CINEMATICA 1. INTRODUZIONE... 2 2. TRAIETTORIA E LEGGE ORARIA... 3 3. ESEMPIO DI CALCOLO DELLA LEGGE ORARIA IN FORMA PARAMETRICA... 7 4. VARI TIPI DI MOTO... 9 5. IL MOTO DI UN GRAVE... 10 6. IL MOTO CIRCOLARE... 11 7. IL MOTO ARMONICO... 14 8. MOTI OSCILLATORI SMORZATI... 17 9. COMPOSIZIONE DEI MOVIMENTI... 18 10. RELATIVITA GALILEIANA... 23 11. ACCELERAZIONE APPARENTE DI CORIOLIS... 24 12. LE TRE LEGGI DI KEPLERO... 25 13. IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE DI UNA SOLA VARIABILE... 27 14. DERIVATE IMPORTANTI E REGOLE DI DERIVAZIONE... 28 15. DERIVATE PARZIALI... 29 16. GLI INTEGRALI PRINCIPALI... 30 17. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE ORDINARIE 31 18. LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI... 32 19. EQUAZIONI DIFFERENZIALI SEPARABILI... 34 20. APPLICAZIONI DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI... 34
1.INTRODUZIONE La cinematica consiste nello studio dei movimenti dal punto di vista dei soli effetti misuabili, senza tenee in alcun conto le cause che tali effetti deteminano. Quest ultimo è il compito della dinamica. Noi consideeemo essenzialmente il moto di un punto mateiale, cioè di un punto matematico che è libeo di cambiae la sua posizione in funzione del tempo. Le due gandezze fisiche basilai della cinematica sono dunque la posizione ed il tempo. Con queste due gandezze è possibile costuie un ceto numeo di alte gandezze, dette gandezze deivate, come ad esempio la velocità, l acceleazione ecc. Mente la posizione e ovviamente un vettoe, il tempo invece è uno scalae. Infatti pe deteminae completamente la posizione di un punto nello spazio sono necessaie te misue (ad esempio te lunghezze cioè le te coodinate catesiane), mente pe deteminae completamente l istante di tempo in cui si veifica un fenomeno è necessaia una sola misua (ad esempio con un conometo). In geneale tutte le gandezze fisiche possono essee appesentate da un ente matematico del tipo seguente: a) un numeo (scalae) b) un vettoe (n componenti che dipendono da un solo indice) 1. v = [ v i ]= ( v 1,v 2,,v n ) c) una matice (piu componenti che dipendono da almeno due indici a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n 2. M = = a ij a m1 a m2... a mn [ ], i = 1,...,m j =1,...,n Più in geneale si possono intodue i tensoi o gli spinoi (questi ultimi nella fisica micoscopica). Lo studio del moto di un copo complesso (sia esso solido o fluido) può sempe essee effettuato consideando il moto di un ceto numeo di punti mateiali che caatteizzano vaie pozioni anche piccolissime del copo stesso. 2
2.TRAIETTORIA E LEGGE ORARIA Studiamo il moto di un punto P nello spazio. Assumiamo che la geometia sia quella euclidea (cioè valga il teoema di Pitagoa pe espimee la distanza) e che lo spazio sia una funzione continua del tempo. Alloa possiamo palae di taiettoia Γ del punto nello spazio usuale a te dimensioni. Sia Γ la taiettoia di un punto mateiale, alloa è possibile scivee 3. P = f t la legge oaia in foma vettoiale. La (3) può essee espessa in foma catesiana, 4. ( ) x = f x ( t) y = f y () t z = f z () t dove il paameto libeo è il tempo t. Consideiamo pe semplicità un moto piano Y Γ P 0 dy θ P α dx ds O X fig.1 Figue 1 alloa se d s è il vettoe spostamento infinitesimo lungo la taiettoia del punto mobile (vettoe tangente alla taiettoia Γ) d s = dx,dy ( ) 3
