La matematica fiaziaria La matematica fiaziaria forisce gli strumeti ecessari per cofrotare fatti fiaziari che avvegoo i mometi diversi Esempio: Come posso cofrotare i ricavi e i costi legati all acquisto di u immobile, che avvegoo i mometi diversi? Prof. Paolo Rosato 1
Le prestazioi fiaziarie Le prestazioi fiaziarie soo rappresetate da flussi di costo e di ricavo. Perché ua prestazioe fiaziaria sia defiita uivocamete dobbiamo cooscere: l ammotare; la scadeza. Prof. Paolo Rosato 2
L iteresse L iteresse è il prezzo d uso del capitale. Il saggio (tasso) d iteresse (r) può essere espresso i termii percetuali (r 5%) o i termii uitari (r 0,05). L iteresse uitario è l iteresse maturato da ua uità di moeta i u ao. Il saggio di iteresse è direttamete proporzioale al rischio (ad u rischio maggiore corrispode u maggiore tasso di iteresse). Prof. Paolo Rosato 3
Il motate Il motate è la somma del capitale e dei relativi iteressi. Il motate uitario (q) è la somma fra u capitale pari a 1 e degli iteressi maturati i u ao: M C 0 + C 0 r C 0 (1 + r ) C 0 q ( es. r 0,05 q 1,05). Prof. Paolo Rosato 4
Iteresse semplice e composto L iteresse semplice gli iteressi maturati o maturao a loro volta altri iteressi; Si usa quado si cosidera u periodo di tempo uguale o iferiore ad 1 ao. L iteresse composto gli iteressi maturati maturao a loro volta altri iteressi; Si usa quado si cosidera u periodo di tempo superiore ad 1 ao. Prof. Paolo Rosato 5
Iteresse semplice: periodo uguale all ao Iteresse I C 0 r Motate M C 0 q Valore scotato C 0 M / q La somma di 1.000 Euro viee depositata i baca all iteresse del 5%. Si vuol cooscere l ammotare: a) degli iteressi dopo u ao; b) del motate dopo u ao. I C 0 r 1.000 0,05 50 Euro M C 0 + I C 0 (1+r) C 0 q 1.000 1.05 1.050 Euro Prof. Paolo Rosato 6
Iteresse semplice: periodo iferiore all ao La durata viee idicata come frazioe di ao: gg/365 Iteresse I C 0 r Motate M C 0 (1 + r ) Valore scotato C 0 M / (1 + r ) La somma di 1.000 Euro viee depositata i baca per 90 giori all iteresse del 5%. Si vuol cooscere l ammotare: a) degli iteressi; b) del motate. I C 0 r 1.000 0,05 (90 / 365) 12,39 Euro. M C 0 + C 0 r C 0 (1 + r ) 1.012,39 Euro. Prof. Paolo Rosato 7
Iteresse composto: la determiazioe del motate dopo ai: Dopo 1 ao: C 1 C 0 + C 0 r C 0 (1+r) Dopo 2 ai: C 2 C 1 + C 1 r C 1 (1+r) C 2 C 0 (1+r) (1+r) C 2 C 0 q 2 Quidi: C C 0 q C 0 C 1 C 2... C 0 1 2... Prof. Paolo Rosato 8
Iteresse composto: esempio A quato ammoterà, tra 10 ai (), il capitale di 1.000 Euro (C 0 ) ivestito i titoli al saggio del 5%? M C 0 q 1.000 1,05 10 1.629 Euro. Se l iteresse o fosse composto, cioè se gli iteressi o maturassero altri iteressi, il motate sarebbe iferiore: 1.500 Euro. Prof. Paolo Rosato 9
Spostameto di capitali el tempo No è possibile addizioare, sottrarre o cofrotare tra loro valori differiti el tempo, se prima o soo riportati allo stesso mometo. E ecessario idividuare le formule che cosetoo di aticipare o di posticipare ciascu valore. U valore spostato el futuro si trasforma i motate, spostato el passato si trasforma i valore scotato. Prof. Paolo Rosato 10
Periodi iferiori o uguali all ao Coefficiete di posticipazioe: (1 + r ) Coefficiete di aticipazioe: 1/(1+r) C 0 Posticipo (1 + r ) M 0 1 / (1 + r ) Aticipo Prof. Paolo Rosato 11
Esercizio Il caoe auo del vostro appartameto è suddiviso i due rate aticipate di 6.000 Euro ciascua. A quato ammota l affitto percepito dal proprietario, riferito a fie ao? Sia r 5%. Posticipo (1 + r ) 6.000 6.000 0 0 6 mesi 12 mesi Ca 6.000 (1+ 0.05) + 6.000 (1+0.05 1/2) 6.000 1.05 + 6.000 (1.025) 12.450 Prof. Paolo Rosato 12
Periodi superiori all ao Coefficiete di posticipazioe: q Coefficiete di aticipazioe: 1/q C 0 0 Posticipo q 1 / q Aticipo M Prof. Paolo Rosato 13
Esercizio Comperate u uovo computer che pagate i 2 rate da 2.000 Euro: la prima subito, la secoda fra due ai. Quato costa il computer al mometo attuale (r 6 %)? Aticipo 1 / q 2 2.000 0 2.000 0 1 2 2.000 + 2.000 1 / 1.06 2 3.780 Euro Prof. Paolo Rosato 14
U milioe di Euro tra ai scotato ad oggi All aumetare del tempo e/o del saggio dimiuisce il valore Saggio 1 ao 2 ai 3 ai 10 ai 20 ai 1% 990.099 980.296 970.590 905.287 819.544 2% 980.392 961.169 942.322 820.348 672.971 3% 970.874 942.596 915.142 744.094 553.676 4% 961.538 924.556 888.996 675.564 456.387 5% 952.381 907.029 863.838 613.913 376.889 6% 943.396 889.996 839.619 558.395 311.805 7% 934.579 873.439 816.298 508.349 258.419 8% 925.926 857.339 793.832 463.193 214.548 9% 917.431 841.680 772.183 422.411 178.431 10% 909.091 826.446 751.315 385.543 148.644 Prof. Paolo Rosato 15
Valore e tasso di scoto Valore attuale di 1 milioe collocato tra vet'ai 1.000.000 Valore attuale 800.000 600.000 400.000 200.000-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Saggio Prof. Paolo Rosato 16
Le aualità Le aualità (a) soo quelle prestazioi fiaziarie che si verificao ad itervalli auali. Le aualità soo classificate i: posticipate o aticipate, i base alla scadeza di ciascua aualità, rispettivamete alla fie o all iizio dell ao; costati o variabili, i base all ammotare di ciascua aualità; limitate o illimitate, i base alla durata complessiva della serie di prestazioi. Prof. Paolo Rosato 17
Aualità variabili e limitate a 0 a 1 a 2... a A 0 A Gli strumeti dispoibili: coefficieti di aticipazioe e posticipazioe. Le accumulazioi iiziale e fiale assumoo rispettivamete la forma: A 0 a 0 + a 1 / q + a 2 / q 2 + a / q A a 0 q + a 1 q -1 +... + a A 0 A / q A A 0 q Prof. Paolo Rosato 18
Aualità costati, posticipate, limitate A 0 A a a.. a 0 1 2.. Accumulazioe fiale: A a q 1 r Accumulazioe iiziale: A 0 a q 1 rq Accumulazioe itermedia: A m A 0 q m A / q -m Prof. Paolo Rosato 19
Aualità costati, aticipate, limitate A 0 a a a a A 0 1 2-1 Accumulazioe fiale: A aq q 1 r Accumulazioe iiziale: A 0 aq q 1 rq Accumulazioe itermedia: A m A 0 q m A / q -m Prof. Paolo Rosato 20
Aualità costati e illimitate A 0 a a.. 0 1 2.. ifiito Trattadosi di aualità illimitate: Posticipate: Aticipate: A 0 A 0 a r aq r Accumulazioe itermedia: A m A 0 q m q 1 lim rq 1 r Prof. Paolo Rosato 21
Le periodicità (o poliaualità) Le periodicità o poliaualità (P) soo prestazioi fiaziarie che si ripetoo ad itervalli regolari (), multipli dell ao. P P... P 0 2 3 t Prof. Paolo Rosato 22
Periodicità costati, posticipate, limitate A 0 A t P P... P 0 2... t Accumulazioe fiale: A t q q t P 1 1 Accumulazioe iiziale: A 0 P q t 1 ( q 1) q t Prof. Paolo Rosato 23
Periodicità costati, aticipate, limitate A 0 P P P P A t 0 2 (t-1) t Accumulazioe fiale: A t q q t Pq 1 1 Accumulazioe iiziale: A 0 Pq q t 1 ( q 1) q t Prof. Paolo Rosato 24
Periodicità costati, posticipate, illimitate Trattadosi di periodicità illimitate: lim t q t 1 1 ( 1) t q q q 1 Posticipate: A 0 P q 1 Aticipate: A 0 Pq q 1 Accumulazioe itermedia: A m A 0 q m Prof. Paolo Rosato 25
