Indice delle esercitazioni (Ing. Vercesi)

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1 Indice delle esercitazioni (Ing. ercesi) Esercitazione nuero Il sistea internazionale S.I. Marzo 999 Eserienza di Joule. Esercitazione nuero Massa olare, volue olare, 0 Marzo 999 nuero di oli e frazione olare. Convenzioni. Esercitazione nuero Equazioni serientali er i gas reali. Calori secifici esatti. 9 Marzo 999 Esercitazione nuero 4 rasforazioni con i gas ideali. 4 Marzo 999 Esercitazione nuero 5 rasforazioni er i sistei chiusi. Marzo 999 Calori secifici. eorea di Bernoulli. Il coefficiente di Joule-hoson. Esercitazione nuero 6 La otenza. 4 Arile 999 Il lavoro utile e il lavoro di ulsione. Cicli terodinaici. Il rendiento. La velocità del suono. Motori er uso aerodinaico. Esercitazione nuero 7 elocità del suono. 8 Arile 999 ransizioni di fase. Esercitazione nuero 8 ransizioni di fase. 5 Maggio 999 Efflussi negli ugelli. Esercitazione nuero 9 Rendienti. Maggio 999 Cicli. Esercitazione nuero 0 rasissione del calore. 9 Maggio 999 La geoetria iana e cilindrica. Ciclo frigorifero cobinato. Esercitazione nuero rasissione del calore. 6 Maggio 999 Condizionaento. Scabiatori di calore. Esercitazione nuero Scabiatori di calore. Raggio critico di isolaento. Alette. Giugno 999 4

2 Esercitazione nuero Marzo 999 Il sistea internazionale S.I. Eserienza di Joule. Iniziao subito con il dire che un sistea coerente di unità di isura è coosto da caioni e che una isura, fondaentale o derivata, è definibile traite confronto con tali caioni. Nel corso di Fisica ecnica si utilizzeranno esclusivaente le grandezze esresse nel sistea internazionale (S.I.). ediao dunque quali sono le grandezze fondaentali necessarie in questo corso e coe la nora del Sistea Internazionale ne codifica la raresentazione: Lunghezza. Nel S.I., così coe anche nel Sistea ecnico (S..) l unità di isura della lunghezza, che è una grandezza fondaentale, è il etro (). eo. Nel S.I, così coe nel S.., l unità di isura del teo, anch essa grandezza fondaentale, è il secondo (s). Massa. Nel S.I. l unità di isura scelta er la assa, grandezza fondaentale, è il chilograo (). Nel S.. la assa non è una grandezza fondaentale a una grandezza derivata (in articolare la grandezza fondaentale di artenza e il chilograo-forza) e si usa, coe unità di isura l UM (unità di assa tecnica). Ovviaente il S.I. roone la visione iù giusta oiché la assa è una rorietà fondaentale della ateria entre la forza eso dienda dal sistea di forze nel quale l oggetto è ierso. Forza. Nel S.I. la forza non è una grandezza fondaentale a una grandezza derivata dalle grandezze fondaentali assa, lunghezza e teo secondo la ben nota relazione: d l F dt L unità di isura scelta dal S.I. er raresentare la forza è il newton (N) che, ovviaente, risulta così definito: N s Nel S.. la forza, invece, è una grandezza fondaentale e l unità di isura ad essa assegnata è il chilograo-forza (f). Energia. Nel S.I. l unità di isura scelta er l energia è il joule (J) Potenza. Nel S.I. l unità di isura scelta er la otenza è il watt. Siccoe la otenza è una grandezza derivata che uò essere definita traite la relazione: E P t aare ovvio che il Watt viene definito traite la relazione: W Massa voluica. La assa voluica è quello che fino a ochi anni fa era chiaata densità; nel S.. questa grandezza non si usa entre nel S.I. la sua unità di isura viene definita coe segue: ρ Peso secifico. Il eso secifico è una grandezza che nel S.I. non si usa a che viene usata nel S.. nel quale ha una unità di isura definita coe segue: f π Pressione. Nel S.I. la ressione è una grandezza derivata definita traite la seguente relazione: F A dove A è una suerficie. Aare allora evidente che l unità di isura della ressione nel S.I., il ascal (Pa), sarà definito nel odo seguente: N Pa Nel S.., invece, l unità di isura della ressione sarà definito in questo odo: f [ ] Portata. Questa grandezza è anche detta flusso di assa. Per caire di che cosa stiao arlando ossiao riferirci alla figura della agina seguente, definendo la assa voluica con il sibolo ρ ossiao allora esriere la ortata traite la seguente relazione: J s 4

3 ρ ρas ρav t t t e quindi l unità di isura della ortata sarà esressa nel odo seguente: A Svt s s Conduttività terica. Accenniao ora solo breveente a questa grandezza che esainereo solo iù avanti. La conduttività terica è la grandezza K che aare nella seguente relazione: Q KS dove vediao aarire un gradiente della teeratura. Da tale relazione è ovvio che la definizione della conduttività terica otrà essere la seguente: Q K S e quindi l unità di isura legata a tale grandezza sarà la seguente: W W K K iscosità Dinaica. L equazione relativa alla viscosità dinaica è la seguente: F u du τ µ µ A y dy dove u è la velocità ed y la distanza tra gli strati di fluido. In tale relazione, che corendiao eglio considerando la figura seguente u F y e che vale soltanto er cai di velocità liitato, vediao aarire il coefficiente di viscosità dinaica µ che è la forza er unità di suerficie necessaria er antenere una differenza unitaria di velocità tra due strati aralleli di fluido osti a distanza unitaria. Se siao in un cao di oto lainare, µ non diende dalla velocità (dienderà soltanto dalla teeratura) e il fluido in questione si dice newtoniano. Dalla definizione di µ e dalla relazione recedente ossiao ricavare la seguente relazione: F µ µ ( ) A du dy Sfruttando questa relazione si uò trovare l unità di isura della viscosità dinaica nel S.I. N s Ns Pas s ediao ora alcuni esei di conversione tra le unità di isura aartenenti al S.I. e altre unità di isura sesso utilizzate anche se non arovate dall S.I. Iniziao con alcune unità di isura riguardanti l energia. 4

