Le funzioni araboliche Guido Carolla Sunto. In questa comunicazione trattiamo le funzioni relative alla arabola, artendo da una osservazione su quelle circolari e su quelle ierboliche. Ci limiteremo a studiare le funzioni araboliche relative all argomento t, che è il doio dell area di un settore arabolico. In questo caso risulterà evidente che dette funzioni sono indiendenti da quelle circolari. Infine, riorteremo le definizioni delle funzioni araboliche, seure in relazione all angolo u di un settore arabolico, er cui, rifacendoci a Giovanni Egidi, daremo alcune relazioni con le funzioni trigonometriche.. Introduzione alle funzioni araboliche con riferimento a quelle circolari e ierboliche. Ricordando le funzioni circolari seno e coseno di un arco, se x = cos t = sin t saiamo, che x + = (.) è equazione di un cerchio di raggio e centro in 0 (0,0). Se consideriamo ierbole avente er asintoti le bisettrici degli assi e di equazione: x - =, (.) si uò esrimerla in equazioni arametriche ricorrendo alle funzioni ierboliche. Sarà: x = cosh t = sinh t. (.) Infatti, quadrando e sottraendo le (.) abbiamo la (.) ed anche: cosh t sinh t =. (.) Se ora consideriamo la arabola avente l asse di simmetria coincidente con l asse delle ascisse, il vertice in V (/, 0), la direttrice x =, di conseguenza il fuoco è nell origine degli assi. Per cui, dall equazione di detta arabola = - ( x /), essendo = si ha: = x. (.) Ora esamineremo la (.), che si uò esrimere in equazioni arametriche ricorrendo alle funzioni araboliche seno arabolico e coseno arabolico, che indicheremo risettivamente sin e cos: x = cos t = sin t. (.) Queste funzioni se sostituite nella (.) danno l asserto: sin t + cos t =. (.7) Nel cerchio, t aveva i significato di angolo al centro che non si uò estendere all ierbole e alla arabola. Ma nel cerchio di raggio l si uò considerare t come il valore del doio dell'area del settore circolare sotteso dall arco t. Infatti: quindi S = t. S = r t = t Piazza G. Mazzini, n., 700 LECCE, tel. 0870, e-mail: gcarolla@hotmail.com
In questa forma il risultato si estende alle funzioni ierboliche ed anche a quelle araboliche, delle quali ultime, a artire da ora, tratteremo unicamente.. - Determinazione del seno arabolico, de coseno arabolico e delle relative funzioni inverse A M D T P (x,) FUOCO O u N V(/,0) x t P D I R ET T RI C E = f i g. Siano x e le coordinate del unto P. Indicando risettivamente con S e S le aree tratteggiate dei triangoli mistilinei OPV e NPV (figura ), abbiamo: S = x + S, er il teorema di Archimede è: S = ( x), dunque:
S = x + ( x) (.) e ricavando x dalla (.): S = ( ) + ( ), cioè S = +, raddoiando ambo i membri e onendo t = S, abbiamo t = +, (.) ossia + t = 0, (.) dove t è il arametro che denota il doio dell area del settore arabolico OPV, ovvero l area del settore OPP. Analogamente rocediamo alla ricerca dell equazione in x, ricavando dalla (.) e sostituiamo detto valore nella (.): S = x x + ( x) x = ( x) x che er t = S diventa t = ( x) x, quadrando abbiamo t = ( x + x )( x), (.) 9 cioè 9 9 x x + x + t = 0. (.) Procediamo ora nella risoluzione delle equazioni cubiche (.) e (.), er trovare, come indicato nelle (.), risettivamente i valori di sin t e cos t. Dalla (.) abbiamo che il discriminante è: ( t) = + = 9t +. 7 Basta osservare che, er > 0, si ha 9 t + > 0, cioè t >. 9 L equazione risolvente è: w tw = 0, 7 dalla quale otteniamo: w = t + w = t 9t 9t + +
er cui l unica radice reale della (.) è data da cioè = +, w w = t + 9t + + t 9t +. Non riortiamo i valori delle due radici comlesse coniugate, dovendo ovviamente scartarle. Al raorto tra l unica radice reale trovata e il arametro = attribuiamo la definizione di seno arabolico e il simbolo di sin, come già detto in recedenza: sin t = t + 9t + + t 9t +. (.) Risolviamo ora l equazione cubica comleta (.) e cioè 9 9t x x + x + = 0 : oeriamo darima il cambiamento di variabile 9 z = x + = x, er cui essendo x = + z (.7) dalla (.) abbiamo: 9 9 + z + z + + z + t = 0, dalla quale abbiamo l equazione risolvente: 9 z z + t + = 0. (.8) Calcoliamo il discriminante della (.8): = 9 t + + = 7 9 t (9t + ) Per > 0 si ha 9t (9t + ) > 0 cioè t >. 9 Alla (.8) oeriamo il cambiamento di variabile e abbiamo: cioè dalla quale otteniamo: v + 9t + v = 0, 7 v + (8 t + ) v + = 0, v = (t 9t + 8t ) 8 v = (t 9t + + 8t + ). 8.
