La Determinazione del Saggio del Profitto e il Settore Integrato della Merce Salario

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1 Economi Politic Corso Avnzto L Determinzione del Sggio del Profitto e il Settore Integrto dell Merce Slrio Sverio M. Frtini INDICE 1. Introduzione p Il modello p Il sistem delle equzioni di prezzo p Il settore integrto dell merce slrio (SIMS) p Il profitto per lvortore nel SIMS p Il cpitle per lvortore nel SIMS p L riduzione dei prezzi quntità di lvoro dtte p L funzione dei profitti p L equzione di sovrppiù p. 14 Riferimenti iliogrfici p. 18 Aprile 2014

2 1 1. Introduzione Il punto di prtenz di questo scritto è costituito dll nlisi svolt d Srff nei primi quttro cpitoli di Produzione di Merci Mezzo di Merci. Prendendo come dti: ) le quntità (lorde) prodotte nelle diverse industrie; ) le condizioni tecniche dell produzione; c) il sggio del slrio rele, Srff h mostrto che è possiile determinre simultnemente i prezzi reltivi delle merci ed il sggio del profitto risolvendo un sistem con equzioni e incognite pri l numero delle merci più uno. Inoltre, ttrverso l costruzione dell merce tipo, Srff è riuscito ricvre dl sistem un equzione di sovrppiù, cioè un equzione in cui l unic incognit è il sggio del profitto: r = R(1 w). Un delle crtteristiche dell nlisi di Srff è che il sggio del slrio w è concepito come un mmontre di vlore d poter esprimere, come il vlore delle merci, in termini di un merce numerrio, singol o composit. Così, nel cpitolo II di Produzione di Merci, il sggio del slrio è un prte (o quot) del prodotto netto del sistem rele, che Srff dott come numerrio. Mentre, nel cpitolo IV, in cui il numerrio è il prodotto netto del sistem tipo, w divent un quntità di merce tipo. Quindi, si nel cpitolo II che nel IV, il sggio del slrio è espresso come un quntità di un merce composit, si ess il prodotto netto rele o tipo. In entrmi i csi, però, quell merce composit misur semplicemente il vlore del sggio del slrio, e non rppresent fftto l su composizione fisic. Nel cpitolo I di Produzione di Merci, in cui è trttt l economi senz sovrppiù, il slrio è invece considerto in termini fisici, ttrverso le merci medimente consumte di lvortori. 1 Srff come egli stesso spieg ndon questo modo di considerre il slrio l fine di poterlo esprimere, in omggio ll trdizione, come un vriile (si ess dipendente o indipendente). In quest dispens lrgmente st sui contriuti di Gregnni (in prticolre, del 1960 e del 1981) torneremo d esprimere il slrio in termini 1 Come si vedrà nel prossimo prgrfo, per poter trttre il slrio in termini fisici, come un cert merce composit consumt di lvortori, non è necessrio ssumere che tutti i lvortori consumino le merci esttmente nelle stesse proporzioni, m l merce slrio può essere costruit prendendo le proporzioni in cui le merci sono consumte di lvortori nel loro complesso. Così fcendo, l merce slrio risulterà quell consumt in medi di lvortori.

3 2 fisici, pur considerndo w ncor come un vriile indipendente, che tuttvi non esprime più un mmontre di vlore, m l quntità di un cert merce composit. Anche per questo cso, come è stto per quello di Srff, si discuternno le equzioni di prezzo e l equzione di soprppiù. Ogni pssggio del rgionmento che seguiremo in questo scritto srà proposto si in form strtt, simolic, si ttrverso un esempio numerico sto sempre sugli stessi dti. 2. Il modello Seguendo Srff, per qunto possiile, fccimo riferimento d un economi in cui ci sono K industrie prodotto singolo, l cui produzione è rppresentt nel modo usule: 2 A B... K L A A B... K L B M A B... K L K Dl sistem di produzione è possiile ricvre, come è noto, i coefficienti unitri che rppresentno le condizioni tecniche di produzione. In prticolre imo che, dte le condizioni tecniche di produzione, x y = X y /Y rppresent l quntità di (X) impiegt per ottenere un unità di merce (Y), con X = A, B,, K, L e Y = A, B,, K:... l 1 di (A)... l 1 di (B) M... l 1 di (K) Per qunto rigurd il sggio del slrio si ssumerà qui che esso si dto in termini fisici, ovvero si ssumerà che esso si w unità di un prticolre merce composit: l merce 2 In questo scritto si ipotizzerà sempre che il ciclo produttivo i l stess durt in ogni industri e che quest si di un nno.

