Stiperfici è sistemi oo 1 di linee.

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1 CAP. III. Stiperfici è sistemi oo 1 di linee. 1. Generalità Superflui in generale. Se P(u f v) è un PUNTO funzione delle due variabili numeriche u, v, esso, col variare di u, v, descrive in generale una SUPERFICIE. Una lìnea della superficie rimane individuata da una condizione tra и e v ; implicita come ƒ (w, #) (), о esplicita come u = f(v) (cfr. n 62). È interessante il significato geometrico delle derivate parziali, di P rispetto ad и e v, e del differenziale totale dp di P. a) Dato un valore ad u, P è l'unzione della sola v e descrive una linea (la linea w), che nel punto P ha la tangente parallela al vettore ~- r, purché non nullo. Analogamente, dato un valore a v, P è funzione di и e descrive una linea, la cui tangente in P è parallela al vettore -r. Sulla superficie si ha dunque una RETE DI ЫЛЕЕ, le linee u, t\ e in ogni VERTICE DELLA RETE le tangenti alle due linee che vi ÒP ÒP passano sono parallele ai vettori ò*' ' <V«

2 126 b) Il differenziale totale di P è il vettore infinitesimo [i] ' dp=m. au + ^. dvt complanare con i vettori UìL e AL du dv La sua direzione dipende da du e tfr. Se f(u, v) = 0 è l'equazione di una linea della superficie, allora : [2] JL d u+- -dv = 0. Se nella [1] du e dv soddisfano alla [2], allora: dp dà la direzione della tangente in P alla linea di equazione ƒ (w, v) = Piano tangente, retta normale. Si dirà che il piano a è tangente in P ad una superficie 2? quando : la distanza del punto P i di 2 da a tende a zero col tendere di P i a p, variando P i comunque sulla superficie. La regola per trovare il piano tangente in un punto P è basata sul teorema seguente : Se P è funzione di и e di v e TT"?«- 0 ' allora il piano tangente in P è il piano p bp du òp hv DJM. Se P, corrisponde ai valori и -f- h e v + к di и e V, si ha òu ' òv con tendente a zero con h e к. Ora si ha : Pi % W _ UIT,. UT 7. v др ÒP др др òu òv ~~ òu òv e ' ma il primo membro è il prodotto di un numero finito per la distanza di P, dal piano P e quindi tale distanza tende a zero col tendere di P«a P. r òu òv

3 127 Segue che : se nel punto P della sup. E esiste il piano tangente, esso contiene le tangenti in P a tutte le linee della superficie uscenti da P ed aventi in P la tangente Chiamasi normale in P la perpendicolare condotto, da P al piano tangente in P. Se w è un numero funzione di P, allora w = cost, individua una superficie e la normale in P ha la direzione del vettore gradw?, purché non nullo. Infatti : essendo dw = gradi«; X dp e dw = 0, gradi«? è normale a tutte le direzioni dp del piano tangente L'equazione cartesiana (ortogonale) parametrica di una superficie ha la forma [1] x = /; (u, v), y = f 2 (u, v), Z = /3 (и, v), e l'equazione implicita [2] ^ У, «) = 0. Essendo [1] V equazione della superficie, Г equazione della normale in Pè X x Y у Z z by ò* òe òx! ò% ьу 1 òu òu òu òu J òu du ЬУ òz òz òx òx ьу òv òv òv òv \ òv òv \ da cui si deduce Vequazwie del piano tangente. Dm. Da P = Ò + xl -f- yj -f zk si ha ÒP = òx I I J \ òu òu òu òu ÒP = òx òy j. òz òv òv òv òv e poiché il piano tangente è parallelo a by bz ÒP ÒP òu òv il teorema è dimostrato. òy òu òy òv òz òu òz òv JK

4 Essendo [2] l'equazione della superficie, l'equazione del piano tangente in P è Ж (X oc) + (Y - y) + (Z г) = 0. hoc K }^ òy K J) - bz K DIM. Per la superficie che si considera f (or, y, z) ha valore costante, quindi la normale in P è parallela al vettore ~лг df T, bf j. òf ^ grad/ = 1A J -A Л. Ья- by ì)z 157. Sistemi oc 1 di linee. Un sistema di linee, giacenti in una superficie, si dice SEMPLICEMENTE INFINITO (^1) quando si può stabilire una corrispondenza univoca e reciproca tra le linee del sistema e i numeri reali di un intervallo. Ades., sono sistemi x 1 di linee: «Le sezioni di una sfera fatta con piani uscenti da una retta» ; «Le tangenti ad una linea piana о gobba». «Le circonferenze tangenti a due rette complanari non parallele» formano due sistemi x 1. Ecc. Nelle questioni pratiche il sistema si presenta, di solito, definito geometricamente e interessa trovarne l'espressione analitica da assoggettare al calcolo. Tale determinazione può farsi in vari modi, dei (piali indichiamo i principali. a) Si esprima un punto P in funzione di due variabili indipendenti u, v, in modo che per i valori di и (о di v) in un dato intervallo, si s ottengano tutte le linee del sistema. In tal modo si hanno due sistemi di linee : m uno (u cost.) è quello considerato ; l'altro (v cost.) è sistema ausiliario. ESEMPJO 1. Sistema delle rette suite quali due rette ortogonali date staccano un segmento di lunghezza data a. Siano 01, OH le due rette ortogonali. Scelti q> _ ^M ed w come nella figura, si ha immediatamente per N. / [ un punto P della retta >s/! P= О a cosqp/ + uety L R NX \ *; N^i II punto P è funzione di ф e di u. Per il. ESEMPIO 2. Sistema delle circonferenze e aventi i centri su di una retta fissa. di raggio r di un piano fisso

5 Come dalla figura si ha P=*0-{-uI+rei. Per w=cost. si hanno le circonferenze del sistema; per <p=cost. delle rette parallele alla retta ОI. I Ь) Le linee stanno in una superficie individuata da un punto P (x, y) funzione di due variabili fad es,, nel piano, x, y sono le coordinate cartesiane di P). Una relazione f{x,y,u) = 0, tra x, y, e un parametro arbitrario и individua un sistema di linee. Per l'esempio 1 precedente si ha Per l'esempio 2 : x у a coscp ' a senqp (x uf -(- 2/ 2 r2 - c) In un piano si può individuare un sistema di linee, facendo assumere i valori di un dato intervallo ad un numero funzione delle distanze di un punto P da punti о rette fisse del piano ; in generale dando un numero funzione del punto P. Abbiamo già considerato le ovali di Cartesio e di Cassini Inviluppo e traiettorie ortogonali di un sistema oo 1 di linee Inviluppo di un sistema oo 1 di linee. La linea tangente a tutte le linee di un sistema oo l dicesi INVILUPPO DEL SISTEMA. La ricerca dell'inviluppo di un sistema è basato sui due teoremi seguenti : a) Se P (u, v) è un punto funzione delle due variabili numeriche, indipendenti, u,v, e il sistema u cost, ammette un inviluppo, allora anche il sistema v = cost, ammette lo stesso inviluppo, ovvero l'inviluppo di и = cost, è una linea limite del sistema v = cost. L'equazione delf inviluppo considerato è, in generale, f 11 0 r ovvero, se il sistema è piano, 4 X *4- = 0 C. BURALI-FORTI, Geometria anal. 9

