Indice cpitolo Esponenzili e logritmi. L funzione esponenzile. Potenz esponente /. Considerzioni sull potenz esponente rele. L curv esponenzile L curv y = e, 7 5. Equzioni esponenzili 8 6. Disequzioni esponenzili 7. Logritmi e loro proprietà Proprietà, 8. Un lgoritmo per log 0 con 0 7 9. L curv logritmic 8 L curv y = log, 0 0. Equzioni logritmiche. Disequzioni logritmiche. Grfici deduciili 5. Fenomeni d ndmento esponenzile 9 Cpitlizzzione compost, 9 Cpitlizzzione continu, 9 Sviluppo di popolzioni, 0 Pressione tmosferic, Cric e scric di un condenstore, Legge del decdimento rdiottivo,. Scle logritmiche Scle logritmiche, Riferimenti semplicemente logritmici, 5 Riferimenti doppimente logritmici, 6 Lettur Il testmento di B. Frnklin 7 Quesiti di verific 8 Lortorio di informtic 0. Il grfico dell esponenzile, 0. L pendenz dell funzione esponenzile, 0. Il regolo clcoltore,. Numero di cifre, 5. Esercizi, 6. Progrmmi, Esercizi Potenz esponente rele, L curv esponenzile, 5 Equzioni esponenzili, 6 Appliczione lle funzioni goniometric he, 50 Sistemi esponenzili, 50 Disequzioni esponenzili, 50 Clcolo di logritmi, 55 Proprietà dei logritmi, 57 Identità condizionte, 59 L curv logritmic, 6 Equzioni logritmiche, 6 Appliczione lle funzioni goniometric he, 65 Sistemi logritmici, 65 Disequzioni logritmiche, 66 Appliczione lle funzioni goniometriche, 70 Grfici deduciili, 70 Appliczione lle funzioni esponenzili e lo gritmiche, 7 Grfici, 7 Fenomeni d ndmento esponenzile, 75 GRAFICI SOLUZIONE, 77 cpitolo Clcolo comintorio Premess, 79. Disposizioni semplici. Permutzioni 79. Cominzioni semplici 8. Coefficienti inomili 8. Cominzioni ottenute per induzione 85 5. Tringolo di Trtgli. Potenz di un inomio 86 Formul del inomio di Newton, 87 6. Disposizioni e cominzioni con ripetizione 89 Disposizioni con ripetizione, 89 Cominzioni con ripetizione, 9 Quesiti di verific 9 Lortorio di informtic 9. Il fttorile, 9. Disposizioni, 95. I coefficienti inomili, 95. L costruzione di sottoinsiemi, 96 5. Cominzioni per ricorsione, 96 6. Esercizi, 97 7. Progrmmi, 97 Esercizi 98 Disposizioni semplici. Permutzioni, 98 Cominzioni semplici, 99 Potenz di un inomio, 05 Disposizioni e cominzioni con ripetizione, 06 cpitolo Proilità. L proilità, l misur delle ree e il tiro segno 07. L proilità, il gioco Test o Croce, il clcolo comintorio 09. L proilità e le estrzioni d un urn. Definizione di proilità Operzioni tr eventi, V RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Indice Equiproilità, 6 Un chive di lettur, 7 5. Il gioco del Lotto 8 6. L legge empiric del cso 9 7. Proilità totli 8. Proilità compost. Eventi indipendenti 9. Proilità condizionle 5 0. L formul di Byes 0 Determinzione di proilità condizionli,. Vriili letorie discrete Vriili letorie di Bernoulli,. Vriili letorie inomili 8. Vriili letorie di Poisson Approssimzione dell distriuzione inominle,. Vriili letorie geometriche 5. Il prolem delle proilità cumulte 5 Lettur Clcolo delle proilità 9 Quesiti di verific 50 Lortorio di informtic 5. L Rndom di DERIVE, 5. D ERIVE: estrzioni d un urn, 5. Esercizi, 5. Progrmmi, 5 Esercizi 55 Proilità. Definizioni, 55 Proilità compost, 59 Proilità condizionle, 6 Vriili letorie discrete, 67 Vriili letorie inomili, 7 Vriili letorie di Poisson, 7 Vriili letorie geometriche, 76 Esercizi di riepilogo, 78 VI cpitolo Vettori geometrici. Introduzione 8. Definizione di vettore 8. Operzioni con i vettori 8 Somm, 8 Differenz, 85 Prodotto di un vettore per un numero rele, 86 Proprietà, 86 Scomposizione di un vettore, 86 Struttur di gruppo dell insieme dei vettori geometrici (V; +), 87 Struttur di spzio vettorile dell insieme V dei vettori geometrici sull insieme, 88. Vettori linermente indipendenti. Bsi 89 5. Prodotto sclre. Appliczioni in fisic 90 Appliczioni del prodotto sclre in fisic, 9 6. Prodotto vettorile. Appliczioni in fisic 9 Appliczioni del prodotto vettorile in fisic, 9 7. L rppresentzione crtesin dei vettori 95 Rppresentzione nel pino, 95 Rppresentzione nello spzio, 98 Quesiti di verific 0 Lortorio di informtic 0. I vettori del pino, 0. Operzioni con i vettori del pino, 0. Cominzioni lineri, 0. Il prodotto sclre, 0 5. Vettori che si equilirno, 05 6. L rppresentzione crtesin, 05 7. Esercizi, 06 8. Progrmmi, 06 Esercizi 07 Definizione di vettore, 07 Prodotto sclre, 08 Appliczioni ll f isic, 09 Prodotto v ettorile, 09 Rppresentzione crtesin dei vettori, 0 Appliczioni geometriche, cpitolo 5 Mtrici e sistemi lineri. Mtrici 5 Trspost di un mtrice, 6 Mtrice digonle e mtrice unità, 6 Mtrici tringolri, 6. Operzioni con le mtrici 7 Addizione di mtrici, 7 Moltipliczione per un numero, 7 Prodotto tr mtrici, 8 Prodotto mtrice-vettore, 0 Struttur di gruppo dell insieme delle mtrici qudrte ( n ; +), Struttur di spzio vettorile dell insieme n sull insieme,. Determinnte. Proprietà dei determinnti 5. Sistemi lineri 6 6. Sistemi lineri omogenei 9 7. Sistemi tringolri superiori. Metodo di Guss Trsformzioni di un sistem linere, Il metodo di Guss, 8. Mtrice invers 5 Risoluzione dei sistemi lineri con il metodo dell mtrice invers, 8 9. Formul di Lplce 9 0. Rngo di un mtrice 0. Teorem di Rouché-Cpelli. Risoluzione di un sistem Comptiilità, Unicità, Soluzioni, Lettur Un modello economico 6 RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Indice Quesiti di verific 7 Lortorio di informtic 8. Le mtrici su DERIVE, 8. Operzioni con le mtrici, 8. Un esperimento, 9. Sistemi lineri, 9 5. Esercizi, 50 6. Progrmmi, 5 Esercizi 5 Mtrici. Operzioni tr mtrici, 5 Determinnti e loro proprietà, 5 Sistemi lineri, 55 Sistemi lineri omogenei, 57 Metodo di Guss, 59 Mtrice in vers, 6 Risoluzione di un sistem con il metodo dell mtrice invers, 6 Formul di Lplce, 6 Rngo