il suo modulo è ds = dx cosα dove α è l'angolo ta la tangente alla taiettoia nel punto P e l'asse x. L'equazione della taiettoia Γ nel piano si iduce alla seguente equazione catesiana, dopo ave eliminato il paameto tempo t, y = f(x); deivando si ottiene: quadando si ottiene: cioè df dx = tg α = 1 cos2 α cosα 2 df cos 2 α = 1 cos 2 α dx cos 2 1 α = 1 + df 2 dx 5. ds = 1 + df 2 dx dx L'integale della fomula (5) pemette di ottenee la legge oaia in foma paametica: 6. s = st ( ) quando sia nota l'equazione della taiettoia; s è detta anche coodinata cuvilinea e appesenta la distanza misuata lungo la taiettoia Γ del punto P dall'oigine P 0. Z Γ P 0 P s O Y X fig.2 4
Nella fig.2 s s = Figue 2 è il vesoe tangente alla taiettoia Γ nel punto P s + ds P s ( ) ( ) = d P ds ds ed essendo s s = 1, alloa deivando d( s s ) = 2 s d s ds ds = 0 e dunque il vettoe d s ds è pependicolae al vesoe P cioè pependicolae alla taiettoia Γ. Possiamo alloa costuie il vesoe nomale alla taiettoia Γ. s y s s θ P θ O ρ x fig. 2a Figue 3 5
Si può dimostae che in un moto cicolae di aggio ρ ( fig. 3) si ha: Infatti: x = ρcosθ y = ρsen θ inolte s = ( senθ, cosθ) e icodando che ds = dx cosα dove α = π 2 +θ si ottiene ds = dx sen θ ma dx = ρsen θdθ dunque 7. d s ds = 1 ρ ds = ρsenθ dθ sen θ = ρdθ dunque deivando ilvesoe s ispetto al suo mod ulo si ottiene d s ds = 1 ρ d s d θ ed essendo d s dθ = senθ d dθ, d cosθ = ( cosθ,sen θ)= 1 dθ ρ è cioè un vesoe dietto in senso opposto al vesoe dietto come. In conclusione abbiamo dim ostato che d s ds = 1 ρ 6
da cui deiva l'equazione (7). Il vesoe pependicolae alla taiettoia è dunque τ = ρ d s ds dove ρ è il aggio di cuvatua della taiettoia nel punto P. 3.ESEMPIO DI CALCOLO DELLA LEGGE ORARIA IN FORMA PARAMETRICA Consideiamo la legge oaia in foma catesiana del moto ettilineo ed unifome: x = kt y = ht Eliminando il paameto tempo t si ottiene y = h k x che è l'equazione di una etta con coefficiente angolae tg α = h k cioè h = A sen α k = A cosα 7
Y y s α P O x X fig.2b Figua 4 In questo caso assai semplice si icava dalla fig. 4 s 2 = x 2 + y 2 = ( h 2 + k 2 )t 2 = A 2 t 2 cioè la legge oaia in foma paametica s = At Si può peò applicae l' equazione (5) sostituendo in essa: ottenendo cioè dy dx = h k ds = 1 + h k 2 dx ed integando s = h 2 + k 2 k x +B essendo B una costante di integazione, da cui s = A k x +B s = At+ B 8
4.VARI TIPI DI MOTO Velocità istantanea v = d P = d P ds = ds s = v dt ds dt dt 0 s, [ LT 1 ] da cui si deduce che v è sempe tangente alla taiettoia ed inolte si è definita la Velocità oaia Velocità angolae Acceleazione Acceleazione tangenziale v 0 = ds dt, [ ] LT 1 a = d v dt a T = dv 0 dt Acceleazione centipeta (nomale) a c = v 0 2 Acceleazione angolae ω = dθ,t [ 1 ] dt ρ = d2 P dt 2, LT 2 [ ],[ LT 2 ] [ ],LT 2 dω = d 2 θ dt dt 2, [ ] T 2 Odogafo è la descizione del moto nello spazio ( v x,v y,v z ) delle velocità. Moto Rettilineo Unifome Moto Acceleato Unifome Moto su di un piano v = C os tante a = C os tan te v P = C os tan te 9
5.IL MOTO DI UN GRAVE Come applicazione della legge di Newton, che vedemo nel capitolo seguente, studiamo il moto di un gave, cioè di un copo che si muove con acceleazione costante g. Y v0 y' Figua 5 YV y O g α V = ( x,y) v 0 = v 0x,v 0y a = g = 0, g tg α = v 0y ( ) ( ) v 0x l'acceleazione diventa: d 2 x d 2 dt 2 = g dt 2 = 0 cioè d 2 y dt 2 = d Figua 5 dy = g dt dt x XV ( angolo di alzo ), x' XG X dx = v dt 0x d dy = gdt dt, x = v 0x t dy = gt+ v 0y dt, x = v 0x t y = 1 2 gt2 +v 0y t moto a velocità cos tante moto ad acceleazione costan te Eliminando il paameto t si ottiene l'equazione catesiana della taiettoia: g y = 2 x2 + v 0y x v 0x 2v 0x che appesenta una paabola ivolta veso il basso. Si calcola facilmente la gittata XG, come intecetta con l'asse x: XG = 2v 0x v 0y g Si può calcolae anche l'angolo di alzo coispondente alla massima gittata, infatti si ha: 0
