UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO. Corso di Economia e Organizzazione Aziendale

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO Scuola di Ingegneria Corso di prof.ssa Maria Sole Brioschi Le decisioni aziendali di lungo periodo DLP-L Corso Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Edile Anno Accademico 2015/2016

2 Agenda della lezione Elementi di matematica finanziaria Definizione di valutazione degli investimenti e di investimento Modalità di classificazione degli investimenti Elementi necessari alla valutazione economica di un investimento Criteri di valutazione degli investimenti Valutazione di progetti indipendenti Scelta tra progetti alternativi Sintesi della lezione e bibliografia pagina 2

3 Elementi di matematica finanziaria Matematica finanziaria pagina 3

4 Valore temporale del capitale e costo opportunità del capitale Capitalizzazione, valore futuro e composizione degli interessi Attualizzazione e valore attuale Rendita annua (annuity) e rendita perpetua (perpetuity) Piano di ammortamento del debito Tasso annuo nominale (TAN), tasso annuo effettivo (TAE) e tasso annuo effettivo globale (TAEG) Tassi di interesse non costanti Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali Matematica finanziaria pagina 4

5 Valore temporale del capitale 1 di oggi vale più, meno o come 1 tra un anno? Valore temporale del capitale (time value of money) 1 disponibile oggi può essere investito per generare nel futuro un ritorno positivo; pertanto 1 disponibile oggi vale di più di 1 disponibile domani (primo principio della finanza) Ad esempio, se è possibile investire 100 al 10% annuo, 100 oggi diventano 110 tra un anno In generale, se r è il tasso di interesse annuo e C il capitale disponibile oggi per l investimento, in un anno l investimento cresce di (1 + r) per ogni investito. In formule C oggi C * (1 + r) tra un anno C C * (1+r) t t+1 Matematica finanziaria pagina 5

6 Costo opportunità del capitale Costo opportunità del capitale (opportunity cost of capital) È definito come il miglior rendimento alternativo a cui si rinuncia quando viene effettuato un investimento È utile per capire come rendere omogenei e quindi confrontabili flussi di cassa con manifestazione in momenti diversi Esempio Vi propongono due opportunità di investimento Investire oggi in un progetto per avere tra un anno un ritorno atteso di Investire in titoli di stato al tasso annuo del 3% Investendo nel progetto avete un rendimento atteso del 10%, ma rinunciate al rendimento offerto dall impiego alternativo del capitale (3%), che pertanto costituisce il vostro costo opportunità del capitale Matematica finanziaria pagina 6

7 Costo opportunità del capitale : un applicazione (1) Si consideri un progetto di acquisto per di una Radio con l obiettivo di svilupparne l attività e il prestigio e poterla rivendere dopo un anno. Si ipotizzi che Il pagamento della Radio sia contestuale all acquisto Il progetto preveda l assunzione di un giovane e bravo DJ La remunerazione del DJ e gli altri costi di gestione ammontino complessivamente per il periodo a e i suddetti costi debbano essere pagati anticipatamente La Radio possa essere rivenduta, dopo un anno, per (esiste già un acquirente affidabile disposto a pagare questo prezzo) In questa situazione la semplice somma algebrica dei flussi di cassa che descrivono l investimento produce un risultato apparentemente positivo Fonte: Sistemi di controllo, Anthony et al. Matematica finanziaria pagina 7

8 Costo opportunità del capitale : un applicazione (2) Incasso da cessione della Radio (A) Esborso per l acquisto della Radio (B) Esborsi per il DJ e gli altri costi di gestione (C) Esborso totale (D = B + C) Differenza tra incassi ed esborsi (E = A D) Poiché i flussi di cassa hanno manifestazione temporale diversa, non ha nessun significato effettuare una semplice somma algebrica per valutare la convenienza dell investimento Infatti, 1 disponibile oggi vale più di 1 disponibile domani Il problema si risolve rendendo omogenei i due flussi, convertendoli in flussi di cassa confrontabili, dunque come se avessero tutti manifestazione nel medesimo istante Fonte: Sistemi di controllo, Anthony et al. Matematica finanziaria pagina 8

9 Costo opportunità del capitale : un applicazione (3) In all istante iniziale Tasso di capitalizzazione In di un anno dopo Incasso da cessione Esborso per l acquisto della Radio Esborso per il DJ e altri costi di gestione ,05 1, Esborsi totali Risultato economico Come è stato determinato il fattore di conversione o tasso di capitalizzazione presente nella tabella che converte disponibili oggi in disponibili domani? È stato necessario verificare il rendimento di investimenti alternativi, comparabili, in termini di rischio e durata, al Progetto Radio Fonte: Sistemi di controllo, Anthony et al. Matematica finanziaria pagina 9

10 Costo opportunità del capitale : un applicazione (4) In particolare, si ipotizzi che il rendimento che si otterrebbe investendo sui mercati finanziari in un progetto alternativo avente lo stesso livello di rischio del Progetto Radio, ossia il costo opportunità del capitale, sia del 5% Se impiegassimo oggi i necessari al progetto ( ) e li investissimo nel progetto alternativo, fra un anno disporremmo di una somma pari a * (1 + 0,05) = In sintesi, non conviene investire nel Progetto Radio perché l entrata di cassa di generata dopo un anno dall impiego del denaro ( ) risulta inferiore all ammontare di , costituito dall esborso iniziale di più il corrispondente costo opportunità di 2.250, di cui disporremmo dopo un anno investendo nel progetto alternativo Fonte: Sistemi di controllo, Anthony et al. Matematica finanziaria pagina 10

11 Valore futuro Valore futuro (future value, VF) Il valore futuro è il montante ad una data futura di un capitale disponibile oggi come conseguenza della maturazione degli interessi Esempio - 1 periodo Investite al 12% annuo. Qual è il valore futuro tra un anno? VF = * (1 + 0,12) = determinato dalla somma iniziale di più 120 di interessi (12% * 1000 = 120) Matematica finanziaria pagina 11

12 Composizione degli interessi (1) Composizione degli interessi (compounding) Qual è il valore futuro di investiti per 2 anni al 12% annuo? Dopo un anno avete [ * (1 + 0,12)] Questa somma viene investita per un altro anno, sempre al 12%. Alla fine del secondo anno avete pertanto VF = *(1 + 0,12) = * (1 + 0,12) * (1 + 0,12) = 1.254,4 Nel secondo periodo la crescita del capitale è pari a 1.254, = 134,4 così composto 12% sulla somma iniziale ( 1.000) 120,0 12% sugli interessi del primo anno ( 120) 14, ,4 134,4 t t+1 t+2 Matematica finanziaria pagina 12

13 Composizione degli interessi (2) In altre parole, il calcolo degli interessi viene effettuato anche sugli interessi maturati nei periodi precedenti E perciò, in generale, se si investe ad un tasso annuo r per t anni, il valore futuro di ogni investito è pari a (1 +r) * (1 + r) *. * (1 + r) = (1 +r) t t volte Matematica finanziaria pagina 13

