FLUIDI Stati aggregazione materia Pressione Portata Moto stazionario Equazione di continuità Applicazione al sistema circolatorio Moto laminare e turbolento Legge Pascal Legge Stevino Legge Bernulli Legge Archimede Centrifugazione VES
STATI DI AGGREGAZIONE DELLA MATERIA Solido Il corpo ha volume e forma ben definiti Liquido Gassoso Il corpo ha volume ben definito, ma assume la forma del recipiente che lo contiene Il corpo occupa tutto lo spazio disponibile Si dice fluido un corpo allo stato liquido o gassoso
PRESSIONE La pressione è il rapporto fra la forza normale agente su una superficie e l area della superficie F N p = = = Pa (pascal) 2 S m Densità di un fluido m d = V kg Densità dell acqua 1000 m 3 S F n n ϑ F
PRESSIONE La pressione che il fluido esercita su una superficie non dipende dalla sua orientazione, ma solo dalla sua profondità. La pressione che il fluido esercita su una faccia è uguale a quella esercitata sulla faccia opposta.
PRESSIONE Nel sistema C.G.S. dyn 2 =baria cm 5 N 10 dyn dyn 1 Pa = 1 = 1 = 10 = 10 barie m 2 10 4 cm 2 cm 2 1 atmosfera = 760 mmhg 760 torr = 1.012 10 6 barie = 1.012 10 5 Pa 5 6 1 bar = 10 Pa = 10 barie
PORTATA DI UN FLUIDO V Q = V t t S.I. C.G.S. m 3 /s cm 3 /s
Portata di un condotto PORTATA Volume di fluido che attraversa una sezione del condotto nell unità di tempo S 1 S 2 v V Svt Q = = = t t Sv vt
PORTATA Moto stazionario: le condizioni fisiche rimangono costanti nel tempo S 1 S 2 v 1 v 2 La portata assume lo stesso valore su ciascuna sezione S = v S v 1 1 2 2 La velocità è inversamente proporzionale all area della sezione
EQUAZIONE DI CONTINUITA MOTO STAZIONARIO : Q = costante nel tempo in ogni sezione (ASSENZA di SORGENTI o di BUCHI) Q = V t S v v' t v' S' Nello stesso intervallo di tempo t: Sv t= S v t = S v t = S v = costante t
EQUAZIONE DI CONTINUITA EQUAZIONE di CONTINUITA' S 1 v 1 = S 2 v 2 A B C S = 0.5 cm 2 Q = 100 cm 3 s 1 S = 1.25 cm 2 S = 5 cm 2 S = 5 cm 2 v = 20 cm s 1 S = 1.25 cm 2 v = 80 cm s 1 S = 2.5 cm 2 v = 40 cm s 1
valori medi EQUAZIONE DI CONTINUITA EQUAZIONE di CONTINUITA' S 1 v 1 = S 2 v 2 valori medi portata circolo Q 5 litri 5000 min 1 cm3 = 85 cm 3 s 1 60 s AORTA r = 0.8 cm S = πr 2 = 2.5 cm 2 v = Q/ S = 85/ 2.5 cm s 1 42.5 cm s 1 ARTERIOLE S = 400 cm 2 v = 85/ 400 cm s 1 0.2 cm s 1 = 2 mm s 1 CAPILLARI S = 4500 cm 2 v = 85/ 4500 cm s 1 0.02 cm s 1 = 0.2 mm s 1 VENA CAVA S = 4 cm 2 1 1
MOTO DI UN FLUIDO REALE E OMOGENEO IN UN CONDOTTO MOTO : STAZIONARIO PULSATILE portata costante nel tempo portata variabile in modo periodico
MOTO DI UN FLUIDO REALE E OMOGENEO IN UN CONDOTTO REALE : sono presenti forze di attrito interno che ne ostacolano il moto attrito = F f v OMOGENEO : per qualsiasi volume le caratteristiche fisiche sono costanti (sangue : liquido non omogeneo)
MOTO DI UN FLUIDO REALE E OMOGENEO IN UN CONDOTTO CONDOTTO : RIGIDO DEFORMABILE non deformabile, quale che sia la forza applicata cambia la propria forma sotto l'azione di una forza deformazione elastica deformazione non elastica condotto elastico arterie e vene