4 3 slrio. Questo modo di considerre il sggio del slrio rppresent l principle differenz tr l nlisi che segue e quell presentt d Srff in Produzione di Merci, dove w è un mmontre di vlore espresso in termini di un numerrio. Immginimo di conoscere il pniere di eni consumto nnulmente d un lvortore medio. Questo pniere può essere, d esempio, quello su cui è clcolto l indice ISTAT dei prezzi l consumo per fmiglie di operi ed impiegti. Prendendo l composizione fisic di questo pniere possimo costruire l merce slrio, cioè un sctol immginri che contiene le K merci dell economi, prese nelle proporzioni in cui esse sono consumte di lvortori. L merce slrio può essere rppresentt ttrverso un certo vettore λ = [λ, λ,, λ ] R + tle che λ i /λ j è pri l rpporto tr le quntità di merci i e j che i lvortori consumno, per ogni i e j = A, B,, K. In questo modo si h che l composizione fisic del pniere consumto di lvortori è pri quell del vettore λ. Il sggio del slrio è quindi pri w unità di merce slrio, cioè d un pniere di merci w λ = [w λ, w λ,, w λ ]. 3. Il sistem delle equzioni di prezzo Dto un qulunque vettore di prezzi p = [p, p,, p ] R +, si può clcolre il vlore di un unità di merce slrio: (1) p λ = p λ = p λ + p λ + + p λ. Clcolto p λ, il sggio del slrio in vlore è w p λ. Simo or in grdo di scrivere le equzioni di prezzo delle K merci: (2) p p M p A = (p B = (p K = (p A A A + p + p + p B B B K K K )(1 + r) + w p )(1 + r) + w p λ λ )(1 + r) + w p λ L L L

5 4 Le equzioni (2) hnno esttmente lo stesso significto economico delle equzioni che trovimo in Srff. L sol differenz cui occorre prestre ttenzione è nel significto di w, che in Srff rppresent il sggio del slrio espresso in vlore e qui, invece, rppresent il sggio del slrio espresso in termini fisici, cioè in termini di merce slrio. Il sggio del slrio in vlore è invece, come visto poco sopr, w p λ. Le equzioni (2), di conseguenz, hnno un incognit in più rispetto quelle di Srff: il prezzo p λ ; è quindi necessri un equzione in più: l (1). Le equzioni (1) e (2) formno un sistem di +1 equzioni e +2 incognite: prezzi delle merci, il prezzo p λ dell merce slrio e il sggio del profitto r. Quindi, un volt scelto un numerrio, il sistem è in grdo di determinre i +1 prezzi in termini dell merce numerrio ed il sggio del profitto. Il numerrio, come si s, può essere qulunque merce, singol o composit. Tuttvi, per l nlisi che svolgeremo in queste pgine, è utile esprimere il vlore delle merci nel modo di Adm Smith, in termini di lvoro comndto. Poiché il vlore di un merce in termini di lvoro comndto è pri ll quntità di lvoro che può essere cquistt (o ssunt) cedendo un unità di quell merce, il vlore di w unità di merce slrio in lvoro comndto è, per definizione, pri d 1. Ovvero: (3) w p λ = 1. Aggiungendo l (3) lle equzioni (1) e (2) imo un sistem con +2 equzioni e incognite. Non tutte queste equzioni, come vedremo tr poco, sono però necessrie per determinre il sggio del profitto r. Per dimostrre questo, ssumimo che le merci sino ordinte in modo tle che soltnto le merci d (A) (G) entrino in quntità positive nell merce composit slrio. Ovvero ssumimo che λ x > 0 se x =,,, g; mentre λ x = 0 se x = h, i,,. In ltri termini stimo ssumendo che le merci d (H) (K) sino o dei puri eni cpitle (cioè merci uste solo come input dell produzione), o dei eni di consumo di lusso. Inoltre, ssumimo nche che l insieme delle merci d (A) (H) comprend quello di tutti i loro stessi mezzi di produzione diretti ed indiretti, ovvero le merci d (I) (K) non sono mezzi di produzione di nessun delle merci d (A) (H). Ciò implic che X y = 0 per ogni X = I, J, K e y =,,, h. Utilizzndo queste ipotesi circ il modo in cui le merci sono stte ordinte e l equzione del numerrio cioè l (3) imo:

6 5 (1 ) w p λ + w p λ + + w p g λ g = 1 (2 ) p M p p M p h i A = (p H = (p I = (p K = (p A A A i A h h h h H H h H i H )(1 + r) + L h + p )(1 + r) + L i I + p i i I h K )(1 + r) + L i K )(1 + r) + L i Or, come è evidente, l equzione (1 ) e le prime h equzioni del sistem (2 ) contengono soltnto h+1 delle +1 incognite del sistem. In prticolre, i prezzi delle merci d (I) (K) non compiono né nell (1 ), né nelle prime h equzioni del (2 ). Queste h+1 equzioni sono quindi in grdo di determinre, d sole, il sggio del profitto r ed i prezzi delle merci d (A) (H) in lvoro comndto. 4. Il settore integrto dell merce slrio (SIMS) Se prendimo un qulsisi industri, d esempio l industri dell merce (A), imo che il prodotto netto di quest è clcolile solo in vlore, come differenz tr il vlore dell output e quello dei mezzi di produzione, m non in termini fisici, perché l output è costituito dll sol merce (A), mentre i mezzi di produzione comprendono, in generle, nche le merci (B),, (K). 3 Se però prendessimo un gruppo di industrie, opportunmente dimensionte, potremmo costruire un settore integrto in grdo di dre un prodotto netto fisico di merce (A). Questo settore integrto dell merce (A), quindi, dree un output lordo formto d un cert quntità di merce (A) più le quntità merci (A), (B),, (K) che il settore stesso impieg (nnulmente) come mezzi di produzione. Anlogmente, il settore integrto dell merce slrio è formto d un complesso di industrie, prese in proporzioni tli che il prodotto netto del settore integrto si costituito dll 3 Al fine di mostrre che le condizioni di produzione dei eni di lusso e dei loro mezzi di produzione specifici non svolgono lcun ruolo nell determinzione del sggio del profitto, in precedenz imo ipotizzto che le merci fossero ordinte in mnier tle che solo le prime H potessero essere mezzi di produzione dell merce (A). L nlisi che svolgeremo nel resto di questo scritto può prescindere d quest prticolre ipotesi.

7 6 merce composit slrio. In prticolre, se l quntità di lvoro impiegt nell economi è pri L unità ovvero: L + L + + L = L llor possimo costruire un settore integrto che di come output netto proprio le merci che compongono il slrio fisico per L unità di lvoro, cioè: PN S = L w λ = Λ. Per costruire questo settore integrto, occorre, in primo luogo, determinre qule produzione lord delle industrie ci consente di ottenere un prodotto netto fisico pri l vettore Λ. Per fr questo, inizimo col rccogliere i coefficienti tecnici unitri, reltivi ll impiego di merci nelle diverse industrie, ll interno di un mtrice M, in modo tle che m xy si l quntità di merce (X) impiegt per produrre un unità di merce (Y), con X e Y = A, B,, K. Ovvero: M = M M L L O L. M Dti il vettore Λ e l mtrice M, il prolem dell determinzione dell output lordo delle industrie nel settore integrto consiste nel trovre un vettore Q pri ll somm del prodotto netto Λ più il vettore dei mezzi di produzione necessri per produrre Q. Inftti, per definizione, PL S = PN S + MdP S, cioè: (4) Q = Λ + M Q oppure, in form più estes: (4 ) Q Q M Q = Λ = Λ = Λ y= y= y= y y y Q y Q y Q y

