Produzione di entropi e Loro perduto in un semplice processo irreersiile Frnco di Lierto Diprtimento di Scienze Fisiche niersità di Npoli Federico II INFN- Sezione di Npoli, nism-nr-infm, nità di Npoli dilierto@ninfnit tel + 39 08 676486 - fx + 39 08 676346 Rissunto Nei processi irreersiili c è produzione di entropi, π, ed energi dissipt (o Loro perduto In questo rticolo, si nlizz l relzione tr queste quntità reltimente l pssggio spontneo di clore tr un sorgente cld ed un fredd iene mostrto che si possono definire diersi Il più grnde dei quli è per noi il giusto iene nche mostrto che lo stesso ccde per le mcchine termiche irreersiili e per trsformzioni meno semplici come l espnsione ditic irreersiile di un gs idele strct In the irreersile processes there is entropy production, π nd dissipted energy (or lost ork, In this pper we nlyse the reltion etween such quntities for the irreersile process in which some het flows spontneously from n hot het source to colder one e show tht one cn define different lost works he iggest is for us the true ork It is lso shown tht the sme hppens for the irreersile het engines nd for some complex process like the irreersile ditic expnsion of n idel gs -Introduzione: flusso spontneo di clore e l produzione di entropi L produzione di entropi è un rgomento ffscinnte, in tnti ci lorno [-3] Negli ultimi nni questo rgomento h uto un ruolo decisio, si teorico che sperimentle, nel processo di mssimizzzione dell efficienz delle mcchine termiche [8-8], e cquistndo sempre mggiore rilieo in un epoc in cui l energi è dientt un ene sempre più prezioso ed in cui eitre lo spreco delle risorse ppre un oligo per tutti Forse questo è il motio per cui ci ppre intollerile ssistere ll roin di eni rtistici ed rchitettonici, ll fug dei cerelli e d ltre forme di spreco di risorse umne oltre che mterili
In questo rticolo si indgno le connessioni tr produzione di entropi e dissipzione di energi r i processi in cui c è produzione di entropi possimo indiidure due grosse clssi: l clsse dei processi spontnei, tipo scric di un condenstore nell qule rientrno processi quli l espnsione irreersiile isoterm (o ditic di un gs idele ed i processi ciclici delle mcchine termiche non reersiili l clsse dei processi tipo cric di un condenstore quli l compressione irreersiile isoterm (o ditic di un gs idele ed i processi ciclici delle pompe di clore non reersiili utte le olte che c è un produzione di entropi c è energi dissipt L energi dissipt può essere di due tipi: energi che er disponiile e non imo sputo usrl, l imo dissipt, sprect, inutilizzt L emo portt di mno m non simo stti stnz ccorti d usrl tutt uesto tipo di energi dissipt è presente nei processi spontnei e l chimimo Loro perduto, energi che imo usto con leggerezz, cioè ne imo ust tropp per ottenere un risultto che remmo potuto ottenere con minore dispendio di risorse uest ltro tipo di energi dissipt l chimimo Loro in eccesso o ccesso di loro, XR [6] In questo rticolo ci interessimo solo del primo tipo di produzione di entropi e cerchimo qule si l giust relzione tr entropi prodott e Loro perduto L entropi è un grndezz estensi [,,3] e nei trsferimenti tr sistemi può solo umentre o rimnere inltert [4-33] L esempio che meglio illustr l relzione tr loro perduto e produzione di entropi è il flusso spontneo di clore tr due sorgenti Fig Flusso spontneo di clore tr due sorgenti Sino e sono due termostti tempertur fiss con > Il processo nel qule un quntità di clore >0 fluisce d quello cldo quello freddo, è oimente un processo irreersiile: dl termostto prte dell entropi S up ed l secondo rri un quntità mggiore di entropi, S down Poiché S down > Sup c è stt, eidentemente un crezione di ntropi, inftti π S > 0 ( In ppendice c è un commento sull produzione di entropi in tl cso
