Quaderno di esercizi di cinematica del punto

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1 Maemaica Open Source hp:// Quaderni di Fisica 2018 Quaderno di esercizi di cinemaica del puno x km Marcello Colozzo x B Q x A d 2 b P d 1 Α d 1 d 2 an Α A B h A B A B

2 Indice 1 Moo reilineo Esercizi svoli Corpi in cadua libera Complemeni Applicazioni del Calcolo differenziale alla cinemaica monodimensionale Velocià scalare media. Il eorema di Larane e il eorema della media Moo asinoicamene uniforme Una variane del paradosso di Zenone Un alra variane del paradosso di Zenone Il conilio di Zenone Reolarià del conilio di Zenone Moo su una raieoria arbiraria Esercizi svoli Complemeni Velocià veoriale media e velocià scalare media Bibliorafia

3 Prefazione La capacià di risolvere problemi di fisica deriva fondamenalmene dal saper associare a un assenao sisema fisico, un appropriao modello maemaico. 2

4 Capiolo 1 Moo reilineo 1.1 Esercizi svoli Esercizio 1 Una paricella si muove su una raieoria γ con velocià veoriale cosane. Dimosrare o confuare la seuene asserzione: comunque prendiamo un inervallo di empo, la velocià veoriale media in è uuale alla velocià isananea v() per oni valore di. Soluzione Se r() è il veore posizione della paricella al enerico isane, la velocià veoriale è essendo Quindi r v = lim 0, (1.1) r = r(+ ) r() (1.2) v() = dr ṙ(), (1.3) d che è appuno, la velocià isananea. Se v() v 0 =cosane, la raieoria è una rea iacché il veore v() conserva la propria direzione. Il moo è quindi reilineo, ed è anche uniforme in quano la velocià veoriale è cosane anche in modulo. Inolre, dalla (1.1): r v() = v 0 lim 0 = v 0 r = v 0 Ma il rapporo incremenale a primo membro è la velocià veoriale media nell inervallo di empo, onde l assero. Esercizio 2 Una macchina si muove di moo reilineo ed uniforme a velocià v 0 = 30m/s. Viene quindi a rovarsi in prossimià di un semaforo che da iallo divena rosso. Assumendo un empo di reazione τ = 0.8s, rascorso il quale il uidaore aziona i freni, deerminare: 1. La decelerazione (supposa cosane) impressa dai freni, sapendo che la macchina si arresa dopo alri 5 s. 2. Lo spazio oale percorso. 1

5 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 2 Disenare il diaramma orario compleo. Soluzione Orieniamo un asse x in direzione e verso del moo (cfr. fi. 1.1). All isane = 0 il uidaore vede il semaforo rosso e all isane = τ aziona i freni. In ale inervallo di empo la macchina si è sposaa da x = 0 a x = x 0. Più precisamene, l equazione oraria nell inervallo [0, τ] si scrive: x() = v 0, [0,τ], (1.4) iacché il moo è reilineo ed uniforme. Ma per τ i freni imprimono una decelerazione a cosane, per cui l equazione oraria diviene: x() = x 0 +v 0 ( τ) 1 2 a( τ)2, τ (1.5) Si badi che a > 0, per cui è iusificao il seno meno a secondo membro della (1.5). Dalla (1.4) seue: x 0 = v 0 τ, (1.6) che sosiuia nella (1.5): x() = v 0 τ +v 0 ( τ) 1 2 a( τ)2, τ (1.7) La macchina si ferma dopo che sono rascorsi alri 5 secondi. Ponendo = 5s, si ha che l isane di arreso è: 1 = τ +, (1.8) ed è uno zero della velocià nella fase deceleraa: Seue v() ẋ() = v 0 a( τ) (1.9) v( 1 ) = 0 a = v 0 1 τ = v 0 = 6m/s2 (1.10) Passiamo al quesio 2. Lo spazio oale percorso è x 1 = x( 1 ), dove la funzione x() è daa dalla (1.5), e enendo cono che a = v 0, oeniamo: Quindi Cioè x() = v 0 τ +v 0 ( τ) v 0 2 ( τ)2, τ (1.11) x 1 = v 0 τ +v 0 v ( x 1 = v 0 τ + ) = 30( ) = 99m (1.12) 2 L equazione oraria del moo è: v 0 τ, se [0,τ] x() = v 0 τ +v 0 ( τ) v 0 ( ) 2 ( τ)2, se [τ,τ + ], (1.13) v 0 τ + 2, se [τ +,+ ) il cui rafico è riporao in fi. 1.2.

6 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 3 v 0 O x 0 x1 x Fiura 1.1: Sisema di riferimeno rispeo al quale sudiamo il moo della macchina. x x 1 x 0 Τ 1 Τ Fiura 1.2: Esercizio 2. Diaramma della funzione (1.13), dao dal raccordo reolare dei rafici delle seueni funzioni: 1) funzione lineare x() = v 0, 2) funzione polinomio ( di ) secondo rado x() = v 0 τ +v 0 ( τ) v 0 2 ( τ)2, 3) funzione cosane x() = v 0 τ + 2 che definiscono le re fasi del moo (uniforme, uniformemene riardao, arreso).