4 Una unità di isura olto utilizzata er l energia è la caloria (cal); sesso viene utilizzato, sorattutto il suo ultilo Kcal. Il fattore di conversione con le unità S.I. è il seguente: cal 0 Kcal 4, 86J Una seconda unità di cui si fa olto uso nei discorsi energetici è il chilowatt er ora (kwh) la cui relazione di conversione con le unità S.I. è la seguente: 6 kwh 0 W 600s,6 0 J,6 0 kj, 6MJ Sfruttiao questo eseio er osservare che la nora del S.I. ione di assare a ultili e sottoultili caratterizzati da otenze di 0 che variano di in. L unità inglese riservata al calore è la British teric unit (Btu) la cui relazione di conversione con le unità S.I. è la seguente: Btu 054, 5J A livello internazionale, revalenteente er scoi econoici, viene anche utilizzata la tonnellata equivalente di etrolio (te) che isura la quantità di calore rodotta da una tonnellata di etrolio. La sua relazione di conversione con le unità S.I. è la seguente: te 0Gcal 4, 86GJ Pria di vedere la rossia unità energetica esriiao la relazione di conversione tra l unità della forza nel S.. e la sua corrisettiva nel S.I.: f 9, 806N Posiao a questo unto analizzare una unità di isura ancora utilizzata sostanzialente er otivi storici: il cavallo vaore (C) la cui relazione di conversione in unità del S.I. è la seguente: J C 75f 9,8 75W s f Il corrisettivo inglese dei cavalli vaore è l horse ower Questo è leggerente diverso dai C e la sua relazione di conversione in unità del S.I. è la seguente: ft h 550oundf 746W s ediao ora alcune unità di isura riguardanti la ressione. Sessissio, a causa delle diensioni olto iccole del ascal, la ressione viene isurata in bar, la cui relazione di conversione con le unità S.I. è la seguente: 5 bar 0 Pa Un altra unità di isura usata storicaente er la ressione è il torricelli la cui relazione di conversione con le unità del S.I. è la seguente: torr 5. Pa Sesso sui anoetri la ressione viene indicata anche in terini inglesi e quindi in ound square inch (si). La relazione di conversione con le unità del S.I. sarà quindi: 4,458N 4 si 0, Pa 4 6,45 0 ediao ora alcune relazioni di conversione relative alla teeratura (che nel S.I. si isura in kelvin). La scala delle teerature aggiorente utilizzata quotidianaente è la scala Celsius (o scala centigrada) che differisce dalla scala kelvin er una traslazione dell origine. La relazione di conversione tra queste due scale sarà dunque la seguente: t ( C) ( K ) 7, 5 Esiste ovviaente anche una scala di teeratura utilizzata nei aesi anglofoni detta scala Fahrenheit la cui relazione di conversione con la scala centigrada è la seguente: 9 t ( F ) t( C) + 5 Storicaente iortante anche la scala Rankine, la cui relazione di conversione con la scala kelvin è: t ( R) ( K ) Concludiao questa breve rassegna con il coefficiente di viscosità dinaica ria visto: è olto facile trovare coe unità di isura il Poise, questo erché un centesio di oise corrisonde erfettaente con il coefficiente di viscosità dinaico dell acqua a teeratura abiente (0 gradi centigradi). La relazione di conversione con le unità del S.I. sarà la seguente: 44

5 g oise 0, cs s Cabiao ora decisaente argoento e vediao l eserienza di Joule che ha esso in luce la corrisondenza tra calore e lavoro. Per far questo sofferiaoci innanzitutto ad osservare coe la definizione del lavoro infinitesio abbia la seguente struttura generale: dl Adb Se ensiao, infatti, alla definizione di lavoro data in eccanica dei cori, la relazione generale diventa: dl FdS analogaente, ensando alla definizione di lavoro in eccanica dei fluidi, si ottiene: dl d oure ancora, ensando al lavoro svolto in un cao elettrico, si ha: dl dq Il lavoro, dunque, ilica due enti ed ha un valore assoluto; er quanto riguarda, invece, l energia, questa aartiene ad un solo ente ed ha uno zero di riferiento. Ricordiao ora la relazione della eccanica razionale che lega il lavoro alla variazione di energia cinetica e di energia otenziale: dl de + d Consideriao ora l eseriento di Joule, raresentato nella figura seguente, nel quale dell acqua viene scaldata sfruttando del lavoro uraente eccanico (le due alette che girano a causa del grave che cade). Acqua FSL Dobbiao osservare che, essendo, alla fine dell eseriento il liquido fero esattaente coe all inizio dell eseriento, non c è variazione di energia cinetica, ovvero si ha: d 0 non sono resenti, inoltre, eleenti che ci suggeriscono una variazione dell energia cinetica, quindi avreo anche: de 0 Ricordando dunque l equazione ria vista che deriva dalla eccanica razionale, sareo ortati a dire che: dl de d 0 Invece, a causa del riscaldaento dell acqua nel contenitore, si osserva una variazione nell energia del sistea e quindi dovreo scrivere: dl de d du Questo eseriento ci orta a dover introdurre quindi un ulteriore terine che tenga conto della variazione di teeratura: avreo dunque, introducendo il calore assico: dl du cdϑ dove dθ raresenta la variazione di teeratura. In questo odo si definisce il calore coe una fora di energia che quindi dovrà rientrare nel rinciio di conservazione dell energia. Un discorso assolutaente analogo uò essere fatto traite una altra eserienza nella quale si ha un sistea contenente, er eseio, acqua e diviso in due arti tenute inizialente searate e a teerature diverse. Quando le due arti del sistea vengono escolate, la zona che si trovava a teeratura inore subisce un innalzaento della sua energia interna erché auenta la sua teeratura. utto ciò è erò accoagnato da una variazione nulla di energia cinetica e di energia otenziale nonché da una quantità di lavoro nulla. Questo significa che bisogna inserire una nuova fora di energia, resonsabile della variazione di energia interna citata e che è, aunto, il calore. Si faccia riferiento al baroetro di orricelli raresentato nelle figura seguente. Saendo che la colonnina di ercurio si solleva ad una distanza z dal elo libero nel resto della bacinella e conoscendo la densità del ercurio ρ, valutare la ressione atosferica. I dati nuerici sono i seguenti: 45

6 ρ Hg 590 g 9,806 s Il roblea uò essere risolto traite un selicissio bilanciaento di forze. Se ensiao infatti alla colonna di ercurio contenuta nel tubo di vetro, questa sarà sottoosta alla roria forza eso, alla ressione di vaore contenuta nella zona del tubo nella quale non c è il ercurio stesso e dalla ressione atosferica che, er la legge di Stevino, si roaga inalterata fino alla suerficie indicata con la lettera A. z Hg A L esressione di bilancio sarà allora: F At A + a A + ρ Hg gza 0 Selificando dunque er la suerficie A e tenendo conto che la ressione di vaore è raticaente nulla e quindi trascurabile, riane la seguente relazione: At + ρ Hg gz 0 Eslicitando quest ultia relazione risetto alla ressione atosferica e sostituendo i valori nuerici si ottiene il valore richiesto (si ricordi che, a ressione atosferica, la colonnina di ercurio sale di circa 76c): N PAt ρ Hg gz Pa,0bar 0bar alutiao ora l altezza che avrebbe raggiunto la colonna di liquido se, invece del ercurio, fosse stata usata dell acqua; si deve tener conto che la densità dell acqua è differente da quella del ercurio ed è: 000 ρ H O Ovviaente, anche usando l acqua, la ressione di vaore risulta trascurabile e si deve ottenere lo stesso risultato di ria; uguagliando dunque la ressione isurata con il ercurio e quella isurata con l acqua e selificando i terini couni si ottiene: z Hg zhg ρ HO Ho ρ Eslicitando risetto all altezza richiesta ed inserendo i valori nuerici si ottiene: ρ Hg z Hg zh o 0, ρ HO Siccoe la ressione dell atosfera a livello del are è una ressione olto usata negli eserienti, viene definita una unità di isura della ressione detta atosfera e così esressa: at 0bar 46

