Capializzazioe semplice e composa MATEMATICA FINANZIARIA Immagiiamo di impiegare 4500 per ai i ua operazioe fiaziaria che frua u asso del, % auo. Quao avremo realizzao alla fie dell operazioe? I u coeso simile alla siuazioe preseaa l imporo ivesio ( 4500 è il capiale C, quello che l operazioe frua è l ieresse I; la somma ra ieresse e capiale è il moae M. Ci soo due modalià di calcolo degli ieressi: L ieresse viee calcolao alla fie di ogi ao sul capiale iiziale. I al caso si parla di capializzazioe semplice L ieresse viee calcolao alla fie di ogi ao sul moae già realizzao. I al caso si parla di capializzazioe composa. Esamiiamo i due casi ell esempio proposo. Capializzazioe semplice: ieresse del primo ao 4500*0,0= 10,5 ieresse del secodo ao 4500*0,0= 10,5 moae = 4500+ 10,5. = 4707 Capializzazioe composa: ieresse del primo ao 4500*0,0= 10,5 ieresse del secodo ao (4500+10,5 *0,0= 105,8805 moae = 4500+10,5+105,8805= 4709,805 Immagiiamo ora di impiegare 4500 per ai e mesi i ua operazioe fiaziaria che frua u asso del, % auo. Quao avremo realizzao alla fie dell operazioe? Esamiiamo i due casi el uovo esempio proposo. Capializzazioe semplice: ieresse del primo ao 4500*0,0= 10,5 ieresse del secodo ao 4500*0,0= 10,5 ieresse per mesi 4500 0,0 = 5,875 moae = 4500+ 10,5. +5,875= 47,875 Capializzazioe composa: ieresse del primo ao 4500*0,0= 10,5 ieresse del secodo ao (4500+10,5 0, 0 = 105,8805 ieresse per mesi (4500+10,5+105,8805 0, 0 7,079 moae = 4500+10,5+105,8805+7,079= 476,46 = Esrapoliamo il procedimeo: idicado co il umero di ai, co f la frazioe di ao e co i il asso auo uiario Capializzazioe semplice: moae dopo +f ai M = C + I = C + C i + C i + C i +... + C i f + i + i f Ieresse dopo +f ai I = C i ( + f Capializzazioe composa: moae alla fie del primo ao M = C( 1 moae alla fie del secodo ao M = C( 1+ i + C(1 i (1 moae dopo +f ai M = C( 1+ i + C(1 i f (1+ if
Ques ulima procedura viee dea capializzazioe co covezioe lieare. E possibile ache adoare la covezioe espoeziale, ossia calcolare il moae el modo f + f seguee: M (1 Nello specifico esempio si oiee M=4500*(1+0,0 +/ = 476, Geeralizziamo: idicado co il empo oale espresso i ai e co i il asso auo uiario, si ha: Capializzazioe semplice: Ieresse dopo ai I = C i Moae dopo ai M = C( 1+ i Capializzazioe composa: Moae dopo ai M espoeziale ESEMPI N.B Se o idicao espressamee, useremo l ao commerciale = C( 1+ i (covezioe 1 Calcolare il moae di 000, impiegai per 5 ai e 11 mesi, al % auo 11 - i capializzazioe semplice M = 000 (1 + 0,0(5 + = 5,5 11 5+ - i capializzazioe composa M = 000(1 + 0,0 = 57,44059 Calcolare i quao empo u capiale, al asso del % auo, si raddoppia - i capializzazioe semplice C + i, quidi = 1 + 0,0 ai e 4 mesi - i capializzazioe composa C + 0,0, quidi log =log ( 1+ 0,0 = ai 5 mesi giori (1 + = 0,0 Calcolare quale capiale, impiegao per 7 mesi e 15 giori, al asso del % auo, forisce u ieresse di 0 - i capializzazioe semplice 0 = C 0,0 C=6400 - i capializzazioe composa I = M C 0 + 0,0 C 0 = C((1 + 0,0 1 C= 645,7 4 Calcolare a quale asso auo di ieresse 00 dao u moae di 100, se impiegai per ai. - i capializzazioe semplice 100 = 00(1 + i i =0,1159409 circa 11,59 % - i capializzazioe composa 100 oppure: log( = log(1 00 i= 0,104615889 circa 10,46 % 100 i = 00(1 + 1 + i = i = 0, 104615889 100 00