L unica radice reale è data da che er la (.7) diventa cioè z + = v v x + = + v v, cos t = + t 9t + 8t t 9t + + 8t + (.9) avendo attribuito a x / la definizione di coseno arabolico e il simbolo di cos, come già detto in recedenza. Oure, essendo er la (.7) cos t = ( sin ) t, e, er quanto già ottenuto con la (.), avremo iù semlicemente: cos t = t + 9t + + t 9t +. (.0) Infine, dalle (.) e (.) abbiamo risettivamente le funzioni araboliche inverse: sin = ( + ), (.) cos x = ( x) x. (.) con le quali ossiamo facilmente trovare, risettivamente, l area t del settore, il cui seno arabolico è, e quella del settore, il cui coseno arabolico è x.. Determinazione delle altre funzioni araboliche e relazioni tra la variabile t e l angolo u. Valori tabulati delle funzioni araboliche nei unti che delimitano i quadranti. Dai triangoli simili ONP e OVT abbiamo: VT NP =, OV ON er cui: OV NP VT =. ON Il raorto tra VT e il arametro è la tangente arabolica che indicheremo col simbolo tan: sin t tan t =. (.) cos t In ONP è: u = N ÔP OP = ρ (u) (raggio vettore), NP = ON = x.
Per il teorema di Pitagora ρ ( u ) = x +, che er la (.) diviene: ρ ( u) = x + ( x) = x, ossia ρ ( u ) = cos t. (.) Considerando gli stessi triangoli di cui sora, abbiamo: OT OP =, OV ON er cui: OV OP OT =. ON Il raorto tra OT e il arametro è la secante arabolica che indicheremo col simbolo sec: cos t sec t =. (.) cos t Alla determinazione della cotagente arabolica e della cosecante arabolica erverremo er via analitica. Premesso che la retta tangente nel unto A(0,) ha l equazione = - x + e che la retta assante er l origine 0 e er il unto T ha l equazione = ( tan t ) x, dal sistema = x + = ( tan t ) x si ossono avere le coordinate del unto d intersezione D: tan t e. + tan t + tan t I raorti AD/ e OD/ raresentano, in funzione di tan t, risettivamente la cotagente arabolica e la cosecante arabolica, che indicheremo con i simboli cot e csc, ovvero: cot t = + tan t e + tan t csc t =, + tan t le quali ossono essere esresse facilmente in funzione di sin t e cos t er la (.) e er la (.). Cioè cos t cot t = (.) sin t + cos t e Il cui coefficiente angolare risulta essere tan t.
