ESAME DI ANALISI MATEMATICA 2

nlisi Mtemtic 2 (21-11 ESME DI NLISI MTEMTIC 2.. 29/1 NOTE DI SOSTEGNO L COSO DI NLISI MTEMTIC 2 Istruzioni per l uso Lo scopo di queste note è di presentre in mnier precis e inequivocbile enunciti e dimostrzioni di teoremi (o ffini. Le note non vogliono in ogni cso sostituire i libri di testo. Inftti sono incomplete, dto che rigurdno solo lcuni rgomenti del mterile presentto durnte il corso (le modlità d esme prevedono che lo Studente deve sper risolvere esercizi, conoscere definizioni ed enunciti come d elenco dettglito del progrmm e le seguenti dimostrzioni:.... Si invitno pertnto gli Studenti non bsrsi solo su queste note per studire l nlisi. Nonostnte tle przilità si è deciso di scrivere queste note per dre llo Studente un punto di riferimento per lo studio degli rgomenti trttti in modo differente dl testo consiglito. L esperienz del corso svolto gli nni pssti mostr che tlvolt lo Studente studi solo sugli ppunti presi lezione, m questi possono contenere imprecisioni o flsità. Ecco quindi il motivo che spinge scrivere queste note: dre gli enunciti completi e corretti delle proprietà che sono stte dimostrte durnte il corso. ingrzio fin d or gli Studenti che vorrnno segnlrmi errori o imprecisioni. 1

nlisi Mtemtic 2 (21-11 1. SEIE DI POTENZE DEFINIZIONE. Chimimo serie di potenze ogni serie dell form (1.1 n (x x n = + 1 (x x + 2 (x x 2 +... + n (x x n +... I numeri reli n e il punto x sono ssegnti e si chimno, rispettivmente, coefficienti e centro dell serie di potenze (1.1. Invece x è vribile. Si trtt di un serie di funzioni; il termine generle dipende dll vribile rele x. Osservzione. L insieme di convergenz dell serie (1.1 è non vuoto perché contiene sempre il centro x. Per x = x, l serie (1.1 si riduce l primo termine e quindi converge. Ponimo x =, e considerimo serie del tipo (1.2 n x n = + 1 x + 2 x 2 +... + n x n +..., inquntodunseriedellform(1.1cisipuòsemprericondursiundellform(1.2ponendox x = t. Esempio 1. Considerimo l serie (1.3 x n, x. Si trtt dell serie geometric che converge se e solo se l rgione x soddisf l disuguglinz 1 < x < 1, mentre non converge se x 1. L insieme di convergenz è un intervllo di centro x =. Esempio 2. Prendimo l serie (1.4 x n n!, x. pplicndo, d esempio, il criterio del rpporto ll serie dei moduli, si trov che l (1.4 è ssolutmente convergente per ogni x. L insieme di convergenz, come per l serie geometric, è un intervllo di centro x =. Esempio 3. L serie di potenze (1.5 (n!x n, x, converge soltnto per x = ; in qunto, per x, il termine generle non è infinitesimo per n. L insieme di convergenz {} può essere considerto un intervllo degenere, in qunto ridotto un solo punto. In tutti gli esempi considerti gli insiemi di convergenz sono intervlli centrti sul punto x =, centro dell serie, di rggi rispettivmente 1, +,. TEOEM FONDMENTLE. Si n x n un serie di potenze convergente per x 1, llor ess converge ssolutmente per ogni x tle che x < x 1. Per ipotesi l serie n x n 1 converge, quindi risult lim nx n n 1 = ; esiste M > tle che n x n 1 M, n N. 2

nlisi Mtemtic 2 (21-11 Per ogni n N si h (1.6 n x n = n x n 1 x n x n M. x 1 x 1 Siccome x < 1, l serie x n converge. x 1 x 1 pplicndo il criterio del confronto, per l disuguglinz (1.6 converge nche Questo risultto non fferm soltnto che se per ogni x tle che x < x 1, m nche se n x n. n x n converge per x 1, llor converge ssolutmente n x n non converge in x 2, llor ess non converge per ogni x tle che x > x 2. Inftti se ess convergesse per un x tle che x > x 2 llor convergerebbe pure in x 2 e questo è ssurdo. isultto così dimostrto che l insieme di convergenz di C è un intervllo centrto sul punto x =. { } Definizione. Si X = x : n x n converge, definimo rggio di convergenz r dell serie il { (1.7 supx = sup x : } n x n converge. L definizione è ben post in qunto l insieme X è non vuoto. Possono verificrsi i seguenti tre csi: 1. r = ; l serie converge soltnto per x =. 2. r = + ; l serie converge ssolutmente per ogni x. 3. < r < + ; l serie converge ssolutmente per ogni x tle che x < r, non converge per ogni x tle che x > r. Il comportmento per x = r dipende d serie serie; considerimo le seguenti serie venti tutte rggio di convergenz r = 1: x n, n=1 x n n, n=1 x n n 2. L prim serie converge soltnto in 1,1, l second in 1,1, l terz in 1,1. Osservzione. Per individure il rggio di convergenz r di un serie di potenze è sufficiente studirne l convergenz ssolut. Ftto questo, rest solo d stbilire il comportmento dell serie gli estremi dell intervllo di convergenz. Teorem. Si n x n un serie di potenze con rggio di convergenz r >. Si f l su somm, ossi f(x = n x n = + 1 x + 2 x 2 +... + n x n +..., per ogni x r,r. llor vlgono le seguenti proprietà. 1. L serie derivt (ottenut derivndo termine termine l serie di prtenz n n x n 1 = 1 + 2 2 x + 3 3 x 2 +... + n n x n 1 +... n=1 3

nlisi Mtemtic 2 (21-11 h lo stesso rggio di convergenz r. Inoltre f è derivbile in r,r e si h f (x = n n x n 1 = 1 + 2 2 x + 3 3 x 2 +... + n n x n 1 +..., n=1 per ogni x r,r. 2. L serie integrt (ottenut integrndo termine termine l serie di prtenz n x n+1 n+1 = x + 1 x 2 2 + 2 x 3 3 +... + x n+1 n n+1 +..., h lo stesso rggio di convergenz r. Inoltre, per ogni x r,r, risult x f(tdt = n x n+1 n+1, che può essere scritt nell form più esplicit x ( n t n dt = x n t n dt. Ovvimente è possibile iterre il procedimento e derivre ncor un volt l serie delle derivte. Si trov così che l somm f è derivbile due volte. Procedendo per induzione si ottiene che l somm f C ( r,r. Osservzione. L serie, ottenut integrndo o derivndo l serie di potenze n x n con rggio di convergenz r >, h lo stesso rggio di convergenz r, m, in generle, non lo stesso insieme di convergenz. x n Considerimo, d esempio, l serie ; il suorggiodi convergenzè1, essconvergeper x 1,1. n n=1 L serie derivt x n 1 converge per x 1,1. L serie integrt n=1 n=1 x n+1 n(n+1 converge per x 1,1. I risultti mostrti rigurdno l regolrità dell funzione somm di un serie di potenze ll interno dell intervllo di convergenz. Cos si può in un punto l bordo, supposto che ivi l serie converg? L rispost è dt dl seguente teorem. Teorem di bel. Si n x n un serie di potenze con rggiodi convergenzr > finito. Supponimo che l serie converg per x = r (rispettivmente per x = r. llor indict con f l su somm, risult che f è continu sinistr nel punto r (rispettivmente continu destr per x = r. e f(r = lim f(x = n r n, x r rispettivmente f( r = lim x r+ f(x = 4 n ( r n.

e x = sinx = cosx = sinhx = coshx = x n n! nlisi Mtemtic 2 (21-11 PINCIPLI SVILUPPI IN SEIE DI MC LUIN = 1+x+ x2 2! + x3 xn +...+ +... x 3! n! ( 1 n x 2n+1 (2n+1! ( 1 n x 2n (2n! x 2n+1 (2n+1! x 2n (2n! = x x3 3! + x5 5! x7 x 2n+1 7! +...+( 1n +... x (2n+1! = 1 x2 2! + x4 4! x6 x 2n 6! +...+( 1n +... x (2n! = x+ x3 3! + x5 5! + x7 x2n+1 +...+ +... x 7! (2n+1! = 1+ x2 2! + x4 4! + x6 x2n +...+ +... x 6! (2n! 1 1 x = x n = 1+x+x 2 +x 3 +...+x n +... per x < 1 log(1+x = log(1 x = rctnx = (1+x α = ( 1 n x n+1 n+1 = x x2 + x3 3 x4 x n+1 4 +...+( 1n +... per 1 < x 1 n+1 x n+1 n+1 = x x2 x3 3 x4 xn+1...... per 1 x < 1 4 n+1 ( 1 n x 2n+1 2n+1 ( α x n = 1+αx+ n x3 = x 3 + x5 5 x7 x 2n+1 7 +...+( 1n +... per x 1 2n+1 ( α x 2 + 2 ( α x 3 +...+ 3 N.B. Gli sviluppi in serie delle funzioni e x, sinx, cosx, sinhx, coshx, sputi memori. ( α x n +... per x < 1 α n 1, log(1+x devono essere 1 x 2.1 Derivzione di funzioni di due vribili 2. CLCOLO DIFFEENZILE Derivte przili. Si f : 2, (x,y 2. Dicimo che l funzione f è derivbile nel punto (x,y rispetto ll vribile x se esiste finito f(x+h,y f(x,y (2.1 lim, h h e definimo derivt przile di f rispetto x il vlore di tle limite. Si indic con f x (x,y, f x(x,y, D x (x,y. Dicimo che l funzione f è derivbile nel punto (x,y rispetto ll vribile y se esiste finito f(x,y +k f(x,y (2.2 lim, k k 5

nlisi Mtemtic 2 (21-11 e definimo derivt przile di f rispetto y il vlore di tle limite. Si indic con f y (x,y, f y(x,y, D y (x,y. Dicimo che f è derivbile in(x, y qundo le due derivte przili esistono; il vettore vente come componenti le derivte (prime si chim vettore grdiente: f(x,y = ( f x (x,y, f y (x,y. Esempio 1: Clcolre le derivte przili dell funzione f(x,y = xsin(xy+e xy2 ; risult f x (x,y = sin(xy+xycos(xy+y 2 e xy2, f y (x,y = x 2 cos(xy+2xye xy2. Esempio 2: Si f : 2 definit d x 2 (y +1 se (x,y (,, f(x,y = x2 +y 2 se (x,y = (,. Clcolre, se esistono, le derivte przili di f nel punto (,. isult f(h, f(, lim h h che non esiste; f(,k f(, lim k k isult quindi f y (, =, mentre non esiste f x (,. h 2 = lim 1 h h 2 h = lim h = lim k k Derivte direzionli. Si v = (α,β un versore di 2, ossi v = α 2 +β 2 = 1; dicimo che f è derivbile nel punto (x, y nell direzione del versore v se esiste finito f(x+αh,y +βh f(x,y (2.3 lim, h h =. e definimo derivt direzionle di f nell direzione v il vlore di tle limite. Si indic con f v (x,y, D vf(x,y. 2.2 Derivzione di funzioni di n vribili Derivte przili. Sino n un perto, f :, x = (x 1,...,x n, indichimo con (e 1,...,e n l bse cnonic. Dicimo che f è derivbile rispetto ll vribile x i nel punto x se esiste finito f(x+he i f(x (2.4 lim, h h edefinimoderivtprziledif rispettox i ilvloreditlelimite. Siindiccon f x i (x, D xi f(x, f xi (x. Dicimo che f è derivbile in x qundo tutte le derivte przili esistono. Il vettore (f x1 (x,...,f xn (x si chim vettore grdiente di f nel punto x, si indic con f(x; il grdiente è un opertore che ssoci uno sclre un vettore. Derivte direzionli. Sino n un perto, f :, x, v un versore di n ; dicimo che f è derivbile nel punto x nell direzione del versore v se esiste finito f(x+hv f(x (2.5 lim, h h e definimo derivt direzionle di f nell direzione v il vlore di tle limite. Si indic con f v (x, D vf(x. Osservzione: Se v = e i, si h l definizione di derivt przile rispetto ll i-esim vribile. 6 h h,

2.3 Differenzibilità nlisi Mtemtic 2 (21-11 Definizione di funzione differenzibile. Sino un perto contenuto in n, f : un funzione derivbile in x, ossi esiste f(x; dicimo che f è differenzibile in x qundo (2.6 lim h f(x+h f(x f(x h h Signific che l funzione f è differenzibile nel punto x se può essere pprossimt nell intorno del punto x con un espressione linere meno di un errore che un infinitesimo di ordine superiore l primo, ossi =. (2.7 f(x+h f(x = f(x h+o( h, per h, dove il simbolo o( h indic un quntità infinitesim per h di ordine superiore h, vle dire o( h lim =. h h Vle il seguente risultto che leg le proprietà di differenzibilità, continunità ed esistenz delle derivte direzionli. TEOEM (condizione necessri per l differenzilità. Sino un perto contenuto in n, x, f : tle che f(x. Se f è differenzibile in x, llor 1 f è continu in x; 2 f mmette in x tutte le derivte direzionli; e vle l formul (2.8 f (x = f(x v. v Osservzione. Il teorem fferm che condizione necessri perché l funzione f si differenzibile nel punto x è che l funzione f si continu ed mmett tutte le derivte direzionli in tle punto. Tle condizione non è sufficiente. Dimostrzione 1 Pssndo l limite per h nell (2.7, si h f(x+h f(x d cui f(x+h f(x. 2 Si dto un versore v n : v = (v 1,v 2,...,v n con v = 1. Esso individu un rett orientt in n pssnte per l origine. Voglimo dimostrre che esiste finito il limite del rpporto incrementle per incrementi lungo l direzione v f(x+tv f(x lim t t e che il vlore di tle limite è dto d f(x v. Considerimo dunque l (2.7 in cui l incremento h è dto d tv (pertnto si consider in questo cso il limite per t, essendo h = tv = t (2.9 f(x+tv f(x = f(x (tv + o( t, per t. Dividimo entrmbi i membri per t (2.1 Si h e per l definizione di o piccolo f(x+tv f(x t = f(x (tv t f(x (tv t o( t lim t t 7 + o( t, per t. t = f(x v =.

nlisi Mtemtic 2 (21-11 Pssndo l limite per t nell (2.1, concludimo che che è l tesi 2. 2.4 lcuni teoremi f(x+tv f(x lim t t = f(x v, Teorem del vlor medio o di Lgrnge. Sino un perto contenuto in n, f : un funzione differenzibile, x e y due punti di tli che il segmento S che li congiunge si contenuto in. Sotto queste ipotesi esiste un punto z S tle che (2.11 f(y f(x = f(z (y x. Dimostrzione. Il segmento S di estremi x e y è costituito di punti (2.12 x(t = x + t(y x, t,1. Considerimo l restrizione di f l segmento S, è l funzione compost (2.13 ϕ(t = f(x(t = f(x + t(y x, t,1. Ess è derivbile; per il teorem di derivzione di funzione compost si h ϕ (t = f(x + t(y x (y x. L funzione ϕ soddisf le ipotesi del teorem del vlor medio (per funzioni di un vribile; esiste ϑ,1 tle che ϕ(1 ϕ( = ϕ (ϑ. Siccome ϕ(1 = f(y e ϕ( = f(x si h (2.14 f(y f(x = f(x + ϑ(y x (y x. Prendendo z = x + ϑ(y x l tesi è dimostrt. Osservzione 1. Il teorem è vlido per ogni coppi di punti x, y se è un perto convesso. Osservzione 2. Il teorem non è estendibile funzioni f : m. Bst considerre l funzione f(x = (cosx,sinx, x,2π ; risult f(2π f( =, f (x = ( sinx,cosx; m non esiste nessun punto c,2π tle che f (c =. Teorem del grdiente nullo. Sino un perto connesso contenuto in n, f : un funzione vente grdiente nullo in, llor f è costnte su. Dimostrzione. Per ipotesi tutte le derivte przili di f sono nulle in, perciò sono continue; quindi f è differenzibile in. risult connesso per poligonli; considerti due qulunque punti x, y esiste un poligonle di vertici x 1 = x, x 2, x 3,...,x k = y tutt contenut in. pplicndo il teorem del vlor medio l segmento x 1,x 2 di estremi x 1 e x 2, esiste un punto z 1 pprtenente l segmento tle che f(x 2 f(x 1 = f(z 1 (x 2 x 1. Siccome il grdiente di f è nullo in risult f(x 2 f(x 1 = e quindi f(x 2 = f(x 1 = f(x. 8