14 Composizione degli interessi (3) Esempio Interessi su 1000 dopo t anni ( ) r t= 1 t= 5 t= 10 t= 20 10% , , % 200 1, , , x 2.4x 3.3x 6.5x Il calcolo degli interessi viene effettuato anche sugli interessi maturati nei periodi precedenti r=10% r=20% Matematica finanziaria pagina 14

15 Composizione degli interessi (4) Regime di capitalizzazione semplice e regime di capitalizzazione composta a. Interesse composto di periodo in periodo gli interessi maturano anche sugli interessi maturati precedentemente (v. supra) Ad esempio, in regime di capitalizzazione composta il valore futuro di investiti al 12% annuo per 6 anni è VF = * (1 + 0,12) 6 = 1.973,8 b. Interesse semplice gli interessi vengono calcolati solamente sulla somma iniziale Ad esempio, in regime di capitalizzazione semplice il valore futuro di investiti al 12% annuo per 6 anni è VF = * (1 + 0,12 * 6) = Matematica finanziaria pagina 15

16 Valore attuale (1) Attualizzazione e valore attuale Il valore attuale è il valore oggi di una somma di capitale disponibile nel futuro Esempio - Attualizzazione - 1 periodo Quanto si deve investire oggi con un tasso annuo dell 11% per ottenere tra un anno? La risposta a questa domanda è il valore attuale di tra un anno all 11% Sappiamo dalle formule del valore futuro che VA * (1 + 0,11) = Pertanto VA = = 1.801,8 (1 + 0,11) Esempio - Attualizzazione - t periodi E per ottenere tra 5 anni? VA * (1 + 0,11) 5 = VA = = 1.186,9 (1 + 0,11) 5 Matematica finanziaria pagina 16

17 Valore attuale (2) Attualizzazione e valore attuale VF = VA * (1 + r) t Quattro variabili: VF, VA, r, t Date 3 qualsiasi di esse è possibile risolvere per la quarta r = (VF/VA) 1/t 1 t = lnvf lnva = ln (VF/VA) ln(1 + r) ln(1 + r) VA = VF (1 + r) t Matematica finanziaria pagina 17

18 Valore attuale (3) Esempio Se il vostro investimento raddoppia in 5 anni, qual è il tasso annuo? r = (2/1) 1/5 1 = 0,1487 = 14,87% Ad un tasso del 30% quanto tempo ci vuole affinché l investimento raddoppi? t = ln(2/1) / ln(1,3)= 2,64 anni Matematica finanziaria pagina 18

19 Valore futuro e valore attuale Future Value (FV) 8.00 r = 15% FV Factor r = 10% 2.00 r = 5% Time Valore Attuale (VA) PV Factor r = 5% r = 10% r = 15% Time Matematica finanziaria pagina 19

20 Flussi di cassa multipli Flussi di cassa multipli Esempio r = 9% con flussi di cassa alla fine del periodo Anno Flusso ( ) Qual è il VA della serie e qual è il VF dopo 7 anni? VA = = 5.077,7 (1,09) 1 (1,09) 4 (1,09) 6 VF = * (1 + 0,09) * (1 + 0,09) * (1 + 0,09) 1 = 9.282,3 = VA * (1 + r) t = 5.077,7 * (1 + 0,09) 7 = 9.282,3 Matematica finanziaria pagina 20

21 Annuity (rendita annua) (1) Annuity Serie di flussi di cassa costanti percepiti ad intervalli regolari (ogni anno) per un certo periodo di tempo Qual è il VA di una serie di flussi costanti C per T anni al tasso r? VA = C + C + C + + C + C (1 + r) 1 (1 + r) 2 (1 + r) 3 (1 + r) T-1 (1 + r) T (1) moltiplicando per (1+ r) (1+r) * VA = C + C + C + + C + C (1 + r) 1 (1 + r) 2 (1 + r) T-2 (1 + r) T-1 (2) sottraendo la (1) dalla (2) si ottiene r * VA = C C/(1+r) T VA = C - C * 1 r r (1+r) T Matematica finanziaria pagina 21

22 Matematica finanziaria pagina * 1 * 1 * FV 1 1 * T T T T r r C r C r r C r VA r r C r C VA Annuity (2) Valore futuro di una annuity Partendo dalla formula appena calcolata

23 Annuity (3) Numero di pagamenti / flussi di cassa di una annuity Partendo dalla formula appena calcolata C FV * r FV * r 1 C ln T 1 r T 1 T r 1 T r FV r * ln 1 C ln 1 r 1 *ln T 1 r ln 1 FV * r C Matematica finanziaria pagina 23

24 Annuity (4) Annuity VA Valore attuale C r * r T FV Valore futuro C r T * 1 r 1 Numero di pagamenti T FV r * ln 1 C ln1 r C Flussi di cassa FV * r 1 r T 1 Matematica finanziaria pagina 24

25 Annuity (5) Annuity Esempi C = r = 0,08 T = 6 Qual è il VA di un annuity della durata di 6 anni con pagamenti di al tasso r = 8%? VA = (C/r) * [1 1/(1+r) T ] = (4.000/0,08) * [1 1/(1 + 0,08) 6 ] = ,5 Prendete a prestito oggi al tasso del 12% e scegliete di ripagarlo con un annuity di 10 anni Qual è il pagamento annuale? = (C/0,12) * [1 1/(1 + 0,12) 10 ] C = /5,65 = 5.309,5 VA = r = 0,12 T = 10 Matematica finanziaria pagina 25

26 Perpetuity (rendita perpetua) (1) Perpetuity Si tratta di un annuity con flussi di cassa che continuano all infinito VA = C + C + C + (1 + r) 1 ( 1 + r) 2 (1 + r) 3 (1) moltiplicando per (1+ r) si ottiene (1+ r) * VA = C + C + C + (1 +r) 1 (1 +r) 2 (2) sottraendo la (1) dalla (2) otteniamo r * VA = C VA = C r Matematica finanziaria pagina 26

27 Perpetuity (2) Perpetuity Esempi C = r = 0,08 Qual è il VA di una perpetuity con pagamenti di nell ipotesi di un tasso di interesse r = 8%? VA = C/r = 4.000/0,08 = Quanto vale un obbligazione irredimibile (che non scade mai) che paga una cedola del 6% nell ipotesi di un tasso di interesse pari al 9%? VA = C/r = 60/0,09 = 667 C = 6% *1.000 r = 0,09 Matematica finanziaria pagina 27

28 Annuity vs perpetuity (1) Che relazione c è tra un annuity e una perpetuity? È facile verificare (sia graficamente che dalle formule) che una annuity per T periodi può essere pensata come la differenza tra una perpetuity da oggi e una perpetuity da T Annuity 0ggi VA = (C/r) (C/r) * [1/(1+r) T ] T Perpetuity 0ggi VA = (C/r) VA = (C/r) * [1/(1+r) T ] T VF = (C/r) Matematica finanziaria pagina 28

29 Piano di ammortamento del debito (1) Piano di ammortamento del debito Suddivide ciascun pagamento relativo al rimborso di un debito nelle due componenti di Rimborso del capitale Pagamento degli interessi Se il piano di rimborso deciso dai contraenti (di cui uno è tipicamente una banca) avviene a rate costanti, allora si prospetta la fattispecie dell annuity e di conseguenza si possono applicare tutte le formule ad essa riconducibili Matematica finanziaria pagina 29

