Segnali, sistemi e processi stocastici. novembre g.v. pallottino

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1 Segnali, sistemi e processi stocastici novembre 2006 g.v. pallottino sarò grato a chi mi vorrà segnalare almeno qualcuno degli errori contenuti nel materiale che segue gvp segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

2 1. SEGNALI, INFORMAZIONE E TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO Chiamiamo segnali le grandezze fisiche di cui interessano le variazioni in funzione del tempo e che trasportano informazione. Si possono considerare anche segnali (immagini) funzione di coordinate spaziali, ma qui ci limiteremo alle funzioni del tempo. L informazione I associata a un segnale che può assumere n diversi valori con la medesima probabilità è data dalla formula di Hartley (1) I = log 2 n che Shannon ha poi generalizzato al caso di probabilità arbitrarie. L informazione associata a una grandezza analogica (numero reale) s sembrebbe dunque infinita ma non è così: quanti sono i valori di s effettivamente distinguibili? C è sempre infatti, per motivi fondamentali o per motivi strumentali, una incertezza δs sul valore effettivo di s, sicche il numero di livelli effettivamente distinguibili è finito, almeno per una grandezza compresa in un intervallo finito Δs: (2) n δs/δs I < Sembrerebbe pure infinita l informazione associata a una funzione del tempo s(t), dato che t è una grandezza reale, e quindi, anche in un intervallo di tempo finito, si hanno infiniti valori di s. Ma questi valori non sono evidentemente (statisticamente) indipendenti fra loro. Portano informazione solo i valori indipendenti, separati l uno dall altro da un tempo caratteristico δt, sicchè in un intervallo Δt l informazione totale, finita, è (Δt/δt) log 2 (Δs/δs). segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

3 Una valutazione dell informazione associata a un segnale s(t) può farsi utilizzando il teorema del campionamento. Che stabilisce che un segnale può essere ricostruito dai suoi campioni, presi a intervalli regolari T c, se la frequenza di campionamento f c =1/T c soddisfa la relazione (3) f c f N = 2B dove B è la larghezza di banda del segnale, definita qui come la massima frequenza dello spettro di Fourier del segnale stesso e la frequenza f N è chiamata frequenza di Nyquist. Sotto questo punto di vista l informazione associata a un segnale s(t) in un intervallo di tempo Δt, contenente Δt/T c campioni strettamente necessari, è (4) I 2 Δt B log 2 (Δs/δs) Alcune precisazioni sul teorema del campionamento. 1) Il contenuto spettrale del segnale non si estende necessariamente da frequenza zero a una frequenza limite superiore (segnali passabasso). La banda del segnale può riguardare infatti una regione spettrale dotata di un limite inferiore e di uno superiore, entrambi finiti, per esempio la regione attorno a una frequenza di risonanza (segnali passabanda). In tal caso non vi è alcuna relazione fra la massima frequenza del segnale e la banda B da considerare nelle precedenti relazioni. 2) Se un segnale viene campionato a frequenza inferiore a quella di Nyquist, allora il segnale ricostruito dai suoi campioni non coincide più con quello originale, perchè il suo contenuto spettrale che eccede f c /2 viene ribaltato in banda, con effetto di distorsione. Più precisamente, una frequenza f> f c /2, con f-f c /2=Δf, nel segnale ricostruito verrà a trovarsi alla frequenza f c /2-Δf (fenomeno chiamato aliasing). segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

4 3) Questo significa che è errato campionare un segnale a frequenza inferiore a quella espressa dalla (3) qualora il contenuto spettrale utile del segnale abbia larghezza di banda inferiore a B, e si consideri dunque rumore la parte residua. Perchè questo rumore, per quanto detto in 2), si manifesterà nel segnale ricostruito, a frequenze diverse da quelle originali. In questo caso, infatti, prima di campionare il segnale, occorre filtrarlo opportunamente per eliminare le frequenze indesiderate. 4) Nel caso limite del campionamento eseguito esattamente alla frequenza di Nyquist, la ricostruzione del segnale è possibile soltanto moltiplicando ciascun campione (s k ) per la funzione (sin ω c (t-t k ))/(ω c (t-t k )) e sommando poi quanto si ottiene. 5) Operando a frequenze maggiori si può ottenere un ottima ricostruzione del segnale anche usando algoritmi più semplici: interpolatore di ordine zero a campionamento e tenuta (sample and hold), interpolatore lineare, interpolatore quadratico, ecc. Nel mondo fisico esistono soltanto segnali reali funzione del tempo reale (segnali analogici) Nella strumentazione si considerano anche segnali discreti, nei valori dell ampiezza (possono assumere soltanto due o più valori appartenti a un insieme finito) nei valori del tempo (si considerano significativi i valori dei segnali soltanto a istanti discreti del tempo) Nei calcolatori i segnali non possono essere rappresentati altro che in forma discreta. Spesso ci dimentichiamo della discretizzazione d ampiezza, con effetti perversi. segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

5 2. SEGNALI DETERMINISTICI Segnali deterministici sono quelli suscettibili di una rappresentazione analitica, perchè seguono leggi ben definite, come x(t) = A cos(ωt) oppure y(t) = e -t/τ generalmente usando sia funzioni ordinarie che funzioni generalizzate. Queste ultime le indicheremo con i seguenti simboli: funzione delta: δ(t) funzione gradino unitario (step function, Heaviside function): u(t) nella letteratura indicata anche con le notazioni: 1(t), H(t), Φ(t), δ -1 (t), σ(t) I segnali deterministici, oltre che nel dominio del tempo, possono rappresentarsi nel dominio della frequenza. Reale o complessa, a seconda che se ne consideri la trasformata di Fourier oppure di Laplace. Una distinzione importante riguarda il supporto temporale dei segnali. Se questo è limitato abbiamo segnali transitori (per esempio pacchetti d onda), tipicamente Fourier trasformabili. Altrimenti i segnali non sono generalmente Fourier trasformabili, se non ricorrendo a funzioni generalizzate. Si ricava una interessante relazione, chiamata principio d indeterminazione, per cui il prodotto della durata per la larghezza di banda di un segnale e approssimativamente uguale (più precisamente minore o uguale) a un valore dato. Con l uguaglianza verificata per un segnale di forma Gaussiana (e quindi trasformata Gaussiana). Cosi un segnale breve, fortemente localizzato sull asse dei tempi, avra spettro molto distribuito in frequenza, e viceversa per un segnale lungo. 3. SEGNALI CASUALI segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