7 Esercitazione nuero 0 Marzo 999 Massa olare, volue olare, nuero di oli e frazione olare. Convenzioni. Un argano di otenza 8kW funzione er 0 inuti e solleva un grave di 0000 inizialente fero a terra. Stabilire a che altezza arriva il grave. Coe ria cosa uniforiaoci al S.I. e quindi trasforiao il teo in secondi: s t 0 in ( 0in) 60 00s in Ricordiao ora la relazione che esrie la otenza in funzione del lavoro e del teo: W P t Da questa relazione ossiao dunque esriere il lavoro svolto dal sistea nella seguente fora: W Pt Il lavoro svolto dal grave uò anche essere esresso coe la sua variazione di energia otenziale gravitazionale, ovvero: W gh Uguagliao ora le due esressioni trovate er il lavoro ottenendo: gh Pt Dalla quale si ricava: ( 8 0 W )( 00s) Pt h 97, 899 g 4 ( 0 ) 9,806 s Esriere in chilocalorie (kcal) cavallo-ora (Ch) rasforiao ria la grandezza assegnata in unità facenti arte dell S.I. W s ( Cv) 75 ( h) 600 kj Cvh 646 Cv h Sfruttiao ora le relazioni di conversione er ottenere le unità di isura scelte: J Cvh 646kJ 6, kcal J 4,86 cal In un reciiente adiabatico rigido, nel quale sono contenuti 00 litri di acqua, c è un resistore di resistenza 00 Oh che oera con una differenza di otenziale di 0. Stabilire il teo necessario er innalzare la teeratura da 0 a 60 gradi centigradi. Siano noti il calore secifico dell acqua a volue costante e la densità dell acqua tra i 0 e i 60 gradi centigradi: kcal c C ρ H 99 O Siccoe non uò esserci variazione di volue non otrà esserci neure lavoro, il rio rinciio della terodinaica uò essere dunque scritto nella fora seguente: U Q La assa dell acqua resente nel contenitore uò essere calcolata coe segue: ρ H O 99, l alutiao ora il calore scabiato sfruttando la relazione: ( 00l) 0,00 99 cal J Q c 04 C cal Si uò a questo unto valutare la otenza elettrica dissiata dal resistore traite la relazione: ( 99,) 0 4,86 ( 40 C) 659, kj 47

8 ( 0 ) P 484W R 00Ω Esriiao ora la otenza in funzione dell energia, che in questo caso coincide con il calore, e del teo; si otterrà così, eslicitando risetto al teo e uguagliando tale otenza con la otenza elettrica dissiata dal resistore: Q 659,04kJ t 48, 686s P 484W Il teo iiegato er scaldare tale assa d acqua si aggira, dunque, sulle 0 ore. Pria di vedere i rossii esercizi definiao il nuero di oli coe la assa di un coosto divisa er la sua assa olare e la frazione olare di un coosto coe il nuero di oli di un certo coosto diviso er il nuero di oli totali della iscela. In un reciiente di 55 centietri cubici nel quale sono contenuti 50 grai di acqua vengono aggiunti 0 grai di sale da cucina e 5 grai di zucchero. alutare il nuero di oli dei coonenti, la frazione olare di ciascun eleento e il volue olare totale. Siano note le asse olari dell acqua, del sale e dello zucchero: g MM H O 8 ol g MM NaCl 58,454 ol g MM C H O 4 ol alutiao il nuero di oli dell acqua sfruttando la seguente relazione: 50g,778ol H O g 8 ol Per quanto riguarda, invece, il nuero di oli di sale, si avrà: 0g 0,7 g 58,454 ol ol NaCl Il nuero di oli di zucchero sarà, invece: 5g 0,044ol C HO g 4 ol Il nuero di oli totale sarà ovviaente dato dalla soa del nuero di oli delle varie secie:,778ol H O + 0, 7ol NaCl + 0,044olC H O, 99ol ot Possiao dunque valutare la frazione olare dell acqua sfruttando la seguente relazione:,778ol HO 0,98 9,8 0 0,99olot Per quanto riguarda, invece, la frazione olare del sale, si avrà: 0,7ol NaCl 0,057 5,7 0 0,99olot La frazione olare dello zucchero sarà, invece: 0,044olC HO 0,05,5 0 0,99olot Il volue olare totale, infine, sarà dato dalla relazione: 55c c 8,76,99ol ol Per oter scrivere in odo coleto il rio rinciio della terodinaica dobbiao segnalare quale convenzione si sceglie relativaente ai segni del calore e del lavoro entrante e uscente. Le due convenzioni iù usate sono la convenzione otoristica (che considera ositivo il lavoro uscente e il calore entrante) e la convenzione dei conti 48

9 correnti (che considera ositivo il lavoro e il calore entranti). Utilizzando la convenzione otoristica il rio rinciio della terodinaica si scriverà nel odo seguente: U Q W Utilizzando, invece, la convenzione dei conti correnti il rio rinciio avrà la seguente fora: U Q + W alutare, con entrabe le convenzioni di segno, la variazione nell energia interna del sistea raresentato in figura: Q W W Q Dove siano noti anche i seguenti valori nuerici: W 50J W 600J Q 000J Q 550J Con la notazione otoristica la variazione di energia interna è data dalla relazione: U Q W ( Q Q ) ( W W ) ( 000J 550J ) ( 600J 50J ) 00J Con la notazione dei conti correnti, invece, la variazione di energia interna è data dalla relazione: U Q + W ( Q Q ) + ( W W ) ( 000J 550J ) + ( 50J 600J ) 00J Si osservi che l energia interna è una variabile di stato e quindi il valore nuerico della sua variazione non cabia con il cabiare della convenzione di segno utilizzata. Si consideri la trasforazione ciclica generalente indicata nel grafico seguente: 4 Suosto che l energia interna del unto sia l energia di riferiento e sia nulla, coletare la seguente tabella (nella quale sono state oesse tutte le unità di isura che, erò, sono J): rasforazione Q W U 49 U Fin Da a? 0 90? Da a 0 95?? Da a 4-000? -000? Da 4 a 0??? Utilizziao la convenzione otoristica nella quale il rio rinciio della terodinaica ha la seguente fora: U Q W

