CALCOLO DEGLI INTEGRALI ESERCIZI SVOLTI DAL PROF. GIANLUIGI TRIVIA INTEGRALI INDEFINITI. Integrazione diretta.. Principali regole di integrazione. () Se F () f (), allora f () F () dove C è una costante arbitraria. () Af () A f () dove A è una costante () [f () ± f ()] f () ± f () () Se f () F () ed u φ (), allora f (u) du F (u) ln, più in generale n n+ n+ con n f () f() ln f () +a a arctan a a a ln a+ a ln +a + + a.. Tavola degli integrali elementari (immediati). a a ln a arcsin a a ar e e sin cos cos sin cos tan sin cot sin ln tan cos ln tan ( + ) π.. Integrali risolvibili con le regole di integrazione e formule di integrazione. Eercise. 5a 6 Soluzione: 5a 6 5a 7 7 Eercise. ( 6 + 8 + ) Soluzione: 6 + 8 + 6 + 8 + + + Eercise. [ ( + a) ( + b)] Soluzione: [ + (a + b) + ab ] + (a + b) + ab Eercise. ( a + b ) Soluzione: ( a + ab + b 6) a + ab + b 6 a + ab Eercise 5. p + (a + b) + b 7 6 + ab Soluzione: (p) p p p Eercise 6. n Soluzione: n n + n + n n + n Eercise 7. ( + ) ( + )
Soluzione: ( ) + + + + 5 5 CALCOLO DEGLI INTEGRALI + 5 5 + Eercise 8. ( + ) ( ) Soluzione: ( ) ( ) 0 0 7 7 6 Eercise 9. + 7 Soluzione: 7 arctan 7 Eercise 0. 0 0 + 0 Soluzione: ln 0 Eercise. + Soluzione: ln + + Eercise. 8 Soluzione: arcsin arcsin Eercise. + Soluzione: + + + + arcsin ln + + Eercise. tan Soluzione: applicando la formula goniometrica, ( cos ) tan Eercise 5. e Soluzione: (e) (e) ln e (e) + ln
CALCOLO DEGLI INTEGRALI.. Integrazione per introduzione sotto il segno di differenziale. La regola ), se f () F () e du φ () allora f (u) du F (u) estende notevolmente la tavola degli integrali elementari, in quanto essa rimane valida anche nel caso in cui la variabile indipendente sia una funzione derivabile. In particolare (5 ) d (5 ) (5 ) 5 5 5 5 5 ciò equivale anche ad operare la sostituzione 5 u, da cui, differenziando, 5 du. + Eercise 6. + Soluzione: riscriviamo il numeratore come + + +, avremo ( + ) d ( + ) + + + + + ln ( + ) + Eercise 7. + Soluzione: + ln + + 9 + ln + ( + ) ln + + ( ) + + ln + + 9 ln + ln + Eercise 8. + Soluzione: + ( ) ( + ) + ( + ) + ln + + ln Eercise 9. + 5 + 7 + Soluzione: + 6 + 9 ( + ) + + + + ( + ) + + + + ln + Eercise 0. ( + ) Soluzione: + ( + ) ln + ( + ) ( + ) ln + + Eercise. Soluzione: + + + Eercise. + ln Soluzione: ln + + ln (d ln ) + ln
CALCOLO DEGLI INTEGRALI Eercise. Soluzione: + 5 + 5 ( ) arctan 5 5 Eercise. 5 + 6 + Soluzione: applichiamo f () f() ln f () e avremo + 5 + + + + + 5 + +arctan 5 + +arctan 5 ln + +C Eercise 5. Soluzione: 7 8 5 arcsin 5 7 5 5 7 Eercise 6. Soluzione: 8 + 7 + 7 ln + + 7 8 8 Eercise 7. 5 Soluzione: 5 ln 5 ln 5 ln + Eercise 8. 5 + 7 Soluzione: 5 + 7 5 + 7 5 + 7 0 5 5 + 7 5 5 5 7 arctan 7 5 ln 5 + 7 Eercise 9. + Soluzione: + ln + Eercise 0. Soluzione: 5 5 ln 5