7 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 4 Esercizio 3 Unamacchinasi muove di mooreilineoeduniformeavelociàv 0 = 30km/h. Viene quindi a rovarsi a disanza D = 60m da un semaforo che in quell isane divena iallo. Sapendo che dal iallo al rosso rascorre un inervallo di empo di 2.5s e che l rao è ampio L = 8 m, sabilire se al uidaore conviene accelerare o frenare, assumendo come empo di reazione τ = 0.9 s e considerando un accelerazione cosane. Tracciare, infine, il diaramma orario in enrambi i casi. Soluzione Esprimiamo innanziuo la velocià in m/ s: v 0 = m/s Quindi assumiamo come sisema di riferimeno un asse x come in fi Disinuiamo i due casi: 1. Il uidaore accelera. 2. Il uidaore frena. In enrambi i casi, per [0,τ] l equazione oraria si scrive: Se poniamo x() = v 0, [0,τ] (1.14) x 0 def = x(τ) = v 0 τ, seue che per τ nel caso 1 l equazione oraria è x() = v 0 τ +v 0 ( τ)+ 1 2 a( τ)2, dove a > 0 è l accelerazione da deerminare. Il uidaore ha 2.5 s di empo per iunere in A, conai a parire dall isane iniziale = 0 in cui vede il semaforo (oriine O del sisema di riferimeno (fi. 1.3)). Poso 1 = 2.5s deve essere a > 0 x( 1 ) = x A, essendo x A = L+D l ascissa del puno A (fine dell incrocio). Quindi: da cui v 0 τ +v 0 ( 1 τ)+ 1 2 a( 1 τ) 2 = L+D, a = 2[L+D v 0τ v 0 ( 1 τ)] ( 1 τ) m/s 2, che è un valore roppo alo. Se il uidaore frena, per τ l equazione oraria si scrive: x() = v 0 τ +v 0 ( τ) 1 2 a 1( τ) 2, (1.15) dove a 1 > 0 è il valore assoluo dell accelerazione (cosane). Il veicolo deve arresarsi a x S = D, cosicché a 1 > 0 x( 1) = x S,

8 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 5 dove 1 è l isane di arreso che si calcola al solio modo, cioè annullando la velocià per τ: v() ẋ() = v 0 a 1 ( τ) = 0, da cui che sosiuia nella (1.15): 1 τ = v 0 a 1, (1.16) v 0 v 0 τ +v 0 1 a 1 2 a 1 Ordinando i vari ermini e risolvendo rispeo a a 1 : a 1 = Ne concludiamo che al uidaore conviene frenare. v0 2 a 2 1 = D v 2 0 2(D v 0 τ) 0.66m/s2 (1.17) v 0 D L O x 0 S A x Fiura 1.3: Sisema di riferimeno rispeo al quale sudiamo il moo della macchina dell esercizio 3. Prima di racciare il diaramma orario, è preferibile eneralizzare i risulai lasciando inespresse le varie randezze. A ale scopo scriviamo le equazioni orarie nei sinoli casi: caso 1: x() = { v0, [0,τ] v 0 τ +v 0 ( τ)+ L+D v 0τ v 0 ( 1 τ) ( 1 τ) 2 ( τ) 2, τ (1.18) Calcoliamo la velocià per τ: v( τ) = v 0 +2 L+D v 0τ v 0 ( 1 τ) ( 1 τ) 2 ( τ), (1.19) onde la velocià con cui iune al ermine A dell incrocio è: v 1 = v( 1 ) = v 0 +2 L+D v 0τ v 0 ( 1 τ) 1 τ ( 1 τ) (1.20)

9 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 6 Per i dai fornii dal problema: v m/s 242.3m/s, un valore esremamene elevao! È chiaro che per avere valori acceabili sia della velocià che dell accelerazione, dobbiamo diminuire il paramero D. Ad esempio, per D = 24 m oeniamo a 8.73m/s 2, v m/s 80.3km/h. Il diaramma orario racciao con i dai fornii dal problema è riporao in fi x x A x S D semaforo x 0 Τ 1 Fiura 1.4: Esercizio 3. Diaramma orario nel caso 1, dao dal raccordo reolare dei rafici delle seueni funzioni: 1) funzione lineare x() = v 0, 2) funzione polinomio di secondo rado x() = v 0 τ +v 0 ( τ)+ L+D v 0τ v 0 ( 1 τ) ( 1 τ) 2 ( τ) 2. Passiamo al diaramma orario relaivo al caso 2: v 0, [0,τ] caso 2: x() = v 0 τ +v 0 ( τ) v2 0 4(D v 0 τ) ( τ)2, [τ, 1] D, [ 1,+ ) ricordando che 1 è l isane di arreso dao dalla (1.16) e enendo cono della (1.17): Il diaramma orario è riporao in fi. 1.5., (1.21) 1 = 2(D v 0τ) v 0 +τ (1.22) Esercizio 4 Un auo è ferma ad un incrocio. Nell isane = 0 il semaforo divena verde, e l auo pare isananeamene con accelerazione a = 1.6m/s 2. Nel medesimo isane sopraiune un furone che procede a velocià cosane v 0 = 35km/h, sorpassando l auo. Deerminare: 1. l isane in cui l auo sorpassa il furone; 2. la disanza dal semaforo in cui avviene il sorpasso; 3. la velocià dell auo nell isane del sorpasso.