3 L situzione è diers nel cso di pssggio reersiile di clore tre due sorgenti > Per relizzre tle pssggio occorre un mcchin termic reersiile (per esempio un mcchin di rnot gs idele che operi ciclicmente tr le due sorgenti In tle processo ciclico reersiile le quntità di clore scmite e sono dierse tr loro, non c è produzione di entropi, π 0 ed il loro reersiile ftto dll mcchin srà Re ( ( ( uest relzione mostr che nel processo ciclico reersiile l entropi che esce dll sorgente rri inltert ll sorgente Inftti, nei processi ciclici reersiili non si cre entropi ed il loro ftto è douto l trsferimento di entropi dll sorgente cld quell fredd, così come nei si comunicnti il fluido pss dll lt pressione ll ss pressione o come l cric elettric nei conduttori pss dl potenzile lto quello sso [,8-30] Osserimo che, inece, che nel flusso spontneo di clore tr le due sorgenti c è stt l produzione di entropi ( e non è stto ftto lcun loro Disponendo di un mcchin reersiile, quest, operndo ciclicmente, ree potuto effetture un loro perduto e pertnto lo indichimo con Dunque in questo cso le loro è ndto In generle per un qulunque processo irreersiile, in cui eng prodotto del loro, si h in questo cso 0 Re (3 Per il clcolo di occorre dunque clcolre, m qule è il processo reersiile che dee eseguire l mcchin? i sono due possiili processi ciclici reersiili corrispondenti l processo spontneo in cui Re l energi fluisce dll sorgente cld ll sorgente fredd: quello in cui si sottre d l quntità di clore e si cede l quntità inferiore down e nel qule l mcchin frà il loro
4 down ( (4 quello in cui si cede l quntità di clore e si sottre l quntità nel qule l mcchin frà il loro p p ( (5 os differenzi i due processi? L quntità di loro prodotto nel primo processo reersiile è inferiore quell prodott nel secondo Il slto di tempertur è lo stesso in entrmi i csi, m l quntità di entropi che iene trsferit dll sorgente ll sorgente è minore nel primo processo, cioè il processo di tipo è quello in cui iene trsferit d un mggiore quntità di entropi ed è nche quello in cui si sottre ll sorgente un mggiore quntità di clore Dunque > Re e quindi > Le due espressioni del loro perduto,, sono entrme in relzione con l produzione di entropi π ( inftti ( π (6 p ( π (7 down Solitmente nei testi uniersitri [6] si f riferimento solo ll (7, forse trtti in ingnno dll seguente scrittur dell produzione di entropi π S ( ( doe il termine nelle qudre rppresent Re cioè il loro ftto d un mcchin termic reersiile che ricee il clore dll sorgente Inece dll nlisi ppen ftt ppre che l (6 (che rppresent l mggiore energi dissipt si l espressione giust per esprimere in generle il, poiché il processo ciclico di tipo è quello in cui c è un mggiore trsferimento di entropi, quello in cui imo portt di mno un mggiore quntità di energi
5 uesto risultto è, d ltronde coerente con qunto si f solitmente nell nlisi del reltimente ll esempio emlemtico dell espnsione isoterm irreersiile di un gs idele ( In tle semplice processo del clore fluisce dll sorgente l gs idele è dunque un riduzione di entropi dell sorgente ( e c è un umento di entropi del gs S gs δ Pd R ln, l produzione di entropi totle è pertnto π S R ln > 0 cioè nel sistem si ritro più entropi di qunt ne si stt sottrtt ll sorgente Per questo processo nche i testi piu riduttii [6] pongono S R ln eidente che il così clcolto è il loro perduto rispetto l processo reersiile che sottre ll sorgente l stess quntità di entropi che iene fornit l sistem (processo di tipo, cioè quello in cui si sottre ll sorgente un quntità di clore mggiore di quell effettimente sottrtt nel processo irreersiile Il reltio processo di tipo sree quello che fornisse l sistem l stess entropi che iene sottrtt ll sorgente, cioè quello in cui si sottresse ll sorgente l quntità di clore, quell sottrtt nel processo irreersiile [34] Insomm nche in questo cso emlemtico iene clcolto rispetto l processo reersiile che trsferisce l mggiore quntità di entropi e che sottre ll sorgente un mggiore quntità di clore uesto rfforz l lidità dell posizione p ( π Relzione che è stt recentemente trot nche nell nlisi di irreersiili [] In quest prim sezione dunque imo nlizzto in lcuni semplici processi per un semplice processo irreersiile I processi ciclici usti sono stti necessri per lutre il loro perduto Nell prossim sezione nlizzimo lcuni processi ciclici non reersiili, cioè le mcchine termiche non reersiili - Produzione di entropi nelle mcchine termiche non reersiili
6 onsiderzioni nloghe quelle riportte nell Sez si possono fre per le mcchine termiche non reersiili Dt un mcchin termic non reersiile che operi tr le sorgenti e, il loro d ess relizzto srà, Si, d esempio, 300K, 73K, 300l e 90l remo 0l 4,8 J L entropi che rri, cioè, 06 l / K, è mggiore di quell che prte d è dunque un produzione di entropi Nell esempio Il rendimento di quest mcchin termic non reersiile è η irre 0 300 3,3 % Il rendimento dell mcchin termic reersiile corrispondente srà η 7 300 9 % π S (8 π S 0,06 l/ K (8is oglimo trore il Loro perduto, cioè l energi che emo portt di mno e non imo utilizzto Dll relzione (3 cioè Re, isogn edere qunto loro potemo ottenere usndo l mcchin reersiile nelle stesse condizioni chiro che imo due lterntie: fre eseguire ll mcchin reersiile un processo (ciclico reersiile in cui ess ssore dll sorgente l quntità di clore 300l e cede ll sorgente l quntità di clore 73l ed in cui, quindi, f un loro 7l Re fre eseguire ll mcchin reersiile un processo (ciclico reersiile in cui ess cede l quntità 90l ed ssore d l quntità di clore 38, 68l Re e f, quindi, un loro Nel processo imo 8, 68l Re 7l, nel processo imo 8,68l
7 ppre eidente che il Loro perduto è oglimo or trore l relzione tr e π Ricimo ( π + e sostituimolo nell espressione del loro : dll relzione (8, cioè ( π (9 π che, con i lori dell esempio dà il seguente risultto: l l l (9is 0 ( π 7 7 Il primo termine destr nelle relzioni (9 è il loro dell mcchin reersiile che f il processo cioè che trsport l entropi S up dll sorgente π rppresent il loro perduto rispetto l processo cioè Primenti dll (8 per imo ( π π ll sorgente e il secondo termine ( π (0 che, con i lori dell esempio dà il seguente risultto l l l (0is 0 ( π 8, 68 8, 68 Il primo termine destr nelle relzioni (0 è il loro dell mcchin reersiile che f il processo cioè che trsport l entropi termine S down dll sorgente ll sorgente e il secondo π rppresent il loro perduto rispetto tle processo cioè imo dunque isto che ll mcchin termic non reersiile dt corrispondono due possiili processi per l mcchin termic reersiile corrispondente Per il processo il loro reersiile prodotto è mggiore e dunque è mggiore il loro perduto; quindi, nche in questo cso è nturle porre π ( Lot 3-nlisi di π e in un espnsione ditic irreersiile In quest sezione oglimo mostrre che le nlisi delle sezioni precedenti si possono pplicre nche l cso, più complesso, di un espnsione ditic irreersiile ( di un gs idele
