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1 Equalizzazione. Considerazioni generali Il progetto di un ricevitore ottio a lo scopo di iniizzare la probabilità d errore in presenza di ruore e di interferenza di intersibolo (ISI. Il criterio di Nyquist specifica quali sono le condizioni nel doinio delle frequenze a cui deve soddisfare l ipulso ricevuto per non avere interferenza di intersibolo. Genericaente queste condizioni non sono soddisfatte, a eno ce non si equalizzi il canale, cioè non si filtri per copensare le distorsioni ce il canale introduce. Questa operazione, se virtualente è in grado di eliinare l intersibolo, può introdurre un innalzaento del livello di ruore, innalzaento ce deve essere confrontato con il beneficio dell aver ridotto l ISI. In ultia analisi infatti l unica cosa ce interessa è la riduzione della probabilità d errore, coe effetto coplessivo e non soltanto dell ISI o soltanto del ruore al decisore. Il ricevitore ottio ce sfrutta il criterio di assia verosiiglianza (il axiu lieliood sequence detector, MLSD eliina soltanto la parte anticausale dell ISI e quindi non eliina del tutto l intersibolo. Il progetto del ricevitore infatti coprende il filtro nuerico anticausale detto equalizzatore precursivo ce serve ad eliinare l ISI pria di (ISI anticausale ed a renderlo onico (strettaente decrescente. La struttura del ricevitore ce coprende: il filtro adattato, il capionatore e l equalizzatore precursivo è ciaata witened atced filter (WMF, filtro adattato sbiancante, dato ce a la proprietà di rendere il ruore in uscita a densità spettrale di potenza costante nella banda [,/ ]. Successivaente ad un WMF si può pensare di ridurre ulteriorente l effetto coplessivo di ruore e ISI ediante l uso di tecnice note coe equalizzazione. Esistono vari tipi di equalizzazione. Per esepio il criterio di equalizzazione del tipo zero-forcing (ZF riesce ad eliinare copletaente l ISI; il criterio di equalizzazione del tipo ean-square error (MSE invece iniizza la soa dell ISI e del ruore al dispositivo di soglia, dato ce l eliinazione totale dell ISI potrebbe, in qualce caso, auentare eccessivaente il contributo di ruore alla soglia (questo dipende dal livello e dalla fora della densità spettrale di potenza del ruore. I etodi di equalizzazione si possono dividere inoltre in due grandi categorie: quelli ce suppongono note le caratteristice del canale e quelli ce invece le suppongono ignote. In questo secondo caso è necessario costruire filtri di equalizzazione ce si adattino alle caratteristice del canale alla cieca (blind equalization e in qualce caso- siano ance pronti a cabiare quando il canale varia le sue caratteristice (equalizzazioni adattative. t. Risultati ottenuti e figura di erito Si ricordi il risultato principale ottenuto nel progetto del filtro nuerico MLSD in presenza di ruore gaussiano e bianco ed in presenza di ISI. L uscita di questo ricevitore (uscita nuerica, cioè sequenza di capioni a le seguenti proprietà: I capioni anno lo stesso rate dei siboli in ingresso al trasettitore (cosa non ovvia nei sistei di ricezione, coe si vedrà con l equalizzazione fractionally spaced Il canale equivalente, coprendente cioè generatore di fore d onda, ezzo trasissivo e ricevitore, è causale e a fase inia. Quindi l energia della sua risposta all ipulso è concentrata assiaente nei prii capioni. Il ruore in uscita è gaussiano, bianco e circolarente sietrico. Quindi i capioni di ruore sono indipendenti. Detto S ( lo spettro del segnale nuerico in uscita dal filtro adattato (la trasforata di Fourier di ( e cioè l uscita, capionata, dal filtro adattato e G G (/ z la sua fattorizzazione, la