6 I segnali casuali non hanno rappresentazione analitica. Uno specifico segnale casuale, per esempio il rumore di un resistore, è rappresentato dal suo andamento temporale, o da una opportuna sequenza dei suoi campioni (ottenuti sperimentalmente o mediante simulazione al calcolatore). I segnali casuali, in generale, possono essere rappresentati soltanto in termini delle loro proprietà statistiche. Proprietà statiche, riguardanti i valori del segnale, a prescindere dalla loro posizione sull asse del tempo. Proprietà dinamiche, in cui intervengono le relazioni fra i valori assunti a diversi istanti di tempo e i tempi in questione. Un modello usato spesso, sebbene non faccia intervenire in alcun modo la dipendenza dal tempo, e dunque possa rappresentare soltanto le proprietà statiche di un segnale casuale: variabile casuale (valori estratti a caso con determinate probabilita ) In tal caso il segnale viene caratterizzato con la sua funzione di distribuzione F s (x) = P(s<x) cioè la probabilità che il segnale s assuma valori inferiori al livello di riferimento x. F s (x) è una probabilita e pertanto rientra nell intervallo fra 0 e 1. Generalmente F s (- ) = 0, F s ( ) = 1. Oppure con la sua densità di probabilità f s (x) = df s (x)/dx cioè la derivata della precedente rispetto a x. Caratterizzazione alternativa (utile perché più compatta) di una variabile casuale è quella basata sui momenti della densità di probabilità: segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

7 valor medio η s = E[s] (momento del primo ordine) varianza σ 2 = E[(s-η s ) 2 ] (momento centrale del secondo ordine) eccetera dove l operatore di aspettazione E[ ] è l integrale da meno infinito a più infinito del suo argomento pesato con la funzione densità, che rappresenta l operazione di media d insieme. Se il segnale ha distribuzione Gaussiana, è completamente caratterizzato dal valor medio e dalla varianza. Altrimenti, in generale, occorre specificare infiniti momenti. I segnali reali hanno densità di probabilità espresse da funzioni ordinarie. I segnali discreti hanno densità espresse da funzioni delta. Per esempio la densità di un segnale che rappresenti i numeri di un dado sarà: (1/6) Σ i δ(s-i) con i =1,2, Miscele di funzioni ordinarie e delta rappresentano la densità di probabilità di segnali particolari. Per esempio un segnale con densità Gaussiana che abbia attraversato un limitatore simmetrico avrà densità ancora Gaussiana, ma solo fra i due valori limite, più la somma di due funzioni delta, che rappresentano tali valori, su cui appunto il segnale gradisce soffermarsi. Questa rappresentazione è usata talvolta anche per i segnali deterministici. In tal caso la densità di probabilità viene chiamata densità d ampiezza. Un onda quadra ha densità d ampiezza costituita da due funzioni delta. La densità di una sinusoide di ampiezza A è compresa fra A e A secondo la legge: f s ( x) 1 = nell intervallo fra A e A π 2 2 A x segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

8 Notiamo che il comportamento di molti strumenti dipende dalla densità dei segnali sottoposti a misura. Pensiamo al caso di un voltmetro per corrente alternata (un comune tester) tarato per fornire il valore efficace di segnali sinusoidali. Esso non darà il corretto valore efficace quando vede un onda quadra, un onda triangolare oppure un segnale a densità Gaussiana (a meno che non sia del tipo a vero valore efficace ). Teorema importante per il calcolo della densità di probabilità di un segnale funzione di un segnale casuale dato. Particolarmente utile quando il sistema (statico) è nonlineare. x(t) sistema statico y = g(x) y(t) Il sistema è rappresentato dalla funzione g(x), che è continua e non assume valori costanti in nessun intervallo. Cioè per un dato valore di y l equazione y=g(x) possiede al più un numero contabile di radici x 1, x 2,... x n. Teorema: se l ingresso ha densità f x (x), la densità dell uscita è f y f = x( xi ) ( y) i sommando sulle n radici dg( xi ) dx Si dimostra considerando la probabilità f y (y)dy che l uscita si trovi in un intervallino fra y e y+dy. Il risultato si estende facilmente al caso in cui la funzione y=g(x) assuma valori costanti y k, corrispondenti a determinati intervalli di x. In tal caso all espressione precedente si sommano altrettante funzioni delta, ciascuna del tipo P(y k ) δ(y-y k ) con P( y ) = f ( x dx (integrando sui corrispondenti intervalli di x) k x ) segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

9 PROCESSI STOCASTICI Modello assai più potente, per la rappresentazione dei segnali casuali, è il processo stocastico. Dove l estrazione a caso, con probabilità preassegnate, non riguarda numeri, ma funzioni del tempo. Più precisamente, un processo stocastico è definito da un esperimento probabilistico nel quale a ciascun risultato, che si verifica con una data probabilità, è assegnata una funzione del tempo. Queste funzioni si chiamano realizzazioni del processo. Che è definito dal loro insieme e dalle rispettive probabilità. ESEMPIO Lancio di una moneta (truccata) con risultati: testa, con probabilità P t = 0.4 e funzione f t (t) = t croce, con probabilità P c = 0.6 e funzione f c (t) = t 2 I processi stazionari hanno proprietà statistiche tutte invarianti nel tempo. Il processo di sopra non e stazionario: infatti il suo valor medio è: 0.4 t t 2 Nei processi ergodici la conoscenza di una sola realizzazione consente di determinare tutte le proprietà statistiche del processo. Allora le medie d insieme sono sostituibili con medie temporali su una qualsiasi delle realizzazioni. Abbiamo, per esempio, per il valor medio η x = + 1 f ( x) x dx limt x( t) 2T T T dt segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