XG = 2v 0x v 0y g = v 0x v 0y + v 0x v 0y g = v 2 ( senα cosα +cosαsen α) g = v 2 g sen 2α che è massima pe α=π/4. Si calcolano facilmente anche le coodinate del vetica V: x V = v 0x v 0y g y V = v 0 2 2g sen 2 α da cui si icava che la massima altezza si aggiunge pe un angolo di alzo α=π/2. Si può ancoa opeae una taslazione di coodinate nel vetice V: x = x x V y = y y V alloa l'equazione della taiettoia diventa g y = 2 x 2 2v 0x 6.IL MOTO CIRCOLARE Il moto cicolae è un moto piano in cui la taiettoia è una ciconfeenza di aggio R, ( P = R). y v P ( x, y ) y θ -R O x R x fig.3 1
Figue 6 L'equazione oaia nella appesentazione catesiana è 8. ( ) () x = R cosθ t y = R senθ t deivando ispetto al tempo si ottiene la velocità puntuale cioè v x = Rsen θ() t dθ dt v y = Rcosθ() t d θ dt 9. v x = Rω sen θ( t) v y = Rω cosθ() t Nel pimo quadante l'equazione della taiettoia in foma catesiana è y = R 2 x 2, l'equazione (5) diventa alloa 2x ds = 1 + 2 R 2 x 2 = 1 + = = = x 2 R 2 x 2 dx R 2 R 2 x 2 dx 1 1 x dx 2 R 1 1 cos 2 θ () t dx dx = sen θ t () 2 dx il segno meno deiva dal fatto che in figua ad un incemento di s coisponde un decemento di x. Si calcola il modulo della velocità istantanea 2
v = ds 1 dx = = dt sen θ() t dt sen θ() t sostituendo vx dalla pima equazione (1.5) si ottiene 10. v = ωr Veifichiamo oa che il vettoe posizione P èsempe otogonale al vettoe velocità v. Calcoliamo a questo scopo il podotto scalae P v = xv x + yv y = ωr 2 cos θ sen θ + ωr 2 senθ cos θ = 0 Deivando la velocità (eq. 9) ispetto al tempo si ottiene l'acceleazione a x = R dω dθ senθ Rω cosθ dt dt 11. a y = R dω dθ cosθ Rωsenθ dt dt a x = R dω dt senθ + ω2 cosθ a y = R dω dt cosθ ω2 senθ Si calcola il modulo dell'acceleazione a = a x 2 + a y 2 = R Nota 1 : se il moto è unifome d ω dt = 0 dω dt, alloa α = Rω 2 2 + ω 4 cioèa = ωv Nota 2 : dall eq. (11) si può decompoe l'acceleazione secondo due componenti essendo a = a centipeta + a tan genziale v x 12. a centipeta x = ω 2 R cosθ centipeta a y = ω 2 Rsenθ 13. da cui si calcolano i moduli tan a genziale x = dω dt R senθ tangenziale a y = dω dt R cosθ 3
a centipeta = Rω 2 tan genziale a = R dω dt Dimostiamo che l'acceleazione centipeta così definita è sempe pependicolae alla velocità, cioè è sempe dietta veso il cento della ciconfeenza v a centipeta = Rω senθ ω 2 R cosθ Rω cosθ ω 2 R senθ = 0 Dimostiamo che l'acceleazione tangenziale così definita è sempe pependicolae alla posizione P, cioè è sempe tangente alla taiettoia P a = R cosθ R dω dω senθ + R senθ R dt dt cosθ = 0 dω Nota 3 : nel caso di un moto cicolae unifome = 0 dt sopavvive soltanto l'acceleazione centipeta. 7.IL MOTO ARMONICO Una applicazione del moto cicolae unifome e il moto amonico. Il moto amonico e un moto oscillante attono ad un cento lungo una deteminata diezione. Figue 7 Esso è appesentato dal moto del punto H lungo il diameto quando il punto P si muove lungo la ciconfeenza di aggio R con moto cicolae unifome θ = ω t + θ 0. L equazione del moto amonico e dunque: 4