10 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 7 x x S D semaforo x 0 Τ ' 1 Fiura 1.5: Esercizio 3. Diaramma orario nel caso 2, dao dal raccordo reolare dei rafici delle seueni funzioni: 1) funzione lineare x() = v 0, 2) funzione polinomio di secondo rado x() = v 0 τ +v 0 ( τ) v2 0 4(D v 0 τ) ( τ)2, [τ, 1], 3) funzione cosane x() = d. Soluzione Orieniamo un asse x in direzione e verso del moo di enrambi i veicoli, ponendo l oriine nella posizione iniziale dell auo. Con ale scela del sisema di riferimeno l equazione oraria dell auo si scrive: x 1 () = 1 2 a2 (1.23) L equazione oraria del furone è invece: x 2 () = v 0 (1.24) I quesii 1 e 2 si risolvono asservando che l isane 1 > 0 del sorpasso e la disanza d > 0 dal semaforo, sono le coordinae (nel piano x) del puno di inersezione dei diarammi orari di sinolo veicolo (fi. 1.6) Alernaivamene, il sorpasso avviene quando e solo quando i due veicoli hanno la sessa ascissa: x 1 () = x 2 () = a2 = v 0 = >0 2 a = v 0 Cioè 1 = 2v 0 (1.25) a Prima di calcolare 1 dobbiamo passare dai km/h ai m/s: Quindi La disanza d è v 0 = = d = x 1 ( 1 ) = x 2 ( 1 ) = v m = 9.72m/s (1.26) s 12.15s (1.27)

11 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 8 x d 1 Fiura 1.6: Diaramma orario dei veicoli dell esercizio 4. La velocià della macchina a ui i empi è v() = ẋ 1 () = a = 19.44m/s 70km/h Nell isane del sorpasso, enendo cono della (1.25) : v( 1 ) = a 1 = 2v 0, cioè il doppio della velocià del furone. Il valore numerico è: v( 1 ) 19.44m/s 70km/h Esercizio 5 (Il eso di queso esercizio è rao dali esercizi proposi di [1]. Nel seuio la soluzione proposa da noi). Con la vosra auo parie da casa e percorree una srada reilinea per 5.2km, quando all improvviso resae senza banzina. A piedi raiunee il disribuore più vicino, disane 1.2km, camminando per 27min. Qual è saa la vosra velocià media sul percorso compleo casa-disribuore? Soluzione Assumiamo un asse x orienao nella direzione e verso del moo, con oriine nella posizione iniziale (a = 0), come illusrao in fi Sia A il puno dell asse x che definisce la posizione in cui abbiamo esaurio la benzina. Quindi x A d 1 = 5.2km. Il empo impieao per iunere in A è ( ) A = d 1 = 5.2km = 0.121h, (1.28) v 1 43km/h cioè 7min e 16s. Da A percorriamo a piedi con velocià v 2 < v 1 la disanza d 2 che ci separa dal disribuore B. Il empo impieao è ( ) B = 27min = 0.45h (1.29)

12 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 9 O d 1 A d 2 B x Fiura 1.7: Esercizio 5. Percorriamo in auo il semeno di esremi O ed A, dove rimaniamo a piedi, dopodiché raiuniamo il disribuore in B. Ne conseue che la velocià media nell inervallo ( ) B è: v 2 = d 2 = 1.2 km/h = 2.667km/h ( ) B 0.45 Per deerminare la velocià media sul percorso compleo casa-disribuore, dobbiamo applicare la definizione: disanza oale v = empo impieao Cioè v = d 1 +d 2 = km/h = km/h ( ) A +( ) B Per racciare il diaramma orario, dobbiamo deerminare l espressione complea dell equazione oraria i.e. della funzione x(). Abbiamo x() = { v1, [0,( ) A ] v 2 +b, [( ) A, B ], B ( ) A +( ) B = 0.571h (1.30) Qui b > 0 è l ordinaa all oriine della rea di equazione x = v 2 +b del piano x. Tale rea passa per il puno P (( ) A,x A ), per cui x A = v 2 ( ) A +b = b = d 1 v 2 ( ) A = 4.877km Ora siamo in rado di racciare il diaramma orario (fi. 1.8) che è dao dall unione dei semeni OP e PQ. Concludiamo osservando che P ( A = ( ) A,x A ) è un puno anoloso per il diaramma orario. Infai, la derivaa prima ẋ() cioè la velocià v() ha ivi una disconinuià di prima specie: lim v() = v 1, lim v() = v 2 < v 1 A + A Per una correa inerpreazione dei puni di disconinuià delle funzioni x(),v(),a() si rimanda all Appendice

