Equazioni differenziali ordinarie: problemi a valori al bordo

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1 Cpitolo 7 Equzioni differenzili ordinrie: problemi vlori l bordo 7.1 Equzione di Lplce in un dimensione e funzione di Green Si consideri l semplice equzione del secondo ordine, equzione di Lplce in un dimensione u (x) = x (, b) (7.1) cui si ssocino le condizioni l bordo (condizioni di Dirichlet o condizioni del primo tipo) u() = α u(b) = β (7.2) Dl teorem fondmentle del clcolo integrle per ogni funzione u continu con derivte prime e seconde continue, si h u(x) = c 1 + u (t)dt u (t) = c 2 + t u (s)ds D (7.1) si h u (t) = c 2, si ottiene llor che l soluzione h espressione u(x) = c 1 + c 2 (x ) Imponendo le condizioni l bordo si ottengono le costnti c 1 e c 2 c 1 = α c 2 = β α b L soluzione è l rett u(x) = β α b x + (α β α b ) Si osserv che l soluzione dell equzione di Lplce in un dimensione soddisf un principio del mssimo, ovvero ssume il vlore mssimo e il vlore minimo sul bordo. Si consideri or l equzione di Poisson in un dimensione cui si ssocino le condizioni l bordo di Dirichlet omogenee u (x) = f(x) x (, b) (7.3) u() = u(b) = (7.4) 91

2 92CAPITOLO 7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI AL BORDO con f(x) funzione continu in [, b] 1 Si suppone, per semplicità, = e b = 1. Si vuole esprimere l soluzione del problem (7.3) (7.4) nell form u(x) = 1 G(x, t)f(t)dt (7.5) per f C([, 1]). L funzione G(x, t) è dett funzione di Green ed h espressione t(1 x) per t x G(x, t) = x(1 t) per x t 1 (7.6) Dimostrzione. Procedendo come per l equzione di Lplce, dl teorem fondmentle del clcolo integrle, per ogni funzione u C 2 ([, 1]) si h D (7.3) si h u(x) = c 1 + u (t)dt u (t) = c 2 + u (t) = c 2 t f(s)ds e si ottiene llor che l soluzione h espressione ( t u(x) = c 1 + c 2 x t ) f(s)ds dt u (s)ds Quest espressione rppresent l soluzione generle dell equzione differenzile (7.3). Utilizzndo le condizioni l bordo u() = u(1) =, si determinno le costnti rbitrrie c 1 e c 2 c 1 = c 2 = 1 ( t ) f(s)ds dt Pertnto, l espressione dell soluzione del problem i vlori l bordo è ( t ) 1 ( t ) u(x) = f(s)ds dt + xf(s)ds dt (7.7) Possimo scrivere quest espressione in un form più conveniente. Considerimo l funzione usiliri Integrndo per prti si ottiene ( t ) f(s)ds dt = F (t) = t = xf (x) f(s)ds F (t)dt [tf (t)] x tf(t)dt = tf (t)dt (x t)f(t)dt 1 Un funzione g(x) continu su (, b) è continu nell intervllo chiuso [, b] se esistono i due limiti lim x + g(x) e lim x b g(x).

3 7.1. EQUAZIONE DI LAPLACE IN UNA DIMENSIONE E FUNZIONE DI GREEN 93 In modo nlogo si ricv 1 ( t ) f(s)ds dt = llor possimo scrivere l (7.7) nell form 1 (1 t)f(t)dt ovvero u(x) = u(x) = (x t)f(t)dt + 1 (x t)f(t)dt + x(1 t)f(t)dt + x x(1 t)f(t)dt (7.8) 1 x(1 t)f(t)dt = t(1 x)f(t)dt + 1 x x(1 t)f(t)dt Se introducimo l funzione di Green come in (7.6) si h l espressione (7.5) per l soluzione u(x). 2 L funzione di Green gode delle seguenti proprietà: G(x, t) è continu in x e in t; G(x, t) è simmetric, ovvero G(x, t) = G(t, x) (legge di reciprocità); G(x, t) è un funzione linere trtti come funzione dell vribile x per t fisst e vicevers; G(, t = G(1, t) = G(x, ) = G(x, 1) = ; G(x, t) per x, t [, 1]. Si osserv che, poiché u(x) è espress come l integrle di un funzione continu, ess è differenzibile e quindi continu. Allor l trsformzione f u, dove u è espress dll (7.5), trsform funzioni di clsse C([, 1]) in funzioni di clsse C([, 1]). Inoltre dll (7.8) si h 3 u (x) = f(t)dt + 1 (1 t)f(t)dt e quindi u (x) = f(x). Pertnto se f C([, 1]), si h u C 2 ([, 1]) cioè l soluzione di (7.3) è più regolre del dto f(x). Si osserv che un problem di Poisson con condizioni di Dirichlet l bordo non omogenee v (x) = f(x) v() = α v(b) = β 2 Per vlori e b degli estremi dell intervllo, l soluzione h espressione e l funzione di Green 3 Si osserv che ( d x ) (x t)f(t)dt dx = = u(x) = x b G(x, t) = (b t)f(t)dt (x t)f(t)dt = G(x, t)f(t)dt x (b t) (x t) per t x b x (b t) per x t b b ( d x ) x f(t)dt d ( ) tf(t)dt = f(t)dt + x d ( ) f(t)dt d ( ) tf(t)dt dx dx dx dx f(t)dt + xf(x) xf(x) = f(t)dt