x = R cos(ω t + θ 0 ). θ 0 e la costante di fase e appesenta l angolo a cui si tova il punto P al tempo t=0, R si chiama ampiezza delle oscillazioni amoniche e appesenta il massimo valoe di x; la velocità angolae ω del punto P è detta pulsazione o fequenza angolae. Si chiama peiodo la duata di un'oscillazione completa; esso si indica con T e si misua ad esempio in secondi. Si chiama fequenza il numeo di oscillazioni compiuti nell'unità di tempo; essa si indica genealmente con il simbolo ν e si misua in hetz (Hz = numeo di oscillazioni al secondo). ν = 1 / T = ω / 2π Il valoe istantaneo della posizione (x), viene chiamato elongazione. Calcoliamo il tempo T (peiodo) al quale il punto H itona nella stessa posizione dopo un gio completo del punto P. da cui, cos(ω (t+t) + θ 0 )=cos(ω t + θ 0 +2π) T = 2π / ω. 5
Figua 8 L impotanza dei moti oscillanti è evidente quando si considei la loo diffusione nei fenomeni natuali: il pendolo, il taspoto del caloe nei mezzi mateiali, il moto sotto l effetto di una molla, la popagazione delle onde elettomagnetiche ecc. Figua 9 Nel paagafo successivo vedemo che un moto cicolae si puo consideae anche come la composizione di due moti amonici. Calcoliamo l acceleazione nel moto amonico: x = ω R sen( ωt) x = ω 2 Rcos( ωt) x = ω 2 x L acceleazione è dunque popozionale all elongazione. L impotanza di tale elazione saà evidente quando si intoduà la seconda legge di Newton, che dice che la foza è popozionale all acceleazione. L ultima delle equazioni pecedenti è chiamata equazione amonica. 6
8.MOTI OSCILLATORI SMORZATI La fomula dei moti oscillatoi smozati è: x = R cos(ω t + θ 0 ) exp(-t/t 0 ) questi moti sono l equivalente del moto amonico quando peò il aggio R diminuisce nel tempo con legge ad esempio esponenziale. Tali moti si pesentano ad esempio nelle oscillazioni in un mezzo mateiale eale cioè viscoso. Nei mezzi mateiali si manifestano delle foze di attito che si oppongono al moto. Il pendolo eale si compota come un oscillatoe smozato pe via dell attito con l aia che ne iduce l ampiezza di oscillazione al passae del tempo. Figue 10 Calcoliamo l acceleazione nel moto oscillatoio smozato. x = Rcos ωt ( )e αt x = R( ω sen(ωt)+α cos( ωt) )e αt da cui si icava ω R sen( ωt)e αt = x +αx deivando ancoa si ottiene x = R 2αωsen( ωt)+ α 2 ω 2 { ( ) cos ( ωt ) } in conclusione : x = ω 2 +α 2 x 2α x ( ) Il pimo temine del secondo membo appesenta l oscillazione amonica con pulsazione ω = sqt(ω 2 +α 2 ), mente il secondo temine appesenta lo smozamento popozionale alla velocità. 7
9.COMPOSIZIONE DEI MOVIMENTI Il poblema della composizione dei movimenti è così schematizzabile : noti il moto di un punto P e di un ossevatoe O ispetto ad un ossevatoe O consideato fisso, deteminae la taiettoia del punto P ispetto all'ossevatoe mobile O ( vedasi fig.11). P z ' y ' z ' V R o ' O y x ' x fig.4 Figua 11 Sia = f ( t) l'equazione oaia del punto P ispetto ad O, sia inolte R = F ( t) l'equazione oaia dell'ossevatoe O ispetto ad O. Alloa pe la composizione galileiana (vettoiale) dei moti, l'equazione del moto di P ispetto ad O è ' = R = f ( t) F ( t) cioè poiettando sugli assi catesiani ( pe semplicità su di un piano) x' = f x ( t) F x ( t) y' = f y () t F y () t ed eliminando il paameto tempo t si ottiene y' = Y( x' ) che appesenta l'equazione della taiettoia di P ispetto all'ossevatoe O. 8
