Lezione 11 Funzioni sinusoidali e onde

Lezione 11 Funzioni sinusoidali e onde 1/18

Proprietà delle funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche di periodo 2π sin(α + 2π) = sin α cos α + 2π = cos α a Sin a Cos a a a 2/18

Funzione seno con argomento y = Asin bx + c A, b, c sono costanti; x è la variabile indipendente b è la frequenza e cambia il periodo di oscillazione della funzione trigonometrica. Per b=1 il periodo è 2p. c è detta fase iniziale, è una costante e rappresenta l angolo che si osserva nell origine (x=0) bx+c: la somma si questi due termini deve necessariamente essere un angolo, espresso in radianti. A: variando il valore dell ampiezza A, la funzione oscilla fra +A e A invece che fra +1 e -1 3/18

Le onde e le loro proprietà Onde marine Onde sonore La luce è un onda elettromagnetica È necessario considerare la natura ondulatoria della luce in fenomeni quali polarizzazione, interferenza, diffrazione. 4/18

Onda E una perturbazione che si propaga nel tempo e nello spazio. In particolare, le onde armoniche sono perturbazioni sinusoidali. Espressione matematica di un onda γ = A sin 2π λ x νt + φ 0 = A sin 2π λ x 2π T t + φ 0 = A sin kx ωt + φ 0 In questa espressione x (metri) è lo spazio; t il tempo (secondi). 5/18

Onda Propagazione nello spazio Spazio x Propagazione nel tempo Periodo temporale T (T=1/frequenza) Tempo t La perturbazione sinusoidale si sposta con velocità: 6/18

Rappresentazione spaziale Grafico del valore della perturbazione (densità, campo elettrico, altezza corda) in funzione della coordinata x (lungo la direzione di propagazione) ad un tempo fissato t=t 0. y = Asin( 2π l x-2π T t 0) A È come fare una fotografia (istantanea a t 0 )! 7/18

Rappresentazione spaziale e velocità dell onda con parametri λ = 4 m, v=3 m/s L onda si muove con velocità costante, quindi la velocità è lo spazio percorso nell unità di tempo v = Δx Δt Δx Δx = 3 m Come determinare la velocità 1. Disegniamo la stessa onda a due tempi t 0 differenti, t 0 =0 s e t 0 =1 s 2. misuriamo Δx 3. otteniamo la velocità v = 3 1 = 3 m/s 8/18

y = Asin( 2π l x 0-2π T t) 9/18

Somma di due funzioni seno, cosa succede? y = sin α + sin α + δ dove α è la variabile indipendente e d un parametro. Quanto vale questa somma? Dipende da d! δ = 0 δ = π Notate l ampiezza!! La somma si annulla!! sin α + sin α = 2sin (a) sin α + sin α + π = sin (α)- sin (α) 10/18

Somma di due funzioni seno, cosa succede? Ricordiamoci delle Formule di Prostaferesi y = sin α + sin α + δ = 2sin α + δ 2 cos δ 2 Il valore della somma dipende dal valore di d δ = 0 y = 2 sin(α) δ = π y = 0 11/18

Usiamo la rappresentazione spaziale delle onde (quindi fissiamo il tempo di osservazione t 0 per semplicità a zero) per capire cosa succede alla somma di 2 onde con la stessa lunghezza d onda ma diversa fase y 1 = Asin( 2π l x) y 2 = Asin( 2π x+ δ) l y = y 1 + y 2 12/18

Le due onde sono sfasate: significa che l argomento del seno ha un diverso valore Le fasi differiscono di δ y = Asin 2π λ x + Asin 2π λ x + δ = 2A sin 2π λ x + δ 2 cos δ 2 δ = 0 δ = π 13/18

Quale può essere l origine dello sfasamento? Cosa significa che due onde sono sfasate? y 1 = Asin 2π λ x y 2 = Asin( 2π λ x+2π λ Δx) = Asen(2π λ x+δ) 2π Δx λ = δ Il differente cammino Δx introduce uno sfasamento tra le due onde! 14/18

Somma di onde con la stessa lunghezza d onda y = y 1 + y 2 = Asin 2π λ x + Asin 2π λ (x + Δx) = = 2Asin 2π λ x + π λ Δx cos π λ Δx δ 2 = π λ Δx Il termine sottolineato modula l ampiezza in base al valore di x, in particolare osserviamo che cos π λ Δx = 0 Δx = λ 2 1 Δx = λ Quindi uno sfasamento tra due onde pari a λ/2 da luogo ad un onda di ampiezza nulla!! 15/18

Cosa significa che due onde sono sfasate? Sorg. BS S3 specchios1 S2 y 1 = Asin 2π λ x lunghezza percorso blu: l lunghezza percorso rosso: l + x (riferiti al punto S3) y 2 = Asin 2π λ (x + Δx) 16/18

1) Si consideri un onda espressa come Esercizi f x = A sin 2π λ x vt Verificare che per la velocità di propagazione v vale la relazione : λ = vt Per effettuare la verifica numerica disegnare la rappresentazione temporale dell onda per ricavare graficamente il periodo T dell onda e la rappresentazione spaziale per ricavare la lunghezza d onda λ. Sia A=5 N; λ=0.2 m; v=10 m/s; scegliere opportunamente gli intervalli in x ed in t entro cui rappresentare l onda f(x). 2) Si considerino le due onde: Con A=5, λ=0.1 m, v=3 m/s y 1 = Asin 2π λ (x vt) ; y 2 = Asin 2π λ x + Δx vt Si disegnino i seguenti grafici: Grafico 1: produrre il grafico della rappresentazione spaziale delle due onde y 1 e y 2 e della loro somma y 1 + y 2 per t 0 =24ms e Δx = λ /2. Grafico 2: Si ripeta l esercizio del grafico 1 per Δx = λ Grafico 3: produrre il grafico della rappresentazioni spaziali delle due onde y 1 e y 2 per Δx = λ /4 e t 0 = 24 ms. Grafico 4 : Ripetere l esercizio del grafico 3 per t 0 = 50 ms e verificare graficamente che nei due casi la differenza di fase fra le due onde non cambia (non dipende dal valore del tempo t 0 scelto). 17/18