2 varianza dei capioni di ruore vale: N, dove N è la densità spettrale di potenza onolatera del ruore in ingresso al ricevitore. Nel caso di ruore in ingresso non bianco si diostra facilente ce la struttura precedente è facilente generalizzabile. Quindi si supporrà sepre il ruore bianco. Il ricevitore MLSD risulta ottio in assenza di ISI, oppure, in presenza di ISI eliina solo la sua parte causale. uttavia in pratica un ricevitore MLSD è usato raraente per un paio di otivi. Prio percé è difficile da ipleentare: la sua coplessità coputazionale cresce esponenzialente con il tepo, a eno ce non si utilizzi un algorito alla Viterbi. In tal caso la sua coplessità coputazionale riane costante col tepo, a è necessario tenere in eoria un nuero di caini ce cresce con la eoria del canale. Inoltre si deve sepre supporre noto il canale per costruire un filtro di ricezione ce sia adattato ad esso. Si deve infine supporre di costruire un equalizzatore precursivo di coplessità ance olto grande, cosa a cui noralente si rinuncia per otivi di costo. Il otivo più pratico per cui si rinuncia a costruire ricevitori MLSD sta nel fatto ce nei sistei di trasissione nuerica ad alte prestazioni si utilizzano particolari tipi di codifica con controllo (e correzione dell errore ce perettono di arrivare facilente ai liiti della capacità di canale ance in presenza di ISI oderato, senza necessità di utilizzare coplessi ricevitori MLSD. Infine la S ( realizzabilità di tale ricevitore è soggetta alla possibilità ce possa essere sepre fattorizzato, condizione per nulla ovvia. In generale si può dire ce se è una funzione razionale fratta la scoposizione è assicurata; più in generale è necessario ce sia assolutaente integrabile il log S (condizione di Paley-Wiener. Per un ricevitore progettato in base al criterio di inia distanza la probabilità d errore vale: S ( din P Q, ( Dove è il nuero edio di segnali a inia distanza e è la distanza euclidea inia tra i segnali della costellazione scelta per la trasissione. Poicé tale probabilità d errore è poco sensibile a, rispetto alla sensibilità ce ostra nei confronti della funzione, può essere utile definire coe paraetro di erito il valore. Un buon ricevitore avrà valori alti di, sebbene per stabilire definitivaente la qualità del ricevitore si deve sepre deterinare il valore di (copreso quindi. Liite della figura di erito in assenza di ISI per il ricevitore WMF Si supponga di essere in presenza di un singolo sibolo trasesso su canale, a a (in odo tale ce l effetto dell intersibolo sia forzataente nullo ance in presenza di un canale ce genera ISI, e con un ricevitore WMF. Questo ricevitore è sostanzialente forato da un filtro adattato, un capionatore e l equalizzatore precursivo (ce riuove la parte anticausale dell ISI. Il odello di questo sistea, coprensivo del canale può essere sceatizzato da un filtro nuerico in cui entrano coe capioni i siboli ( a, in realtà quindi un solo sibolo ed escono i capioni del segnale a cui è soato il ruore Z (bianco, gaussiano e circolarente sietrico: w a g Z (. Infatti, poicé il sibolo trasesso è unico, allora se in ingresso al precursor, d in Q P Infatti si a: w a g, ag in presenza di un solo sibolo.,

3 equalizer si a a, all uscita si a la risposta all ipulso del precursor equalizer : w a g a g, (terine di ruore a parte., La distanza inia tra i capioni in uscita, al variare dei siboli dell alfabeto di ingresso è quindi: ( ( d in a g a g a g ( in,, in ( ( dove a e a sono due differenti siboli e la iniizzazione è effettuata su tutte le possibili coppie tali ce:. Inoltre è la inia distanza tra i siboli dell alfabeto in trasissione. Quindi la figura di erito per il ricevitore con il filtro adattato (Matced Filter, MF vale: ( ( a a a in, MF d ain, g in ain / E a in ain N / N N (3 dato ce S S j Z ( e N /, segue ce la parte reale a varianza G G (/ z, nel doinio tepo-discreto: ( g. N, ; inoltre, poicé L equazione (3 coincide con l argoento del rapporto segnale ruore per un -PS (a parte il contributo di, dato ce E, cioè