CORSO DI FISICA TECNICA A.A. 03-04 Sezione 0b Prof. Ing. Sergio Montelpare Dipartimento INGEO Università G. d Annunzio Chieti-Pescara
Lavoro di un gas ideale in un Sistema Chiuso Un Sistema Termodinamico si dice Chiuso se non consente flussi di massa attraverso i suoi contorni. Il lavoro, che un gas compie quando espandendosi sposta i contorni del sistema in cui è racchiuso, è fatto dalle forze di pressione. Poiché lo spostamento del contorno può essere utilizzato dall esterno, ad esempio per variare l Energia potenziale, si assume Positivo il Lavoro di Espansione (fatto dal Sistema, quindi Uscente) e Negativo quello di Compressione (fatto sul Sistema, quindi Entrante). Il lavoro non è una grandezza di stato che dipende solo dagli stati iniziali e finali, bensì una grandezza di scambio che dipende dal percorso effettuato; nella figura in basso ai tre percorsi A, B e C corrispondono tre differenti valori del lavoro esercitato verso l esterno pur essendo comuni i punti e.
Lavoro di un gas ideale in un Sistema Chiuso Si consideri un sistema chiuso con parete mobile, costituito da un cilindro contenente del gas e da un pistone ermetico. Si ipotizzi di partire da una iniziale situazione di equilibrio in cui il gas contrappone sul pistone una pressione P in grado di sostenere il peso proprio del pistone e quello di un generico peso aggiuntivo. Fornendo calore e lasciando il pistone libero di muoversi questi passerà, attraverso una trasformazione quasi statica, ad una condizione finale di equilibrio, in cui la pressione del gas andrà ancora a contrastare la medesima forza peso complessiva e quindi si potrà desumere che il suo valore rimanga costante. Il lavoro è esprimibile come prodotto L = F s = P π d 4 h = P (V V ) = P ΔV J fin in scalare fra forza e spostamento; nel caso [ ] del pistone il lavoro della pressione sarà pari al prodotto della forza risultante dalla pressione sulla superficie del pistone per lo spostamento h. Il prodotto fra la superficie e l altezza è proprio il volume spazzato. In termini infinitesimi h p vale la seguente relazione: p = costante δ L = PdV d Che integrata fra gli stati iniziali e finali p diviene: fin L = PdV in E bene ricordare che il lavoro dipende dal percorso della traformazione. Espansione
Lavoro di un gas ideale in un Sistema Chiuso Riportando su un grafico pressione volume la trasformazione termodinamica in oggetto, si ottiene un segmento di retta orizzontale corrispondente ad una trasformazione con pressione costante. Partendo dall equazione generale del lavoro ed osservando che un termine costante può essere portato fuori dall operatore integrale, si ottiene la seguente espressione finale: P P L = Trasformazione ISOBARA P = costante fin Lavoro = area PdV = P dv in fin in = P( V fin V in ) V in V fin V Il prodotto P (V fin -V in ) corrisponde graficamente all area sottesa al segmento di retta che collega i punti iniziale e finale. Per un gas ideale si ha che V = mrt P e quindi L = P( V fin V in ) = mr( T fin T in )
Lavoro di un gas ideale in un Sistema Chiuso Nel caso di una trasformazione che avviene a temperatura costante cambieranno contestualmente sia la pressione che il volume. Facendo riferimento all equazione del gas ideale si può comprendere come le due grandezza dovranno cambiare in modo tale che sia costante il loro prodotto. p Trasformazione ISOTERMA T = costante Per un gas ideale P V = mrt P = mrt V L = p in p fin fin PdV = in V in fin mrt V dv = mrt dv V in V fin Lavoro = area V riprendendo lequazione di stato V = mrt P fin in = mrt ln V fin V in L = mrt ln P in P fin p in > p fin
Lavoro di un gas ideale in un Sistema Chiuso In molti casi reali il legame fra pressione e volume è tale da seguire una trasformazione di tipo politropica. L esponente n della politropica può assumere differenti valori; nel caso in cui n sia pari a k avremo a che fare con una trasformazione adiabatica, ossia in una trasformazione in cui non vi è scambio di calore con l esterno. p p in p fin V in V fin Lavoro = area V Trasformazione ADIABATICA Q = 0 P V n = costante = P V n = P V n = C P = C V n L = PdV = C V n dv = C V n dv = C n + V n+ = C V n+ n+ V n + Osservando che P = V n P V = V n n V, che P V = mrt e che L = P V PV n n L = mrt in n V fin V in n In una adiabatica n = k = c p c v =,4 = P V P V n = P V n P V P V