nlisi Mtemtic 2 (21-11 pplicndo poi il teorem del vlor medio l segmento di estremi x 2 e x 3, nlogmente si ottiene f(x 3 = f(x 2 = f(x. E così di seguito f(y = f(x k = f(x k 1 = f(x. Osservzione 1. Il teorem non è vlido se è un perto non connesso. In tl cso risult, d esempio, l unione di due perti non vuoti 1 e 2 tr loro disgiunti; ossi = 1 2, 1, 2, 1 2 =. Bst prendere f(x = c 1 se x 1, f(x = c 2 se x 2, con c 1 e c 2 costnti tr loro diverse. Osservzione 2. Il teorem si estende fcilmente funzioni f : m. Bst osservre che un funzione f vlori vettorili è costnte se e solo se tutte le sue componenti sono costnti e pplicre il teorem d ogni componente. In tl cso non si può prlre di grdiente nullo m di mtrice jcobin null. 3.1 Forme differenzili lineri 3. CMPI VETTOILI CONSEVTIVI DEFINIZIONE. Si un perto contenuto in n. Un form differenzile linere ω è un ppliczione definit in del tipo (3.1 ω(x = f 1 (xdx 1 +f 2 (xdx 2 +...+f n (xdx n = n f i (xdx i, i=1 dove x = (x 1,...,x n. Le funzioni f 1 (x,f 2 (x,...,f n (x sono dette coefficienti dell form differenzile ω. Dicimo che un form differenzile è di clsse C k qundo i suoi coefficienti sono funzioni di clsse C k. Si h un nturle isomorfismo tr le forme differenzili e i cmpi vettorili; bst ssocire ll form n f i (xdx i il cmpo vettorile F(x = (f 1 (x,...,f n (x x e vicevers. i=1 Sino un perto contenuto in n, f : un funzione differenzibile. n Il suo differenzile df(x = f xi (xdx i è un form differenzile linere i cui coefficienti sono f x1 (x, i=1 f x2 (x,...,f xn (x, cui è ssocito il cmpo vettorile f(x = (f x1 (x,f x2 (x,...,f xn (x, x. Si noti che, considert un qulunque form differenzile linere, non è vero che ess si sempre il differenzile di un funzione f. Siconsideri,desempio,lform ω(x,y = dx+xdy, (x,y 2 : nonesistenessunfunzione f : 2 tlechedf(x,y = ω(x,y, dovrebbeverificrecontempornemente f x (x,y = 1ef x (x,y = x, mquesto è impossibile. 3.2 Integrli curvilinei per cmpi vettorili DEFINIZIONE. Sino n un perto connesso, un curv regolre, il cui sostegno è contenuto in, descritt dll funzione r(t con t,b, F : n un funzione continu. L integrle di F lungo l curv è definito dll seguente formul (3.2 F Tds = F(r(t r (t r (t r (t dt = F(r(t r (tdt = n i=1 f i (r(tr i (tdt, dove f 1,f 2,...f n sono le componenti di F e r 1,r 2,...r n le componenti di r e T è il versore tngente ll curv, l cui presenz indic che il vlore dell integrle dipende dl verso di percorrenz dell curv, come viene meglio precisto nellsuccessiv proposizione. Si us nche l notzione F dr. 9

nlisi Mtemtic 2 (21-11 L integrle (3.2 è definito nche se F non è continu; bst che bbi senso F(r(t r (tdt. Se l curv è chius l integrle si chim circuitzione di F lungo l curv ; si indic con i simboli F Tds, F dr. POPOSIZIONE. Sino n un perto connesso, un curv regolre descritt dll funzione r :,b n e 1 un curv descritt dll funzione s : α,β n, venti entrmbe il sostegno contenuto in. Si g : α,β,b un funzione biiettiv di clsse C 1 tle che g (τ, τ α,β, inoltre g verific s(τ = r(g(τ, τ α,β. Si infine F : n un funzione integrbile su e su 1. 1 Se g > (ossi le due curve sono equivlenti, risult (3.3 F Tds = F T 1 ds, 1 vle dire il vlore dell integrle è indipendente dll prmetrizzzione che rppresent l curv. 2 Se g < (ossi le due curve hnno lo stesso sostegno, m orientmento opposto, risult (3.4 F Tds = F T 1 ds, 1 vle dire cmbindo l orientmento dell curv il vlore dell integrle cmbi di segno. Dimostrimo quest ultim proprietà. Posto F = (f 1,...f n, r = (r 1,...r n, s = (s 1,...s n, risult F Tds = = F(r(t r (tdt = n k=1 α β n k=1 f k (s(τs k(τdτ = f k (r(tr k (tdt = n β α k=1 g 1 (b g 1 ( F(s(τ s (τdτ = F T 1 ds. 1 f k (r(g(τr k (g(τg (τdτ = POPIET. 1 Vlgono ncor i teoremi di linerità e di dditività. 2 L definizione di integrle curvilineo si estende fcilmente se è un curv regolre trtti. ESEMPIO. Sino F(x,y = (x 2 +y 2,y, (x,y 2, l curv di equzione r(t = (cost,sint, t,π/2. Clcolre F T ds, dove T è l orientmento indotto dll prmetrizzzione. isult F Tds = π/2 π/2 ( (cos 2 t+sin 2 t,sint ( sint,cost dt = [ = ( sint+sintcostdt = cost+ 1 ] π/2 2 sin2 t = 1 2. Clcolimo or F T 1 ds, essendo 1 lcurvdiequzione r 1 (t = ( cos(π t,sin(π t, t π/2,π, 1 e T 1 l orientmento indotto dll prmetrizzzione. isult π ( F T 1 ds = (cos 2 (π t+sin 2 (π t,sin(π t (sin(π t, cos(π t dt = 1 π/2 1

π nlisi Mtemtic 2 (21-11 ( [ = sin(π t sin(π tcos(π t dt = cos(π t+ 1 ] π π/2 2 sin2 (π t = 1 π/2 2. Si noti che F Tds = F T 1 ds; le curve e 1 hnno lo stesso sostegno (è l rco di circonferenz 1 di centro l origine e rggio 1 situto nel primo qudrnte, m sono orientte in verso opposto. 3.3 Forme differenzili lineri estte e cmpi vettorili conservtivi DEFINIZIONE. Sino un perto contenuto in n, ω un form differenzile linere in ; ω si dice estt se esiste un funzione differenzibile g : tle che (3.5 dg(x = ω(x, x, n ossi, posto ω(x = f i (xdx i, si h g (x = f i (x, x, i = 1,2,...,n. x i=1 i g si chim primitiv di ω. Il cmpo vettorile ssocito ω F(x = (f 1 (x,f 2 (x,...,f n (x è detto cmpo vettorile conservtivo; g g g risult g(x = F(x, x, ossi (x = f 1 (x, (x = f 2 (x,..., (x = f n (x. x 1 x 2 x n g si chim potenzile di F. Si g(x un potenzile di F(x, x, nche l funzione g(x+c (con c costnte è un potenzile di F(x, in qunto l derivt di un costnte è null. POPOSIZIONE. Sino un perto connesso, F : n un cmpo vettorile conservtivo, g 1 e g 2 due potenzili di F; llor g 1 e g 2 differiscono per un costnte. isult g 1 (x = F(x, g 2 (x = F(x, x, d cui ( g 1 (x g 2 (x =, x ; pplicndo il teorem del grdiente nullo si ottiene il risultto. TEOEM FONDMENTLE. Sino n un perto connesso, F : n un cmpo vettorile conservtivo continuo in, esiste quindi un funzione g : di clsse C 1 verificnte (3.6 g(x = F(x, x. Considerti due qulunque punti P 1,P 2, si un qulunque curv regolre di primo estremo P 1 e secondo estremo P 2, contenut in ; risult (3.7 F Tds = g(p 2 g(p 1, ossi il vlore dell integrle dipende soltnto dgli estremi dell curv e non dl cmmino percorso. Dimostrzione. Si r :,b n un rppresentzione prmetric di, per cui P 1 = r(, P 2 = r(b; per il teorem di derivzione di funzione compost risult F(r(t r (t = g(r(t r (t = d dt g(r(t, d cui F Tds = F(r(t r (tdt = d dt g(r(tdt = g(r(b g(r( = g(p 2 g(p 1. Ovvimente se è un curv regolre chius risult (3.8 F Tds =. I risult si estendono se è un curv regolre trtti. 11