10 FUNZIONI DI CORRELAZIONE Grande importanza ha la funzione di autocorrelazione di un processo x(t), definita in generale con la seguente media d insieme R xx (t 1, t 2 ) = E[x(t 1 ) x(t 2 )] che rappresenta il grado di relazione statistica fra i valori del processo agli istanti t 1 e t 2. Dunque anche la prevedibilita del processo fra t 1 e t 2. Per un processo stazionario ed ergodico, data l invarianza delle proprietà statistiche rispetto a traslazione sull asse dei tempi, la dipendenza dai tempi si riduce alla dipendenza dalla differenza fra i tempi: τ = t 1 - t 2. Si ha allora: 1 Rxx ( τ) = E[ xt ( + τ) xt ( )] = lim T xt ( + τ) xtdt ( ) 2T Qualche proprietà generale dell autocorrelazione: R xx (0) = E[x(t) 2 ] = η 2 + σ 2 T T valore quadratico medio del processo (la potenza totale è la somma della potenza in continua e di quella in alternata ) R xx (0) R xx (τ) τ con uguaglianza solo in casi particolari R xx (τ) = R xx (-τ) si tratta dunque di una funzione pari l ultima proprietà mostra che si possono fare previsioni in avanti sull asse dei tempi altrettanto bene che all indietro. Si considera talvolta la funzione di autocorrelazione normalizzata ρ(τ) = R(τ)/R(0) compresa dunque nell intervallo fra 1 e 1 segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

11 Consideriamo due casi limite. incertezza totale: conoscere il valore del processo a un certo istante t non dà nessuna informazione per prevederne i valori ad altri istanti in tal caso R xx (τ)=0 dovunque salvo che per τ=0, cioè: R xx (τ) = σ 2 δ(τ) determinazione totale: conoscere il processo a un istante significa conoscerlo dovunque. E il caso di un segnale costante x(t) = a (unica realizzazione, con probabilita 1) la cui autocorrelazione è R xx (τ) = a 2 In generale si hanno situazioni intermedie: R xx (τ) decresce al crescere (del modulo) dell argomento, magari oscillando, dal massimo per τ=0 a zero per τ infinito. Si definisce allora un tempo di correlazione τ c per cui R xx (τ c ) = R xx (0)/e oppure come τ c = 1 R(0) 0 R( τ ) dτ ESEMPIO Il rumore bianco filtrato da un filtro del primo ordine (per esempio un circuito RC) con costante di tempo t o ha autocorrelazione: R xx (τ) = R xx (0) exp(- τ /t o ) In questo caso il tempo di correlazione coincide con la costante di tempo. ESEMPIO Processo costituito da una sinusoide di ampiezza, frequenza e fase date (oppure con fase casuale, per esempio avente distribuzione uniforme fra π e π) : A sin(ω o t+φ) L autocorrelazione è: R(t) = (A 2 /2) cos(ω o t) che dipende solo dall ampiezza e dalla frequenza, ma non dalla fase, della sinusoide originale. segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

12 La correlazione fra due processi x(t) e y(t) è rappresentata dalla funzione di correlazione incrociata R xy 1 ( τ ) = E[ x( t + τ ) y( t)] = limt x( t + τ ) y( t) dt 2T che è nulla ovunque se i due processi sono scorrelati, e non è in generale una funzione pari, essendo R xy (τ) diversa da R xy ( τ) R xy (τ) = R yx ( τ) e non avendo generalmente massimo all origine. Si ha inoltre: R xy (τ) 2 R xx (0)R yy (0) Esempio di uso pratico della correlazione incrociata: determinare il ritardo fra due segnali casuali (per esempio la velocità di propagazione di un fluido turbolento in un condotto, usando due trasduttori di vibrazione) Funzioni di covarianza Hanno definizioni identiche alle funzioni di correlazione viste sinora, salvo che alle funzioni vengono sottratti i rispettivi valori medi in modo da rappresentare soltanto correlazioni fra variazioni C xx (τ) = E[(x(t + τ) - η x ) (x(t) - η x )] C xy (τ) = E[(x(t + τ) - η x ) (y(t) - η y )] Si ha in particolare: C(0) = σ 2 C(0) = R(0) - η 2 T T segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

13 SPETTRI DI POTENZA Le proprietà spettrali dei segnali deterministici sono descritte dalla loro trasformata di Fourier. I segnali casuali non sono Fourier trasformabili, ma possiedono generalmente una funzione di autocorrelazione. Per caratterizzarli nel dominio della frequenza si usa la trasformata di Fourier dell autocorrelazione, chiamata spettro di potenza o densità spettrale di potenza S(ω) (power spectrum, power spectral density) S ( ω) = R ( τ ) e jωτ d τ R ( τ ) = 1 2π S ( ω ) e jωτ d ω relazioni che costituiscono il teorema di Wiener-Khintchin Lo spettro di potenza S(ω) è una funzione reale di ω, non negativa, che rappresenta la distribuzione di energia del segnale sull asse delle frequenze. L energia totale, in particolare, cioè il valore quadratico medio del segnale, si ottiene integrando lo spettro si tutto l asse delle frequenze: 1 R (0) = S( ω) dω 2π Unita di misura degli spettri di potenza? Quella della grandezza fisica rappresentata per un tempo. Per una forza e una corrente elettrica: N 2 /Hz, A 2 /Hz. E per una frequenza? segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

14 Cosi definito, lo spettro di potenza S(ω) si estende fra meno e piu infinito, e per questo si chiama spettro bilatero (two-sided). Ma siccome R(τ) = R(-τ), ne consegue che S(ω)=S(-ω), sicchè basta conoscere lo spettro per ω 0. Talvolta, allo scopo di avere a che fare solo con frequenze positive, si usano gli spettri unilateri: S U (ω) = 2S B (ω) dove S B (ω)=s(ω) è lo spettro definito prima La varianza di un segnale con spettro continuo S(f) in un intervallino di frequenza df attorno a f o è infatti σ 2 = 2S(f)df = S U (f) df. Spesso si considerano in pratica spettri di ampiezza, definiti come radice quadrata di spettri unilateri (con l unita di misura della grandezza rappresentata su radice di Hz: per esempio V/ Hz ). SPETTRI INCROCIATI Trasformando una funzione di correlazione incrociata R xy (τ) si ha lo spettro incrociato S xy (jω): una funzione complessa di ω, che esprime in termini spettrali le proprieta di correlazione fra due segnali x(t) e y(t). Per qualsiasi frequenza si ha S xy (ω) 2 S xx (ω) S yy (ω) con l uguaglianza alle frequenze in cui la correlazione spettrale fra i due segnali e totale. segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