10 Alicando dunque il rio rinciio in questa fora alla ria riga della tabella si ottiene: 90 Q 0 Dalla quale ovviaente si ricava che: Q 90 Ricordiao ora che il unto è stato scelto con un energia interna di riferiento nulla; si avrà quindi: U U U U 0 90 Dalla quale si ricava che: U 90 Alichiao ora il rio rinciio alla seconda riga della tabella, ottenendo: U Una volta trovata la variazione di energia interna e ricordando quanto trovato ria, avreo: 95 U 90 Dalla quale, ovviaente, si ricava: U 995 Sofferiaoci sulla quarta riga della tabella: alicando il rio rinciio si ottiene: W Possiao dunque vedere che il lavoro deve essere nullo. Per quanto riguarda, invece, l energia interna dello stato finale, si avrà: 000 U Dalla quale si ricava: U 4 5 Per quanto riguarda, infine, l ultia riga della tabella, ricordiao nuovaente che l energia interna dello stato è considerata l energia di riferiento ed è osta uguale a zero, questo ci erette, conoscendo l energia dello stato 4, di valutare la variazione di energia: U 0 ( 5) 5 Ora, alicando il rio rinciio, si ottiene: 5 0 W Da questa si ricava che: W La tabella coletata avrà dunque la seguente fora: 5 rasforazione Q W U U Fin Da a Da a Da a Da 4 a Presa la convenzione otoristica, si calcoli la variazione di energia interna, il calore e il lavoro scabiato da un sistea che subisce una trasforazione che lo orta dallo stato allo stato indicati nel grafico seguente. Il assaggio dallo stato allo stato avviene in quattro odi diversi: a) attraverso una trasforazione adiabatica quasi-statica caratterizzata dalla relazione: 5 const b) attraverso una trasforazione ria isobara e oi isoetrica c) attraverso una trasforazione ria isoetrica e oi isobara d) attraverso una trasforazione che collega con una linea retta lo stato e lo stato 50

11 (bar) 8 (l) a) Ricaviao innanzitutto la costante che aare nella relazione definitiva: Dunque la legge caratteristica di questa trasforazione è la seguente: 5 Siccoe si tratta di una trasforazione adiabatica il calore scabiato è nullo e quindi il rio rinciio si riduce nella fora seguente: U Q W W d Eslicitiao ora la ressione in funzione del volue, ovvero: 5 Sostituendo dunque questa fora della ressione nell esressione del lavoro si ottiene: Pa W d bar 8 l l J bar l La variazione di energia interna sarà dunque: U W 600J b) In questo caso il lavoro svolto dal sistea sarà diverso da zero solo nel rio tratto nel quale il volue cabia; questo rende anche olto selice l integrale che i da il lavoro, oiché si ha: Pa W d d [ ] bar( 8l l ) J bar l enendo dunque conto che l energia interna è una funzione di stato e che quindi la variazione di energia interna è indiendente dal ercorso seguito dalla trasforazione, la variazione di energia interna sarà la stessa del caso recedente e il calore scabiato si otrà valutare er differenza: Q U + W 600 J + 400J 8800J c) Anche in questo caso il lavoro svolto dal sistea sarà diverso da zero solo nel tratto in cui varia il volue, ovvero nel secondo; si avrà quindi: Pa W d d [ ] bar( 8l l ) J bar l Anche in questo caso si andrà a valutare il calore scabiato er differenza, saendo che la variazione di energia interna è sere uguale: Q U + W 600J + 700J 900J d) In quest ultio caso il lavoro svolto otrà essere valutato integrando la variazione di volue oltilicata er la ressione edia, essendo la linea che descrive la trasforazione una linea retta; si avrà quindi: 8 + Pa W d d 550 bar l [ ] bar( 8l l ) 0 0 J 5

12 E dunque il calore scabiato sarà: Q U + W 600 J + 550J 7950J Con questo esercizio abbiao ostrato a livello quantitativo che il calore e il lavoro non sono funzioni di stato, infatti il loro valore nuerico cabia con il cabiare del ercorso che unisce due unti. 5

13 5 Esercitazione nuero 9 Marzo 999 Equazioni serientali er i gas reali. Calori secifici esatti. Si consideri un sistea costituito da due sottosistei A e B. ali sottosistei sono inizialente searati fra loro da una arete iervia, rigida ed adiabatica e coletaente isolati risetto all esterno. La relazione fondaentale, in fora entroica di tale sistea è la seguente: ( ) UN c S Ricavare le equazioni di stato e controllare che la condizione di equilibrio finale a seguito di riozione del vincolo di adiabaticità orta a: A B Coe ria cosa esriiao la relazione fondaentale in fora energetica, ottenendo: N S c U Ricordiao ora quanto visto nella lezione nuero ed esriiao nel odo seguente la teeratura in funzione dell energia interna: N c S S U N, Sostituiao ora, in quest ultia relazione, l esressione dell entroia data dalla relazione entroica fornita nel testo; si ottiene così la ria equazione di stato: ( ) N U c In odo analogo arriviao ad esriere anche la ressione e il otenziale chiico; troviao dunque le altre due equazioni di stato: N U N S c N U U N S c U S N S,, µ Cobinando ora l equazione di stato relativa alla teeratura con l equazione di stato relativa alla ressione si ottiene il legae tra e : N c alutiao ora l entroia colessiva del sistea ; siccoe l entroia gode della rorietà additiva si avrà: B A ot S S S + Cobinando quest ultia esressione con la relazione fondaentale in fora entroica fornita nel testo si ottiene: ( ) ( ) [ ] ( ) B A B B B B A A A A B A B B B A A A ot U U U N U U U N U U c N U N U c S La condizione di equilibrio finale è caratterizzata dal fatto che: () 0 dx x df ovvero, essendo: () ( ) + B A A B A ot du du du dx U U c S x f si ottiene:

14 dsot ds A + ds B ds A du A du A du A Date le odalità di vincolo dei singoli sottosistei, si ottiene: S A S B U A U, N B ovvero: c.v.d. ds du, N B B 0 A B In un reciiente adiabatico è contenuta una assa d acqua ari a 50, a ressione atosferica costante e antenuta ad una teeratura di 0 C. In tale reciiente viene inserita una sfera di rae di 0 c di diaetro avente una teeratura di 600 C. Si valuti la teeratura di equilibrio del sistea, il calore scabiato e la variazione di entroia conoscendo il calore secifico dell acqua, quello del rae e la densità di quest ultio. J ch 486 O KgK J ccu 89 KgK Kg ρ Cu 890 Per risolvere questo roblea ossiao utilizzare il otenziale entalia che, coe si è visto, è esresso nel odo seguente: H U + Differenziao dunque tale relazione ottenendo: dh du + d + d Siccoe, erò, coe secificato nel testo, la ressione riane costante, la recedente relazione si uò riscrivere coe segue: dh du + d L introduzione di una sfera di 0 c di diaetro in un contenitore di 50 d acqua rovoca una variazione di volue trascurabile; ciò significa che l ultia relazione scritta si uò ridurre ulteriorente giungendo alla seguente fora: dh du Siccoe il sistea è isobaro, il lavoro svolto dal sistea non uò che essere nullo e quindi il rio rinciio si uò esriere, nella sua fora infinitesia, coe segue: du dq Cobinando dunque le ultie due relazioni scritte si ottiene: dh dq ovvero, assando alla variazione finite: H Q Siccoe, inoltre, il reciiente è adiabatico, il calore colessivaente scabiato con l esterno è nullo e quindi si avrà: H 0 Scooniao ora la variazione totale di entalia nella variazione legata all acqua e al rae; si avrà così: H H + 0 O H Cu Per quanto aena visto, questa relazione si uò riscrivere coe segue: Q H + 0 O Q Cu Ricordiao ora la forula generale che esrie il calore scabiato, secondo la quale: Q McX dove, nel caso in analisi, la x sarà ovviaente la ressione. Cobinando dunque le ultie due relazioni scritte si ottiene: M H ( ) + ( ) 0 OcPH O f H O M CucPCu f Cu () Ovviaente si deve intendere che: 54