di un mtrice, 65 Teorem di Rouché -Cpelli, 65 Discussione di un sistem prmetrico, 67 cpitolo 6 Trsformzioni nel pino. Introduzione 7. Affinità 7 Trsformzione invers, 7 Proprietà invrinti, 7. Prodotto di trsformzioni 75. Isometrie 76 5. Trslzione 76 Composizione di trsformzioni, 77 6. Rotzione 78 Composizione di rotzioni ttorno llo stesso centro, 80 Rototrslzione, 80 Composizione di un trslzione e di un rotzione, 8 7. Simmetri centrle 8 Composizione di due simmetrie centrli, 8 Determinzione dell equzione dell curv γ P0 simmetric dell curv dt γ rispetto un punto dto P 0, 8 Determinzione dell eventule centro di simmetri di un curv, 85 8. Simmetri ssile 86 Composizione di due simmetrie ssili, 88 9. Isometrie e mtrici ortonormli 90 Isometrie dirette e indirette, 9 0. Similitudine 9 Proprietà, 9. Omoteti 9 Composizione di omotetie venti lo stesso centro, 96. Diltzioni e compressioni Inclinzioni 97 Diltzioni e compressioni, 97 Inclinzioni, 98. Fttorizzzione di mtrici: significto geometrico 00 Interpretzione geometric, 0 Struttur di gruppo dell insieme delle ffinità, 0. Trsformzioni lineri e mtrici 05 Proprietà, 06 Operzioni, 06 Struttur di spzio vettorile dell insieme T delle trsformzioni lineri di in sull insieme, 08 5. Inversione rispetto l cerchio 09 Formule dell inversione, 0 Proprietà crtteristic dell inversione, Composizione di inversioni venti lo stesso centro, Figur invers di un rett, Figur invers di un circonferenz, Inversore, Quesiti di verific 5 Lortorio di informtic 7. CABRI: introduzione, 7. Simmetri ssile, 7. Simmetri centrle, 8. Trslzioni, 9 5. Rotzioni, 9 6. Omotetie, 0 7. Esercizi, 8. Progrmmi, Esercizi Affinità, Trslzioni, 8 Rotzioni, 9 Simmetri centrle, Determinzione dell equzione dell curv γ P0 simmetric dell curv dt γ rispetto un punto dto P 0, Determinzione dell eventule centro di simmetri di un curv, 5 Simmetri ssile, 6 Isometrie e mtrici ortonormli, 0 Similitudini, 0 Omotetie, Diltzioni, compressioni, inclinzioni, 50 Fttorizzzione di mtrici, 5 Trsformzioni lineri, 5 Inversioni, 5 VERSO LA MATURITÀ, 57 cpitolo 7 Cmimenti di riferimento nel pino Coordinte polri. Introduzione 59. Trslzione e rotzione degli ssi 60 Trslzione degli ssi, 60 Rotzione degli ssi, 60. Riduzione delle coniche form cnonic 6 Clssificzione delle coniche, 65. Coordinte polri nel pino 66 5. Trsformzione delle coordinte polri in coordinte crtesine 67 VII RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Indice L spirle, 68 6. Grfici in coordinte polri 70 7. Coniche in coordinte polri 7 Quesiti di verific 75 Lortorio di informtic 76. Coordinte, equzioni, ssi crtesini, 76. Riduzione form cnonic, 77. Esercizi, 79. Progrmmi, 79 Esercizi 80 Trslzione e rotzione de gli ssi, 80 Riduzione delle coniche form cnonic, 8 Coordinte polri nel pino, 8 Grfici in coordinte polri, 86 VIII cpitolo 8 I numeri complessi e le trsformzioni del pino. Definizione di numero complesso 89. Rppresentzione crtesin 89. Operzioni sui numeri complessi 9 Somm, 9 Differenz, 9 Prodotto, 9 Potenz esponente intero positivo o nullo, 9 Quoziente, 9 Struttur di cmpo dell insieme, 9. Rppresentzione trigonometric dei numeri complessi 95 Prodotto, 96 Quoziente, 97 5. Formul di De Moivre 97 6. Rdici n-sime di un numero complesso 98 Rdici n-sime dell unità, 00 7. Esponenzile complesso 0 Formule di Eulero, 0 8. Trsformzioni del pino con i numeri complessi 05 Trslzione di vettore = (p; q), 05 Rotzione di centro l origine e ngolo α (α 0 ), 05 Rotzione di centro C 0 ( 0 ; y 0 ) e ngolo α (α 0 ), 07 Simmetri centrle, 08 Omoteti di centro C 0 ( 0 ; y 0 ) e rpporto 0, 08 Simmetri ssile, 09 Similitudine, 0 Composizione di trsformzioni, Inversione per rggi vettori reciproci, Lettur I numeri immginri 5 Quesiti di verific 6 Lortorio di informtic 8. Operzioni con i numeri complessi, 8. I numeri complessi di modulo, 9. Le trsformzioni del pino, 0. Esercizi, Progrmmi, Esercizi Operzioni con i numeri complessi, Rppresentzione trigonometric, 6 Formul di De Moivre, 8 Rdici n-sime di un numero complesso, 9 Equzioni, 0 Esercizi di riepilogo, Luoghi geometrici, 6 Esponenzile complesso, 8 Trsformzioni del pino con i numeri complessi, 9 Trslzione, rotzione, omoteti, 9 Similitudine indirett, Inversione circolre, cpitolo 9 Geometri nello spzio. Assiomi dello spzio 5 Postulti dell determinzione del pino, 5 Postulti dei semispzi, 6. Rett e pino perpendicolri 7. Posizioni reltive tr due rette 50. Posizioni reltive tr rett e pino 5 5. Posizioni reltive tr due pini 5 Gicitur. Fscio improprio di pini, 55 6. Proiezioni, distnze, ngoli 57 Distnz tr due rette sgheme, 58 Angolo tr due rette sgheme, 59 7. Alcune nozioni sulle trsformzioni dello spzio 60 Trslzione, 60 Simmetri rispetto un punto (simmetri centrle), 60 Simmetri ortogonle rispetto un rett, 60 Simmetri ortogonle rispetto un pino, 60 Rotzione ttorno un sse, 6 Omoteti, 6 8. Diedri, triedri, ngoli solidi 6 Diedri, 6 Triedri, 6 Angoloidi convessi, 6 Misur di un ngolo solido, 6 9. Prism 65 Superficie lterle e totle del prism retto, 66 0. Pirmide, tronco di pirmide 67 Superficie lterle e totle dell pirmide e del tronco di pirmide, 68 RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Indice. Cilindro 70 Superficie lterle e totle del cilindro retto, 70 Intersezioni di un cilindro con un pino, 7. Cono, tronco di cono 7 Superficie lterle e totle del cono e del tronco di cono, 7 Intersezioni di un cono con un pino, 7. Sfer 75 Superficie dell sfer, 75. Volume dei solidi 76 Volume del prllelepipedo, 76 Equivlenz dei solidi. Principio di Cvlieri, 76 Un generlizzzione, 78 Volume dell sfer, 8 5. Prti di superficie sferic e di sfer 8 Clott sferic e segmento sferico un se, 8 Zon sferic e segmento sferico due si, 8 