15 rumore bianco R(τ) = δ(τ) S(ω) = cost segnale costante x(t) = a R(τ)=a 2 τ ω S(ω) = δ(ω) segnale casuale filtrato (a banda limitata) τ τ ω ω segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

16 SEGNALI A BANDA STRETTA Osservando all oscilloscopio un segnale a banda stretta, per esempio rumore bianco filtrato da da un sistema risonante ad alto Q, si vede una sinusoide, di cui varia lentamente nel tempo l ampiezza e la fase. Da questa osservazione deriva l importante rappresentazione di Rice: un segnale passabanda s(t), avente cioè contenuto spettrale (trasformata di Fourier o spettro di potenza) apprezzabile soltanto in una ristretta regione di frequenza angolare Δω attorno alla pulsazione ω o, può essere rappresentato con ottima approssimazione dalla legge s(t) = a(t) cos(ω o t) b(t) sin(ω o t) dove le funzioni a(t) e b(t) variano nel tempo assai più lentamente del segnale s(t), con contenuto spettrale fra zero e Δω/2, cioè sono due segnali passabasso. Si tratta di una sorta di sviluppo in serie di Fourier al primo ordine, ma con coefficienti variabili nel tempo. La conseguenza è che il segnale s(t) è noto, cioè ricostruibile, se si conoscono ω o e gli andamenti temporali di a(t) e b(t). E dunque è possibile campionare a(t) e b(t) a bassa velocità, assai inferiore a quella richiesta per il campionamento di s(t). segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

17 SISTEMI Aggregati di oggetti fisici che qui interessano solo in quanto eseguono elaborazioni sui segnali. O anche, semplicemente, modelli matematici di sistemi fisici. Dove nella modellizzazione è centrale la rappresentazione delle sole proprietà che interessano effettivamente (economia e specificità). Prescindendo comunque dalla effettiva natura fisica dei sistemi, che intendiamo come enti che trasformano un segnale (ingresso) in un altro (uscita). Comportamento ingresso-uscita Comportamento ingresso-stato-uscita (scatola nera) (scatola grigia) A seconda che si considerino solo le relazioni fra segnali d ingresso e di uscita, oppure si vogliano rappresentare anche certe variabili interne al sistema (variabili di stato): quelle che sono legate all immagazzinamento di energia, e dunque alle proprieta di memoria. segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

18 1. CLASSIFICAZIONE sistemi stazionari (time invariant): sono descritti da equazioni a coefficienti costanti, hanno proprietà invarianti nel tempo: se x(t) y(t) allora x(t+t) y(t+t) T sistemi lineari: sono descritti da equazioni lineari, vale il principio di sovrapposizione degli effetti: se x 1 (t) y 1 (t) e x 2 (t) y 2 (t) allora αx 1 (t) + βx 2 (t) αy 1 (t) βy 1 (t) α, β (a partire da condizioni iniziali nulle) comporta sia l omogeneità che l additività. sistemi statici: sono descritti da equazioni algebriche, l uscita a un dato istante dipende esclusivamente dall ingresso all istante considerato, sono privi di memoria (non immagazzinano energia) alternativi ai precedenti sono i sistemi dinamici: descritti da equazioni differenziali (equazioni alle differenze nel tempo discreto), l uscita a un dato istante non dipende solo dall ingresso all istante considerato, ma anche ad altri istanti soltanto istanti precedenti per i sistemi causali (fisicamente realizzabili) dotati di memoria anche istanti successivi per i sistemi non causali (elaborazione di dati già registrati) sistemi a costanti concentrate: descritti da equazioni differenziali ordinarie sistemi a costanti distribuite: descritti da equazioni differenziali a derivate parziali (corde vibranti, linee di trasmissione, ecc.) segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

19 2. SISTEMI LINEARI E STAZIONARI Ci occupiamo sopratutto dei sistemi lineari e stazionari (generalmente dinamici) perchè sono ottimi modelli di molti sostemi fisici perchè sono descritti da equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti, spesso agevolmente risolubili perchè solo ad essi si applicano i metodi delle trasformate di Fourier e Laplace che ne semplificano grandemente la trattazione ESEMPIO nel caso dell oscillatore armonico abbiamo l equazione differenziale m x ( t) + R x ( t) + K x( t) = f ( t) Applicando la trasformata di Laplace e trascurando le condizioni iniziali otteniamo la seguente equazione algebrica nelle grandezze trasformate ms 2 X(s) + RsX(s) +KX(s) = F(s) da cui si ricava immediatamente la trasformata dello spostamento in funzione della trasformata delle forza applicata X(s) = [ms 2 + Rs + K] -1 F(s) antitrasformando si ha poi l andamento del segnale x(t) nel dominio del tempo. segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

20 x(t) X(s sistema y(t) Y(s) Il comportamento ingresso-uscita dei sistemi lineari e stazionari è descritto completamente da una delle seguenti funzioni: risposta impulsiva h(t) risposta a una eccitazione costituita da una funzione delta unitaria x(t) = δ(t) y(t) = h(t) funzione di trasferimento H(s) rapporto fra le trasformate del segnale d uscita e d ingresso H(s) = Y(s)/X(s) Per l oscillatore armonico: H(s) = X(s)/F(s) = 1/(ms 2 + Rs + K) Legame fra le due funzioni: all eccitazione impulsiva x(t) = δ(t) corrisponde la trasformata X(s) = 1 pertanto la trasformata dell uscita è Y(s) = H(s) e di conseguenza la funzione di trasferimento H(s) è la trasformata di Laplace della risposta impulsiva h(t). Vantaggio dell impiego delle funzioni di trasferimento nella trattazione dei sistemi costituiti da più sottosistemi disposti in cascata: la funzione di trasferimento totale è il prodotto delle funzioni dei sottosistemi: H(s) = H 1 (s) H 2 (s)... H n (s) X(s) H 1 (s) H 2 (s) H n (s) Y(s) segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

