinare le coordinate del punto medio M di AB si ha ( A B ) 0 m ( A B ) 0 m da cui M ( ; ). Per trovare la lunghezza della mediana CM basta applicare la formula della distanza tra due punti: si ottiene d CM ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) M C M C Problema 8 Determinare le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A( ; 5) e B( ; ). Applicando le formule: ( ) m ( ) m troviamo le coordinate del punto medio di un segmento. In questo caso le coordinate del punto medio M di AB sono: ( ) A B m ( A B ) 5 m da cui M ( ; ). Problema 9 Determinare le coordinate del punto medio M del segmento di estremi A(6; ) e B(;). Applicando le formule: ( ) m ( ) m troviamo le coordinate del punto medio di un segmento. A cura di Gentile Valter Ed

9 Esercizi svolti: la retta e sue In questo caso le coordinate del punto medio M di AB sono: ( A B ) 6 ( A B ) m m 0 da cui M ( ; 0 ). Problema 0 Determinare le coordinate del baricentro G del triangolo di vertici O(0;0), A(;), B( ;-). Il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre mediane. Applicando le formule rispettivamente G e G ; per trovare le coordinate del baricentro di un triangolo si ottiene 0 6 G 0 G 0 da cui G ( ; 0 ). Problema Determinare le coordinate del baricentro G del triangolo di vertici A( ;), B( ; ), C( ;5 ). Applicando le formule rispettivamente G e G ; per trovare le coordinate del baricentro di un triangolo si ottiene G G 5 6 da cui G ( ; ). Problema Trovare le coordinate di A ( ; ) nel sistema traslato XO'Y di origine O'( ;). A cura di Gentile Valter Ed

10 Esercizi svolti: la retta e sue Applicando la formula della traslazione di assi X a X si ottiene il sistema Y b Y che ha per soluzione X e Y. Dunque le coordinate di A nel sistema X O'Y sono A' ( ; ). Problema Determinare l'equazione della retta passante per i punti A(;) e B(0;). Applicando la formula per trovare il coefficiente angolare di una retta non parallela all'asse delle ordinate si ha m cioè m 0 Quindi dalla formula esplicita m q, abbiamo q e poichè Q ( 0, ) si ha che sostituendo l'ordinata all'origine della retta è q. punti cioè: da cui 0 Dunque l'equazione della retta è. Possiamo abbreviare il tutto applicando l equazione generica della retta passante per due in definitiva ( ) cioè Problema Determinare l'equazione della retta passante per i punti A(0;) e B( ;0). Applicando la formula per trovare il coefficiente angolare di una retta non parallela all'asse delle 0 ordinate si ha m cioè m 0 A cura di Gentile Valter Ed

11 Esercizi svolti: la retta e sue Quindi dalla formula esplicita m q, abbiamo q e poichè Q (,0 ) si ha che sostituendo l'ordinata all'origine della retta è q. Dunque l'equazione della retta è.. Possiamo abbreviare il tutto applicando l equazione generica della retta passante per due punti cioè: da cui 0 0 in definitiva cioè 0. Problema 5 Determinare l'equazione della retta passante per i punti A(0;) e B(-;0). Applicando la formula per trovare il coefficiente angolare di una retta non parallela all'asse delle ordinate si ha 0 m cioè m. 0 Quindi dalla formula esplicita m q, abbiamo q e poichè Q ( -, 0 ) si ha che l'ordinata all'origine della retta è q. Dunque l'equazione della retta è. da cui 0 Possiamo abbreviare il tutto applicando l equazione generica della retta passante per due punti cioè: 0 in definitiva cioè 0. Problema 6 Determinare l'equazione della retta passante per i punti A(0;) e B(-;0). Applicando la formula per trovare il coefficiente angolare di una retta non parallela all'asse delle ordinate si ha si ha A cura di Gentile Valter Ed. 006

12 Esercizi svolti: la retta e sue m cioè m 0 0 Quindi dalla formula esplicita m q, abbiamo q e poichè Q (, 0) si ha che sostituendo l'ordinata all'origine della retta è q. Dunque l'equazione della retta è. Possiamo abbreviare il tutto applicando l equazione generica della retta passante per due punti cioè: da cui 0 0 in definitiva cioè 0. Problema 7 Determinare l'equazione della retta passante per i punti A(; 5/) e B( ;7/). Applicando la formula per trovare l'equazione della retta passante per due punti si ha, da cui si 5 6 ha 6 5 ossia ( ) cioè 5 ( ) concludendo 0. Problema 8 Determinare l'equazione della retta passante per il punto A(; ) e parallela alla retta 0. Per la condizione di parallelismo tra rette, la retta da trovare ha lo stesso coefficiente angolare della retta data. Dunque da 0, si ottiene e quindi m. A cura di Gentile Valter Ed. 006

13 Esercizi svolti: la retta e sue Poichè la retta deve passare per A(, ) dalla formula m( ) della retta per un punto di dato coefficiente angolare si ottiene ( ), da cui si ha ossia 0. Problema 9 Determinare l'equazione della retta passante per il punto A(; ) e perpendicolare alla retta. Per la condizione di perpendicolarità tra rette, la retta da trovare ha coefficiente angolare antireciproco di quello della retta data. Dunque dalla equazione si trova che il coefficiente della retta perpendicolare è m cioè m m Problema 0 Determinare l'equazione della retta passante per i punti A(; ) e B( ;0).. Poichè la retta deve passare per P(, ) dalla formula m( ) della retta per un punto di dato coefficiente angolare si ottiene ( ), da cui si ha 8 ossia 6 0. A cura di Gentile Valter Ed. 006

14 Esercizi svolti: la retta e sue Applicando la formula per trovare l'equazione della retta passante per due punti si ha 0, da cui si ha ossia ( ) Cioè 6 e concludendo 0. Problema Determinare l'equazione della retta passante per i punti A(0; ) e B( ;0). Applicando la formula per trovare l'equazione della retta passante per due punti si ha 0, 0 0 da cui si ha, ossia 0. Problema Determinare l'equazione della retta X Y 0 nel sistema O, sapendo che l'origine del sistema XO'Y è O' ( ; ). Applicando le equazioni della traslazione di assi, A cura di Gentile Valter Ed. 006