CALCOLO DEGLI INTEGRALI 5 Eercise. 6 + Soluzione: sapendo che d ( ), si ha d ( ) ( ) + arctan Eercise. arcsin Soluzione: sapendo che d (arcsin ), si può scrivere arcsin (arcsin ) d (arcsin ) (arcsin ) Eercise. arctan + Soluzione: + arctan + 8 8 + (arctan ) d (arctan ) 8 ln ( + ) arctan Eercise. Soluzione: d ( ) ln ln Eercise 5. (e e ) Soluzione: e e e + e Eercise 6. e +) ( Soluzione: Siccome d ( + ), avremo e +) ( ( d + ) +) e ( Eercise 7. 7 Soluzione: siccome d ( ), avremo 7 d ( ) 7 ln 7 Eercise 8. e Soluzione: ancora, poiché d ( ), avremo ( ) e d e Eercise 9. e e
Soluzione: d (e ) e ln e CALCOLO DEGLI INTEGRALI 6 Eercise 0. e e Soluzione: d (e ) e arcsin e Eercise. cos Soluzione: cos ( ) d sin Eercise. (cos + sin ) Soluzione: applicando la proprietà fondamentale della goniometria, si ha ( + sin ) + sin d () cos Eercise. cos Soluzione: essendo d ( ), si ha cos d ( ) sin Eercise. sin (ln ) Soluzione: ancora, essendo d (ln ), si ha sin (ln ) d (ln ) cos (ln ) Eercise 5. sin Soluzione: ricordando le formule di bisezione, si può riscrivere l integrale cos cos d () sin Eercise 6. cos Soluzione: sempre per le formule di bisezione + cos + cos d () + sin Eercise 7. sin
Soluzione: d ( ) sin ln tan CALCOLO DEGLI INTEGRALI 7 Eercise 8. cos Soluzione: ancora, poiché d ( ), si ha ( ) d cos tan Eercise 9. sin ( ) Soluzione: poiché d ( ), si ha sin ( ) d ( ) cos ( ) Eercise 50. tan Soluzione: sin ln cos (ancora, sin d (cos ) cos Eercise 5. sin cos Soluzione: ricordando le formule di duplicazione sin sin cos si ha sin d () ln tan sin Eercise 5. + cos sin Soluzione: essedno d ( cos ) sin, si ha + cos d ( + cos ) ( 9 + cos ) +C Eercise 5. tan cos Soluzione: poiché d [tan ] cos, si ha tan d (tan ) tan +C Eercise 5. + sin cos Soluzione: cos + sin cos d () cos ( cos ) d (cos ) tan + cos Eercise 55. + + ln +, (il numeratore è, infatti, la derivata del denomi- Soluzione: natore) Eercise 56. +
CALCOLO DEGLI INTEGRALI 8 Soluzione: operando in R si può scomporre il numeratore e ottenere ( + ) ( ) ( + ) Eercise 57. e Soluzione: e d ( ) e Eercise 58. + Soluzione: + + Eercise 59. e ( + ) ( + ) Soluzione: e ( ) d e + + + ln + Eercise 60. sin + cos Soluzione: poiché d ( + cos ) sin, avremo che il numeratore è la derivata del denominatore, per cui ln + cos Eercise 6. ln Soluzione: essendo d (ln ), avremo d (ln ) ln ln Eercise 6. e + Soluzione: e + e e + Eercise 6. sin cos sin e e + ln e + Soluzione: poiché d ( sin ) sin cos, si può riscrivere d ( sin ) ( sin ) arcsin ( sin ) Eercise 6. Soluzione: + cos cos + sin cos + tan d (tan ) + tan arctan (tan )