l energia della fora d onda ricevuta. Questa figura di erito si può interpretare coe un rapporto segnale ruore, dato ce a nueratore vi è l energia dell ipulso ricevuto oltiplicato per la distanza inia dei siboli trasessi, e a denoinatore vi è la densità spettrale di potenza (bilatera, cioè N / del ruore bianco presente sul ezzo trasissivo. a in Liite della figura di erito in presenza di ISI per il ricevitore MLSD Il ricevitore ottio ce sfrutta il criterio di assia verosiiglianza (ce equivale al criterio di inia distanza dei siboli al ricevitore secondo la nora euclidea è l MLSD. Questo ricevitore in presenza di ISI a prestazioni inferiori del ricevitore WMF in assenza di ISI: abbiao infatti visto ce i due ricevitori sono la stessa cosa, quindi è coe confrontare le prestazioni dello stesso ricevitore in presenza ed in assenza di ISI. Ciaraente la presenza di ISI (sebbene l MLSD eliina la sua parte causale peggiora la figura di erito, quindi ci aspettiao ce MLSD. nzi la MF differenza tra le due quantità quantifica l effetto dell ISI sul progetto del ricevitore. Infine c è da osservare ce qualunque equalizzazione si provi ad effettuare, questa non potrà counque igliorare le cose rispetto all MLSD. Quindi la inore distanza tra la figura di erito ce si può deterinare per un progetto di ricevitore equalizzato, rispetto alla figura di erito dell MLSD dà la bontà di tale etodo di equalizzazione. La figura di erito di un ricevitore MLSD in presenza di ISI è data da: din MF / N, (4 in in Dove d w a g (vedi la forula (7 del capitolo: Progetto del ricevitore. a,,

4 La quantità a w w, ce rappresenta l uscita dall equalizzatore precursivo, si può ance scrivere coe: g,, cioè la convoluzione tra la sequenza di siboli e l equivalente nuerico del filtro in ricezione a cui si soano i capioni di ruore bianco. Se in particolare si suppone ce il ruore abbia provocato una equivocazione sulla scelta del sibolo: a ~ al posto di a, allora si può scrivere coe ( a a ~ g,. Quindi la distanza inia diventa: in in in (,, in in a,,, a a. d a a g g a a a [Nella disuguaglianza si è supposta un ipotesi conservativa, cioè ce la iniizzazione sia stata effettuata su un insiee di eventi d errore liitato e ce quindi le due sequenze differiscano soltanto di un sibolo, quello ce dà distanza inia]. La relazione precedente ostra ce il quadrato della distanza inia in un ricevitore MLSD è sepre inore, al più uguale, al quadrato della distanza inia trovata in assenza di ISI: din ain / e ce quindi il ricevitore WMF in assenza di ISI a prestazioni sepre superiori a quello MLSD in presenza di ISI: MLSD a in N a in N MF. (5 3. Equalizzazione lineare zero-forcing La pria cosa ovvia ce si può fare per equalizzare il canale è quella di eliinare ance la parte causale dell ISI all uscita di un ricevitore ottio WMF. Si ricordi infatti ce tale ricevitore consiste di un filtro adattato, un capionatore ce funziona alla frequenza con cui arrivano i siboli (sybol rate e di un precursor equalizer pria del decisore. La funzione di questo precursor equalizer è di rendere causale e onico l ISI, pur antenendo bianco il ruore. Ora, se noi poniao un filtro nuerico dopo l equalizzatore precursivo per annullare l effetto causale dell ISI, stiao praticaente eliinando la pesatura residua ce riane sul segnale in uscita dall equalizzatore precursivo. Vediao i vari passaggi attraverso il sistea (senza considerare per ora il ruore: y( t a ( t passa attraverso il filtro di ricezione u( t y( t ( t a ( ( t d u ed è capionato a passo u( t a ( ( d a (, la cui trasforata è: U( S U( W G ( z G (/ z G G (/ ll uscita dell equalizzatore lineare coplessivo indicato in figura si a quindi: W V a z, G

5 ce corrisponde alla sequenza V a, cioè, idealente, i siboli trasessi dal trasettitore. y(t ( t filtro accopiato capionatore t= u equalizzatore precursivo / G (/ z w / G V equalizzatore lineare a V N Z, SZ S Figura : scea di un equalizzatore zero-forcing In realtà, a causa della presenza del ruore si dovrà effettuare una decisione in terini di nora euclidea. Il odello del canale quindi diventa quello indicato in figura, dove il sibolo trasesso giunge inalterato in uscita dal sistea forato dal generatore di fore d onda, ezzo trasissivo e ricevitore. uttavia a questo odello si deve aggiungere il ruore ancora gaussiano, a non più bianco, dato ce lo era all uscita dell equalizzatore precursivo: N SZ N S con soltanto l equalizzatore precursivo G (/ z G S N S S S Z N S con l equalizzazione lineare zero-forcing [Si noti ce per S ( si a: S( S (/ z ]. utto il progetto presuppone ce il filtro nuerico / G si possa costruire, e ce quindi sia un filtro a fase inia. nce l eventuale presenza di zeri sul cercio unitario non è peressa, dato ce i corrispondenti poli sarebbero anc essi sul cercio unitario, rendendo il ruore di varianza infinita. La figura di erito di questo equalizzatore si ricava facilente dall osservazione ce il segnale in uscita è la soa del sibolo in ingresso con aggiunto del ruore non bianco e di varianza (sola parte reale: G ( / / jf N N SZ ( z e df df S j f S ( e dove con S si indica la edia aritetica della quantità S. Data una funzione f ( x su un intervallo, la sua edia aritetica è definita coe: f f ( x dx,. La edia geoetrica è invece definita coe:

6 Il calcolo precedente si può fare facilente se si osserva ce è uguale al prio coefficiente della serie di Fourier in cui si può scoporre lo spettro razionale S. (Infatti la funzione periodica di periodo / e quindi scoponibile in serie di Fourier. L integrale precedente rappresenta proprio, per definizione, il prio coefficiente della serie. Questo coefficiente è il terine oltiplicativo di z nella trasforateta.. La figura di erito vale allora: S è din ain ain LE ZF S (6 N S / N Esepio. at Si supponga ce l ipulso ricevuto sia pari a: ( t ae u( t, con u (t il gradino unitario e l energia dell ipulso. Il calcolo dell autocorrelazione capionata all uscita del capionatore porta a a: ( a ( e, a cui corrisponde uno spettro: S, e. Questa è una ( z ( funzione razionale fratta con due poli in posizioni reciproce: uno in posizione, l altro in posizione. L equalizzatore precursivo è forato dal filtro nuerico: ( ( / ce risulta FIR ed anticausale (ipleentabile coe un FIR norale più un singolo ritardo. Inoltre il suo zero è esterno alla circonferenza di raggio unitario. Il blocco successivo, ce costituisce la parte ce copleta l equalizzatore lineare a funzione di trasferiento ( z e quindi è costituito da un seplice filtro FIR causale a fase inia con risposta all ipulso fatta da due capioni. Scoponendo in fratti seplici S si ottiene ce il prio coefficiente dello sviluppo in serie,, ( vale:. ( La figura di erito è quindi: LE ZF ain (7 N e va ero per, coe ciaraente ci si aspetta, dato ce per il polo di cercio di raggio unitario e quindi la funzione di trasferiento diventa instabile. S ( S ( z va sul 4. Equalizzazione zero-forcing decision feed-bac L equalizzazione zero-forcing decision feed-bac (DFE è una equalizzazione non lineare ce si usa spesso quando non vi è precodifica in trasissione. Ha prestazioni ce sono interedie tra quelle del ricevitore MLSD e LE, a risulta leggerente più coplesso dell LE. Ricordiao ce la struttura dell WMF è quella ce dà luogo al odello equivalente di canale sceatizzato in figura, poicé dopo l equalizzatore precursivo l ISI dipende soltanto dai siboli passati (cioè è causale. Ma i siboli passati, salvo errori, sono noti e quindi possono essere f exp ln f ( x dx G, e non varia al variare della base del logarito. Poicé inoltre vale sepre la disuguaglianza: log f ( x dx log f ( x dx, allora si a ce: f f, con uguaglianza solo se f (x è costante sull intervallo G,,.