15 Esercizi svolti: la retta e sue X a X si ottiene il sistema Y b Y sostituendo le espressioni di X ed Y nella equazione della retta X Y 0 si ottiene ( ) ( ) 0. Dunque l'equazione della retta è 0. Problema Nel fascio di rette di centro A( ; ) determinare la retta r perpendicolare alla retta di equazione 0. Si scrive l'equazione m () del fascio proprio di rette di centro P. Si ricava il coefficiente angolare della retta a 0 cioè m. b Imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette, il coefficiente angolare della retta r perpendicolare alla retta 0 è l antireciproco m. m Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ha ( ). Dunque l'equazione della retta è 0. Problema Nel fascio di rette parallele a determinare la retta r passante per A(0; ). Scritta l'equazione del fascio improprio di rette parallele alla retta, cioè k, si ottiene l'equazione della retta r imponendo il passaggio per il punto Q(0; ). A cura di Gentile Valter Ed

16 Esercizi svolti: la retta e sue Si ha k. Dunque l'equazione della retta è 0 Problema 5 Dati i tre vertici di un triangolo A(5,0); B(,) e C(,), scriverne le equazioni dei lati. Sfruttiamo l equazione della retta passante per due punti: Per i punti A(5,0); B(,) applicando la formula avremo : 0 5 da cui 0 cioè Per i punti A(5,0); C(,) applicando la formula avremo : 0 5 da cui 8 0 cioè Per i punti B(,); C(,) applicando la formula avremo : 5 da cui 0 cioè 5 N.B. : La retta è data dalla frazione con denominatore nullo, uguagliata a zero. Problema 6 Scrivere l equazione di una retta passante per A(,) e per il punto comune alle rette r) e s) 0. Per la determinazione del punto B, comune alle rette r) ed s), impostiamo il sistema di primo grado: A cura di Gentile Valter Ed

17 Esercizi svolti: la retta e sue cioè 0 lo risolviamo per add. e sott. // da cui la soluzione e da una delle due equazioni otteniamo il valore corrispondente della ( prendere sempre l equazione più conveniente dal punto di vista algebrico ), che in questo caso è immediato. Quindi B(,). La retta per AB applicando sempre la formula della retta passante per due punti è: da cui 0 cioè Problema 7 Scrivere l equazione della retta congiungente il punto d intersezione delle rette a) ; b) 0, con quello d intersezione delle rette c) e d). Punto A rette a) e b) 0 - // analogamente al problema precedente abbiamo il punto A(,) Punto B rette c) e d) da cui - e le coordinate sono B( ; ) La retta AB cercata, applicando sempre la formula della retta passante per due punti è: da cui ( ) ( ) semplificando e con facili conti abbiamo ( ) ( ) Problema 8 Scrivere l equazione della retta passante per A( 5, ) parallela alla retta congiungente l origine delle coordinate con B(,). Retta congiungente O(0,0) con B(,), applicando sempre la formula della retta passante per due punti è: 0 0 da cui con m 0 0 in definitiva la retta parallela alla precedente e passante per A( 5, ) la determineremo con la formula della retta passante per un punto: m ( ) quindi ( 5 ) A cura di Gentile Valter Ed

18 Esercizi svolti: la retta e sue Problema 9 La retta passante per A(,) e B(, 6) e quella per C(6, ) e D(,) come sono fra loro? Sfruttiamo l equazione della retta passante per due punti: evidenziandone l espressione del coefficiente angolare m, cioè Per i punti A(,); B(-,-6) applicando la formula avremo : 6 9 da cui cioè m Per i punti C(6,-); D(-,) applicando la formula avremo : da cui cioè m / Se ne deduce che le due rette sono fra loro perpendicolari perché soddisfano la condizione di antireciprocità cioè m / m Problema 0 Scrivere l equazione della retta passante per A(,) e parallela a quella passante per i punti B(, 6) e C(,). Applicando la formula della retta passante per un punto abbiamo: m ( ) quindi m ( ) Determiniamo ora la retta per BC, sfruttando l equazione della retta passante per due punti: evidenziandone l espressione del coefficiente angolare m, cioè dati i punti B(, 6) ; C(,) e applicando la formula avremo : da cui m' Concludendo essendo le due rette parallele m m da cui ( ) Problema Scrivere l equazione della perpendicolare condotta per l intersezione delle rette r) e s) ad una retta di coefficiente angolare. Punto A rette r) e s) // analogamente al problema precedente abbiamo il punto A(,) A cura di Gentile Valter Ed

19 Esercizi svolti: la retta e sue la retta perpendicolare avrà m -/m quindi m -/ da cui l equazione cercata / ( ) 0 Problema Calcolare il coefficiente angolare della retta passante per A(,5) e B(,0); calcolare inoltre, l intersezione di essa con la retta passante per C(7,) e di coefficiente angolare. Sfruttiamo l equazione della retta passante per due punti: evidenziandone l espressione del coefficiente angolare m, cioè Per i punti A(,5); B(,0) applicando la formula avremo : da cui cioè m e la retta 5 5 Applicando la formula della retta passante per il punto C(7,) con il coefficiente dato abbiamo: m ( ) quindi ( 7 ) 7 Vediamone l intersezione - - da cui ed 6 e le coordinate dell intersezione : Q(,6) 9 // 6 Problema Scrivere l equazione della retta passante per A(6, 5) e di coefficiente angolare 5/. Scrivere quindi l equazione della parallela ad essa condotta per B(,0) e della perpendicolare alla stessa per C(5,). Applicando la formula della retta passante per il punto A(6, 5) con il coefficiente dato abbiamo: m ( ) quindi 5 5/ ( 6 ) 5 5 Applicando la formula della retta passante per il punto B(,0) con il coefficiente m m perché parallela abbiamo: m ( ) quindi 0 5/ ( ) 5 5 Applicando la formula della retta passante per il punto C(5,) con il coefficiente m / m perché perpendicolare abbiamo: m m' 5 5 m ( ) quindi /5 ( 5 ) 5 0 A cura di Gentile Valter Ed