Lavoro di un gas ideale in un Sistema Aperto
Lavoro di un gas ideale in un Sistema Aperto L pulsione = F! s! = ( P A) d = P V Nella sezione di ingresso: L in = P V Nella sezione di uscita: L out = P V Complessivamente: L tot = PdV = L elica Ricordando che: d P V P V + P V = P dv + V dp allora d( P V) = P dv + V dp e quindi P dv = d P V V dp = P V P V V dp riprendendo la precedente espressione del lavoro totale: L tot = P dv = P V P V V dp quindi L elica = V dp = L elica P V + P V
P Lavoro di un gas ideale in un Sistema Aperto Anche per un sistema aperto una trasformazione isobara corrisponde, su un grafico pressione volume, ad un segmento di retta orizzontale. Il lavoro utile d elica per un sistema aperto in una trasformazione isobara ha però un valore nullo. Anche graficamente si può facilmente verificare questo risultato, in quanto l espressione matematica del lavoro d elica corrisponde all area sottesa alla curva rispetto all asse delle ordinate e per questo tipo di trasformazione l area è nulla. Per una trasformazione isocora, ovvero a volume costante, il lavora d elica assume un espressione particolarmente semplice e corrisponde all area del rettangolo compreso fra il segmento della trasformazione e l asse delle ordinate. Trasformazione ISOBARA P = costante P P fin Trasformazione ISOCORA V = costante P P in V in V fin V V V L elica fin = VdP = V dp = 0 in fin in L elica fin = VdP = V dp in fin in = V ( P in P fin )
Il Calore Il calore è definito come la forma di energia che si trasferisce tra due sistemi (o tra un sistema e l ambiente) in virtù di una differenza di temperatura. Come il Lavoro, anche il Calore risulta essere una Funzione di Scambio, e non di Stato. Risulta infatti impossibile definire quant è il calore in uno stato di una trasformazione, mentre è possibile definire la quantità di calore scambiata durante una trasformazione. Il Calore assume valori Positivi se risulta Entrante nel sistema; Negativo se Uscente. Dal punto di vista matematico: le grandezze di stato sono differenziali esatti: dt = T T ed inoltre dt = 0 du = U U ed inoltre du = 0 L > 0 le grandezze di scambio NON sono differenziali esatti δ L = L δ Q = Q Q > 0
I Principio della Termodinamica Il I Principio della Termodinamica è in realtà la forma completa del Principio di Conservazione dell Energia Totale (E). Q L = ΔE = E f E i E totale = E int erna + E cinetica + E potenziale E importante sottolineare che il termine relativo al Lavoro, L, non include solo la parte associata alla variazione di volume del sistema, ma comprende anche i contributi delle altre forze esterne al sistema. - L + Q DE
La Variazione di Energia Totale di un Sistema Chiuso Come visto in precedenza, l Energia Totale è data dalla somma di 3 contributi, la sua variazione sarà quindi data da: ΔE totale = ΔE int erna + m ( v fin v ) in + m g( z fin z ) in In un sistema chiuso, tuttavia, le variazioni di energia cinetica e potenziale del sistema sono nulle, si avrà così che la variazione di Energia Totale sarà pari solo alla variazione dell Energia Interna: ΔE interna = ΔE sensibile + ΔE latente = m c ( T fin T ) in + m c latente Nel caso il sistema chiuso contenga solo Gas Ideale avremo: Q L = ΔE totale = ΔE sensibile = ( U fin U ) in [ J] q l = Δu!Q!L = du dt!q! l = du dt J kg nel caso di grandezze specifiche [ W ] nel caso di variazioni nel tempo, ovvero potenze W kg nel caso di potenze specifiche
La Variazione di Energia Totale di un Sistema Aperto Partendo da quanto scritto per un sistema chiuso ed adottando i risultati relativi al lavoro per un sistema aperto avremo che: δ q δ l = du può essere scritto come δ q P dv = du ma ricordando che d P v si avrà che δ q d P v δ q + v dp = du + d P v = P dv + v dp + v dp = du e quindi ovvero δ q δ l = d( u + P v) Introducendo la definizione di ENTALPIA come: J h = u + P v kg o H = U + P V [ J] Si otterrà che per un sistema aperto il primo principio può essere scritto come: δ q δ l = dh o Q L = ΔH In termini finiti e nel caso di energia cinetica e potenziale non trascurabili lequazione completa del primo principio diventa: Q L = ΔH + m ( v fin v ) in + m g( z fin z ) in