nlisi Mtemtic 2 (21-11 ( x y ESEMPIO. Sino F(x,y = x 2 +y 2, x 2 +y 2, (x,y 2 \{(,}, l curv di equzione r(t = (2t + 1,t 3 + 2t 2, t,1. Clcolre F Tds, dove T è l orientmento indotto dll prmetrizzzione. Si vede fcilmente che l funzione g(x,y = 1 2 log(x2 +y 2 verific g(x,y = F(x,y, (x,y 2 \{(,}, ossi g è un potenzile di F. Dunque risult F Tds = g(r(1 g(r( = g(3,3 g(1, = 1 2 log18. IL CONCETTO DI LVOO COME INTEGLE CUVILINEO. Considerimo un prticell che si muove lungo un curv regolre, dove è un perto connesso contenuto in 3, descritt dll funzione r(t con t,b. Supponimo inoltre che l prticell si sottopost un forz F, dove l funzione F : 3 è un funzione continu. llor il lvoro compiuto dll forz F è dto d (3.9 F Tds. Se inoltre F è conservtivo, in virtù dell (3.7 il lvoro non dipende dl cmmino percorso, m soltnto dl punto inizile e d quello finle. 3.4 Condizioni ffinché un cmpo vettorile si conservtivo Condizioni di crttere integrle TEOEM (crtterizzzione dei cmpi conservtivi. Sino un perto connesso contenuto in n, F : n un cmpo vettorile continuo; llor sono equivlenti le tre ffermzioni: 1 F è conservtivo. 2 Per ogni curv chius regolre trtti contenut in risult F Tds =. 3 Per ogni coppi di curve 1, 2 regolri trtti contenute in e venti lo stesso punto inizile e lo stesso punto finle si h F T 1 ds = F T 2 ds. 1 2 b Condizioni di crttere differenzile CONDIZIONE NECESSI. Sino un perto contenuto in n, F : n un cmpo vettorile di clsse C 1 conservtivo; llor, posto F(x = (f 1 (x,f 2 (x,...,f n (x, risult (3.1 f i x j (x = f j x i (x, x, i,j = 1,2,...n. Esiste un funzione g : di clsse C 2 tle che g(x = F(x, x ; quindi f i = g xi e f j = g xj. Derivndo si ottiene f i (x = 2 g f j (x, (x = 2 g (x; x j x i x j x i x j x i dl teorem di Schwrz segue l tesi. Se n = 3 l condizione si riduce rot F =, ossi il cmpo F è irrotzionle. Inftti esiste g : tle che g = F, essendo F di clsse C 1 g è di clsse C 2 ; si h i j k rot grd g = x y z = g g g x y z ( 2 g z y 2 g ( 2 g i + y z x z 2 g ( 2 g j + z x y x 2 g k = x y 12

nlisi Mtemtic 2 (21-11 per il teorem di Schwrz. Nel cso n = 2, ossi F(x,y = f 1 (x,yi+f 2 (x,yj, (x,y perto contenuto in 2, se F C 1 ed è conservtivo l condizione si riduce f 1 y = f 2, ossi le derivte in croce sono uguli. x Quest condizione è necessri m non sufficiente ffinché un cmpo vettorile si conservtivo, come si vede dl seguente CONTOESEMPIO: si isult F(x,y = ( y y x 2 +y 2 = ( x y x 2 +y 2i + x x 2 +y 2 x x 2 +y 2j, (x,y 2 \{(,}. = y2 x 2 (x 2 +y 2 2, (x,y 2 \{(,}. Le derivte in croce sono uguli, m F non è conservtivo. Si consideri l curv : r(t = (cost,sint, t 2π, il cui sostegno è l circonferenz di centro (, e rggio 1: risult 2π 2π F Tds = F(r(t r (tdt = dt = 2π; dunque F non è conservtivo. Se considerimo l restrizione di F ll insieme = {(x,y 2 : x > }, si verific fcilmente che l funzione g(x,y = rctn y è un potenzile per F; dunque F è conservtivo in. x ffinché quest condizione si nche sufficiente non serve imporre condizioni di regolrità d F, m sul dominio di F. Nell esempio visto F C ( 2 \{(,}, m in tle insieme F non è conservtivo, invece lo è in = {(x,y 2 : x > }. Ci limiteremo i csi n = 2 e n = 3. DEFINIZIONE. Siunpertoconnessocontenutoin 2, dicimocheèsemplicemente connessoqundo considert un qulunque curv, regolre trtti, semplice, chius contenut in, ess è frontier di un dominio limitto contenuto intermente in. Esempi: l intero spzio 2 è semplicemente connesso, mentre 2 \{(,} non lo è; invece 2 meno un semirett risult semplicemente connesso. CONDIZIONE SUFFICIENTE IN 2. Sino 2 un perto semplicemente connesso, F : 2 di clsse C 1 tle che, posto F(x,y = f 1 (x,yi + f 2 (x,yj, risulti f 1 y (x,y = f 2 (x,y, (x,y ; x llor F è conservtivo in. L dimostrzione utilizz il teorem di Green, che verrà visto in seguito. DEFINIZIONE. Si un perto connesso contenuto in 3, dicimo che è semplicemente connesso qundo considert un qulunque curv, regolre trtti, semplice, chius contenut in, esiste lmeno un superficie Σ contenut in vente come bordo. Esempi: l intero spzio 3 è semplicemente connesso, 3 meno un punto è semplicemente connesso, mentre 3 meno un rett non lo è. CONDIZIONE SUFFICIENTE IN 3. Sino 3 un perto semplicemente connesso, F : 3 di clsse C 1 tle che rotf = ; llor F è conservtivo. L dimostrzione utilizz il teorem di Stokes, che verrà visto in seguito. Tutti gli insiemi convessi sono semplicemente connessi. COSTUZIONE DI UN FUNZIONE POTENZILE. Sino un perto connesso contenuto in 2, F : 2 un cmpo vettorile conservtivo continuo. Fissto un punto (x,y, un potenzile g può essere costruito definendo, per ogni (x,y, g(x,y = F Tds, dove è un qulunque curv di primo estremo (x,y e secondo estremo (x,y. Si può scegliere, d esempio come curv un spezzt lti prlleli gli ssi contenut in. nlogmente si f nel cso tridimensionle. 13

nlisi Mtemtic 2 (21-11 In lterntiv si può utilizzre il metodo degli integrli indefiniti come risult dl seguente esempio. Si F(x,y,z = 2x y x 2i + 1 y x 2j k. F è di clsse C in 3 meno l superficie y = x 2. isult rotf(x,y,z = i j k y z x 2x y x 2 1 y x 2 ( = 1 2x (y x 2 2 2x (y x 2 2 k =. Dunque F è conservtivo, d esempio, nell insieme Ω = {(x,y,z 3 : y > x 2 }; costruimo un potenzile g(x, y, z. Quest funzione deve verificre g 2x (x,y,z = x y x 2, g y (x,y,z = 1 y x 2, g (x,y,z = 1, (x,y,z Ω. z Integrndo rispetto x risult Derivndo si ottiene g(x,y,z = 2x y x 2 dx = log(y x2 + ϕ(y,z. g y (x,y,z = 1 y x 2 + ϕ y(y,z, g z (x,y,z = ϕ z (y,z. Occorre scegliere ϕ(y,z tle che ϕ y (y,z = e ϕ z (y,z = 1, d esempio ϕ(y,z = z. In definitiv un potenzile di F è g(x,y,z = log(y x 2 z. 4. INTEGLI DOPPI 4.1 Definizione di funzione scl in un rettngolo Considerimo il rettngolo (detto nche intervllo bidimensionle così definito (4.1 =,b c,d = { } (x,y 2 : x b, c y d. Sino P 1, P 2 rispettivmente suddivisioni di,b e c,d, così definite (4.2 P 1 = { = x,x 1,...,x n = b} e P 2 = {c = y,y 1,...,y m = d}, con = x < x 1 <... < x n = b e c = y < y 1 <... < y m = d. Il prodotto crtesimo P 1 P 2 è detto prtizione o suddivisione di. Siccome P 1 decompone,b in n sottointervlli e P 2 decompone c,d in m sottointervlli, l prtizione P = P 1 P 2 decompone in nm sottorettngoli, che indichimo con (4.3 ij = x i 1,x i y j 1,y j, i = 1,...,n; j = 1,...,m. DEFINIZIONE. Un funzione f definit su rettngolo si dice scl se esiste un prtizione P di tle che f si costnte in ciscuno dei sottorettngoli ij. Esistono dunque nm costnti c ij (i = 1,...,n; j = 1,...,m, tli che (4.4 f(x,y = c ij (x,y ij ; i = 1,...,n; j = 1,...,m. 14