1 Esecizio Il punto P sia in quiete ispetto ad O x = R y = 0 y y' O' θ P -R O R x' x fig.5 Figua 12 L'ossevatoe O' si muova ispetto ad O di moto cicolae ed unifome con velocità angolae ω = costante, dunque F x = R cos( ω t) F y = Rsen( ω t) L'equazione del moto di P ispetto ad Ò è dunque x' = f x F x = R( 1 cos( ω t) ) y' = f y F y = Rsen( ω t) che appesnta la taiettoia di fig.13, cioè la ciconfeenza di patenza taslata lungo l'asse x di un tatto pai al aggio R. 9
y' O R 2R x' fig.6 Figue 13 L ossevatoe O dunque vede il punto P muovesi di moto cicolae con taiettoia che passa pe l oigine e con la stessa velocità angolae. 2 Esecizio Studiamo la composizione di due moti amonici con la stessa fequenza. Il punto P si muova di moto amonico lungo y ispetto ad O y P y' O O' x' x fig.7 Figue 14 0
f x = 0 f y = R y cos ω t + φ y ( ) con ampiezza R, pulsazione ω e costante di fase φy. L'ossevatoe O si muova ispetto ad O di moto amonico lungo l'asse x F x F y = 0 = R x cos( ω t + φ x ) con ampiezza Rx, la stessa pulsazione ω e costante di fase φx. L'equazione del moto di P ispetto ad O è dunque F x = R x cos( ω t + φ x ) x'= f x y' = f y F y = R y cos ω t + φ y ( ) Nota 1 : Se la diffeenza di fase è nulla φx = φy, alloa la taiettoia si iduce ad una etta di equazione y' = R y R x x' con coefficiente angolae pai al appoto ta le ampiezze di oscillazione di P e di Ò ispetto ad O. Nota 2 : Se la diffeenza di fase è π 2 cioè φ x = φy - π alloa la 2 taiettoia diventa x' = R x cos( ω t) y' = R x sen( ω t) (dove pe semplicità si è posto φx = 0 ) una ellisse con semiassi ispettivamente Rx e Ry. La taiettoia poi si iduce ad una ciconfeenza se i due moti amonici hanno la stessa ampiezza. Nota 3 : Nel caso più geneale in cui siano divese sia le costanti di fase che le ampiezze, si ottengono le classiche Figue di Lissajous mostate in fig.15. 1
X X X O X Y O X Y O X Y O X Y O X Y O X Y O Y O Y O Y fig.8 Figue 15 2
10.RELATIVITA GALILEIANA Galileo pe pimo scopese un fenomeno che è intinseco a tutti i movimenti e che pende il nome di RELATIVITÀ dei moti. Galileo scopese che alcune caatteistiche del moto dipendono stettamente dall ossevatoe. In pimo luogo la taiettoia di un punto mobile cambia a secanda dell ossevatoe. Galileo, nel Dialogo sopa i due massimi sistemi del mondo, discute il famosissimo espeimento della nave: Rinseatevi con qualche amico nella maggio stanza che sia sotto coveta di alcun gan navilio, e quivi fate d'ave mosche, fafalle e simili animaletti volanti; siavi anche un gan vaso d'acqua e dentovi de' pescetti; sospendasi anche in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vada vesando dell'acqua in un alto vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando fema la nave, ossevate diligentemente come quelli animaletti volanti con pai velocità vanno veso tutte le pati della stanza: i pesci si vedanno anda notando indiffeentemente pe tutti i vesi; le stille cadenti enteanno tutte nel vaso sottoposto. [...] Ossevate che avete diligentemente tutte queste cose, peché niun dubbio ci sia che mente il vascello sta femo non debban succede così, fate muovee la nave con quanta si voglia velocità; che (pu che il moto sia unifome e non fluttuante in qua e in là) voi non iconosceete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potete compendee se la nave cammina o pue sta fema [...] le gocciole cadanno come pima nel vaso infeioe, senza cadene pu una veso poppa, benché mente la gocciola è pe aia, la nave scoa molti palmi; i pesci nella lo acqua non con più fatica noteanno veso la pecedente che veso la susseguente pate del vaso [...] e finalmente le fafalle e le mosche continueanno i loo voli indiffeentemente veso tutte le pati... Qui è messo in evidenza il fatto che un ossevatoe sulla nave in moto vede i movimenti degli oggetti in modo diveso da un ossevatoe sulla tea (vedasi figua). 3
