LINEAMENTI DI MATEMATICA

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1 N. DODERO - P. BARONCINI - R. MANFREDI MERCURIO Triennio LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio degli istituti tecnici commerciali Programmatori - MERCURIO Finanziaria e attuariale MODULO E

2 P. Baroncini - E. Fabbri - C. Grassi LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio degli istituti tecnici commerciali Programmatori MERCURIO MODULO E Finanziaria e attuariale Ghisetti e Corvi Editori

3 Turbo Pascal è un marchio registrato da Borland International. Lotus 23 è un marchio registrato da Lotus Development. MS-Dos, Excel sono marchi registrati da Microsoft Corporation. Fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 5% di ciascun volume/fasacicolo di periodico dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall art. 68, comma 4, della legge 22 aprile 94 n. 633 ovvero dall accordo stipulato tra SIAE, AIE, SNS e CNA, CONFARTIGIANATO, CASA, CLAAI, CONFCOMMERCIO, CONFESERCENTI il 8 dicembre Le riproduzioni ad uso differente da quello personale potranno avvenire, per un numero di pagine non superiore al 5% del presente volume, solo a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, C.so di Porta Romana, n Milano, segreteria@aidro.org Ristampa riveduta e corretta F Copyright 200 by spa Ghisetti e Corvi EditoriH 2029 Milano, Corso Concordia, 7 Proprietà riservata Fotocomposizione: La Pulce s.n.c., Vigevano (PV) Stampa: Cartolibraria Tiberina s.r.l., Città di Castello (PG), 2007

4 3 Premessa: l EURO, 6. Parte prima: la matematica finanziaria Introduzione, 2. La matematica finanziaria e le operazioni finanziarie, 2. Significato e rappresentazione di un operazione finanziaria, 2. CAPITOLO Capitalizzazione semplice 4 Definizioni, 4. Interesse semplice e montante, 5. Considerazioni e approfondimenti, 5. Rappresentazioni grafiche, 9. Esercitazioni di laboratorio, 24. Esercizi Capitalizzazione semplice, 25. Interesse semplice, 26. Ricerca del capitale, 27. Ricerca del tempo, 28. Ricerca del tasso, 29. Montante a interesse semplice, 29. Ricerca del tempo, 30. Ricerca del capitale, 30. Ricerca del tasso, 3. Interesse anticipato, 32. Variazioni di tasso, 32. Problemi vari, 33. Esercizi di ricapitolazione, 35. CAPITOLO 2 Capitalizzazione composta e frazionata 37 Calcolo del montante e dell interesse composto, 37. Applicazioni della formula, 38. L interpolazione lineare, 40. Montante per tempi non interi, 4. Rappresentazioni grafiche, 42. Risoluzione di problemi inversi, 45. Capitalizzazione frazionata, 5. Tassi equivalenti, 54. Esercitazioni di laboratorio, 57. Esercizi Capitalizzazione composta, 58. Montante a interesse composto, 59. Ricerca del capitale, 6. Ricerca del tempo, 6. Ricerca del tasso, 62. Problemi inversi, 62. Variazioni di tasso, 63. Problemi vari, 63. Esercizi di ricapitolazione sulla capitalizzazione semplice e composta, 66. Capitalizzazione frazionata, 67. Montante in capitalizzazione frazionata, 68. Ricerca del capitale, 70. Ricerca del tempo, 7. Ricerca del tasso, 7. Tassi equivalenti, 72. Esercizi di ricapitolazione sulla capitalizzazione semplice, composta e frazionata, 72. CAPITOLO 3 Sconto e valore attuale 75 Definizione e leggi di sconto, 75. Sconto commerciale, 76. Sconto razionale, 78. Sconto composto, 80. Osservazioni, 82. Esercitazioni di laboratorio, 86. Esercizi Sconto e valore attuale, 87. Sconto commerciale, 88. Sconto razionale, 89. Sconto composto, 90. Confronto fra sconti, 9. Problemi vari, 92. Esercizi di ricapitolazione, 94. Indice CAPITOLO 4 Equivalenza finanziaria e operazioni composte 98 Scindibilità, 98. Somme equivalenti disponibili in tempi diversi, 0. Unificazione di più crediti, 02. Riduzione di più crediti a una data scadenza, 02. Determinazione della scadenza comune, 03. Sostituzione di più pagamenti, 04. Tasso medio di più impieghi, 06. Esercizi Scindibilità, 07. Unificazione di più crediti, 07. Riduzione di più capitali a una stessa scadenza, 07. Determinazione della scadenza comune, 08. Sostituzione di più pagamenti, 08. Tasso medio di più impieghi, 09. Esercizi di ricapitolazione, 0. CAPITOLO 5 Rendite in generale 2 Concetto di rendita, 2. Valore di una rendita, 2. Casi notevoli di rendite e loro classificazione, 4. Esercizi Rendite in generale, 8.

5 4 CAPITOLO 6 Rendite a rata costante annue e frazionate 20 Montante all atto dell ultimo versamento (rendita posticipata), 20. Montante calcolato un anno dopo l ultimo versamento (rendita anticipata), 22. Montante calcolato k anni dopo l ultimo versamento, 24. Valore attuale di rendita immediata posticipata, 25. Valore attuale di rendita immediata anticipata, 27. Valore attuale di rendita differita, 28. Valore attuale di rendita perpetua, 30. Simboli, 32. Scomposizione di rendite, 34. Rendite frazionate, 35. Esercizi Ricerca del montante, 37. Ricerca del valore attuale, 40. Ricerca del valore attuale di rendite annue differite, 4. Rendite annue perpetue, 42.Verificare le uguaglianze, 43. Esercizi di ricapitolazione sul calcolo del montante e del valore attuale di rendite annue a rata costante, 43. Rendite frazionate: calcolo del montante e del valore attuale, 45. CAPITOLO 7 Problemi inversi sulle rendite 50 Ricerca della rata, 50. Ricerca della durata, 5. Ricerca del tasso, 53. Applicazioni, 55. Esercizi Ricerca della rata, 62. Ricerca del tasso, 64. Ricerca della durata, 66. Esercizi di ricapitolazione sulle rendite, 67. CAPITOLO 8 Laboratorio di informatica 73 Uso del foglio elettronico per la costruzione di tabelle, 73. Rappresentazioni grafiche col foglio elettronico, 74. Ricerca obiettivo, 76. CAPITOLO 9 Costituzione di un capitale 79 Costituzione con un unico versamento, 79. Costituzione a rate costanti, 80. Piano di costituzione, 8. Fondo costituito, 82. Ricerca del numero delle rate di costituzione, 85. Esercitazioni di laboratorio, 90. Esercizi Costituzione di un capitale, 92. Variazioni al piano di costituzione, 94. Ricerca del numero delle rate, 95. Esercizi di ricapitolazione, 96. CAPITOLO 0 Rimborso di un prestito 98 Indice Rimborso globale, 98. Rimborso globale con pagamento periodico degli interessi, 99. Ammortamento americano, 99. Rimborsi graduali, 200. Ammortamento uniforme o a quote capitali costanti, 202. Caratteristiche, 202. Piano di ammortamento, 202. Formule per gli elementi del piano, 203. Rappresentazione grafica delle rate dell ammortamento uniforme e complementi, 204. Ammortamento progressivo o francese, 206. Caratteristiche, 206. Piano di ammortamento e rappresentazione grafica delle rate, 207. Proprietà delle quote capitale, 208. Formule per gli elementi del piano, 208. Osservazioni, 2. Esercitazioni di laboratorio, 26. Esercizi Rimborso di un prestito, 22. Rimborso globale di un prestito, 222. Ammortamento americano, 222. Rimborso graduale, 224. Ammortamento uniforme, 224. Ammortamento progressivo, 226. Variazioni al piano d ammortamento, 227. Ricerca del numero delle rate d ammortamento, 228. Ammortamento frazionato, 229. Ammortamento differito, 230. Esercizi di ricapitolazione, 230. CAPITOLO Valutazione di un prestito 233 Valutazione di un prestito con rimborso globale e pagamento periodico degli interessi, 234. Valutazione di un prestito con rimborso graduale, 235. Valutazione di un prestito con ammortamento uniforme, 236. Valutazione di un prestito con ammortamento progressivo, 237. Ricerca del tasso di valutazione, 238. Osservazioni, 240. Il leasing, 24. I prestiti divisi: le obbligazioni, 243. Rimborso globale, 244. Rimborso progressivo, 247. Esercitazioni di laboratorio, 249.