7 utilizzati per tentare di correggere l ISI sul sibolo attuale, eliinando l intersibolo ce generano su questo. In altre parole: la stia dei siboli passati è confrontata con il sibolo in arrivo per eliinare l ISI causale ce si soa ad esso. L anello di retroazione ce ne deriva è stabile, dato ce se è a fase inia, è strettaente causale (cioè non a ritardi nulli, cosa ce in un anello in retroazione non si potrebbe realizzare. La struttura retroazionata si può realizzare se, infine, non eri sul cercio di raggio unitario (è cioè strettaente a fase inia. nalizziao soltanto l anello retroazionato. Sia l ingresso all anello e l uscita. Si a: ( Y( Y( G( Y( Y( G( G( ce è quanto vogliao per eliinare la parte causale dell ISI. G ( G ( Y( G y(t ( t filtro adattato u(t capionatore t= u equalizzatore precursivo / G (/ z w a ( G w Z Figura : odello di un ricevitore WMF a G ( w - decisore â Z G Figura 3: scea di un equalizzatore DFE L equalizzatore ce ne risulta è allora in grado di eliinare la parte causale di ISI (perfettaente in assenza di errori su canale ed è quindi un equalizzatore post-cursivo (coe l equalizatore precursivo eliina la parte anticausale dell ISI. La struttura ce ne risulta è ostrata in figura 3 e si può giustificare nel odo seguente. Si supponga ce non vi sia ruore su canale. In questo caso all ingresso dell equalizzatore postcursivo giungerebbe V G( G a z e quindi all ingresso del decisore si avrebbe esattaente G( a z a :

8 Questa proprietà non cabia se si pone il decisore all interno dell anello di retroazione, poicé in assenza di ruore il decisore non a alcun effetto sul segnale. In presenza di ruore invece l effetto del decisore dentro l anello è addirittura benefico, dato ce il suo scopo diventa quello di eliinare ogni ruore ce altrienti ricircolerebbe nell anello di retroazione. Inoltre poicé l uscita del decisore è sepre liitata, l aver osso il decisore dentro l anello a reso l anello di retroazione intrinsecaente stabile, persino se avesse uno zero sulla circonferenza di raggio unitario (l anello di retroazione infatti è un sistea non lineare. Naturalente se vi sono degli errori al decisore, l ISI generato da un dato sibolo sui siboli futuri è errato e quindi l ISI ce viene copensato sui siboli futuri con tale decisione errata sarà anc essa errato. Questo effetto produce quindi propagazione dell errore. G ( La figura di erito di un ricevitore DFE è olto seplice da calcolare. Infatti, poicé all ingresso del decisore tutto l ISI passato è stato corretto, la distanza inia è proprio la distanza inia tra i siboli dell alfabeto trasesso, a. Inoltre il ruore all ingresso del decisore è lo stesso ruore in ce c è all ingresso di un ricevitore WMF e quindi vale:. La figura di erito vale quindi: N / a in a in DFEZF S (8 N / N G dove con S G si indica la edia geoetrica della funzione S, ce è facile da calcolare quando tale funzione è razionale fratta (vale. ale anipolazione del risultato a lo scopo di confrontare questa figura di erito con quella già deterinata per l equalizzatore lineare. Esepio. Riprendiao l esepio in cui si a uno spettro della funzione di autocorrelazione capionata ( a all uscita del filtro di ricezione pari a: S, e. Questa è una funzione ( z ( razionale fratta e in tal caso il