Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema. Laboratoridel Sapere Scientifico

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1 Prodotto realizzato con il contributo della Regione Toscana nell'ambito dell'azione regionale di sistema Laboratoridel Sapere Scientifico

2 Tangrammando Viaggio alla scoperta della Equiscomponibilità Docente Davini Tania Classe 2 sez.c Scuola media Luigi Russo Cascina (Pi)

3 Il percorso sulla equiscomponibilità si colloca a metà strada tra la acquisizione dei concetti di equivalenza di superfici piane e quello del calcolo delle aree dei poligoni

4 Obiettivi Dalle indicazioni nazionali: In specifico: Riprodurre figure e disegni geometrici, utilizzando in modo appropriato e con accuratezza gli strumenti Calcolare l area di superfici piane, scomponendole in figure elementari Descrivere e riprodurre disegni e costruzioni geometriche Acquisizione del concetto di equivalenza e equiscomponibilità Conoscenza di aree e perimetri dei poligoni Saper riconoscere e risolvere problemi in contesti diversi valutando le informazioni specifiche

5 Elementi salienti dell approccio metodologico L approccio metodologico è stato di tipo laboratoriale. I ragazzi hanno lavorato a coppie o in piccoli gruppi ed il ruolo dell insegnante è stato quello di porre domande-stimolo e problemi vari, guidando i ragazzi alla scoperta delle risposte. Molto rilevante è stata la manipolazione del materiale e dei modelli geometrici.

6 Ambiente di lavoro Il percorso è stato effettuato nella aula-laboratorio

7 Tempi Il percorso è stato pensato all interno della formazione effettuata per i Laboratori del Sapere Scientifico, in ambito inerente l acquisizione del concetto di area dei poligoni. Ha previsto i seguenti tempi: Tempo per la progettazione specifica: 8 h Tempo scuola per lo sviluppo: gennaio-aprile Tempo documentazione: 10 h

8 Questo percorso ha previsto come input iniziale l utilizzo del tangram; partendo da una situazione di gioco i ragazzi sono stati guidati verso l acquisizione delle formule letterali per esprimere le misure delle aree dei poligoni.

9 Introduzione al concetto di area: Le pavimentazioni Il lavoro è iniziato con la seguente domandastimolo: Tra le seguenti figure con quali è possibile ricoprire il piano, senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapposizioni? Riproducete alcune figure su cartoncino e create una pavimentazione

10 Dal quaderno di Misael per pavimentare non devono essere lasciati spazi vuoti Mattia devono essere figure inacastrabili a 360

11 Domanda: Come sono tra loro queste figure? Daniele: Congruenti! Cosa vuol dire? Alessio : Significa che sono sovrapponibili Cosa comporta? Alessio: Hanno la stessa forma e le stesse dimensioni

12 Nuova proposta: costruzione di triangoli equilateri, quadrati ed esagono regolari con i lati congruenti Ogni alunno ha disegnato e ritagliato alcuni dei poligoni sopra descritti su cartoncini colorati e poi prima singolarmente e poi a piccoli gruppi hanno progettato e realizzato vari tipi di pavimentazioni

13 Alcune pavimentazioni mono-forma

14 Pavimentazioni bi e tri-forma

15 Cartelloni dove i ragazzi hanno esposto i lavori svolti in gruppo

16 Ancora una attività sulla pavimentazione:

17 Incontriamo il Tangram Ogni ragazzo ha disegnato sul quaderno e ritagliato su cartoncini colorati alcuni Tangram di lato 10 cm ed iniziato a manipolare e analizzare i vari tan che lo compongono

18 Domanda: Quanti e quali poligoni formano il tangram? Descrivete le caratteristiche di ogni figura

19 Una prima riflesssione ha riguardato il confronto tra le aree del parallelogramma e quella del quadrato Che relazione esiste tra l area del quadrato e quella del parallelogramma? Matilde: Sono equivalenti, perché entrambe possono essere scomposte in due triangoli isosceli congruenti

20 Continuando il viaggio alla scoperta dei tan i ragazzi hanno cercato di risolvere il seguente problema Dopo aver costruito alcuni tangram di cartoncino scoprite quali e quanti poligoni equivalenti si possono costruire con i sette tan e disegnateli sul vostro quaderno

21 Hanno iniziato a costruire i poligoni disegnandoli sui quaderni e si sono confrontati a piccoli gruppi

22 Domanda: Siete sicuri di averli trovati proprio tutti? Mattia spiega che per essere sicuro di analizzare tutti i casi possibili, considera una parte fissa, in questo caso il quadrato centrale e poi sposta alcuni poligoni, in questo caso i due triangoli rettangoli più grandi