4 94CAPITOLO 7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI AL BORDO può essere sempre trsformto in un problem di Poisson con condizioni di Dirichlet l bordo omogenee ponendo u (x) = f(x) u() = u(b) = u(x) = v(x) α b x b β x b Un procedimento nlogo possimo frlo se ll equzione di Poisson v (x) = f(x) si ssocino delle condizioni sul vlore dell derivt dell soluzione gli estremi, ovvero si suppongono noti i vlori dell derivt v (x) gli estremi e b, v () = α e v (b) = β. Queste condizioni sono dette condizioni di Neumnn o del secondo tipo. Questo problem può essere sempre trsformto in un problem di Poisson u (x) = f(x) con condizioni di Neumnn l bordo omogenee u () = u (b) = ponendo u(x) = v(x) α 2bx x 2 β 2 b 2 f(x) = f(x) + α b + β b 2x x 2 b 7.2 Questioni su esistenz e unicità dell soluzione I problemi i vlori l bordo possono non vere un unic soluzione m possono vere più soluzioni o ddirittur nessun. Si consideri, d esempio, l equzione differenzile linere del secondo ordine che possiede l soluzione generle 4 con c 1 e c 2 costnti rbitrrie. Si not che: u (x) + u(x) = u(x) = c 1 sin(x) + c 2 cos(x) (7.9) l soluzione prticolre u(x) = sin(x) è l unic soluzione di (7.9) soddisfcente le condizioni l bordo u() = e u(π/2) = 1; tutte le soluzioni u(x) = c 1 sin(x) con c 1 rbitrrio, sono soluzioni dell equzione (7.9) soggett lle condizioni l bordo u() = u(π) = ; non esiste lcun soluzione u(x) dell equzione (7.9) che soddisf le condizioni l bordo u() = e u(π) = 1. Considerimo or il seguente problem differenzile i vlori l bordo in cui l soluzione u(x) di un equzione del secondo ordine u (x) = φ(x, u(x), u (x)) x [, b] (7.1) è richiest di soddisfre in due punti distinti e b dell sse rele relzioni dell form { α u() α 1 u () = α con α + α 1 = β u(b) + β 1 u (b) = β con β + β 1 = (7.11) 4 Si ved Equzioni di ordine superiore nel cpitolo Equzioni differenzili ordinrie: problemi i vlori inizili.

5 7.2. QUESTIONI SU ESISTENZA E UNICITÀ DELLA SOLUZIONE 95 Queste condizioni l bordo sono dette di terzo tipo o condizioni di Sturm. Si not che le condizioni di Dirichlet o di Neumnn sono csi prticolri di (7.11). u() = α; u () = α; u(b) = β u (b) = β Un formle pproccio per determinre l soluzione estt di questo problem si ottiene considerndo un ssocito problem i vlori inizili del tipo con u (x) = φ(x, u(x), u (x)) x [, b] (7.12) { α u() α 1 u () = α γ u(b) + γ 1 u (b) = s (7.13) L second condizione è indipendente dll prim; questo è ssicurto se α 1 γ α γ 1. Senz perdere in generlità richiedimo che γ e γ 1 sino scelti in modo che 5 α 1 γ α γ 1 = 1 Si indic con u(x; s) l soluzione del problem i vlori inizili (7.12) (7.13), mettendo in evidenz che quest soluzione dipende dl dto inizile s. Clcolndo l soluzione (e l su derivt u (x; s)) nel punto x = b, ricerchimo un vlore s che è soluzione dell equzione ϕ(s) = (7.14) con ϕ(s) = β u(b; s) + β 1 u (b; s) β L equzione (7.14) è, in generle, trscendente in s. Se s = s è un rdice dell equzione (7.14) ci spettimo che l funzione u(x) = u(x; s ) si un soluzione del problem i vlori l bordo (7.1) (7.11). Si può dunque risolvere il problem i vlori l bordo (7.1) (7.11) medinte l risoluzione del problem i vlori inizili ssocito. Quest procedur si chim metodo shooting. Più precismente si h il risultto seguente: 6 Teorem 1. Si un funzione φ(x, u(x), u (x)) continu sull strisci D = {(x, u, u ) : x [, b], u <, u < } e soddisfi in D l condizione di Lipschitz per u e u. Allor il problem i vlori l bordo (7.1) (7.11) h tnte soluzioni qunte sono le rdici distinte s k dell equzione (7.14). 5 Ad esempio, per γ = si h γ 1 = 1/α e le condizioni i vlori inizili si scrivono ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( α α 1 u() α u() 1/α α 1/α u = = () s u = 1 α () α s 6 Le dimostrzioni dei Teoremi 1, 2 e 3 sono riportte in 1.2 di ) ( α/α α = 1 s α s Keller H.B.: Numericl Methods for Two Point Boundry Vlue Problems, Blisdell Publ. Co., Boston, 1968 (ripubblicto d Dover Publ. Inc., New York, 1993). )