8 Si il loro ftto dl gs nell trsformzione dt Dll relzione generle (3, Re è chiro che per clcolre il Loro perduto isogn scegliere un processo reersiile che d dllo stto llo stto e clcolre il reltio reersiile remo il reltio Per ciscun processo Le singole determinzioni sono dunque semplici, inece per il clcolo di esse in termini dell produzione di entropi, clcolo che riportimo fine sezione, doimo usre un relzione dimostrt ltroe [] onsiderimo un cso concreto m P P Fig ilindro ditico e gs idele nello stto P Supponimo di ere un cilindro termicmente isolto In esso è contenuto un mole di gs idele mono-tomico che è tenuto ll pressione P 4 P 4 P medinte un mss m sul pistone moile di mss trscurile e sezione Si il suo olume inizile del gs e P l su tempertur inizile L mss iene tolt dl pistone, R il gs f un espnsione ditic irreersiile ed rri l olume ed ll pressione P P Poiché non c è stto scmio di clore, il loro irreersiile ftto dl gs nell espnsione è ( P Σ ( ( Σ P In questo cso i processi reersiili corrispondenti sono infiniti! Limitimoci considerre solo due di essi, riportti in Figur 3: l isoterm reersiile (che inizi dllo stto e termin nello stto olume + l isocor reersiile che d l isor reersiile (che dllo stto llo stto con olume + l isocor reersiile che d Per relizzre tli processi reersiili occorrono sorgenti Figur 3 L'ditic irreersiile --> è trtteggit termiche con e occorre che l mss M si diisiile in elementi infinitesimi dm Per il processo, poiché non c è loro lungo l isocor (, imo Re Pd Pd R ln
9 Il loro perduto è dunque, per il processo R ln ( Per il processo, poiché non c è loro lungo l isocor (, imo solo loro lungo l isor reersiile ( ( Re Pd P d P ( poichè il loro perduto in tle processo è Oimente e quindi P ( ( (3 Re P ( > R ln L entropi trsferit l sistem nel processo è S δ δ (4 P t ( Re + + P ln + d ed è l stess di quell trsferit nel processo, cioè ln S δ δ Pd t ( Re + R + ln + ln Nel processo, complessimente, prte dell entropi iene trsferit ttrerso un mggiore slto di tempertur ( inftti >, questo spieg perché il loro ftto è mggiore rispetto quello ftto nel processo Nturlmente tr gli ltri possiili processi reersiili ce ne srnno sicurmente ltri con un mggiore, qui imo confrontto solo due processi che richiedono le stesse condizioni prtiche cioè l disponiilità di sorgenti termiche con oltre ll condizione che l mss M si, d esempio, costituit di si (di modo che nel processo reersiile isotermo l pressione si poss ridurre progressimente Dt l molteplicità dei possiili processi è eidente che l determinzione del mssimo non è decidiile ; meno che non si troi il processo reersiile che, prità di condizioni l contorno, mssimizzi il loro perduto Riportimo or il clcolo di e in termini dell produzione di ntropi
0 L relzione elementre S è inutilizzile in qunto nel processo ditico non è presente lcun sorgente estern Recentemente [], però, è stto mostrto che esiste tutti un modo per lutre trmite l produzione di ntropi isogn premettere che si può fcilmente mostrre[] che in generle, nel generico processo irreersiile, l produzione di entropi dell nierso, π, si può esprimere come somm dell produzione di entropi del sistem, π int, e dell produzione di entropi dell miente, π, ciscun delle quli positi o null, cioè π π + π (5 int S Risultto non nle poiché π int ; sono inftti tnti i processi in cui < 0, ed ineceπ int 0 L definizione di π int è dt dll seguente relzione [,8] S S S S + π int (6 t in out doe S e S sono rispettimente, le quntità di entropi che entrno ed escono dl sistem in out durnte il processo irreersiile e δ S t è l rizione di entropi del sistem tr gli stti e, indipendente dl prticolre processo reersiile In relzione conπ int c è l produzione di entropi nell miente, π, che può essere definit dll stess relzione (5 Nel cso di processi irreersiili senz