30 Piano di ammortamento del debito (2) Esempio Il signor Rossi prende a prestito rimborsabili in cinque rate annuali costanti a partire dalla fine del prossimo anno A quanto ammonta ciascuna rata se il tasso di interesse applicato dalla banca è pari al 10% annuo? Piano di ammortamento del debito con rimborso a rate costanti Annuity VA VF C T Matematica finanziaria pagina 30

31 Piano di ammortamento del debito (3) In questo caso, l obiettivo è quello di calcolare il flusso di cassa di un annuity di 5 anni che oggi vale nell ipotesi di un tasso pari al 10% VA C r * r T VA = r = 0,10 T = 5 C VA* r 1 (1 r) T C 1.000*0,1 1 (1 0,1) 5 263,8 Matematica finanziaria pagina 31

32 Piano di ammortamento del debito (4) Esempio Example Constant Payment Mortgage Loan amount Term Interest rate Payment 5 10% 263,8 Year Beg. Bal. Principal Interest Payment End Bal ,0 163,8 100,0 263,8 836, ,2 180,2 83,6 263,8 656, ,0 198,2 65,6 263,8 457, ,8 218,0 45,8 263,8 239, ,8 239,8 24,0 263,8 0, La rata di ogni periodo è scomponibile nelle due componenti capitale e interessi La componente di interessi di ciascun periodo si calcola come prodotto tra il tasso di interesse applicato dalla banca (10%) e l indebitamento alla fine del periodo precedente La componente di rimborso del capitale in ciascun periodo è la differenza tra l ammontare della rata e la componente di interessi Payment Interest Principal La componente di rimborso di capitale è crescente e la componente di pagamento degli interessi è decrescente a formare una rata costante per T periodi Matematica finanziaria pagina 32

33 Piano di ammortamento del debito (5) Esempio Viene acceso un prestito bancario di da restituirsi mediante 7 rate annue costanti; si calcoli l importo della rata e la si scomponga nelle componenti di rimborso del capitale e di interessi C VA* r 1 (1 r) T Anno Indebitamento Inizio Fine Rata Capitale Interessi r=8% 1 5,000,000 4,439, , , , ,439,638 3,834, , , , ,834,447 3,180, , , , ,180,841 2,474, , , , ,474,946 1,712, , , , ,712, , , , , , , ,224 71,138 Matematica finanziaria pagina 33

34 Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (1) Tasso Annuo Nominale (TAN) e Tasso Annuo Effettivo (TAE) I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua, ma la liquidazione degli interessi può avvenire più di una volta all anno e quindi restituire un interesse effettivo (TAE) diverso da quello nominale (TAN) Esempio Si considerino le condizioni contrattuali offerte da due istituti bancari diversi per l apertura di un conto corrente La banca A offre queste condizioni : tasso attivo r del 4% con liquidazione degli interessi annuale La banca B offre lo stesso tasso ma con liquidazione degli interessi semestrale Si ipotizzi di depositare 100 in due c/c aperti presso le due banche Fonte: Finanziare le risorse dell impresa, Giudici Matematica finanziaria pagina 34

35 Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (2) Nel primo caso dopo un anno sarà possibile liquidare il conto ritirando 104 Nel secondo caso, invece, sarà possibile ritirare già dopo sei mesi la frazione degli interessi relativa al primo semestre e cioè 2 (la metà degli interessi pari al 4%) mentre a fine anno saranno liquidati sul conto anche gli interessi relativi al secondo semestre (altri 2) più il capitale iniziale t=0 t=1 t=0 t=1/2 t=1 100 Banca A 100 Banca B Calcoliamo i rendimenti effettivi TAE A e TAE B offerti dalle due banche Fonte: Finanziare le risorse dell impresa, Giudici Matematica finanziaria pagina 35

36 Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (3) Esse devono soddisfare le seguenti relazioni da cui TAE A = 4% TAE A da cui TAE B = 4,04% 1/ 1 TAE 1 TAE B B 102 La seconda banca offre dunque condizioni migliori. Infatti, il tasso di rendimento annuale del 4% con interessi composti ogni 6 mesi corrisponde ad un rendimento implicito del 4,04% Allo stesso risultato potremmo arrivare ipotizzando, nel caso del conto aperto presso la banca B, di non incassare gli interessi pagati dopo 6 mesi, ma di lasciarli sul conto, e ritirare il montante alla scadenza successiva Fonte: Finanziare le risorse dell impresa, Giudici Matematica finanziaria pagina 36

37 Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (4) In tal caso, gli interessi maturati dopo 6 mesi ( 2) genereranno a loro volta interessi, pari a 0,04, ovvero il 4% di 2 diviso 2 (visto che rimangono sul conto solo per altri 6 mesi) , t=0 t=1/2 t=1 100 Banca B Seguendo questa strategia, il rendimento effettivo TAE B sarà pari a 104, TAE B da cui ancora TAE B = 4,04% Fonte: Finanziare le risorse dell impresa, Giudici Matematica finanziaria pagina 37

38 Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (5) La lezione è che non si possono confrontare direttamente tassi di interesse con diversi regimi di capitalizzazione, anche se relativi alla stessa scadenza Inoltre, da quest ultimo esempio si vede chiaramente che il metodo dell attualizzazione dei flussi di cassa ipotizza implicitamente il reinvestimento dei flussi di cassa intermedi alle stesse condizioni contrattuali di remunerazione altrimenti non avrebbe alcun valore percepire un flusso finanziario prima della scadenza. E necessario quindi individuare un TAE che renda confrontabili i diversi regimi di capitalizzazione In generale, componendo m volte all anno con un TAN pari a r, si ha TAE = (1 + r/m) m 1 TAN = r = m * [ (1 + TAE) 1/m - 1 ] Matematica finanziaria pagina 38

39 Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (6) Esempio Se il TAN = 10%, si ottiene con Composizione semestrale TAE = (1 + 0,1/2) 2 1 = 10,25% Composizione mensile TAE = (1 + 0,1/12) 12-1= 10,47% Composizione settimanale TAE = (1 + 0,1/52) 52-1= 10,51% Esempio Se ad un prestito è associato un TAN del 16%, qual è il tasso annuo effettivo con rimborsi su base semestrale? TAE = (1 + r/m) m 1 = (1 + 0,16/2) 2 1 = 0,1664 o 16,64% Matematica finanziaria pagina 39

40 Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo globale (1) La necessità di definire un rendimento equivalente per confrontare diversi finanziamenti con diverso regime di capitalizzazione degli interessi ha spinto la Commissione Europea a rendere obbligatoria la pubblicazione del tasso annuo effettivo globale (TAEG), in contrapposizione al TAN, ogni qual volta venga proposto un finanziamento Il TAN corrisponde al tasso di interesse semplice, mentre il TAEG è un tasso effettivo che tiene conto non solo della composizione degli interessi, ma anche delle spese accessorie (come ad esempio diritti e spese di apertura pratica) che gravano sul consumatore Matematica finanziaria pagina 40

41 Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo globale (2) Esempio Si calcoli il TAEG di un finanziamento per l acquisto di un motorino pari a su 5 anni, rimborsabili con rate trimestrali costanti. Il TAN è pari al 5% e le spese accessorie per avviare la pratica sono pari a 20 Se non ci fossero spese accessorie, il finanziamento (in base alle formule precedenti) comporterebbe un TAE pari a TAN TAE ,0945% La rata trimestrale R comprenderà una quota-parte relativa al pagamento degli interessi e una quota-parte relativa alla restituzione del finanziamento : essa dovrà soddisfare la relazione t1 / 4step1/ 4 1 R TAE t da cui R = 142,051 Valore del finanziamento erogato Somma dei flussi di pagamento trimestrali attualizzati al TAE Fonte: Finanziare le risorse dell impresa, Giudici Matematica finanziaria pagina 41

42 Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo globale (3) Per calcolare il TAEG è sufficiente individuare il tasso che soddisfa la seguente relazione t1 / 4step1/ 4 1 R TAEG t In pratica, il finanziamento al netto delle spese accessorie deve essere uguale al valore attuale delle rate future corrisposte ad ogni trimestre per i prossimi 5 anni, attualizzato al costo effettivo globale del capitale Facendo i conti si ottiene un TAEG = 5,429% Si noti che è TAEG (> TAE) > TAN per il doppio effetto della composizione anticipata degli interessi e delle spese accessorie al finanziamento Fonte: Finanziare le risorse dell impresa, Giudici Matematica finanziaria pagina 42

43 Tassi di interesse non costanti Tassi di interesse non costanti Il tasso di interesse può variare lungo la durata dell investimento Esempio Se si investono 100 e si ottiene l 11% durante il primo anno, il 9% durante il secondo anno e il 13% durante il terzo anno, quale sarà il valore futuro dopo 3 anni? FV = 100 * (1 + 0,11) * (1 + 0,09) * (1 + 0,13) = 136,72 Qual è il VA di 100 tra 4 anni se i tassi di interesse sono l 8% (year 1), il 12% (year 2), il 6% (year 3) e il 13% (year 4)? 100 VA = = 69,02 (1 + 0,08) * (1 + 0,12) * (1 + 0,06) * (1 + 0,13) Matematica finanziaria pagina 43

44 Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali (1) Tasso di interesse reale vs nominale (Real vs nominal interest rates) Tasso di interesse nominale = tasso riferito a grandezze monetarie Investendo 100 per un anno al 10% 110 Cosa succede se l inflazione annuale è pari al 7%? Abbiamo bisogno di 107 alla fine dell anno per mantenere inalterato il potere d acquisto dell investimento iniziale Qual è il nostro real return, ovvero il tasso di interesse reale? (1+10%)/(1+7%) = 1,028 The real return is 2,8% Matematica finanziaria pagina 44

45 Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali (2) Siano r il tasso di interesse nominale. p il tasso di inflazione =(p 1 -p 0 )/p 0 ρ il tasso di interesse reale Il legame tra r e ρ è dato dalla relazione di Fisher (1965). (1+r) = (1+ ρ) * (1+p) Per dimostrare questa relazione si supponga di voler investire al tasso r una certa somma C che al periodo t = 0 permette di acquistare una quantità reale di beni pari a C/p 0 Al periodo t = 1 (cioè a distanza di un anno) sarà di conseguenza possibile capitalizzare il montante e acquistare una quantità di beni pari a C*(1+r)/p 1 Matematica finanziaria pagina 45

46 Tassi di interesse nominali vs tassi di interesse reali (3) Quindi il tasso di interesse reale ρ sarà C *(1 r) p1 C p 0 C p 0 Quest uguaglianza, rielaborata, genera la relazione di Fisher. Se p e ρ sono molto piccoli, allora vale l approssimazione ~. r = ρ + p È possibile utilizzare questa equazione per convertire tassi di interesse nominali in reali e viceversa Matematica finanziaria pagina 46

47 Definizione di valutazione (o analisi) degli investimenti e di investimento pagina 47

48 Valutazione o analisi degli investimenti Valutazione o analisi degli investimenti Corpus/insieme delle tecniche e degli strumenti che le persone e le imprese impiegano per decidere se effettuare meno un investimento che ha effetti di lungo periodo Esempi: lancio di un nuovo prodotto/linea di prodotti, acquisto di un nuovo macchinario Nuovo tipo di calcestruzzo Nuova linea di radiatori Nuovo escavatore La necessità di investire sul ciclo produttivo può essere dettata da vari fattori Sostituzione impianti per deterioramento fisico o obsolescenza tecnica Espansione delle operations Adeguamento a nuove leggi Adeguamento a nuove esigenze del mercato Miglioramento delle performance del ciclo produttivo pagina 48

49 Definizione di investimento (1) Investimento Un investimento I è un progetto che, a fronte di un assorbimento certo di risorse oggi, crea opportunità di generazione di reddito nel futuro Mettiamo sulla bilancia un esborso di cassa oggi e una serie di introiti di cassa futuri C t : flussi di cassa generati da I T : orizzonte temporale di I C 0 C 1, C 2 C T Il problema della valutazione degli investimenti è quello di operare un confronto tra i due piatti della bilancia per capire quale pesa di più pagina 49

50 Definizione di investimento (2) Dalla definizione risulta che un investimento è caratterizzato dalla presenza di flussi di cassa che hanno una diversa manifestazione temporale C 1 C 2 C 3 C 4. C T Diagramma dei flussi di cassa / Profilo temporale e dimensionale dell investimento tempo C 0 Esborso oggi Benefici futuri generati dall investimento Di conseguenza, per valutare la convenienza economica di un investimento (al fine di decidere se effettuarlo o meno) occorre saper confrontare entrate di cassa e uscite di cassa che si manifestano nel tempo in momenti diversi pagina 50

51 Valore attuale come strumento Il problema si risolve rendendo omogenei i flussi di cassa, convertendoli in flussi di cassa confrontabili, dunque come se avessero tutti manifestazione nel medesimo istante Come abbiamo visto, lo strumento per rendere confrontabili flussi di cassa con manifestazione temporale diversa è quello del valore attuale C 2 C T C 1 C 3 C 4. tempo C 0 VA(C 1 ) VA(C 2 ) VA(C T ) pagina 51

52 Modalità di classificazione degli investimenti pagina 52

53 Classificazione degli investimenti Valutare un investimento è uno dei compiti più importanti a cui è chiamata la divisione finanza di un impresa. E ciò perché sono proprio gli investimenti a garantire la prosecuzione delle attività aziendali e, in generale, il successo o l insuccesso dell impresa nel tempo Vi sono vari modi di classificare gli investimenti. I più usati sono Classificazione in base al grado di dipendenza Classificazione in base agli effetti prodotti Classificazione in base alla natura del progetto Classificazione in base al rischio del progetto pagina 53