6 5 Esercizi Valutazione di un prestito, 253. Ricerca del tasso di valutazione, 256. Leasing, 257. Obbligazioni, 260. Esercizi di ricapitolazione su costituzioni, ammortamenti e valutazioni, 26. Parte seconda: la matematica attuariale Introduzione, 266. Operazioni finanziarie certe e aleatorie, 266. CAPITOLO 2 Assicurazioni in generale 267 Definizione, 267. Significato dell assicurazione danni, 267. Significato dell assicurazione sulla vita, 268. Soggetti, 268. Compagnie di Assicurazioni e Mutue Assicuratrici, 268. Polizza e premio, 269. Assicurazioni sulla vita, 270. Tipi di contratto, 270. Significato economico e importanza dell assicurazione sulla vita, 270. Evoluzione delle assicurazioni sulla vita nell ultimo decennio, 27. Unit Linked, 272. Index Linked, 272. Basi tecniche, 272. Tavole di mortalità o di sopravvivenza, 273. Esercizi Assicurazioni in generale, 275. CAPITOLO 3 Premi unici puri delle varie assicurazioni 276 Assicurazione di capitale differito, 276. Definizione e significato, 276. Determinazione del premio unico puro, 276. Assicurazione di rendita vitalizia, 278. Definizione e classificazione, 278. Rendite vitalizie immediate illimitate, 279. Rendite vitalizie differite illimitate, 28. Rendite vitalizie limitate o temporanee, 282. Calcolo dei premi unici puri delle rendite vitalizie, 285. Assicurazioni in caso di morte, 285. Definizione e classificazione, 285. Assicurazione elementare di morte, 286. Assicurazione di morte vita intera, 287. Assicurazione temporanea di morte, 288. Assicurazione di morte differita, 290. Pagamento all atto della morte, 29. Assicurazioni miste, 293. Assicurazione mista ordinaria o semplice, 293. Assicurazione mista doppia, 294. Assicurazione mista a capitale raddoppiato, 295. Esercizi Assicurazione di capitale differito, 297. Assicurazione di rendita vitalizia, 300. Rendite vitalizie immediate illimitate, 300. Rendite vitalizie differite illimitate, 30. Rendite vitalizie temporanee, 303. Assicurazione in caso di morte, 305. Assicurazione elementare di morte - pagamento alla fine dell anno della morte, 305. Pagamento all atto della morte, 305. Assicurazione di morte vita intera, 305. Assicurazione temporanea di morte, 307. Assicurazione di morte differita, 308. Assicurazioni miste, 30. Esercizi di ricapitolazione, 32. CAPITOLO 4 Premi periodici, caricamento e controassicurazioni 36 Premio periodico, 36. Determinazione del premio periodico, 36. Considerazioni sui vari contratti, 37. Caricamento dei premi, 322. Modalità del caricamento, 322. Caricamento del premio unico, 323. Caricamento del premio annuo, 323. Controassicurazioni, 323. Assicurazione temporanea di morte con controassicurazione, 324. Assicurazione di capitale differito con controassicurazione, 326. Indice Esercizi Premi periodici, 328. CAPITOLO 5 Complementi 33 Costruzione delle tavole di sopravvivenza, 33. Calcolo dei tassi annui di mortalità, 33. Perequazione delle tavole, 33. Calcolo dei tassi annui di sopravvivenza, 332. Calcolo di l x e d x, 332. Età estrema, 333. Vita media, 333. Calcolo delle probabilità di sopravvivenza e di morte, 334. Probabilità di vita e di morte riferita a due persone, 336. Calcolo del premio unico di alcune assicurazioni, 337. Assicurazione di capitale differito, 337. Fattore attuariale di sconto e di montante, 337. Assicurazione elementare di morte, 338. Morte vita intera, 338. Esercizi Verificare le uguaglianze, 340. Probabilità di vita e di morte, 340. Formulario 343

7 6 E L EURO Euro L introduzione della moneta unica, l Euro, è una importante tappa di un percorso iniziato quando, alla fine degli anni 50, alcuni Paesi posero le fondamenta per un Europa basata sulla cooperazione. Nel 57, Italia, Francia, Germania e Benelux firmarono i trattati di Roma che diedero vita alla Comunità Economica Europea. L Unione Monetaria Europea è l ultima fase del processo d integrazione economica avviato con il Mercato Comune Europeo. L Unione porta a completamento la liberalizzazione degli scambi di merci e servizi e dei trasferimenti di capitali fra gli Stati membri. Un obiettivo primario dell Unione Europea è stato la realizzazione di un polo economico, politico e monetario che, grazie alla sostituzione delle valute nazionali dei Paesi membri con la nuova moneta, possa avere un ruolo mondiale accanto a Stati Uniti e Giappone. Il processo d integrazione iniziò con la creazione di tre comunità europee: Comunità Europea del Carbone e dell Acciaio, Comunità Europea dell Energia Atomica e Comunità Economica Europea. Inizialmente il processo fu condizionato da atteggiamenti cauti degli Stati membri che tendevano a privilegiare gli interessi nazionali a scapito di quelli comunitari. Col passare degli anni anche i Paesi che non avevano aderito alle Comunità si sono avvicinati a questo progetto. Una svolta decisiva è avvenuta nell 86, quando gli Stati membri della CEE sottoscrissero l Atto Unico. Il nuovo trattato entrò in vigore nell 87 e fissò, al 3/2/92, la data entro cui completare lo spazio europeo senza frontiere, spazio nel quale i cittadini possono spostarsi, lavorare, investire capitali in libertà. Altra data importante è il 7/2/92; in Olanda, a Maastricht, i Capi di Stato e di Governo della Comunità firmarono il trattato sull Unione Europea, fondato sui seguenti principi: * Unione politica: attuare una politica estera e di sicurezza comune. * Unione Economica e Monetaria: creare un mercato che garantisca stabilità monetaria e finanziaria, migliorare le condizioni di concorrenza per le imprese, favorire la crescita economica e l occupazione. Questa unione economica monetaria è stata divisa in tre fasi: a fase: luglio-dicembre 93 libera circolazione dei capitali tra i Paesi membri. 2 a fase: iniziata nel gennaio 94 creazione dell Istituto Monetario Europeo, primo nucleo della futura Banca Centrale Europea e del Sistema Europeo di Banche Centrali. 3 a fase: gennaio 99 introduzione della moneta unica europea. Il trattato di Maastricht ha imposto ai Paesi dei criteri di convergenza preventiva delle economie degli Stati membri in termini di: * Stabilità dei prezzi. Il tasso d inflazione non deve superare di oltre l,5% la media dei tre Stati membri che hanno registrato l inflazione più bassa, in riferimento all anno precedente a quello in esame.