FLUIDI REALI Durante lo scorrimento di un fluido reale in un condotto si manifestano forze di attrito interno che ne ostacolano il moto. Esse sono dovute alle forze di coesione fra le molecole del fluido ed alle forze di attrito fra le molecole del fluido e le pareti del condotto. Tali forze di resistenza sono l origine di una proprietà del fluido detta viscosità e producono una perdita di energia che si trasforma in calore
FLUIDI REALI Quando un liquido reale scorre in un condotto cilindrico a bassa velocità (moto laminare), tutto avviene come se cilindri concentrici scorressero l uno dentro l altro con velocità decrescente dal centro verso la periferia
REGIME LAMINARE FORZE di ATTRITO F A = η A v δ A v 2 δ v 1 v=velocità relativa = v 1 v 2 η coefficiente di viscosità A cgs g /(s cm) = poise
LEGGE DI HAGEN-POISEUILLE L attrito interno produce una caduta di pressione secondo la legge di Hagen-Poiseuille p = p p 1 2 = R Q Condotto cilindrico R 8 η = π r d 4 R= resistenza idraulica η = coefficiente di viscosità d = lunghezza del condotto r = raggio del condotto
REGIME LAMINARE η funzione della temperatura t ( C) η (poise) acqua... 0 C... 0.0178 10 C... 0.0130 20 C... 0.0100 plasma alcool... 20 C... 0.0125 etere... 20 C... 0.0023 mercurio.. 20 C... 0.0157 glicerina... 15 C... 2.340 aria... 15 C... 0.00018 sangue... 0.0400 (valore ematocrito 40%)
REGIME TURBOLENTO lamine e profilo parabolico di velocità lamine spezzate e vortici v > v c velocità critica
REGIME TURBOLENTO approssimazione iniziale : MOTO STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO v > v c REGIME LAMINARE - lamine e profilo velocità parabolico - Q p - silenzioso (definizione e conservazione dell'energia ) REGIME TURBOLENTO - vortici - Q p - rumoroso (alta dissipazione di energia per attrito)
PRINCIPIO DI PASCAL L aumento di pressione prodotto in un punto di un fluido si trasmette inalterato ad ogni altro punto del fluido. Amplificazione di una forza F f = A a
LEGGE DI STEVINO La pressione esercitata da una colonna di liquido sulla sua base non dipende dalla sezione, ma dipende dalla sua altezza Poiché la pressione è uguale alla stessa profondità, il liquido si dispone in recipienti comunicanti, ma di varia forma, alla stessa altezza (principio dei vasi comunicanti)
LEGGE DI STEVINO Condizione di equilibrio F = 0 i i p A p A + mg = p A + 2 = 1 1 dahg 1 p = p + 2 1 dgh
SISTEMA CIRCOLATORIO VENA CAVA valvole VENE CUORE POLMONI AORTA ARTERIE VENULE ARTERIOLE CAPILLARI pressione media (nel tempo) velocità media (nel tempo) AORTA ARTERIE ARTERIOLE CAPILLARI VENULE VENE VENA CAVA
SISTEMA CARDIOVASCOLARE Il cuore è diviso in quattro scomparti: atri e ventricoli. Esso funziona come una pompa sincrona, compiendo ciclicamente una contrazione (sistole) seguita da un periodo di rilassamento (diastole)
SISTEMA CARDIOVASCOLARE Parametri fisici Gittata sistolica: volume di sangue immesso nell aorta ad ogni contrazione sistolica (80 cm 3 ) Portata cardiaca: volume di sangue immesso nell aorta nell unità di tempo (80 cm 3 /s) Frequenza cardiaca: numero di contrazioni sistoliche nell unità di tempo (60 battiti/min)