CALCOLO DEGLI INTEGRALI 9. Integrali risolti con il metodo della sostituzione di variabile Molti degli integrali precedenti si potevano anche risolvere con tale metodo, così come gli integrali che seguiranno potranno essere risolti anche con altri metodi. Eercise 65. ( + 5) 0 Soluzione: introduciamo la sostituzione t + 5 o t 5 t 5 t 0 t 5, da cui ; l integrale diviene t 0 8 t 5 t 8 ( + 5) 5 ( + 5) Eercise 66. + Soluzione: introduciamo la sostituzione + t o t, da cui t, cioè t e otteniamo t t t t t t t t ln t + t + ln + + Eercise 67. e Soluzione: sostituisco e t, cioè e t + da cui e t e quindi t t. Avremo + t t + t t + arctan t arctan ( e ) Eercise 68. Soluzione: ln ln ln + t ln + t ln + ln ln + ln, sostituiamo ln t e e avremo ln + t ln + t ln t ln ( ln + t) ln ln ln ln + t Eercise 69. e e + Soluzione: sostituiamo e + t, cioè e t e e t e avremo ( t ) t (t ) ( ) t t t t t [ (e e + ) + ] Eercise 70. sin cos
CALCOLO DEGLI INTEGRALI 0 Soluzione: sostituendo cos t, cos t, sin t, da cui sin, avremo cos sin ( cos sin t ) t + 5 t5 cos + 5 (cos ) 5 Eercise 7. Soluzione: sostituzione con funzione goniometrica: sin t, da cui cos t, si ha sin t cos t sin t cos t sin t t sin t arcsin Eercise 7. Soluzione: poniamo sec t, cos t tan t e sec t tan t, pertanto sec t tan t t arccos sec t tan t Eercise 7. Soluzione: poniamo t da cui e avremo t ( t t d t t t t ) 8 t t t t Eercise 7. Soluzione: introduciamo la sostituzione sin t, cos t e cos t e l integrale diviene + cos t cos t t + cos td (t) t + sin t arcsin +. Integrazione per parti Dalla formula della derivata del prodotto di due funzioni D [f () g ()] f () g () + f () g () si ottiene, integrando entrambi i membri f () g () f () g () + f () g () da cui f () g () f () g () f () g (), dove f () è riconosciuta come la derivata di una funzione nota f (). Eercise 75. ln Soluzione: Poniamo f ln e dg con g ; avremo ln ln Eercise 76. sin
CALCOLO DEGLI INTEGRALI Soluzione: Ponoamo f e dg sin e avremo cos + cos cos + sin Eercise 77. e Soluzione: Poniamo f e dg e e avremo e + e e e + e Eercise 78. e Soluzione: Poniamo f e dg e e otterremo e e iteriamo il procedimento f e dg e e avremo e [ e ] e e 9 e + 7 e Eercise 79. sin cos Soluzione: applichiamo le formule goniometriche sin e poniamo f e sin dg cos + cos cos + sin 8 Eercise 80. ln Soluzione: ponendo f ln e dg avremo ln ln 9 Eercise 8. ln Soluzione: ponendo f ln e dg avremo ln ln ln ln + Eercise 8. ln Soluzione: ponendo f ln e dg si ha ln + ln +
CALCOLO DEGLI INTEGRALI Eercise 8. ln ( + + ) Soluzione: ponendo f ln ( + + ) e dg si ha ln ( + ) + ( ln + ) + ( d + ) ( + + ln + + ) + +C Eercise 8. sin Soluzione: ponendo f e dg sin si ottiene cot + cot cot ln sin Eercise 85. cos sin Soluzione: ponendo f e dg cos sin si ottiene sin + sin sin + ln tan Eercise 86. e sin Soluzione: ponendo f sin e dg e si ottiene e sin e cos iteriamo ora la procedura ponendo nuovamente f cos e dg e si ottiene ( ) e sin e sin e cos + e sin e sin + e cos e sin sommando ora i due integrali e dividendo a metà entrambi i membri, si ottiene e sin (e sin + e cos ) Eercise 87. sin (ln ) Soluzione: ponendo f sin (ln ) e dg si ottiene sin (ln ) cos (ln ), ponendo ora nuovamente f cos (ln ) e dg si ha sin (ln ) cos (ln ) sin (ln ) ; avremo pertanto sin (ln ) sin (ln ) cos (ln ) sin (ln ) risolvendo rispetto a sin (ln ) si ottiene (sin (ln ) cos (ln )) sin (ln )