13 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 10 x km x B Q x A d 2 b P d 1 Α d 1 d 2 an Α A B h A B A B Fiura 1.8: Esercizio 5. Diaramma orario compleo, dao dall unione dei semeni OP e PQ. Il semeno OQ è invece, il diaramma orario di un puno maeriale che si sposa da O a B compiendo un moo reilineo ed uniforme a velocià v, che è il coefficiene anolare della rea per O e Q. Esercizio 6 All isane 0 = 0 una paricella α (nucleo dell aomo di elio) enra nel ubo a vuoo (reilineo) di un acceleraore di paricelle. La velocià di inresso è v 0 = m/s. Sapendo che la lunhezza del ubo è L = 2.0m, deerminare: 1. l accelerazione (supposa cosane) della paricella, sapendo che l isane di uscia è 1 = s. 2. La velocià di uscia v 1. Soluzione Fissiamo un asse x parallelo all asse del ubo e orienao nel verso del moo, con l oriine nel puno di inresso (a 0 = 0). Dal momeno che il moo è uniformemene accelerao, si ha la seuene equazione oraria: x = v a2, (1.31) onde Seue v = ẋ = v 0 +a (1.32) L = v a2 1, da cui possiamo ricavare l accelerazione a = 2 L v = m/s 2 (1.33) Per rispondere al quesio 2, uilizziamo la (1.32): v 1 = v 0 +a 1 = m/s (1.34)

14 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 11 Esercizio 7 Un auo in corsa rallena dalla velocià v 1 = 23.6 m/s alla velocià v 2 = 12.5 m/s, percorrendo una disanza d = 105 m. Deerminare: 1. il empo di manovra e il valore della decelerazione (supposa cosane); 2. il empo di arreso, nell ipoesi in cui il uidaore coninua a frenare, e l uleriore spazio percorso. Soluzione Il moo è uniformemene riardao, per cui orienando l asse x nella direzione e verso del moo, con oriine nella posizione in cui è v 1 = 23.6 m/s (all isane 1 0) (cfr. fi. 1.9), si ha la seuene equazione oraria: essendo a > 0 il valore assoluo della decelerazione. x = v a2, (1.35) 1 0 v 1 v 2 v x Fiura 1.9: Esercizio 7. Derivando la (1.35): Deve essere da cui che sosiuia nella (1.35): Cioè Quindi v() = v 1 a (1.36) v 2 = v( 2 ) = v 1 a 2, d = v 1 v 1 v 2 a a = v2 1 v 2 2 2d 2 = v 1 v 2, (1.37) a 1 2 a(v 1 v 2 ) 2 a 2 d = v2 1 v 2 2 2a (1.38) = 1.91m/s 2 (1.39)

15 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 12 Il empo di manovra è l isane 2 dao dalla (1.37) che ora si riscrive: ovvero 2 = v 1 v 2 v 2 1 v 2 2 Passiamo al quesio 2. Il empo di arreso è Dalla (1.36): In ale isane l ascissa vale 2d, 2 = 2d v 1 +v 2 = 5.82s (1.40) 3 > 2 v( 3 ) = 0 3 = v 1 a = 2v 1d v 2 1 v 2 2 = s x 3 = x( 3 ) = v a 3 = eq. (1.39) Quindi la disanza percorsa a parire dall isane 2 è: v 2 1d v 2 1 v 2 2 v 2 2 d = d x 3 = d v1 2 v2 2 = m (1.41) Esercizio 8 (Il eso di queso esercizio è rao dali esercizi proposi di [1]. Nel seuio la soluzione proposa da noi). Sae uidando alla velocià di 112 km/ h, quando un incidene sull alro lao della srada, vi disrae per 1.0s. Quano spazio percorre la vosra macchina in queso lasso di empo? Soluzione Se v = 112 km/h è la velocià e = 1.0s, lo spazio percorso è d = v, a pao di rendere omoenee le rispeive randezze. Precisamene: onde Cioè = 1.0s = h, d = 112 km km 3600 d 31.11m Esercizio 9 Il eso di queso esercizio è rao dali esercizi proposi di [1]. Nel seuio la soluzione proposa da noi). Il lanciaore di baseball Roer Clemens scalia la palla in raieoria orizzonale a una velocià (misuraa col laser) di 160 km/h. Quano empo impiea la palla a raiunere la base disane 18.4 m?