21 funzioni di trasferimento sono funzioni reali della variabile complessa s = jω + σ funzioni razionali fratte di s per i sistemi a costanti concentrate, caratterizzate allora da un numero finito di singolarità (poli e zeri) funzioni trascendenti di s per i sistemi a costanti distribuite Calcolando H(s) alla frequenza angolare ω (cioè per s = jω) si ottiene un numero complesso il modulo rappresenta l amplificazione la fase rappresenta lo sfasamento che subisce un segnale armonico di pulsazione ω applicato in ingresso H(jω) rappresenta dunque la risposta in frequenza del sistema risposta impulsiva per sistemi fisicamente realizzabili si ha h(t) = 0 per t<0 per sistemi stabili (BIBO) deve essere h( ) = 0 per sistemi statici si ha una funzione delta nell origine Permette il calcolo diretto della risposta y(t) a una eccitazione qualsivoglia x(t) usando l integrale di convoluzione t y( t) = h( t τ ) x( τ ) dτ = h( τ ) x( t τ ) dτ 0 (estremi d integrazione per sistemi causali, altrimenti fra - e + ) Operazione generalmente sconsigliata nel tempo continuo, molto usata nel tempo discreto, dove gli integrali si riducono a sommatorie. L integrale nel tempo della risposta impulsiva h(t) rappresenta la risposta al gradino unitario (risposta indiciale, step response), da cui si ricavano il tempo di salita, il ritardo e altre grandezze caratteristiche. segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

22 FILTRI La risposta in frequenza H(jω) e una funzione continua di ω. Ha grande importanza il suo andamento asintotico per ω 0 cioè la risposta in continua ω cioè la risposta alle alte frequenze La dipendenza del modulo di H(jω) di un sistema dalla frequenza ne definisce le proprietà filtranti. Si hanno così sistemi passabasso, passaalto, passabanda, eliminabanda Particolare interesse hanno i sistemi passabasso, per esempio 1/(1+jωτ) e i sistemi passabanda risonanti. Le funzioni di risposta di questi ultimi sono caratterizzate da un denominatore del tipo 1 + jωτ/q ω 2 τ 2 (che alla risonanza si riduce a j/q) oppure ω ο 2 + jωω o /Q ω 2 dove Q rappresenta il fattore di merito, che definisce la larghezza di banda attorno alla risonanza (Q = ω ο /Δω), per Q>>1. segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

23 3. SEGNALI CASUALI NEI SISTEMI LINEARI E STAZIONARI x(t) S xx (ω) H(jω) y(t) S yy (ω) Teorema fondamentale se il segnale d ingresso x(t) è un segnale casuale con spettro S xx (ω), lo spettro del segnale d uscita y(t) è: S yy (ω) = H(jω) 2 S xx (ω) Si dimostra esprimendo l autocorrelazione dell uscita in termini di segnali espressi con l integrale di convoluzione, e applicando poi la trasformata di Fourier a quanto si ottiene. ESEMPIO Filtro passabasso RC con costante di tempo t o e funzione di trasferimento 1 H ( jω) = 1 + jω t o eccitato da rumore bianco con spettro S xx (ω). Lo spettro d uscita è: S yy S ( ) ( ) xx ω ω = 1+ ω 2 2 to Se lo spettro d ingresso è costante (rumore bianco), l autocorrelazione dell uscita si ottiene immediatamente antitrasformando: R yy ( τ ) S τ exp t = xx 2to o da cui per τ=0 si ha la varianza σ 2 = S xx /2t o segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

24 Assai meno immediato è il calcolo dell autocorrelazione dell uscita in funzione di quella dell ingresso e della funzione di trasferimento (o della risposta impulsiva) del sistema. Considerazioni opposte valgono nel caso dei sistemi nonlineari (in particolare sistemi statici), per cui il teorema precedente non vale, e l unico approccio sensato di calcolo passa per le autocorrelazioni. ESEMPIO Rivelatore quadratico: y(t) = x 2 (t) Se il segnale d ingresso ha media nulla, densità normale e autocorrelazione R xx (τ), sfruttando la relazione E[x 2 y 2 ]=E[x 2 ]E[y 2 ] + 2E 2 [xy], che a sua volta deriva dalla relazione E[g 1 (x)g 2 (y)] = E[g 1 (x)e[g 2 (y) x]], si ha: R yy (τ) = E[x 2 (t+τ)x 2 (t)] = E[x 2 (t+τ)]e[x 2 (t)] + 2E 2 [x(t+τ)x(t)] da cui R yy (τ) = R xx 2 (0) + 2R xx 2 (τ) e in particolare R yy (0) = 3R xx 2 (0) Lo spettro dell uscita si ottiene dal teorema di convoluzione in frequenza della trasformata di Fourier: S yy (ω) = 2π R xx 2 (0) δ(ω) + S xx (ω)*s xx (ω)/π Dato che l uscita ha valor medio E[y(t)] = E[x 2 (t)] = R xx (0) si conclude che la varianza dell uscita è σ y 2 = E[y 2 (t)] E 2 [y(t)] = 2R xx 2 (0) segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