CALCOLO DEGLI INTEGRALI. Integrali di funzioni razionali fratte e irrazionali Eercise 88. + + 5 Soluzione: il polinomio al denominatore può essere riscritto come ( + ) +, da cui ( + ) + d ( + ) ( + ) + arctan + Eercise 89. + Soluzione: riscriviamo il denominatore ( 6 + ( 6) + 6) ( 6 ) + 6 d ( ) 6 ( ) 6 + 6 6 arctan 6 ( ) 6 arctan 6 Eercise 90. t+7 ( t+7 ) 7 ( t+7 7 + Soluzione: poniamo 7 t e e avremo ) t + 7 + t + t t + + 7 ln 8 + 5 7 + arctan 7 t + ( d t + ) t + 7 arctan 7 + Eercise 9. + 5 Soluzione: poniamo t e e otteniamo (t + ) (t+) t+ + 5 t t + t + ( d t + ) t + + t t + + t + t + ln t + t + arctan ln 6 + 0 + arctan ( ) Eercise 9. + Soluzione: riscriviamo il polinomio al denominatore in modo da ottenere la differenza di due quadrati ( ) ( ) + 9 6 5 6 ( ) ( ) arcsin 5 ( arcsin 5 ) Eercise 9. 6 + 5 Soluzione: d ( ) ln ( ) + + 5 ( ) + ( ) +
CALCOLO DEGLI INTEGRALI Eercise 9. Soluzione: poniamo t e t e avremo t t ln + t ln + ln + Eercise 95. Soluzione: riscriviamo completando il quadrato cui ( ) cos t e cos t. Avremo cos t + cos t ( ) poniamo ora sin t da 8 t + 6 sin t 8 arcsin ( ) + 8 ( ) ( ) Eercise 96. Soluzione: + ( ) d ( ) ( ) ln Eercise 97. Soluzione: e + e + e e (e ) + d ( ) e + (e ) + ln e + + + e + e Eercise 98. ln ln ln Soluzione: ln + 5 (ln + ) d (ln + ) 5 (ln + ) d (ln + ) Introduciamo la sostituzione ln + t con e t e e t e avremo ( t ) d 5 t 5 t 5 t 5 t 5 t 5 t arcsin t ln ln arcsin + 5 Eercise 99. 5 + 9 5 + 6 Soluzione: Applichiamo il metodo dei coefficienti indeterminati. Data una frazione algebrica razionale P () Q(), se Q () ( a) α... ( l) λ dove a,...l sono le radici reali differenti del polinomio e α,..., λ numeri naturali che indicano la molteplicità delle radici, allora è ammissibile la decomposizione della frazione nella forma P () Q () A a + A ( a) +... + A α ( a) α +... + L l + L ( l) +... + L λ ( l) λ
CALCOLO DEGLI INTEGRALI 5 I coefficienti indeterminati al numeratore si calcolano riducendo allo stesso denominatore i due membri dell identità sopra eguagliando i coefficienti dei termini di uguale grado. 