15 4 d M Cu ρ Cu π 7, 4Kg Esriiao ora le teerature in questione in kelvin: H O 9K Cu 87K Ricaviao ora la teeratura finale eslicitandola dalla relazione (), si otterrà: M H OcPH OH O + M c Cu PCu Cu f 0,7K 57, 7K M H OcPH O + M Cuc PCu Per valutare il calore scabiato colessivaente osso scegliere, indifferenteente, il calore scabiato dall acqua o quello scabiato dal rae; scegliendo l acqua si avrà: M c 7890, kj H O PH O 6 Calcoliao ora la variazione di entroia totale e la variazione dei due sottosistei; er far questo ricordiao la relazione generale secondo la quale: dq ds Per ottenere la variazione finita di entroia si dovrà quindi integrare, ottenendo: dq Mc d d S P ds McP McP ln Nel caso dell acqua si avrà quindi: f J S H O M H OcPH O ln 5 H O K entre nel caso del rae si avrà: f J S Cu M CucPCu ln 4 Cu K Dunque la variazione totale di entroia sarà: J Sot S H O + S Cu K Il fatto che si sia rodotta entroia indica che la trasfora<zione è irreversibile. Coletare la seguente tabella ricordando che il eso atoico dell Azoto è ari a 4 u..a. N ρ v t0 C at t50 C at t0 C??????,9 0 Innanzitutto osserviao che la assa olare dell Azoto olecolare è data dalla seguente relazione: MN Ma 8u.. a. N Consideriao ora la relazione dei gas erfetti, che uò essere facilente alicata al caso in questione: NR Siccoe nella tabella è richiesto il volue assico, conviene dividere direttaente er la assa l equazione dei gas erfetti, ottenendo: v R M Per selicità definiao ora la seguente costante derivata dalla costante dei gas: 55

16 R J R* 97 M K Possiao ora riscrivere coe segue l equazione dei gas: v R * () dalla quale è selice ricavare il volue assico: R * v Ricordiao ora il valore SI dell atosfera: N at 00 e riortiao in kelvin le teerature indicate: t 0 C 7K t 50 C 4K t 0 C 9K I due volui assici richiesti si ossono dunque valutare coe segue: v 0,8 v 0,6 Conoscendo tutti i volui assici risulta selice calcolare le asse voluiche; si avrà allora: ρ,5 v ρ,6 v ρ 44,8 v Per calcolare, infine, l unica ressione richiesta, si uò utilizzare la seguente esressione ricavata anch essa dalla relazione (): R * 7 N 0 00bar v La tabella coletata è dunque la seguente: N ρ v t0 C at,5 0,8 t50 C at,6 t0 C 00bar 44,8 56 0,6,9 0 Fino ad ora ci siao sere occuati dei gas erfetti; i gas reali ossono essere trattati sfruttando delle equazioni iù colesse di quelle relative ai gas erfetti e sesso di origine serientale. Di tali equazioni serientali ne esistono diverse che, alicate ad un edesio roblea, ossono dare risultati diversi anche se siili. Se er eseio, si ricalcolasse l ultia ressione richiesta nell esercizio recedente sfruttando la seguente equazione (detta di Dieterici): R con v b a vr e

17 a b 0,048 si otterrebbe un valore di 54,4 bar; si avrebbe dunque un valore leggerente inore risetto a quello trovato usando l equazione dei gas erfetti. Un valore ancora diverso si otterrebbe usando la seguente equazione di anderwaals: R a v b v con a 6900 b 0,086 Il grafico seguente ostra la differenza nelle ressioni valutate con le tre equazioni citate. Gas erfetti Dieterici anderwaals v 0,05 0,5 Concentriaoci ora sul calcolo iù dettagliato del calore assico a volue costante. Fino ad ora abbiao sere visto coe questo fosse coosto da un terine ari ad ½R er ogni grado di libertà osseduto dalla olecola; così, er i gas onoatoici si aveva: c oiché il singolo atoo resenta tre gradi di libertà traslazionali (lungo x, lungo y e lungo z). Nel caso dei gas biatoici (o counque ultiatoici lineari) si aveva invece: 5 c erché, oltre ai tre gradi ria visti, bisognava contare anche due gradi di rotazione attorno a due degli assi. Sfruttando questo etodo, dunque, si teneva conto dei soli gradi di libertà rototraslazionali; er essere aggiorente recisi nel calcolo di tali calori assici bisogna anche tener conto dei gradi di libertà vibrazionali. Risulta dunque utile introdurre la seguente relazione che esrie il contributo dato dai gradi di libertà vibrazionali al calore assico a volue costante: Gdl R ib R Sh dove si è introdotta la teerature vibrazionale. Considerata la olecola triatoica lineare dell anidride carbonica, si valuti il calore assico colessivo a 47 C saendo che le teerature vibrazionali di tale sostanza sono le seguenti: 960K 960K 000K 4 80K alutare inoltre l errore di stia nel caso in cui si usino o eno i gradi di libertà vibrazionali risetto ai dati serientali secondo i quali i calori secifici a 00 e 400 kelvin sono, risettivaente 8,7 e. Coe ria cosa occorre ricordare il valore nuerico della costante dei gas erfetti: R R 57

18 J R 84 kolk Senza tener conto dei gradi di libertà vibrazionali si avrà: 5 J c R 0, 785 kolk enendo invece conto dei gradi vibrazionali risulta coodo orre: x Si ottengono in questo odo i quattro seguenti valori: x960,5 x960,5 x000,5 x80 5,8 Il contributo al calore assico ortato dai gradi vibrazionali è dunque dato dalla seguente relazione: xi Gdlib R R, 07R i Sh xi Dunque, il valore iù reciso del calore assico a volue costante sarà il seguente: 5 J c R +,07R 9, 69 kolk Basandosi sui valori serientali noti ed interolando linearente er 0K (il valore che corrisonde ai 47 C), si ottiene: 8,7 8,7 c , Il raorto tra il valore ottenuto senza tener conto dei gradi vibrazionali e il valore serientale sarà quindi: 0, ,56 il che ilica un errore del 0%; usando anche i gradi vibrazionali, il raorto tra i due valori è: 9,56 0,997 9,65 che ilica un errore di solo lo 0,%. 58