SISTEMA CARDIOVASCOLARE Pressione cardiaca Valori medi all uscita dei due ventricoli: 120 mm Hg per l aorta 25 mm Hg per l arteria polmonare Valori medi al ritorno nei due atri: 4 mm Hg per la vena cava 8 mm Hg per la vena polmonare
SISTEMA CIRCOLATORIO schema del circuito chiuso : 4 mmhg CUORE AD VD AS VS 100 mmhg 25 mmhg 8 mmhg 5 litri/min 10 mmhg POLMONI GRANDE CIRCOLO CAPILLARI 40 mmhg 5 litri/min
pressione media velocità media CUORE SISTEMA CIRCOLATORIO (nel tempo) (nel tempo) velocità media (cm s 1 ) pressione media (mmhg) AORTA 50 40 100 ARTERIE 40 10 100 40 ARTERIOLE 10 0.1 40 25 CAPILLARI <0.1 25 12 VENULE <0.3 12 8 VENE 0.3 5 8 3 VENA CAVA 5 25 2 CUORE
EFFETTI FISIOLOGICI h 60 0 +60 +120 (cm) h(cm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 (mmhg) 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 p v p a + pressione venosa pressione arteriosa p = d g h esempio : arteria tibiale h = 100 cm d = 1 g cm 3 g = 980 cm s 2 p = d g h =1 x 980 x 100 barie = = 10 5 barie =76 mmhg
EFFETTI FISIOLOGICI h 60 0 +60 +120 (cm) h(cm) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 p v p a + posizione eretta p = p sangue + dgh pressione venosa pressione arteriosa h(cuore) = 0 ritorno venoso circolazione cerebrale posizione orizzontale p = p sangue
PRINCIPIO DI ARCHIMEDE Un corpo immerso in fluido è sottoposto ad un sistema di forze, la cui risultante è detta spinta di Archimede S, diretta verticalmente verso l alto ed uguale al peso del fluido spostato S=dVg d = densità del fluido spostato V = volume del corpo
PRESSIONE ATMOSFERICA Esperienza di Torricelli p a mg h=760 mm p = dgh = 13590 9.8 0.76 Pa = 101218 Pa 10 5 Pa = 1 atm S p a
MANOMETRO DIFFERENZIALE Differenza di pressione fra gas e atmosfera misurata dal dislivello h p 0 p = p p o Fluido p h = dgh Applicazione per la misura della pressione arteriosa con lo sfigmomanometro
TEOREMA DI BERNOULLI Si applica al moto di un fluido ideale (senza viscosità e incompressibile) in moto stazionario in un condotto a pareti rigide v 1 t S 1 p 1 v 1 a) c) v 2 t v 2 S 2 p 2 h 1 h 2 b) d) Su qualunque sezione del condotto 1 2 2 dv dgh p + + = cost
TEOREMA DI BERNOULLI Se il fluido è in quiete si ricava la legge di Stevino dgh1 + p1 = dgh2 + p2 p = p + dg( h h ) 2 1 1 2 1 2 1 2 Effetto Venturi dv 1 + p1 = dv 2 + p2 2 2 In un condotto orizzontale la pressione aumenta se l area della sezione aumenta E applicabile con buona approssimazione al sangue e ai condotti del sistema circolatorio
STENOSI Se si produce un restringimento della sezione di un vaso sanguifero S 1 p 1 p 2 S 2 p > p 1 2
ANEURISMA Se si produce un allargamento delle sezione di un vaso sanguifero p 1 S 1 p 2 S 2 p > p 2 1
COEFFICIENTE DI VISCOSITÀ Equazione dimensionale S.I. η = kg m 1 1 s = Pa s C.G.S. η = 1 1 g cm s = poise Acqua a 20 C Sangue a 37 C 1 cpoise = 10-3 Pa s 2-3 cpoise =2-3 10-3 Pa s
TRASPORTO IN REGIME VISCOSO velocità di trascinamento v = v s = F f f v = F particella sferica F a = 6π π η r v (legge di Stokes) forza d attrito F a = f v equilibrio dinamico F a = F F a + F = 0 v s = F 6π π η r velocità costante moto rettilineo uniforme