25 BANDA EQUIVALENTE DI RUMORE La varianza del rumore all uscita di un sistema eccitato da rumore si ottiene calcolando lo spettro d uscita, antitrasformando tale spettro e poi calcolando l autocorrelazione a ritardo zero: 1) S yy (ω) = H(jω) 2 S xx 2) R yy (τ) = FT -1 [S yy (ω)] 3) σ 2 = R yy (0) Il calcolo è molto abbreviato quando l eccitazione è a spettro costante (rumore bianco) e si utilizza la banda equivalente di rumore BBn del sistema: la varianza d'uscita si calcola semplicemente così σ 2 = S xx A 2 BBn dove A è il guadagno massimo e B n = 1 2π A 2 H 2 ( jω ) dω Questa definizione non è generale, ma vale per le funzioni passabasso e per le funzioni passabanda di tipo risonante, che sono quelle di maggiore interesse in pratica ESEMPIO Sia H(jω) = β/(β + jω), per cui il guadagno è A= β β B n = dω = 2π β ω funzioni di trasferimento banda di rumore [Hz] banda usuale a 3dB [Hz] con una costante di tempo 1/2τ 1 / 2πτ con due costanti di tempo 1 / 2(τ 1 +τ 2 ) 1 / 2π(τ 1 +τ 2 ) risonanti (Q>>1) a ω o ω o / 2Q ω o / 2πQ segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

26 SPETTRI INCROCIATI x(t) S xx (ω) H(jω) y(t) S yy (ω) S xy (jω) = H * (jω) S xx (ω) S yx (jω) = H(jω) S xx (ω) segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

27 RUMORE Distinguiamo innanzitutto il rumore, inteso come fluttuazioni generate da fenomeni fondamentali della materia, dai disturbi prodotti da altri fenomeni (effetti dovuti alla rete elettrica o a onde radio, a vibrazioni acustiche e alla sismicità naturale del terreno, ai raggi cosmici e alla radioattività naturale, ecc.). Il rumore, in linea di principio, è ineliminabile. I disturbi possono essere ridotti o eliminati mediante opportune schermature o altri mezzi. Il rumore si manifesta generalmente nella forma di segnali casuali a spettro continuo. I disturbi hanno più spesso spettro costituito da righe. LE TRE CATEGORIE Rumore termico: fluttuazioni spontanee della materia, quando si trova a temperatura diversa dallo zero assoluto. Rumore shot: derivante dalla quantizzazione della carica elettrica; più in generale è associato a fluttuazioni di numero quando entrano in gioco correnti di particelle discrete. Rumore 1/f: così chiamato perchè presenta uno spettro con andamento proporzionale a 1/f α con α 1. Si manifesta in una estesa varietà di fenomeni fisici. Costituisce un rompicapo e dunque fonte di diletto e ragione di vita per gli studiosi del settore. Pone comunque un problema irrisolto: la divergenza del valore quadratico medio, a fronte del tipo di spettro. Che misure (infinita pazienza e buona salute) eseguite su semiconduttori indicano seguire la legge 1/f fino a 10-5 Hz. segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

28 RUMORE SHOT Studiato da W. Schottky investigando il rumore nei tubi elettronici (Schroteffekt, effetto mitraglia) nel Ma è un effetto assai più generale. Consideriamo una corrente di particelle che attraversano una barriera a istanti di tempo casuali (corrente elettrica di cariche elementari che attraversano la barriera di potenziale di un tubo a vuoto o di una giunzione pn, ma anche correnti di particelle di altra natura: persone che entrano in un bar, gocce di pioggia che cadono su una tegola, ecc.). La corrente media (numero di particelle nell unità di tempo) è costante: per una corrente elettrica l intensità media è I = λq dove λ e la frequenza media di arrivo e q la carica elementare. Ma non è costante il numero n di particelle che passano in intervalli di tempo di durata data. Se la statistica di arrivo segue la legge di Poisson, la probabilità che in un tempo T arrivino n particelle è: ( λt ) P( n) = exp( λt ) n! n da cui si ricavano il valor medio η n = E[n] = ΣnP(n) = λt il valore quadratico medio E[n 2 ] = Σn 2 P(n) = λt + (λt) 2 e quindi la varianza σ 2 n = E[(n-E[n]) 2 ] = λt Quest ultima rappresenta dunque le fluttuazioni della corrente in intervalli di durata T: σ i 2 = σ n 2 (q/t) 2 = λq 2 /T = qi/t segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

29 Osservando direttamente la corrente di particelle, vedremmo una sequenza di impulsi a tempi casuali (Poissoniani): una sequenza di funzioni delta se il tempo di passaggio delle particelle è trascurabile rispetto alla velocità di risposta dello strumento. Osserviamola invece usando un filtro di media che sia abbastanza lento perchè la sua uscita sia la somma pesata dell effetto di un gran numero di impulsi, cioè con risposta impulsiva lunga rispetto al tempo medio fra due impulsi. Per esempio un filtro con risposta impulsiva rettangolare di durata T e ampiezza 1/T, e dunque con risposta in frequenza sin( ωt 2) H ( jω) = exp( jωt ( ωt 2) 2) Vogliamo ricavare lo spettro S ii della corrente d ingresso, che assumiamo costante (impulsi brevissimi). Lo spettro d uscita S(ω) è evidentemente: S(ω) = H(jω) 2 S ii Integrando il quale si ottiene la varianza d uscita: σ 2 i = S ii /T Uguagliando con l espressione precedente si ottiene infine: S ii = qi Osservazioni: - a spettro costante corrisponde l assurdo di varianza infinita per il processo originale: non è così perchè la velocità di transito è finita e dunque lo spettro ha un limite in frequenza (approssimativamente pari al reciproco del tempo di transito delle particelle) - il risultato ottenuto ha validità generale (non dipende dal particolare filtro di osservazione) segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

30 ESEMPIO Diodo a giunzione pn, governato dalla legge I = I s (exp(qv/kt) 1) Nella giunzione in corto (tensione V=0) la corrente I è nulla, sicchè non c è rumore shot. Errore! La corrente totale è nulla in media, per effetto dell equilibrio fra due correnti di uguale intensità e segni opposti: I s e -I s A ciascuna di queste correnti è associato effetto shot, pertanto lo spettro totale delle fluttuazioni di corrente è: S ii = 2qI s e così risulta sperimentalmente. E affascinante osservare che a questo stesso risultato (per I=0) si arriva calcolando il rumore termico del diodo: la cui resistenza differenziale, dall equazione di Shockley, è r = kt/q(i+i s ) Pertanto, calcolando lo spettro del rumore termico di corrente per I=0 si ottiene: Sii = 2kT/r = 2kT (qi s /kt) = 2qI s segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