8 7 Si I l mtrice identità di dimensione ( ), l equzione (4) potree essere post nell form Λ = Q M Q = (I M) Q. Quindi l soluzione dell (4) è: (5) PL S = Q = [I M] -1 Λ. Avendo determinto il vettore Q delle produzioni lorde delle industrie che formno il settore integrto dell merce slrio, possimo clcolre le quntità di merci e lvoro impiegte in questo settore. Il vettore dei mezzi di produzione emerge fcilmente come differenz tr l produzione lord e quell nett: MdP S = Q Λ = M Q. Per qunto rigurd invece l impiego di lvoro, dto il vettore l = [l, l,, l ] dei coefficienti unitri dell impiego di lvoro, imo: L S = l Q = l y Q y. y= 5. Il profitto per lvortore nel SIMS Il nostro interesse nei confronti del settore integrto dell merce slrio scturisce d due sue crtteristiche. I) In questo settore, il prodotto netto ed i slri sono costituiti fisicmente dll stess merce: l merce slrio. Di conseguenz, in esso, i profitti potreero essere clcolti indipendentemente di prezzi, o come un vettore di merci, o come un quntità di merce slrio: (6) Π S = Λ w λ L S = (L L S ) w λ d cui segue che i profitti del settore integrto mmontno (L L S ) w unità di merce slrio. II) Se dottimo come unità di misur del vlore il lvoro comndto il che signific dottre come numerrio un merce composit formt d w unità di merce slrio e quindi ponimo w p λ = 1, llor l mmontre dei profitti relizzti nel SIMS, espresso in vlore cioè in termini di lvoro comndto risult pri ll differenz tr l mmontre di lvoro L impiegto nell inter economi e quello impiegto nel settore integrto L S.

9 8 Inftti, visto che i profitti in termini fisici del SIMS sono formti dl vettore Π S, i profitti in termini di vlore si otterrnno pplicndo (ovvero moltiplicndo) un vettore di prezzi p l vettore Π S : (7) Π S = p Π S = (L L S ) w p λ = (L L S ) w p λ quindi se w p λ = 1, llor Π S = L L S. 4 L mmontre dei profitti per lvortore relizzti nel SIMS dipende, chirmente, dll dimensione dell economi che stimo considerndo. Inftti se l nostr economi, prità di ogni ltr circostnz, crescesse del 50%, llor nche l impiego di lvoro cresceree del 50% e così i slri d pgre; di conseguenz nche l impiego di lvoro nel SIMS dovree crescere dello stesso tsso. Quindi, nell nuov ccresciut economi, i profitti del SIMS sreero: 1,5 L 1,5 L S = 1,5 (L L S ), ovvero sreero pri i profitti inizili umentti del 50%. Possimo tuttvi prescindere d questo fttore di scl, fcendo riferimento, nell nostr nlisi, ll mmontre di profitti per lvortore: (8) π S = Π S L S = L L S L S. 6. Il cpitle per lvortore nel SIMS Avendo ottenuto il profitto per lvortore π S, se conoscessimo nche il vlore del cpitle per lvortore v S impiegto nel SIMS potremmo determinre il sggio del profitto r come rpporto tr i due: r = π S /v S. Il prolem è che mentre il profitto per lvortore π S, espresso in lvoro comndto, simo riusciti determinrlo semplicemente sull se degli impieghi di lvoro L e L S, il vlore del cpitle per lvortore v S, pur espresso in lvoro comndto, dipende di prezzi delle merci. In prticolre, nel modello che stimo considerndo, in cui ssumimo che i slri sino pgti posticiptmente, cioè l termine del processo produttivo, il vlore del cpitle 4 Si noti che questo risultto è vero qulunque si: ) l composizione fisic dell merce slrio; ) il sggio del slrio e c) il sistem dei prezzi reltivi.

10 9 impiegto in un settore è pri l vlore dei mezzi di produzione in esso utilizzti. 5 Pertnto, se p è un vettore (rig) di prezzi in termini di lvoro comndto, ricordndo che nel nostro settore integrto le quntità di merci complessivmente impiegte come mezzi di produzione sono M Q dove M è l mtrice dei coefficienti tecnici unitri e Q è il vettore delle produzione lorde nel SIMS imo che il vlore del cpitle impiegto è: (9) V S = p M Q e quindi il vlore del cpitle per lvortore è: (10) v S = p M Q/L S. In ltri termini, se indichimo con µ x l quntità di merce (X) per unità di lvoro impiegt nel SIMS come mezzo di produzione (con X = A, B,, K) imo µ = [µ, µ,, µ ] = M Q/L S. Così che l (10) può essere riscritt come segue: (10 ) v S = p µ = p x µ x. x= Si vede, quindi, che è necessrio conoscere i prezzi delle merci per poter determinre il vlore del cpitle del lvortore impiegto (nnulmente) nel SIMS. Or, i prezzi delle merci potreero essere determinti, come imo visto nel pr. 3, risolvendo il sistem formto dlle equzioni (1 ) e (2 ). Tuttvi, queste equzioni determinereero, simultnemente i prezzi, nche il sggio del profitto r, il qule pertnto risulteree ncor determinto tr le incognite di un sistem; noi invece stimo cercndo l equzione di sovrppiù, in cui il sggio del profitto è l sol incognit. Per quest rgione, pur prtendo dlle equzioni di prezzo, nel prossimo prgrfo, invece che risolverle, le utilizzeremo per esprimere i prezzi come funzioni del sggio del profitto. 5 Dto che qui dottimo le stesse ipotesi che us Srff nei primi cpitoli di Produzione di Merci, i mezzi di produzione sono ssunti come cpitle intermente circolnte.

11 10 7. L riduzione dei prezzi slri per quntità di lvoro dtte Nel cp. VI di Produzione di Merci, Srff chim riduzione quntità di lvoro distinte per epoc di prestzione l operzione medinte l qule, nelle equzioni di prezzo, i mezzi di produzione vengono sostituiti d un serie di quntità di lvoro impiegte nei periodi precedenti l fine di ottenere quei mezzi di produzione. Così fcendo, mentre le quntità dei mezzi di produzione vengono sostituite dlle quntità di lvoro impiegte in pssto, il loro vlore viene sostituito di slri nticipti in periodi precedenti, moltiplicti per l opportuno fttore di profitto. Ciò, come vedremo tr poco, f scomprire i prezzi dl lto destro delle equzioni, rendendo i vlori delle merci in lvoro comndto dipendenti esclusivmente dlle condizioni tecniche di produzione e sggio del profitto. Inizimo il nostro rgionmento scrivendo le equzioni di prezzo riferite lle produzioni unitrie: (11) p p M p = (p = (p = (p + p + p + p )(1 + r) + l )(1 + r) + l )(1 + r) + l le equzioni del sistem (11) sono le stesse del sistem (2), presentto precedentemente, con due sole differenze: i) entrmi i memri di ciscun equzione sono stti divisi per l produzione lord dell merce cui l equzione si riferisce; ii) imo posto w p λ = 1. Seguendo l procedur di Srff -- che equivle, di ftto, risolvere il sistem (11) -- i prezzi delle merci possono essere espressi come l somm dei slri per il lvoro corrente (per unità di prodotto) più i slri per l serie di impieghi retrodtti di lvoro (sempre per unità di prodotto), opportunmente moltiplicti per un fttore di profitto. In più, chirmente, il vlore dei slri in lvoro comndto coincide con i corrispondenti impieghi di lvoro. Usndo l notzione di Srff, indichimo con l x il coefficiente unitrio di lvoro diretto impiegto nell produzione dell merce (X), per X = A, B,, K, con l x1 il coefficiente di lvoro impiegto il periodo precedente, con l x2 il coefficiente del lvoro retrodtto di 2 periodi, e con l xt il coefficiente del lvoro retrodtto di t periodi. Così fcendo imo che l x + Σ t l xt è l quntità di lvoro direttmente e indirettmente incorport in un unità