calcolo della sua edia geoetrica è olto seplice: (. a N La figura di erito di un equalizzatore DFE vale: in (. Il rapporto tra le due DFEZF DFE ZF figure di erito trovate (per lo stesso esepio vale:. Poicé questo nuero è sepre l equalizzatore DFE risulta igliore di quello LE. E quindi diostrato ce la figura di erito di un equalizzatore DFE cade sepre tra le figure di erito di un equalizzatore LE ed un equalizzatore MLSD: LEZF LE ZF DFEZF MLSD (9 La spiegazione intuitiva sta nel fatto ce nel DFE l ISI postcursivo è cancellato senza l innalzaento del ruore, grazie alla presenza del decisore nell anello di retroazione, decisore ce peraltro cancella il ruore in feed-bac. 5. Pre-codifica in trasissione La pre-codifica in trasissione parte da un presupposto olto seplice. Poicé in trasissione i siboli passati si conoscono senza possibilità di errore, è possibile effettuare una cancellazione dell ISI causale (la parte ce noralente viene cancellata da un post-cursor equalizer direttaente in trasissione.

9 Questa tecnica tuttavia a un grande svantaggio: essa suppone ce lo spettro della risposta all ipulso dell equalizzatore post-cursore,, sia noto esattaente. Ciò non è quasi ai vero, dato ce questo spettro (e la sua corrispondente risposta all ipulso dipendono dal ezzo trasissivo ce non è noto a priori e ce può addirittura essere (ance se lentaente tepovariante. uttavia, facendo questa ipotesi, l idea di base da cui parte l equalizzazione con precodifica in trasissione è ce il odello del canale (coprensivo di: ezzo trasissivo, filtro di ricezione e equalizzatore precursivo,, e l equalizzazione postcursiva,, siano entrabi sistei lineari tepo-invarianti (naturalente questa è solo un approssiazione di sistei reali e quindi il sistea di trasissione coplessivo non subisca odifice se questi si scabiano tra loro, cioè l equalizzazione postcursiva viene posta in trasissione. Con questa operazione vi sono due vantaggi: a. Poicé al ricevitore riane lo scea del WMF, il ruore al decisore è il ruore odellato nel ricevitore WMF, e cioè un ruore gaussiano e bianco. Quindi nonostante l uso della equalizzazione, il ruore non subisce auenti, dato ce l equalizzazione è fatta pria ancora ce il ruore sia introdotto b. La probabilità d errore può essere sensibilente inferiore a quella deterinata con l equalizzazione DFE, dato ce la cancellazione postcursiva è fatta in trasissione dove non c è alcuna possibilità ce un errore si propagi, coe invece accade nell anello di retroazione del DFE. G ( a G Nel trasettitore in figura ai siboli si sostituiscono i siboli, ottenuti filtrando i siboli attraverso il filtro G. Il segnale trasesso diventa quindi la sequenza x, tale ce a (. G( G x a - x ( G decisore G Z trasettitore odello del canale Figura 4: equalizzazione DFE con pre-codifica in rasissione Questo seplice etodo di equalizzazione counque non è pratico, dato ce auenta la potenza edia e di picco del segnale trasesso. È proprio per questo ce lo scea proposto non utilizza sepliceente il filtro G, a uno scea ad anello in retroazione. ll interno di quello scea infatti è possibile una seplice odifica (qui non illustrata ce perette, pur antenendo invariato lo scea di precodifica, di abbassare la potenza edia e di picco dei siboli trasessi.