5 + 6 5 + 6 + ( ) ( ) risolviamo il secondo integrale con il metodo indicato riscrivendo da cui ( ) ( ) A + B A ( ) + B ( ) (A + B) (A + B) avremo, pertanto, eguagliando i coefficienti di pari grado { { A + B 0 A A B B l integrale diverrà + + ln Eercise 00. + 9 ( ) ( ) ( ) Soluzione: applichiamo il metodo sopra indicato riscrivendo la frazione + 9 ( ) ( ) ( ) A + B + C da cui + 9 A ( 7 + ) + B ( 5 + ) ( + ) svolgendo e ordinando il polinomio si ha + 9 (A + B ) + ( 7A 5B C) + (A + B ) avremo quindi il sistema A + B 7A 5B C l integrale diviene 8 A + B 9 A 8 B 0 C 96 + 0 C 9 5 a + a + a + 5 A + B 6A 8 A + B 9 A 8 B 5 C 5 ln ( + ) Eercise 0. ( + ) Soluzione: riscriviamo la frazione come avremo ( + ) A + B + + C ed eguagliando i numeratori ( + ) A ( + + ) + B ( + ) (A + B) + (A + B ) + A otterremo le costanti risolvendo il sistema A + B 0 A + B 0 A A B C
CALCOLO DEGLI INTEGRALI 6 l intgegrale diviene + d ( + ) + + ( + ) ln + + Eercise 0. 6 + + 6 6 + 8 Soluzione: riscriviamo il numeratore come 6 + 8 + 6 + 8 ( ) + 6 + 8 e osserviamo che il denominatore è lo sviluppo del cubo di un binomio; otterremo ( ) 8 + 6 8 + 6 ( ) + ( ) + ( ) risolviamo il secondo integrale riscrivendo la frazione come i numeratori si ha A + B 8+6 ( ) ( ) ( ) 8 + 6 A ( + ) + B ( ) 8 + 6 A + ( A + B) + (A B ) otterremo le costanti risolvendo il sistema A 0 A + B 8 A B 6 l integrale diviene pertanto d ( ) ( ) + + 8 A 0 B 8 C ed eguagliando d ( ) ( ) 8 ( ) + 6 + 0 ( ) Eercise 0. ( + ) ( + + 5) Soluzione: scomponiamo e riscriviamo i denominatori t + e (t + ) (t ) (t + ) t [ ] poniamo ora ( ) ( ) ( ) + (t + ) (t + ) poniamo ora t tan z da cui t + cos z e cos z dz e otteremo cos z dz cos z + cos z d (z) cos z z cos z dz cos z dz cos z z ln tan z + sec z z cos z ln tan z + sec z z ln t t + t + arctan t ln ( ) + + + 5 arctan ( )+C Eercise 0. Soluzione: in questo caso applichiamo la sostituzione t + da cui t e otteniamo ( t + ) ( ) t t 6 + t + t + t 7 t7 + 6 5 t5 + t + t 7 ( ) 7 + 6 5 ( ) 5 + ( ) + ( )
CALCOLO DEGLI INTEGRALI 7 Eercise 05. cos 5. Integrali di funzioni goniometriche Soluzione: cos d (sin ) ( sin ) d (sin ) d (sin ) sin d (sin ) sin sin Eercise 06. sin cos5 Soluzione: sin ( cos d sin ) sin sin ( d sin ) + sin 6 ( d sin ) ( + sin ) sin d ( sin ) sin ( d sin ) sin + 8 sin8 sin6 Eercise 07. + 5 cos Soluzione: applichiamo le formule parametriche della goniometria per le quali cos t t e sin t +t dove t tan. Avremo quindi arctan t e +t. L integrale diviene +t + 5 t 8 t t ( t) ( + t) +t riscriviamo la frazione ( t) ( + t) A t + B e confrontando i numeratori t (A B)+ (A + B). + t A, B si ottengono risolvendo il sistema { { A B 0 A A + B B e l integrale diviene ( t) ( + t) ( t + ) + t ln + t t ln + tan tan Eercise 08. + tan tan Soluzione: utilizziamo la definizione di tangente come rapporto tra il seno e il coseno dello stesso angolo cos + sin ln cos sin cos sin Eercise 09. sin + sin Soluzione: d ( sin ) + sin ln + sin Eercise 0. Soluzione: riscriviamo, completando il quadrato, ( + ) + ; operiamo ora la sostituzione sin t e cos t, avremo ( sin t ) cos t cos ( + cos t) + cos t t + sin t arcsin + + +