6 96CAPITOLO 7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI AL BORDO Le soluzioni di (7.1) (7.11) sono u k (x) u(x; s k ), cioè le soluzioni del problem i vlori inizili (7.12) (7.13) con dto inizile s = s k. 7 Esiste un importnte clsse di problemi per i quli l equzione (7.14) possiede un unic rdice. Per tle clsse di problemi i vlori l bordo possimo llor fornire il seguente teorem di esistenz e unicità dell soluzione: Teorem 2. Si un funzione φ(x, u(x), u (x)) continu sull strisci D = {(x, u, u ) : x [, b], u <, u < } e soddisfi in D l condizione di Lipschitz per u e u. Inoltre, vle φ φ e u u continue in D; φ u > e φ u M in D (M costnte positiv); α α 1 ; β β 1 ; α + β = llor, il problem i vlori l bordo (7.1) (7.11) mmette un unic soluzione u C 2 ([, 1]). Si osserv che il teorem è vlido qundo lle condizioni di Sturm si sostituiscono quelle di Dirichlet mentre, per l condizione α + β = il teorem non vle se bbimo le condizioni l bordo di Neumnn. Un cso specile del Teorem 2 si h qundo l funzione φ(x, u, u ) è linere in u e u. Si h il seguente: Teorem 3. Vlgno le seguenti ipotesi: sino le funzioni p(x), q(x), f(x) continue con q(x) > per x [, b]; sino α α 1, β β 1 ; α + β = ; Allor, il problem linere mmette un unic soluzione u C 2 ([, b]). u (x) + p(x)u (x) + q(x)u(x) = f(x) { α u() α 1 u () = α con α + α 1 = β u(b) + β 1 u (b) = β con β + β 1 = Il Teorem 3 è conseguenz del Teorem 2. Inftti si h φ(x, u, u ) = pu + qu f e φ u = q(x) > e φ u = p(x) M poiché l funzione p(x) è continu su un intervllo chiuso [, b] e dunque è limitt. 7 Vi sono evidenti difficoltà nell pplicre il metodo shooting (shooting semplice). In generle non si conosce l soluzione u(x; s) del problem i vlori inizili (7.12) (7.13) m quest viene clcolt medinte i metodi numerici lle differenze d uno o più pssi. Nell prtic si prtizion l intervllo [, b] e si pplic il metodo di shooting multiplo come descritto in di Stoer J., Bulirsch R.: Introduzione ll Anlisi Numeric, vol. II, Znichelli, Bologn, 1975 (trduzione di Einführung in die Numerische Mthemtik II, Springer Verlg, Berlin, 1973). Un noto esempio di ppliczione del metodo di shooting è l mnovr di frenggio ottimle di un stellite nell tmosfer terrestre (problem del rientro).

7 7.3. OPERATORI DIFFERENZIALI PER PROBLEMI DEL SECONDO ORDINE Opertori differenzili per problemi del secondo ordine Scrivimo un equzione differenzile omogene (non omogene) del secondo ordine medinte l opertore differenzile L L(u) = (L(u) = f) e si ssocino le condizioni l bordo di primo, secondo o terzo tipo. Dte due funzioni continue u e v definite nell intervllo [, b] si definisce prodotto sclre tr due funzioni u, v = u(x)v(x)dx Nel cso di funzioni vlori complessi si deve considerre l funzione compless coniugt di v(x) nell integrndo. 8 Se denotimo con V l insieme delle funzioni che verificno le condizioni l bordo ssegnte si hnno le seguenti definizioni: L opertore differenzile L è simmetrico se L(u), v = u, L(v) u, v V L opertore differenzile L è definito positivo se L(u), u > u V e vle L(u), u = se e solo se u è l funzione identicmente null e pprtiene V. L opertore differenzile L è semidefinito positivo se L(u), u u V Si possono definire nlogmente opertori differenzili definiti e semidefiniti negtivi. Si consideri l opertore di Lplce in un dimensione L(u) = u per le funzioni u C 2 ([, b]) e nulle gli estremi ovvero che soddisfno l bordo le condizioni omogenee di Dirichlet u() = u(b) =. Si prov fcilmente che per tutte le funzioni u e v, nulle gli estremi dell intervllo [, b], continue ssieme lle loro derivte prime e seconde in [, b], l opertore L(u) è simmetrico e definito positivo. Inftti se indichimo come C 2 ([, b]) lo spzio delle funzioni continue e nulle gli estremi e b che hnno derivte prime e seconde continue, si prov che per L(u) = u vle L(u), v = u, L(v) u, v C 2 ([, b]) Integrndo per prti L(u), v = 8 Per semplcità di notzione, nel seguito si è indicto u, v = uvdx u vdx = u (x)v(x) b + u v dx