nlisi Mtemtic 2 (21-11 Definizione di prtizione dttt. Si =,b c,d un rettngolo, si f : un funzione scl, e si P un prtizione di. Dicimo che l prtizione P è dttt ll funzione f se f risult costnte in ogni sottorettngolo ij dell prtizione. ffinmenti di prtizioni dttte. Si noti che se P = P 1 P 2 è un prtizione dttt ll funzione f, llor ogni nuov prtizione ottenut dll P ggiungendo un punto di suddivisione P 1 o P 2 (cioè ogni rffinmento dell prtizione P risult nch ess dttt f. OSSEVZIONE. Due funzioni scl f e g su uno stesso rettngolo possono essere rppresentte nellform (4.4 medintelstesssuddivisione. SiP unsuddivisionedtttf ep unsuddivisione dttt g; bst prendere P = P P, che è un rffinmento comune di P e di P. Inoltre c 1,c 2 l combinzione linere c 1 f +c 2 g è un funzione scl in. 4.2 Definizione di integrle per funzioni scl DEFINIZIONE. Si f un funzione scl definit su un rettngolo ; si P un prtizione dttt ll funzione f, ess decompone il rettngolo in nm sottorettngoli ij ; esistono quindi nm costnti c ij verificnti l (4.4. Definimo integrle di f esteso l rettngolo il numero (4.5 n m c ij (x i x i 1 (y j y j 1. i=1 j=1 L integrle si denot con uno dei seguenti simboli f(x,ydxdy, f(x,ydxdy, bbimo quindi (4.6 f(x,ydxdy = n i=1 j=1 f, f. m c ij (x i x i 1 (y j y j 1. OSSEVZIONE. L integrle non dipende di vlori ssunti d f sui segmenti che delimitno i sottorettngoli: in questi punti non bbimo dto il vlore di f che può essere preso rbitrrio, purché f si limitt. ESEMPIO 1. Si f(x,y = 1, (x,y =,b c,d ; llor f(x,ydxdy = (b (d c = mis ESEMPIO 2. Sino =,3,3 e f : così definit 1 se < x < 1 e < y < 1, 3 se 1 < x < 2 e < y < 1, f(x,y = 2 se 2 < x < 3 e 1 < y < 3, ltrove; llor f(x,ydxdy = 1 1+3 1+2 2 = 8 POPIET 1. Si f un funzione scl definit in un rettngolo, llor il numero (4.6 è indipendente dll prtizione medinte l qule si rppresent f. POPIET 2. Linerità: sino f e g due funzioni scl su, llor c 1,c 2 si h (4.7 (c 1 f(x,y+c 2 g(x,ydxdy = c 1 f(x,ydxdy + c 2 g(x, y dxdy. 15

nlisi Mtemtic 2 (21-11 POPIET 3. dditività: se è suddiviso in due rettngoli 1 e 2 si h (4.8 f(x,ydxdy = f(x,ydxdy + 1 f(x,ydxdy. 2 POPIET 4. Criterio del confronto: sino f e g due funzioni scl su, tli che f(x,y g(x,y, (x,y, llor si h (4.9 f(x,ydxdy g(x, y dxdy. Tutte queste proprietà si possono dimostrre servendosi dell definizione dt. 4.3 Definizione di integrle per funzioni limitte Si f un funzione limitt su un rettngolo. Esiste un costnte M > tle che ssocimo f i due insiemi di funzioni seguenti f(x,y M (x,y. S f = {g : g è scl su e g(x,y f(x,y (x,y }. S + f = {h : h è scl su e f(x,y h(x,y (x,y }. In ltre prole (meno precise: S f è l insieme di tutte le funzioni scl che stnno sotto f, mentre S+ f è l insieme di tutte le funzioni scl che stnno sopr f. Gli insiemi S f e S+ f non sono vuoti; il primo contiene, d esempio, lmeno l funzione g(x,y = M, mentre il secondo contiene lmeno l funzione h(x,y = M. H dunque senso considerre gli insiemi numerici formti d tutti i vlori degli integrli delle funzioni scl mggiornti e minornti. DEFINIZIONE. Si dice integrle superiore di f su il numero Si dice integrle inferiore di f su il numero { } I = inf h(x,ydxdy con h S + f. { } I = sup g(x,ydxdy con g S f. Siccome S + f e S f non sono vuoti le quntità I e I sono finite. POPIET. Per ogni funzione f limitt su, vle l disuguglinz I I. Dimostrzione. Sino g S f e h S+ f due funzioni scl rbitrrie. Per definzione si h g(x,y f(x,y h(x,y, (x,y, e quindi, per il criterio del confronto, si h g(x, y dxdy h(x, y dxdy. 16

nlisi Mtemtic 2 (21-11 Fisst l funzione g, fcendo vrire h e ricordndo l definizione di integrle superiore si deduce che g(x,ydxdy I. prtire d quest disuguglinz, fcendo vrire g e ricordndo l definizione di integrle inferiore, si ottiene l tesi. L distinzione tr funzioni integrbili e non integrbili, e l definizione di integrle. bbimo visto che d ogni funzione f limitt possimo ssocire due numeri I e I nel modo sopr visto. Per tli numeri bbimo sempre I I, m non sppimo (senz spere di più su f se si h I < I oppure I = I. Colloquimente, se l f è un funzione onest, si h I = I. Esistono nche funzioni f per cui risulti I < I. Indicto con =,1,1, si consideri, d esempio, l funzione f : così definit isult I = 1 e I = (Domnd: perch è?. { f(x,y = 1 se (x,y,x e y rzionli, ltrove. Mtemticmente prlndo: se f è tle che si bbi I = I, llor dicimio che f è integrbile sul rettngolo, e che il suo integrle è dto dl vlor comune di I e I. L integrle si denot con uno dei seguenti simboli f(x,ydxdy, f(x,ydxdy, f, f. In cso contrrio (ossi se risult I < I llor dicimo che f non è integrbile su. POPIET. Vlgono ncor i teoremi di linerità, di dditività, del confronto. TEOEM. Si f un funzione continu in un rettngolo =,b c,d, llor f è integrbile in. Dimostrzione. Per dimostrrlo, fccimo vedere che per ogni ε > si può trovre un prtizione P di in nm sottorettngoli (4.1 ij = x i 1,x i y j 1,y j, i = 1,...,n, j = 1,...,m, tle che, definendo le due funzioni g e h come (4.11 g(x, y = inf (x,y ij f(x,y, h(x,y = sup (x,y ij f(x,y, (x,y ij, (ricordimo che con ij si intende l chiusur di ij si otteng (4.12 h(x, y dxdy g(x,ydxdy ε. icordimo che l funzione f è uniformemente continu in, che è un comptto; questo vuol dire (4.13 ε > δ > : (x 1,y 1, (x 2,y 2 { (x 1,y 1 (x 2,y 2 δ} { f(x 1,y 1 f(x 2,y 2 ε}. Fissto ε > d rbitrio, usimolo nell (4.13 ottenendo il corrispondente δ. Suddividimo poi il rettngolo in nm sottorettngoli ij, tli che il dimetro di ciscuno di essi si minore o ugule di δ. Osservimo che, essendo f continu, per il teorem di Weierstrss l inf e il sup che compiono nell (4.11 sono in reltà, rispettivmente, dei minimi e dei mssimi, nel senso che in ogni sottorettngolo chiuso ij ci srnno (x ij,y ij e (x tli che ij,y ij (4.14 f(x ij,y ij f(x,y f(x ij,y ij (x,y ij. 17