Settore sferico, 8 Fuso sferico e spicchio sferico, 8 6. Poliedri 85 Solidi pltonici, 86 Sviluppo di un poliedro, 87 L dulità, 88 Quesiti di verific 89 Lortorio di informtic 9. Preliminri di CABRI D, 9. Poligoni, 9. Tre pini, 9. Le sezioni di un prism, 95 5. Perpendicolre due rette sgheme, 96 6. Esercizi, 97 7. Progrmmi, 97 Esercizi Posizioni reltive tr rette e rette, pini e pini, rette e pini, 98 Trsformzioni nello spzio, 500 Diedri, triedri, 500 Solidi, 50 Lunghezze, superfici, volumi, 50 Prism, 50 Prllelepipedo, 50 Pirmide. Tronco di pirmide, 506 Cilindro, 509 Cono. Tronco di cono, 5 Sfer, 5 Prti di superficie sferic e di sfer, 5 Poliedri regolri, 55 Prolemi di geometri solid risoluili con equzioni di primo e secondo grdo, 58 Prolemi di mssimo e minimo, 59 cpitolo 0 Geometri vettorile nello spzio. Corrispondenz tr i punti dello spzio e i vettori di 5 Are del tringolo, 5. Vettore che unisce due punti 5. Prodotto misto 5 Appliczione geometric: volume del tetredro, 55 Complnrità di tre vettori, 55. Punto di un segmento 56 5. Equzione del pino 57 6. Pini in posizioni prticolri 58 Pino pssnte per l origine, 58 I pini coordinti y, z, yz, 58 Pino per l sse z, per l sse, per l sse y, 59 7. Pino per tre punti 59 8. Posizioni reltive di due pini 50 9. Rett per un punto prllel un direzione dt 5 0. Rett per due punti 5. Posizioni reltive di due rette 56. Ricerc di un vettore prllelo un rett dt 58. Vettore perpendicolre un pino 59 Pino per un punto, prllelo un pino dto, 59 Condizione di perpendicolrità tr rett e pino, 59. Angolo tr due rette, tr due pini, tr rett e pino 50 Angolo tr due rette, 5 Angolo tr due pini, 5 Angolo tr rett e pino, 5 5. Distnz tr punti, rette, pini 5 Distnz tr due punti, 5 Distnz punto-rett, 5 Distnz punto-pino, 55 Distnz tr due rette, 56 Distnz rett-pino, 58 Distnz tr due pini, 58 6. L sfer 59 Quesiti di verific 55 Lortorio di informtic 55. Punto e vettore perpendicolre, 55. Pino per tre punti, 55. Dise gnimo più pini, 55. Equzioni dell rett, 555 5. Esercizi, 555 6. Progrmmi, 555 Esercizi 556 Operzioni con i vettori, 556 Volume del tetredro, 558 Complnrità di tre v ettori, 558 Punti di un segmento, 559 Aree e volumi, 559 Equzione del pino, 56 Equzione dell rett, 56 Posizioni reltive di due rette, 565 Vettore prllelo un rett, 567 Vettore perpendicolre un pino, 568 Rett incidente e perpendicolre un rett dt, 568 Posizioni reltive tr rett e pino, 568 Angolo tr due rette, tr due pini, tr rett e pino, 570 Distnz tr punti, rette, pini, 57 Esercizi di riepilogo, 575 Sfer, 577 IX RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Indice cpitolo X Funzioni: proprietà e operzioni Premess, 579. Alcune definizioni fondmentli 580. Funzioni elementri 585 I polinomi, 585 Le funzioni rzionli, 587 Le funzioni irrzionli, 589 Le funzioni goniometriche o circolri, 590 L funzione logritmic, 59 L funzione esponenzile, 59 L funzione segno, 59 L funzione vlore ssoluto, 59 L funzione prte inter, 59. L equzione y = f() L funzione invers 59 L funzione invers, 595. Le funzioni inverse delle funzioni circolri 600 L funzione y = rcsen, 600 L funzione y = rccos, 600 L funzione y = rctg, 600 L funzione y = rcctg, 60 5. Funzioni composte 60 Funzioni composte per vi grfic, 60 Iterte di un funzione, 605 6. Grfici deduciili d quello dell funzione f 607 Grfico dell somm e dell differenz di due funzioni, 609 Grfico del prodotto, 60 7. Le funzioni iperoliche 6 Coseno iperolico, 6 Seno iperolico, 6 Tngente iperolic e cotngente iperolic, 6 8. Un funzione periodic 6 Funzioni composte e funzioni periodiche, 65 9. Prolungmenti pri e dispri 65 Quesiti di verific 67 Lortorio di informtic 68. Le funzioni con DERIVE, 68. Grfici deduciili, 69. L funzione prte inter e le funzioni periodiche, 60. Esercizi, 6 5. Progrmmi, 6 Esercizi 6 Domini di funzioni, 6 Estremi inferiore e superiore, min, m, 67 Restrizione e prolungmento di funzioni, 69 Funzioni pri e dispri, 6 Funzioni periodiche, 6 Funzioni invertiili, 65 Funzioni composte, 67 Dominio e rppresentzione grf ic, 69 Grf ici deduciili, 60 GRAFICI SOLUZIONE, 6 VERSO LA MATURITÀ, 67 cpitolo Limiti di funzioni. Nozione di limite 69. Limite infinito 65 Asintoti verticli, 656. Limite finito di un funzione ll infinito 658 Asintoti orizzontli, 659 Oscillzioni periodiche e oscillzioni smorzte, 66. Limite infinito di un funzione ll infinito 66 5. Limite ll infinito di un funzione rzionle 66 Polinomi, 66 Funzioni rzionli frtte, 66 6. Limite sinistro, limite destro 665 Limiti fondmentli, 668 7. Teoremi sui limiti 668 8. Operzioni sui limiti 67 Limiti finiti, 67 Limiti infiniti e forme indeterminte, 67 9. Grfici di semplici funzioni composte 679 Grfico di f( ), 680 Grfico di, 68 f( ) Grfico di e f(), 68 Grfico di log f(), 68 Quesiti di verific 686 Lortorio di informtic 689. I limiti con D ERIVE, 689. Se il limite non esiste, 690. Funzioni rzionli, 690. Qulche esperimento grf ico, 69 5. Esercizi, 69 6. Progrmmi, 69 Esercizi 69 Verific di un limite, 69 Limiti ll infinito di funzioni rzionli, 69 Teoremi sui limiti, 69 Operzioni sui limiti, 695 Grfici di semplici funzioni composte, 697 GRAFICI SOLUZIONE, 70 VERSO LA MATURITÀ, 70 cpitolo Funzioni continue. Introduzione 707. Definizione di funzione continu 708 Continuità destr o sinistr, 708. Alcune funzioni continue 709. Punti di discontinuità 7 Discontinuità di prim specie, 7 Discontinuità di second specie, 7 Discontinuità di terz specie, 7 5. Limiti notevoli 7 RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Indice 6. Continuità delle funzioni inverse 77 7. Teoremi fondmentli sulle funzioni continue 78 Appliczioni, 70 8. Infinitesime e infiniti 7 Confronto tr infinitesimi, 7 Confronto tr infiniti, 75 9. Esempi di limiti