16 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 13 Soluzione Come nell esercizio precedene, abbiamo un moo reilineo ed uniforme, per cui il empo richieso è dove d = 18.4m e v = 160 km/h. Esprimendo d in km: Ma 1h = 3600s, per cui = = d v, (1.42) h h Alernaivamene, posssiamo esprimere la velocià in m/ s: v = = 0.414s (1.43) 44.44m/s, onde = s = 0.414s, in accordo con il risulao precedene. Esercizio 10 (Il eso di queso esercizio è rao dali esercizi proposi di [1]. Nel seuio la soluzione proposa da noi). Maurice Greene ha corso i 100 m piani in 9.81 s (con veno a favore), menre Khalid Khannouchi ha corso la maraona (42.25 km) in 2h 05min 42s. 1. Calcolare le loro velocià medie. 2. Se M. Greene poesse manenere la sua velocià media per ua la duraa di una maraona, in quano empo la percorrerebbe? Soluzione Quesio 1 Nel caso di M. Greene, abbiamo d 1 = 100 m, T 1 = 9.81s, per cui la velocià media è: v 1 = d 1 T m/s (1.44) Khalid Khannouchi percorre d 2 = km in T 2 = 2h 05min 42s. Esprimiamo T 2 in ore e frazioni di ore: T 2 = 2.095h, per cui la velocià media di Khannouchi è: v 2 = d 2 T km/h (1.45) Volendo confronare le due velocià, e necessario esprimerle nella sessa unià di misura. Ad esempio v 1 = km 1 h km/h 3600

17 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 14 Cioè, come c era da aspearsi, è v 1 > v 2 (1.46) Quesio 2 SeT 1 èilempoimpieaodam.greeneperpercorrerelamaraona, dalla(1.46)vediamo che T 1 < T 2. Più precisamene: T 1 = d 2 v h = 1h 09min 06s (1.47) Esercizio 11 (Il eso di queso esercizio è rao dali esercizi proposi di [1]. Nel seuio la soluzione proposa da noi). Supponiamo che il limie di velocià su una auosrada luna 700 km vena elevao da 130 km/h a 150 km/h. Quano empo si risparmierebbe viaiando sull inera raa alla nuova velocià massima rispeo alla precedene? Soluzione Se d = 700 km, si ha con il limie precedene v max = 130 km/h Passando al nuovo limie v max = 150 km/h: = d v max h = d v max h, da cui il risulao = 0.718h = 43min 05s Esercizio 12 Un aereo da caccia in un eserciazione aniradar sa volando orizzonalmene a una quoa h, quando inconra una collina con pendenza cosane α (cfr. fi. 1.10). y A v 0 d B h Α x Fiura 1.10: Esercizio 12. L aereo da caccia in moo reilineo ed uniforme avvisa il pendio. 1. Se la velocià (cosane) dell areo è v 0, quano empo ha il piloa per cominciare l inpennaa eviando di schianarsi conro la collina?

18 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 15 y a 0 A v 0 d B h Α x Fiura 1.11: Esercizio 12. L aereo da caccia in moo reilineo uniformemene decelerao avvisa il pendio. 2. Rispondere al quesio 1 nel caso in cui il piloa decelera con decelerazione cosane a 0 (cfr. fi. 1.11). Dai numerici: h = 35m, α = 4.3, v 0 = 1300 km/s, a 0 = 9.8m/s 2. Soluzione Quesio 1 Il riferimeno caresiano R(Oxy) è racciao in fi All isane = 0 l aereo occupa la posizione A(0,h), per cui la disanza (in ale isane) ra l aereo e la collina è d = AB, cioè d = h (1.48) anα Per percorrere ale disanza l aereo impiea un empo τ = d v 0 = h v 0 anα Tenendo cono che v 0 in m/s è m/s, si ha: τ 1.3s (1.49) Quesio 2 Assumendo come nel quesio 1 = 0 quale isane di avvisameno, si ha che le equazioni orarie del moo dell areo si scrivono { x() = 1 a v 0 (1.50) y() = h La prima delle (1.50) è l equazione oraria di una parabola nel piano x, che vole la concavià verso il basso e passane per l oriine, come mosrao in fi Inolre, il verice è nel puno di ascissa ale che ẋ() = 0 a 0 v 0 = 0 = v 0 a s

19 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 16 x max d Τ Τ Fiura 1.12: Esercizio 12. Diaramma orario dell aereo che compie un moo reilineo uniformemene decelerao. L isane è puno di massimo relaivo per la funzione x(), per cui Dalla (1.48): x max () = x( ) = v 0 2a m (1.51) d < x max, onde la rea y = d inerseca in due puni disini la parabola, come vediamo dalla fi Per deerminare i puni di inersezione dobbiamo risolvere l equazione quadraica 1 2 a 0 2 +v 0 = d Cioè da cui A noi ineressa la radice τ : a 0 2 2v 0 +2d = 0, τ ± = v 0 ± v 2 0 2a 0 d a 0 τ = v 0 v 2 0 2a 0 d a s, (1.52) quindi di poco superiore al empo corrispondene al moo reilineo ed uniforme. Esercizio 13 Una navicella spaziale decolla da un pianea privo di amosfera, con una accelerazione cosane a = 9.8m/s Deerminare il empo impieao per raiunere la velocià c/10, essendo c = m/s la velocià della luce nel vuoo. 2. Calcolare la disanza perorsa in ale inervallo di empo.