31 RUMORE SHOT MECCANICO Mechanical shot noise induced by creep... Phys. Lett. A (1997) pag.21 La denominazione di rumore shot viene applicata anche a fenomeni meccanici, come l allungamento di un filo (sotto carico) prodotto da fenomeni di cedimento (deformazione permanente) Qui l interesse riguarda le sospensioni di parti di rivelatori gravitazionali, dove la componente continua dello spostamento viene compensata da un sistema di controllo, mentre la parte variabile può produrre effetti indesiderati sul segnale osservato, simulando la risposta a determinati eventi astrofisici. la legge di crescita della lunghezza l(t) del filo viene così espressa: τ l = l n (t) l + s dove τ l è la costante di rilassamento del filo e n s (t) è un rumore shot: una sequenza di impulsi di forma esponenziale (τ s ) con valore integrato q s (glitch size) che occorrono a istanti t i con distribuzione di Poisson e frequenza media λ. Lo spettro del rumore ha una delta all origine - allungamento medio nel tempo, di cui non ci occupiamo - e un andamento S s (ω) = q s 2 λ/(1+ω 2 τ s 2 ), che rappresenta la parte variabile. Dall equazione differenziale precedente si ricava lo spettro delle fluttuazioni della lunghezza del filo S l (ω) = S s (ω)/ω 2 (1+ω 2 τ s 2 ) Lo spettro del rumore di spostamento della massa sospesa al filo si calcola infine rappresentando il sistema come un oscillatore armonico smorzato eccitato dalle anzidette variazioni di lunghezza nei fili considerati si stima q s =10-10 m λ = qualche unità al giorno segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

32 RUMORE TERMICO L origine dello studio del rumore termico risale al lavoro di Einstein del 1905 sulla teoria del moto Browniano di una particella sospesa. In seguito Langevin (1908) propone un metodo, con cui ritrova i risultati di Einstein, basato sull introduzione di una forza casuale che agisce sulle particelle. fascicolo di luglio 1928 di Physical Review: due lavori fondamentali riguardanti il rumore elettrico di origine termica J.B. Johnson (Thermal Agitation of Electricity in Conductors) riferisce sui risultati sperimentali di misure di rumore termico su resistori, introducendo una formula universale H. Nyquist (Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors) calcola il rumore termico in base ai principi della termodinamica e della meccanica statistica, in accordo con gli esperimenti di Johnson. Formula di Johnson-Nyquist Lo spettro di potenza della f.e.m. ai terminali di un conduttore elettrico di resistenza R, dovuta all agitazione termica dei portatori è: S vv (ω) = 2 k T R [volt 2 /hertz] dove T è la temperatura del conduttore (si tratta di uno spettro bilatero, in forma unilatera si ha 4kTR) questa formula venne ricavata in base a considerazioni termodinamiche, utilizzando il principio di equipartizione, ma si può ricavare anche con un approccio corpuscolare, basato sulla conoscenza della distribuzione delle velocità degli elettroni nonostante le apparenze... la varianza totale non diverge segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

33 In effetti lo spettro non si mantiene costante con la frequenza: - una spiegazione classica è che fra i terminali di qualsiasi conduttore reale c è sempre una capacità elettrostatica, che dunque limita la banda - introducendo la correzione quantistica la formula si modifica così: S vv ( ω) = 4 ω R ω exp 1 k T coincidendo con la precedente per frequenze sufficientemente basse, cioè per ω << k T (alle basse temperature la correzione interviene prima che alle alte). Se si considera lo spettro del rumore di corrente attraverso un resistore in cortocircuito si trova S ii (ω) = 2 k T R In generale, lo spettro del rumore di tensione fra due terminali di un circuito elettrico che presenta impedenza Z(jω) è S vv (ω) = 2 k T Re[Z(jω)] purchè il circuito comprenda soltanto elementi passivi (resistori, condensatori, induttori e trasformatori) che si trovino tutti a una stessa temperatura T (gli elementi attivi sono vietati, in quanto fuori dall equilibrio termodinamico perchè). Quanto sopra suggerisce che un resistore rumoroso possa rappresentarsi con la disposizione in serie di un resistore ideale (non rumoroso) e di un generatore di tensione di rumore con spettro 2kTR (se soggetto soltanto a rumore termico, altrimenti lo spettro avrà un altra espressione). Cosa avviene per due resistori in serie? In parallelo? Quando si trovano alla stessa temperatura? A temperature diverse? segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

34 ESEMPIO Condensatore in parallelo a un resistore Lo spettro della tensione ai terminali del condensatore (e del resistore) si può calcolare in vari modi, per esempio: - come prodotto dello spettro di potenza del generatore di tensione di rumore per il modulo quadro della funzione di trasferimento fra il generatore e l uscita: S vv (ω) = 2 k T R / (1 + ω 2 τ 2 ) - dalla parte reale dell impedenza del circuito Z(jω) = R/(1 + jωτ) = R (1 - jωτ)/(1 + ω 2 τ 2 ) ottenendo ancora S vv (ω) = 2 k T Re[Z(jω)] = 2 k T R / (1 + ω 2 τ 2 ) La varianza della tensione si ottiene integrando lo spettro, o più semplicemente moltiplicando lo spettro in continua per la banda equivalente di rumore della funzione di trasferimento, B n = 1/4τ σ 2 = S vv (0)/4τ = kt/2c in accordo con il principio di equipartizione (σ 2 C/2 = kt/2) Si noti - che questo risultato non dipende da R e dunque è valido anche per un condensatore (R ) - che lo spettro del rumore ha valore in continua proporzionale a R, ma frequenza di taglio inversamente proporzionale a R, con area costante al variare di R, che dipende soltanto da C segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