8 98CAPITOLO 7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI AL BORDO Poiché v() = v(b) =, si h L(u), v = u v dx Integrndo un ltr volt per prti e, tenendo conto di u() = u(b) =, si ottiene u v dx = u(x)v (x) b uv dx = Dunque l opertore L è simmetrico. Per u = v si ottiene L(u), u = (u ) 2 dx uv dx = u, L(v) che è positivo. Inoltre, se L(u), u =, llor u = e u è costnte, m essendo null gli estremi, u =. Rest provto llor che l opertore L è definito positivo. Considerimo or l opertore L(u) = u per funzioni u C 2 ([, b]) e con derivt null gli estremi ovvero che soddisfno l bordo le condizioni omogenee di Neumnn. u () = u (b) = Si prov che l opertore L è simmetrico e semidefinito positivo. Inftti, procedendo come per il cso con le condizioni di Dirichlet, utilizzndo l integrzione per prti, si h L(u), v = Poiché u () = u (b) =, llor u vdx = u (x)v(x) b + L(u), v = u v dx u v dx Integrndo un ltr volt per prti e tenendo conto di v () = v (b) =, si h Per u = v si ottiene u v dx = u(x)v (x) b L(u), u = uv dx = (u ) 2 dx uv dx = u, L(v) che è positivo oppure nullo nel cso in cui l funzione u si l funzione costnte non null. Se si consider l opertore L(u) = u + qu (7.15) con q q(x) funzione continu e q(x) > cui restno ssocite le condizioni omogenee di Dirichlet ed omogenee di Neumnn, si può mostrre che l opertore L(u) in (7.15) è simmetrico e definito positivo. Inftti, per le funzioni u e v nulle gli estremi o con derivt null gli estremi, fcendo uso dell integrzione per prti, si h: L(u), v = ( u + qu)vdx = u v dx + quvdx

9 7.3. OPERATORI DIFFERENZIALI PER PROBLEMI DEL SECONDO ORDINE 99 e Inoltre, per u = v si h u, L(v) = L(u), u = ( v + qv)udx = (u ) 2 dx + u v dx + qu 2 dx > quvdx dove il primo ddendo del secondo membro è positivo o non negtivo nel cso di condizioni omogenee di Dirichlet o di Neumnn rispettivmente, mentre, poiché q >, il secondo ddendo del secondo membro è sempre positivo per funzioni diverse dll funzione identicmente null. Dunque, l presenz del termine qu, con q >, nell opertore L(u) rende l opertore definito positivo nche per le condizioni omogenee di Neumnn. Si consideri or l opertore differenzile L(u) = u + pu + qu (7.16) con p p(x), q q(x) funzioni continue e q(x). Si ssocino le condizioni omogenee l bordo di Dirichlet o di Neumnn. Si mostr fcilmente che l opertore L(u) non è simmetrico. Inftti, per le funzioni u e v nulle gli estremi o con derivt null gli estremi, fcendo uso dell integrzione per prti, si h: mentre L(u), v = u, L(v) = ( u + pu + qu)vdx = ( v + pv + qv)udx = u v dx + u v dx + pu vdx + puv dx + quvdx quvdx ovvero L(u), v u, L(v). Si not che l presenz del termine pu rende l opertore non simmetrico. Si osserv che l opertore non simmetrico (7.16) per funzioni u nulle gli estremi è definito positivo ed è semidefinito positivo per funzioni u con derivt null gli estremi. Inftti si h con L(u), u = per funzioni u nulle gli estremi e ( u + pu + qu)udx = per funzioni u con dervt null gli estremi. Inoltre, (u ) 2 dx > (u ) 2 dx qu 2 dx (u ) 2 dx + pu udx + qu 2 dx e, integrndo per prti e tenendo conto che l funzione u oppure l funzione u è null gli estremi e b, si ottiene pu udx = p(x)u(x)u (x) b pu udx = pu udx

10 1CAPITOLO 7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI AL BORDO dunque 2 pu udx = = pu udx = Un opertore dell form si chim opertore utoggiunto. L(u) = (σu ) + qu (7.17) Nell espressione di L(u) in (7.17) si suppone che le funzioni σ(x) e q(x) sino tli che q C([, b]), q(x), σ C 1 ([, b]), σ(x) σ >. L scrittur dell opertore in form utoggiunt prevede che l funzione prodotto σ(x)u (x) si derivbile m non lo si necssrimente l funzione u (x). Questo è il cso, d esempio, delle funzioni u(x), continue e lineri trtti. Se l funzione u (x) è derivbile, llor si può sempre scrivere l opertore L(u) di (7.17) nell form L(u) = σu σ u + qu. Si osserv nche che un opertore L(u) = u + pu + qu può essere sempre scritto in form utoggiunt L(u) = (σu ) + qu ponendo σ = e p(ξ)dξ q q(x) = q(x)σ Quest trsformzione non è comunque sempre conveniente perché interviene il clcolo dell integrle dell funzione p(x). Per l opertore utoggiunto (7.17) con q C([, b]), q(x), σ C 1 ([, b]), σ(x) σ >, si può provre che: per q(x) =, L(u) è simmetrico e definito positivo se si ssocino le condizioni omogenee di Dirichlet, mentre è simmetrico e semidefinito positivo se si ssocino le condizioni omogenee di Neumnn; per q(x) >, L(u) è simmetrico e definito positivo se si ssocino si le condizioni omogenee di Dirichlet che quelle omogenee di Neumnn. Si prov che l opertore L(u) in (7.17) per q(x) = è simmetrico. Inftti, integrndo per prti e considerndo le funzioni u e v nulle gli estremi oppure con derivt null gli estremi, si h L(u), v = (σu ) vdx = v(x)σ(x)u (x) b + = σ(x)v (x)u(x) b Inoltre L(u) è definito positivo poiché L(u), u = (σv ) udx = u, L(v) (σu ) udx = σ(u ) 2 dx v σu dx = σv u dx che è positivo per funzioni u nulle gli estremi mentre per funzioni u con derivte nulle gli estremi è positivo oppure nullo nel cso in cui l funzione u si l funzione costnte non null. Per l opertore utoggiunto (7.17) può essere provto che l soluzione del problem non omogeneo L(u) = f con le condizioni omogenee di Dirichlet l bordo h espressione u(x) = G(x, t)f(t)dt