Quindi in ogni sottorettngolo ij bbimo nlisi Mtemtic 2 (21-11 (4.15 g(x,y = f(x ij,y ij e h(x,y = f(x ij,y ij (x,y ij. Dto che (x ij,y ij e (x ij,y ij, essendo nello stesso sotto rettngolo, distno tr loro per meno di δ, l (4.13 ci dice che f(x ij,y ij f(x ij,y ij ε. Questo vviene in ogni sottorettngolo, per cui bbimo n i=1 j=1 h(x, y dxdy g(x, y dxdy = m f(x ij,y ij (x i x i 1 (y j y j 1 = che conclude l dimostrzione. ε n i=1 j=1 n n i=1 j=1 4.4 Insiemi misurbili secondo Peno - Jordn m i=1 j=1 m f(x ij,y ij (x i x i 1 (y j y j 1 (x i x i 1 (y j y j 1 ( f(x ij,y ij f(x ij,y ij m (x i x i 1 (y j y j 1 = εmis, DEFINIZIONE 1. Un sottoinsieme P di 2 è detto plurirettngolo qundo esistono un numero finito di rettngoli, lti prlleli gli ssi crtesini, l cui unione si P. DEFINIZIONE 2. Si 2 non vuoto e limitto. Considerimo tutti i plurirettngoli P e P tli che P P. Per ogni coppi di plurirettngoli P e P risult misp misp. Si h quindi Se risult supmisp infmisp. (4.16 supmisp = infmisp per ogni coppi di plurirettngoli P e P tli che P P, dicimo che è misurbile secondo Peno - Jordn e definimo (4.17 mis = supmisp = infmisp. DEFINIZIONE 3. Si 2 limitto; dicimo che h misur null (secondo Peno qundo ε > esistono n rettngoli 1, 2,..., n, tli che n (4.18 k=1 k n e mis k < ε. k=1 Quest condizione può nche essere espress nel seguente modo: ε > esiste un plurirettngolo P, tle che (4.19 P e misp < ε. TEOEM 1. Si ϕ C,b ; llor il grfico di ϕ è un sottoinsieme di 2 vente misur bidimensionle null. Dimostrzione. Si B il grfico di ϕ, ossi B = {(x,y 2 : y = ϕ(x e x b}. Fissimo ε > d rbitrio; essendo ϕ uniformemente continu esiste un prtizione P di, b tle che l oscillzione di ϕ in ciscun sottointervllo dell suddivisione si minore di ε/(b. Quindi in ciscun sottointervllo il grfico di ϕ è in contenuto in un rettngolo di ltezz minore di ε/(b. Pertnto tutto il grfico di ϕ è contenuto in un numero finito di rettngoli, l cui unione h re minore di ε. 18

nlisi Mtemtic 2 (21-11 Seguono fcilmente le seguenti proprietà: Ogni insieme costituito d un numero finito di punti h misur null. b Ogni segmento h misur bidimensionle null. c L unione di un numero finito di insiemi di misur null h ncor misur null. d Ogni curv limitt regolre 2 è un sottoinsieme di 2 di misur bidimensionle null. Tle misur non v confus con l lunghezz dell curv (misur unidimensionle. TEOEM 2. Un insieme Ω limitto contenuto in 2 è misurbile se e solo se Ω h misur null. 4.5 Integrbilità di funzioni limitte discontinue TEOEM. Si f un funzione limitt in un rettngolo =,b c,d, tle che l insieme dei punti in cui f è discontinu h misur null; llor f è integrbile su. OSSEVZIONE 1. Si f un funzione limitt in un rettngolo, null in trnne che in un insieme di misur null; llor f =. OSSEVZIONE 2. Sino f e g due funzioni integrbili in un rettngolo tli che f = g trnne che in un insieme di misur null; llor f = g. 4.6 Clcolo di integrle di un integrle doppio medinte due integrzioni successive TEOEM 1. Si f un funzione integrbile in un rettngolo =,b c,d. Supponimo inoltre che y c,d l funzione x f(x,y si integrbile in,b. llor l funzione y (y = (4.2 f(x,ydxdy = d c f(x,ydx è integrbile in c,d e si h (ydy = d c ( f(x,ydx dy = d c dy f(x,ydx. TEOEM 2. Si f un funzione integrbile in un rettngolo =,b c,d. Supponimo inoltre che x,b l funzione y f(x,y si integrbile in c,d. llor l funzione x B(x = (4.21 f(x,ydxdy = d c f(x,ydy è integrbile in,b e si h B(xdx = ( d c f(x,ydy dx = dx d c f(x,ydy. TEOEM 3. Supponendo che sino verificte tutte le ipotesi dei teoremi precedenti risult d ( ( d (4.22 f(x,ydxdy = f(x,ydx dy = f(x,ydy dx, formul di scmbio dell ordine di integrzione. c OSSEVZIONE 1. Se f(x,y = g(xh(y, con g e h continue rispettivmente in,b e in in c,d, si ottiene (4.23 f(x,ydxdy = d c ( g(xh(y dx dy = c ( ( d g(x dx c h(y dy. OSSEVZIONE 2. Si f un funzione continu nel rettngolo 1 =, c,d, ( >, tle che y c,d l funzione x f(x,y si dispri, llor (4.24 f(x,ydxdy =. 1 19

nlisi Mtemtic 2 (21-11 OSSEVZIONE 3. Si f un funzione continu nel rettngolo 2 =,b c,c, (c >, tle che x,b l funzione y f(x,y si dispri, llor (4.25 f(x,ydxdy =. 2 4.7 Definizione di integrle per funzioni venti come dominio regioni più generli Sino 2 un insieme misurbile, f : un funzione limitt. Esiste quindi un rettngolo che contiene ; definimo su l funzione f(x,y nel seguente modo (4.26 f(x,y = { f(x,y se (x,y, se (x,y \. DEFINIZIONE. Dicimo che f è integrbile in qundo f è integrbile in, e definimo (4.27 f(x,ydxdy = f(x,ydxdy. TEOEM. Sino un insieme chiuso misurbile contenuto in 2, f un funzione continu in ; llor f è integrbile su. Esiste un rettngolo tle che ; definimo su l funzione f come in (4.26. L funzione f risult limitt in e continu in con eccezione l più dell insieme, che h misur null. Dunque f è integrbile in ; dll definizione precedente segue l tesi. Vle pure il risultto più generle: Sino un insieme misurbile contenuto in 2, f un funzione limitt in tle che l insieme dei punti in cui f è discontinu h misur null; llor f è integrbile su. POPIET. Vlgono ncor i teoremi di linerità, del confronto; il teorem di dditività viene così enuncito: Sino, 1, 2 tre sottoinsiemi misurbili di 2, tli che = 1 2 e 1 2 h misur null. llor f è integrbile in se e solo se f è integrbile in 1 e in 2 e si h (4.28 f(x,ydxdy = f(x,ydxdy + 1 f(x,ydxdy. 2 Inoltre se f e g sono due funzioni integrbili in, sono pure integrbili in le funzioni f, fg. isult inoltre f(x,ydxdy f(x,y dxdy. TEOEM. Si Ω 2 un insieme misurbile; llor (4.29 mis Ω = dxdy. Ω 4.8 Clcolo di integrle di un integrle doppio medinte due integrzioni successive DEFINIZIONE 1. Si un sottoinsieme di 2 misurbile; dicimo che è un insieme semiconvesso nell direzione dell sse x (oppure semplice rispetto ll sse x qundo ogni segmento prllelo ll sse x vente gli estremi in è tutto contenuto in. TEOEM 1. Sino u,v C c,d (u v, = { (x,y 2 : u(y x v(y, c y d }, f : continu. llor (4.3 f(x,ydxdy = d c 2 ( v(y u(y f(x,ydx dy.