Tassi equivalei Ipoizziamo di ivesire 4500 per ai e mesi i ua operazioe fiaziaria che frua u asso del 6 % auo. Ci chiediamo se il moae realizzao si oerrebbe ugualmee co u asso dello 0,5% (6/ mesile. - i capializzazioe semplice al 6% auo, per,5 ai, si ha: M = 4500(1 + 0,06,5 = 510 oppure allo 0,005 mesile per 7 mesi M = 4500(1 + 0,005 7 = 510 - i capializzazioe composa al 6% auo, i covezioe espoeziale, per,5 ai, si,5 ha: M = 4500 (1 + 0,06 = 510,9901 oppure, 7 allo 0,005 mesile per 7 mesi M = 4500 (1 + 0,005 = 5148,688 Si vede che i due assi o soo equivalei, iededo per assi equivalei quelli che, a parià di capiale e di empo, dao lo sesso moae. Applicado quesa defiizioe ad u capiale C, ad u asso auo i e ad u asso mesile i, per u ao, si oiee: - i capializzazioe semplice: M = C( 1+ i 1+ i = 1+ i i = i quidi, per u geerico asso periodico i, si ha i = i Ad esempio per u asso semesrale i = i, per u asso quadrimesrale, i = i - i capializzazioe composa: i = ( 1+ 1 ed ache (1 + i 1 = i i M 1 + i 1 + + i = (1 i Spesso, i capializzazioe composa si usa il cosiddeo asso auo omiale coveribile, che ha solo valore covezioale; o può essere uilizzao ei calcoli, ma deve essere appuo coverio i asso periodico. Se ad esempio parliamo del 6% omiale coveribile bimesralmee, per fare i calcoli useremo il asso bimesrale dell 1% oeuo dividedo il omiale per 6. I geerale il asso auo omiale è idicao co ESEMPI j ed è i 1 Calcolare il moae realizzao co l impiego di 17000 per ai e 5 mesi allo 0,6 % mesile. - i capializzazioe semplice M = 17000(1 + 0,006 149 = 6118,8 5 oppure M = 17000 (1 + 0,04 (+ = 6118,8 149 - i capializzazioe composa, M =17000 (1 + 0,006 = 909,0147 oppure, poiché i = (1 + i 1=0,044065708, M = 17000(1 + 0,044065708 5 (+ = 909,0147 Calcolare l ieresse realizzao co l impiego di 1570 per ai 4 mesi e 16 giori al asso auo omiale 5% coveribile semesralmee. = j
0,05 Coveriamo il asso: i = j = = 0, 05 è il asso semesrale, quidi: - usiamo il asso semesrale ed esprimiamo il empo i semesri 4 16 (4+ + M = 1570(1 + 0,05 6 180 = 1765,6145 oppure - rasformiamo il asso semesrale i auo equivalee ed esprimiamo il empo i ai i = (1 + i 1=0,05065 e M = 1570(1 + 0,05065 4 16 (+ + 60 USO DI EXCEL = 1765,6145 Il foglio di calcolo può essere usao per risolvere alcui dei problemi precedei, mediae lo srumeo Ricerca obieivo. Ad esempio, dao il problema: Calcolare a quale asso auo di ieresse 00 dao u moae di 100, se impiegai per ai, si possoo digiare i dai i quesa forma Nella cella D si digia la formula =A*(1+C*B e ella cella E si digia la formula =A*(1+C^B ed il valore,elle celle B e B, oeedo Si va sulla cella D, poi dalla barra dei meu, Srumei Ricerca obieivo OK OK Si va sulla cella E, poi dalla barra dei meu, Srumei Ricerca obieivo
Il risulao oeuo per il asso è uguale a quello oeuo precedeemee co la risoluzioe di equazioi: