Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza Unià Didaica N 8 : La ciconfeenza Equazione della ciconfeenza di ceno C e aggio Equazione geneale della ciconfeenza Ciconfeenza avene equazione paicolae 4 Inesezione di una ciconfeenza con una ea 5 Equazioni delle ee angeni ad una ciconfeenza condoe da un puno 6 Equazione della ea angene ad una ciconfeenza in un suo puno 7 Inesezione di due ciconfeenze : asse adicale 8 Fascio di ciconfeenze 9 Ciconfeenze oogonali Equazioni paameice della ciconfeenza Poblemi sulla ciconfeenza
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza Equazione della ciconfeenza di aggio e ceno C(, σ O C P C(, P (, La ciconfeenza è il luogo geomeico dei puni P del piano equidisani da un puno fisso C deo ceno. Rifeio il piano ad un sisema oonomale di assi caesiani, deo C(, il ceno della ciconfeenza σ, P (, un geneico puno di σ abbiamo : CP CP ( ( [] La [] è l equazione di una ciconfeenza di dao ceno e dao aggio. Se C [] O la [] divena : La [] appesena l equazione di una ciconfeenza avene il ceno coincidene con l oigine degli assi caesiani. L equazione di una ciconfeenza dipende da e paamei essenziali e quindi pe individuae almeno una ciconfeenza occoono e condizioni. Se C(, ed abbiamo : ( ( 9 cioè : 4 4 Equazione geneale della ciconfeenza Se sviluppiamo la [] oeniamo : cioè : a b c [] se poniamo : [4] a b c [5] a b c a b 4c
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza La [] è l equazione geneale della ciconfeenza ce isula eale se c > cioè se : > c [6] Una ciconfeenza è appesenaa da una equazione algebica di secondo gado a due incognie in cui : manca il emine eangolae i coefficieni dei emini quadaici ed sono uguali e quindi sempe iducibili all unià. CASI PARTICOLARI c La ciconfeenza passa pe l oigine degli assi caesiani in quano la sua equazione è veificaa dalle coodinae O(, del puno O. La sua equazione divena a b C.N.S. pecé una ciconfeenza passi pe l oigine degli assi caesiani è ce isuli : c a b c,, a C(, La ciconfeenza b c a il ceno sull asse ; vicevesa, una ciconfeenza avene il ceno sull asse a equazione piva del emine lineae in. a b c,, b C(, La ciconfeenza a c a il ceno sull asse delle ; vicevesa, una ciconfeenza avene il ceno sull asse delle a equazione piva del emine lineae in. a b, c C O La ciconfeenza c a ceno coincidene con l oigine degli assi caesiani e aggio c ;, una ciconfeenza col ceno nell oigine degli assi caesiani a equazione piva dei emini lineai in ed in, cioè a equazione del ipo vicevesa c oppue del ipo La ciconfeenza la cui equazione può essee scia nella foma ( ( è angene agli assi caesiani e, quindi, il suo ceno appaiene ad una delle due biseici degli assi caesiani. Quando isula c ( l equazione della ciconfeenza divena :( ( cioè la ciconfeenza si scompone nelle due ee isoope usceni dal puno C(,.
4 Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza a b b c O O a C(, O Inesezione di una ea con una ciconfeenza Le coodinae dei puni d inesezione di una ea di equazione m n con una ciconfeenza σ di equazione a b c si oengono isolvendo il sisema : m n a b c [8] Sia A B C [9] l equazione isolvene il sisema [8] e Δ B 4 AC il suo disciminane. Si possono pesenae e casi : Δ> L equazione [9] ammee due adici ed eali e disine. La ea incona la ciconfeenza σ in due puni P(, e P(, eali e disini ( ea secane B Δ L equazione [9] pesena una soluzione doppia ( e quindi incona σ A in due puni coincideni ( ea angene
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza 5 Δ< Le adici ed sono complesse e coniugae. In queso caso non incona σ ( ea esena Calcolae le coodinae dei puni d inesezione della ea di equazione 5 con la ciconfeenza σ di equazione 6 5. 5 6 5 5 5 6 5 5 ( ( 5 9 6 6 5,, P P ± 9 8 ± P (, P (, Inesezione di due ciconfeenze : asse adicale σ : a b c, σ : a b c Pe calcolae le coodinae dei puni comuni alle ciconfeenze σ e σ basa isolvee il seguene a b c sisema : a b c Soaendo membo a membo oeniamo : [7] a b c a b c # # ( a a ( b b c c L equazione ( ( a a b b c c [6] appesena una ea dea asse adicale delle due ciconfeenze. Tale asse adicale coniene i due puni A e B ( eali e disini, eali e coincideni, immaginai comuni alle due ciconfeenze. Peano le coodinae di quesi due puni si oengono isolvendo uno dei due segueni sisemi :
6 Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza ( ( a a b b c c a b c ( ( a a b b c c a b c
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza 7 Calcolae le coodinae dei puni comuni alle ciconfeenze 5 5, 6 5 5 5 5 6 5 # # 5 6 5 ( ( 5 6 5 5, 5 6 P (, 4 P ( 4, 5 5 5 P P 6 5 o
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza 9 Equazioni delle ee angeni ad una ciconfeenza usceni da un dao puno Siano dai la ciconfeenza σ di equazione ( ( a b c ed il puno P(,. Vogliamo calcolae : a le equazioni delle ee e angeni a σ e passani pe P(, oppue b l equazione della ea passane pe i puni di conao delle angeni e con la ciconfeenza σ Sviluppeemo quesi agomeni pima a livello geneale e poi uilizzando il seguene esempio numeico. 4 Scivee le equazioni delle ee usceni dal puno P o, e angeni alla ciconfeenza σ di equazione 6 4
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza PRIMA QUESTIONE PRIMO METODO ( caaee geneale Ci calcoliamo il ceno ed il aggio della ciconfeenza σ Sciviamo l equazione del fascio di ee di ceno P(, : m( [] I puni comuni alla geneica ea del fascio [] ed alla ciconfeenza σ si oengono isolvendo il sisema : m( ( ( oppue ( m a b c Come isolvene oeniamo una equazione di secondo gado in o in : Se isula ( ( ( Am Bm Cm oppue Dm ( Em ( Fm ( [] ( alloa la ea del fascio è angene alla ciconfeenza σ. Quindi la condizione di angenza impone ce sia : Δ B 4AC cioè : pm qm s [4] Le adici m ed m dell equazione [4] sono i coefficieni angolai delle angeni iciese. : m( : m( OSSERVAZIONE Se le adici m ed m dell equazione [4] sono eali e disine alloa P è eseno a σ ed esisono due angeni eali. Vicevesa, se P è eseno a σ alloa le adici dell equazione [4] sono eali e disine. m m P σ Le due angeni coincidono m ed m complesse e coniugae P ineno a σ non esisono angeni eali. Vicevesa, P ineno a σ m ed m complesse e coniugae. Pe isolvee l esempio numeico poposo pecedenemene si pocede come segue : 4 Mi scivo l equazione del fascio di ee di ceno P o, e isolvo il seguene sisema : 4 m( 6 4
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza Mi ovo l equazione isolvene ale sisema eliminando la : 4 4 m m ( 6 4 ( 6 8 6 m ( m( 6 4m( 9 ( 6 9 ( 9 m m 6 9 9 9m 54m 8m 6m 8m 54 9 ( ( 9 m 7m m 7 8m 8m 9 Impongo ce il Δ 4 dell equazione isolvene il sisema sia uguale a zeo. Δ 4 ( m m ( m ( m m 7 7 9 8 8 9 Δ 4 ( m m ( m ( m m 9 9 9 8 8 9 4 4 8m m 8m 6m 8m 8m 8m 9 8m 8m 9m 4 :, 4 :, 9m, 9m, m± 7 OSSERVAZIONE 7 Con queso secondo pocedimeno, in geneale, i calcoli sono piuoso laboiosi. SECONDO METODO ( caaee geneale Basa scivee l equazione del fascio di ee [] nella foma implicia : m m [5] ed impoe ce la disanza del ceno C della ciconfeenza σ dalla geneica ea del fascio vale. Oeniamo : m m m [6]
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza Elevando ambo i membi al quadao oeniamo una equazione di secondo gado in m le cui adici m ed m appesenano i coefficieni angolai delle due angeni iciese. Con l esempio numeico pecedenemene poposo si opea come segue : Mi calcolo le coodinae del ceno C di σ e la misua del suo aggio : C( ;, 4 Mi scivo l equazione del fascio di ee di ceno P o, : 4 m(, 4 m 9m m 4 9m Impongo ce la disanza del ceno C della ciconfeenza σ da una geneica ea del fascio sia uguale al aggio della ciconfeenza, cioè : CH, 9m 6 4 9m 9m 9 Elevando ambo i membi al quadao oeniamo : 9m 9, 9m 9, 9m m, m ± 9, m, m ( si sosiuisce nella [*] : 7 : OSSERVAZIONE Pe calcolae le coodinae dei puni di angenza basa isolvee il sisema fa l equazione della ciconfeenza e l equazione di ciascuna angene. 6 4 7 6 4 TERZO METODO 4 T ( 4, T (, Basa calcolae l equazione della ea TT ce, come vedemo nella seconda quesione, si oiene applicando a σ la egola degli sdoppiameni come se P appaenesse a σ. Oeniamo : ( ( c [7] Quesa equazione, messa a sisema con l equazione di σ, ci consene di calcolae le coodinae dei puni T e T e quindi ance le due angeni ( ea PT e (ea PT.
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza 4 Nel noso caso paicolae abbiamo : ( 4, 6 4 6 8, 4 : :, 4 4 4 4 ( SECONDA QUESTIONE Pimo meodo Sciviamo l equazione della ciconfeenza σ di ceno P( dei due puni di angenza icodando ce :, ( (, T ( 4, T (, 7 PT CP CT L equazione di σ è : ( ( cioè : ( ( ( (, e aggio PT dove T è uno c [8] La ea TT, ce congiunge i due puni di angenza, è l asse adicale delle ciconfeenze σ e σ. c c Soaendo membo a membo oeniamo : c ed ance : [9] ( ( ( ( c []
4 Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza OSSERVAZIONE Dicesi polae di un puno P ( polo ispeo ad una ciconfeenza σ la ea TT ce congiunge i puni di conao delle angeni condoe alla ciconfeenza dal puno P. Pe la polae del puno P ispeo a σ abbiamo ovao l equazione []. Possiamo concludee affemando ce : << se all equazione di una ciconfeenza σ appliciamo la egola degli sdoppiameni oeniamo l equazione della polae del puno P ispeo a σ >> Se P è eseno a σ la polae è secane, se P è ineno a σ la polae è esena, se P σ la polae coincide con la angene a σ in P. Quesa popieà è valida pe ue le conice. SECONDO METODO P T i j Sia T (, uno dei due puni di angenza. ( ( C T ( i ( j, ( C T ( P T ( ( ( ( c c σ T ( ( in quano T σ c [] H OSSERVAZIONE P Se una delle due angeni è pependicolae all asse, una delle due adici dell equazione pm qm s [4] è infinia. In C T queso caso avemo p, cioè l equazione [4] si abbasseà di gado. Vicevesa, se l equazione [4] è di pimo gado una delle due angeni è paallela all asse delle ed avà equazione
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza 5 Equazione della ea angene ad una ciconfeenza in un suo puno P o Sia P(, un puno della ciconfeenza σ di ceno C(,. Sia P ( della angene a σ in P(,. ( P P ( P C ( P P ( P C [], un geneico puno La [] appesena l equazione veoiale della angene. Scivendo i veoi ( P P ( P C in componeni caesiani oeniamo : ( ( ( ( e [] La [] appesena l equazione caesiana della angene. Sviluppando la [] oeniamo : ( [] P σ c c c [] La [] divena : ( ( La [] appesena ancoa l equazione della angene e può essee icodaa applicando la cosiddea egola degli sdoppiameni secondo la quale La [] può essee icavaa in base alle segueni consideazioni veoiali : P C ( P C ( P ( P P ( P C ( C P ( P C ( P C P Moliplicando scalamene ambo i membi pe il veoe ( P C oeniamo : ( P C ( P C ( P C ( P C con : ( ( Ricodando ce : c oeniamo la []. P C P C
6 Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza Senza l ausilio del calcolo veoiale la [] può essee icavaa in base alle segueni consideazioni m CP, m e quindi l equazione di è : ( da cui possiamo dedue pima la [] e poi la []. Se C O, cioè se vogliamo calcolae l equazione della angene a σ nell oigine degli assi caesiani abbiamo : a b oppue [5] cioè << l equazione della angene a σ nell oigine degli assi caesiani si oiene annullando il complesso dei emini di pimo gado peseni nell equazione caesiana di σ >> << Scivee l equazione della angene a σ : 6 5 nel puno P ( 4, >> C(,, m CP 4, m ( 4, 6 4 << σ : 4 6, P ( 4,, C( 7 6, >> PC : 4 4 4, 4, : ( ( P σ P C o
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza 7 σ T σ C C P T Riepilogo geneale aaveso un esempio numeico : Scivee l equazione della ea angene alla ciconfeenza σ di equazione 4 6 nel puno ( 4, P o PRIMO PROCEDIMENTO Mi calcolo le coodinae del ceno C di σ : C( 76, Mi calcolo il coefficiene angolae della ea PC o : m PC o C C Po Po 6 7 4 4 CPo m m 4 s 4 m ( 4, ( o 4 4, 4 8, 4
8 Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza SECONDO PROCEDIMENTO Basa applicae la egola degli sdoppiameni : o, o, o, o σ : a b c, : a b o o o o c c oppue : ( ( o o o o Nel caso dell esempio numeico abbiamo : ( ( 4 7 4 6 6 4 TERZO METODO Si può uilizzae uno dei pocedimeni usai pe il calcolo della ea angene ad una ciconfeenza usceni da un puno.
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza 9 Fascio di ciconfeenze Siano dae due ciconfeenze σ e σ aveni ispeivamene equazioni :, ( c b a g, ( c b a g Si considei l equazione : [A], (, (, (, (, ( g g g g f con Quesa equazione appesena, pe ogni valoe di, una ciconfeenza δ passane pe i puni H e K comuni alle due ciconfeenze σ e σ ed, al vaiae di, genea infinie ciconfeenze ( ce cosiuiscono un fascio di ciconfeenze di puni base H e K. Si dice ance ce il fascio è geneao dalle due ciconfeenze σ e σ. Una combinazione lineae delle equazioni di due ciconfeenze è l equazione di un fascio di ciconfeenze individuao dalle due ciconfeenze dee ciconfeenze geneaici del fascio. L equazione [A] può essee scia ance nella seguene maniea : ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( c c b b a a [C] ( ( ( ( [D] c c b b a a [E] ( ( ( ( [F] Se cioè se la [A] non è più di secondo gado in quano assume la foma [B], e appesena l asse adicale delle due ciconfeenze σ e σ. Ossevando ce : Lim ( possiamo concludee ce l asse adicale può essee consideao come la ciconfeenza del fascio avene aggio infinio.
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza Teoema Una qualsiasi ciconfeenza δ appaenene al fascio individuao dalle ciconfeenze σ e σ è il luogo geomeico dei puni del piano pe i quali è cosane il appoo delle poenze ispeo a σ e σ. Infai dalla [A] icaviamo : g(, g (, [A] Dove g (, e g (, sono le poenze di un puno P (, vaiabile su δ ispeo a σ e σ e è una cosane. Quando è la [A] divena : f, g(, g (, ( a a ( b b ( c c [B] ( ce è l equazione della ea ( asse adicale passane pe i puni H e K e pependicolae alla ea congiungene i ceni delle due ciconfeenze σ e σ ( ea cenale del fascio. Tale asse adicale è il luogo geomeico dei puni del piano aveni uguale poenza ( g g sia ispeo a σ ce ispeo a σ. Quando le due ciconfeenze sono angeni ( esenamene o inenamene l asse adicale coincide con la angene comune nel puno di conao. Teoema : I ceni delle ciconfeenze del fascio appaengono ui alla ea dei ceni delle due ciconfeenze dae σ e σ ( asse cenale del fascio. Nell equazione [A] del fascio di ciconfeenze possiamo sosiuie l equazione di una delle due ciconfeenze ce lo geneano con l equazione dell asse adicale. l asse adicale del fascio è deo ance ciconfeenza degenee del fascio ue le ciconfeenze del fascio passano pe due puni H e K ( ce possono essee eali e disini, eali e coincideni o immaginai dei puni base del fascio. Vai ipi di fasci di ciconfeenze L equazione di un fascio di ciconfeenze dipende da un solo paameo. Pe queso moivo diciamo ce le ciconfeenze di un fascio sono. Pe avee un fascio di ciconfeenze almeno uno dei e coefficieni a, b, c peseni nell equazione deve essee funzione lineae di un paameo. Possiamo avee quao ipi di fasci di ciconfeenze. Pimo caso : Le due ciconfeenze σ e σ ce individuano il fascio si inesecano in due puni disini H e K, dei puni base del fascio. Il fascio di ciconfeenze viene deo elliico. Tue le ciconfeenze del fascio ( compesa quella degenee ce è l asse adicale del fascio passano pe i puni base H e K.
Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza Pe ogni puno A del piano disino da H e K passa una ed una sola ciconfeenza δ del fascio la cui equazione si oiene imponendo ce sia : g (, g (, A A B B L asse adicale è la ea HK, mene l asse cenale è l asse del segmeno HK. Secondo caso : Le due ciconfeenze σ e σ sono fa loo angeni nel puno T, ce cosiuisce l unico puno base del fascio. Il fascio di ciconfeenze viene deo paabolico. Tue le ciconfeenze del fascio ( compesa quella degenee passano pe T. Tue le ciconfeenze non degenei del fascio sono a due a due angeni ( esenamene o inenamene nel puno T ed ammeono come angene comune l asse adicale s. Pe ogni puno A del piano disino da H e K passa una ed una sola ciconfeenza δ del fascio la cui equazione si oiene imponendo ce sia : (, (, g A A g B B Tezo caso : Le ciconfeenze σ e σ sono concenice e quindi non anno puni in comune ( a a,, b b,. In quesa siuazione non esise l asse adicale del fascio di ciconfeenze e ue le ciconfeenze del fascio anno lo sesso ceno C (,. L equazione del fascio assume una delle segueni fome : ( a b c a b c ( ( a ( b( c c a b c c Concludendo possiamo affemae ce quando le ciconfeenze ce geneano il fascio sono concenice il fascio si dice fascio a ceno e l asse adicale non esise in quano la sua equazione si iduce all espessione c c, cioè c c ce è una uguaglianza non vea in quano le due ciconfeenze ce geneano il fascio, anno si lo seso ceno, ma anno ance aggi divesi. Quao caso : Le ciconfeenze σ e σ non sono concenice e non anno puni in comune. Il fascio di ciconfeenze viene deo fascio ipebolico. In quesa cicosanza si dimosa ce le ciconfeenze del fascio, compesa quella degenee, sono a due a due pive di puni comuni e ce le ciconfeenze non degenei del fascio sono a due a due non concenice, essendo i loo ceni siuai ui su una medesima ea pependicolae all asse adicale. L asse adicale è una ben deeminaa ea esena a ciascuna ciconfeenza del fascio.
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Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza Equazioni di paicolai fasci di ciconfeenze Scivee l equazione di un fascio di ciconfeenze passane pe i puni A ( A, A e ( B, B Pe scivee l equazione del fascio di ciconfeenze avene come puni base i puni ( A ( B, B B. A e B dobbiamo conoscee le equazioni di due ciconfeenze ( una evenualmene degenee passani pe A e B. Le più facili da deeminae sono le equazione della ea AB ( ciconfeenza degenee o asse adicale e della ciconfeenza di diameo AB, A B σ ciconfeenza avene come diameo il segmeno AB. σ : σ (, ea s passane pe i puni A e B. s : s (, A σ (, λ s(, è l equazione del fascio di ciconfeenze icieso Scivee l equazione di un fascio di ciconfeenze angeni alla ea di equazione a b c nel suo puno T ( T, T. s σ C a b c T Scivo l equazione della ea s passane pe il puno di angenza T ( T, T e alla angene. ( a( b s : a b c T T la ea è l asse adicale del fascio di ciconfeenze Mi scelgo un puno C ( C, C qualsiasi della ea s 4 Scivo l equazione della ciconfeenza σ di ceno C e aggio CT. ( C ( C ( T C ( T C σ : p q γ 5 L equazione del fascio di ciconfeenze è : p q γ λ ( a b c Le geneaici del fascio sono la ciconfeenza σ e la ea angene ( asse adicale del fascio
4 Maemaica Liceo \ Unià Didaica N 8 La ciconfeenza N.B. Come ciconfeenza σ posso scegliee la ciconfeenza di ceno T e aggio nullo, cioè la T T ciconfeenza di equazione : ( ( σ : m n d L equazione del fascio di ciconfeenze è : m n d λ ( a b c Esempio numeico : T (, : ea s : ( S :, C (,, CT 4 5, ( ( 5 σ : 4 4 ( σ : ( Alo pocedimeno Ciconfeenza di ceno T (, e aggio nullo : (, λ ( ( λ λ λ