6 potendo esser contenuti nella [1] dei punti singolari delle linee dei sistemi и = cost., v = cost. DIM. La [1] esprime che, sono nulli о paralleli. Se uno di essi è nullo, si ha in P un punto singolare per una delle due linee. Se essi non sono nulli, allora la tangente in un punto P definito dalla [1] ha la direzione dp = -^- du + -^- dv du dv e quindi la linea [1] e le linee и = cost., v = cost, si toccano in P, e. d. d. b) Se Y, Ti sono due linee di un sistema semplicemente infinito, allora le posizioni limili dei punti communi a т ß r 1? quando f 4 tende a т, sono punti dell'inviluppo о punti singolari del sistema. Dm. Il sistema sia w = cost. dato da P(u, v). Sia P t un punto comune alle linee u, u-{-h e P il suo limite per h tendente a zero ; per P passi la linea v = cost. che incontri la linea u-\-h nel punto P 2 "TTiT e per P t passi la linea v + Jc. Si ha P t = P(u, v -\-k) = p(u-\-h, P 2 = P(w + Ä, v). v + к), Per ipotesi le rette P A P, P A P 2 tendono allo stesso limite ; allora osservando che (p>-p){p,-p P,-P)(P 1ì )=(p -P t ) l -p)i(p = (P t -p)-(p -P)[(P i -p)] t -P)-(P 1 -P)]=:(P = 1 -JP)(P (p t -p)(p 1 -P) i -p) Jì p л.л( др -и A- dp dp 4-, con tendente a zero col tendere a zero di h e di k, si ha -** **_0, с d.d I principali metodi pratici per la ricerca dell'inviluppo sono i seguenti: a) Il sistema sia dato sotto la forma P (u, v) per и = cost. Dalla condizione -^- 4^ = 0, ovvero (nel piano) ~- X i 4^- = 0,

7 131 - si ricava и о v in funzione di v od u. Sostituendo in P (u, v) si ha un punto, funzione di una sola variabile, che descrive l'inviluppo. ESEMPIO 1. Riprendiamo Г esempio 1 del n 157. Si ha - = «senq>7+ иецр il, 4 = ety I. дф òw ^x^=~ asen2<p+w=0 ' da cui w = asen s <p. Il punto В che descrive l'inviluppo è dunque -ß = О a coscpj-f- a sen 2 cp &p I. Questa espressione indica subito come si costruisce il punto В : esso è il piede (vedi fig. del n 157) della perpendicolare condotta da M alla retta AB (OAMB è un rettangolo). Esprimendo mediante gli esponenziali ^^. i ^^^ i2= B=0-^e&<PI-^C-e-i<pI, О - ± é*, у = a sen 3 qp ^v^ у -^^ e l'equazione implicita è ^ + У % === a^ - ESEMPIO 2. Si voglia la caustica per riflessione (raggi paralleli) di una linea piana. r ÌI La linea piana sia descritta dal punto P funzione ^\jw del suo arco s; i raggi incidenti siano paralleli al f/л. / djp vettore unitario J; il vettore T=a = faccia anas % \ t Slp vettore unitario/; il vettore T=a = faccia an- \<" / \ golo ф con /, cioè У % T = eiv I e quindi / * rn. л. 1 dcp ^ I T^efPl e quindi = ^-. ' Per un punto qualunque Q del raggio riflesso. in P si p ha ds fl=p+«^/; Per un punto qualunque Q del raggio riflesso in riflessi) P si ha si ha per s=cost. Q è funzione di s e di u, e il sistema di rette (raggi riflessi) si ha per s=cost.

8 Per l'inviluppo dei raggi riflessi si ha ^r x *' $Г = ( T + T еш(р a ) x {e2i<p a)= = (ety I) X (e 2^ *i") + (e 2i( P H) X («2^ H) = P = cos( + ф1 + - = вепф = 0, e quindi p и s=a - вепф. a La caustica è descritta dal punto R = P + - ~ seiup^ty J e quindi : Л è la proiezione sul raggio riflesso del punto medio tra P e il centro di curvatura С in P. ESEMPIO 3. Si voglia V inviluppo delle ellissi coassiali tali che il rettangolo dei loro semi-assi è costante. Se a 2 è l'area del rettangolo costante dei semi-assi II " a 2 e wè uno dei semi-assi, l'altro è e per il punto Il e и è uno dei semi-assi, l'altro è e per il punto generico P di una ellisse del sistema si ha /TV generico P di una ellisse del sistema si ha Р= О -\-и созф/- бепсрг/. ^^17 P = О -\- и costpl-] бепсрг/. III II sistema considerato si ha per и = cost. ; il sistema ф = cost, è formato da iperboli che hanno 01 e OH per assintoti. L'equazione -^ X i = 0 diviene da cui risulta a а * сов^ф 2 a <* * 2 sen^p 2 л Л 0, сов^ф эеп^ф = 0, u u * и и tgq> = ±l. L'inviluppo del sistema è dunque una delle linee del sistema ф = cost, e precisamente una linea limite, poiché per x = и соэф, у = вепф,

9 si ha a 2 xy = a 3 senq) cosqp = sen2<p. a L'inviluppo è dunque descritto dal punto в = +т a 2 ed è formato dalle due iperboli di equazioni xy = + -^-. ESEMPIO 4. Si voglia l'inviluppo delle circonferenze di raggio costante r aventi i centri nei punti di una linea piana P. Applichiamo il teorema Ъ) del n 158. Le circonferenze, di raggio r, con centri nei due punti P, P t della linea, si tagliano nei punti M, N tali che MN è normale a PP X. Facendo tendere P, a P, la retta MN tende alla normale in P e quindi l'inviluppo è formato da due linee descritte dai punti Q, В tali che Q = J?-\-riT, R = P rit, о+±*21 ±^.угя che sono due linee parallele alla linea data. Volendo applicare il teorema a) dein si porrà H= P-\-retyT è funzione di s e di <p. П lettore completi il calcolo. e H b) Il sistema sia situato su di una superficie definita da un punto funzione di due variabili x, y. Se l'equazione del sistema ha la forma f(x, t/, u) 0, allora l'equazione dell'inviluppo si ottiene eliminando и tra le due equazioni f{x, 2/, tt) = 0, ~^-f(œ, V, tt) = 0. DIM. È chiaro che f(x, y, u + h) f{x, y, u) _ h è l'equazione di una linea che passa per i punti comuni alle linee del sistema corrispondenti ai valori и, и -f- h del parametro. Al limite, per h = 0, questi punti tendono a punti dell'inviluppo ; ma al limite la condizione preceda dente diviene - = 0, e. d. d.

10 134 - Il teorema ora dimostrato indica in generale come si trovi l'inviluppo di un sistema dato mediante una equazione. ESEMPIO. Si riprenda l'esempio 1 della parte a) di questo n. L'equazione del sistema è Si ha : /Х*,У,Ф)= h 1=0. * ' acosqt asencp df _ жэепф ycoscp дф acos s (j> ' авеп'ф ' ed eliminando ф si trova l'equazione J + J = J, che però non dà facilmente, come il procedimento a) ora indicato, la costruzione grafica del punto dell'inviluppo Traiettorie ortogonali di un sistema co 1 di linee. Chiamansi TRAIETTORIE ORTOGONALI di un sistema oo 1 di-linee, le linee che tagliano tutte le linee del sistema sotto angolo retto. Ad es., le evolventi di una linea sono le traiettorie ortogonali delle tangenti della linea. La ricerca delle traiettorie ortogonali si può fare con vari metodi, dei quali indichiamo i quattro principali. a) Il sistema è dato da P (u, v) e si ottiene per и = cost. L'equazione differenziale delle traiettorie ortogonali è, evidentemente, - -X*P = 0, ovvero, sostituendo a dp il suo valore e sviluppando, (-sr*+(- x-!9-.=.. ESEMPIO 1. Si consideri il sistema del 2 esempio del n 157 a). L'equazione differenziale delle traiettorie ortogonali è: ( Г*+Н?-х- -)*- {réq>ilf dq> + {réty il) X W «** = 0,

11 135 r*d sencp du = O, du = r, u = r log tang -TT- + cost. sencp 2 ' Le traiettorie ortogonali sono dunque descritte dai punti R = (0 + cl) -f rlogtang- I+rei<p I e sono quindi trattrici che si ottengono da una di esse (c = 0) mediante traslazioni parallele ad I. ESEMPIO 2. Il sistema che si considera sia formato dalle linee che si ottengono da una linea piana dandole, о una traslazione in una direzione fissa, о una rotazione intorno ad un punto fisso. La linea piana sia descritta dal punto P(t) funzione della variabile t\ la traslazione si faccia parallelamente al vettore I e la rotazione intorno al punto О. И punto Q funzione di t ed и da considerare nei due casi è : Q = P+uI, ovvero Q = 0 -f e»» (P O) e il sistema si ha per и cost. Applicando il procedimento precedente, la condizione dà da cui P' 2^ + P, X^^ = 0, ovvero p"^-f p'xi'cp O)du = 0, Г {dpf С (dpf \ = I - ovvero и = I. Trovata una delle traiettorie ortogonali, tutte le altre si ottengono da questa con traslazioni in direzione I о con rotazioni intorno ad Ö, come era facile vedere a priori. b) 11 sistema sia situato su di una superficie definita da un punto funzione di due variabili x, y, e le linee x = cost., у oncost, formino un sistema ISOÏERMO (cioè f- J =(-4 ) e ÒP w ÒP *«x-ç о bx x by Г Se è data l'equazione del sistema sotto la forma f(x,y) = u, dpxi(p 0)

12 136 oppure è data /'EQUAZIONE DIFFERENZIALE del sistema f t (x, y) dx + f 2 Or, y) dy = 0, allora l'equazione differenziale delle traiettorie ortogonali è oppure ^ dy--f-da> = 0, d# òy f, (œ, y) dy f % (x f y) dx = 0. DIM. Essendo isotermo il sistema formato dalle linee x=cost., y=cost., ~- è il coefficiente angolare della direzione della linea in P, e -j- è il coeffidy ciente angolare della normale, e. d. d. Tale procedimento è specialmente applicabile facendo uso di coordinate cartesiane ortogonali nel piano. ESEMPIO. Si vogliano le traiettorie ortogonali del sistema di parabole di ordine n di equazione cartesiana ortogonale, y» = их. La f(x, y) del teorema precedente è, il cui differenziale è Xx 2 ' X x * Quindi l'equazione differenziale del sistema di parabole è e delle traiettorie ortogonali _r_ nr^ ydx nxdy = 0, che dà l'equazione finita ydy -j- nxdx = 0, nx 2 -f- y % = cost., e le traiettorie sono ellissi (n > 0) о iperboli (n < 0). cj In generale, il sistema sia situato su di una superfìcie definita dal punto P funzione di due variàbili x, у e i moduli e Vangolo dei due vettori -, - siano qualunque.

13 137 - Se è data l'equazione del sistema sotto la forma f(x,y)='u, oppure è data Г equazione differenziale del sistema f k (oc, y) dx + /; (x, y) dy = 0, allora l'equazione differenziale del sistema è oppure quella che si ottiene da questa cambiando y e -yin К (x, y) e f % (x, y). /OPV òf _/dp w ò'p\ Of л )\Ьх) ЬУ \òx ЬУ ) òx ) i*. *}(Sx2)S-(S)- {*='>. DIM. Sia ÒP lo spostamento di P secondo la tangente alla linea del sistema e dp lo spostamento in direzione normale. Deve essere dp\bp=0, ovvero T <ЬР_ л,, др_ л \ v / др., ÔP. \_ п \bv d«òy у / л \ d# ^ òy *) Ma per il significato di ò si deve avere дх ЬУ òf òf quindi ponendo al posto di bx e by le quantità proporzionali e sviluppando si ha l'equazione indicata. òy ò% e sviluppando si ha l'equazione indicata. Il lettore osservi che l'equazione ora ottenuta» contiene come A* 1 П _ Ï. 1 Il lettore osservi che l'equazione ora ottenuta contiene come caso particolare quella Ъ). Per le coordinate polari si ha e per l'equazione del sistema - >*+- *-<>, P=0 + re i( PI, f(r y q>) = u

14 138 e quindi l'equazione precedente diviene -ïl dr r2 bl d(p=z0 d + ^dr = 0, Ò4> òr ' cambiando, rispettivamente, dcp e dr in dr e r 2 6?cp, vale a dire,. -, rdm. dr cambiando -^- dr in rdcp d) II sistema sia piano e ogni linea di esso si ottenga dando un valore ad un numero и funzione del punto P che descrive la linea. Per trovare le traiettorie ortogonali del sistema si opera così : Si ponga, se è possibile, /gradi* sotto la forma i gradu = h gradi 1, ove h è numero costante о no e v è numero funzione di P. Ciò fatto, v = cost, è l'equazione delle traiettorie ortogonali. Ciò è evidente, perchè essendo gradw la direzione della normale in P ad una linea del sistema, fgradw è la direzione della normale alla traiettoria ortogonale uscente da P. Negli esempi seguenti supponiamo che : u, v siano le distanze di P dai due punti fissi A, В ; a, ß gli angoli che P A e P В fanno con В A. Kicordiamo pure che. grada = г = * grad log и, и e analogamente per gradß. ESEMPIO 1. Traiettorie ortogonali delle lùtee w+w = cost. (ellissi e iperboli omofocali). grad (t* + v) = gnàu + gradi? г grad (w 4- г?) = i gradw + г gradv ; ma gradw, gradw sono vettori unitari e, in conseguenza, la loro somma è normale alla loro differenza ; quindi grad (w - - v) = h (grad?* ^F gradv) = h grad (u + v). Le traiettorie ortogonali hanno dunque per equazione w =p г? = cost, (iperboli ed ellissi omofocali).

15 439 ESEMPIO 2. Traiettorie con centri sulla retta AB ; circonferenze L'equazione è pure : e quindi logt* logv = cost. ortogonali delle linee = cost, {circonferenze di APOLLONIO). г grad (logm logy) = г grad logw * grad logv = = grada gradß = grad (a ß). L'equazione delle traiettorie ortogonali è a ß = cost, (circonferenze per A e B). ESEMPIO 3. Traiettorie ortogonali delie linee -4 и* v a- л u senß -.. bi osservi che = e quindi v sena 1 * 1 = k sena, = h senß. и v Allora = cost.. / m t n \ mi m ^gradw grac n ^gradt? jgrad = \ и v f и и V V = h (m sena grada + n senß gradß) = = h (m grad cosa -f- n grad cosß) = = h grad (m cosa -(- n cosß). L'equazione delle traiettorie ortogonali è m cosa -f- n cosß = cost. 3. Superfici rigate Superfici rigate in generale. Una superfìcie dicesi RIGATA quando per ogni suo punto passa almeno una retta tutta situata sulla superficie. Una superficie rigata è dunque formata da infinite rette che chiamansi, anche, GENERATRICI della superficie. Il piano tangente in un punto P della rigala contiene la generatrice che passa per P.

16 140 DIM. Б piano tangente in P deve contenere le tangenti a tutte le linee giacenti sulla superficie e uscenti da P ; quindi contiene la generatrice che è la tangente in P a sé stessa. Dunque : per costruire il piano tangente nel punto P di una rigata, basta condurre la tangente b in P ad una linea y della superficie; il piano determinalo da b e dalla generatrice uscente da P è il piano tangente cercato Una sup. rigata può, in generale, ritenersi generata da una retta (generatrice) che si muove appoggiandosi a tre linee qualunque y lt y 2, r 3 che diconsi DIRETTRICI. La costruzione di una generatrice si fa così. Preso un punto qualunque A l mf { si considerino i due coni di vertice A i ed aventi Y 2 e Y 3 per direttrici. Una generatrice comune ai due coni si appoggia alle tre linee y i, j 2, r 3. Oltre alla generazione geometrica della rigata, ora esposta, possiamo considerare la generazione GEOMETRICO-ANALITICA seguente. Se P è un punto e U è un vettore, funzioni entrambi della stessa variabile numerica /, allora la retta PU descrive in generale una rigata. Viceversa ogni rigata si può ottenere in tal modo. In particolare : P costante e U variabile dà un CONO di vertice P; P variabile e U di DIREZIONE costante dà un CILINDRO Se P è punto e U è un vettore, funzioni di il punto generico della rigata Q descritta da PU è Q p + XU che risulta quindi funzione di t e di x. Le linee = cost. sono le generatrici; le linee #? = cost. sono linee ausiliarie che tagliano tutte le generatrici. Il PIANO TANGENTE in Q deve essere parallelo ai due vettori: f = P> + wir, % = U. ove con gli apici si indicano le derivate rispetto a /, e quindi deve contenere (come si era già trovato) la retta PU Chiamasi PIANO ASSINTOTICO relativo alla generatrice PU la posizione limite del piano tangente in Q quando Q tende all'infinito.

17 - 141 Osservando che lim [J-ig-W, *=QO L # ò* J genera *=Qo L x at J risulta subito che: il piano assintotico relativo alla trice PU è il piano PUU' Se О è un punto fisso, la retta OU descrive un cono (o un piano) che chiamasi CONO (o PIANO) DIRETTORE DELLA RIGATA. Il piano tangente al cono nel punto 0-\-ccU è parallelo (n 163) ai vettori xu\ U; è quindi lo stesso per tutti i punti, diversi da 0, della generatrice OU. Quindi: il piano tangente lungo una generatrice del cono direttore, è parallelo al piano assintotico di ogni generatrice, ad essa parallela, della rigata Il lettore può, per esercizio, tradurre le formule generali precedenti e seguenti, in formule speciali relative alle coordinate cartesiane ; tenendo però presente che anche nei casi particolari nei quali P ed U saranno espressi mediante il sistema 0, I y J, K, è sempre più conveniente far uso delle formule generali nelle quali compariscono gli enti geometrici P, U. Per tale trasformazione si potrà porre p=0 + xi + yj + zk, U=aI+$J + yk, e per il punto generico Q della retta PU, Q = P-\-uU, chiamando и il parametro che nelle formule precedenti è indicato con x. Le coordinate X, Y, Z del punto Q sono X = x-{-ua, Y=y + wß, Z = z -f- щ. La condizione del n 167, P'U'U O diviene 1 #' y' z'! a' ß' Y = 0 ecc. la ß Y I 167. Rigate sviluppabili. Una rigata dicesi SVILUPPABILE quando i piani tangenti in due punti distinti di una generatrice qualunque coincidono. Si ha il teorema : Il piano tangente alla rigata sviluppabile in un punto di

18 142 una generatrice è, in generale, tangente alla rigata in tutti г punti della slessa generatrice (PIANO TANGENTE LUNGO LA GE NERATRICE). DIM. Se nei due punti distinti P-\- xu, P-\-yU i piani tangenti coincidono, allora (n 163) i vettori P' + xu', pt + yü', devono essere complanari, cioè dev'essere P'U'U=0. Ma allora sono complanari anche col vettore P'-\-zTJ' e quindi il piano tangente in P-\- ztj coincide col piano tangente negli altri due punti, e. d. d. Si noti che, come risulta dalla dimostrazione precedente: la rigata descritta da PU è sviluppabile solo quando P'U'U-=0. Vale a dire : per riconoscere se la rigata descritta da PU è sviluppabile о no si dovrà riconoscere se i vettori P', U', U sono о no complanari La completa generazione delle rigate sviluppabili è data dal teorema seguente: Una rigata sviluppabile L è un cono, о un cilindro, о il luogo delle tangenti ad una linea. DIM. Perchè la rigata sia sviluppabile deve essere, per ogni valore di t, P'U'U=0. Se P = Q sempre, allora P=cost., e la rigata è un cono. Se 7' = 0 sempre, allora É7=cost. e la rigata è un cilindro. Escluso il caso 7= cost, si può determinare x in funzione di t in modo che la tangente in Q==P-{-xU sia parallela ad U, Q'U={P' + x f U+xU') U U=P'U+xU'U*=0, perchè i bivettori P'U } U'U sono complanari. Dunque la rigata è il luogo delle tangenti alla linea Q Spigolo di regresso. Si chiama SPIGOLO DI REGRESSO di una superfìcie rigata sviluppabile, che non è un cono о un cilindro, la linea le cui tangenti formano la rigata sviluppabile. I piani tangenti ad una rigata sviluppabile sono i piani oscuratorì del suo spìgolo di regresso. DIM. Il punto Q, funzione di t, descriva lo spigolo di regresso. La rigata

19 143 è descritta da QQ'. П piano tangente nel punto Q -\- xq' è parallelo ai vettori Q'-\-xQ", Q' e quindi è dato dal tripunto che è il piano osculatore (punti ordinari) sia per x =#= 0 sia per x tendente a zero. Se la rigata sviluppabile è data mediante P ed U, come al solito, allora lo spigolo di regresso è descritto dal punto r P'U U'U ove il rapporto dei due bivettori complanari è il numero reale per il qualß si deve moltiplicare U'U per ottenere P'U. cioè DIM. Il punto Q = P-\-xU ' descriva lo spigolo di regresso; deve essere Q'U=P'U+xU'U=0, P'U «? = jjjjj-, e. d.d. Come applicazione si dimostri che : Se il punto P descrive una linea di arco s, la retta condotta dal centro di curvatura P-\-pN in P parallelamente alla binormale, descrive una rigala sviluppabile, il cui spigolo di regresso è il luogo dei centri delle sfere osculatrici. Dm. La rigata è descritta dalla retta Ora i tre vettori (n 167) ww+ю (P + pn)b. _ qy<r> (*+*»)-&*-?-* t=t N > s > sono complanari e quindi la rigata è sviluppabile. Lo spigolo di regresso è descritto dal punto x * ".X *, P + pn = p +p jy_t- -B - NB a * che è appunto il centro della T sfera osculatrice in P. che è appunto il centro della sfera osculatrice in P.

20 Sviluppo in un piano. Una superfìcie rigata sviluppabile Si può DISTENDERE 0 SVILUPPARE IN UN PIANO; Cioè ad ogni punto Q della rigata si può far corrispondere un punto Q, in un piano in modo da conservare le lunghezze. Vediamo come si effettua tale rappresentazione nei tre casi cilindro, cono, luogo delle tangenti ad una linea. a) Il punto P descriva una linea piana di arco s ; U sia vettore unitario costante, normale al piano della linea. Nel piano si fissa il sistema cartesiano ortogonale 0, I, il. Al punto Q^P + xu, Q = P + xu, del cilindro si fa corrispondere il punto del cilindro si fa corrispondere il punto Q i = 0-\-sI + œii Q i = 0 + sl + œil del piano. Tale rappresentazione conserva le lunghezze. del piano. Tale rappresentazione conserva le lunghezze. DIM. Si ha dq- = T U ^ 1 =J1 il ds ds 'ds ' ds ' -* ^~ь+т «b) Il punto P sia fisso ; U vettore variabile e funzione di t, ma unitario. Nel piano si fissa il sistema polare 0, /, i, e al punto Q=zP + xu del cono si fa corrispondere il punto 0 4 = 0 -f xe i( P I, con dq> = mod (du) 7 del piano. Tale rappresentazione conserva le lunghezze. DIM. Si ha, poiché P è costante, dq = dx U + xd U, dqi = dx e*f = = mod (dqi), e. d. d.

21 145 с) Il punto P descriva una linea gobba di arco s. Nel piano si disegni la linea P t che, in ogni punto P i, ha lo stesso arco s e la stessa curvatura della linea data nel punto corrispondente P. Al punto Q = P + oot della rigala, si faccia corrispondere II punto а, = р^ + хт, del piano. Tale corrispondenza conserva le lunghezze. DIM. La linea P x si ottiene osservando che, per la formula di Frenet nel piano, deve essere T,-(/JPJr 0, P=P 0 + JTds, ove T 0 è vettore unitario arbitrario e P è punto pure arbitrario. Ora si ha 4Н,+ т)'+т* *-( +-* ) "-f».- -* *-K'+4f-Wfr- *" 171. Teorema di Catalan. Se, stando le ipotesi fatte nel n i70 e), e sono le flessioni in Q e Q. delle linee dep Pi scritte da Q e Q i e q> è l'angolo che la normale principale in Q alla linea Q fa con la normale alla rigata, allora l l sencp =. p ^ Pi Dm. Se о* è l'arco delle linee Q e Q x si ha : ^ = a T + bn+cb, do 2 ' ' ' do 2 ^ß^-^аТ^ЫТ^ L === / a 2 + ò2 + c2 } l-^^az + b 2 : P Pi ma 4a normale in Q alla rigata è la retta QB e quindi, dall'essere ^ - B = atb + bjstb = \(bt an), C. BURALI-FORTI, Geometria anal. 10

22 146 si ricava, prendendo i moduli dei due membri, 1/«* + & 2 + C* sentp = Va 2 _ _ Ъ2 j 1 * A л sencp =, e. d. a. P Pi. In generale la condizione =0 verificata nel punto Oi della trasformata piana, esprime che ö t è punto di flesso per la linea. Il teorema di CATALAN dice dunque che: per trovare ipunti di flesso della trasformala piana della linea Q bisogna trovare i punti di Q nei quali la normale principale coincide con la normale della superficie. Se la normale in ogni punto 0 coincide con la normale in Q alla superficie, allora la linea 0 chiamasi GEODETICA e la sua trasformata piana è una retta Rigate gobbe. Piani tangenti. Una superficie rigata dicesi GOBBA, о SGHEMBA, quando in ogni generatrice esistono due punti distinti nei quali i piani tangenti sono distinti (si escludono le generatrici singolari che possono comportarsi come le generatrici di una sviluppabile). Se la rigata è descritta dalla reità PU, avendo P, U il solito significalo, essa è gobba solo quando p'u'u^o, per ogni valore di t, cioè г vettori P\ U\ U non sono complanari. DIM. Se nei punti P-\-xU y P-\-yU distinti (#={=y) i piani tangenti sono distinti, devono esser non complanari i vettori P^-\-xU f, P f -\-yu f, U, cioè si deve avere P'?7'Z7=4=0, e. d. d. Risulta immediatamente che : in due punti distinti qualsiasi di una slessa generatrice i piani tangenti sono distinti Un piano qualunque uscente da una generatrice di una rigata gobba, tocca la rigata in un punto. Se P, U hanno il solito significalo, allora il piano uscente da PU e parallelo al vettore V tocca la rigala nel punto P'UV U f UV