Siano O ed O' due ossevatoi con gli stessi oologi e sia P il punto mateiale di cui essi studiano il moto. Sia V la velocità con cui l'ossevatoe O' si muove ispetto ad O, alloa V = d R dt Poichè vale la elazione di somma dei vettoi (ifeendosi alla fig. 11) 1. R + ' = 0 si ottiene la elazione notevole, deivando membo a membo ispetto al tempo: d ' = d dt dt d R dt cioè 2. v ' = v V dove v = velocità del punto P misuata dall'ossevatoe O v ' = velocità del punto P misuata dall'ossevatoe O'. Nel caso in cui il sistema di ifeimento O' si muova di moto ettilineo ed unifome V = costante, alloa l'equazione (1) diventa : 3. ' = t V L'equazione (2) è la legge di composizione delle velocità di Galileo, mente l'equazione (3) è la legge di tasfomazione di Galileo. Deivando ispetto al tempo l'equazione (2) si ottiene la legge di composizione delle acceleazioni : 4. a ' = a A dove A = d V è l'acceleazione con cui O' si muove ispetto ad O e dt si chiama acceleazione appaente. 11.ACCELERAZIONE APPARENTE DI CORIOLIS Consideiamo due ossevatoi: O (x,y,z) femo ed O (x,y,z ) che uota ispetto ad O attono all asse z =z con velocita angolae costante ω. Sia P un punto che si muova con velocita adiale costante ispetto ad O. Vogliamo dimostae che ispetto all ossevatoe uotante O il punto P si muove di moto acceleato. Tale acceleazione, che e appaente pechè indotta soltanto dal moto dell ossevatoe O, si chiama acceleazione di Coiolis ed è 4
popozionale alla velocità con cui P si muove ispetto ad O ed alla velocità angolae con cui O si muove sempe ispetto ad O. Questa acceleazione appaente si veifica ad esempio sulla Tea che e in moto otatoio attono al suo asse polae. Risulta dunque che il punto P, che si muove di moto ettilineo unifome ispetto all ossevatoe O, si muove di moto acceleato ispetto ad O, con acceleazione popozionale alla sua velocità ed alla velocità angolae con cui O uota. Il doppio di a O si chiama acceleazione di Coiolis. Si dimosta facilmente che l acceleazione di Coiolis è pependicolae al vettoe velocità v misuato da O, olte che al vettoe velocità angolae. Infatti: v '= R(θ) v = v x cosθ + v y senθ v x senθ + v y cosθ ed e' facile dimostae che : a o' v '= 0 Possiamo dunque concludee che: a o. = ω v ' 12.LE TRE LEGGI DI KEPLERO Le te leggi speimentali che egolano il moto planetaio sono state enunciate all inizio del XVII secolo dall astonomo tedesco Giovanni Kepleo. Le leggi fuono fomulate su base empiica a patie dai dati accolti dall astonomo danese Tycho Bahe, e solo con la teoia della gavitazione univesale di Isaac Newton tovaono una soddisfacente spiegazione teoica. Negando l antichissimo pincipio secondo cui i pianeti si muovevano attono al Sole su obite cicolai. La pima legge di Kepleo affema che essi obitano attono al Sole pecoendo taiettoie ellittiche delle quali il Sole occupa uno dei fuochi. La seconda legge stabilisce che la etta (il aggio vettoe) che congiunge un pianeta al Sole descive aee uguali in tempi uguali; ciò significa che ogni pianeta pecoe più apidamente i tatti di obita più vicini al Sole. 5