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9 8 * Stabilità dei cambi e delle valute. Il Paese candidato non deve aver svalutato, di sua iniziativa, la propria moneta nei confronti di altre monete del Sistema Monetario Europeo (SME nato nel marzo 79), in riferimento ai due anni precedenti a quello in esame. * Convergenza dei tassi d interesse. Il tasso medio d interesse a lungo termine non deve superare di oltre il 2% la media dei tassi d interesse dei tre Stati membri che hanno registrato i migliori risultati riguardo all inflazione, in riferimento all anno precedente a quello in esame. * Sostenibilità della finanza pubblica. A) Il rapporto tra disavanzo pubblico e Prodotto Interno Lordo non deve superare il 3% del P.I.L. stesso. B) Il rapporto tra debito pubblico e P.I.L. non deve superare il 60% del P.I.L., in riferimento all anno precedente a quello in esame. Alcuni requisiti minimi hanno permesso di valutare il grado di convergenza dei Paesi candidati all entrata nell Unione Monetaria Europea. Così, dal gennaio 99, i Paesi che hanno adottato l Euro sono stati Austria, Belgio, Finlandia, Francia, Germania, Irlanda, Italia, Lussemburgo, Paesi Bassi, Portogallo e Spagna. Sono rimasti per ora esterni all area dell Euro, pur essendo membri dell Unione Europea, Danimarca, Grecia, Regno Unito e Svezia. Il trattato impone agli Stati membri dell Unione Monetaria l obbligo, anche per i prossimi anni, di evitare disavanzi eccessivi nel settore pubblico. È stato per questo siglato il Patto di Stabilità, che consiste in una serie di regole per rafforzare la disciplina di bilancio dei Paesi e per istituire meccanismi adeguati di vigilanza e monitoraggio delle situazioni a rischio. Sulla base del Patto, i Paesi già membri dovranno presentare programmi periodici di stabilità e gli altri Paesi dovranno presentare programmi di convergenza fino a quando entreranno a pieno titolo. Euro La nascita dell Euro è un evento di portata storica che ha interessato 370 milioni di cittadini europei. Il programma d introduzione dell Euro è stato diviso in tre fasi: Fase A: fino al 3 dicembre 998. Si sono conclusi i preparativi istituzionali necessari all introduzione dell Euro. Nel maggio 98 sono stati valutati i risultati ottenuti dai singoli Paesi dell Unione che hanno aderito al Trattato di Maastricht e il 3/2/98 è stato irrevocabilmente fissato il tasso di conversione tra le monete dei Paesi ammessi e l Euro. Il nostro tasso di conversione è stato così fissato: :936; 27 ¼ E. Fase B: dal gennaio 999 al 3 dicembre 200. FASE TRANSITORIA. L Euro c è ma non sono ancora in circolazione le banconote e le monete. L Euro esiste solo come moneta scritturale, ossia utilizzabile nelle operazioni che non prevedono l uso di contanti, come assegni, bonifici bancari, pagamenti con carte di credito, mentre le monete nazionali continuano a essere utilizzate. In questo periodo non ci sono vincoli né obblighi e si possono usare liberamente oe a seconda dei casi e delle esigenze.

10 9 Fase C: dal gennaio Entreranno in circolazione monete e banconote euro, mentre le lire verranno ritirate dalla circolazione. Fino al luglio 2002 si potranno utilizzare indifferentemente o E, ma da questa data in poi le lire perderanno il loro corso legale e potranno essere cambiate solo presso la Banca d Italia. Riguardo alla regola di conversione, ricordiamo che il tasso.936,27 = E non può mai esser troncato o arrotondato. La conversione si esegue dividendo l importo in lire per il tasso di conversione, per esempio :000:000 : :936; 27 ¼ E 56; 46: Dopo la conversione, gli importi in euro dovranno essere arrotondati alla seconda cifra decimale. L arrotondamento si esegue per eccesso se la terza cifra decimale è uguale o maggiore di 5, per difetto se è minore di 5. Esempio E 67; 25 ¼ E 67; 22 E 59; 424 ¼ E 59; 42: Vediamo ora le principali questioni legate alla fase transitoria. Dal //999 tutti i nuovi titoli di Stato (BOT, CCT, BTP, CTZ, ecc.) sono emessi in euro, ma in quella data sono anche stati convertiti in euro tutti quelli emessi in precedenza. Per i buoni postali fruttiferi, invece, la conversione avverrà solo il //2002. Nella fase transitoria, le obbligazioni possono esser emesse sia in euro sia in lire e sono gli Enti emittenti a stabilire se convertire in euro i prestiti ancora in circolazione; tuttavia dal //2002 tutte le obbligazioni saranno emesse in euro e per quelle ancora in circolazione espresse in lire, il pagamento delle cedole e il rimborso del capitale avverrà in euro. Riguardo alle società quotate in borsa, esse possono conservare il loro capitale sociale in lire fino al 3/2/200 e mantenere le proprie azioni denominate in lire, ma la negoziazione e il regolamento delle operazioni concluse sul mercato telematico di Borsa avviene in euro. Dal //2002 i capitali sociali delle aziende saranno convertiti in euro e conseguentemente le azioni. Per le assicurazioni non sono state necessarie modifiche alle condizioni delle polizze in essere. Il valore dei premi e delle prestazioni garantite si converte in euro al tasso di conversione fissato. Dal //2002 tutti i nuovi contratti saranno basati su importi espressi in euro e i valori di quelli già esistenti convertiti. Infine per prestiti e mutui non avvengono variazioni, come non variano i tassi stabiliti nei contratti o i valori delle garanzie. Dal //2002 tutte le forme di finanziamento saranno automaticamente convertite in euro. Come detto, le banconote e le monete in euro circoleranno solo dal //2002. Le banconote saranno emesse in 7 tagli di colori e formati differenti. I soggetti raffigurati sulle banconote si ispirano all arte: 5 E arte classica, 0 E arte romanica, 20 E arte gotica, 50 E arte rinascimentale, 00 E arte barocca e rococò, 200 E architettura del ferro e del vetro, 500 E architettura moderna del XX secolo. Euro Le monete saranno coniate in 8 tagli: eurocent, 2 eurocent, 5 eurocent, 0 eurocent, 20 eurocent, 50 eurocent, euro e 2 euro.