20 Esercizi svolti: la retta e sue Problema Scrivere l equazione della retta passante per l intersezione delle rette r) e s) 6 e parallela alla retta 0. Calcoliamo il punto (A) d intersezione tra le rette date : - 0 da cui ed e le coordinate dell intersezione : A(,) 6 // 6 Il coefficiente angolare della retta 0 è pari a m a/b Da cui applicando la formula della retta passante per il punto A(,) con il coefficiente m perché parallela abbiamo: m ( ) quindi ( ) Problema 5 Trovare l intersezione della retta passante per i punti A(, ) e B(,) con la retta per C(,7) e perpendicolare alla retta r) 6. Sfruttiamo l equazione della retta passante per due punti AB: Per i punti A(, ); B(,) applicando la formula avremo : da cui 5 ( ) 5 ( ) quindi Il coefficiente angolare della retta (r) è : m a/b / / La perpendicolare avrà il coefficiente angolare antireciproco cioè : m /m / Applicando la formula della retta passante per il punto C(,7) con il coefficiente m / abbiamo: m ( ) quindi 7 / ( ) 6 8 L intersezione cercata sarà data da: 8 5 // 0 da cui ed e le coordinate dell intersezione : D(,) Problema 6 I vertici di un triangolo sono A(0,); B(,); C(6, ). Scrivere le equazioni dei suoi lati e provare che esso è rettangolo. A cura di Gentile Valter Ed

21 Esercizi svolti: la retta e sue Sfruttiamo l equazione della retta passante per due punti: evidenziandone l espressione del coefficiente angolare m, cioè così da determinare subito quali rette sono eventualmente perpendicolari retta AB da cui equazione retta 0 0 retta AC da cui equazione retta retta BC 7 da cui equazione retta cioè Le rette AB e AC sono perpendicolari perché i rispettivi coefficienti angolari sono antiriciproci, il triangolo è rettangolo in A, e quindi sussiste anche AB AC CB. Problema 7 Determinare l equazione della retta passante per i punti A(,m) e B(m,). a) per quali valori di m tale retta è parallela all asse delle o a quello delle? b) Per quali valori di m è parallela alla prima o seconda bisettrice? c) Per quali valori di m passa per C(0,5)? Sfruttiamo l equazione della retta passante per due punti: m da cui m m (m )(-m) ( m)() m m m m m (m) - (-m) m 0 (*) a m m b m A cura di Gentile Valter Ed. 006

22 Esercizi svolti: la retta e sue a) affinchè questa retta sia parallela all asse delle ordinate si dovrà imporre che la sua ordinata sia nulla cioé (m) 0 la condizione per soddisfare questo è m 0 cioè m /, da cui la retta: ( /) (/) 0 / / 0 affinchè questa retta sia parallela all asse delle ascisse si dovrà imporre che la sua ascissa sia nulla cioé ( m) 0 la condizione per soddisfare questo è m 0 cioè m, da cui la retta: () 0 b) Sappiamo che la prima bisettrice ha equazione con coeff. ang. m Sappiamo che la seconda bisettrice ha equazione con coeff. ang. m. Nel nostro caso il coeff. ang è pari a a/b ed è in funzione di m, ed andrà uguagliato rispettivamente ai valori di m sia della prima bisettrice che della seconda: m I^) da cui m m m m 0 m 0 quindi l equazione della retta parallela alla prima bisettrice è m II^) da cui m m m m 0 m quindi l equazione della retta parallela alla seconda bisettrice è ( ) () c)determiniamo infine per quali valori d m la retta passa per il punto di coordinate stabilite, per farlo basterà imporre il passaggio della retta per quelle coordinate, da cui: 5(m)--m 0 0m 5 m 0 m -5m 7 0 da cui 5 ± ± 5 m Problema 8 Il vertice A di un triangolo ABC ha coordinate (,); si sa che l altezza uscente dal vertice C ha equazione 8 0 e che l equazione della mediana uscente dallo stesso vertice C è 5 0. Calcolare le coordinate degli altri vertici del triangolo e la sua area. A cura di Gentile Valter Ed. 006

23 Esercizi svolti: la retta e sue f) 8 0 h D 0 E 8/ 0 Rappresentiamo le rette m) 5 0 m F 0 /5 G / 0 L intersezione cercata sarà data da: 8 0 lo risolviamo mediante il metodo del confronto quindi ( 8) (5 ) 5 da cui A cura di Gentile Valter Ed. 006

24 Esercizi svolti: la retta e sue 0 8 e dalla I^ equaz del sistema abbiamo 6 In definitiva il punto cha coordinate C(6,5) Cerchiamo ora la retta AB, avente come caratteristica: - retta per un punto e perpendicolare ad h il coeff. angolare di h è m -a/b -/- / e l antireciproco è m -/m -/ quindi m ( ) cioè ( )/ 9 5 Cerchiamo il punto M di intersezione tra la retta AB e la mediana (m), facendo sistema tra le due equazioni: lo risolviamo mediante il metodo add./sott. 5 0 // - 0 e dalla I^ equaz. del sistema 5 0 cioè M(,). Determiniamo ora il punto B( B, B ), quest ultimo ed il punto M (,) appartengono alla retta passante per questi due punti di equaz. generica cioè B B B B B - B ( B ) ( B ) B B e questa deve coincidere con la retta AB nota, in definitiva uguagiando i coefficienti si ha : B si ha B ( B ) si ha B B(, ) Verifica B B ( ) 5 C.V.D. Per determinare l area procederemo in due modi: I ) applicazione classica della formula As Bh/ Le misure delle distanze le faremo mediante la 8 d ( ) ( ) che nel nostro caso sarà h CE 6 ( 5 0) 5 5 d(ab) ( ) ( ) Bh 5 5 As II ) applicazione della formula matriciale di Sarrus: Inserite le tre coordinate dei vertici del triangolo per righe, inserire una colonna di termini unitari, ripetendo quindi le tre coordinate dei punti, e procedere come nello schema sottostante: 5 A cura di Gentile Valter Ed. 006