Trasformazioe di periodicità (P) i aualità (a) P P... P 0 2... t a r P q 1 Prof. Paolo Rosato 26
Esercizio U immobile di civile abitazioe richiede, per poter forire u reddito costate, le segueti spese periodiche : a) spese per titeggiatura ogi 5ai (15 /mq); b) spese per riovo impiati ogi 25 ai (150 /mq); c) spese per ristrutturazioe itera ogi 80 ai (1000 /mq). Calcolare la quota aua relativa alle suddette spese. r r r Qa 15 + 150 + 1000 5 25 80 q 1 q 1 q 1 Prof. Paolo Rosato 27
Reitegrazioe La quota di reitegrazioe (Q re ) è quell aualità costate e posticipata che viee accumulata per u certo umero di ai allo scopo di costituire/riovare u capitale Q re r ( Vi V f ) q 1 Prevededo di dover ristrutturare u fabbricato tra dieci ai, sosteedo ua spesa di Euro 100.000, si vuol cooscere la somma aua posticipata da accatoare al saggio del 5%. 3 0,05 Q re 100 10 100.000 0,0795 7. 950 10 1,05 1 E Prof. Paolo Rosato 28
Ammortameto La quota di ammortameto (Q am ) è quell aualità costate, posticipata e limitata che deve essere corrisposta per estiguere u debito cotratto iizialmete Q am D i rq q 1 La Q am può essere disaggregata i due distite compoeti: quota capitale (Q c ); quota iteressi (Q i ). Prof. Paolo Rosato 29
Esercizio Si costruisca il piao di ammortameto di u debito di E. 10.000 da estiguere i tre ai al saggio del 10%, co rate aue, costati e posticipate. Q amm r q Di q 1 10.000 0,421 4.021 Ao Rata Quota capitale Quota iteressi Debito estito Debito residuo 0 - - - - 10,000 1 4,021 3,021 1,000 3,021 6,979 2 4,021 3,323 698 6,344 3,656 3 4,021 3,656 365 10,000 0 Prof. Paolo Rosato 30
Esercizio A LLa situazioe fiaziaria di u impresa è la seguete: - 11.000 da icassare fra u mese; - 40.000 da versare fra sei mesi; - 20.000 da restituire fra due ai. AAssumedo u tasso di iteresse pari al 6 % auo, calcolare: - l idebitameto totale all attualità; - la rata semestrale posticipata che estigue il debito i sette ai. Idebitameto: A 11.000 1 1 + 0,06 12 40.000 6 1 + 0,06 12 20.000 2 1,06 0 + + 45.689,61 Prof. Paolo Rosato 31
Covertibilità semestrale: Esercizio A Q as 0,03 1,03 45.689,61 14 1,03 1 14 4044,65 Covertibilità aua: Q aa 0,06 1,06 45.689,61 7 1,06 1 7 8186.71 Q as 6 1 + 0,06 Q 12 + Q as aa 8186.71 Q as 8186.71 2,03 4032,86 Prof. Paolo Rosato 32
Esercizio B LLa costruzioe di u complesso immobiliare richiede i segueti esborsi: - 3 ml di da versare subito; - 5 ml di all ao da versare per i prossimi 3 ai; - 4 ml di da versare fra 4 ai. AAssumedo u tasso di iteresse pari al 6 %, calcolare la rata aua posticipata del mutuo deceale che fiazia la costruzioe. Fabbisogo fiaziario: A Quota ammortameto: 3 1,06 1 4 3 + 5 + 3 4 0,06 1,06 1,06 0 19,53 Q a 0,06 1,06 19,52 10 1,06 1 10 2,65 Prof. Paolo Rosato 33
Esercizio C CCompilare il piao di ammortameto trieale, co rate aue posticipate, di u mutuo pari a 15.000 al tasso di iteresse del 4 %. 0,04 1,04 15 3 1,04 1 Quota ammortameto:.000 5405, 23 Q a 3 Ao Qa Qi Qc De Dr 0 15000,00 1 5405,23 600,00 4805,23 4805,23 10194,77 2 5405,23 407,79 4997,44 9802,67 5197,33 3 5405,23 207,89 5197,33 15000,00 0,00 Prof. Paolo Rosato 34
Esercizio D La mautezioe di u fabbricato richiede le segueti spese: - 2000 ogi 4 ai; - 100 ogi 6 mesi; - 6000 ogi 10 ai. Assumedo u tasso di iteresse pari al 10 %, calcolare la quota di mautezioe aua. Quota mautezioe: Q m 0,1 6 0,1 2000 + 100 + 100 1 + 0,1 + 6.000 10 1,1 1 12 1,1 1 4 1012,41 Prof. Paolo Rosato 35