23 Alcuni poligoni disegnati da Mattia

24 A ciascun alunno viene consegnata la seguente scheda per verificare quanti e quali poligoni era riuscito a disegnare

25 Ogni alunno completa il suo lavoro e viene fatto un cartellone

26 Ordinamento dei tan in base all area non decrescente Dato il triangolo rettangolo più piccolo, esprimere le aree dei tan in base a questo

27 Tangram e arte I ragazzi hanno sperimentato alcune figure che potevano creare con i 7 tan

28 Le diverse proposte sono state raccolte su un cartellone

29 Dopo aver ordinato i sette tan in base all area vengono ordinati in base ai perimetri Domanda: In questo caso cosa posso prendere come unità di misura? Matilde: Prendiamo il lato più piccolo del triangolo Specifica Misael: Il cateto, lo chiamiamo a Per esprimere la misura dei vari perimetri, è sufficiente a? In coro No C è un perimetro che posso chiaramente esprimere in funzione di a? I ragazzi affermano che il perimetro del quadrato è 4a

30 Continuando a confrontare i perimetri Il perimetro del triangolo scelto come unità di misura può essere espresso in funzione di a Alessio No, l ipotenusa non è un multiplo di a Perché non può essere 2a? Mattia Perché in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due Misael: Quindi l ipotenusa è maggiore di a e minore di 2a

31 Dopo un acceso confronto si decide di chiamare l ipotenusa del triangolo più piccolo b A questo punto è possibile esprimere il perimetro dei 7 tan in funzione di a b. Nasce un problema per il triangolo di dimensioni medie.. Il cateto non contiene aun numero intero di volte così come l ipotenusa non è multipla di b.

32 Dopo alcuni tentativi Misael scopre che in questo caso il cateto è b, mentre l ipotenusa è 2a Per capire perché accade questo viene chiesto di individuare le relazioni tra il lato e la diagonale del quadrato e le unità di misura ae bscelte per i perimetri. Così facendo si evidenzia che mentre per il triangolo più piccolo ed il più grande i cateti sono frazioni di diagonale, per quello medio i cateti sono metà lato

33 Classificazione delle are e dei perimetri dei vari tan in relazione alle unità di misura scelte

34 Altre riflessioni.. Quanto misurano gli angoli dei vari tan?

35 Domanda: Quale frazione dell area del quadrato di partenza è ogni tan?

36 In preparazione alla verifica intermedia viene proposto il seguente esercizio: ricostruire le due casine utilizzando i 7 tan

37 Il testo verifica la capacità di lavorare con i 7 tan ed esprimere i vari tan come frazione del tangram completo Verifica intermedia:

38 Introduzione alla unità di misura dell area Date le seguenti immagini, fare una stima delle due aree spiegando il procedimento utilizzato

39 Riflessioni da alcuni quaderni. che evidenziano diverse strategie Alessio: facendo una stima ad occhio si vede che la farfalla ha area maggiore. Infatti i quadratini interi che ricoprono la farfalla sono in numero maggiore di quelli della foglia Sofia: Ho cercato di capire entro quanti quadratini l area era compresa, ad esempio la farfalla avrà una area maggiore di 8 quadratini interi che la compongono-e minore di 14

40 Domanda: Perche per stimare l area avete tutti usato i quadratini? Mattia: perché il quadrato è l unità di misura dell area e ho contato la superficie della foglia quanti quadratini ricopriva Misael: mi sembra il procedimento più veloce e più preciso

41 Domanda: Cosa secondo voi dobbiamo utilizzare come unità di misura per l area? Tutti gli alunni con sicurezza rispondono in coro il centimetro quadrato

42 Incontriamo il rettangolo Ogni alunno ha preparato un kit di quadratini di lato 1 cm e disegna sul suo quaderno due rettangoli 8x3cm e 8x10cm. Domanda: Quanto misura l area di ciascun rettangolo?

43 Tutti gli alunni con pazienza ricopronoi rettangoli con i quadratini e calcolano le due aree Domanda: Come avete fatto? Diana: Ho messo sopra al rettangolo i quadratini. Si possono disporre o a righe o a file. Ad esempio nel primo rettangolo ho messo prima 3 quadratini e poi ho ripetuto 5 volte, in totale 3x5=15 quadratini, oppure prima si dispongono 5 quadrati e poi si ripete la fila 3 volte Andrea In effetti è una moltiplicazione e sappiamo che ha la proprietà commutativa Domanda: Quale formula esprimerà l area di un rettangolo di dimensioni d1 e d2, oppure di base ed altezza note? La maggior parte della classe scrive A=d1 x d2 A= b x h

44 Se le due dimensioni del rettangolo sono congruenti? Matteo Abbiamo un quadrato Come si troverà la sua area? Misael: Come il rettangolo, solo che tutte e due le dimensioni si chiameranno l A= l x l A = l 2

45 Incontriamo il parallelogramma Ai ragazzi viene chiesto di ritagliare un rettangolo e tre parallelogrammi diversi con la stessa base e la stessa altezza del rettangolo e di rispondere alla seguente domanda: Quale relazione esiste tra l area di un rettangolo e quella di un parallelogramma che hanno la stessa base e la stessa altezza?