11 0 La faccia anteriore delle monete sarà uguale per tutti gli Stati che adotteranno l Euro, mentre la faccia posteriore avrà soggetti diversi a seconda del Paese di emissione. Per l Italia i soggetti saranno: eurocent Castel del Monte, 2 eurocent La Mole Antonelliana, 5 eurocent Il Colosseo, 0 eurocent La Venere di Botticelli, 20 eurocent L opera Forme uniche nella continuità dello spazio di Boccioni, 50 eurocent Il Marcaurelio, euro L uomo Vitruviano di Leonardo da Vinci, 2 euro Dante Alighieri. Euro

12 Parte prima: la matematica finanziaria

13 2 Introduzione Introduzione La matematica finanziaria e le operazioni finanziarie La matematica finanziaria si occupa dello studio delle operazioni finanziarie. In generale si definisce operazione finanziaria qualunque operazione che dia origine allo scambio fra prestazioni, cioè fra somme di denaro, o capitali, riferite a epoche diverse. Così, per esempio, operazione finanziaria è quella che prevede lo scambio di E al 5/4/2000 con E al 0/0/2002, cioè un operazione in cui si considerano degli interessi maturati su un certo capitale. Operazioni finanziarie in senso stretto sono, infatti, quelle connesse a tipiche operazioni di credito, come per esempio le operazioni di mutuo, le operazioni di sconto, le operazioni di deposito c/c, di deposito a risparmio, eccetera. Rientrano nelle operazioni finanziarie anche tutte le altre operazioni che, pur non essendo connesse al credito in senso stretto, tuttavia realizzano uno scambio fra prestazioni riferite a epoche diverse. Sono tali, per esempio, l acquisto di un terreno che viene successivamente rivenduto, l acquisto di un obbligazione che fornisce un reddito periodico e un ricavo all atto del rimborso, l acquisto di una partita di merce che viene successivamente rivenduta, l acquisto di un bene strumentale in leasing. In ogni caso, per qualsiasi operazione finanziaria, il problema che sorge è fondamentalmente quello relativo alla determinazione della redditività (onerosità) dell operazione stessa. Questo significa che, considerando per esempio l acquisto o la vendita o il reddito derivante da una casa o da un terreno, non è il bene in sé che interessa, bensì il suo valore monetario all epoca dell operazione. Le operazioni finanziarie possono essere semplici o complesse. Operazioni finanziarie semplici sono quelle che danno origine allo scambio fra due sole prestazioni. Ad esempio, un operazione finanziaria semplice è quella che prevede lo scambio fra la somma C oggi (tempo 0) e la somma M, generalmente maggiore di C, al tempo t, successivo a oggi. Oppure è un operazione finanziaria semplice quella che prevede il rimborso di un prestito A a una scadenza convenuta. Operazioni finanziarie complesse sono quelle che danno origine allo scambio fra più prestazioni. Ad esempio, un operazione finanziaria complessa è quella che prevede lo scambio fra le somme R al tempo, t, R 2 al tempo t 2, R 3 al tempo t 3 e la somma S al tempo t, successivo, precedente o intermedio agli altri. È un operazione finanziaria complessa anche quella che prevede al tempo t il ritiro da una banca di un montante M formato da più versamenti successivi C ; C 2 ; ::::C n. Significato e rappresentazione di un operazione finanziaria 2 È opportuno porre in evidenza il significato economico che può essere attribuito alle prestazioni che caratterizzano una certa operazione finanziaria. In generale alcune prestazioni si pongono come pagamenti (costi), mentre altre prestazioni si pongono come incassi (ricavi). Poiché un operazione finanziaria realizza sempre uno scambio, in essa intervengono due parti, cioè due persone, che possiamo, per semplicità, chiamare A e B. Allora, se A presta oggi una somma C a B, e riceve in cambio la somma M al tempo t, per A la somma C rappresenta un costo, quindi attribuiamo a C il segno negativo, mentre M rappresenta un incasso, quindi attribuiamo a M il segno positivo. Possiamo rappresentare in modo schematico tali operazioni finanziarie ricorrendo a un asse dei tempi.

14 3 Ragionando nei confronti di A l operazione viene rappresentata come mostra il diagramma della figura seguente: 0 t C + M Naturalmente, ragionando nei confronti di B, la rappresentazione schematica dell operazione considerata viene effettuata come mostra il diagramma seguente: 0 t + C M Tutte le operazioni finanziarie, anche quelle complesse, possono essere rappresentate ricorrendo all asse dei tempi. Per esempio, se consideriamo l operazione finanziaria complessa così definita: 9 R al tempo t >= R 2 al tempo t 2 costi dell operazione >; R 3 al tempo t 3 S al tempo t 5 ricavo dell operazione la relativa rappresentazione sull asse dei tempi sarà la seguente: 0 t t 2 t 3 t 4 t 5 R R 2 R 3 + S L uso della rappresentazione schematica delle operazioni finanziarie si manifesta particolarmente utile nella risoluzione di taluni problemi. Introduzione

15 4 Capitalizzazione semplice Definizioni Interesse semplice e montante Esercitazioni di laboratorio TEORIA Capitalizzazione semplice Definizioni Il contratto di prestito o di mutuo è quell operazione finanziaria che si determina ogni qual volta persone o imprese, avendo bisogno di denaro, trovano qualcuno disposto a prestare loro, per un certo periodo di tempo, quella somma. I soggetti dei contratti sono il mutuante o creditore, che dà in prestito il denaro e il mutuatario o debitore, che riceve in prestito il denaro. Si definisce capitale C la somma prestata e si definisce interesse I il compenso che il mutuante richiede per l operazione di prestito. È detto montante M la somma del capitale e dell interesse, quindi per definizione si ha M ¼ C þ I () Il montante è l importo che il debitore restituisce al creditore al termine dell operazione. Quando si stipula un contratto di prestito si stabilisce, oltre al capitale C e alla durata t del prestito, l interesse che il debitore corrisponde per ogni unità di capitale e per ogni unità di tempo. Per determinare l interesse I si usa il tasso d interesse i, che corrisponde all interesse per ogni unità di capitale e per ogni unità di tempo. Per esempio, al tasso i ¼ 5% annuo corrisponde, in un anno, un interesse di E 0,05 per ogni euro prestato. Si possono utilizzare anche tassi d interesse riferiti ad altre unità di tempo, come tassi semestrali, trimestrali, ecc. o biennali, triennali, ecc. In seguito ci riferiremo a tassi annui, salvo diversa indicazione. I procedimenti per il calcolo del montante costituiscono i regimi d interesse e i più importanti sono:. il regime dell interesse semplice; 2. il regime dell interesse composto.

16 5 Interesse semplice e montante 2 Si parla di prestito a interesse semplice quando l interesse è proporzionale al capitale e al tempo. Posto i il tasso annuo unitario, t il tempo d impiego, l interesse semplice ha come formula I ¼ C i t (2) Questa formula vale anche quando il tasso non è annuo; in questo caso è necessario esprimere t nella stessa unità di tempo cui è riferito il tasso; per esempio, se il tasso è quadrimestrale, il tempo deve esser espresso in quadrimestri. La (2) consente anche la risoluzione di problemi inversi, quali la ricerca del tempo o del tasso o del capitale, noti gli altri elementi. Lasciamo allo studente l eventuale ricerca delle formule inverse, ricordando che è possibile impostare ogni volta l equazione (2) e poi risolverla rispetto all incognita da determinare. Per ottenere il montante, che è la somma da corrispondere alla scadenza, si somma l interesse al capitale, quindi M ¼ C þ I ¼ C þ Cit ¼ Cð þ itþ: La legge della capitalizzazione a interesse semplice è perciò M ¼ Cð þ itþ (3) Il montante a interesse semplice si ottiene moltiplicando il capitale C per il fattore ð þ itþ. Questo binomio si dice fattore di montante a interesse semplice ed è il montante di E al tasso i per il tempo t. Infatti, posto C ¼ nella (3), si ha M ¼ þ it. Il fattore ð þ itþ è un operatore che trasla in avanti il capitale nel tempo (fig. ). Considerazioni e approfondimenti maturano gli interessi 0 t M=+ I =(+ it) Figura 3 Il regime dell interesse semplice si applica generalmente nei prestiti con scadenze inferiori a un anno e con pagamento posticipato dell interesse; quindi alla scadenza del prestito si restituiscono il capitale mutuato C e l interesse maturato I. A volte si può considerare il pagamento anticipato dell interesse, come nei prestiti bancari; in questo caso l interesse viene pagato all atto della stipulazione del prestito. Quindi, stipulato il contratto di prestito di importo C, l interesse I ¼ Cit viene subito trattenuto dal creditore che così presta la somma C I e, alla scadenza, il debitore restituirà la somma C. Schematizzando si ha (fig. 2) Capitalizzazione semplice TEORIA creditore debitore cede C I 0 riceve C I incassa C t restituisce C t Figura 2 Nei prestiti di lunga durata si può considerare l interesse semplice pagato periodicamente (annualmente o semestralmente) posticipatamente o anticipatamente.