23 DIM. Il piano tangente nel punto deve essere parallelo ai vettori e quindi da cui 147 P+xU, P> + xu', U, V (P'+xU')ÜV = P'UV + xu'uv^o, - _ P ' UV л л х jjrjjy» с. а. а. Se il piano deve passare per un punto M basta sostituire a V il vettore P M. Giova notare che : tra i punti di una generatrice e i piani uscenti da essa si può stabilire una corrispondenza UNIVOCA e RECIPROCA in modo che ad ogni punto corrisponda il piano tangente in esso Teorema di Chasles. Il birapporto di quattro punti di una stessa generatrice è eguale al birapporto dei quattro piani tangenti in esst Vale a dire : la corrispondenza tra punto di contatto e piano tangente è una proiettività. DIM. Б piano tangente nel punto Q =«P-^-xU è, come è noto, QU(P' + xu') = QUP' + xquu' ; ma questa è funzione lineare di x (e quindi di P) e poiché la corrispondenza tra punto di contatto e piano tangente è univoca e reciproca (n 173) il teorema è dimostrato. Segue che : Se due rigate gobbe hanno una generatrice a comune e lungo questa si toccano in tre punti distinti, esse si toccano lungo tutta la generatrice Piano e punto centrale. Il piano che passa per una generatrice di una rigata gobba ed è normale al piano assintotico relativo alla stessa generatrice, dicesi PIANO CENTRALE per quella generatrice. Il punto nel quale il piano centrale tocca la rigata dicesi PUNTO CENTRALE О PUNTO DI STRINGIMENTO della generatrice considerata. Il luogo dei punti di stringimento delle varie generatrici chiamasi LINEA DI STRINGIMENTO (O di GOLA) della superficie.

24 La linea di stringimento ^ è descritta dal punto (P'U) x vu, JWuf DIM. La giacitura del piano assintotico è XJ'TJ e quindi il piano centrale è parallelo al vettore \(U'U). Segue che il punto centrale si otterrà dalla formula del n 173 ponendo V = \(U'U); si avrà per punto centrale P'U\(U'U) U'Ul(U'U) dividendo numeratore e denominatore del coefficiente di U per Й si ha la formula indicata. u ' ' 4. Superfici di rotazione Paralleli, meridiani, piani tangenti. Una linea y (piana о gobba) che ruota intonano ad una retta s genera una SUPERFICIE DI RIVOLUZIONE della quale la retta s ne è TASSE. La linea j è una GENERATRICE della superficie. Esistono infinite linee Y' della superficie che possono esser assunte come generatrici; per altro non tutte. Le linee descritte dai punti della generatrice r sono circonferenze che hanno i piani normali aitasse e i centri sull'asse ; si chiamano PARALLELI della superficie. Un piano uscente dall'asse taglia la superficie secondo una linea che chiamasi LINEA MERIDIANA. Un semi-piano limitato dall'asse, dà una SEMI-MERIDIANA. Tutte le meridiane sono eguali tra loro e si ottengono l'una dall'altra con una rotazione intorno all'asse. Lo stesso per le semi-meridiane. Le meridiane e le semi-meridiane possono essere assunte come generatrici. Le prime danno la superficie, con un mezzo giro ; le seconde con un giro intero. Il piano tangente nel punto P della superficie di rivoluzione è normale al piano meridiano uscente da P. DIM. Б piano tangente in P contiene la tangente a alla meridiana in P e la tangente b al parallelo in P; ma Ъ è normale al piano meridiano e quindi il piano delle rette a,b è normale al piano meridiano. ƒ piani tangenti alla superfìcie di rivoluzione nei punti di un parallelo sono tangenti a un cono di rivoluzione (o cilindro о piano) che ha per asse tasse della superfìcie.

25 149 DIM. La retta a della dim. precedente sta sul piano meridiano ; nella, rotazione intorno ad s, P descrive un parallelo e a un cono (o cilindro, о piano), e. d. d. ƒ paralleli (meridiani) sono le traiettorie ortogonali dei meridiani (paralleli). DIM. Infatti, le rette a, b sono ^perpendicolari Espressioni analitiche. Si individua l'asse mediante un suo punto О e un vettore unitario К parallelo ad esso. La rotazione intorno ad OK è data dall'operatore г*, applicabile ai vettori U normali a K, tale che iu=\ {KU). Il metodo più generale di rappresentazione analitica e indipendente da elementi di riferimento estranei alla superficie che si considera, è il seguente. Il punto Q, funzione della variàbile numerica t, descriva la generatrice della superficie. Il punto Q 4, pure. funzione di t, sia la proiezione ortogonale di Q sull'asse, cioè Q ' K~y 0 = 0 + [(0-0)Х^ПЛГ. Il punto generico P della superficie si ot- I tiene dando al punto Q una rotazione cp m- ' torno al punto Q i sul piano del parallelo uscente da Q. Si ha cioè P = Q i.+ eh>(q QJ. Il punto P è funzione delle due variabili indipendenti t, qp. Per t = cost, si hanno iparalleli; per qp = cost, le varie posizioni della generatrice. Le traiettorie ortogonali delle linee t = cost., che hanno i X dp = 0 per equazione differenziale, sono le linee meridiane della superficie. Se la linea Q è piana e sta su di un piano uscente dall'asse, cioè è una linea meridiana, allora le linee qp = cost, sono le meridiane (o le semi-meridiane). I sistemi =cost., <p=cost." sono l'uno traiettoria ortogonale dell'altro.