11 7.4. IL PRINCIPIO DEL MASSIMO 11 dove l funzione G(x, t) è l funzione di Green per l opertore (7.17). Come per l opertore di Lplce, l funzione di Green G(x, t) deve soddisfre le ipotesi di nnullmento l bordo. 9 Infine, come visto per l opertore u (x), vle che il problem definito dll equzione differenzile L(u) = f con L(u) opertore linere, cui si ssocino le condizioni l bordo non omogene di Dirichlet o di Neumnn, può essere riformulto con condizioni l bordo omogenee di Dirichlet o di Neumnn, rispettivmente. 7.4 Il principio del mssimo Si consideri l opertore L(u) = σu + pu + qu (7.18) con σ, p, q C([, b]), σ(x) >, q(x). Per le funzioni u C 2 su [, b] vle il seguente principio del mssimo: se L(u) vle per q = per q mx u(x) = mx{u(), u(b)} (7.19) x [,b] mx u(x) mx{u(), u(b), } x [,b] se L(u) vle per q = per q min{u(), u(b)} = min x [,b] u(x) min{u(), u(b), } min x [,b] u(x) Dimostrimo l proprietà (7.19). 1 Dimostrzione. Assumimo L(u) < in (, b). Se l funzione u h un mssimo locle in x punto interno di [, b], i.e., x (, b) in tle punto si h u (x ) = e u (x ) ; ciò implic L(u(x )) (poichè σ > e q = ) che contrddice l ssunzione L(u) <. Dunque u ssume vlore mssimo sul bordo. Assumimo or che L(u) in (, b). Si ϕ(x) un funzione tle che ϕ(x) per x [, b] e L(ϕ) < in (, b). Ad esempio si può prendere ϕ(x) = e λx con λ sufficientemente grnde per cui L(ϕ) = ( σλ 2 + pλ)ϕ <. Si ssum or che u bbi un suo mssimo in corrispondenz di un punto x interno d [, b]. Allor, per ϵ > sufficientemente piccolo nche l funzione v = u + ϵϕ ssume vlore mssimo in corrispondenz di un punto y interno d [, b]. M poichè L(v) = L(u) + ϵl(ϕ) < si h un contrddizione. Dunque u deve ssumere vlore mssimo sul bordo. 9 Si ved p. 12 in Weinberger H.F.: A First Course in Prtil Differentil Equtions, Blisdell Publ. Co., New York, 1965 (ripubblicto d Dover Publ. Inc., New York, 1995). 1 Per le dimostrzioni dei risultti concernenti il principio del mssimo si ved e.g., 2.1 in Lrsson S., Thomée V.: Prtil Differentil Equtions with Numericl Methods, Springer, Berlin, 25.

12 12CAPITOLO 7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI AL BORDO Si hnno i seguenti corollri l principio del mssimo. Corollrio 1. Si l equzione non omogene L(u) = f (con L(u) come in (7.18)) ed f funzione continu tle che f(x) per x [, b] oppure f(x) per x [, b], vle che: se u(), u(b) e f, llor l soluzione u C 2 ([, b]) del problem L(u) = f ssume vlori non positivi (u(x) ); se u() e u(b) e f, llor l soluzione u C 2 ([, b]) del problem L(u) = f ssume vlori non negtivi (u(x) ). Corollrio 2. Per l soluzione u dell equzione omogene L(u) = (con L(u) come in (7.18)) con condizioni l bordo di Dirichlet ssegnte u() e u(b) vle: per q = per q > e dunque, min{u(), u(b)} = min u(x) mx u(x) = mx{u(), u(b)} x [,b] x [,b] min{u(), u(b), } min u(x) mx u(x) mx{u(), u(b), } x [,b] x [,b] se u() = u(b) = l funzione u, llor l soluzione di L(u) = è l funzione identicmente null; se u() e u(b), llor l soluzione u C 2 ([, b]) del problem L(u) = ssume vlori non positivi (u(x) ); se u() e u(b), llor l soluzione u C 2 ([, b]) del problem L(u) = ssume vlori non negtivi (u(x) ). Più in generle dl principio del mssimo discende un proprietà di monotonicità dell opertore L(u). Corollrio 3. Si u C 2 ([, b]) l soluzione del problem L(u) = f con L(u) come in (7.18), f continu su (, b) e con le condizioni l bordo u() e u(b) ssegnte; si v C 2 ([, b]) l soluzione del problem L(u) = g con L(u) come in (7.18), g continu su (, b) e con le condizioni l bordo v() e v(b) ssegnte. Se u() v() u(b) v(b) f(x) g(x) per x [, b] llor u(x) v(x) per x [, b] Come conseguenz del principio del mssimo si può nche dimostrre l unicità dell soluzione del problem L(u) = f con le condizioni l bordo di Dirichlet per l opertore L(u) come in (7.18). Si richim or l definizione di norm di funzioni. continu nell intervllo [, b], si definisce u p = ( ) 1/p b u(x) p u = mx x b u(x) Supponimo che u si un funzione 1 p <