46 Ritagliando in vari modi i parallelogrammi verificano che le figure sono equivalenti Matilde: Il parallelogramma può essere scomposto in un trapezio e un rettangolo, oppure in due trapezi, che uniti formano un rettangolo congruente a quello di partenza

47 Cosa possiamo dire dell area del parallelogramma? Daniele Poiché è equivalente ad un rettangolo avente le dimensioni congruenti alla sua base ed alla sua altezza la sua area si troverà come quella del rettangolo: A = b x h

48 Incontriamo il triangolo Ogni alunno ha disegnato sul quaderno un triangolo a piacere e poi sul cartoncino ha riprodotto due triangoli congruenti. Disponendo i due triangoli in modo opportuno hanno verificato che il parallelogramma ha area doppia del triangolo avente stessa base e stessa altezza, anche in questo caso sono risaliti alla formula per l area: A= ( b x h) : 2

49 Abbiamo riportato in una tabella le aree dei poligono visti in precedenza, cercando una strategia per risalire dalle formule dirette a quelle inverse. Schema riassuntivo aree:

50 Incontriamo il trapezio Ad ogni alunno viene chiesto di disegnare sul quaderno un trapezio a piacere e poi sul cartoncino riprodurre due trapezi congruenti a quello disegnato. Disponendo i due trapezi in modo opportuno osservano che con due trapezi possono ottenere un parallelogramma

51 Domanda Quale relazione esiste tra le due figure? Simone: L area del parallelogramma è il doppio di quella del trapezio! Domanda: Quale relazione esiste tra le dimensioni delle due figure? Misael: Si vede che la base del parallelogramma è formata dalla base maggiore e da quella minore del trapezio Quindi? Misael: Nella formula del parallelogramma al posto della base scrivo la somma delle basi e divido per due A = ((B+b) x h):2

52 Incontriamo il rombo ed i quadrilateri con le diagonali perpendicolari. Agli alunni viene chiesto di disegnare alcuni quadrilateri con le diagonali perpendicolari, come rappresentato in figura e domandato: quale relazione esiste tra un rettangolo, avente le dimensioni congruenti alle diagonali del quadrilatero disegnato, ed il quadrilatero stesso?

53 Ogni alunno ritaglia tre rettangoli di dimensioni congruenti alle diagonali dei quadrilateri ed alcuni triangoli rettangoli, e i dispone così come viene rappresentato in figura Domanda: Cosa potete osservare? Simone: Ogni rettangolo è suddiviso in 8 triangoli rettangoli, congruenti due a due. Poiché ogni quadrilatero è formato da 4 di questi triangoli, l area del rettangolo è il doppio di quella del quadrilatero Quindi? A = (D x d):2

54 Verifica finale Ai ragazzi vengono proposti alcuni problemi in modo da verificare l acquisizione di concetti quali area e perimetro, l equivalenza di superfici equiscomponibili e la capacità di utilizzare il linguaggio letterale nell espressione delle aree di alcuni poligoni

55 Una buona percentuale di alunni (16 su 19) dimostra di saper riconoscere area e perimetro di un poligono, e di aver acquisito il concetto che l aumentare o il diminuire della prima NON implica necessariamente l aumentare o il diminuire dell altra. Infatti nell esercizio proposto mentre l area diminuiva nei due casi di 1 Cm 2 il perimetro una volta rimaneva costante una volta aumentava di 4 cm. Risultati ottenuti

56 Ben 14 su 18 sono riusciti a disegnare figure di perimetro doppio e di area doppia rispetto ad un rettangolo di partenza ed alcuni hanno osservato che il raddoppiare del perimetro implicava il quadruplicare dell area

57 Gli alunni hanno inoltre dimostrato di aver acquisito il concetto di equivalenza ed equiscomponibilità, applicando strategie risolutive varie

58 Conclusioni Questo percorso è stato positivo sia per quanto riguarda le conoscenze e le abilità acquisite dai singoli alunni sia per l interesse e la partecipazione che ha suscitato. Da rilevare è che tutti gli alunni, anche quelli che in contesti più tradizionali dimostrano disinteresse o difficoltà hanno lavorato con costanza e positivamente.

59 Competenze acquisite Sulla base del lavoro svolto sul quaderno ed in gruppo e sui risultati delle verifiche, posso affermare che oltre la metà dei ragazzi alla fine di questo percorso è in grado di: Riconoscere figure geometriche Usare un linguaggio matematico inerente gli argomenti trattati Risolvere semplici problemi in contesti vari Confrontare argomentazioni