25 Esercizi svolti: la retta e sue A Da cui nel nostro caso: [( ) ( ) ] A [ 8 0 ( 6 0 ) ] ( 0 ) La retta CB non richiesta è comunque pari a (retta per due punti) Problema 9 Date le rette r) 0 ed s) 5 0 a) determinare il fascio, b) fra le infinite rette del fascio determinare quella che passa per l origine, c) selezionare fra tutte le rette del fascio quella che passa per il punto A(,) d) fra le infinite rette determinare quella che è parallela alla q) 5 0 e) fra le infinite rette determinare la perpendicolare alla retta v) 7 0 f) Determinare il centro del fascio a) determinare il fascio t ( 5 ) 0 t t 5t 0 ( t ) ( t ) 5t 0 (*) b) fra le infinite rette del fascio determinare quella che passa per l origine ( cond : c 0) quindi 5t 0 da cui t /5 c) selezionare fra tutte le rette del fascio quella che passa per il punto A(,) basterà sostituire il punto dato nel fascio, ottenendo ( t ) ( t ) 5t 0 6 t 6t 5t 0 8t 9 0 t 9/8 d) fra le infinite rette determinare quella che è parallela alla q) 5 0 La condizione è che la retta del fascio deve avere lo stesso coefficiente angolare m m, quindi t m q a / b 5 / m f m q con m f da cui l equazione t t 5 con la condizione t (se non si pone tale condizione si potrebbe t selezionare la retta con coeff. ang. 90 ; infinito!) ( t ) 5 ( t ) 6 t 5t 5 A cura di Gentile Valter Ed

26 Esercizi svolti: la retta e sue 8t t /8 e) fra le infinite rette determinare la perpendicolare alla retta v) 7 0 Condizione : m f m r dove m r ( t) t 6 t t 6 t t 6!! Ottenendo un assurdo se ne deduce che la retta cercata è quella esclusa. N.B. : m s opposto e reciproco di m v infatti m s m v Conclusione, la retta s è quella cercata ( è moltiplicata per il parametro) f) Determinare il centro del fascio Dalla (*) mettiamo a sistema le due equazioni delle rette, risolveremo il sistema con il metodo della add/ sott algebrica applicato due volte con la moltiplicazione di due fattori opportuni così da eliminare una delle due incognite, l equazione che si ottiene, combinazione lineare delle precedenti due, ammetterà sempre la stessa soluzione: // 0 da cui // 5 0 da cui 5 Problema 0 Dato il fascio (k ) (k ) k 0 Determinare : a) centro del fascio b) la parallela all asse c) la parallela alla retta t) 0 d) la retta del fascio che dista una unità da A(,0) e) le rette che intersecano OA a) centro del fascio A cura di Gentile Valter Ed

27 Esercizi svolti: la retta e sue Analogamente al caso (f) dell esercizio precedente abbiamo: (k ) (k ) k 0 k k k 0 k ( ) // 7 0 da cui per sost. Con facili passaggi si ha 7 7 b) la parallela all asse ( condizione : b 0 ) quindi k 0 k sostituendo nel testo abbiamo l equazione cercata ( 6 ) ( ) c) la parallela alla retta t) 0 k m t / m f dovendo essere m f m t avremo k quindi la retta // è k con k k (k ) k 6k k 7k 0 da cui k 0 0 d) la retta del fascio che dista una unità da A(,0) Applichiamo direttamente la formula della distanza di un punto da una retta d a ( a b b c ) d ( k ) ( k ) 0 k ( k ) ( k ) k k k k k 6k 9 k 5k k 0 k 5k k 0 k k 0 0 A cura di Gentile Valter Ed

28 Esercizi svolti: la retta e sue k k 0 0 con b ac< 0 Conclusione non esiste una retta che soddisfi la condizione richiesta. e) le rette che intersecano OA con A(, 0) quindi dall equazione del fascio (k ) (k )0 k 0 cioè k 0 k 0 k 0 condizione per A condizione per O(0,0) è c 0 quindi k 0 k risultato 0 k Problema Determinare k in modo che la retta (k ) k 0 Risulti: a) parallela all asse b) parallela alla retta di equazione c) perpendicolare alla retta di equazione 0 d) attraversi il segmento AB dove A(,) e B(,) e) passi per il punto C(,). A cura di Gentile Valter Ed

29 Esercizi svolti: la retta e sue a) esprimiamo il fascio evidenziando il parametro per poi determinare il centro del fascio: k k 0 k ( ) 0 k ( ) ( ) 0 0 centro del fascio D (, ) 0 0 Risulta evidente che l unica retta parallela all asse appartenente al fascio è la retta limite 0 cioè b) Data la retta (s) 0 rappresentiamola s F 0 G / 0 con m a/b (/ ) e nel nostro caso m k quindi ( k ) cioè k k sostituendo nell equazione data si ha (k ) k 0 ( ) rappresentiamola r K 0 E / 0 c) Data la retta 0 rappresentiamola t L 0 / M 0 con m a/b ( / ) / L equazione perpendicolare ha coefficiente angolare m /m Nel nostro caso e nel nostro caso m k quindi ( k ) cioè k k sostituendo nell equazione data si ha A cura di Gentile Valter Ed

30 Esercizi svolti: la retta e sue rappresentiamola (k ) k 0 ( ) 0 0 n F 0 H / 0 d) il fascio il cui centro D (, ) dave attraversare il segmento : A(,); B(,), quindi il parametro k avrà un intervallo e non un unico valore, per determinarlo sostituiamo sia il punta A che il B all interno del fascio, ottenendo rispettivamente: (k ) k 0 per A ( k ) k 0 k 0 k / per B (k ) k 0 k k 0 k estremo coincidente con la perpendicolare. Conseguentemente k e) Sostituendo il punto C(,) otteniamo un assurdo (k ) k 0 (k ) k 0 k k 0!!!! Se esaminiamo quanto espresso nel punto a)si nota che il punto C ha la stessa ascissa del centro D, quindi nessun valore di K soddisfa la condizione che coincide con la retta limite. Problema In un triangolo ABC, il vertice C ha coordinate C(,). L altezza e la mediana relative al lato BC hanno rispettivamente equazioni 6 0 e 0. Determinare area e perimetro del triangolo. h Q 0 R / 0 m M 0 H / 0 Calcoliamo il punto d intersezione tra h) ed m), secondo vertice del triangolo punto A punto A (, ) / A cura di Gentile Valter Ed

31 Esercizi svolti: la retta e sue Per la ricerca del terzo vertice B ci si avvale della considerazione che: conoscendo il punto M( m, m ), intersezione della retta BC ( base del triangolo ) con la mediana m, è posto all estremo opposto di C ed equidistante da M. C B C B Per definizione abbiamo : m e m Iniziamo a determinare la retta BC essa passa per il punto C (,) ed è perpendicolare ad h essendo il coeff. ang. di quest ultima pari a m h a/b / / avremo m ' m h e applicando la regola della retta passante per un punto abbiamo C m ( C ) / ( ) 7 le coordinate del punto M( m, m ), saranno date dal sistema tra la retta della base BC e la retta mediana m punto M (, / ) / A cura di Gentile Valter Ed. 006