26 Fissiamo un vettore unitario /normale a К e poniamo J = il. Il sistema cartesiano 0, 1, J, К è ortogonale destro. Il punto Q sia espresso mediante le sue coordinate cartesiane x, y, z, funzioni di t, rispetto al sistema Ö, 7, J f K, Q = 0 + xl + yj + zk. Osservando che (^ = 0 + zk e ricordando che J=il si ha [1] p = О -f x&v7+ ye i( P il+ zk, come risulta anche subito, osservando che la rotazione si dà soltanto alle componenti xi, yj normali all'asse. Se nella [1] esprimiamo e i( P mediante sen e cos, в X, Y, Z sono le coordinate di P, si ha ( X= x eosqp y sencp [2] \ Y= x serup + y costp Z z che danno l'equazione parametrica della superficie. Eliminando t e <p dalle [2] si ottiene l'equazione implicita della superficie, della quale però non possiamo assegnare l'espressione generale. Se P descrive la linea meridiana giacente, ad es., sul piano 01K, allora deve essere Y=0 e quindi: L'equazione della linea meridiana nel piano delle x % z»1ет= J. i 79. È notevole il caso particolare, che più comunemente si presenta nella pratica, che Q descriva la linea meridiana, ad es., nel piano delle x t z. Allora si ha y~0 e le [2] del n 178 divengono X arcoscp, F=a?senq>, Z z, da cui si ricava la regola seguente : Se f(x, z) = 0 è l'equazione di una linea del piano delle x y z, allora r(vx 2 + y*, *) = 0

27 151 è l'equazione della superficie di rivoluzione che si ottiene facendo ruotare intorno all'asse delle z la linea data ; cioè, si ottiene l'equazione della superficie cambiando oc in ^х % -\-у г nell'equazione della linea meridiana Quadriehe di rotazione. Facendo ruotare delle coniche, intorno a rette convenienti del loro piano, si ottengono certe superficie di rivoluzione che appartengono al gruppo generale delle quadriche. a) Una ellisse che ruota intorno ad un suo asse genera un ELLISSOIDE. Se l'ellisse di equazione X 2 z 2 ~~ж + ~w = 1 si fa ruotare intorno all'asse 01, si ha l'euissoide di equazione <*- JL ÉL i z * 1 a* л b* ""* fc 8 ~~ * b) Una iperbole che ruota intorno al suo asse non trasverso genera una IPERBOLOIDE AD UNA FALDA. g jj- = 1 equazione iperbole x% yi z% j ^ = 1» iperboloide ad una falda. c) Una iperbole che ruota intorno al suo asse trasverso genera una IPERBOLOIDE A DUE FALDE. -j = - = 1 equazione iperbole 3C ifi sfi ri jg- -\ j- = 1» iperboloide a due falde. d) Una parabola che ruota intorno al suo asse genera un PARABOLOIDE ELLITTICO. x 2 = 2pz equazione parabola a? - - y % = 2pz» paraboloide ellittico.

28 Se una retta ruota intorno ad un'altra, essa genera о un cono, о un piano, о un cilindro, о un iperboloide ad una falda. DIM. Se la retta incontra l'asse, genera un cono о un piano; se la retta è parallela all'asse, genera un cilindro ; e ciò è evidente. Le due rette siano sghembe. La normale comune alle due rette incontri l'asse in О e la generatrice in A. Nel sistema 0,1, J, К il vettore I sia diretto da О ad A e il vettóre К sia parallelo all'asse di rotazione e si ponga A О -\- al. La generatrice sia parallela al vettore unitario Уд U = cosöüt -f- seno^ ; -**s~ U = cosöüt -f- seno^ ; / il punto Q, generico, della generatrice è il punto Q, generico, della generatrice è Q=A-\-tU=* 0 + ai-\-tsenqj + tœsek; Q=A-\-tU=* 0 + ai-\-tsenqj + tœsek; quindi per il punto generico P della superficie si ha quindi per il punto generico P della superficie si ha p== 0 4- aei(pl+ t sen6e»9? il + t cosgk, p== О 4- aei(pl+ t sene*?»?? il + t cosgk, le cui coordinate sono : le cui coordinate sono : X = i a coscp t sene вепф, у = a вепф -f-1 sen0 совф, я = t cosò, x = a coscp t sene sen<p, y = a sen, z = t cosò, dalle quali eliminando e ф si ha: dalle quali eliminando t e q> si ha: ж 2 + У л = «2 + ^ sen*e = а 1 + г* tang 2 0, x 2 + у л = a 2 -f *» sen*e = a 1 + z* tang 2 0, xp li 2 z a 2 a* (actgg) 2 Dalla dim. precedente si ricava che gli assi dell'iperboloide hanno le lunghezze a e a ctg0. Inoltre si ricava che cambiando 0 in 9 si ottiene la stessa superfìcie e quindi si ha un doppio sistema di generatrici) ad es., per A ne passano due simmetriche rispetto alla parallela condotta da A all'asse. La lìnea di stringimento (o di gola) è il parallelo descritto da A, come è facile dimostrare Toro e sfera. Lossodromie. Chiamasi TORO la superficie di rivoluzione generata da una circonferenza che ruota intorno ad una retta del suo piano. Se tale retta passa per il centro, si ha la sfera.

29 153 - a) Dalla semplice ispezione della figura, ove C Q = 0±hI, Q =z C 0 4- r cossi + r senßijt, si ha per il punto generico P del toro P 0 + (h-\-r cosß) è a 1 + r senßit, espresso mediante la longitudine a e la latitudine ß. Sono notevoli le linee di equazione a = m (con m costante) le cui proiezioni sul piano OIJ sono concoidi di epicicloidi. Per m = l e Л = 0 si ha la finestra di VIVIANI, la cui proiezione sul piano OIJ è ида circonferenza di raggio -^ e di centro 0-\--^I. La sua proiezioue sul piano 01К sta in un arco di parabola che ha per equazione cartesiana z*=r* v.r. b) Se l'equazione (sul piano delle œ, z) della circonferenza è (x h) 2 + z 2 = r\ allora l'equazione del toro (n 179) è ovvero (^äf+y ht + z^r* (x 2 -+ y 2 + z 2 + h 2 r 2 y = 4Л* (x 2 + y 2 ). Il lettore dimostri che la sezione del toro con un piano tangente al toro in un punto del cerchio di gola (parallelo di minimo raggio) è una lemniscata Risulta da a) del n 182 che se ds e da sono, rispettivamente, gli elementi di parallelo e di meridiano in P si ha ds = (h + T cosß) da da = rds. Se 9 è costante, la condizione ds = tgg. de

30 154 è Vequazione differenziale delle linee che tagliano i meridiani sotto Vangolo costante 9, che sono dette LOSSODROMIE. La loro equazione è : «=» 1*0 ƒ»+?«* L'integrale del secondo membro si sa eseguire, perchè è Г integrale di una funzione razionale del coseno; presenta forme diverse (reali) a seconda della relazione tra her. Per h 0 (sfera) si ha a =^9 j Sr= tge log tg +1)+ cost - che è l'equazione, in termini finiti, della LOSSODROMIA SFERICA. Questa linea proiettata da О ± К sul piano OU dà una SPI RALE LOGARITMICA. 5. Superfici elicoidali Rappresentazione analitica«se ad una linea r diamo moto elicoidale intorno ad un asse, si ottiene una SUPER FICIE ELICOIDALE. I punti della linea j descrivono eliche circolari coassiche di egual passo e di egual verso. Tagliando la superficie elicoidale con piani uscenti dall'asse si ottengono le LINEE MERIDIANE : due qualunque sono eguali e si ottengono l'una dall'altra con una rotazione intorno all'asse e una traslazione parallela all'asse Il moto elicoidale è individuato dando : un punto О dell'asse, un vettore unitario К parallelo all'asse, la ^rotazione i nei piani normali a K, il passo ridotto m positivo о negativo (verso del moto elicoidale). a) Il punto 0, funzione di ^descriva la linea che genera la superficie elicoidale. Se Q K è la sua proiezione sull'asse, 0 1 = O+-[(Q-O)XJT ^ allora per il punto generico P della superficie elicoidale si ha P=Q i + eto> (Q QJ + myk.