13 7.5. SOLUZIONI BOUNDARY LAYER 13 Si osserv che quest definizione è un definizione di norm in qunto vlgono le proprietà u ( u = se e solo se u = ) αu = α u con α C o α R u + v u + v (disuguglinz tringolre) Inoltre, dll definizione di prodotto sclre tr due funzioni continue in [, b], si h u 2 = u, u e vle l disuguglinz di Hölder u, v u p v q con 1 p + 1 q = 1 Per p = q = 2 l disuguglinz di Hölder è not come disuguglinz di Cuchy Schwrz. Inoltre, le funzioni u e v sono tr loro ortogonli se u, v = 7.5 Soluzioni boundry lyer In quest sezione si riportno tre esempi di problemi vlori l bordo l cui soluzione h un ndmento prticolre: in prossimità degli estremi dell intervllo o in un punto interno, l soluzione cresce o descresce rpidmente mentre si mntiene qusi costnte in tutti gli ltri punti. Considerimo il problem differenzile { σu (x) + u(x) = < x < 1 u() = u(1) = 1 + e 1/ σ (7.2) con σ costnte positiv piccol. L soluzione generle dell equzione è u(x) = c 1 e 1 σ x + c 2 e 1 σ x che con le condizioni l bordo ssegnte divent e vle u(x) = e 1 x σ + e x σ < u(x) 1 + e 1 σ Il comportmento dell soluzione è mostrto in figur in lto sinistr. Nell vicinnz dei due estremi dell intervllo [, 1] esistono due sottointervlli (boundry lyer) in cui l soluzione cresce o decresce molto rpidmente. Il problem (7.2) si dice essere un problem con perturbzione singolre. Considerimo or un secondo problem descritto d con σ costnte positiv e p R. { σu (x) + pu (x) = < x < 1 u() = u u(1) = u 1 (7.21)

14 14CAPITOLO 7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI AL BORDO Figur 7.1: esempi di soluzioni boundry lyer. Le soluzione del problem (7.21) è dt d u(x) = 1 e p/σ 1 ((u 1 u )e p σ x + u e p σ u1 ) Qundo p σ, ovvero ϵ σ/p è piccolo rispetto d 1, il problem (7.21) è un problem con perturbzione singolre e l soluzione h un grfico come indicto in figur in lto destr (con u = e u 1 = 1). L soluzione present un boundry lyer vicino ll estremo x = se ϵ < o vicino ll estremo x = 1 se ϵ >. Se si pone ϵ = (σ = ), l equzione differenzile del secondo ordine (7.21) divent un equzione del primo ordine che può essere risolt ssegnndo soltnto un condizione gli estremi dell intervllo [, 1]. Qundo < ϵ 1, l soluzione di quest equzione del primo ordine che soddisf l condizione u() = u pprossim l soluzione di (7.21) in modo ccurto in tutto l intervllo [, 1), d eccezione di un sottointervllo (O(ϵ), 1] di mpiezz O(ϵ) ( boundry lyer ). Un ultimo problem con perturbzione singolre descritto d

15 7.6. UN SEMPLICE ESEMPIO: L OSCILLATORE ARMONICO 15 { σu (x) 2xu (x) = 1 < x < 1 u( 1) = 1 u(1) = 2 (7.22) con σ > piccolo, present un sottointervllo vicino l punto x = in cui l soluzione cresce molto rpidmente; tle sottointervllo si chim interior lyer. Le soluzione di (7.22) h espressione ed è riportt in figur in bsso. u(x) = (( e t2 σ dt)/ e t2 σ dt) 1 Si not che se σ =, il problem (7.22) divent del primo ordine e l soluzione è l funzione continu trtti { 1 1 x < u(x) = 2 < x Un semplice esempio: l oscilltore rmonico Considerimo l equzione dell oscilltore rmonico 1 u (x) + λu(x) = x [, b] (7.23) Posto t = (x )/(b ) llor per x = e x = b si h rispettivmente t = e t = 1. Tenendo conto che u (x) = u (t) dt dx = 1 u (t) b l equzione (7.23) nell vribile t si scrive Posto ω 2 = λ(b ) 2 si studi l equzione e u (x) = u 1 (t) (b ) 2 u (t) + λ(b ) 2 u(t) = t [, 1] Tle equzione differenzile h equzione crtteristic le cui rdici sono purmente immginrie u (t) + ω 2 u(t) = t [, 1] (7.24) z 2 + ω 2 = z 1 = ωi z 2 = ωi L soluzione si scrive llor 11 u(t) = c 1 cos(ωt) + c 2 sin(ωt) Se per l equzione (7.24) considerimo le condizioni omogenee l bordo (condizioni omogenee di Dirichlet) u() = u(1) =, si possono clcolre le costnti c 1 e c 2. L condizione l bordo u() = implic c 1 = che sostituit nell ltr condizione l bordo u(1) = comport c 2 sin ω = 11 Si ved Equzioni di ordine superiore nel cpitolo Equzioni differenzili ordinrie: problemi i vlori inizili.