32 Esercizi svolti: la retta e sue Concludendo dall espressioni delle coordinate di M sostituendo i valori trovati abbiamo : C B e C B B 6 5 e B - da cui il punto B(5, ) Ricerchiamo ora il valore dell area, in due modi I modo) con l applicazione della formula classica A S Bh/ Dove B ed h sono le misure delle distanze tra B e C per la base ed A e H intersezione della retta base con la retta dell altezza: 7 / 6 6 // /5 sostituendo nella ^ equaz. abbiamo il valore della /5 9 da cui il punto H(, ) d AH ( ) ( ) 6 5 A H 8 5 A H d BC ( ) ( ) ( 5 ) ( ) B C concludendo Bh 5 A S 5 II modo) con la formula di Sarrus B C I punti sono A(,) ; B(5,-) ; C(,) A Da cui nel nostro caso: [( ) ( ) ] A cura di Gentile Valter Ed. 006

33 Esercizi svolti: la retta e sue A cura di Gentile Valter Ed. 006 A ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) Per il calcolo del perimetro mancando le misure delle due distanze AC e AB applicheremo due volte la formula della distanza e poi sommeremo il tutto d BC 5 già determinata d AC ( ) ( ) ( ) 5 ) ( C A C A d AB ( ) ( ) ( ) ) ( B A B A Concludendo il perimetro sarà: p d BC d AC d AB

34 Esercizi svolti: la circonferenza e sue LA CIRCONFERENZA E LE SUE APPLICAZIONI Problema Determinare l'equazione della circonferenza passante per P( ;0) e Q(0; ). Osservando la figura, si nota che la circonferenza è tangente agli assi cartesiani in A e in B. Dunque il centro della circonferenza si ottiene dalla intersezione delle rette perpendicolari agli assi passanti per A e per B e quindi il centro risulta C ( ; ). Il raggio della circonferenza è r. Dunque l'equazione della circonferenza è 0. Problema Determinare l'equazione della circonferenza avente centro nel punto di intersezione delle rette e 0 e passante per l'origine degli assi. Risolvendo il sistema formato dalle due rette date, si trova il centro C( ; ). Il raggio della circonferenza è dato dal segmento CO. Applicando la formula della distanza tra due punti si ottiene CO d ( ) ( ), Dunque l'equazione della circonferenza è 0. Problema Determinare l'equazione della circonferenza avente per diametro il segmento OA con O(0;0) ed P( 6; ). Applicando la formula del punto medio di un segmento, si trovano le coordinate del centro C ( ; ). Il raggio della circonferenza è dato dal segmento CO. Applicando la formula della distanza tra due punti si ottiene CO d ( ) ( ), Dunque l'equazione della circonferenza è 6 0 A cura di Gentile Valter Ed. 006

35 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Problema Determinare l'equazione della circonferenza avente centro nel punto C ( ; ) e tangente all'asse. Essendo la circonferenza tangente all'asse delle, il raggio è r. Dunque l'equazione della circonferenza è 6 0. Problema 5 Determinare l'equazione della circonferenza tangente alla retta di equazione nel suo punto A( ;) e passante per B. Osservando la figura il centro della circonferenza è C( ; ). Il raggio della circonfernza è uguale alla distanza CA. Dunque l'equazione della circonferenza è Problema 6 Determinare l'equazione della circonferenza di centro ( ; ) e tangente alla retta di equazione 0. Per determinare l'equazione della circonferenza, basta trovare la misura del raggio che è la distanza del centro della circonferenza dalla retta data. Si ottiene r. Applicando la formula della circonferenza noto il centro e il raggio si ottiene l'equazione A cura di Gentile Valter Ed

36 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Problema 7 Determinare l'equazione della circonferenza passante per il punto A( ; ) e avente il centro nel vertice della parabola. Trovato il vertice della parabola V( ; ), basta calcolare la misura del raggio che è la distanza VA. Applicando la formula della circonferenza noto il centro e il raggio si ottiene l'equazione Problema 8 Data la circonferenza di equazione 6 0 determinare l'equazione della retta t tangente alla curva nel punto O ( 0 ; 0 ) Si scrive l'equazione m del fascio proprio di rette di centro O. Si ricava il centro C della circonferenza ; si ha C ( ;). Si trova il coefficiente angolare della retta CO; si ottiene m /. Poichè la retta CO è perpendicolare alla tangente, in quanto il raggio della circonferenza appartiene alla retta CO, imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette, si ha m /. Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ottiene ( /). Dunque l'equazione della retta è 0. Problema 9 Data la circonferenza di equazione 5 5 determinare l'equazione della retta t tangente alla curva condotta dal punto P( /5 ; /5 ) e non parallela all'asse delle. Si scrive l'equazione del fascio proprio di rette di centro P, cioè A cura di Gentile Valter Ed

37 Esercizi svolti: la circonferenza e sue m( ). 5 5 Si ricava il centro C e il raggio della circonferenza 5 5 : si ha C(0;0) ed r /5. Si impone che la distanza del centro della circonferenza dal fascio proprio sia uguale m al raggio. Si ottiene. 5m 5 5 Risolvendo l'equazione si ottiene Poichè la retta non deve essere parallela all'asse delle, il valore accettabile è m /. Sostituendo tale valore al posto di m nell'equazione del fascio si ottiene 5 ( ). 5 Dunque l'equazione della retta è 0. m m 0 da cui m 0 ed m /. Problema 0 Determinare l'equazione della circonferenza passante per O(0;0) ed avente il centro nel vertice della parabola -. Trovato il vertice della parabola V( ; ), basta calcolare la misura del raggio che è la distanza CO 5. Applicando la formula della circonferenza noto il centro e il raggio si ottiene l'equazione 0 A cura di Gentile Valter Ed

38 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Problema Trovare la misura del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo di vertici (,6), (5,) e (,5). Quali sono le coordinate del centro di tale circonferenza? L equazione generica della circonferenza ha espressione ² ² m n p 0 essendo circoscritta al triangolo dato, i vertici di quest ultimo appartengono alla circonferenza soddisfacendone l equazione, per questo ne imponamo il passaggio per i tre punti dati A 6 m 6n p 0 B 5 6 5m n p 0 C 5 m 5n p 0 7 m 6n p 0 tra la prima e la terza 7 m 6n p 0 5m n p 0 9 m 5n p 0 8 m n // 0 9 m 5n p 0 n 8 m tra seconda e la terza 5m n p 0 5m n p 0 9 m 5n p 0 7m n 0 9 m 5n p 0 A cura di Gentile Valter Ed