cos t csc t =. (.) sin t + cos t Dalla (.), esressa in funzione di sin t, e er x = tan t, abbiamo ± + x sin t = x er cui è: tan ± + x x = sin = t, (.) x che è l area del settore arabolico la cui tangente arabolica è x, con il segno: + se t è nel I o IV quadrante, - se t è nel II o III quadrante. Analogamente si ottengono: sec x = cos ; (.7) x + cot x x = tan ± ; (.8) x csc x ± x x = sin. (.9) x + Ora è oortuno trovare le relazioni tra t e l angolo u. Per la (.) che uò anche essere scritta sin t tan u =, cos t abbiamo: sin t u = ± tan + se / t /, con. (.0) cos t se t > / o se t < / E, facilmente dalla (.), essendo = sin u, abbiamo: sin u sin t = ( + ), (.) che esrime il valore del doio dell area del settore arabolico delimitato dall asse x, dall arco di arabola e dalla semiretta uscente dall origine degli assi. Il camo di variazione di t è < t < + e si ha: t > 0 nel I e nel II quadrante, t < 0 nel III e IV quadrante. u
Valori tabulati delle funzioni araboliche nei unti che delimitano i quadranti. Area t Angolo u 0 0 / 90 ± 80 -/ 70 0 0 sin 0 ± - 0 cos / 0 0 / tan 0 ± 0 ± 0 cot 0 0 sec / ± - / ½ csc - - In Aendice riortiamo i valori esatti delle funzioni araboliche er argomenti seciali.
. Estensione ad un angolo che uò suerare 90 e definizioni delle funzioni araboliche. Per un angolo u di un quadrante qualsiasi le funzioni araboliche di u sono definite come segue: D P A t u x N x O V (/,0) P = f i g. T PN = sin u = ON = cos u = VT = tan u = x x AD x = cot u = x + OT x = sec u = x OD x = csc u = x +
. Indicazioni grafiche delle funzioni araboliche e di quelle trigonometriche. A T M D P (x,) F U O C O O u N V x t P D I R ET T RI C E = f i g. Dell argomento che stiamo trattando si occuarono John Booth e Giovanni Egidi. Il rimo ha introdotto le funzioni araboliche in relazione all arco di arabola. Il secondo è ervenuto, tra l altro, ai seguenti risultati, diendenti dalle funzioni circolari, che riortiamo con la nostra simbologia: In articolare in A Memoir on the trigonometr of the arabola, London 8. Saggio intorno alle funzioni araboliche, Atti Acc. Nuovi Lincei 7, 89,. -.
ρ ( u) = ; + cos u sin u sin u = ; + cos u tan u tan u = ; sec u sec u = ; cos u cos u = ; + cos u cos u cot u = ; sin u + cos u csc u =. sin u + cos u Concludiamo facendo resente che questi valori sono equivalenti a quelli esosti nei aragrafi recedenti, che erò resentano la caratteristica di essere indiendenti dalle funzioni circolari.
Aendice VALORI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI Angolo u in gradi sessagesimali Angolo u in radianti Area t sin cos tan 0 0 0 0 0 0 90 0 0 ( 9 ) ( 7 ) 0 ± - ( + ) + ( + ) 0 ( + 9 ) + ( + ) 80 ± ± 0 0 0 7 ( + 9 ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) - - 0 ± 70 00 7 7 ( ) ( ) 0 ( 9 ) ( ) 0 0 0 0
VALORI ESATTI DELLE FUNZIONI PARABOLICHE PER ARGOMENTI SPECIALI Angolo u in gradi sessagesimali 0 0 0 0 0 90 0 Angolo u in radianti Area t cot sec csc ( 9 ) ( + ) ( 7 ) ( ) 0 ± ( + ) - + ( + ) 0 ( + 9 ) ( + ) ( + ) 80 ± - 0 7 ( 9 ) + ( + ) ( ) ( + ) 0 ( ) - ( ) 70 0-00 ( + ) 7 ( + ) 7 ± ( ) 0 ( 9 ) ( + ) + 0 0 ±
BIBLIOGRAFIA A. AGOSTINI, Le funzioni circolari e le funzioni ierboliche. Trigonometria iana e sferica, in Encicloedia delle Matematiche elementari e comlementari, vol. II. I, Milano 97 (rist. an. 97),. 0 sgg.; J. BOOTH, A Memoir on the trigonometr of the arabola, London 8; M. CUGIANI, in Encicloedia della Scienza e della Tecnica, vol. V, ed. it. Milano 9, s. v. Funzione ; G. EGIDI, Saggio intorno alle funzioni araboliche., Atti Acc. Nuovi Lincei 7, 89,. -; M. R. SPIEGEL, Funzioni trigonometriche e Funzioni ierboliche, in Manuale di Matematica, ed. it., Milano 99.