prticolri 76 0. Asintoti 78 Asintoti verticli, 78 Asintoti orizzontli, 79 Asintoti oliqui, 70 Quesiti di verific 7 Lortorio di informtic 7. Funzioni continue: lvorre con DERIVE, 7. Punti di discontinuità, 75. Asintoti oliqui, 75. Esercizi, 76 5. Progrmmi, 77 Esercizi 78 Clcolo di limiti, 78 Limiti di forme indeterminte, 79 Esercizi di riepilogo, 79 Punti singolri, 75 Infinitesimi e infiniti, 756 Teorem di Weierstrss, 758 Teorem di esistenz de gli zeri, 759 Prolemi sui limiti, 760 Asintoti, 76 VERSO LA MATURITÀ, 770 9. Criterio di convergenz di Cuchy 789 Resto di ordine n, 790 0. Cominzioni lineri di serie 790. Serie termini di segno costnte 79. Convergenz ssolut 79 Criteri di convergenz ssolut, 79. Serie termini di segno lterno 797 Quesiti di verific 799 Lortorio di informtic 80. Le successioni con DERIVE, 80. L ricerc del limite, 80. Successioni ricorsive, 80. Iterte, 80 5. Serie geometriche, 80 6. Il numero e, 805 7. Esercizi, 805 8. Progrmmi, 806 Esercizi 807 Successioni, 807 Limiti delle successioni, 809 Successioni ritmetiche e geometriche, 8 Serie numeriche, 80 Serie telescopiche, 8 Serie geometriche, 8 Criterio del confronto, 86 Cominzioni lineri di serie, 86 Criteri di convergenz ssolut, 86 Serie termini di se gno lterno, 87 Esercizi di riepilogo, 88 cpitolo Successioni e serie numeriche. Successioni numeriche 77 Rppresentzione grfic, 77 Successioni monotòne, 775. Limiti delle successioni 776 Successioni convergenti, 776 Successioni divergenti, 777 Successioni indeterminte, 778. Teoremi e operzioni sui limiti delle successioni 778 Somm di due successioni, 779 Prodotto di due successioni, 779 Quoziente di due successioni, 779. Successioni ritmetiche 780 5. Successioni geometriche 78 6. Il numero e come limite di un successione 78 7. Generlità sulle serie numeriche 78 Serie telescopiche, 786 8. Serie geometriche 787 Numeri periodici, 788 Altre serie geometriche, 788 cpitolo 5 Algoritmi itertivi e ricorsivi. Metodi itertivi per sistemi lineri 89 Metodo di Jcoi, 89. Successioni per ricorrenz 8. Metodi ricorsivi 8. Errori 87 Errori sui clcoli elementri, 87 Errori reltivi, 80 Lortorio di informtic 8. MCD: lgoritmo euclideo, 8. Sommtorie, 8. Le cominzioni, 85. Esercizi, 86 5. Progrmmi, 86 Esercizi 87 Successioni, 87 Errori, 87 Soluzioni 89 Formulrio 85 Indice nlitico 86 XI RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Indice I seguenti cpitoli possono essere consultti e integrlmente scricti dl sito internet dell'editore, ll'indirizzo: www.ets-scuol.it/lmerti.html XII WEB Strutture lgeriche. Leggi di composizione. Gruppi 5. Alcuni gruppi finiti 7. Il gruppo delle ffinità 0 5. Sottogruppi 6. Il teorem di Lgrnge 7. Anelli 8. Corpi. Cmpi 5 9. Il cmpo delle clssi resto modulo p con p primo 7 0. Spzi vettorili 8. Isomorfismi 0 Quesiti di verific Lortorio di informtic 5 Esercizi WEB Gli spzi vettorili e. Gli spzi e. Vettori indipendenti. Interpretzione geometric di e di 7. Bsi. Coordinte 8 5. Cmimento di coordinte 0 6. Prodotto sclre cnonico Quesiti di verific 6 Lortorio di informtic 7 Esercizi WEB Discussioni grfiche e prolemi. Discussione grfic di sistemi prmetrici di secondo grdo in due vriili. Discussione grfic di equzioni prmetriche di secondo grdo. Discussione grfic di equzioni prmetriche irrzionli 5. Discussione grfic di equzioni prmetriche goniometriche 7 5. Prolemi di geometri nlitic con discussione 6. Prolemi di geometri euclide con discussione 8 Lortorio di informtic 8 Esercizi WEB5 Progrmmi. Esponenzili e logritmi Approssimre potenze con rdici. Clcolo comintorio Costruzione ricorsiv delle cominzioni semplici o con ripetizione. Proilità Il gioco Test o Croce. Vettori geometrici Sistemi lineri 5. Mtrici e sistemi lineri Somm e prodotto di mtrici 6. Trsformzioni nel pino Simmetri centrle o ssile 7. Cmimenti di riferimento nel pino Coordinte polri Trslzioni e rotzioni 8. I numeri complessi e le trsformzioni del pino Le rdici di un numero complesso 9. Geometri nello spzio Assonometri: dllo spzio l pino 0. Geometri vettorile Pino per tre punti. Funzioni: proprietà e operzioni Mssimo e minimo in intervlli. Limiti di funzioni Limite per vi sttistic. Funzioni continue Il legme ε-δ. Successioni e serie numeriche Successione di Fioncci generlizzt 5. Algoritmi itertivi e ricorsivi Costruire cominzioni WEB Strutture lgeriche Clssi resto modulo p WEB Gli spzi vettorili e Terne linermente indipendenti WEB Discussioni grfiche e prolemi Mssimo e minimo di espressioni prmetriche RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Esponenzili e logritmi cpitolo L funzione esponenzile Ricordimo (vedi vol.,.0) che si definisce progressione geometric di primo termine l successione: =, = q, = q,..., n = q n,... dove q è dett rgione. Per un progressione geometric i cui termini sono tutti positivi vle un importnte proprietà: Ogni termine, dopo il primo, è l medi geometric tr il precedente e il successivo, cioè: = ( h ) h h h+ Il ftto che i termini di un progressione geometric sino ciscuno l medi geometric del precedente e del successivo potree suggerire l costruzione, finco dell progressione geometric dt, di un nuov progressione in cui tr ogni due termini veng inserit l loro medi geometric. Così, per esempio, ccnto ll progressione:,, 9, 7,... si può considerre l progressione:,,,, 9, 9, 7, ottenut dll precedente inserendo tr e il termine, che è ppunto l loro medi geometric, tr e 9 il termine e così vi. L progressione:,,,,... potree in tl modo, se > 0, dre luogo ll ltr:,,,,, e si può osservre che i termini delle due progressioni sono i vlori dell potenz in corrispondenz diversi vlori dell esponente : nel primo cso i soli vlori nturli di, nel secondo nche prticolri vlori rzionli.
Esponenzili e logritmi L funzione: ( > 0) si chim funzione esponenzile, perché l vriile figur esponente. Ess è un delle funzioni più importnti dell mtemtic: un esme ccurto di molte grndezze fisiche, chimiche, economiche, rivel il loro vrire nel tempo secondo leggi rppresentte d funzioni esponenzili, nelle quli figurno cioè espressioni contenenti t per diversi vlori di. Potenz esponente Clcolre i vlori di non è in genere semplice; se l esponente è un intero n, si h: Se =, si h: n = = n volte e mmettimo di poter clcolre mgri con un clcoltrice tscile l rdice qudrt. Diversmente, e en più difficilmente, vnno le cose se è un numero rele qulsisi. Servendosi tuttvi dell mmess possiilità di estrzione delle rdici qudrte, si può clcolre l esponenzile per molti vlori nche non interi di : così per esempio: ed essendo: si h:,75 = 0,75 75 075, = 00 = = + 75, = = Anche l ultimo fttore, inftti, si può ritenere clcolile, in qunto il clcolo consiste nell estrrre due volte un rdice qudrt: eseguirlo con un clcoltrice signific premere due volte il tsto con il segno di rdice. Purtroppo non tutti i numeri non interi possono, come nell esempio considerto, essere trsformti nell somm di un intero e di lcune potenze di. È tuttvi sempre possiile pprossimre l prte decimle di un numero con somme di potenze di. Per esempio: 8 0, 85 = = + + = + + 0 + 6 6 8 6 0, = 0 + + 0 0 8 + 6 + + 6 + e così vi. Nel primo esempio si è ottenuto il vlore estto proposto con tre soli ddendi, mentre nel secondo semr necessrio utilizzre un numero molto mggiore di ddendi.
Considerzioni sull potenz esponente rele cpitolo Esponenzili e logritmi L potenz β è definit per ogni > 0 e per ogni β gode delle cosiddette proprietà formli delle potenze, che riportimo revemente:. α β = α + β. α : β = α β. ( α ) β = α β. ( ) α = α α 5. ( : ) α = α : α Inoltre, per definizione: 0 = e β = [.] È opportuno ricordre che le difficoltà connesse con il clcolo delle potenze esponente rele sono dovute proprio ll necessità di rispettre tli importnti proprietà. Si deve cioè definire in modo che, per esempio: β verifichino l uguglinz: tenuto conto che: = 5 6, e = + 5 6 5 6 Se si fosse definit, per esempio, l potenz come l medi rimetic tr 0 0 = e 0 = 0, il suo vlore verree essere: In tl cso non sree però rispettt l prim delle proprietà sopr citte, secondo l qule: mentre: 0 = 0 0 + = 55, 0 0 = 0 = 0 5,5 5,5 0 L tecnic suggerit precedentemente, fondt su un uso intelligente dell operzione di estrzione di rdice qudrt, suggerisce un vi, cioè quell di occuprsi prim di potenze con esponenti α prticolri, per esempio somme di potenze di, e poi di procedere per pprossimzione. Così, per esempio, riconosciuto che i numeri: + 8 + + 8 6 + + + 8 6... + 8 RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Esponenzili e logritmi pprossimno 0, e che le potenze: pprossimno,7..., si conclude: (,5) 0, =,7... Il discorso ftto mnc certmente di rigore, per i seguenti motivi: che i numeri (, 5) =, 0668 + (, 5) 8 =, 6 + + (, 5) 8 6 =, 76 + + + (, 5) 8 6 8 =, 75,06;,6;,7;,75 pprossimino qulcos è del tutto opinile; che questo qulcos si un numero che cominci con,7... è ltrettnto non provto; che tle meccnismo de funzionre in generle, in corrispondenz qulunque se e qulunque esponente β, semr ncor meno evidente. Eppure il metodo esposto funzion molto ene! È inftti possiile provre rigorosmente che: ) ogni numero rele positivo β può essere pprossimto con un intero più somme di potenze di ; ) dette β 0, β, β... le vrie pprossimzioni di β medinte un numero vi vi mggiore di potenze di, qulunque si > 0 i numeri: β 0, β, β,... pprossimno un numero rele che chimeremo, per definizione, β ; c) l definizione dt di potenz β soddisf le proprietà formli delle potenze. Il cso poi di un esponente β 0, che pprentemente non rientr in quelli esminti, si risolve, ricordndo le [.]. L curv esponenzile Si un numero positivo e diverso d. Trccimo nel pino crtesino il grfico dell funzione esponenzile l cui equzione è: y = riportndo sull sse delle scisse i vlori dell esponente e sull sse delle ordinte i corrispondenti vlori di. Il grfico srà costituito dll insieme dei punti di coordinte (; ) Possimo distinguere due csi:. 0 < <. > Dti due insiemi A e B, si dice funzione di A in B un legge che ssoci ogni elemento di A un solo elemento di B.
Esponenzili e logritmi 0 < < Per fissre le idee, si = ; disegnimo perciò il grfico dell funzione: y = Per fre ciò, compilimo un tell, dndo ll esponente lcuni semplici vlori e determinndo i corrispondenti vlori di y =. Riportimo poi nel pino crtesino Oy i pun- ti di coordinte ( ; 6), ( ; 8),... Il grfico dell curv y = h l ndmento rppresentto in figur.. 6 8 0 y = 8 6 y 6 8 O FUNZIONE f :, 0 < < dominio: f = codominio: f = + 0 sintoto orizzontle: y = 0 per + decrescente: < >,, Figur. Osservimo che tle grfico è contenuto nel semipino y > 0, poiché: 0 ( ) > Inoltre, l crescere dell esponente, i vlori corrispondenti di decrescono, vvicinndosi l vlore zero. Esprimimo questo ftto dicendo che l funzione y = è decrescente e tende zero. Per esponenti negtivi: 0,,..., i vlori di diventno sempre più grndi: Il grfico dell funzione: 0 = =, y = (con 0 < < ) h un ndmento nlogo quello dell curv y = dell figur.. 0, 5
Esponenzili e logritmi Consiglimo llo studente di trccire per esercizio i grfici di lcune funzioni, per esempio di y= y iutndosi con un modest clcoltrice e disegnndoli sullo stesso pino = e, crtesino su cui vrà riprodotto l curv dell figur., in modo d riconoscere le differenze tr le tre funzioni in corrispondenz di un medesimo vlore dell sciss. > Per fissre le idee, si = ; disegnimo perciò il grfico dell curv: y = costruendo un tell nlogmente qunto si è ftto nel cso precedente e riportndo i punti ;, ;, sul pino crtesino Oy. 6 8 Il grfico dell curv y = h l ndmento rppresentto in figur.. y = y 6 FUNZIONE f :, > 6 8 0 8 dominio: f = codominio: f = + 0 sintoto orizzontle: y = 0 per crescente: < <,, 8 6 O Figur. Osservimo che tle grfico è posto nel semipino delle ordinte positive, poiché: 6 > 0 ( ) Inoltre, l crescere dell esponente, i vlori corrispondenti di crescono; questo ftto si esprime dicendo che l funzione y = è crescente. Per esponenti negtivi: 0, 0,... i corrispondenti vlori di decrescono, vvicinndosi l vlore zero: 0 =, 0 =, 0 0 Il grfico dell curv generic: y = (con > ) h un ndmento nlogo quello dell curv y = rppresentto nell figur..