17 6 Prestito di un capitale C con pagamento annuo posticipato degli interessi. Ogni anno, a partire dal prossimo, il debitore paga l interesse I ¼ Ci ¼ Ci; e all ultima scadenza pagherà il capitale C e l ultimo interesse I; schematizzando (fig. 3) creditore debitore cede C 0 riceve C riceve Ci paga Ci riceve Ci 2 paga Ci riceve Ci 3 paga Ci riceve C+ Ci n paga C+ Ci t Figura 3 Prestito di un capitale C con pagamento annuo anticipato degli interessi. Il primo interesse I ¼ Ci è trattenuto oggi dal creditore che presterà C Ci ¼ Cð iþ; in seguito il debitore, ogni anno, pagherà l interesse I ¼ Ci (per l anno seguente) e, all ultima scadenza, verserà il capitale C (fig. 4) TEORIA Capitalizzazione semplice creditore debitore cede C Ci 0 riceve C Ci riceve Ci paga Ci riceve Ci 2 paga Ci riceve Ci 3 paga Ci riceve C n paga C t Figura 4 Accade spesso che la durata t di un prestito sia frazionata; per esempio si può impiegare un capitale per 2 giorni oppure per 7 mesi oppure per anno, 5 mesi e 4 giorni. In questi casi si considera la durata t come somma di tre addendi:. il numero intero di anni n, 2. la frazione d anno corrispondente al numero di mesi m, 3. la frazione d anno corrispondente al numero di giorni g. Quindi si ha t ¼ n þ m 2 þ g 360 : Riguardo alla frazione d anno corrispondente al numero di giorni ricordiamo che si adotta convenzionalmente l anno commerciale di 360 giorni. 4 Risolviamo alcuni problemi. Calcolo dell interesse semplice con tasso annuo. Determinare l interesse di: a) E.400 al 4,25% per 4 anni; b) E 750 all 8% per 9 mesi; c) E 275 al 7,2% per 25 giorni. a) SihaC ¼ :400; t ¼ 4; i ¼ 0; 0425; questi dati vengono sostituiti nella (2) I ¼ :400 0; ¼ 238: b) La frazione d anno corrispondente a 9 mesi è t ¼ 9 2 ; quindi I ¼ 750 0; ¼ 45:

18 7 c) Utilizzando l anno commerciale (di 360 giorni), si ha quindi t ¼ ; I ¼ 275 0; ¼ 6; 88: 2 Calcolo dell interesse semplice con tasso non annuo. Determinare l interesse di: a) E.250 al 2% quadrimestrale per 5 anni; b) E 950 al 6% semestrale per 3 anni e 7 mesi. a) Il periodo di 5 anni corrisponde a 5 quadrimestri (essendo presenti in un anno 3 quadrimestri), quindi ponendo t ¼ 5, si ha I ¼ :250 0; 02 5 ¼ 375: b) La durata dell operazione è costituita da 3 anni, corrispondenti a 6 semestri, e 7 mesi, corrispondenti a un semestre e un mese; perciò si ha quindi t ¼ 7 þ 6 ¼ 43 6 ; I ¼ 950 0; ¼ 408; 50: 3 Ricerca del capitale noto l interesse. È stato prestato un certo capitale per 4 mesi al 6%; l interesse maturato è di E 2,50. Qual è la somma prestata? Sostituendo nella (2) i dati, si ottiene l equazione 2; 50 ¼ C 0; 06 La somma prestata è di E ! 2; 50 ¼ C 0; 02! C ¼ 2; 50 0; 02 ¼ 625: 4 Ricerca del tempo noto l interesse. Ho prestato E al 2%. Dopo quanto tempo realizzo un interesse di E 50? L equazione è ¼ 2:000 0; 2 t! t ¼ 2:000 0; 2 ¼ 50 ¼ 0; 625 anni: 240 La parte intera di t corrisponde al numero intero di anni della durata, in questo caso 0 anni, e la parte decimale di t corrisponde alla frazione d anno della durata, da trasformare in giorni mediante la proporzione 0; 625 : ¼ t : 360: Capitalizzazione semplice TEORIA Avremo anni 0; 625 ¼ giorni 360 0; 625 ¼ giorni 225: (*) (*) La riduzione del tempo da anni in giorni e viceversa si può eseguire con le Tavole di conversione che presentano in prima colonna i numeri di giorni (da a 360 o 365) e nella seconda il corrispondente numero decimale in anni. Si veda, per esempio, nel Prontuario per calcoli finanziari e attuariali di L. Brasca, Ghisetti e Corvi Editori, Milano.

19 8 5 Ricerca del tasso noto l interesse. Ho ricevuto in prestito E 400 per 0 mesi convenendo un interesse di E 22,50. Quale tasso è stato applicato? Applicando la (2), si ha 22; 50 ¼ 400 i 0 2 Il tasso è del 6,75%.! 22; 50 ¼ i 4:000 2! i ¼ 22; 5 2 4:000 ¼ 0; 0675: TEORIA Capitalizzazione semplice 6 Ricerca del montante. Determinare il montante a interesse semplice di: a) E 500 impiegate al 5% per 3 anni; b) E.750 impiegate al 7,2% per 6 mesi. a) Si può determinare il montante con la (3) M ¼ 500 ð þ 0; 05 3Þ ¼575; oppure si può determinare prima l interesse con la (2) e poi il montante con la () I ¼ 500 0; 05 3 ¼ 75; M ¼ 500 þ 75 ¼ 575: b) Sostituendo i dati nella (3) M ¼ :750 þ 0; ¼ :750 ; 096 ¼ :98: 2 7 Ricerca del capitale dato il montante. Quale capitale impiegato al 4,5% per 2 anni dà un montante di E.090? Si ha, sostituendo i dati nella (3), :090 ¼ C ð þ 0; 045 2Þ! :090 ¼ C ; 09! C ¼ :090 ; 09 ¼ :000: Il capitale è di E Ricerca del tasso noto il montante. Sono stati impiegati E.000 per 3 anni e si è ritirato un montante di E.95. A quale tasso è stato impiegato il capitale? L interesse maturato è di E 95, quindi dalla (2) si ha 95 ¼ :000 i 3! 95 ¼ 3:000 i! i ¼ 95 ¼ 0; 065: 3:000 Il capitale viene impiegato al 6,5%. 9 Interessi anticipati. Acquisto un BOT (Buono Ordinario del Tesoro) con valore nominale di E con scadenza semestrale, al 3,75%. Quanto pago oggi?