MOBILITA Forza d attrito: F a = -f v = - v /µ f = coefficiente di attrito o di frizione f = 1/µ µ = mobilità della particella in un fluido viscoso dipende dalle caratteristiche del mezzo viscoso e della particella non dipende dal tipo di forza
TIPI DI TRASPORTO Caratteristica comune: velocità di trascinamento v s = F/f Caratteristiche specifiche: dipendono dal tipo di forza in gioco F = forza peso sedimentazione F = forza centrifuga centrifugazione F = forza elettrica elettroforesi
SEDIMENTAZIONE Particelle in sospensione/soluzione in un liquido in quiete Forze in gioco: peso F = m g spinta Archimede S A = -m g attrito F a = -f v Equilibrio dinamico: (F + S A ) + F a = 0 F a =-fv s = S A -F v s Velocità di sedimentazione: = F S f A = mg m'g f = (d d')vg f se d>d, le particelle si depositano sul fondo con velocità costante v s
VES Velocità di EritroSedimentazione indice diagnostico Eritrociti 1a approx.: particelle sferiche v s (d = Stima velocità eritrociti d')vg f (d d')( 3 πr = 6rηπ 3 )g 2 (d = 9 4 d')r η (globuli rossi): v s 7 mm/h (= 2 10-4 cm/s) d=1.0995 g/cm 3, d =1.0265 g/cm 3 r=3.5 µm, η = 0.01 poise (ordine di grandezza) Dipende fortemente dal numero e dal tipo di aggregati di eritrociti. Normalmente vale 6-7 mm/h. Un valore di 10-12 mm/h può indicare alterazione delle forme degli aggregati o della composizione del plasma. Sedimentazione libera (forza di gravità) velocità molto bassa Per aumentarla si ricorre alla sedimentazione in centrifuga 2 g
CENTRIFUGAZIONE Forze in gioco: forza centrifuga F = mω 2 r 0 Situazione identica alla sedimentazione libera ma con forza centrifuga invece della forza di gravità ω = velocità angolare spinta Archimede S A = -m ω 2 r 0 attrito F a = -f v Equilibrio dinamico: (F + S A ) + F a = 0 F a =-fv s = S A -F Velocità di sedimentazione: 2 2 2 mω r r r v A 0 0 0 s = = = F S f m'ω f (d d')vω f Vantaggio: v s non dipende più da g (che è fissa), ma da ω e r 0 che possono essere variate a seconda delle necessità
CENTRIFUGHE PREPARATIVE Per particelle sferiche (come per la sedimentazione): 2 3 2 (d d')v ω r (d d')( 4 0 3 πr )ω r0 2 (d s = = = f 6r ηr 9 2 2 ω r v 0 d')r η Valori tipici: r 0 = 10 cm albumina: v s = 5 10-6 cm/s ω 1000 rad/s virus influenzale: v s = 7.6 10-4 cm/s (10000 giri/minuto) (Notare: accelerazioni tipiche di 10 4-10 6 g!) Utilizzo delle centrifughe: - separazionedi misceledi corpuscoli centr.preparativa in frazioni omogenee - analisi quantitativa della composizione centr.analitica di una sospensione (es.peso molecolare)
CENTRIFUGA PREPARATIVA Metodo: la sospensione da separare viene posta in cima a una provetta che contiene liquidi a diversa densità (es. soluzioni acqua-glucosio), crescente dall alto al basso. Poiché v s (d-d ), quando le particelle a densità d incontrano un liquido a densità superiore alla loro (d i d), si fermano a quel livello (v s = 0). In questo modo alla fine la sospensione risulta separata nelle sue componenti nei diversi strati.