16 16CAPITOLO 7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI AL BORDO Poiché si cerc l soluzione non bnle, si sceglie ω tle che sin ω =, quindi 12 che, posto c 2 = 1, implic ω = ω k = kπ k = 1, 2,... u(t) = u k (t) = sin(kπt) k = 1, 2,... (si ricord che se u(x) è soluzione dell equzione omogene L(u) =, llor nche Cu(x) è soluzione di L(u) = con C numero complesso). Dunque, rispetto ll vribile x si h e λ k (b ) 2 = ω 2 k = λ k = (kπ)2 (b ) 2 k = 1, 2,... ( u k (x) = sin kπ( x ) b ) k = 1, 2,... Se, per l equzione (7.24), si considerno le condizioni omogenee l bordo sull derivt prim (condizioni omogenee di Neumnn) u () = u (1) =, si procede in modo nlogo e si ottiene c 2 = dll condizione u () = che, sostituit in u (1) = comport 13 c 1ω sin ω = = sin ω = = ω = ω k = kπ k =, 1,... Dunque, per l equzione (7.23) si h e λ k = (kπ)2 (b ) 2 k =, 1,... ( u k (x) = cos kπ( x ) b ) k =, 1,... Si studi or l equzione dell oscilltore rmonico u (x) + λu(x) = x [ l, l] (7.25) con l >, cui si ssocino le condizioni periodiche u(l) = u( l) e u (l) = u ( l). Dll equzione crtteristic z 2 + λ = si ottengono le due soluzioni purmente immginrie z 1 = λi e z 2 = λi. L soluzione generle di (7.25) h dunque espressione u(x) = c 1 e i λx + c 2 e i λx (7.26) ovvero con c 1 = (c 1 + c 2 ) e c 2 = i(c 1 c 2 ). Dll condizione u(l) = u( l) si ottiene u(x) = c 1 cos( λx) + c 2 sin( λx) (7.27) c 1 cos( λl) + c 2 sin( λl) = c 1 cos( λl) c 2 sin( λl) 12 Si esclude il cso k =, in qunto l equzione (7.24) si ridurrebbe u (t) = che vrebbe soluzione u costnte e, siccome u() = u(1) = si vrebbe l soluzione costnte tutt null. 13 In questo cso si consider nche il vlore di k nullo, k =, in qunto per tle vlore l equzione si riduce u (t) = e per le condizioni di Neumnn omogenee, u () = u (1) =, l soluzione è l funzione costnte non null.

17 7.7. PROBLEMA DIFFERENZIALE AGLI AUTOVALORI 17 che implic 2c 2 sin( λl) = ovvero, poiché si cerc l soluzione non bnle, si h sin( λl) = = λl = λk l = kπ k =, 1,... dunque λ = λ k = (kπ)2 l 2 k =, 1,... (7.28) L condizione u (l) = u ( l) implic c 1 λ sin( λl) + c 2 λ cos( λl) = c 1 λ sin( λl) + c 2 λ cos( λl) dunque 2c 1 λ sin( λl) = ovvero sin( λl) = che implic l (7.28). D (7.27) l soluzione generle h espressione ( ) ( ) kπ kπ u(x) = u k (x) = c 1 cos l x + c 2 sin l x k =, 1,... dove le funzioni c 1 cos ( kπ l x) e c 2 sin ( kπ l x) sono ncor soluzioni dell equzione (7.25). Poiché se u(x) è soluzione dell equzione omogene L(u) =, llor nche Cu(x) è soluzione di L(u) = con C numero complesso, le funzioni ( ) kπ u k (x) = cos l x k =, 1,... e ( ) kπ u k (x) = sin l x k = 1, 2,... sono soluzioni dell equzione (7.25) con le condizioni periodiche (si è escluso il cso k = per l soluzione del seno in qunto è l soluzione bnle). D (7.26) l soluzione generle si può nche scrivere u k (x) = c 1 e i kπ l x +c 2 e i kπ l x per k =, 1,..., dove le funzioni e i kπ l x ed e i kπ l x sono ncor soluzioni di (7.25). Le soluzioni u k (x) = e i kπ l x e u k (x) = e i kπ l x per k =, 1,... si possono scrivere u k (x) = e i kπ l x < k < 7.7 Problem differenzile gli utovlori In precedenz si è visto come l equzione u +u = può mmettere un, più di un o nessun soluzione second di come sono ssegnte le condizioni inizili. L equzione dell oscilltore rmonico nlizzt nel prgrfo precedente soggett d ssegnte condizioni l bordo, mmette soluzioni che sono legte l vlore del prmetro λ o ω dell equzione. Il problem dell oscilltore rmonico si formul un problem differenzile gli utovlori L(u) = λu con L(u) = u. Si consideri llor il problem differenzile gli utovlori L(u) = λu (7.29) con delle condizioni ssegnte sull funzione u l bordo dell intervllo [, b]. Ad esempio sino ssegnte le condizioni omogenee di Dirichlet l bordo u() = u(b) = (7.3)