19 Esercitazione nuero 4 4 Marzo 999 rasforazioni con i gas ideali. Utilizzando la relazione dei gas ideali si stabilisca la ressione che si ottiene in una bobola di ossigeno da 00 litri che viene ortata a 60 C artendo da una ressione di 00ata e da una teeratura di 0 C. Si stabilisca inoltre la assa in chilograi. E noto che la relazione di conversine tra la grandezza del sistea tecnico e quella SI riguardante la ressione è la seguente: 4 f ata 0 Coe ria cosa trasforiao le grandezze in questione in unità SI: 00l 0, 00ata 9,6MPa i 9K f K Nella situazione iniziale si uò scrivere la legge dei gas erfetti coe segue: ii N i Ri () entre, nella situazione finale si avrà: f f N f R f Considero ora il raorto tra le ultie due relazioni scritte, ottenendo: f f N f R f ii N i Ri enendo ora conto del fatto che, durante la trasforazione, il volue e il nuero di oli non cabia (ed essendo R una costante), l ultia relazione scritta si uò così selificare: f f i i dalla quale è facile ricavare: f f i, MPa i Eslicitiao ora la relazione () risetto al nuero di oli ottenendo: ii N 60ol Ri Ricordiao ora che la olecola dell ossigeno è una olecola biatoica e che la assa atoica dell ossigeno è: Ma 6ua dunque la assa olare della olecola di ossigeno sarà: M Ma ua Conoscendo la assa olecolare dell ossigeno e il nuero di oli resenti si uò dunque ricavare facilente il eso in chilograi dell ossigeno: M M N 5, 547 E iortante osservare che, nella realtà, nelle condizioni iniziali ioste, non si è in resenza di gas a di liquido. Si valutino i araetri di stato, la variazione di entalia e di entroia, il calore scabiato e il lavoro svolto dall aria che subisce la trasforazione isobara raresentata nei due grafici della agina seguente. Si assua er l aria una assa olare ari a: M 8, 96 kol Coe ria cosa calcoliao la costante olare dei gas erfetti relativa all aria che sarà: J R 84 R* kolk 87 M 8,98 kol J K 59

20 Sfruttiao ora la legge dei gas erfetti er ricavare la assa di aria in gioco. Conoscendo la ressione e il volue iniziali (indicati sul grafico) e utilizzando la forula con la costante olare si ottiene direttaente la quantità in chilograi sfruttando la seguente fora della relazione: M 7, 4 R * [bar] 60 0, 0, 9K [ ] S S Sfruttiao ora la edesia equazione eslicitandola in odo da ricavare la teeratura ed utilizziao i dati relativi al unto (sia la assa che la ressione riangono ovviaente le stesse); ricaviao così la teeratura relativa alla seconda isotera resente nella raresentazione sul iano,: 879K R * M Cerchiao ora la variazione di entalia; consideriao dunque la seguente esressione differenziale di tale otenziale terodinaico: dh du + d + d Siccoe siao in resenza di una trasforazione isobara la ressione non varia e quindi quest ultia relazione uò essere scritta coe segue: dh du + d Ricordiao ora la seguente fora del rio rinciio della terodinaica: du dq d Cobinando le ultie due relazioni scritte si ottiene: dh dq e quindi, integrando: H Q eniao ora conto del fatto che l aria è coosta in gran arte di azoto ed ossigeno, entrabe olecole biatoiche, ciò significa che ossiao con ragionevolezza iorre che i calori assici a volue ed a ressione costanti er l aria sia: 5 c R * 7 cp R * Ricordando a questo unto l esressione legata al calore ossiao ricavare in un sol colo la variazione di entalia ed il calore scabiato: H Q McP 40kJ La variazione di energia interna sarà invece la seguente: U Mc 00kJ Sfruttiao ora le definizioni classiche er ricavare il lavoro svolto e la variazione di entroia, si otterrà così: 60

21 W d 00kJ Q McPd kj S McP ln 7,88 d K Si valuti il lavoro svolto, la variazione di energia interna, il calore scabiato, la variazione di entalia e di entroia nel corso della trasforazione isocora descritta nei due grafici seguenti er la edesia iscela di aria dell esercizio recedente. [bar] 879K K 0, [ ] S S La assa di aria in questione, così coe la costante assica dell aria e i calori assici, è la edesia calcolata nell esercizio recedente. Siccoe si tratta di una trasforazione isocora, non uò esserci lavoro e quindi il rio rinciio della terodinaica si uò riscrivere coe segue: U Q Alicando allora la definizione di calore si ottiene: U Q Mc 00kJ Il calcolo della variazione di entalia avviene secondo la relazione: H McP 40kJ Per calcolare la variazione di entroia utilizziao la definizione classica ottenendo: Q Mc d kj S Mc ln 5,6 K Utilizziao ora quest ultia relazione er una breve osservazione; riscriviaola innanzitutto in fora iù generica: S Mc ln Da questa relazione si uò ricavare: ovvero: ln e Corendiao dunque coe ai, essendo il calore assico a volue costante inore di quello a ressione costante, l isocora abbia una endenza aggiore risetto all isobara sul iano,s. alutare la ressione dello stato finale, il lavoro svolto, il calore scabiato e la variazione di energia interna e di entroia nella trasforazione indicata isotera indicata nei due grafici della agina seguente er la edesia iscela di aria ria vista. Anche in questo caso la assa di aria, i calori assici e la costante assica sono identici a quelli degli esercizi recedenti. Siccoe la teeratura non varia durante la trasforazione, vale la relazione secondo la quale: S Mc S Mc 6

22 Da questa relazione aare evidente coe sia già ossibile ricavare l unica ressione incognita; si avrà dunque: 0bar [bar] 60 9K 0, 0, [ ] S S Sfruttiao ora la relazione dei gas erfetti er eslicitare l esressione della ressione, ottenendo: MR * alutiao ora il lavoro rodotto traite la definizione classica: W Cobinando le ultie due relazioni scritte si ottiene: MR * d W d MR * MR * ln 660kJ Osserviao ora la seguente relazione: du c d dalla quale aare evidente che, nel caso di una trasforazione isotera, la variazione di energia interna è nulla; ciò significa, cobinando questa osservazione con il rio rinciio della terodinaica, che il calore scabiato nella trasforazione è ari al lavoro rodotto e quindi si avrà: Q W 660kJ Ricordiao infine la relazione secondo la quale: Q ds dalla quale, eslicitando risetto alla variazione di entroia, si ottiene: ds Q e quindi: kj S Q Q Q, 5 K Si valuti la teeratura e la ressione finali, la variazione di energia interna, di entroia e di entalia che caratterizzano la trasforazione adiabatica fatta dall aria er soddisfare ai grafici della agina seguente. Stiao sere arlando della edesia assa d aria e quindi, essendoci le edesie condizioni iniziali degli altri esercizi, i calori assici e la costante ridotta saranno i edesii. Coe ria cosa, dunque, ricordiao che l esressione di una trasforazione adiabatica è la seguente: γ const dove sia: d 6