20 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 17 Soluzione Orieniamo un asse y nella direzione e verso del moo con oriine nel puno di decollo (isane = 0). Dal momeno che il moo è reilineo ed uniformemene accelerao, si ha la seuene equazione oraria La velocià scalare L esercizio calcolare l isane x ale che y() = 1 2 a2 (1.53) v() ẏ() = a v( x ) = c 10 x = c 10a s (1.54) Per il quesio 2, basa sosiuire l espressione di x nell equazione oraria: d = y( x ) = c a m (1.55) Esercizio 14 Un serpene a sonali si scalia conro la propria viima posa a una disanza d = 1m, imprimendo un accelerazione a = 50m/s Quano empo ha a disposizione la viima per schivare il morso, supponendo che la raieoria seuia dalla esa del serpene sia reilinea? 2. Quale è il valore della velocià della esa del serpene nell isane in cui sa per addenare la viima? Soluzione Orieniamol assexindirezioneeversodelmoodellaesat delserpenes, conl oriine nella posizione iniziale ( = 0). Il moo di T è uniformemene accelerao e dal momeno che T pare da fermo, è v(0) = 0. Ne conseue l equazione oraria: T raiune la viima di ascissa d = 1m nell isane 1 ale che x = 1 2 a2 (1.56) d = 1 2 a2 1, onde 2d 1 = a 0.2s Quindi la viima ha a disposizione 0.2s per schivare il morso di T. La velocià di T nell isane 1 è: v 1 = v( 1 ), essendo Seue v() ẋ() = a v 1 = 2ad = 10m/s (1.57)

21 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 18 Esercizio 15 Sae viaiando con la vosra auo a 140 km/h, su una srada reilinea dove il limie di velocià e 90 km/ h. All improvviso avvisae una paulia della polizia sradale, per cui piiae al massimo sui freni, i quali imprimono una decelerazione di modulo pari a 5.2 m/ s. Quano empo impieae per porarvi alla massima velocià consenia? Soluzione Orieniamo un asse x in direzione e verso del moo con oriine nel puno in cui viene avvisaa la paulia ( = 0). Se è la velocià, si ha v 0 = 140 km/h 38.89m/s v() = v 0 a, da cui deo 1 l isane di raiunimeno della massima velocià consenia v 1 = 25m/s, si ha: v 0 a 1 = v 1 = 1 = v 0 v s (1.58) a Volendo deerminare la disanza percorsa, conviene scrivere l equazione oraria: x() = v a2, onde d = x( 1 ) = v2 0 v 2 1 2a m (1.59) Esercizio 16 Una slia su roaie spina da razzi, viaia a una velocià di 1020km/h. All isane 1 la slia viene frenaa fino all arreso in 1.4s. Supponendo che per [ 1, 2 ] il moo sia uniformemene riardao, deerminare il valore dell accelerazione in ale inervallo di empo, e la disanza percorsa nella frenaa. Soluzione Orieniamo un asse x in direzione e verso del moo con oriine nel puno in cui la slia viene frenaa (isane 1 0). In ale isane la velocià è v 1 = 1020km/h m/s L equazione oraria del moo è x() = v a2, (1.60) da cui la velocià in funzione de empo v() ẋ() = v 1 a (1.61) Seue La disanza percorsa è v( 2 ) = 0 = a = v m/s 2 (1.62) d = x( 2 ) = v a m (1.63)

22 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 19 Esercizio 17 Un ascensore ha una corsa oale H = 190m. La massima velocià raiunibile è v max = 5.08m/s, con parenza da fermo e con accelerazione cosane a = 1.22m/s Deerminare a quale alezza viene raiuna la velocià massima. 2. In visa del ermine di corsa (all alezza H) il moore decelera di 1.22m/s 2, in modo da arresare l ascensore all alezza H. Calcolare la duraa T dell inera corsa. Soluzione Assumiamo un asse y orienao verso l alo, con oriine nel puno di parenza dell ascensore ( = 0). L equazione oraria del moo si scrive: y() = 1 2 a2, 0 1 v max ( 1 )+d 1, a( 2) 2 +v max ( 2 )+d 2, 2 T, (1.64) dove: 1 è l isane in cui viene raiuna la velocià v max ; d 1 è l alezza al empo 1 ; 2 è l isane in cui l ascensore inizia a rallenare; d 2 è l alezza raiuna all isane 2. Per deerminare 1 deriviamo la funzione y(), oenendo la velocià scalare: deve essere Quindi Deve essere v() ẏ() = a, 0 1 v max, 1 2 a( 2 )+v max, 2 T v( 1 ) = v max = 1 = v max a (1.65) (1.66) d 1 = y( 1 ) = v2 max 10.58m 2a (1.67) { y(t) = H ẏ(t) = 0 (1.68) Cioè { 1 2 a(t 2) 2 +v max (T 2 )+d 2 = H a(t 2 )+v max = 0 Dalla seconda ricaviamo che sosiuia nella prima (1.69) T 2 = v max a, (1.70) v 2 max 2a }{{} =d 1 +d 2 = H = d 2 = H d 1 (1.71) Nell inervallo [ 1, 2 ] il moo è reilineo ed uniforme con velocià v max : 2 1 = d 2 d 1 v max = 2 = 1 + d 2 d 1 v max = 1 + H 2d 1 d 2 =H d 1 = 1 = vmax a H v max, v max