Infine, la teza legge affema che il appoto ta il cubo della distanza media, d, di un pianeta dal Sole e il quadato del suo peiodo di ivoluzione è costante; cioè il appoto d 3 /t 2 è lo stesso pe tutti i pianeti. Assumiamo in pima appossimazione che la taiettoia di un pianeta sia cicolae col sole nel cento e aggio R. Veifichiamo la seconda e la teza legge dalle popietà del moto cicolae. Seconda Legge. Poiche l aea descitta dal aggio vettoe dopo un angolo θ e : A = πr 2 θ 2π = 1 2 R2 θ e poiché il moto e cicolae unifome: θ = ω t con velocità angolae ω costante, alloa: A = ωr2 2 t, quindi il aggio vettoe del pianeta pecoe aee uguali in tempi uguali. Teza Legge. Poichè nell appossimazione del moto cicolae l unica acceleazione che agisce sul pianeta è quella centipeta a c : a c = R w 2, Pe la legge di Newton il l acceleazione e popozionale alla foza (in questo caso la foza di gavità) e dunque è invesamente popozionale al quadato del aggio: a c 1 R 2 si icava dunque: 6
Rω 2 1 R 2, R 3 1 ω 2 T 2 essendo ω invesamente popozionale al peiodo. E impotante notae che in ealtà Newton icavò la sua legge popio patendo dalle leggi di Kepleo, ipotizzando l esistenza di una foza gavitazionale che doveva essee invesamente popozionale al quadato della distanza. 13.IL DIFFERENZIALE DI UNA FUNZIONE DI UNA SOLA VARIABILE Figue 16 Consideiamo una funzione y = f(x) appesentata nel piano (x,y). Si ottiene: Δf = tgα Δx dunque passando al limite pe Δx 0 si ottiene: Δf df Δx dx tgα f ' essendo f la deivata della funzione f nel punto x. Dunque: df = f ' dx 7
df pende il nome di diffeenziale della funzione f nel punto x e appesenta di quanto vaia f al vaiae di una quantità infinitesima della vaiabile x. 14.DERIVATE IMPORTANTI E REGOLE DI DERIVAZIONE fomula notevole del diffeenziale: d(f g) = f dg + g df f (x) > 0 f (x) < 0 funzione cescente funzione decescente Fomula di integazione pe pati. Dalla fomula di deivazione del podotto di due funzioni f e g si ottiene (fg)'=f'g+fg' da cui 8
15.DERIVATE PARZIALI Consideiamo una funzione di due vaiabili f(x,y) Se fissiamo il valoe di una delle due vaiabili, ad esempio x=x o, la funzione viene a dipendee dalla sola vaiabile y e dunque ha senso calcolane la deivata odinaia ispetto a y: ( ) f x, y y x=xo df ( x 0, y ) dy il pimo membo si chiama deivata paziale di f ispetto a y nel punto x 0. 9
Figue 17 Si può alloa definie il diffeenziale di una funzione di due vaiabili nel modo seguente: e più in geneale: df = f f dx + x y dy f df ( x 1, x 2,..., x n )=Σ i=1,n dx i x i 16.GLI INTEGRALI PRINCIPALI adx= a x af() x dx = a f() x dx u + v dx = udx+ vdx ( ) 1 dx = ln x x x n dx = xn+1 n +1, n 1 0
e x dx = e x e ax dx = 1 a eax b ax dx = 1 a lnb bax,b > 0 sen( ax)dx cos( ax)dx tan( ax)dx = 1 cos( ax) a = 1 a xe ax dx = sen( ax) = ln[ cos( ax) ] ax 1 a 2 e ax xe x2 dx = 1 2 e x2 17.LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI ALLE DERIVATE ORDINARIE Un equazione diffeenziale odinaia è sempe appesentabile nella foma: F(x,y,y,,y (n) ) = 0, dove y(x) è una funzione incognita della vaiabile indipendente x ed y (i) e la deivata odinaia di odine i-esimo. Un teoema fondamentale affema che esiste una funzione y(c 1,,c n ;x) che dipende da n costanti abitaie c i (i=1,,n) detta integale-geneale, che veifica identicamente l uguaglianza pecedente. Se si assume una n-pla di valoi ben definiti pe c i, alloa l integale geneale si chiama più popiamente integale paticolae dell equazione diffeenziale. Un modo pe deteminae le n costanti abitaie, cioè pe passae dall integale geneale all integale paticolae, consiste nel definie n equazioni di vincolo, cioè n condizioni iniziali: 1