39 Esercizi svolti: la circonferenza e sue n 8 m n 7m 9 m 5n p 0 n 8 m - 8 m 7m 9 m 5n p 0 m n p 0 m n p n 8 m 0m 0 9 m 5n p 0 concludendo l equazione della circonferenza è ² ² 0 m n C(, ) da cui C(, ) cioè C (,) R m n p ( ) Problema Trovare la distanza d del centro C della circonferenza a 0 dalla retta (a ). Mettiamo a sistema le due curve per evidenziare la posizione della retta a 0 (a ) Dopo la sostituzione elaboriamo solo l equazione risultante (a ) a (a ) 0 (a a) a a 0 a 8a a a 0 5 0a 6 a 0 il b ac 5a 0 a < 0 la retta è esterna alla circonferenza Coordinate del centro C(α, β ) ( 0, a/ ) Infatti dai coefficienti a α e b β da cui i valori dell esercizio che si sta svolgendo α a / 0 e β b / a/ A cura di Gentile Valter Ed

40 Esercizi svolti: la circonferenza e sue La retta è (a ) cioè a ed ancora a 0 a b c Mediante la formula d ( a b ) otteniamo a a a a 5a ( 0 ) ( ) ( a ) a ( ) d 5a 5 5a a 5 a 5 5 Problema Dal centro della circonferenza a è tracciata la retta parallela alla retta 0. Detti A e B i punti d intersezione tra la retta e la circonferenza, determinare l area del triangolo AOB. Ricerca della retta parallela alla retta s) 0 con m a/b / La retta r) parallela alla retta dat avrà m m e passerà per il centro C di coordinate C(α, β ) ( a, 0 ) Infatti dai coefficienti a α e b β da cui i valori dell esercizio che si sta svolgendo α a / a/a e β b / 0 applicando la m ( ) abbiamo r) 0 /( a ) a a 0 A cura di Gentile Valter Ed

41 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Ricerchiamo ora i punti d intersezione A e B tra la retta r) e la circonferenza data a mettiamo le due equazioni a sistema a 0 a 0 a (a ) a( a ) Dopo la sostituzione elaboriamo solo l equazione risultante a a a a 5 a a 5 a a da cui ± 5 a a 5 a a( 5 ) quindi per a a a 5 a a( 5 ) e per a In definitiva le coordinate dei tre vertici del triangolo sono a( 5 ) a A (, ), O (0,0) 5 5 a( 5 ) a B(, ), 5 5 Per il calcolo della superficie ci avvaliamo ancora della formula di Sarrus A Da cui nel nostro caso: [( ) ( ) ] a( 5 ) a a( 5 ) a a( 5 ) a a( 5 ) a a a( 5 ) a a( 5 ) A a ( 5 ) a ( 5 5 ) 5 a 5 a a 5 5 a a 5 5 a 5 5 Problema Data la circonferenza 0 determinare le rette tangenti alla circonferenza (se ve ne sono), e passanti per il punto A(0,6). Data la retta k che interseca la circonferenza in MN e le due tangenti nei punti P e Q, sussiste la relazione PQ/MN. Determinarne le coordinate. A cura di Gentile Valter Ed. 006

42 Esercizi svolti: la circonferenza e sue L equazione della retta per A(0,6) ha equazione A m ( A ) cioé 6 m ( 0); equazione che andrà messa a sistema con l equazione della circonferenza ottenendo: 6 m ( 0) 0 m 6 (m 6) (m 6) 0 m 6 m 6 m m 0 m 6 ( m ) 8m 0 da quest ultima equazione imponiamo la condizione di tangenza : b ac 0 6m (m ) 0 m 0 m da cui m ± coefficiente angolare delle due tangenti cercate : 6 e 6. Passiamo ora alla seconda parte dell esercizio. La retta K è parallela all asse delle ascisse, determiniamo in funzione del parametro le sue intersezioni con la circonferenza data : K 0 K K K ± K K K K 0 dalla risoluzione dell equazione in scritta otteniamo il valore delle due ascisse cercate M ed N mentre l ordinata è data dalla retta parametrica. M ( K K, K) e N ( K K, K ) MN N - M K K K K K K A cura di Gentile Valter Ed. 006

43 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Dalla relaione imposta dal testo abbiamo PQ MN quindi : PQ MN ( K K ) K K (**) Inoltre il valore di PQ è pari anche all intersezione della retta parametrica con le tangenti; in particolare lo calcoliamo solo per il punto Q, e da considerazioni analoghe alla precedenti avremo la distanza completa PQ: K K 6 ( K 6 ) 6 PQ (*) Concludendo dall uguaglianza tra i valori di PQ ottenuti avremo i valore del parametro K cercato (ordinata della retta data): ( K 6 ) K K ( K 6 ) ( K K ( K 6 ) K K ( ) ) K 6 K 8K K 0 K - 60K ± ± K 6 6 Per i valori di P e Q cercati basterà sostituire nella (*) per ottenerli, così come per M ed N si dovranno dividere per dalla (**). Problema 5 Data la circonferenza di centro C( ; ) e la retta tangente t) 0, determinare la circonferenza. I modo) L equazione della circonferenza cercata è del tipo ² ² a b c 0 I coefficienti a e b li otterremo sfruttando le coordinate del centro date, mentre il coefficiente c lo si otterrà mettendo a sistema la circonferenza con la retta data, vediamolo: a b dalle coordinate del centro C, (, ) cioè a da cui a b da cui b ne consegue l espressione per la circonferenza ² ² c 0 che messa a sistema con la retta data dara il coefficiente cercato: ² ² c 0 0 A cura di Gentile Valter Ed. 006