Esponenzili e logritmi Lscimo llo studente il compito di trccire, sempre sullo stesso pino su cui vrà riprodotto l curv dell figur., i grfici di ltre funzioni, per esempio di: Osservzione y= y= y=,, Dll figur. si può osservre che i grfici delle curve: y y = e y = sono l uno simmetrico dell ltro rispetto ll sse y; inftti poiché si può scrivere: y = y = = un curv si ottiene dll ltr cmindo in, pplicndo quindi un simmetri rispetto ll sse y. O Figur. Aggiungimo, titolo informtivo, l tell reltiv lle tre funzioni: 0 00 0 5909 y = y = y = 0 00,05 0 6,8 0 9 I vlori di, pur essendo pochi, sono già sufficienti perché si poss pprezzre l notevole differenz che pss tr l prim funzione e le ltre. 6 096,8 0 9, 0 0 In prticolre, osservndo l terz rig, possimo fre un confronto tr i vlori ssunti dlle due funzioni y = e y = per = 6 e ricordre l fvol del gioctore di sccchi che pretese in premio chicchi di grno sull prim csell, sull second e così vi, sempre rddoppindo il numero dei chicchi, fino ll sessntquttresim. Il premio, ssi grnde (,8 0 9 chicchi), sree però stto ncor modesto rispetto quello derivto d un richiest di tre chicchi sull prim csell, nove sull second, e così vi, sempre triplicndo, fino ll sessntquttresim csell dell sccchier! L curv y = e Rientr nel secondo cso ( > ) l curv esponenzile: y = e essendo e un numero irrzionle definito come il vlore cui tendono, l crescere di n, i termini dell successione:, +,,,, + + n Il vlore di e, dett costnte di Nepero, pprossimto ll settim cifr decimle, è:,7888 Essendo < e <, il grfico dell curv y = e è compreso fr quello dell y = e quello dell y =. n 7
Esponenzili e logritmi Costruit l solit tell, riportimo i punti ( ; e ), ( ; e ),... sul pino crtesino, ottenendo il grfico rppresentto in figur.. Equzioni esponenzili Un equzione si dice esponenzile se l incognit compre esponente. Per esempio, sono esponenzili le equzioni: L equzione: y = e e 0,09 e 0,5 e 0,67 0 e 0 = e,78 e 7,89 e 0,085 e 5,598 Uso dell clcoltrice 5 = 5 5 = 7 = 9 = (con > 0) [.] si dice equzione esponenzile elementre; risolverl signific determinre il vlore d dre ll esponente ffinché l potenz si ugule. Essendo > 0, per ogni rele risult: > 0 quindi, ffinché l equzione [.] mmett soluzione, occorre che nche si un numero positivo. Sussiste il seguente fondmentle TEOREMA Se è positivo e diverso d e è positivo, esiste ed è unic, l soluzione dell equzione: = y e e O e y = e I vlori dell tell si ottengono servendosi di un comune clcoltrice tscile. Per esempio, per clcolre e di solito si devono premere in sequenz i seguenti tsti: Per clcolre e si devono premere i tsti: INV ln + / INV ln Figur. 8 L condizione si giustific tenendo conto che, per =, = per ogni ; quindi, se fosse nche =, l equzione vree infinite soluzioni, mentre, se fosse, l equzione sree impossiile.
Esponenzili e logritmi Per giustificre il teorem nel cso > 0 e diverso d ci serviremo del grfico dell funzione esponenzile. Inftti, di grfici riportti nelle figure.5 e.6 dell funzione y =, che si riferiscono rispettivmente i csi 0 < < e <, si osserv che, se > 0, l rett y = incontr l curv in un solo punto di coordinte (; = ). Ciò signific che, per ogni vlore positivo di, esiste ed è unico il vlore di tle che =. 0 < < > y y log O O log Figur.5 Figur.6 L soluzione dell equzione = viene indict con: = log che si legge logritmo di in se. Il numero positivo è detto rgomento del logritmo. DEFINIZIONE Il logritmo di un numero (positivo) in un se (positiv e divers d ) è l esponente d dre d per ottenere. In simoli: Per esempio, l equzione: h come soluzione = e quindi: log = = = log 9 [.] Non sempre l soluzione dell equzione esponenzile è direttmente clcolile: per esempio, l soluzione dell equzione: = 5 che si scrive: = log 5 < 5 = < < < 9 può clcolrsi con strumenti quli un clcoltrice scientific o le tvole dei logritmi che ncor qulcuno possiede. 9
Esponenzili e logritmi Osservzione Le condizioni > 0 e diverso d e > 0 ssicurno l esistenz e l unicità dell soluzione dell equzione =. In lcuni csi prticolri, tuttvi, l soluzione esiste ed è unic pur non essendo verificte tli condizioni: per esempio, l equzione ( ) = 8 h soluzione = ; così pure l equzione ( ) = 9 h soluzione =. Dimo or lcuni esempi di risoluzione di equzioni esponenzili. Risolvere l equzione: Poiché sempi =, l equzione si può scrivere nell form: = d cui, poiché le si sono uguli, si deduce che devono essere uguli gli esponenti: Quindi l soluzione è dt d Risolvere l equzione: = = = = 9 + Poiché 9 =, si può scrivere il secondo memro nell form: (+) = + Uguglindo gli esponenti dei due memri, si ottiene: = + cioè = 0 equzione che mmette le soluzioni: = e = Risolvere l equzione: Si h: e, tenuto conto che 9 =, si può scrivere: d cui: Quindi l soluzione è = 9 9 = = ossi = 0 = = NOTA Gli esempi, e suggeriscono uno stesso metodo di risoluzione: trsformre il primo e il secondo memro in potenze dell stess se e quindi uguglire gli esponenti. 0
Esponenzili e logritmi Risolvere l equzione: 9 + 0 = 0 Posto = t, con t > 0, essendo = t, l equzione divent: le cui soluzioni sono: Si ottiene llor: t 9t + 0 = 0 t = e t = 5 = d cui = = 5 d cui = log 5 6 Disequzioni esponenzili Occupimoci or dell risoluzione di disequzioni esponenzili del tipo: (con > 0) Si 0. Poiché, se è positivo, è positivo per ogni, l disequzione: > è soddisftt per ogni, mentre l disequzione: non è mi soddisftt. Si or > 0; distinguimo due csi:. 0 < <. > 0 < < Aimo già osservto nel prgrfo che in questo cso l funzione y = è decrescente (fig..7); ciò signific che, quli che sino i vlori di e, con <, risult: y 0 < < < > Poiché, se > 0, per l [.] si può scrivere: = log L disequzione: divent: > > log che, se 0 < <, è verifict per O < log Figur.7