23 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 20 che ci permee di deerminare la duraa dell inera corsa. Infai, dalla (1.70) T = 2 + v max a = H + v max v max a s (1.72) In fi è riporao il diaramma orario dell ascensore. H d 2 y d T Fiura 1.13: Diaramma orario dell ascensore. Esercizio 18 Un elerone con velocià iniziale v 0 = m/s araversa una reione di spazio dove viene accelerao da un campo elerosaico, come mosrao in fi. 1.14, emerendo con velocià v 1 = m/s. Si deermini il modulo dell accelerazione, assumendo che ques ulima sia cosane, nonché il empo necessario per araversare la predea reione. d v 0 O x Fiura 1.14: L elerone enra nella reione sede di un campo elerosaico con velocià v 0 = m/s. Soluzione

24 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 21 Fissiamo un asse x con direzione e verso del moo dell elerone (fi. 1.14), e con l oriine nel puno iniziale della reione in cui ha sede il campo elerosaico. Quindi l equazione oraria del moo dell elerone si scrive: x() = v a2, (1.73) oveabbiamoassunocomeisaneiniziale 0 = 0l isaneincuil eleroneenranellareione. La velocià è: v() = v 0 +a (1.74) Se 1 è l isane in cui l elerone emere dalla reione, si ha: v 1 = v( 1 ) = v 0 +a 1, (1.75) menre Cioè d = x( 1 ) d = v a2 1 (1.76) Le (1.75)-(1.76) formano il seuene sisema { v a2 1 = d v 0 +a 1 = v 1, nelle inconie (a, 1 ). Ricaviamo 1 dalla seconda 1 = v 1 v 0 a per sosiuirlo nella prima oenendo (dopo i dovui passai) (1.77) a = v2 1 v 2 0 2d Infine dalla (1.77) ricaviamo il empo di araversameno m/s (1.78) s Esercizio 19 Calcolare la velocià media di un auomobile che percorre una srada in salia alla velocià v 1, per poi ripercorrerla in discesa alla velocià v 2 > v 1. Soluzione Una soluzione inenua ma sbaliaa, è dove v è la media arimeica delle velocià: v = v, (1.79) v = v 1 +v 2 2 Applicando invece, la definizione di velocià media: v = inero percorso empo impieao = 2d 1 + 2, (1.80)

25 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 22 essendo d la lunhezza della srada, menre 1 è il empo impieao in salia e 2 il empo impieao in discesa. Deve essere per cui Seue Cioè v = v 1 = d 1, v 2 = d 2, v 1 v 2 = 2 1 (1.81) 2d ) = 1 (1+ 2 eq. (1.81) 1 v = v 1v 2 v Ad esempio, se v 1 = 40km/h e v 2 = 60km/h, si ha: 2v 1 1+ v 1 v 2 v = 50km/h, v = 48km/h (1.82) Esercizio 20 (Il eso di queso esercizio è rao dali esercizi proposi di [1]. Nel seuio la soluzione proposa da noi). Un aeroplano compie un volo da Roma a Godhab e riorno, con parenza da Roma alle 18:50 e arrivo a Godhab alle 20:50 (ora locale). Al riorno decolla da Godhab alle 07:10 (ora locale) e aerra a Roma alle 17:10. Si assuma che il empo di volo sia uuale per enrambe le rae e che l aereo seua una roa reilinea con velocià media di 800 km/h. 1. Quan è il empo di volo (per una sola raa) dal puno di visa del passeero? 2. Quale è la differenza di fuso orario ra Roma e Godhab? 3. All incirca dove si colloca Godhab sul lobo erresre? Soluzione Sia il empo di volo da A Roma e B Godhab. Il eso dell esercizio dice che è anche il empo di volo da B ad A. Inolre, la velocià media è v = 800 km/h. Nell ipoesi di percorso reilineo (cfr. fi. 1.15), la disanza ra A e B è: d = v, (1.83) da cui non possiamo ricavare poiché non conosciamo d. Confronando l isane locale di parenza da A con l isane locale di arrivo a B, si oiene una duraa pari a 2 h (2 ore). Viceversa al riorno, ale duraa è 10 h. Ne conseue che il fuso orario di Godhab è indiero rispeo a quello di Roma, di una quanià che denoiamo con T f, e che può essere ricavaa enendo cono che i empi di volo di andaa/riorno coincidono. Abbiamo il seuene schema: A B A = 18 h 50 m, B = 20 h 50 m B A B = 07h 10 m, A = 17h 10 m