12 11 dell merce (X); mentre l x + Σ t l xt (1+r) t è il prezzo di quest merce in lvoro comndto. Questo prezzo, dipendendo or solo d prmetri, cioè di coefficienti tecnici di produzione, e dl sggio del profitto, può essere visto come un funzione p x (r). Quindi: (12) p p M p (r) = l (r) = l (r) = l t t t l l l t t t (1 + r) t (1 + r) t (1 + r) t Se l produzione è non-circolre, ovvero vi è lmeno un merce prodott solo con lvoro cioè senz mezzi di produzione e nessun merce è mezzo di produzione di sé stess, qulunque merce può essere ottenut senz che si stto inizilmente necessrio vere disposizione dei mezzi di produzione, purché l vvio del procedimento si vvenuto un congruo numero di periodi prim. Se invece l produzione è circolre, come è in generle, non srà possiile completre l riduzione con un numero finito di termini di lvoro, m vi srà sempre, come scrive Srff, un residuo di merci. In ltri termini, l vvio dell produzione, seppure retrodtto picere, richiederà sempre, oltre l lvoro, dei mezzi di produzione. In questo cso, l x + Σ t l xt (1+r) t è l somm di infiniti ddendi. Tuttvi, è stto dimostrto sotto l ipotesi che l economi si tecnicmente in grdo di produrre un sovrppiù che tle somm converge d un vlore finito per ogni livello del sggio del profitto r inferiore d un certo mssimo L funzione dei profitti Aimo ppen visto che il prezzo di un qulsisi merce ttrverso l riduzione slri per impieghi di lvoro dtti può essere espresso come un funzione del sggio del 6 Il sistem delle equzioni di prezzo, con i prezzi in termini di lvoro comndto, può essere scritto nell form: p = p M (1+r) + l. D cui segue che: p = l [I - M(1+r)] -1. Sotto lcune condizioni circ le crtteristiche dell mtrice M, si h che: [I - M(1+r)] -1 = I + M(1+r) + [M(1+r)] Di conseguenz: p = l + Σ t l[m(1+r)] t, che è ppunto ciò che imo nell (12).

13 12 profitto. Possimo pertnto incorporre questo risultto nel nostro rgionmento del pr. 6. Riprtimo, in prticolre, dll equzione (10 ), cioè l equzione che definisce il vlore dei mezzi di produzione per lvortore nel SIMS in lvoro comndto. In quest equzione, il prezzo p x può or essere sostituito con l corrispondente funzione: p x (r) = l x + Σ t l xt (1+r) t. Aimo così: (13) v S = p (r µ = x= x ) x = 2 l µ + µ (1 + r) + µ (1 + r) x x l x1 x l x2 x l x= x = x= xt x = µ x (1 + r) t +... = l. t x µ x + l xt µ x ( 1 + r) x= t= 1 x = = Di conseguenz, essendo i prezzi delle funzioni del sggio del profitto r, nche il vlore dei mezzi di produzione v S è or un funzione di r. Disponimo or di tutti gli elementi per scrivere l nostr equzione di sovrppiù. Tuttvi, invece che scrivere l equzione nell form più nturle: r = π S /v S (in cui π S, lo ricordimo, è il profitto per lvortore nel SIMS, ovvero: π S = L/L S 1), è conveniente, per le rgioni che chiriremo tr poco, scriverl nell form π S = f(r), il cui l funzione sul lto destro, che chimeremo funzione dei profitti, è: (14) f(r) = r v S = r x= t l x µ x + l xt µ x (1 + r). t = 1 x= In termini economici, l funzione dei profitti ssoci d ogni livello del sggio del profitto r, l mmontre dei profitti per lvortore necessri (nel SIMS) ffinché si poss remunerre il cpitle impiegto (nel SIMS) quel tsso. Quindi l uguglinz π S = f(r) determin il sggio del profitto che è possiile pgre nel SIMS con un mmontre di profitti per lvortore pri π S. Qunto ll form dell funzione f(r), possimo fre le seguenti osservzioni.