Esponenzili e logritmi L disequzione: divent invece: che, se 0 < <, è verifict per < < log > log > Aimo già detto, proposito dell funzione esponenzile y =, con >, che ess è crescente (fig..8); ciò signific che, quli che sino i vlori di e, con <, risult: Quindi, essendo = log, l disequzione: > (con > ) è verifict per < < > log > y mentre l disequzione: < (con > ) è verifict per < log O Figur.8 Osservzione Poiché per > 0 si può scrivere: =, se 0 < < l potenz si può trsformre nell potenz di se >. Per esempio, si può scrivere: nziché e 7 nziché Quest osservzione ci permette di considerre solo disequzioni del secondo tipo, cioè del tipo > con >, riconducendo le disequzioni con se 0 < < disequzioni con se mggiore di. + 7 5 sempi L disequzione: + 9 > si può trsformre nell ltr: 9 > e, poiché =, possimo ncor scrivere: 9 > Srà quindi: 9 > ossi: ] ; [
Esponenzili e logritmi 6 7 Risolvere l disequzione 9 0. Si h: 9 d cui: cioè ossi: ] ; ] Risolvere l disequzione + + + > 0. Il primo e il terzo termine possono essere trsformti nel modo seguente: + = + = quindi l disequzione divent: + > 0 d cui si ottiene: + 0 > Essendo > 0 per ogni, l disequzione equivle ll seguente: + > 0 Posto = t, con t > 0, si ottiene il sistem: t t + t > 0 t > 0 Il primo memro dell prim disequzione è divisiile per il inomio t. Eseguimo l divisione: Perciò: 0 0 // t t + t = (t ) (t 0t + ) Studimo or il segno del prodotto, riportndo i risultti su un grfico (fig..9). 0 t t t 0t + t t + t 0 + 0 0 + Si ricv che le soluzioni in t sono: < t < Figur.9 e t >
Esponenzili e logritmi Ricordndo che = t, si ottiene: e quindi: ossi: < < 0 e > < < 0 > ] ; 0[ ]; + [ 7 Logritmi e loro proprietà Si è detto (vedi.5) che l equzione esponenzile: = con > 0 e, mmette un e un sol soluzione per ogni > 0 e si è convenuto di indicre tle soluzione con il simolo: = log Possimo llor dedurre le seguenti conseguenze fondmentli:. l funzione esponenzile, con > 0 e, è dott di invers;. l invers dell funzione esponenzile, log, è definit per tutti i numeri positivi. Possimo quindi definire un nuov funzione, che ogni vlore (positivo) f corrispondere il suo logritmo (in un dt se positiv e divers d ); c. Se indichimo l vriile indipendente con (invece che con ), l nuov funzione f () f : + / log 0 con > 0 e diverso d, gode delle proprietà formli, nloghe quelle dell funzione esponenzile, che or enunceremo. Proprietà. Logritmo del prodotto Se > 0 e > 0, llor: log ( ) = log + log Inftti, vendo posto: segue: = e = [.] = log e = log [.5] d cui si ottiene, moltiplicndo le [.] memro memro: = ossi + = d cui si ricv: + = log ( ) e, sostituendo i vlori di e ricvti dlle [.5]: log + log = log ( ) [.6]
Esponenzili e logritmi. Logritmo del quoziente Se > 0 e > 0, llor: log = log log Inftti, dividendo memro memro le [.], si ottiene: = ossi Sostituendo e i vlori ricvti dlle [.5], si ottiene: log log = log =log [.7]. Logritmo di un potenz Se > 0, llor: Inftti, posto: = ossi = log elevndo i due memri dell prim uguglinz ll esponente k, si ottiene: d cui segue: log k = k log k = k e quindi k = log k k log = log k [.8]. log = 0 log = Inftti, poiché: si ottiene: 0 = e = log = 0 e log = [.9] 5. Cmimento di se log c = log log c ossi logc log = log Inftti, ponendo: = e c y = [.0] segue: = log e y = log c [.] ed elevndo l second delle [.0] potenz con esponente si ottiene: c y = o nche y = log c Sostituendo e y i vlori ricvti dlle [.], si ottiene: logc log c = log log c ossi log = [.] log c c 5
Esponenzili e logritmi y log y 000 500 000 000 500 00 000 500 0 0 60 80 00 0 5 0 0 50 00 log Figur. Figur.5 L rett d essi determint consente di definire per vi grfic i vlori dell funzione in corrispondenz di qulunque ltro vlore dell : per esempio, per clcolre il vlore f (), determinimo l ordint del punto di sciss = dell rett disegnt. Si ottiene y = 5,588. Lettur Il testmento di Benjmin Frnklin Benjmin Frnklin, eminente sttist mericno (Boston 706 - Phildelfi 790), nel 785, fu Presidente dello stto di Pennsylvni e nel 787 deputto ll Convenzione; si dedicò nche ll ricerc scientific rivolgendo i suoi interessi llo studio di fenomeni elettrici che lo portrono tr l ltro ll invenzione del prfulmine (75). Nel suo testmento B. Frnklin lsciò un donzione ll scuol di Boston d lui frequentt e che oggi port il suo nome. «llo scopo di rendermi utile nche dopo l morte, se possiile, nel formre e nel fr progredire ltri giovni che possno essere utili l loro Pese, si Boston che Phildelfi, offro in donzione 000 sterline, mille gli itnti dell città di Boston nel Msschussetts e le ltre mille gli itnti dell città di Phildelfi, come lscito e per gli usi, gli interessi e gli scopi menzionti e dichirti più vnti». Frnklin si proponev di prestre denro giovni pprendisti l tsso di interesse del 5% con l clusol che ogni pprendist che contresse un prestito pgsse ogni nno con interesse nnuo, un decim prte del cpitle, e che l somm del cpitle e dell interesse restituiti fosse riservt i nuovi pprendisti. «Se questo progrmm viene eseguito e h successo, come è previsto, senz interruzione per cento nni, l somm srà llor di.000 sterline». Pssti 00 nni, nel gennio 89, il fondo destinto ll scuol di Boston er cresciuto d 000 sterline circ 90.000 sterline, meno perciò di qunto Frnklin vev pensto, in qunto non fu sempre possiile trovre un numero sufficiente di giovni pprendisti cui erogre il prestito. Or, nel cso di cpitlizzzione continu, qule tsso di interesse un cpitle impiegto per 00 nni risult, ll fine del periodo, novnt volte più grnde? Bst risolvere l equzione nell incognit k (tsso di interesse nnuo): C = C 0 e kt essendo C il cpitle mturto ll fine del tempo t = 00 nni e C 0 il cpitle inizile. Poiché C = 90, si h: C 0 e 00k = 90 00 k = log 90 k = 0,05 cioè il tsso di interesse nnuo deve essere ugule,5%. 7
Esponenzili e logritmi Quesiti di verific L equzione = h: nessun soluzione due soluzioni = 0 e = 7 Tr le seguenti, qul è l equzione dell curv rppresentt in figur? = y c y= log( ) c non si risolve elementrmente = y d y = L equzione = h: nessun soluzione y soluzione solo per < 0 c soluzione per ogni Trccite le curve y = e y = sen, dedurre che l equzione + sen = 0 h: nessun soluzione c d due soluzioni infinite soluzioni per >π infinite soluzioni periodiche O L disequzione ( 0, ) 00 è verifict per: < 0 < 0 c > 0 d > 0 8 L equzione y = è equivlente : log = log y = c log = y d log y = Dto il grfico di y = : 9 Indicre per quli vlori di risult: 5 6 il grfico d esso simmetrico rispetto ll sse y è reltivo : c d y = y = y = log y = log il grfico d esso simmetrico rispetto ll rett y = è reltivo : 0 e cos π < e kπ kπ < <π+kπ c per ogni rele m non pri π π d ; Se log 0 5 = llor log 0 0,0005 è ugule : y = y = c d y = log y = log c d 8