23 nel nostro caso, quindi, si avrà: c γ c P γ,4 [bar] , 0, [ ] S Essendo una trasforazione adiabatica si otrà scrivere che: γ γ () dalla quale si ricava: γ, 9bar Si è già visto in recedenza (si veda la lezione nuero 7) coe, a artire dalla legge dei gas erfetti, sia ossibile arrivare alla seguente relazione: () A artire dalla relazione (), invece, si uò dedurre la relazione seguente: γ γ dalla quale si ricava: γ Sostituendo dunque quest ultia relazione nell equazione () si ottiene: 6 γ γ dalla quale è iediato ricavare la teeratura relativa allo stato finale: γ γ 89K Coe si uò facilente osservare dal grafico sul iano,s, questa trasforazione non revede variazione di entroia e quindi il calore scabiato sarà nullo; coe conseguenza la variazione di energia interna dienderà coletaente dal lavoro svolto; si avrà allora: W U Mc 5kJ La variazione di entalia, invece, si ottiene sfruttando la seguente relazione: H McP 746kJ

24 Si valuti ora la teeratura e la ressione finali dell aria, il calore scabiato, la variazione di energia interna, la variazione di entalia, il lavoro svolto e la variazione di entroia legate alle due trasforazioni olitroiche con n ari, risettivaente ad, e ad,5 raresentate nel grafico seguente e con le edesie condizioni iniziali viste negli esercizi recedenti. [bar] 60 0, 0, Politroica con n, Adiabatica (olitroica con n,4 ) Politroica con n,5 [ ] Nel grafico viene raresentata anche la trasforazione adiabatica che, coe è noto, resenta un esonente ari ad,4; ciò erette un confronto relativo alle curve caratteristiche delle trasforazioni. Innanzitutto osserviao che, essendo le due trasforazioni in questione delle olitroiche, varrà la seguente relazione: n n () Sfruttando la legge dei gas erfetti saiao, inoltre, coe sia ossibile giungere alla seguente relazione: () Facendo ora riferiento alla relazione () ossiao eslicitare una delle due ressioni nel odo seguente: n () Cobinando, quindi, le ultie due relazioni scritte, si ottiene: n dalla quale si ricava: n K n, 69K n,5 orniao ora a considerare la relazione () ed esriiaola nel odo seguente: n 4,4bar n,,5bar n,5 Ricordiao ora la definizione dell esonente della olitroica, secondo la quale: c X cp n c X c dalla quale si ricava: kj 0,9 n, n k K c X c n kj 0,4 n,5 K A questo unto ossiao, sfruttando le definizione, calcolare il calore scabiato coe segue: 64

25 40kJ n, Q McX 7kJ n,5 La variazione di energia interna verrà invece ricavata sfruttando la seguente relazione: 40kJ n, U Mc 65kJ n,5 La variazione di entalia, invece, si ricava sfruttando la relazione seguente: 588kJ n, H McP 889kJ n,5 La variazione di entroia si ottiene traite la seguente esressione: kj 4,045 n, S K Mc X ln kj 4,056 n,5 K Conoscendo, infine, il calore scabiato e la variazione di energia interna, osso sfruttare il rio rinciio della terodinaica er ricavare il lavoro svolto coe segue: 560kJ n, W Q U 508kJ n,5 Un reciiente rigido, adiabatico ed iereabile è internaente diviso in due sezioni searate. La ria sezione contiene di anidride carbonica ad una ressione di ata e ad una teeratura di 00 C. La seconda sezione contiene 0, di elio ad una ressione di ata e ad una teeratura di 50 C. In un certo istante il setto che searava i due gas viene riosso e questi ossono iscelarsi. Si valuti il volue, la ressione e la teeratura finali della iscela, le ressioni arziali finali, la variazione colessiva dell entroia ed il contributo a tale variazione aortato dall entroia di iscelaento. Siano noti, inoltre, i due valori del calore secifico a volue costante er quanto riguarda l anidride carbonica a 00 e 400 kelvin che, ottenuti serientalente, sono ari risettivaente 8,7 e,7. Osservando il sistea nella sua interezza ossiao notare coe, essendo questo contenuto in un reciiente rigido, adiabatico ed iereabile, ria e doo la iscelazione non ci sarà nessuna differenza er quanto riguarda il volue, il nuero di oli e l energia interna, sono dunque valide le tre seguenti relazioni: U i U f i f N i N f Se consideriao, invece, il sistea coe coosto dai due sottosistei (l anidride carbonica) e (l elio), ossiao osservare coe, essendo valida la rorietà di additività er il volue, il nuero di oli e l energia interna, si ossono considerare le seguenti tre relazioni: U U + U + N N + N La teeratura finale del sistea si otterrà sfruttando la seguente relazione: Nc ( i f ) N c ( f i ) dalla quale si ricava: Nc + N c f () Nc + N c Coe ria cosa notiao, dunque, che sono necessari i nueri di oli delle due secie chiiche resenti; er ricavare tale valore è oortuno ria valutare la assa olare dei due gas: M MaC + MaO 44 kol M MaHe 4 kol Ora, conoscendo la assa e la assa olecolare dei due gas, si uò facilente ricavare il nuero di oli: 65

26 M N,7 0 kol M M N 7,5 0 kol M Con riferiento alla relazione () vediao coe sia necessario ricavare anche il calore secifico a volue costante relativo ai due gas. Per quanto riguarda l elio, notiao coe questo, essendo un gas onoatoico, resenta un calore secifico a volue costante esresso dalla seguente relazione: kj kolk c R, 47 Per quanto riguarda, invece, l anidride carbonica, il calore secifico a volue costante si otterrà traite una estraolazione lineare che si basi sui due valori serientali che vengono forniti nel testo. enendo dunque conto che l elio è inizialente ad una teeratura di 4K, il calore secifico a volue costante che stiao cercando si otterrà con la seguente forula:,7 8,7,7 8,7 kj kolk c 4 + 8,7 00 4, Sostituiao ora le ultie quattro relazioni scritte nell equazione () e otteniao il valore nuerico della teeratura finale del sistea in analisi: N c + N c f 400K Nc + N c Sfruttiao ora la legge dei gas erfetti relativaente alle due età del sistea iniziale ed eslicitiaola risetto al volue, ottenendo: 0,78 NR 0,896 N R Ricordando la rorietà di additività del volue ossiao ricavare coe segue il volue colessivo: ot f +, 64 Conoscendo il nuero di oli relativo alle due età del sistea iniziale ossiao ricavare il nuero colessivo di oli del sistea nello stato finale usando la relazione seguente: N ot N + N 9,77 0 kol A questo unto, conoscendo il nuero totale di oli, il volue colessivo e la teeratura finale, osso ricavare la ressione finale del sistea eslicitando risetto alla ressione la legge dei gas erfetti relativa all intero sistea: N R ot 5 f,0 0 Pa, 0bar f f Sfruttando la edesia equazione, nella quale si sostituisca erò il nuero di oli relativo ai singoli coonenti, si ossono ottenere le ressioni arziali finali dei due gas: NR f f 0,47bar f N R f f,55bar f Ovviaente si uò diostrare coe sia valida la legge di Dalton, infatti si uò verificare nuericaente coe sia: ot f fj f + f j Dobbiao ora valutare la variazione colessiva di entroia che si uò ottenere traite la seguente relazione: ot ot S S f S i Per calcolare l entroia facciao riferiento alla seguente forula: 66