54 1. Classificazione in base al grado di dipendenza (1) (1a) Investimenti alternativi (mutually exclusive) Due o più investimenti si dicono alternativi quando la realizzazione di uno rende impossibile o inutile la realizzazione degli altri Esempio : Un impresa deve rifare la propria rete informatica e valuta tre proposte (A, B e C) da altrettanti fornitori. Una volta scelta, ad esempio, la proposta B, le altre vengono escluse automaticamente (1b) Investimenti vincolati Si parla di investimenti vincolati ogni qual volta un dato progetto richiede che un secondo progetto sia implementato affinché si possano ottenere dei benefici netti Esempio: L acquisto di un immobile destinato ad un uso commerciale non garantirà di per sé flussi di cassa se esso non viene associato all acquisto di una licenza per l esercizio dell attività commerciale in questione In generale, gli investimenti vincolati vanno valutati assieme perché non generano effetti se implementati separatamente pagina 54

55 1. Classificazione in base al grado di dipendenza (2) (1c) Investimenti sequenziali Si incorre in investimenti sequenziali quando alla realizzazione di un progetto fa seguito la necessità di portare a termine altri progetti, normalmente in tempi diversi, per ottenere in modo completo i benefici del progetto originario Esempio : Si sta valutando la decisione di acquistare un impianto complesso, una parte del quale va incontro a rapida usura e perciò va rinnovata nel corso della vita utile dell impianto La valutazione, prima dell acquisto, riguarderà perciò la sequenza acquisto impianto + acquisto parte usurata (1d) Investimenti indipendenti Si parla di investimenti indipendenti quando è nullo il loro grado di dipendenza, quando cioè i benefici attesi futuri delle iniziative sotto osservazione non hanno alcuna correlazione pagina 55

56 2. Classificazione in base agli effetti prodotti (1) (2a) Investimenti che hanno esclusivo effetto sui costi Sono investimenti che, a parità di capacità produttiva, consentono condizioni di maggiore efficienza ed economicità Esempio : Si valuta l acquisto di un nuovo impianto che riduce considerevolmente gli scarti di produzione (2b) Investimenti che hanno esclusivo effetto sui ricavi Sono investimenti che, a parità di costi, consentono di aumentare il fatturato Esempio : Un impresa automotive valuta l investimento in un progetto di ricerca che attesti la maggiore affidabilità, durata e sicurezza delle proprie auto rispetto alla concorrenza. E ciò per poter aumentare il prezzo (senza contrarre la domanda) A questa decisione di investimento nella ricerca sarà concatenata quella di divulgazione dei risultati della stessa attraverso un adeguata campagna pubblicitaria (siamo perciò in presenza di investimenti sequenziali) pagina 56

57 2. Classificazione in base agli effetti prodotti (2) (2c) Investimenti che hanno effetto sul capitale circolante Sono investimenti che mirano a gestire più efficientemente le scorte di magazzino o che tendono a migliorare la politica dei crediti/debiti commerciali Esempio : Un impresa valuta l opportunità di investire in un sistema informatico dedicato alla tempestiva segnalazione di insolvenze da parte della clientela (2d) Investimenti che hanno effetto sul mix dei costi, dei ricavi e del capitale circolante Fra questi rientrano tutti i progetti di natura espansiva, che prevedono in sostanza un incremento delle vendite e di riflesso di tutte le grandezze aziendali prima citate Esempio : Ampliamento della capacità produttiva, lancio di nuovi prodotti, ingresso in un nuovo mercato pagina 57

58 3. Classificazione in base alla natura del progetto (1) Si tratta di una classificazione di ampio uso nella prassi aziendale perché consente di inserire il progetto in un ambito definito a chiunque desideri proporre un piano di investimenti e di far conoscere immediatamente l impatto strategico e operativo della scelta a chi deve decidere riguardo alla sua attuazione (3a) Progetti per la sicurezza e l utilità generale Sono iniziative necessarie per motivi di sicurezza, igiene, utilità sociale o mutamenti nella normativa Esempi : Investimenti in impianti anti-incendio, ascensori e montacarichi, uscite di sicurezza, servizi vari come mense, cucine, servizi igienici pagina 58

59 3. Classificazione in base alla natura del progetto (2) (3b) Progetti per l incremento della qualità Sono compresi in questa categoria tutti gli investimenti intesi al miglioramento della qualità percepita, sia in relazione ai prodotti finali sia in relazione ai processi di gestione Esempi : Istituzione di un centro controllo qualità, investimenti in formazione e addestramento del personale (3c) Progetti per l incremento della redditività Fanno parte di questa categoria tutti i progetti che mirano a contenere i costi o a espandere i ricavi Esempi: Acquisto di un impianto di maggiori dimensioni, lancio di una linea di produzione, acquisto di un impianto più efficiente, investimenti per la razionalizzazione della logistica pagina 59

60 4. Classificazione in base al rischio del progetto La rischiosità di un progetto di investimento è senza dubbio uno degli elementi che più influenza una decisione di lungo periodo Una cosa è infatti investire in BOT (titoli di stato a breve termine l investimento riskfree per antonomasia), un altra cosa è investire, ad esempio, su un nuovo prodotto in un nuovo mercato Vedremo come tener conto, nelle tecniche di valutazione degli investimenti che stiamo per approcciare, del diverso grado di rischio associato a ciascun progetto di investimento pagina 60

61 Elementi necessari alla valutazione economica di un investimento pagina 61

62 Gli elementi di un progetto di investimento Gli elementi necessari alla valutazione economica di un investimento sono (i) Il rendimento richiesto da chi investe (persona fisica o impresa) (ii) La durata dell investimento (iii) L ammontare dei flussi di cassa generati dall investimento (iv) L ammontare dell esborso connesso all investimento (v) Il valore finale o di recupero dell investimento I, : r, T, Ct, C0 V T per t = 1 T pagina 62

63 (i) Rendimento richiesto dal progetto, r (1) Il rendimento richiesto dal progetto è il costo opportunità del capitale, ossia il miglior rendimento alternativo a cui si rinuncia quando viene effettuato un investimento Nell ipotesi di assenza di rischio, si ha un solo costo opportunità che rappresenta il rendimento dei titoli di Stato a breve termine Pochi flussi di cassa sono però esenti da rischio e quindi occorre considerare questo fattore nella valutazione dei progetti In presenza di rischio esistono sul mercato tanti costi opportunità quante sono le classi di rischio e, al crescere del rischio di un investimento, cresce il costo opportunità Per indurre gli individui e le imprese ad investire su progetti più rischiosi è infatti necessario che questi prospettino rendimenti adeguati, dunque maggiori di quelli associati ad investimenti meno rischiosi r = r f + premio per il rischio pagina 63

64 (i) Rendimento richiesto dal progetto, r (2) I flussi di cassa relativi a progetti più rischiosi vanno dunque attualizzati ad un tasso di sconto più alto di quello di progetti meno rischiosi e questo costo opportunità dovrebbe riflettere la specifica classe di rischio del progetto Al riguardo, si confrontino i rendimenti medi annui, nel periodo , di tre categorie di titoli quotati alla Borsa di New York r f, tasso privo di rischio Investimento nel 1900 Risultato dell investimento nel 2003(a) Rendimento medio annuo (nominale) Rendimento medio annuo (reale) Premio medio per il rischio(b) Azioni $ 1 $ ,7 % 8,7 % 7,6 % Titoli di Stato a lungo termine Titoli di Stato a breve termine ,2 4,1 2,3 1,1 1,2 0 (a) Considerando che tutti i redditi da dividendi o da interessi siano stati reinvestiti nel portafoglio corrispondente. (b) Rendimento nominale dei titoli in oggetto meno rendimento nominale dei titoli di Stato a breve termine (Buoni del Tesoro). Fonte : Dimson E., Marsh P.R. e M. Staunton, Triumph of the Optimists : 101 Years of Investment Returns, Princeton University Press, Princeton, 2002 e successivi aggiornamenti, in Brealey, Myers et al., pagina 64