20 9 L interesse globale anticipato è I ¼ 2:500 0; ¼ 46; 88; perciò io oggi pago C I ¼ E 2:500 E 46,88 = E 2.453,2 e, alla scadenza, mi rimborseranno E Interessi periodici. Ho contratto 5 anni fa un mutuo di E al 7%, con rimborso del capitale oggi e pagamento semestrale degli interessi. Determinare l importo dei pagamenti in caso: a) di interessi posticipati; b) di interessi anticipati. a) Con interessi posticipati, ho ricevuto inizialmente E e ho pagato: alla fine di ogni semestre l interesse I ¼ 5:000 0; 07 2 ¼ 75; alla scadenza dell operazione di mutuo, il capitale di E con l ultimo interesse. b) Con interessi anticipati, ho ricevuto inizialmente C I ¼ E 5:000 E 75 ¼ E e ho pagato: alla fine di ogni semestre I ¼ E 75, alla scadenza dell operazione, il capitale di E Rappresentazioni grafiche 5 Le relazioni I ¼ Cit (2) e M ¼ Cð þ itþ (3) possono essere rappresentate graficamente; infatti, se attribuiamo a i e C valori fissati, l interesse e il montante dipendono dalla durata t dell operazione; più precisamente sono funzioni lineari del tempo t. Tracciamo i grafici di queste funzioni supponendo, per comodità, che il capitale sia unitario, C ¼. In un sistema d assi coordinati (considereremo solamente il º quadrante perché interessano i valori positivi delle variabili) indichiamo sull asse delle ascisse i valori del tempo e sull asse delle ordinate i valori dell interesse I o del montante M. La funzione di primo grado I ¼ it è rappresentata da una retta passante per l origine Oð0 ; 0Þ edi coefficiente angolare i (fig. 5). Al variare del tasso i, cambia la pendenza della semiretta (se il tasso aumenta, maggiore diviene l angolo che la semiretta forma con il semiasse positivo del tempo) (fig. 6). I I = it 0,5 I I = 0,25t I = 0,20t I = 0,5t Capitalizzazione semplice TEORIA 0,2 I = 0,0t 0, O(0; 0) t O(0; 0) 2 3 t Figura 5 Figura 6

21 20 La funzione di primo grado M ¼ þ it è rappresentata da una retta passante per il punto Að0 ; Þ (fig. 7). Questa semiretta risulta parallela alla precedente, I ¼ it, poiché il loro coefficiente angolare è sempre il tasso i (fig. 8). M I M =+ it M M=+ it I = it A(0; ) A(0; ) O(0; 0) t O(0; 0) t Figura 7 Figura 8 TEORIA Capitalizzazione semplice 6 Spesso il tasso d interesse viene modificato durante l operazione di prestito. Ogni volta che la Banca d Italia modifica il tasso, viene variato anche quello del prestito. In tal caso bisogna determinare gli interessi ai diversi tassi per i differenti periodi e poi sommarli. Il signor Rossi ha preso in prestito E al tasso del 5%. Dopo 3 mesi il tasso viene portato al 20% e dopo altri 5 mesi al 8%. Qual è il montante dovuto dal signor Rossi alla fine dell anno? Sommiamo al capitale i tre interessi: Capitale ¼ E I Interesse al 5% per 3 mesi ¼ 3:000 0; 5 3=2 ¼ E 2,50 I 2 Interesse al 20% per 5 mesi ¼ 3:000 0; 20 5=2 ¼ E 250 I 3 Interesse al 8% per 4 mesi ¼ 3:000 0; 8 4=2 ¼ E 80 Montante finale ¼ E 3.542,50 Schematizzando si ha 0 3 mesi 8 mesi 2 mesi C = Il montante dovuto, alla fine dell anno, è di E 3.542,50. I = 2,50 I 2 = 250 I 3 = 80 M = 3.542,50 2 Tizio ha impiegato 8 anni fa un capitale al 2% e 3 anni fa il tasso è stato ridotto al 9%. Oggi ritira il montante complessivo di E.309. Quale era il capitale iniziale? Posto C il capitale da determinare, risulta M ¼ C þ I þ I 2 ; ossia :309 ¼ C þ C 0; 2 5 þ C 0; 09 3; raccogliendo C a fattor comune, si ha :309 ¼ C ð þ 0; 2 5 þ 0; 09 3Þ! :309 ¼ C ; 87! C ¼ :309 ; 87 ¼ 700: Il capitale era di E 700. t

22 { { { 2 Presentiamo altri problemi in regime d interesse semplice da risolvere con diversi strumenti matematici. In data 5 maggio ho investito una somma in BOT, con scadenza 5 novembre dello stesso anno, al prezzo di E 97,95 per ogni E 00 di valore nominale. Calcolare il tasso annuo d interesse. Il prezzo d acquisto si deve considerare come capitale impiegato, mentre il valore nominale di E 00 è il montante; il periodo d impiego è 6 mesi. Sostituendo nella (3) i dati, si ha 00 ¼ 97; 95 þ i 6 2! 00 97; 95 ¼ þ 0; 5i!! ; ¼ 0; 5i! i ¼ 0; 0486: Il tasso d interesse o tasso di rendimento del BOT è del 4,86%. 2 Ho depositato in banca, il gennaio, E Il tasso annuo iniziale è stato ridotto dello 0,5% dopo 5 mesi e di un ulteriore 0,25% dopo altri 3 mesi. Il montante al 3 dicembre è stato di E 2.950,47. Determinare i tassi applicati. Schematizzando si ha x x 0,5% x 0,75% gennaio giugno settembre 3 dicembre Posto x il tasso annuo iniziale, x 0; 005 il secondo tasso applicato per i successivi 3 mesi e x 0; 0075 il terzo tasso applicato per gli altri 4 mesi, si ha l equazione 5 2:950; 47 ¼ 2:875 þ x 2 þðx 0; 005Þ 3 2 þðx 0; 0075Þ 4 ; 2 da cui 2:950; 47 2:875 ¼ þ x 5 2 þ x 3 2 þ x 4 0; ; 0025! 2! 0; ¼ x 0; 00375! x ¼ 0; 03: Allora il tasso inizialmente applicato era del 3%, poi ridotto al 2,5% e infine al 2,25%. 3 Un risparmiatore ha impiegato un anno fa all,5 % semestrale E Dopo un certo tempo ha ritirato il montante e lo ha reimpiegato al 3,75% annuo. Sapendo che oggi dispone di un montante pari a E 2.59,02, determinare quando ha fatto il reimpiego e il tasso unico a cui impiegare lo stesso capitale per ottenere lo stesso montante. Schematizzando si ha t Capitalizzazione semplice TEORIA x x 0 C M ¼ 2:500ð þ 0; 05 2xÞ M ¼ M ½ þ 0; 0375ð xþš t Indicata con x la durata in frazione di anno del primo impiego e con ð xþ la durata del reimpiego, ricordando che il primo tasso è semestrale e che il tempo deve esser quindi espres-