nlisi Mtemtic 2 (21-11 L insieme è semiconvesso nell direzione dell sse x e risult misurbile. Sino il minimo di u, b il mssimo di v in c,d ; posto =,b c,d si f il prolugmento di f su come nell (4.26. L funzione f così costruit è integrbile in : i grfici di u e di v sono insiemi di misur null. pplicndo l definizione (4.27 e l formul (4.2 si ottiene (4.31 f(x,ydxdy = f(x,ydxdy = d c ( f(x,ydx dy, ricordndo che f(x,y = f(x,y se u(y x v(y e f(x,y = ltrove si ottiene f(x,ydx = v(y u(y f(x,ydx, d cui, per l (4.31, si ottiene immeditmente l (4.3. DEFINIZIONE 2. Si un sottoinsieme di 2 misurbile; dicimo che è un insieme semiconvesso nell direzione dell sse y (oppure semplice rispetto ll sse y qundo ogni segmento prllelo ll sse y vente gli estremi in è tutto contenuto in. TEOEM 2. Sino h,k C,b (h k, = { (x,y 2 : h(x y k(x, x b }, f : continu. llor (4.32 f(x,ydxdy = ( k(x h(x f(x,ydy dx. TEOEM 3. Supponendo che sino verificte tutte le ipotesi dei due teoremi precedenti risult (4.33 f(x,ydxdy = d c ( v(y u(y formul di scmbio dell ordine di integrzione. 4.9 Cmbimento di vribile f(x,ydx dy = ( k(x h(x f(x,ydy dx, Per il clcolo di integrli di funzioni di un vribile tlor è utile ricorrere ll integrzione per sostituzione onde semplificre l funzione d integrre. nche per gli integrli doppi si possono dre formule di cmbimento di vribile. TEOEM. Sino e D due sottoinsiemi di 2 misurbili, Φ : D un funzione biiettiv di clsse C 1 tle che Φ 1 si pure di clsse C 1 ; dunque, posto Φ(u,v = (x(u,v,y(u,v, si h (4.34 det (x,y (u,v, (u,v. Si f : D = Φ( un funzione integrbile; llor (4.35 f(x,ydxdy = f(x(u,v,y(u,v det (x,y dudv. (u, v D OSSEVZIONE. Le condizioni del teorem sono restrittive; in molti csi prtici è sufficiente che sino soddisftte in con eccezione di un insieme di misur null. COODINTE POLI. Il cmbimento di vribili più utilizzto è il pssggio d coordinte crtesine coordinte polri. Si Φ = Φ(,ϑ definit dlle equzioni (4.36 { x = cosϑ y = sinϑ ϑ 2π. 21

isult nlisi Mtemtic 2 (21-11 det (x,y (,ϑ = cosϑ sinϑ sinϑ cosϑ =. Le condizioni del teorem sono soddisftte con eccezione dei punti del pino ϑ pprtenenti ll sse ϑ (questi punti corrispondono ll origine del pino xy, e per essi risult =, e di quelli verificnti le condizioni ϑ = e ϑ = 2π (mnc l biiettività. Se B è un insieme misurbile del pino xy e quindi limitto, tli punti costituiscono un insieme di misur null. Se B 2 è misurbile e f è un funzione integrbile in B risult (4.37 f(x,ydxdy = f( cosϑ, sinϑ d dϑ. B Φ 1 (B x 2 y ESEMPIO. Clcolre B x 2 +y 2 dxdy, B = { (x,y : 1 x 2 +y 2 4, x, y }. Pssndo coordinte polri l regione B si trsform nel rettngolo { = (,ϑ : 1 2, ϑ π } ; l integrle risult ugule 2 2cos 2 ϑ sinϑ 2 d dϑ = 4.1 ppliczioni geometriche ( 2 2d 1 ( π/2 cos 2 ϑsinϑdϑ = [ 3 3 ] 2 1 [ cos3 ϑ ] π/2 3 CENNO SULL MISU SECONDO PENO - JODN IN 3. Si ripete l vi seguit per gli insiemi pini: i rettngoli sono sostituiti d prllelepipedi (detti nche rettngoli 3-dimensionli (3 = 1,b 1 2,b 2 3,b 3. Chimimo plurirettngolo tridimensionle P (3 un sottoinsieme di 3, che poss essere presentto come l unione di un numero finito di rettngoli 3-dimensionli. DEFINIZIONE 1. Si 3 limitto. Considerimo tutti i plurirettngoli tridimensionli P (3 e P (3 tli che P (3 P (3. Per ogni coppi di plurirettngoli P (3 e P (3 risult misp (3 misp (3. Si h quindi supmisp (3 infmisp (3. Se risult (4.38 supmisp (3 = infmisp (3 per ogni coppi di plurirettngoli P (3 e P (3 tli che P (3 P (3, dicimo che è misurbile secondo Peno - Jordn e definimo (4.39 mis = supmisp (3 = infmisp (3. DEFINIZIONE 2. Si 3 limitto; dicimo che h misur null (secondo Peno in 3 qundo ε > esistono m prllelepipedi P (31,P (32,...,P (3m, tli che = 7 9. m (4.4 k=1 P (3k m e mis P (3k < ε. k=1 Seguono fcilmente le seguenti proprietà: Ogni curv limitt contenut in 3 h misur tridimensionle null. b Ogni superficie limitt regolre Σ 3 h misur tridimensionle null. c L unione di un numero finito di insiemi di misur null h ncor misur null. 22

nlisi Mtemtic 2 (21-11 DEFINIZIONE DI CILINDOIDE. Si f un funzione limitt non negtiv definit in sottoinsieme misurbile di 2 ; si chim cilindroide ssocito f l insieme (4.41 C(f = {(x,y,z 3 : (x,y, z f(x,y}. TEOEM. Sino un sottoinsieme misurbile di 2, f : un funzione integrbile non negtiv; llor il cilindroide C(f ssocito f è misurbile e il suo volume è dto d (4.42 f(x,ydxdy. Inoltre se g e h sono due funzioni integrbili in, sottoinsieme misurbile di 2, tli che g h, llor l insieme (4.43 V = {(x,y,z 3 : (x,y, g(x,y z h(x,y} è misurbile; e il suo volume è dto d (4.44 (h(x,y g(x,ydxdy. 4.11 elzione tr integrle doppio e integrle curvilineo TEOEM DI GEEN NEL PINO. Sino C un curv chius, semplice, regolre trtti, contenut in 2 (curv di Jordn, l unione di C con i punti interni d ess, (quindi C =, un perto tle che 2, F : 2 di clsse C 1. Posto F(x,y = P(x,yi + Q(x,yj, si h (4.45 dove C è percors in senso ntiorrio o positivo. ESEMPI. ( Q x P dxdy = (Pi+Qj Tds, y =C 1 Si F(x,y = (5 xy y 2 i+(x 2 2xyj, clcolre C F Tds, dove C è l curv che unisce i punti (,, (1,, (1,1, (,1, (, percors in senso positivo. Indict con Q =,1,1 l regione delimitt d C, risult C F Tds = Q (2x 2y+x+2ydxdy = 2 Si F(x,y = (rctnx 2yi+(x 2 +e 2y j, clcolre C Q 3xdxdy = 3 2. F Tds, dove C è l curv x 2 +y 2 = 4 percors un volt in senso positivo. Indict con Ω = {(x,y 2 : x 2 +y 2 4} l regione delimitt d C, risult F Tds = (2x+2dxdy = 2xdxdy + 2dxdy = 8π, C essendo ugule per simmetri il primo integrle. Ω PPLICZIONE DEL TEOEM DI GEEN. Sino un perto semplicemente connesso contenuto in 2, F : 2 di clsse C 1, tle che posto F = Pi+Qj, risult Ω Ω (4.46 P y = Q x, llor F è conservtivo. 23

nlisi Mtemtic 2 (21-11 Bst dimostrre che, per ogni curv chius, semlice, regolre trtti contenut in, risult (4.47 F Tds =. Indict con l unione di con i punti interni d ess, per il teorem di Green e l uguglinz (4.46 si h ( Pi+Qj Tds = ( Q x P dxdy =. y TEOEM DELL DIVEGENZ NEL PINO. Sino C un curv chius, semplice, regolre trtti, contenut in 2 (curv di Jordn, l unione di C con i punti interni d ess, (quindi C =, un perto tle che 2, F : 2 di clsse C 1. Si h (4.48 divf(x, y dxdy = F(x,y N(x,yds, =C dove N(x,y è il versore normle = C rivolto verso l esterno di. 5. INTEGLI TIPLI 5.1 Integrle per funzioni definite su prllelepipedi L teori vist per gli integrli doppi si estende fcilmente gli integrli tripli: ci limiteremo i principli risultti. I rettngoli sono sostituiti di prllelepipedi detti nche intervlli 3-dimensionli : sono insiemi del tipo (5.1 = 1,b 1 2,b 2 3,b 3. L misur 3-dimensionle di è dt dl prodotto (b 1 1 (b 2 2 (b 3 3. Sino P 1, P 2, P 3 rispettivmente suddivisioni di 1,b 1, 2,b 2, 3,b 3, così definite (5.2 P 1 = { 1 = x,...,x n = b 1 }, P 2 = { 2 = y,...,y m = b 2 }, P 3 = { 3 = z,...,z p = b 3 }, con 1 = x < x 1 <... < x n = b 1, 2 = y < y 1 <... < y m = b 2, 3 = z < z 1 <... < z p = b 3. Un prtizione P di è dt dl prodotto crtesino di P 1,P 2,P 3. L prtizione P suddivide in mnp sottointervlli 3-dimensionli ijk. DEFINIZIONE. Un funzione f definit su rettngolo si dice scl se esiste un suddivisione P di tle che f si costnte in ciscuno dei sottointervllo 3-dimensionle ijk. Esistono dunque nmp costnti c ijk (i = 1,...,n; j = 1,...,m; k = 1,...,p, tli che (5.3 f(x,y,z = c ijk (x,y,z ijk ; i = 1,...,n; j = 1,...,m; k = 1,...,p. DEFINIZIONE. Si f un funzione scl definit su un prlleleppipedo ; si P un prtizione di che decompone in nmp sottointervlli ijk ed esistono nmp costnti c ijk verificnti l (5.3. Definimo integrle di f esteso l prllelepipedo il numero (5.4 n m p c ijk (x i x i 1 (y j y j 1 (z k z k 1. i=1 j=1 k=1 L integrle si denot con uno dei seguenti simboli f(x,y,zdxdydz, f(x,y,zdxdydz, 24 f, f.