65 (ii) Durata dell investimento, T (1) La durata dell investimento o vita economica del progetto di investimento è il numero di anni nel corso dei quali si prevede che l investimento generi flussi di cassa La fine del periodo temporale che identifica la vita economica del progetto è denominata orizzonte temporale dell investimento (il termine suggerisce che oltre questo limite i flussi non siano più visibili) È difficile prevedere con precisione la vita economica di un investimento; è tuttavia importante stimare nel modo più accurato possibile questo elemento in quanto esso ha conseguenze significative sulla valutazione del progetto Quando si deve valutare la vita economica di un impianto su cui investire e si pensa alla sua vita utile, spesso emerge come la vita economica sia più breve della vita fisica e ciò accade perchè l obsolescenza tecnica (ossia la perdita di convenienza ad utilizzare l impianto a seguito del progresso tecnologico nel frattempo intervenuto) avviene prima del deterioramento fisico pagina 65

66 (ii) Durata dell investimento, T (2) Se, ad esempio, la vita fisica di un bene fosse di dieci anni ma se ne prevedesse l obsolescenza tecnica in cinque, allora la vita utile, e dunque la vita economica, del bene in parola sarebbe di cinque anni In considerazione delle incertezze connesse allo svolgimento delle attività di un organizzazione, la maggior parte dei manager applica criteri di prudenza nello stimare la vita economica dei progetti pagina 66

67 (iii) Flussi di cassa generati dal progetto, C t La valutazione di un progetto deve prevedere la stima dei flussi di cassa generati dal progetto medesimo, o flussi di cassa differenziali (rispetto alla situazione di status quo) E ciò perché i benefici economici di un investimento sono costituiti proprio dalle entrate incrementali di cassa, ossia dai maggiori incassi rispetto ad una situazione che non preveda l investimento In altre parole, i flussi di cassa differenziali Sono quei flussi che si rilevano esclusivamente in seguito all accettazione del progetto Vengono rilevati seguendo una logica di tipo if then Se l investimento viene effettuato, come cambieranno in ogni anno i flussi di cassa dell impresa lungo tutta la vita utile del progetto? pagina 67

68 Costi comuni, effetti collaterali, costi affondati (1) Nel processo di determinazione dei flussi di cassa generati (direttamente o indirettamente) dall investimento secondo un rapporto di causa-effetto, occorre saper correttamente considerare I costi comuni Gli effetti collaterali I costi affondati (o pregressi) I costi comuni sono quei costi che l impresa sosterrebbe anche qualora non attuasse l investimento Esempio : costi relativi al personale (insaturo) già presente in azienda che viene dedicato alla gestione del nuovo impianto cui l investimento si riferisce Tali voci NON vanno incluse tra i flussi di cassa incrementali pagina 68

69 Costi comuni, effetti collaterali, costi affondati (2) Gli effetti collaterali si riferiscono agli effetti, generati dall investimento, che si producono su altri comparti dell impresa Esempio : il lancio di una nuova linea di piastrelle contrae le vendite delle linee già in produzione e sul mercato Tali effetti vanno considerati nel calcolo dei flussi di cassa differenziali I costi affondati o pregressi (sunk costs) sono costi che l impresa ha sostenuto in passato in relazione alla valutazione del progetto di investimento e che non sono più recuperabili Esempio : costo di uno studio di mercato per la valutazione della domanda di un nuovo prodotto I sunk costs NON devono essere considerati costi incrementali ai fini della valutazione di un investimento in quanto l esborso si è già verificato e in una logica if-then sono comunque irrecuperabili Ai fini della decisione circa l investimento, devono essere considerate solamente le conseguenze future associate alle diverse alternative realizzabili oggi pagina 69

70 (iv) Ammontare dell investimento, C 0 (1) L investimento è l ammontare di risorse che un impresa sottopone a rischio se accetta un progetto a lungo termine I valori rilevanti per determinare l ammontare dell investimento sono gli esborsi differenziali (cioè le uscite di cassa che avranno luogo se il progetto sarà realizzato, ma che non avverranno se il progetto non sarà realizzato) Esempio : il costo del nuovo impianto, i costi di trasporto e istallazione del nuovo impianto, i costi sostenuti per addestrare i dipendenti all uso della nuova tecnologia Se l acquisto di una nuova immobilizzazione comporta la vendita di un immobilizzo esistente, gli incassi netti derivanti dalla vendita del bene che si aliena riducono l importo dell investimento I ricavi netti dalla cessione dell immobilizzazione esistente sono pari al suo prezzo di vendita meno i costi sostenuti per venderla, smontarla e rimuoverla, rettificati dagli eventuali effetti fiscali connessi ai ricavi da cessione pagina 70

71 (iv) Ammontare dell investimento, C 0 (2) Molti progetti comportano un unico impegno di risorse in un dato momento, convenzionalmente denominato momento zero o momento iniziale Per alcuni progetti gli esborsi finanziari richiesti sono ripartiti su un ampio periodo temporale Esempio : la costruzione di una nuova sede produttiva potrebbe richiedere uscite di cassa per diversi anni oppure la realizzazione di una prima unità il primo anno e di una seconda unità l anno successivo Per calcolare il VA del progetto tutti gli esborsi del progetto devono essere ricondotti ad un momento zero comune attualizzando le singole uscite di cassa Se l importo e la collocazione temporale degli esborsi presentano un grado di rischio significativamente più basso di quello delle entrate di cassa, allora altrettanto differenti saranno i tassi di attualizzazione applicati rispettivamente agli esborsi e agli incassi pagina 71

72 (v) Valore finale o di recupero dell investimento, V T Al termine della sua vita economica, un investimento potrebbe avere ancora un valore e come tale essere oggetto di alienazione da parte dell impresa Di conseguenza, questo valore finale o di recupero o di realizzo dell investimento (salvage o resale o terminal value) costituisce, in quel momento, una potenziale entrata di cassa Nel processo di valutazione economica dell investimento, il valore finale deve perciò essere considerato e, in particolare, deve essere attualizzato e sommato al VA delle altre entrate di cassa differenziali In tal modo, si ipotizza implicitamente che l incertezza associata al recupero del valore finale sia la stessa di quella associata agli altri flussi di cassa incrementali generati dal progetto di investimento pagina 72

73 Valutazione di un progetto di investimento A questo punto abbiamo in mano tutti gli elementi per valutare un progetto di investimento. Ma come si procede concretamente per effettuare la valutazione? Le fasi della valutazione economica di un investimento sono 1. Predisposizione dei conti economici differenziali ( = associati al progetto) prospettici ( = per t che va da 1 a T) 2. Calcolo della stringa degli utili netti differenziali prospettici 3. Effettuazione delle rettifiche e calcolo dei flussi di cassa futuri associati al progetto 4. Individuazione del tasso di attualizzazione appropriato 5. Attualizzazione dei flussi di cassa futuri mediante il tasso individuato pagina 73