35 SISTEMI MECCANICI Nel 1951 Callen e Welton generalizzano la legge di Johnson-Nyquist sul rumore termico al caso di un sistema fisico arbitrario, purchè lineare, per cui sia definita una impedenza generalizzata come rapporto fra causa ed effetto: teorema fluttuazione-dissipazione. Il rumore (fluttuazione) viene così associato a qualsiasi dissipazione del sistema. Lo spettro del rumore si calcola anche qui in base alla temperatura e alla parte reale dell impedenza (esprimendo gli spettri e le impedenze nelle unità di misura appropriate). In questo una guida preziosa è costituita dalle analogie, in particolare dalle analogie di Maxwell fra sistemi elettrici e meccanici. La più usata di queste stabilisce le seguenti corrispondenze: forza (newton) tensione elettrica (volt) spostamento (metri) carica elettrica (coulomb) velocità (m/s) corrente elettrica (ampere) massa (kg) induttanza (henry) attrito (kg/s) resistenza elettrica (ohm) costante elastica (kg/s 2 ) 1/capacità elettrica (farad -1 ) In tal modo l impedenza meccanica Z m (jω) si misura in unità di kg/s e lo spettro del rumore di forza si esprime come S ff (ω) = 2 k T Re[Z m (jω)] in unità di N 2 /Hz Altre analogie riguardano i sistemi termici, facendo corrispondere la temperatura al potenziale elettrico, il flusso di calore alla corrente elettrica, la capacità termica alla capacità elettrica, ecc. rumore 18 segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

36 ESEMPIO Il rumore nell oscillatore armonico smorzato m x ( t) + R x ( t) + K x( t) = f ( t) Per calcolare il rumore introduciamo il generatore di rumore di forza, associato all elemento dissipativo secondo la formula: S ff (ω) = 2 k T R Lo spettro del rumore di velocità si ottiene moltiplicando S ff per il modulo quadro della funzione di trasferimento fra forza e velocità H(jω) = (jω m + R + K/jω) -1 con guadagno A=1/R, pulsazione di risonanza ω o =(K/m) 1/2, Q=ω o m/r la banda di rumore è B n = ω o /2Q S x x = S ff H ( jω) 2 Lo spettro del rumore di velocità è dunque uno spettro risonante con picco S ff /R 2 = 2kT/R a ω o La varianza della velocità è σ 2 = S ff A 2 B n = 2kTR (1/R 2 ) (R/2m) = kt/m in accordo con il principio di equipartizione (mσ 2 /2 = kt/2) rumore 19 segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

37 IMPIEGHI UTILI DEL RUMORE (M.S.Gupta, Proc.IEEE, 996, 1975) 1) Misure di costanti fisiche: costante di Boltzmann dal rumore termico carica dell elettrone dal rumore shot 2) Misure di temperatura (Johnson noise termometry) anche a temperature relativamente basse, usando strumentazione con temperatura di rumore sufficientemente bassa (con SQUID si è ottenuta una temperatura di rumore di 1 mk) 3) Misure di parametri di dispositivi a semiconduttori 4) Misure elettriche: resistenza elettrica, perdite di condensatori, larghezza di banda di circuiti, funzioni di trasferimento di sistemi (come segnale di eccitazione) 5) Valutazione dell affidabilità di dispositivi 6) Strumento concettuale: scatola nera di Slepian, motore di Penfield, ecc. R R L C R 2 = LC R segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

38 Ma vediamo brevemente altre due applicazioni molto interessanti DITHER Introdotto da Bennet (Bell Telephone) nel 1948: consiste nel sommare rumore a un segnale per migliorarne la qualità, più precisamente la risoluzione ottenibile. Consideriamo un segnale binario, per esempio la luce che si accende per indicare che il serbatoio dell auto è in riserva. Se l auto e ferma, la luce è permanentemente accesa oppure spenta. Se l auto si muove, la luce si accende e spegne continuamente. Integrando a occhio si può stabilire se siamo prossimi a entrare in riserva (poco accesa e molto spenta); se siamo già entrati in riserva, ma c e ancora carburante (molto accesa e poco spenta); se siamo pesantemente in riserva (sempre accesa). Questo principio è sfruttato nelle immagini: anche usando dati a bassa risoluzione (codificati con pochi bit) si possono ottenere immagini in cui la scala dei grigi è tale da non avvertire più l effetto di quantizzazione. E anche nei convertitori A/D del tipo delta-sigma, nei quali la conversione è affidata a un comparatore (1 bit), ma ripetuta un grandissimo numero di volte e seguita da integrazione del risultato per ottenere una risoluzione finale corrispondente ad un numero di bit anche assai alto (16-20). RISONANZA STOCASTICA Concetto introdotto da Benzi nel 1981, che ha trovato applicazioni in varie scienze ed è trattato ampiamente in un recente lavoro di rassegna (Rev. Mod. Phys. gennaio 1998) Una particella, fortemente smorzata e soggetta a fluttuazioni, si trova in un potenziale simmetrico a doppia buca: per metà del tempo si troverà in uno stato, per metà nell altro. Che succede in presenza di una forza periodica, anche debolissima (cioè di per sè largamente insufficiente a superare la barriera? I salti fra l uno e l altro stato risultano sincronizzati, con un effetto di forte amplificazione della forza. segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre

39 Materiale didattico sviluppato nel Dipartimento S. Frasca, Analisi dei Segnali, 2006 (segnali, sistemi, processi stocastici, filtraggio ed elaborazione dei dati) G.V. Pallottino, Appunti di Elettronica Cap.9, 2004 (capitolo riguardante il rumore elettrico) Bibliografia L.E. Franks, Signal theory, Prentice Hall, 1969 A. Papoulis, Probability, Random Variables, and Stochastic Processes, McGraw Hill, 1991 J.S. Bendat, A.G. Piersol, Random Data Analysis and Measurement Procedures, Wiley, 1986 A.D. Whalen, Detection of signals in noise, Academic Press, 1971 Electrical Noise: Fundamentals & Sources, a cura di M. S. Gupta, IEEE Press, 1977 (raccolta di lavori classici e bibliografia) A. Van der Ziel, History of Noise Research, in Advances in Electronics and Electron Physics, vol. 50, pp Selected papers on noise and stochastic processes, a cura di N. Wax, Dover, 1954 Selected papers on noise in circuits and systems, a cura di M. S. Gupta, IEEE Press, 1988 segnali, sistemi e processi stocastici gvp novembre