31 155 Il punto P risulta funzione di t e di ф ; per t =.cost. si hanno le eliche; per cp=cost. le varie posizioni della linea generatrice. b) Se nel sistema cartesiano 0, I, J, К si ha con,j = il, allora si ha Q=0 + œi + yj + zk 9 P = 0 + xe*) K, da cui risulta facilmente l'equazione parametrica della superficie, che, in generale, è di utilità pratica nulla. e) Se la linea Q è data nel piano OIK, allora : se f(x, z) = 0 è l'equazione della generatrice, l'equazione della superficie elicoidale è anche questa di nessuna utilità. f ( \'^ + У % > z m are tg 1 = 0, 186. Elicoidi rigati. Prendendo come generatrice una retta non parallela all'asse si ottengono gli ELICOIDI RIGATI. La normale comune all'asse e alla retta generatrice incontri l'asse e la generatrice rispettivamente in 0 e in A. Si prenda come vettore unitario da 0 ad A il vettore / e si ponga [1] A = О ± aj. La generatrice (parallela al piano OIK) formi con l'asse l'angolo, non nullo, 9 e precisamente sia parallela al vettore [2] /=sen8/+cose.ä. Per il punto generico Q della generatrice si ha [3] Q = A +uu=0 + usenql + aj + ucosqk e quindi per il punto generico P della superfìcie elicoidale [4] P = О 4- used&eto> I + cufv J + (u cos0 + mcp) K. Esaminiamo nei numeri seguenti i casi particolari interessanti in pratica.

32 Se la generatrice è normale aitasse e lo incontra, allora si ha I'ELICOIDE CONOIDE RETTO О ELICOIDE ORDINARIO A PIANO DIRETTORE. In tal caso è a = 0, Q= e quindi P= О + ue i( P 7 + mq>k. L'intersezione di questo elicoide con un cilindro circolare retto che passa per l'asse dell'elicoide è un'elica il cui passo ridotto è -^-. DIM. Sia 2r il diametro della sezione retta del cilindro secante e la sezione sul piano OIJ abbia per centro il punto O -f rl Se P, è la proiezione di P sul piano OIJ, allora P A sta sulla sezione retta del cilindro solo quando и = 2r cosqp (come risulta subito facendo la figura). Ponendo questo valore di и nella espressione di P si ha, ponendo 2qp = ф, P = О + 2r coscp e*<pl + nnpk, = 0 + r (e*) éq>i -f- mqpjt, = (0 + ri) + rrfy J+ ^ Ч/.ЙГ, che dimostra quanto abbiamo affermato Se la generatrice incontra l'asse ma fa con esso un angolo non retto, allora si ha I'ELICOIDE RIGATO OBLIQUO CHIUSO о ELICOIDE ORDINARIO A CONO DIRETTORE. In tal caso # О, 6=ф=-тг e quindi p = 0 + usenqe i( P I + (u cose + гаер) К. L'intersezione di questo elicoide con un piano normale all'asse è una spirale d'archimede. DIM. Se OIJ è il piano secante, deve esser и coso 4- пир = 0 cioè и = - q> cosg e quindi la sezione è descritta dal punto p = О (m tgg) ф ë<pl, с. d. d.

33 Quando la generatrice non incontra Tasse si hanno gli ELICOIDI APERTI, che lasciamo al lettore di studiare. Noi ci limiteremo ad osservare che : Solamente quando a = m tg9 l'elicoide è sviluppabile, ed è il luogo delle tangenti alvelica descritta dal punto A = 0 + aj. DIM. Alla [4] del n 186 si dà subito la forma P=M+uV con M=*0-\- aéq> H-\- mpk V = sene etyl -[- cosojk', essendo : M il punto generico dell'elica descritta da A, e V il vettore pa~ rallelo alla generatrice uscente da M. E noto (n 167) che la rigata è sviluppabile solo quando M'VV' = 0 (indicando con gli apici le derivate rispetto a q>); ora M' = ае*ф1-\-тк, V' = sene e*<p ij, VM' = (m sene + a cose) (é<p I) К WM' = (m sene + a cos9) sene IJK; e perchè sene 4= 0 deve essere m sene + a cose = 0, e. d. d. È noto (n 149) che; V intersezione dell'elicoide sviluppabile con un piano normale all'asse è una evolvente della circonferenza sezione retta del cilindro che contiene Velica spigolo di regresso Colonna torsa. Tito di S.t Gilles. Serpentino. a) Se la generatrice è una sinusoide con Vasse parallelo all'asse del moto elicoidale e di passo eguale al passo del moto elicoidale, allora si ha la COLONNA TORSA. Il punto Q che descrive la sinusoide nel piano OIK avrà la forma Q = О + (Л +r sen ) / + zk Q = О + (л +r sen Ç\ I + zk per il punto generico P della colonna torsa si avrà e per il punto generico P della colonna torsa si avrà P = О + (h + r sen W (h sen -^Л e i( 7+ (s -f тф) JT. P 7+ (z + тер) К.

34 158 Vintersezione della colonna torsa con un piano normale all'asse è una LUMACA DI PASCAL. DIM. Nei punti P del piano OIJ si ha e quindi z -f- mq> = 0 p==0~{-(h r senq>) ety I, e. d. d. b) Se la generatrice è una circonferenza in un piano nor* male all'asse, allora si ha una superficie elicoidale che chiamasi pure COLONNA TORSA. Per tale superficie si ha Q^O + hl+retyl, P=0 -f he i( P 1 + re +4* I -f mq>k. e) Se la generatrice è una circonferenza in un piano uscente dall'asse, allora la superfìcie elicoidale è la VITE DI S.T GILLES. Q = O -f- hl + r (cosici + sempüf) = = О + (Л + г cosqj) 1 \r senipä', p = О + (Л + r cosij;) e i( P l-\-(r senip + ^ф) К. d) Se la generatrice è una circonferenza il cui piano è normale all'elica descritta dal suo centro, allora si ha il SER PENTINO. L'espressione particolare di 0 è in tal caso poco interessante. Conviene piuttosto considerare la superficie canale relativa ad una linea P qualunque, superficie il cui punto generico M è dato da M = P-\-r (cosuyiv + senuiz?), essendo r il raggio della circonferenza. Tale superficie è Vinviluppo delle sfere di centrò P e raggio costante r.