27 N N 0 S S0 + Nc ln + NR ln N N La variazione colessiva di entroia uò essere calcolata anche coe soa delle variazioni di entroia relative alle due coonenti del sistea; si avrà allora, ricordando l ultia relazione scritta: ot f f f f kj S ( S f Si ) + ( S f S i ) Nc ln + NR ln + N c ln + N R ln 0,56 K Il contributo alla variazione di entroia aortato dal iscelaento (che renderà il noe di variazione di entroia di iscelaento) sarà invece dato dalla seguente relazione: Not N ot kj S Miscelaento N R ln + N R ln 0, 440 N N K Confrontando la variazione colessiva di entroia con il terine dovuto al iscelaento si osserva che quest ultio raresenta il contributo aggiore; ciò è corensibile osservando che la differenza di ressione e di volue iniziali dei due gas era olto iccola e quindi l effetto aggiorente significativo che è avvenuto è il iscelaento chiico. 67

28 Esercitazione nuero 5 Marzo 999 rasforazioni er i sistei chiusi. Calori secifici. eorea di Bernoulli. Il coefficiente di Joule-hoson. Si consideri un contenitore adiabatico antenuto a ressione e teeratura abiente. Al suo interno è contenuta una assa di aria ad una teeratura ari a quella esterna a ad una ressione inferiore risetto a quella esterna. Sulla suerficie del contenitore viene raticato un foro attraverso il quale entra, a cause della differenza di ressione, una assa M di aria. Si calcoli la assa M di aria che è entrata, la teeratura finale dell aria all interno del contenitore e la variazione di entroia. M 0 0 i 0 i < 0 Coe ria cosa osserviao che il lavoro coiuto dal gas sarà uguale e oosto al lavoro coiuto dal resto dell atosfera, ovvero: dwgas dw at () Calcoliao dunque il lavoro del gas traite il calcolo del lavoro dell atosfera; si avrà dunque: W at d 0 0 MR * + 0 Siccoe si tratta di una assa d aria che entra nel contenitore, stiao arlando di lavoro di ulsione. Concentriaoci ora sul rio rinciio secondo il quale si ha: Q W U gas Siccoe erò il calore scabiato è trascurabile in quanto la variazione è olto raida, riane: U gas W ovvero: W ( M + ) c ( f 0 ) enendo allora conto di quest ultia relazione e della relazione (), l uguaglianza () uò essere riscritta nel odo seguente: MR * 0 ( M + ) c ( f 0 ) dalla quale si ricava: M cp f M + M c Definendo oi: cp k c che, nel caso di una trasforazione adiabatica ha un valore nuerico ari ad,4, si ricava: + km f 0 () + M Si uò tra l altro osservare che: li k f () 68

29 69 Per calcolare la assa di aria M che è entrata nel contenitore dobbiao fare riferiento alla differenza di ressione tra l interno e l esterno del contenitore stesso. Dividiao dunque la relazione () er la teeratura iniziale, ottenendo: ( ) ( ) M M k M km f (4) Sfruttiao ora l equazione dei gas erfetti e osserviao che si avrà: + f i R M R * * 0 0 dalle quali si ricava che: 0 0 i f M (5) Sostituendo dunque quest ultia relazione nell esressione (4) si ottiene: f i f i f k Per selicità di notazione oniao ora che sia: 0 0 M f i τ µ π In questo odo le relazioni (4) e (5) ossono risettivaente essere riscritte nel odo seguente: + + τ π µ µ µ τ k Risolviao l ultio sistea scritto eliinando la µ e ottenendo di conseguenza: + k k π π τ che equivale a scrivere: k k i i o f Una volta ricavata la τ è allora ossibile ricavare la µ ottenendo: k π µ che corrisonde a scrivere:

30 0 M i k da cui si ricava: 0 i M k Per ricavare, infine, la variazione di entroia, sfruttiao la seguente relazione: f v f f f s c ln + R ln c ln R ln i vi i i Nel caso in questione si avrà: S Sest + S int ovvero: f f 0 S Mc ln + c ln R ln 0 0 i Si consideri un cilindro adiabatico contenente della aglietta di rae di assa e del gas di assa M. Il gas viene coresso grazie ad un istone anch esso adiabatico. Nell iotesi che ci sia ooteria tra il gas e il rae e che il tutto avvenga in regie di quasistaticità, valutare che tio di trasforazione subisce il gas. Partiao ria di tutto considerando l iotesi di ooteria tra il gas e il rae, dalla quale ricaviao che: d gas d Cu (6) e quindi: gas Cu A riori si uò solo dire che la trasforazione subita dal rae è una trasforazione a volue costante (anche considerando alte ressioni si arriverà a coriere la aglietta con il istone ria che la aglietta venga coressa a causa della ressione) e quindi si avrà: QCu ccu Il calore scabiato dalla aglietta di rae è dunque dato dalla relazione: Q Cu ccudcu c dcu Per quanto riguarda, invece, il gas, non è ossibile dire niente e quindi si avrà: Qgas cgas M x e quindi il calore scabiato dal gas è: Q gas Mcgasdgas Mcxdgas Siccoe il contenitore e il istone sono adiabatici non otrà che essere: 70

31 Q Cu Q gas ovvero: c dcu Mcxdgas Cobinando quest ultia relazione con la relazione (6) si ottiene: c dcu McxdCu e quindi: c Mc x dalla quale si ricava: cx c M Il calore secifico a volue costante er il rae è ositivo, coe conseguenza cx risulterà negativo e ciò significa che fornendo calore alla assa di gas la sua teeratura diinuisce in quanto il calore che viene fornito dal istone al gas viene ceduto alla aglietta di rae. Si consideri il grafico seguente e si studi la situazione ivi raresentata. Q w W z Sezione W Q Sezione z Q w W Coe ria cosa estendiao il rio rinciio della terodinaica al caso qui raresentato e consideriao la seguente relazione: E k + E P + U Qot + Wot (7) dove sia: Ek M ( w w ) E P Mg( z z ) U M ( u u) W tot W W + W Mv Mv + W Qtot Q Q + Q dove si è definita la ortata nel odo seguente: M t Dividiao ora la relazione (7) er il teo e cobiniaola con le relazioni che aaiono nell ultio sistea scritto; si otterrà così: M ( w w ) + M g( z z ) + M ( u u) M ( v v ) Ricordando la seguente esressione dell entalia h u + v ossiao cobinare le ultie due relazioni scritte ed ottenere: W Q+ (8) 7