14 13 Osservzione 1: f(r) prte dll origine, cioè f(0) = 0, poiché, nlmente, se il sggio del profitto è 0 non servono profitti per remunerre il cpitle. Osservzione 2: f(r) è monoton crescente. Inftti, come si vede osservndo l equzione (14), il sggio del profitto r compre sempre elevto potenze positive (precismente uguli o mggiori di 1) e moltiplicto per coefficienti non negtivi, visto che l x, l xt e µ x sono quntità sempre non negtive, x = A, B,, K e t = 1, 2,. Osservzione 3: f(r) è convess. Ciò discende dll osservzione 2, notndo che r, nell (14), compre elevto potenze uguli o superiori 1. Osservzione 4: se l produzione è non-circolre, llor f(r) h vlore finito per ogni livello finito di r. Se l produzione è non-circolre, llor il prezzo di qulunque merce può essere completmente ridotto d un numero finito di quntità di lvoro dtte. Ciò f di f(r) un funzione polinomile di grdo T+1, dove T è il numero mssimo di termini di lvoro cui viene ridotto il prezzo delle merci. Osservzione 5: se l produzione è circolre, llor esiste un livello (finito) del sggio del profitto R tle che: f(r) se r R. Quest circostnz verrà dimostrt in mnier intuitiv. Si è detto che se l produzione è circolre, llor lmeno un merce entr direttmente o indirettmente nell produzione di sé stess. Considerimo quindi il cso più semplice, quello di un merce prodott con solo lvoro e sé stess. L equzione di prezzo di quest merce, in lvoro comndto, srà: p x = x x p x (1+r) + l x, che può essere riscritt, con gli opportuni pssggi, come segue: l x /p x = (1 x x x x r). Di conseguenz, qundo r = (1 x x )/x x, nche detto sggio di riproduzione di (X), nnullndosi il memro di destr, deve cdere zero nche il memro di sinistr e quindi si deve vere1/p x = 0. Inftti, 1/p x non è ltro che il sggio del slrio in termini di merce (X) ciò segue dl ftto che p x è il prezzo di (X) in lvoro comndto e pertnto, visto che, con r pri l sggio di riproduzione di (X), l intero prodotto netto di (X) è ssorito di profitti, il vlore del sggio del slrio deve essere zero. Ciò implic che il prezzo in lvoro comndto p x è diventto infinito, e con esso il vlore del cpitle x x p x.

15 14 Pertnto, nel cso dell produzione circolre, qundo r R, il prezzo in lvoro comndto di uno o più mezzi di produzione tende d infinito, rendendo infinito nche v S e, di conseguenz, i profitti che servono per remunerre questo cpitle l sggio R. 9. L equzione di sovrppiù Ricpitolndo, imo prim clcolto il profitto per lvortore nel SIMS in lvoro comndto: π S = (L L S )/L S. Aimo poi costruito l funzione dei profitti π S = f(r), cioè un funzione che ciscun livello del sggio del profitto r ssoci il profitto per lvortore che occorre per remunerre il cpitle impiegto nel SIMS quel sggio. Mettendo insieme questi due elementi simo in grdo di determinre il sggio del profitto ttrverso l equzione: (15) L L S L S = f(r) cioè un equzioni in cui compre un sol incognit: il sggio del profitto. L soluzione dell equzione (15) può essere ricerct nche grficmente. Inftti, in un sistem crtesino con il sggio del profitto r sull sse delle scisse, e il profitto per lvortore π S su quello delle ordinte, possimo rppresentre si l funzione π S = f(r), che il profitto per lvortore π S = (L L S )/L S. Quest ultimo, in prticolre, essendo indipendente d r, vrà l form di un rett orizzontle con intercett con l sse delle ordinte in corrispondenz del vlore (L L S )/L S. Visto che l funzione π S = f(r), come detto, prte dll origine ed h un ndmento monotono crescente, ess intersecherà sicurmente l rett orizzontle π S = (L L S )/L S. Il vlore dell sciss in corrispondenz di quest intersezione srà il sggio del profitto che risolve l (15), ovvero il sggio che può essere pgto con un mmontre di profitti per lvortore pri (L L S )/L S.

16 15 Fig. 1 Rispetto l metodo delle equzioni di prezzo, l equzione di sovrppiù h il vntggio di porre meglio in evidenz l relzione invers che intercorre tr il sggio del profitto ed il sggio del slrio. In prticolre, possimo considerre qui il cso di un diminuzione dicimo di un certo tsso δ, con 0 < δ < 1 dell quntità di merce slrio dt i lvortori per unità di lvoro. In ltri termini, supponimo che or il sggio del slrio si divenuto w, con w = w (1 δ), mentre l composizione fisic dell merce slrio λ = [λ, λ,, λ ] si rimst inltert. Come conseguenz dell riduzione del sggio del slrio in termini fisici, or nche il prodotto netto fisico del SIMS risulterà diminuito. Avremo inftti L w λ = Λ, e quindi Λ = Λ (1 δ). L diminuzione del prodotto netto del SIMS, per vi dell equzione (5), implic che nche il prodotto lordo srà inferiore. Inftti, per l (5): Q = [I M] -1 Λ, e pertnto Q = Q (1 δ). Essendo sceso il livello dell produzione lord, srà diminuito nche l impiego di lvoro nel SIMS. Inftti, L S = l Q e Q = Q (1 δ) implicno L S = L S (1 δ).