23 22 so in semestri, risulta 2:59; 02 ¼ 2:500 ð þ 0; 05 2xÞ½ þ 0; 0375ð xþš; 2:59; 02 ¼ 2:500 ð þ 0; 03xÞð; ; 0375xÞ; da cui, dividendo ambo i membri per e svolgendo il prodotto, ; ¼ ; ; 0375x þ 0; 0325x 0; 0025x 2 ; riordinando e sommando i termini simili, si ha :25x 2 þ 6:375x :092 ¼ 0; risolvendo si ottiene x ¼ 0; 664 e x ¼ 5; 83307, soluzione priva di significato finanziario. Il reimpiego è stato eseguito 2 mesi dopo il primo deposito poiché, convertendo il tempo in mesi, si ottiene 0; ¼ ; Riguardo al tasso unico, si ha, applicando la (3), Il tasso unico è il 3,64%. 2:500 ð þ iþ ¼ 2:59; 02! þ i ¼ ; ! i ¼ 0; : TEORIA Capitalizzazione semplice 4 Un certo capitale impiegato per 4 mesi dà un interesse semplice di E 6; lo stesso capitale, impiegato per 5 mesi, dà un montante di E 307,50. Trovare il tasso annuo e il capitale. Indicato con C il capitale e con i il tasso incognito, si ha il sistema 8 4 >< C i 2 ¼ 6 5 >: C þ i ¼ 307; 50 2 ricavando C dalla prima equazione e sostituendo nella seconda, si ha 8 >< C ¼ 8 i 8 >: þ i i 5 2 ¼ 307; 50 8 ><! >: C ¼ 8 i 8 i þ 7; 5 ¼ 307; 50 dalla seconda equazione si ricava il valore di i, da sostituire nella prima 8 >< C ¼ 8 i >: i ¼ 8 ¼ 0; ><! C ¼ 8 0; 06 ¼ 300 >: i ¼ 0; 06 Il capitale impiegato è di E 300 e il tasso è del 6% annuo. 8 ><! >: C ¼ 8 i 8 i ¼ Due capitali hanno dato un interesse complessivo di E 42,50, impiegati con le seguenti modalità: a) il primo al 5% annuo per 6 mesi; b) il secondo al 7,5% annuo per 8 mesi. Se il primo capitale fosse impiegato alle condizioni del secondo e quest ultimo alle condizioni del primo, l interesse complessivo sarebbe superiore al precedente di E 23,75. Calcolare i due capitali.

24 23 Detti C e C 2 i capitali da determinare, nel primo impiego si ha mentre nel secondo impiego Si imposta il sistema C 0; 075 C 0; þ C 2 0; þ C 2 0; C 0; 025 þ C 2 0; 05 ¼ 42; 50 C 0; 05 þ C 2 0; 025 ¼ 66; 25 moltiplicando per 2 la prima equazione, si ottiene C 0; 05 þ C 2 0; ¼ 85 C 0; 05 þ C 2 0; 025 ¼ 66; 25 applicando il metodo di riduzione, si ha C 2 0; 075 ¼ 8; 75 C 0; 025 þ C 2 0; 05 ¼ 42; 50 ¼ 42; 50; ¼ 42; 50 þ 23; 75 ¼ 66; 25:! C 2 ¼ 250 C 0; 025 þ 250 0; 05 ¼ 42; 50 Infine si ricava C = E.200. Dunque i due capitali sono rispettivamente di E.200 e di E Si impiega un capitale a un certo tasso quadrimestrale per 8 mesi in capitalizzazione semplice, realizzando un montante di E Se si impiegasse lo stesso capitale per 8 mesi a un tasso pari ai 3/5 del precedente, il montante diminuirebbe di E 70. Trovare il capitale e il tasso d impiego. Indicando con C il capitale e con i il tasso, si ha, nel primo impiego, C ð þ i 2Þ ¼3:675; nel secondo impiego Si ottiene quindi il sistema C þ 3 5 i 2 ¼ 3:675 70: 8 C ð þ 2iÞ ¼3:675 >< C þ 6 >: 5 i ¼ 3:605 dividendo membro a membro le due equazioni, si ha 8 þ 2i þ 6 ¼ ; 0942 ( >< 5 i ð þ 2iÞ5 ¼ ; 0942 ð5 þ 6iÞ! >: C ð þ 2iÞ ¼3:675 C ð þ 2iÞ ¼3:675 infine, trovato il valore di i e sostituito nella seconda equazione, si ha 8 8 i ¼ 0; 025 i ¼ 0; 025 < ><! : C ð; 05Þ ¼3:675 >: C ¼ 3:675 ; 05 ¼ 3:500: ( 3; 8835i ¼ 0; 097! C ð þ 2iÞ ¼3:675 Capitalizzazione semplice TEORIA Perciò il tasso è del 2,5% e il capitale è di E

25 24 ESERCITAZIONI DI LABORATORIO Queste esercitazioni hanno come obiettivo il consolidamento delle conoscenze acquisite mediante l uso del calcolatore. I programmi che verranno presentati saranno in linguaggio TUR- BO-PASCAL e i fogli elettronici utilizzati saranno LOTUS ed EXCEL. Presentiamo un programma in TURBO-PASCAL che consenta di determinare il montante, in regime di capitalizzazione semplice, noti il capitale, il tasso e il tempo d impiego. TEORIA Capitalizzazione semplice Program CAPITALIZZAZIONE_SEMPLICE; USES CRT; VAR C, i, t, M : real; BEGIN CLRSCR; WRITELN ( * CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE* ); WRITELN ( CAPITALE (C) = ); READLN ( C ); WRITELN ( TASSO (i) = ); READLN ( i ); WRITELN ( TEMPO (t) = ); READLN ( t ); M : = C * ( + i * t); WRITELN; WRITELN ( MONTANTE =, M : 0:2 ); READLN; END. Come esercitazione si possono considerare programmi che determinino il capitale o il tasso o il tempo noti gli altri elementi oppure un programma che determini l interesse semplice.

26 25 Capitalizzazione semplice QUESITI a. Illustrare gli elementi fondamentali del regime della capitalizzazione semplice. b. Illustrare il regime della capitalizzazione semplice. c. Spiegare come si trasforma un tempo d impiego costituito da anni, mesi e giorni per utilizzarlo nelle formule della capitalizzazione. d. Spiegare cosa s intende per tasso unitario annuo. VERO O FALSO Il capitale deve essere minore dell interesse semplice. 2 Il capitale è maggiore del montante. 3 Il montante è inversamente proporzionale al capitale. 4 Noto l interesse, il capitale è inversamente proporzionale al tempo. 5 L interesse è direttamente proporzionale al tempo. 6 Il montante è direttamente proporzionale al tempo. 7 Il tasso è direttamente proporzionale al capitale. V V V V V V V F F F F F F F Capitalizzazione semplice 8 Il capitale è inversamente proporzionale al montante. 9 La funzione M ¼ þ it si rappresenta mediante una retta passante per l origine degli assi. 0 Per calcolare l interesse semplice si devono usare solamente tassi annui. V V V F F F ESERCIZI QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA Nel calcolo dell interesse relativo a periodi di tempo inferiori all anno, si deve: a) usare un tasso relativo al periodo; b) esprimere il tempo coerentemente al periodo di riferimento del tasso;