18 18CAPITOLO 7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI AL BORDO oppure le condizioni omogenee di Neumnn u () = u (b) = (7.31) Un funzione u (u ) che verific l condizione (7.3) oppure (7.31) e soddisf (7.29) è dett utofunzione e il numero λ è detto utovlore. In nlogi con il cso lgebrico, se {u k }, {λ k } sono le utofunzioni e gli utovlori di un problem gli utovlori con opertore L simmetrico, llor 14 gli utovlori {λ k } di un opertore L simmetrico sono reli; le utofunzioni {u k }, per un opertore L simmetrico, costituiscono un sistem ortogonle; ovvero { = per m k u k, u m per m = k Inoltre, si può provre fcilmente che: un opertore L simmetrico e definito positivo h utovlori positivi; un opertore L simmetrico e semidefinito positivo h utovlori positivi e nulli. Si consideri l opertore L(u) = u cui si ssocino le condizioni omogenee di Dirichlet (7.3). Si cercno, dunque, le utofunzioni nulle gli estremi dell intervllo [, b] e continue ssieme lle loro derivte prime e seconde in [, b]. Per tutte le funzioni u, nulle gli estremi dell intervllo [, b], continue ssieme lle loro derivte prime e seconde in [, b], l opertore L(u) = u è simmetrico e definito positivo. Gli utovlori e le utofunzioni sono dti d λ k = (kπ) 2 (b ) 2 k = 1, 2,... u k (x) = sin(kπ x ) k = 1, 2,... b Le utofunzioni {u k (x)} k=1 costituiscono un insieme ortogonle. Se ll opertore L(u) = u si ssocino le condizioni omogenee di Neumnn (7.31), si cercno, llor, le utofunzioni continue ssieme lle loro derivte prime e seconde in [, b] e con derivt prim null gli estremi dell intervllo [, b]. 14 Inftti, poiché l opertore L è simmetrico, λ k u k, u k = λ k u k, u k = L(u k ), u k = u k, L(u k ) = u k, λ k u k = λ k u k, u k llor λ k u k, u k = λ k u k, u k e poiché u k, λ k = λ k che implic λ k numero rele. Anlogmente llor e poiché λ k λ m per k m, si deve vere u k, u m =. λ k u k, u m = λ k u k, u m = L(u k ), u m = u k, L(u m) = u k, λ m u m = λ m u k, u m (λ k λ m) u k, u m =

19 7.7. PROBLEMA DIFFERENZIALE AGLI AUTOVALORI 19 Per tutte le funzioni continue ssieme lle loro derivte prime e seconde in [, b] e con derivt prim null gli estremi dell intervllo [, b], l opertore L(u) = u è simmetrico e semidefinito positivo. Gli utovlori e le utofunzioni sono dti d λ k = (kπ) 2 (b ) 2 k =, 1,... u k (x) = cos(kπ x ) k =, 1,... b Si osserv che, essendo L(u) simmetrico, le utofunzioni {u k } k= costituiscono un sistem ortogonle e che in corrispondenz dell utovlore nullo per k =, l utofunzione u (x) non è identicmente null (u (x) = 1). Si osserv che d un equzione differenzile del secondo ordine, oltre lle condizioni l bordo del primo, del secondo o del terzo tipo, si possono ssocire delle condizioni periodiche u() = u(b) e u () = u (b). Per semplicità ponimo = l e b = l. Se ll opertore L(u) = u ssocimo le condizioni periodiche u( l) = u(l) e u ( l) = u (l), gli utovlori sono λ k = (kπ)2 l 2 k =, 1,... e le utofunzioni u k (x) sono {sin( kπx l )} kπx k=1 e {cos( l )} k=. Queste utofunzioni costituiscono un sistem ortogonle, cioè si può provre che l l l l l l sin( mπx l cos( mπx l sin( mπx l ) sin( nπx )dx = l ) cos( nπx )dx = l { m n l m = n m n l m = n 1 2l m = n = ) cos( nπx )dx = m = 1, 2,... n =, 1,... l m = 1, 2,... n = 1, 2,... m =, 1,... n =, 1,... L opertore L(u) = u con le condizioni l bordo periodiche u( l) = u(l) e u ( l) = u (l) è simmetrico e semidefinito positivo. Nelle figure sono riportti i grfici in cui si vede che 1 sin(πx) sin(2πx)dx = e 1 1 cos(πx) sin(2πx)dx =

20 11CAPITOLO 7. EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI AL BORDO sen(2*pi*x) sen(pi*x)*sen(2*pi*x) sen(pi*x) Figur 7.2: grfico di sin(πx), sin(2πx) e, (line continu) sin(πx) sin(2πx) sen(2*pi*x) sen(2*pi*x)*cos(pi*x).4 cos(pi*x) Figur 7.3: grfico di cos(πx), sin(2πx) e, (line continu) cos(πx) sin(2πx).