17 16 Di contro, il vlore del prodotto netto del SIMS in termini di lvoro comndto non è cmito, visto che il SIMS è costruito in mnier tle che il suo prodotto netto fisico si formto proprio dlle merci che servono per pgre i slri di L lvortori, cioè dell impiego complessivo di lvoro del sistem. Di conseguenz, l diminuzione del sggio del slrio fisico comport un incremento del profitto per lvortore nel SIMS, poiché si h L/L S > L/L S. Quindi, nel nostro grfico, l rett orizzontle che rppresent il profitto per lvortone nel SIMS risulterà trslt verso l lto. L funzione dei profitti, invece, non suisce lcun cmimento come conseguenz dell vrizione del sggio del slrio, purché l composizione fisic dell merce slrio resti invrit. Fig. 2 Inftti, d un lto, essendo rimsto pri 1 il vlore del sggio del slrio cioè il lvoro comndto è ncor l unità di misur del vlore ed essendo rimsti invriti i coefficienti tecnici di produzione, l riduzione dei prezzi slri per quntità di lvoro dtte rppresentt dl vettore di funzioni p(r) è rimst quell determint dl sistem di

18 17 equzioni (12). Dll ltro lto, nche i mezzi di produzione per lvortore µ sono rimsti invriti, poiché M Q /L S = M Q/L S. Se ne conclude che l diminuzione del sggio del slrio fisico prità di merce slrio provoc un innlzmento del profitto per lvortore che gener un umento del sggio del profitto, d r* r (cfr. Fig. 2). Trov quindi ulteriore conferm l relzione invers tr le due vriili distriutive. Se, invece, l vrizione del sggio del slrio non vvenisse prità di composizione fisic dell merce slrio, llor l nlisi diverree ssi più complict. Inftti, innnzitutto, se cmisse l composizione fisic dell merce slrio, i livelli del sggio del slrio prim e dopo il cmimento sreero inconfrontili. In questo cso, w e w sreero due quntità di merci diverse e quindi, nche se w > w, non si potree dire né che il sggio del slrio fisico si umentto, né che si diminuito nel cso contrrio. Fig. 3 Bisogneree gurdre direttmente gli impieghi di lvoro nel SIMS L S e L S, ritenendo che in molti csi L S > L S poss implicre r > r*. M siccome il cmimento dell composizione fisic del prodotto netto del SIMS, implic in generle nche il cmimento

19 18 del vettore dei mezzi di produzione impiegti, l form dell funzione dei profitti non può rimnere inltert. L nuov funzione dei profitti potree intersecre un o più volte quell vecchi e, quindi, nche nel cso in cui L S > L S si potree vere r < r*, come nel cso dell fig. 3. Riferimenti iliogrfici Frtini, S.M. (2014) Surplus, in H.D. Kurz & N. Slvdori (eds) The Elgr Compnion to Dvid Ricrdo, Cheltenhm: Edwrd Elgr. In corso di puliczione. Gregnni (1960) Il Cpitle nelle Teorie dell Distriuzione, Milno: Giuffré. Gregnni, P. (1981) Vlore e Distriuzione in Mrx e negli Economisti Clssici, in Mrx e gli Economisti Clssici, Torino: Einudi. Gregnni, p (1989) Surplus Approch to Distriution, in J. Etwell, M. Milgte & P. Newmn (eds), The New Plgrve. A Dictionry of Politicl Economy, London nd Bsingstoe: Mcmilln. Kurz, H.D. & Slvdori, N. (1995) Theory of Production, Cmridge: Cmridge University Press. Psinetti, L.L. (1981) Lezioni di Teori dell Produzione, Bologn: Il Mulino. Srff, P. (1960) Produzione di Merci Mezzo di Merci, Torino: Einudi. Steedmn, I. (1980) Mrx Dopo Srff, Rom: Editori Riuniti.