di sorgenti esterne, come nei processi ditici, π 0 In questi csi, per il clcolo di trmite l produzione di ntropi, si procede nel modo seguente []: si lut π int l produzione di entropi del sistem nel processo irreersiile effettio, si sceglie uno dei possiili processi reersiili corrispondenti ( i, N e lungo tle processo, d ogni psso infinitesimo, si clcol il reltio loro perduto, doe i δ (7 i δπ int i è l tempertur del sistem l singolo psso eδπ int è il differenzile di π int, clcolto singolo psso Il loro perduto, rispetto ll i-esimo processo reersiile, è dto d [] i (8 i δπ int Nel cso dell espnsione ditic irreersiile il clcolo è semplice Inftti dll (6
poichè S S 0, imo in out π in S e quindi δ δπ int ds e dl Primo principio δ Pd + d, segue δπ int δ Pd + d sndo l relzione (8 per il processo, imo che coincide con l ( e per il processo, imo δπ int R ln ( che coincide con l (3 δπ int Pd + R( d + ( P ( + ( Il clcolo del Loro perduto trmite l produzione di entropi, nei csi in cui π > 0 è oimente più complesso ulche esempio è riportto in Ref [] onclusioni imo isto che reltimente d un dto processo irreersiile si possono definire molti Dl confronto tr questi si constt che l perdit mggiore si h reltimente l processo reersiile che trsferisce ( l sistem o ll sorgente l mggiore quntità di entropi Nel cso del flusso spontneo tr due sorgenti tle perdit è π In lettertur e nei testi uniersitri l rgomento è ppen ccennto e solitmente si pone π In un loro in preprzione si nlizzerà l relzione tr l produzione di entropi e XR cioè l eccesso di loro che iene ftto in lcuni processi irreersiili (d esempio un compressione isoterm irreersiile e nel funzionmento delle pompe di clore o frigoriferi irreersiili Si che XR rppresentno energi dissipt, il primo è loro che si pote ottenere se si fosse operto reersiilmente, il secondo è loro sprecto, loro ftto in eccesso rispetto
quello strettmente necessrio per l relizzzione del corrispondente processo reersiile ppendice cos è dout l crezione di ntropi nel flusso spontneo di clore tr i due termostti con >? Nel pssggio dell energi termic, dll sorgente ll sorgente c è stt l crezione di disordine, sono umentte le configurzioni ccessiili [,7] Supponimo d esempio che, in condizioni normli di pressione, l sorgente si un miscel di cqu e ghiccio ( 73,5 K e un miscel di romo solido e romo liquido ( 65,8 K Se l energi lsci l sorgente ccde che un prte delle molecole di cqu dient solid, m l stess energi, qundo rri ll sorgente, f pssre dllo stto solido llo stto liquido un mggior numero di molecole di romo, come si eince dl ftto che il clore ltente (molre di fusione del romo, λ è inferiore quello dell cqu, λ ( λ 5,86 KJ/mole, λ 6,0 KJ/mole In si è creto quindi un disordine mggiore di quello che er presente in, ( ssumendo che lo stto liquido delle due sostnze i identico contenuto entropico molre Ringrzimenti Si ringrzino entrmi i Referee e M Znnetti per gli utili commenti e suggerimenti Referenze [] G Jo nd R Ruffler Physicl hemistry Jo Foundtion (Hmurg 007 [] F di Lierto ntropy production nd lost work for some irreersile processes Phil Mg 87 569 (007 [3] descu, Optiml pths for minimizing lost ille work during usul het trnsfer processes, J Non-quli hermodyn olume: 9, pp 53--73(004, [4] J de Swn rons, H n der Kooi nd K Snkrnrynn fficiency nd Sustinility in the nergy nd hemicl Industries (004 [ 5] J M Smith, H n Ness nd M M ott Introduction to hemicl ngineering hermodynmics, McGrw-Hill (004 [6] P Mzzoldi, M Nigro e oci Fisic ol dises (000 ipler P orso di fisic, Meccnic, onde, termodinmic ol Znidhelli- 995
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