Il Calore Specifico Calore specifico: c [kj/(kg C)] Energia necessaria per innalzare di un grado la temperatura della massa unitaria di una sostanza. In generale tale energia dipende dal tipo di trasformazione con cui avviene la somministrazione di energia Aria V = costante m = kg DT = C c v ~ 0.7 kj/(kg C) m = kg DT = C c = 5 kj/(kg C) Q = 5 kj Calore specifico a volume costante: c v Energia necessaria per innalzare di un grado la temperatura della massa unitaria di una sostanza con un riscaldamento a volume costante Q ~ 0.7 kj Calore specifico a pressione costante: c p Energia necessaria per innalzare di un grado la temperatura della massa unitaria di una sostanza con un riscaldamento a pressione costante. Il calore specifico a pressione costante è maggiore rispetto a quello a volume costante perché oltre all energia necessaria ad innalzare la temperatura della massa di gas, è necessario fornire il lavoro necessario a spostare il confine del sistema. Q ~ kj Aria p = costante m = kg DT = C c p ~ kj/(kg C) <
Il Calore Specifico I calori specifici sono legati all energia interna e all entalpia; in particolare il calore specifico a volume costante è legato alla variazione di energia interna, mentre il calore specifico a pressione costante è legato alla variazione di entalpia. Questo non deve stupire se si pensa che l entalpia lega sia l energia interna che il lavoro delle forze di pressione. Dalle relazioni riportate accanto si vede che i calori specifici sono definiti in funzione di altre proprietà e sono quindi essi stessi delle proprietà. Come le altre grandezze essi dipendono dallo stato del sistema e quindi sono definiti mediante due proprietà intensive. Ad esempio variando la temperatura del sistema cambia il valore del calore specifico. c v = c p = u T h T v p k = c p c v ( p,t) = f 4 v,t c v = f ( v,t) = f p,t c p = f 3
Il Calore Specifico di un Gas Perfetto Per un gas perfetto l energia interna e l entalpia dipendono solo dalla temperatura e non da pressione e volume. Essendo, da quanto visto, i calori specifici derivabili da entalpia ed energia interna, ne deriva che i risultati precedenti valgono non solo per trasformazioni isocore e isobare ma per qualunque trasformazione. pv = RT u = u(t) h = h( T) = u( T) + RT Essendo i calori specifici funzione della temperatura, per passare dall espressione differenziale all espressione finita è necessario introdurre una semplificazione. Ciò che normalmente si fa è introdurre il valore medio fra la temperatura iniziale e la temperatura finale della trasformazione. c v (T) = du dt u T u( T ) = c v ( T T ) c p (T) = dh dt ( h h ) = c p ( T T ) Partendo dall equazione dell entalpia si trova il legame fra i calori specifici e la costante R del gas. h = h(t) = u(t) + RT c p ( T) = k R k c v ( T) = R k dh dt = du dt + R c ( T) = c ( T) + R p v c p > c v k = c p c v >
Il Calore Specifico delle sostanze incompressibili Poiché l energia interna di una sostanza modellizzata come incompressibile dipende solo dalla temperatura, si avrà che: c v (T) = u(t) T v = du dt Inoltre considerando il volume specifico praticamente costante si ha: h( T,P) = u( T) + Pv h T p c p = du dt + Pertanto, nei limiti di validità delle approssimazioni sopra indicate: E quindi: du = c(t)dt u u = c(t)dt T T c v d dt Pv c p c v c( T) dh = du + vdp + Pdv h h = du + vdp = u u + v P P T h h = c(t)dt + v P P T p p Se il calore specifico c è assunto costante nel range di temperatura T, T : u u = c( T T ) h h = c T ( T ) + v( P P )
Trasformazione Isobara - Sistema Chiuso p P = costante p V in L = fin in V fin Lavoro = area fin in V PdV = P dv = P V fin V in U fin U in = Q P V fin V in Generale m c v ( T fin T ) in = Q m R ( T fin T ) in Q = m ( c v + R) ( T fin T ) in = m c p ( T fin T ) in Gas Ideale
Trasformazione Isocora - Sistema Chiuso p V = costante p fin p in V in L = fin PdV = 0 in U fin U in = Q V Generale Stato Iniziale Stato Finale m c v ( T fin T ) in = Q P fin = T fin T in P in Gas Ideale
Trasformazione Isoterma - Sistema Chiuso p T = costante p in p fin V in V fin L = fin in PdV U fin U in = Q L Lavoro = area V Generale Stato Iniziale Stato Finale = 0 = Q m R T dv V m c v T fin T in L = mrt in ln V fin V in = Q fin in Gas Ideale
Trasformazione Adiabatica - Sistema Chiuso p Q = 0 L = p in p fin fin in V in PdV U fin U in = L V fin Lavoro = area V Generale Stato Iniziale Stato Finale = 0 PdV m c v T fin T in fin L = m c v ( T in T ) fin = mrt in k in V fin V in k Gas Ideale
Processi dei Gas Perfetti Sistemi CHIUSI Sistemi CON DEFLUSSO δ q δ l = du Pv = RT (trasformazione reversibile) Trasformazione ISOCORA: v = costante δ q δ l = dh P T = R v = costante P = T P T (trasformazione reversibile) δ l = Pdv = 0 l = 0 δ q = du = c v dt q = u u = c v T T δ l = vdp l = v P P = v( P P ) δ q = dh + δ l = c p dt vdp + v( P P ) q = c p T T
Processi dei Gas Perfetti Sistemi CHIUSI δ q δ l = du Pv = RT (trasformazione reversibile) δ l = Pdv l = P v v δ q = du δ l = c v dt δ l Trasformazione ISOBARA: p = costante P( v v ) q = c v T T Sistemi CON DEFLUSSO δ q δ l = dh v T = R P = costante v v = T T (trasformazione reversibile) δ l = vdp = 0 l = 0 δ q = dh = c p dt q = c p T T
Processi dei Gas Perfetti δ l = Pdv Sistemi CHIUSI δ q δ l = du Sistemi CON DEFLUSSO Trasformazione ISOTERMA: T = costante dt = 0 Pv = RT = costante P v = P v (trasformazione reversibile) δ l = vdp δ q δ l = dh v v = P P (trasformazione reversibile) l = v Pdv = RT v dv = RT ln v v v v δ q = du + δ l = c v dt + Pdv = δ l q = l v P l = vdp = RT P dp = RT ln P P δ q = dh + δ l = c p dt vdp = δ l q = l P P P
Processi dei Gas Perfetti Trasformazione ISOTERMA: T = costante dt = 0 q = l = Pv = RT = costante P v = P v Sistemi CHIUSI p v Pdv = RT v dv = RT ln v v v v v p v v = P P Sistemi CON DEFLUSSO P q = l = vdp = RT P dp = RT ln P P P P P p N.B. Le due quantità sono uguali v v p
Processi dei Gas Perfetti Sistemi CHIUSI δ q δ l = du Pv k = P v k = P v k = costante Sistemi CON DEFLUSSO Trasformazione ADIABATICA: q = 0 k = c p /c v > δ l = δ q du = du l = u u = c v T T l = ( k P v P v ) = = k P v P P k k k T v k k = costante T P δ l = δ q dh = dh = costante l = h h = c p T T l δ q δ l = dh = k ( k P v P v ) = = k k P v P P k k
Processi dei Gas Perfetti Trasformazione ADIABATICA: q = 0 k = c p /c v > l = k P v P P l = k k P v P P k k k k p p A p B l l l = k l v A v B v
Sistemi con Deflusso in Regime Stazionario - Pompa q l p w lp = A A + v ( v ) + g z z = h h v l p q è circa zero perché il sistema è considerato adiabatico verso lesterno v v perché si considerano uguali le sezioni di ingresso ed uscita del fluido nella pompa e, quindi, essendo il sistema stazionario si deve conservare la massa e di conseguenza la velocità nelle due sezioni z z viene considerato quasi zero per il ridotto dislivello geodetico l = h h v w
Sistemi con Deflusso in Regime Stazionario - Pompa lp = l v v l = vdp = h h P P p w A A p w Se consideriamo una pompa ideale, ovvero in assenza di perdite ed attriti, che elabora un liquido, che possiamo assumere come incomprimibile: l,ideale l p,ideale P = vdp P = l,ideale P = v dp = v P P P = v P P
Sistemi con Deflusso in Regime Stazionario - Laminazione v p T w A A Il processo di laminazione di un fluido consiste in una consistente riduzione della pressione del fluido, ottenuta facendolo passare in un brusco restringimento di sezione del circuito (valvole, tubi capillari ecc.). La diminuzione di pressione è dovuto all effetto delle irreversibilità, in primo luogo delle forze di attrito (particolarmente elevate in corrispondenza del restringimento) tra fluido e pareti del condotto. q l + v ( v ) + g z z = h h q 0 poiché il sistema viene considerato adiabatico verso lesterno l 0 poiché non vi sono organi che forniscono o acquisiscono lavoro v ( v ) 0 poiché non vi sono variazioni di velocità fra ingresso ed uscita 0 poiché non vi sono variazioni significative di quota z z h = h v p T w Il processo di laminazione può essere trattato come ISOENTALPICO
Sistemi con Deflusso in Regime Stazionario - Scambiatore adiabatica m m Ain, Aout, T A,in m Bin, T B,in T A T B Q adiabatica T A,out m Bout, T B,out Gli scambiatori di calore a superficie sono dispositivi con cui si vuole realizzare uno scambio di calore (ma non di lavoro) tra due fluidi, senza che questi si miscelino. A tale scopo i due fluidi sono separati da una parete che consenta lo scambio di calore ma non di massa. Allo stato stazionario: m A,in = m A,out = m A e m B,in = m B,out = m B Se si considera un sistema avente tutto lo scambiatore come confini, si avrà che il flusso di calore verso l esterno è nullo, poiché gli scambi avvengono tutti internamente e non verso l esterno: Q L = m i m A B i=a ( h i,out h i,in ) + v i,out ( h A,out h A,in ) + m B ( v i,in ) + g z i,out z i,in ( h B,out h B,in ) = 0 m A ( h A,in h A,out ) = m B ( h B,out h B,in )
Sistemi con Deflusso in Regime Stazionario - Scambiatore Q A L A Q A = m A adiabatica m A m A T A Q T A,out A T B,in T B T A,in m B adiabatica = m A ( h A,out h A,in ) + v A,out ( h A,out h A,in ) < 0 m B T B,out Se invece si considera il sistema solo relativamente ad uno dei due fluidi, ad esempio il volume di controllo costituito dal solo fluido A, si avrà: ( v A,in ) + g z A,out z A,in E la potenza termica ceduta dal fluido caldo al fluido freddo. Analogamente, se si considera il volume di controllo costituito dal solo fluido B, si avrà: Q B L B Q B = m B = m B ( h B,out h B,in ) + v ( B,out v B,in ) + g z B,out z B,in ( h B,out h B,in ) > 0 ed inoltre Q A adiabatica m A m A T A Q T A,out B T B,in T B T A,in m B adiabatica = Q B m B T B,out
Esercizi ) Calcolare la pressione manometrica esercitata sul fondo di un recipiente cilindrico, di raggio R=930 cm e altezza h=0,5 m, pieno di acqua. (Ris. 4905 Pa) ) Calcolare la temperatura di una massa di aria di 0,5 kg, contenuta in un recipiente di 0,8 m 3 ad una pressione di 30000 Pa. (Ris. 74.7 K) 3) Calcolare il lavoro fatto da 0,3 kg di aria a 00000 Pa quando si espande, isobaricamente, da un volume di 0,3 m 3 a 0,45 m 3. Se la temperatura iniziale del gas è paria 697 K, quale sarà la temperatura finale dell aria, dopo l espansione? (Ris. L=30 kj; Tfin.=045.5 K) 4) Qual è la variazione di energia interna dell aria dell esercizio precedente? (Ris. 75067 J) 5) Calcolare il lavoro fatto da 0,3 kg di aria, a temperatura di 697 K e pressione di 00000 Pa, durante un espansione isoterma dal volume di 0,3 m3 a 0,45 m3. Calcolare inoltre la variazione di energia interna. (Ris L=4333 J; Var. En. Int. = 0 J) 6) Quante molecole di aria sono contenute in,6 moli? 7) Quanto è la massa di,5 moli di aria? (Ris. 9.63E+3) (Ris.43.47 g)
Esercizi 8) Una mole di aria, contenuta in un recipiente, si espande adiabaticamente da un volume iniziale, pari a 0 litri, ad un volume finale, di 00 litri. Se la Temperatura iniziale è pari a 350 K calcolare: la pressione finale la temperatura finale il lavoro ottenuto e la variazione di energia interna (Ris.: Pfin.=586 Pa; Tfin.=83.9 K; L = 3453.3 J; DU=-3453.3 J). 9) Due moli di Metano vengono compresse isotermicamente da: una temperatura iniziale di 300 K ed una pressione di 0.000 Pa, fino ad una pressione di 303.000 Pa. Calcolare: la temperatura finale raggiunta dal metano i volumi: iniziale e finale il lavoro necessario alla compressione del gas il calore ceduto all ambiente la variazione di energia interna ( Ris.: Tfin.=300 K; Vin.=0.04939 mc.; Vfin.=0.0646; L=-5480.3 J; Q=-5480.3 J; DU=0 J)
Esercizi 0) Tre moli di Etano vengono portate, durante una trasformazione a volume costante, da: una temperatura iniziale di 300 K ed una pressione di 0.000 Pa, ad una temperatura finale di 500K. Calcolare: - il Volume occupato dal gas - La pressione finale - il lavoro scambiato - il calore scambiato - la variazione di energia interna ( Ris.: V=0.7409 mc.; Pfin=68333 Pa; L= 0 J; Q=6883 J; DU=6883 J)