74 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (1) Il direttore finanziario dell impresa Concimi & Giardini (C&G) sta valutando una proposta per la commercializzazione del guano come fertilizzante da giardino Il progetto richiede un investimento iniziale di 10 M per lo stabilimento e gli impianti. L investimento verrebbe ammortizzato in 6 anni a quote costanti. Gli impianti potrebbero essere smontati e venduti con un ricavo netto valutato attorno a 1 M nell anno 7. Questa cifra corrisponde al loro valore di realizzo Le previsioni sull impatto economico e patrimoniale del progetto Guano sono indicate nella tabella seguente e possono essere considerate il punto di partenza per la stima dei flussi di cassa ad esso associati Tutti i dati sono stati ricavati in base ai costi e ai prezzi di vendita correnti nell anno 0 pagina 74

75 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (2) Progetto Guano : Previsioni iniziali (dati in 000 ) Periodo Investimento (a) Fondo ammortamento Valore cont. netto di I Capitale circolante Totale attivo Fatturato Costo del venduto Altri costi(b) Ammortamento Utile ante imposte Imposte (t=33%)(c) Utile netto (a) Valore di realizzo. La differenza tra il valore di realizzo e il valore contabile ( 0) costituisce una plusvalenza tassabile. (b) Costi di impianto negli anni 0 e 1 e costi generali ed amministrativi negli anni dall 1 al 6. (c) Ipotizzando che nel complesso la C&G sia in utile, la perdita del progetto Guano negli anni 1 e 2 consente di diminuire il carico fiscale totale. A livello di progetto Guano, il risparmio fiscale costituisce cioè una componente positiva di reddito. Fonte : Brealey, Myers et al., pagina 75

76 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (3) Progetto Guano : Previsioni corrette per l inflazione attesa del 10% annuo(a) (dati in 000 ) Periodo Investimento Fondo ammortamento Valore cont. netto di I Capitale circolante Totale attivo Fatturato Costo del venduto Altri costi Ammortamento(b) Utile ante imposte Imposte (t=33%)(c) Utile netto (a) Si ipotizza che prezzi e costi crescano allo stesso tasso lungo la vita utile dell investimento. (b) I risparmi fiscali originati dall ammortamento non aumentano con l inflazione giacchè la legge fiscale permette di ammortizzare solo il costo storico dell impianto. Fonte : Brealey, Myers et al., pagina 76

77 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (4) Flusso di cassa a disposizione dell impresa (FCFF) I flussi di cassa vengono determinati rettificando l utile di esercizio Utile netto + Ammortamenti + Costo TFR - ΔCCN = Flusso di Cassa Operativo (OCF) Flusso di Cassa Operativo (Cash from Operations) - Investimenti (Flusso di Cassa per Investimenti) (Cash for Investing) + Disinvestimenti (Flusso di Cassa per Investimenti) (Cash from Investing) + Nuovi finanziamenti (Flusso di Cassa Finanziario) (Cash from Financing) - Dividendi (Flusso di Cassa Finanziario) (Cash for Financing) = Flusso di Cassa a disposizione dell impresa (FCCF Free Cash Flow for the Firm) pagina 77

78 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (5) Progetto Guano : Analisi dei flussi di cassa (dati in 000 ) Periodo Fatturato Costo del venduto Altri costi Ammortamento Utile ante imposte Imposte (t=33%) Utile netto Ammortamenti Variazione CCN Investimento Flusso di cassa disp Fonte : Brealey, Myers et al., pagina 78

79 Valutazione dei flussi di cassa : un esempio (6) L analisi dei flussi di cassa del progetto Guano non ha preso in considerazione il problema del suo finanziamento Implicitamente si è considerato come se il progetto fosse tutto finanziato tramite mezzi propri. Con questo approccio al problema, siamo in grado di separare l analisi della decisione di investimento da quella del finanziamento Una volta determinata la convenienza economica del progetto, si potrà analizzare separatamente il problema del finanziamento pagina 79

80 Criteri di valutazione degli investimenti pagina 80

81 Criteri di valutazione degli investimenti Valutazione di progetti indipendenti pagina 81

82 Criteri di valutazione di progetti indipendenti Tra i vari criteri, o tecniche, di valutazione di un progetto di investimento, quello considerato come il principale riferimento è il 1. Criterio del valore attuale netto (VAN o NPV) e approccio DCF A tale metodologia si affiancano diversi criteri alternativi, tra i quali i più diffusi sono 2. Il criterio del tasso interno di rendimento (TIR o IRR) 3. Il criterio del periodo di recupero (PB) I primi due criteri restituiscono una misura della redditività del progetto d investimento, il terzo invece offre una misura della liquidità dell investimento pagina 82

83 1. Il criterio del valore attuale netto (VAN) (1) Nella valutazione di un progetto di investimento, il VAN indica la variazione di ricchezza che l impresa ottiene dalla scelta di effettuare l investimento In particolare, il VAN di un progetto corrisponde al valore attuale dei flussi di cassa generati dall investimento al netto dell esborso (iniziale) per realizzare il progetto In altri termini, la metodologia del valore attuale netto si sostanzia nel calcolo della creazione/distruzione netta di ricchezza generata dall investimento mediante l attualizzazione al tempo t 0 di tutti i flussi di cassa in ingresso ed in uscita ad un tasso di sconto adeguato. Tale tasso deve riflettere sia il valore temporale del denaro sia il rischio del progetto Perché il tasso di sconto adeguato è il costo opportunità del capitale? Perché il costo opportunità del capitale corrisponde al rendimento del miglior impiego alternativo appartenente alla medesima classe di rischio del progetto in parola pagina 83

84 1. Il criterio del valore attuale netto (VAN) (2) Formula del valore attuale netto (VAN) (Net Present Value, NPV) VAN C 0 C1 (1 r) C2 (1 r) 2 C3 (1 r) 3... CT (1 r) T VAN C 0 T t1 C t 1 r t C 0, flusso di cassa corrispondente al costo dell investimento C t : {C 1 C T }, flussi di cassa futuri generati dall investimento relativi al tempo t : {1 T} r, costo opportunità del capitale T, orizzonte temporale dell investimento Rendimento di progetti alternativi appartenenti alla medesima classe di rischio cui si rinuncia investendo nel progetto Premio per sopportare un flusso di cassa posticipato nel tempo pagina 84

85 1. Il criterio del valore attuale netto (VAN) (3) Criterio di decisione Accettare il progetto se VAN > 0 L analisi del progetto di investimento ha rilevato che i benefici futuri, valorizzati oggi, sono superiori ai costi dell investimento e, quindi, che all effettuazione del progetto è associata una variazione di ricchezza positiva, ossia una creazione di valore Rifiutare il progetto se VAN < 0 L investimento ha un costo superiore ai benefici e quindi va rigettato perché distrugge valore pagina 85