y' ( x 0 )= y 1.. y (n) ( x 0 )= y n dove x 0 è detto valoe iniziale della vaiabile indipendente ed y i sono n paameti noti. Le condizioni iniziali pemettono di deteminae i valoi delle costanti abitaie. 18.LE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI Le equazioni lineai del tipo: a n (x)y (n) (x)+a n-1 (x) y (n-1) (x)+... +a 1 (x)y (x)+a 0 (x)y(x) = Q(x) sono dette equazioni diffeenziali lineai. Dove a i (x) e Q(x) sono funzioni note. Se tutte le funzioni a i sono costanti, alloa si ottiene la seguente equazione diffeenziale lineae a coefficienti costanti: a n y (n) (x)+a n-1 y (n-1) (x)+... +a 1 y (x)+a 0 y(x) = Q(x) Esiste un teoema che affema che l integale geneale di tale equazione si può ottenee isolvendo l equazione algebica caatteistica, che si ottiene sostituendo alle deivate le potenze di una vaiabile complessa z con la convenzione che la funzione y sia la deivata di odine zeo della funzione stessa: a n z n +a n-1 z n-1 +... +a 1 z+a 0 = 0. L equazione caatteistica ammette sempe n soluzioni (zei) nel campo complesso z i (i=1,,n), pe il teoema fondamentale dell algeba. Alloa l integale geneale dell equazione diffeenziale lineae omogenea (Q=0) è: y O (c 1,,c n ;x) = c 1 exp(z 1 x) + c 2 exp(z 2 x) +... + c n exp(z n x). Essendo c i (i=1,,n) le n costanti abitaie. 2
L integale geneale dell equazione non omogenea (Q(x) 0) è alloa y G (x) = y(c 1,,c n ;x) + f 0 (x), essendo f 0 (x) un qualsiasi integale paticolae dell equazione lineae a coefficienti costanti non omogenea. Esempio: Consideiamo l equazione diffeenziale lineae a coefficienti costanti omogenea: y +y = 0 L equazione caatteistica e : z 2 +1 = 0 e gli zei sono: z 1,2 = ± i dunque l integale geneale e : y = c 1 e ix + c 2 e -ix E facile veificae che l equazione di patenza ammette anche i seguenti integali paticolai: y = cos x y = sen x Ricodando che dalla fomula di Euleo si ha la seguente appesentazione complessa delle funzioni seno e coseno: cos x = eix + e ix Si ottiene che il coseno è l integale paticolae che coisponde alle seguenti costanti c 1 =c 2 =1/2 ed il seno coisponde invece alle seguenti costanti c 1 = i/2 ; c 2 = - i/2 2 senx = eix e ix 2i 3
19.EQUAZIONI DIFFERENZIALI SEPARABILI Le equazioni diffeenziali del tipo: dy/dx = h(x)g(y) si chiamano sepaabili (pechè si possono potae al pimo membo tutti i temini che dipendono solamente dalla vaiabile dipendente y ed al secondo membo tutti i temini che dipendono soltanto dalla vaiabile indipendente x) e sono facilmente integabili pechè diventano: g(y) = 0, che fonisce la soluzione costante e (1/g(y)) dy = h(x) dx in cui i due membi possono essee integati sepaatamente. Esempio: y - xy = 0 La soluzione y=0 e la soluzione costante e sepaando le vaiabili si ha: 1 y dy = xdx ln y = 1 2 x2 + ln y 0 1 y = y 0 e2 x2 20.APPLICAZIONI DELLE EQUAZIONI DIFFERENZIALI 1. Il decadimento degli atomi adioattivi. a. I nuclei degli atomi dei mateiali adioattivi decadono, cioe si tasfomano in alti nuclei, ad una fequenza che e popozionale al numeo totale di atomi di tale sostanza, cioe (essendo k una costante di decadimento positiva): dn(t)/dt = -k N(t) b. Tale equazione diffeenziale si può integae mediante la sepaazione delle vaiabili, 4
c. dn/n = -k dt d. dunque: ln N = -kt +lnn 0 essendo N 0 il numeo costante di atomi pesenti al tempo t=0. e. In definitiva: N=N 0 exp(-kt) 5