nlisi Mtemtic 2 (21-11 OSSEVZIONE. L integrle non dipende di vlori ssunti d f sui segmenti che delimitno i sottointervlli: in questi punti non bbimo dto il vlore di f che può essere preso rbitrrio, purché f si limitt. Si or f un funzione limitt in ; costruimo, come nel cso bidimensionle, gli insiemi I(f e I(f, che verificno sempre I(f I(f. Se f è tle che si bbi I(f = I(f llor dicimio che f è integrbile sul prllelepipedo, e che il suo integrle è dto dl vlor comune di I(f e I(f. TEOEM. Si f un funzione continu in = 1,b 1 2,b 2 3,b 3 ; llor f è integrbile in. Vle l formul di riduzione (5.5 f(x,y,zdxdydz = 1 1 2 3 dx dy f(x,y,z dz, 2 3 dove l ordine di integrzione può essere scmbito d rbitrio. Conviene ssocire in un unico integrle doppio le integrzioni rispetto x e y e presentre l formul in due modi diversi secondo che l integrzione doppi viene eseguit per ultim o per prim. Si h l seguente formul di integrzione per fili (5.6 dove S = 1,b 1 2,b 2 f(x,y,zdxdydz = S (3 è l proiezione di sul pino xy. Si h l seguente formul di integrzione per strti (5.7 f(x,y,zdxdydz = 3 dove z indic l sezione di ottenut per z costnte. 3 3 f(x,y,zdz dxdy, ( f(x,y,zdxdy dz, z icordimo inoltre che ogni funzione f limitt in = 1,b 1 2,b 2 3,b 3, continu con eccezione di un insieme di misur null, è integrbile in. 5.2 Integrle per funzioni definite su regioni più generli icordimo il seguente risultto TEOEM. Un sottoinsieme limitto Ω di 3 è misurbile se e solo se Ω h misur null. Sino 3 un insieme misurbile, f : un funzione limitt. Esiste quindi un prllelepipedo che contiene ; definimo su l funzione f nel seguente modo (5.8 f(x,y,z = { f(x,y,z se (x,y,z, se (x,y,z \. DEFINIZIONE. Dicimo che f è integrbile in qundo f è integrbile in, e definimo (5.9 f(x,y,zdxdydz = f(x,y,zdxdydz. TEOEM. Sino un insieme misurbile contenuto in 3, f un funzione continu in ; llor f è integrbile su. In prticolre (5.1 dxdydz = mis. 25

5.3 Formule di riduzione per integrli tripli nlisi Mtemtic 2 (21-11 INTEGZIONE PE FILI. Sino D un sottoinsieme chiuso e misurbile di 2, h e k due funzioni continue in D tli che h(x,y k(x,y, (x,y D; llor l insieme (5.11 = {(x,y,z 3 : (x,y D, h(x,y z k(x,y} è misurbile. Si poi f : un funzione continu; llor vle l formul (5.12 f(x,y,zdxdydz = D ( k(x,y h(x,y f(x,y,zdz dxdy. Se inoltre D = {(x,y 2 : x b, α(x y β(x}, con α e β continue in,b dll (5.12 si ottiene (5.13 f(x,y,zdxdydz = ( β(x ( k(x,y α(x h(x,y f(x,y,zdz dy dx. INTEGZIONE PE STTI. Si un sottoinsieme misurbile di 3 tle che z b; si z l sezione di quot z; si ottiene nlogmente ll (5.7 l seguente formul (5.14 ESEMPIO. Clcolre f(x,y,zdxdydz = y = x 2 +z 2 e y = 1. Integrndo per fili prlleli ll sse y si ottiene V (x+1dxdydz = V ( f(x,y,zdxdy dz. z (x+1dxdydz, dove V è il solido limitto dll superfici di equzione C 1 (x+1dxdz dy = (x+1(1 x 2 z 2 dxdz, x 2 +z 2 C dove C = {(x,y : x 2 +z 2 1} è l proiezione di V sul pino xz. Pssndo coordinte polri l regione C si trsform nel rettngolo = {(,ϑ : 1, ϑ 2π}; l integrle risult ugule ( cosϑ+1(1 2 d dϑ = = 2π 1 (1 2d = π 2. 1 (1 2d 2π Integrndo per strti perpendicolri ll sse y si ottiene V (x+1dxdydz = 1 ( cosϑ+1dϑ = 1 dy (x+1dxdz, V y (1 2 [ sinϑ+ϑ ] 2π d = dove V y è l sezione di V quot y, ossi V y = {(x,y,z : y = y, x 2 + z 2 y }. Pssndo coordinte polri l regione V y si trsform nel rettngolo y = {(,ϑ : y, ϑ 2π} ; l integrle risult ugule 1 1 dy ( cosϑ+1 d dϑ = dy y y d 2π 26 ( cosϑ+1dϑ = 1 dy y [ sinϑ+ϑ ] 2π d =

1 = 2π dy y d = π 1 nlisi Mtemtic 2 (21-11 ydy = π 2. 5.4 Volume di un solido di rotzione Sino y = g(z un funzione continu e non negtiv nell intervllo,b e (g il rettngoloide ssocito g, ossi (g = {(y,z : z b, y g(z}. Si V (g il solido ottenuto ruotndo (g ttorno ll sse z, il volume di V (g è dto d (5.15 π g 2 (zdz. icordndo l (5.1 e clcolndo l integrle per strti perpendicolri ll sse z si ottiene (5.16 V (g dxdydz = dz dxdy = V z re(v z dz = π g 2 (zdz; bst osservre che, z,b, V z (sezione di V (g quot z è un cerchio di rggio g(z. ESEMPIO. Clcolre il volume del solido ottenuto fcendo ruotre ttorno ll sse x l regione { x 2 } = (x,y : 2 + y2 b 2 1, y, (,b >. { Evidentemente si h = (x,y : x, y b } 2 x 2. Il volume richiesto è quindi dto d 5.5 Cmbimento di vribile b 2 ( π 2 2 x 2 dx = 2π b2 2 ( 2 x 2 dx = 4 3 πb2. TEOEM. Sino e D due sottoinsiemidi 3 misurbili, Φ : D unfunzione biiettiv di clsse C 1 tle che Φ 1 si pure di clsse C 1 ; dunque, posto Φ(u,v,w = (x(u,v,w,y(u,v,w,z(u,v,w, si h (5.17 det (x,y,z (u,v,w Si f : D = Φ( un funzione integrbile; llor (5.18 D f(x,y,zdxdydz =, (u,v,w. f(φ(u,v,w det (x,y,z dudvdw. (u,v,w OSSEVZIONE. Le condizioni del teorem sono restrittive; in molti csi prtici è sufficiente che sino soddisftte in con eccezione di un insieme di misur null. COODINTE CILINDICHE. Un cmbimento di vribili utilizzto è il pssggio d coordinte crtesine coordinte cilindriche. Si Φ = Φ(,ϑ,z definit dlle equzioni x = cosϑ (5.19 y = sinϑ ϑ 2π. z = z isult det (x,y,z =. Si vede fcilmente che le ipotesi del teorem sono soddisftte trnne che in un (,ϑ,z insieme di misur null. 27