86 VAN : un esempio (1) Riprendiamo il progetto Guano dell esempio precedente e valutiamone la convenienza economica con il metodo del VAN nel caso in cui il costo opportunità del capitale sia pari al 20% Progetto Guano : Analisi dei flussi di cassa (dati in 000 ) Periodo Utile netto Ammortamenti Variazione CCN Investimento Flusso di cassa disp VA dei flussi di cassa VAN L investimento crea ricchezza netta per 3,8 M e pertanto andrebbe intrapreso Fonte : Brealey, Myers et al., pagina 86

87 VAN : un esempio (2) Quale sarebbe stato il VAN in corrispondenza di un costo opportunità più basso, ad esempio del 15 %? r 0,15 t CF DCF CDCF Quale sarebbe stato, invece, il VAN in corrispondenza di un costo opportunità più alto, ad esempio del 22 %? r 0,22 t CF DCF CDCF pagina 87

88 Relazione inversa tra costo del capitale e VAN L esempio precedente mette in evidenza come il VAN di un progetto di investimento non sia invariante rispetto al tasso di sconto scelto per attualizzare i flussi di cassa futuri da esso generati La valutazione di un investimento dipende dal tasso di attualizzazione. In particolare, al crescere di r il VAN(r) diminuisce Interpretazione matematica Ovvia Interpretazione economica Al crescere del rendimento del migliore dei progetti in cui si potrebbe alternativamente investire, il valore del progetto in termini relativi - si contrae pagina 88

89 2. Criterio del tasso interno di rendimento (TIR) (1) Ad ogni investimento è associato un parametro, detto tasso interno di rendimento o TIR (internal rate of return, IRR), che corrisponde al tasso di attualizzazione che rende nulla la creazione di valore netto, ossia che determina un VAN pari a zero Tasso Interno di Rendimento Tasso che rende il VAN = 0 TIR : VAN (r = TIR) = 0 C T t t t TIR C 0 Matematicamente, quindi, il TIR costituisce il tasso di attualizzazione per cui il valore attuale dei flussi in ingresso eguaglia il valore attuale dei flussi in uscita Economicamente, il TIR rappresenta il rendimento effettivo dell investimento pagina 89

90 2. Criterio del tasso interno di rendimento (TIR) (2) Criterio di decisione Accettare il progetto se il TIR > r L analisi del progetto di investimento ha rilevato che il rendimento effettivo del progetto è superiore a quello del migliore tra gli impieghi alternativi appartenenti alla medesima classe di rischio Rifiutare il progetto se TIR < r L investimento ha un rendimento più basso di quello richiesto da chi investe e che è possibile ottenere dall impiego alternativo del capitale pagina 90

91 2. Criterio del tasso interno di rendimento (TIR) (3) Si consideri graficamente la relazione tra il VAN ed il costo opportunità del capitale Poiché il TIR è il tasso di attualizzazione che rende nullo il VAN di un investimento, il grafico aiuta ad individuare il TIR del progetto In generale valgono le seguenti corrispondenze biunivoche VAN > 0 VAN < 0 r < TIR r > TIR VAN(r) VAN > 0 VAN < 0 r < TIR r > TIR TIR Area di accettazione Area di rifiuto r pagina 91

92 TIR : esempio 1 Riprendiamo il progetto Guano dell esempio precedente e determiniamo il valore del TIR Periodo Flussi di cassa VAN TIR : VAN (r = TIR) = 0. Pertanto : = 0 (1+TIR) (1+TIR) 2 (1+TIR) 3 (1+TIR) 4 (1+TIR) 5 (1+TIR) 6 (1+TIR) 7 TIR = 27,36% pagina 92

93 TIR : esempio 2 (1) Si calcoli il TIR della seguente stringa di flussi di cassa (in 000 ) T C t VAN C1 C2 C6 C (1 TIR) (1 TIR) (1 TIR) = 0 (1 + TIR) (1+TIR) 2 (1+TIR) 3 (1+TIR) 4 (1+TIR) 5 (1+TIR) 6 TIR = 26,46% pagina 93

94 TIR: esempio 2 (2) Se il costo opportunità del capitale è pari al 14%, cadiamo nella regione di accettazione dell investimento r = 14% CF -10,000 3,000 3,000 3,000 4,000 4,000 6,000 CCF -10,000-7,000-4,000-1,000 3,000 7,000 13,000 DCF -10,000 2,632 2,308 2,025 2,368 2,077 2,734 CDCF -10,000-7,368-5,060-3, ,411 4,144 VAN VAN (r=0%) = 13,000 r =14% TIR=26,46% r VAN (r=14%) = 4,144 Area di accettazione VAN (r=26,46%) = 0 pagina 94

95 Calcolo del TIR (1) Come si calcola il TIR? È possibile calcolare il TIR utilizzando programmi basati su processi ricorsivi (ad esempio, excel ha la funzione TIR.cost) In alternativa è possibile utilizzare un approccio (manuale!) di tipo trial & error In particolare, l approccio trial & error si basa sull inserimento per tentativi di vari valori della variabile TIR fino al momento in cui l equazione VAN=0 è risolta Se si ottiene un VAN negativo, si prova con un tasso inferiore, che incrementa il VAN Viceversa, se il VAN è positivo, si prova ad incrementare il tasso di attualizzazione pagina 95

96 Calcolo del TIR (2) Esempio Year CF DCF 5% % % % ,1949% ,1950% % >0 10% >0 15% >0 20% < % % -4 VAN(15%)>0 e VAN(20%)<0, quindi sarà 15%<TIR<20% Approccio trial and error: TIR=15,194930% pagina 96

97 Calcolo del TIR (3) Per calcolare il TIR è possibile anche impiegare l interpolazione lineare, ricorrendo alla similitudine tra i triangoli rappresentati dalla linea tratteggiata VAN A d B % e 20% C r segmento BA = segmento da segmento BC segmento de IRR % ( 20 % 15 %) % ( ) E bene non usare un intervallo di interpolazione troppo grande poichè esso può dar luogo ad un risultato impreciso pagina 97

98 VAN o TIR : le trappole del TIR Molte imprese preferiscono usare il TIR invece del VAN per valutare la convenienza economica di un progetto di investimento Percentuale di CFO s che usano sempre una tecnica particolare per valutare gli I TIR VAN Tempo di recupero 57% 76% 75% Indice di redditività 12% 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Fonte : GrahamJ.R. e C.R: Harvey, The Theory and Practice of Finance: Evidence From the Field, Journal of Financial Economics, 61, In realtà il VAN è il miglior criterio di scelta degli investimenti perché il criterio del TIR contiene diverse trappole pagina 98

99 Trappola 1 : investimenti ritardati (1) Si consideri il seguente esempio -- Una casa editrice offre ad un importante exmanager 1 milione di $ per scrivere un libro sulle proprie esperienze di business. Egli stima che gli serviranno tre anni per scrivere il libro e che il tempo speso nella scrittura gli farà perdere fonti di reddito alternative per un totale di 500 mila $ l anno. Inoltre stima un costo del capitale del 10% Il profilo dell investimento si configura nel modo seguente (in 000 $) Anno t=0 t=1 t=2 t=3 Cash flow Risulta TIR = 23,38% > r = 10 % VAN (r = 10%) = - $ I da accettare I da rifiutare? pagina 99 Fonte : Berk et al., 2009.