27 26 c) trasformare il tempo in semestri; d) trasformare il tempo in giorni. 2 I grafici che rappresentano le funzioni dell interesse semplice e del montante semplice sono: a) rette tra loro perpendicolari; b) rette incidenti nel punto Að0 ; Þ; c) rette parallele con coefficiente angolare positivo; d) rette parallele con coefficiente angolare negativo. 3 Un problema di capitalizzazione semplice è rappresentato da un equazione: a) irrazionale; b) logaritmica; c) di primo grado razionale; d) esponenziale. ESERCIZI Capitalizzazione semplice Nota: per differenziare gli esercizi verranno usati tassi con valori anche elevati, sebbene nella realtà attuale i tassi applicati siano più bassi. Interesse semplice 4 Determinare l interesse semplice del capitale di: a) E impiegato al 5% annuo per 2 anni; b) E impiegato al 4,75% annuo per 5 anni; c) E 9.850,20 impiegato al 3,23% annuo per 7 anni. [a) E 250; b) E.607,88; c) E 2.227,3] 5 Calcolare l interesse semplice del capitale di: a) E 2.647,30 impiegato al 6% annuo per 4 anni; b) E 2.65 impiegato al 5,5% annuo per 5 mesi; c) E 5.252,45 impiegato al 4,5% annuo per 30 giorni. [a) E 3.035,35; b) E 495,34; c) E 228,57] 6 Determinare l interesse semplice del capitale di: a) E 7.885,50 impiegato al 3% annuo per 2 anni e 3 mesi; b) E impiegato al 4,25% annuo per 7 mesi e 2 giorni; c) E 5.455,30 impiegato al 5,2% annuo per 3 anni, 2 mesi e 23 giorni. [a) E 532,27; b) E 46,77; c) E 2.556,38] 7 Calcolare l interesse semplice del capitale di: a) E impiegato al 3% semestrale per 8 anni; b) E 3.55,70 impiegato al 2% quadrimestrale per 2 anni; c) E.250 impiegato al 3,5% trimestrale per 5 anni; d) E 3.297,5 impiegato all,25% bimestrale per 3 anni;

28 27 e) E 0.875,90 impiegato allo 0,73% mensile per 4 anni. [a) E 2.60; b) E.62,88; c) E 875; d) E 74,86; e) E 3.80,92] 8 Determinare l interesse semplice del capitale di: a) E impiegato al 2,5% quadrimestrale per anno e 5 mesi; b) E impiegato al 2,5% trimestrale per 7 mesi e 5 giorni; c) E 5.665,30 impiegato al 4% semestrale per 2 anni, 5 mesi e 2 giorni. [a) E 80,34; b) E 72,8; c) E.0,40] 9 Un assegno di E.500 viene versato in un conto corrente, 0 giorni dopo la data d emissione. Se la banca calcola l interesse semplice all,75% annuo, quanto costa il posticipato incasso? [E 0,73] 20 A un impresa viene pagata la somma di E con 45 giorni di ritardo. Sapendo che l impresa avrebbe potuto impiegare tale importo al 3% semestrale, a quanto ammonta il danno economico causato dal ritardato pagamento? [E 33,75] Ricerca del capitale 2 In regime d interesse semplice si calcoli il capitale che, impiegato al tasso annuo del: a) 5% per 2 anni, ha fruttato E 5; b) 4,5% per 5 anni, ha fruttato E 03; c) 3,2% per 3 anni, ha fruttato E 25,50. [a) E 50; b) E 496,39; c) E 2.302,35] 22 Determinare il capitale che, impiegato al tasso annuo del: a) 3% per 2 anni e 4 mesi, dà un interesse semplice di E 77; b) 2,5% per 0 mesi e 4 giorni, dà un interesse semplice di E 93,50; c),75% per anno, 3 mesi e 27 giorni, dà un interesse semplice di E 73,2. [a) E.00; b) E 4.985,93; c) E 3.53,42] 23 Calcolare il capitale che ha prodotto l interesse semplice di: a) E 48,8 all,25% quadrimestrale per anno e 0 giorni; b) E 62,50 al 4,5% semestrale per anno; c) E 89,95 al 3% trimestrale per 2 anni e 5 giorni. [a) E.250,08; b) E 694,44; c) E 367,4] 24 Il mio reddito netto annuo è di E Quale capitale, impiegato a interesse semplice al 3,5% annuo, produrrebbe un interesse pari al mio reddito? [E ,9] 25 Dall affitto di un appartamento, ricavo un reddito annuo di E La banca dove ho aperto un deposito pratica la capitalizzazione semplice degli interessi al 2,93%; a quale importo dovrebbe essere venduto l appartamento perché, versato l importo in banca, produca interessi pari all affitto? [E ,08] Capitalizzazione semplice ESERCIZI 26 Determinare quale capitale è stato investito al 5,5% annuo, sapendo che dopo 5 mesi gli interessi maturati sono stati investiti al 5,75% annuo e che dopo 3 mesi l interesse di questo secondo investimento è di E 3,75. [E.383,40]

29 28 27 Un capitale è stato impiegato al 4,4% per 5 mesi e un capitale, pari ai 4/3 del precedente, al 3,9% per 0 mesi. Sapendo che la somma degli interessi maturati è di E 37, determinare i due capitali. [E 600; E 800] 28 Calcolare quale capitale, impiegato al 3% semestrale, dopo 24 giorni ha fruttato un interesse pari a quello prodotto da un capitale di E al 2% annuo per 50 giorni. [E 2.500] Ricerca del tempo 29 Calcolare dopo quanto tempo l interesse semplice di un capitale di: a) E.800, impiegato al 7,5% annuo, ammonta a E 270; b) E.375, impiegato all 8% annuo, ammonta a E.00; c) E 4.200, impiegato al 6% annuo, ammonta a E 756. [a) 2 anni; b) 0 anni; c) 3 anni] ESERCIZI Capitalizzazione semplice 30 Determinare la durata d impiego a interesse semplice di: a) E che, impiegati all,04% annuo, danno E 768,30; b) E che, impiegati al 4,5% annuo, danno E 50; c) E 5,20 che, impiegati al 5% annuo, danno E 2. [a) 3 anni; b) 6 mesi; c) 25 giorni] 3 Calcolare in quanto tempo l interesse semplice di: a) E.788, impiegati all,25% annuo, è pari a E 50,29; b) E 5.000, impiegati al 3,5% annuo, è pari a E 0,25; c) E 2.227,40, impiegati al 4,05% annuo, è pari a E 234,55. [a) 2 anni e 3 mesi; b) 8 mesi e 2 giorni; c) 2 anni, 7 mesi e 6 giorni] 32 Determinare dopo quanto tempo l interesse semplice di: a) E.765, impiegati al 2,25% trimestrale, frutta E 7; b) E 800, impiegati al 3% semestrale, frutta E 4; c) E.900, impiegati al 2,5% bimestrale, frutta E 950; d) E 9.550, impiegati all,25% mensile, frutta E 3.509,62; e) E 2.75,80, impiegati all,64% quadrimestrale, frutta E 740,67. [a) 8 mesi e 25 giorni; b) 3 mesi e 5 giorni; c) 3 anni e 20 giorni; d) 2 anni, 5 mesi e 2 giorni; e) anno, 2 mesi e 5 giorni] 33 Un capitale viene impiegato all 8,95% annuo. In quanto tempo: a) il capitale si triplica; b) l interesse è pari a un quinto del capitale. [a) 22 anni e 25 giorni; b) 2 anni e 84 giorni] 34 Ho prestato E a Tizio, convenendo il pagamento di E 250 come interesse semplice calcolato al 9%. Qual è la durata del prestito? [200 giorni] 35 Un capitale di E è stato prestato per 300 giorni all 8,0% annuo. Con gli interessi semplici maturati, si pagano gli interessi derivati da un debito di E al tasso del 5% annuo. Qual è la durata del debito? [305 giorni]