44 Esercizi svolti: la circonferenza e sue ( )² ² ( ) c 0 come al solito elaboriamo l ultima equazione c 0 8 c 0 imponiamo la condizione di tangenza : b ac 0 (N. B. : con il /) (8 c) 0 6 c 0 c 5 c 5/ Da cui l equazione cercata ² ² 5/ 0 ² ² II modo) Determiniamo il raggio come distanza tra il centro C( ; ) ed il punto di tangenza con la retta t) 0: r d a ( a b b c ) 5 Conseguentemente PC r quindi dalla formula ( α)² ( β)² r² abbiamo ( )² ( )² 5/ ( ) ( ) C.V.D. Problema 6 Date le circonferenze c) 0 ; c ) 0 determinare il fascio e le sue caratteristiche e la sua natura. L equazione del fascio è data da t( ) 0 t t t 0 (t) (t) - ( t ) 0 ( t ) 0 t t t a b t C,, t t ( t) ( t ) ( t) ( t t ) ( t) r a b c t t 6t 6 t Vediamone la natura, cioè t ( t) ( t) 0t 6 ( t) A cura di Gentile Valter Ed. 006

45 Esercizi svolti: la circonferenza e sue t 0t 6 > 0 ( t) Da cui t 0t 6 0 t 5t 0 è soluzione 5 ± ± t è soluzione Soluzioni a > 0 > 0 f(t) > 0 verificata per valori esterni < > con // // 6 0 cioè fascio di circoli esterni < 0 6 ( ) Problema 7 Dopo aver studiato la natura del fascio di circonferenze (k) ( k) (k) 0 Con k R, determinare il valore di k per cui si ottiene : a) la circonferenza passante per (, ) b) la circonferenza tangente nell origine alla retta 0 c) la circonferenza che ha il centro sulla retta 0 d) la circonferenza che ha il raggio pari a 5. a) k k k 0 k ( ) // // // 0 ne consegue 0 A cura di Gentile Valter Ed

46 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Quindi per capire la natura del fascio: ( ) 0 due soluzioni reali e distinte 0 e (punti base dell asse radicale) è un fascio di circoli secanti e la circonferenza passante per P(, ) ha per il valore di k pari a: k ( ) 0 k( ) 0 8 6k 0 6k 8 k N.B : k perché se k si otterrebbe l equazione di una retta o meglio l equazione della retta coincidente con la circonferenza degeneredel fascio che ha raggio infinito. b) k ( ) k k 9k k 0 k k 0 ( k) ( k ) 0 da questa equazione l unico valore accettabile per il parametro k è k 0 cioè k, questo per lo stesso motivo già discusso nel punto precedente. c) ( k) ( k) ( k) 0 dividiamo per k 0 ottenendo 0 (*) ( k) la caratteristiche di questa circonferenza è che il suo centro di coordinate A cura di Gentile Valter Ed

47 Esercizi svolti: la circonferenza e sue a b 6 C,,, ( k ) k deve appartenere alla retta 0, cioè deve soddisfarne l equazione, cioè 6 0 da cui k 6( k) k 6 0 6k k d) analogamente al punto precedente dell equazione (*)ci interessa il raggio il cui valore è dato da r ( ) a b c ( ) il valore del raggio è dato da r 5 ( k) uguagliando avremo il valore del parametro cercato ( ) ( k) ( ) ( ) ( 5 ) ( k) 6(k) 0 (k) 6 ( k k ) 0( k k ) 0 k 8k 0 0 k 8k 0 0 da cui k 7 k ± 5 ± 6 k 5 Problema 8 Dati i punti base A(,0) e B(-,) costruire il fascio, indi determinare la circonferenza tangente all asse delle (valore del parametro). - ricerca del fascio Retta passante per due punti nel nostro caso è 0 inoltre il centro ha coordinate C ; ; ; - distanza dei due punti AB 0 0 r d AB ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 5 AB A cura di Gentile Valter Ed

48 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Di conseguenza l equazione della circonferenza con centro C e raggio r avrà espressione ( ) / / / 0 0 Equazione del fascio cercata t ( ) 0 t t t 0 ( t ) (t ) t 0 determiniamo ora il valore del parametro t, per cui si ha l equazione della circonferenza tangente all asse ; l asse ha per equazione 0 da cui : 0 ( t ) (t ) t 0 Sostituiamo la ^ equaz. nella seconda elaborandola ( t ) t 0 imponendo la condizione di tangenza 0 abbiamo ( t ) ( t ) 0 t t 6t 8 0 t t 9 0 ( t ) 0 ne consegue t / Problema 9 Si considerino la circonferenza k 0, il punto P(,5) e le tangenti alla circonferenza uscenti da P; siano A e B i punti di tangenza. Determinare per quale valore di k i segmenti PA e PB sono lunghi. Dalla condizione di tangenza dopo l intersezione della retta generica per P con la circonferenza, nulla si potrà dire, mentre notiamo che : O (α, β) a b k, 0, Inoltre a b r c k k A cura di Gentile Valter Ed

49 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Quindi la 0) k (5 d PO ( ) ( ) 6 5 k k 0 k k 0k 6 5k Applicando Pitagora al triangolo APO, cioè PO AO abbiamo k 0k 6 k 9 k 0k 6 k 6 0k 8 8 k 0 5 Problema 0 Nel fascio di rette generatrici 0 e 8 0 determinare le rette tangenti alla circonferenza di centro C(,-) e passante per T(6,0). Determinare inoltre l equazione della circonferenza concentrica alla precedente che stacchi sulla bisettrice del e quadrante un segmento di lunghezza. ( fig. nella pagina successiva) - Iniziamo con il determinare il centro del fascio ( proprio ) : // inoltre dalla ^ equaz. da cui Il centro cercato ha coordinate P ( 5, ) - Determiniamo ora l equazione della circonferenza sfruttando la formula della distanza tra le coordinate di due punti per avere la misura del raggio con C(, ) e T(6,0) Quindi Essendo r TC ( ) ( ) ( 6 ) ( 0 ) ( ) ( ) 5 da cui Ricerca delle tangenti alla circonferenza passanti per il punto P ( 5, ); procederemo mettendo a sistema l equazione generica di una retta passante per un punto con la circonferenza trovata imponendo infine la condizione 0 Equaz. retta generica per un punto m ( ) quindi m ( 5 ) 6 0 m ( 5 ) A cura di Gentile Valter Ed

50 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Sostituiamo la ^ nella seconda ed elaboriamo quest ultima (m ( 5 ) ) 6(m ( 5 ) ) 0 (m (5) m( 5)) 6m( 5) 0 m ( 0 5) m 0m 6m 0m 0 m 0 m 5 m 0m 50m 0 ( m ) (5m 5m ) 50m 5 m 0 imponiamo / 0 (5m 5m ) ( m ) (50m 5 m ) 0 5m 5m 0m 0m 50m - (5m 50m 5m 50m m ) 0 A cura di Gentile Valter Ed

51 Esercizi svolti: la circonferenza e sue 5m 5m 0m 0m 50m 5m 50m 5m 50m m 0 0m 0m 50m m 0 m 70m 0 m 5m 0 m(m 5) 0 m 0 5 m da cui le equazioni delle rette tangenti cercate: 5 e ( 5 ) ( nella figura sono tracciate in rosso ) - Per la seconda parte del problema sappiamo che l equazione della bisettrice e quadrante è (cioè - 0), ne determiniamo la distanza dal centro C(,-) con la formula: d a ( a b b c ) 5 Non resta che applicare il teorema di Pitagora al triangolo ABC dove AB BD/ Quindi Concludendo l equazione della circonferenza cercata concentrica alla data con C(,-) avrà espressione: ( ) ( ) 9/ r BC ( AB ) ( AC ) ( ) Problema Detto C il centro della circonferenza 5 7 0, determinare le equazioni delle rette r ed s perpendicolari alla retta 0 e che hanno distanza da C. 5 Determinare il perimetro del quadrilatero convesso avente per vertici i punti d intersezione di r ed s con gli assi. Esplicitiamo e precisiamo i dati: Circonferenza α β 5 7 C,, ; passa per l origine O (0,0) ; a b r c , Retta m) 0 m a/b m A 0 B / 0 Determiniamo la retta n parallela alla retta m e passante per C ( dove le rette r ed s hanno distanza d 5 ) m ( ) quindi 7 ( 5 ) A cura di Gentile Valter Ed

52 7 5 Esercizi svolti: la circonferenza e sue n M 0 N / 0 Determiniamo la circonferenza di centro C e raggio 5 ( ) 7 ( ) ( 0, 6) Ricerchiamo ora i punti d intersezione di questa circonferenza con la n, per questi punti, una volta determinati imporremo il passaggio delle tangenti per essi ortogonali alla retta m Sostituiamo la ^ nella seconda ed elaboriamo quest ultima 0 0( ) 50 70( ) (9 66) A cura di Gentile Valter Ed

53 Esercizi svolti: la circonferenza e sue ± ± Punto E e dall equaz. della retta otteniamo : Punto F e dall equaz. della retta otteniamo : Riassumendo E, ; F, Calcoliamo ora la retta passante per E, ed ortogonale alla retta (m) 0 con 0 0 coefficiente pari al suo antireciproco cioè m quindi : m m ( - ) ( ) 0 0 retta per E 0 0 T 0 0/ 0 0 U Calcoliamo ora la retta passante per F, ed ortogonale alla retta (m) con coefficiente pari al suo antireciproco cioè m quindi : m m ( ) ( ) 0 0 retta per F R S Il punto R coincide con A Il quadrilatero TRSU è un trapezio scaleno, determiniamone le basi con il teorema di Pitagora: b m RS OS OR B M UT OU OT Lati obliqui RT ( OT OR) ( OT - OA) US ( OU OS) A cura di Gentile Valter Ed

54 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Concludendo la misura del perimetro è pari a : p b m B M RT US ( 0) Problema Date le rette 0 e 0 determinare le equazioni delle circonferenze tangenti ad entrambe le rette aventi raggio 0. Iniziamo con il rappresentare le rette: r ) 0 r A B / s ) 0 s C / D Dopo averle rappresentate in figura possiamo dire che le circonferenze cercate hanno i centri posizionati in un luogo geometrico che gode della proprietà di essere equidistante da entrambe; A cura di Gentile Valter Ed

55 Esercizi svolti: la circonferenza e sue per determinarli applichiamo la formula della distanza punto retta, sia per la retta r che per s conoscendone la misura d 0 per entrambe le distanze uguale ( raggi ) ne determineremo anche i valori delle coordinate, da cui : d a ( a b b c e nel nostro caso con le rette r ) 0 ed s ) 0 abbiamo ' ' (9 ) d r d s le grandezze sono in valore assoluto, da cui i casi: a) d r d s ( uguale a d r d s ) b) d r d s ) ' ' (9 ) Caso a) delle distanze d r d s ricerca del punto C (, ) ottenendo ne consegue che C (, ) C (, ) Quanto trovato ci esprime che il luogo geometrico equidistante da entrambe le rette è la bisettrice del e quadrante ed il centro C giace su di essa, cerchiamone i valori, riprendiamo la formula della distanza punto retta con C (, ) C (, ), quindi d r 0 cioè per quanto detto abbiamo ) d r 0 ) d r 0 ' ' (9 ) Esaminiamo il sottocaso (a) con la condizione vista ne consegue 5 da cui C (, ) C (, ) C (5,5) centro della prima circonferenza Esaminiamo il sottocaso (a) con la condizione vista ne consegue 5 da cui C (, ) C (, ) C ( 5, 5) centro della seconda circonferenza Caso b) delle distanze d r d s ricerca del punto C (, ) ottenendo ( ) ne consegue che C (, ) C (, ) A cura di Gentile Valter Ed

56 Esercizi svolti: la circonferenza e sue Per quanto detto, ora abbiamo determinato il luogo geometrico dell altro semipiano, bisettrice e quadrante con C giacente su di ressa, per i valori procediamo analogamente a come fatto precedentemente con C (, ) C (, ), quindi : d r 0 ' ' (9 ) cioè per quanto detto abbiamo ) d r 0 ) d r 0 Esaminiamo il sottocaso (b) con la condizione vista ne consegue da cui C (, ) C (, ) C (5/, 5/) centro della terza circonferenza Esaminiamo il sottocaso (b) con la condizione vista ne consegue da cui C*(, ) C*(, ) C*(5/, 5/) centro della quarta circonferenza Ora che abbiamo tutti i centri con le relative coordinate e il raggio (per tutte uguale a 0), determiniamo con semplicità le equazioni delle circonferenze : ^) C (5,5) ( 5 ) ( 5 ) ^) C (5/, 5/) ^) C ( 5, 5) ( 5 ) ( 5 ) ^) C*(5/, 5/) A cura di Gentile Valter Ed