Esponenzili e logritmi Se log 0 = 0,00, llor log 0 è ugule : 0,600 c,00,5050 d 0,000 7 L equzione log (log 6) = è verifict per: = c =± Risult log log : 8 = c 7 8 = L equzione d nessun d non esiste 8 ( 0, ) 000 = ( 0, ) log Se > 0 e > 0, l espressione è ugule : c d log( 6 ) 6 log log log( ) log( ) + log 9 è verifict per: = 0 c =± =± 0 L disequzione è verifict per: = log (cos ) c + 0 π+kπ d per nessun d 5 6 Se log 8 = log, llor è ugule : c log 8 9 Il vlore dell seguente espressione: log 5, 7 0 0 + log log log 0 5 5 0 è circ ugule : 6, c,5 6,6 d 6,5 L uguglinz log ( ) = log( ) + log( + ) log è ver solo se: < < c > d > d < < 0 > y = e 0 Il sistem log log y= c d mmette l sol soluzione = e; y = e mmette l sol soluzione = e 7 y= e ; 7 non mmette soluzioni mmette le due soluzioni = e; y = e e Per quli è soddisftt l disequzione log ( ) < log? ; ] ; + [ c = e ; y= e + ; per nessun + d ; {} 9
Esponenzili e logritmi Lortorio di informtic Comndi. Il grfico dell esponenzile Il grfico dell funzione esponenzile cmi note volmente l cmire dell se : ci servimo in questo lortorio del comndo SLIDER BAR offerto nell pgin grf ic di D ERIVE per pprezzre il fenomeno: ssegnimo d Author l espressione ^; primo l pgin grfic e ttivimo dll tendin Insert il comndo SLIDER BAR, (fig. ); compilto il o come in f igur, possimo chiedere, pulsnte, il grfico dell espressione esponenzile. DERIVE SLIDER BAR FLOOR CABRI Segmento, Rett Poligono Punto Medio Spostndo con il mouse il cursore dell SLIDER BAR si ottengono diversi vlori di e, quindi diversi grfici di (fig. ): grfici crescenti per >, decrescenti per <. Figur. Il o del comndo SLIDER BAR. Figur.. L pendenz dell funzione esponenzile Il trtto di grfico dell funzione visiile in figur non evidenzi due fenomeni importnti: l rpidità con l qule l pendenz ument l crescere di se > ; l rpidità con l qule, sempre per >, si vvicin 0; l decrescere di, diventndo qusi orizzontle. 0
Esponenzili e logritmi Informtic Sperimentimo i due fenomeni, vlutndo con DERIVE i coefficienti ngolri m( 0 ) delle rette pssnti per i punti ( 0 ; 0 ), (0 + ; 0+ ) si per 0 > 0 vi vi più grnde si per 0 < 0 vi vi più negtivo... L esperimento può essere condotto chiedendo DERIVE il grf ico di e di rctg( m()), per π esempio per = : disegnt l quot si riconosce (fig. ), come le pendenze delle secn- π ti si vvicinino ssi presto cioè ppino sempre più simili ll verticle! Un esperimento d ese guire: si provi chiedere DERIVE il grfico dell m() stess: si vrà un sorpres! I vlori dell per negtivo... Figur. Che cos è un coltello ffilto? Un lstr di metllo con un lto tglito cuneo, un profilo molto ffilto! In mtemtic possimo immginre cunei f filti diversi pensndo grfici di molte espressioni che si vvicinno 0 qundo si vvicin 0 prendendo vlori positivi sempre più vicini 0. Fccimo disegnre DERIVE i grfici vicino 0 delle seguenti funzioni,,, Dopo verli disegnti è fcile riconoscere come il grfico di si il più ffilto dei tre. L esperimento, con un ttent cur ll finestr crtesin d usre, può essere condotto oltre che con e nche con potenze molto mggiori, quli, 6,, 0, Figur.,,, : profili ffilti... RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Esponenzili e logritmi esercizi Potenz esponente rele Completre Inserire sui puntini il segno = oppure in modo che l proposizione si ver.... 6 6...( ) 5... 7... +... + 5... + 5 + 5 5 (... ) 5 9 5... 5... 8 9 Inserire sui puntini il segno < oppure > in modo che l proposizione si ver. ( )...( ) 7 5 5... 5 7 8 6 5... 7 8 5 ( ) 8 5...( ) 5... 5 7 6...( ) 7 6 ( 5)...( 5) 5 ( 5)...( 5) ( ) ( ) 7... 7 Fcendo uso di un clcoltrice tscile, clcolre le seguenti forme esponenzili. 7, 0,05 5 7,8 0,0 8 5,7 7 0, 8, 0, 9 07, (0,07), 5 (5,) 0, 8, Trsformre le seguenti forme esponenzili in forme logritmiche come indicto nell esempio. 0 = 8 = log 8 5 0 = 6 = 6 = 6 5 = 5 7 = = = 8 7 0 = 0,00 8 = 0, 5 5 0 = 6 = 0, 5
Esponenzili e logritmi Trsformre le seguenti forme logritmiche in forme esponenzili come indicto nell esempio. 5 log 0 000 = 000 = 0 log = log 5 5 = log 9 7 = log 6 6 = log 7 7 = esercizi 6 log 5 = 5 log 8 = log 7 = 0 7 log = 8 log 56 = 8 log 0, 0,00 = L curv esponenzile Quesiti. Considert l funzione f( )= (con + 0 ): ) quli sono il dominio e il codominio dell funzione? ) in quli csi l funzione è crescente? In quli csi l funzione è decrescente? c) il grfico intersec l sse? d) qul è il comportmento rispetto ll sse? e) in quli punti il grfico intersec l sse y?. Quli vlori si devono dre d e ffinché le curve y = e y = sino l un simmetric dell ltr rispetto ll sse y?. L funzione y = è crescente? Trccire il grfico.. Per quli vlori di, ssume il vlore 8? {} 5. Per quli vlori di è definit? 6. In qunti punti l rett y = + intersec l curv y =? 7. Qunte soluzioni h l equzione =, supponendo +? 0 8. Si di l definizione di log, specificndo quli vlori possono ssumere l se e l rgomento. Trccire i grfici delle seguenti curve. 8 9 0 y = y = 5 5 y = (0,) 6 y = 5 y = 5 7 y = ( ) y = y = y = y = 9 5 RCS Liri S.p.A. - Divisione Eduction, Milno
Esponenzili e logritmi Equzioni esponenzili Risolvere le seguenti equzioni esponenzili. esercizio risolto. 5 = 7 Poiché 7 5 = = =, l equzione si può scrivere nell form: Poiché le si sono uguli, deve essere:. 7 5 = 9 5 = 5 5 5 = = 5 + = ( ) Post l condizione di esistenz 0, poiché 9 = ( 7 ) = 7 nell form: 5 5, l equzione si può scrivere Pertnto deve essere: 7 5 = 7 ( ) ( ) 5 = d cui, risolvendo, si ottengono le due soluzioni: = e = 8 9 = 8 (0,) = 0 6 7 ( ) = 5 = 5 0 = 7 8 ( 7) = 9 5 = 5 6 8 9 0 (0,0) = 0 + = = 8 9 = 9 = + = 9 5 7 = 9 log 7 9 0 = log 0 = e = e 0 6