26 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 23 y Km x Km Fiura 1.15: Esercizio 20. L aeroplano pare da A Roma ed è direo a B Godhab, seuendo una roa reilinea. Rispeo al fuso orario di A: Rispeo al fuso orario di B: Soraendo membro a membro da cui T f = A + A 2 B + B 2 = B ( A T f ) = (1.84) A ( B +T f ) = (1.85) ( 18 h 50 m) + ( 17 h 10 m) ( 20 h 50 m) + ( 07 h 10 m), 2 2 T f = 4h (1.86) Cioè il fuso orario di Godhab è indiero di 4 h rispeo al fuso orario di Roma. Il empo di volo (per una sola raa) dal puno di visa del passeero si ricava, ad esempio, dalla (1.84): = ( 20 h 50 m) ( 18 h 50 m) +T f = 6h (1.87) Per rispondere all ulimo quesio, calcoliamo la disanza (1.83): d = 4800km, per cui Godhab si rova in Groelandia, come confermao dalla mappa di Goole riporaa in fi Esercizio 21 Una paricella elemenare (mesone µ) viene sparaa con velocià iniziale m/s in una reione di spazio sede di un campo elerico, che imprime una accelerazione di m/s 2 avene la sessa direzione della velocià ma di verso opposo. Si deermini: 1. l isane di arreso.

27 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 24 Fiura 1.16: Esercizio 20. Godhab nella mappa di Goole. 2. La disanza percorsa. Soluzione Il moo è monodimensionale per cui orieniamo un asse x in direzione e verso del moo, con l oriine nel puno in cui il mesone enra nella reione sede del campo elerico (cfr. fi. 1.17) I dai sono v 0 = m/s e a = m/s 2. Il moo è uniformemene riardao, onde l equazione oraria del mesone è: quindi la velocià: che ci permee di deerminare l isane di arreso: Cioè x() = 1 2 a2 +v 0, (1.88) v() ẋ() = v 0 +a, (1.89) v() = 0 = v a (1.90) = s Sosiuendo l espressione di (eq. (1.90)) nella (1.88) oeniamo l ascissa del puno di arreso, ovvero la disanza percorsa: x = x( ) = v2 0 2a = 0.104m = 1.04cm (1.91)

28 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 25 a O v 0 Fiura 1.17: Esercizio 21. Il campo elerico è definio per x 0. Esercizio 22 Un reno ransia alle 15:28 alla sazione A alla velocià v 1 = 60km/h. Il convolio deve raiunere la sazione B, disane d = 20 km da A, alle 15: Quale accelerazione deve dare il macchinisa per poer raiunere B in perfeo orario? 2. Con quale velocià v 2 passerà il reno dalla sazione B? 3. Se, iuno in B, il macchinisa rova il senale rosso di arreso, in quani meri e in quano empo può arresare il reno, applicando una decelerazione a 2 = 3m/s 2? Svolimeno Nel percorso coniunene la sazione A alla sazione B, il reno compie un moo reilineo uniformemene accelerao. Assumiamo il puno A come oriine del riferimeno caresiano sull asse x coniunene A con B e orienao da A verso B, per cui l equazione del moo è: x() = v a 1 2, (1.92) dove a 1 > 0 è l accelerazione. Nella (1.92) abbiamo assuno come isane iniziale = 0, l isane 1 in cui il reno ransia per A. La richiesa di ransio per B in perfeo orario si raduce nella richiesa x( 2 ) = d = m, dove 2 = 15 minui che espresso in secondi 2 = 900s. Dalla (1.92): d = v a = a 1 = 2(d v 1 2 ), 2 2 a pao di esprimere v 1 in m/s. Abbiamo: v 1 = m/s 16.67m/s. Quindi dall equazione precedene: a 1 = 2( ) m/s m/s 2 Passiamo al quesio 2. Innanziuo deerminiamo la velocià v 2 con cui il reno ransia per B. A ui i empi è: v() = v 1 +a 1,

29 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 26 per cui Eseuendo i calcoli: v 2 = v( 2 ) = v 1 +a 1 2 v m/s 100km/h Quesio 3: nell isane 2 il macchinisa rallena decelerando (a 2 = 3m/s 2 ), per cui l equazione oraria per 2 è: e la velocià per 2 : x() = d+v 2 ( 2 )+ 1 2 a 2( 2 ) 2 (1.93) v() = ẋ() = v 2 +a 2 ( 2 ) Da ale equazione possiamo ricavare l isane di arreso che denoiamo con 3. Dobbiamo imporre v( 3 ) = 0 = 3 = 2 v 2 a 2 Il problema chiede l inervallo di empo olre il quale il reno si ferma. Quindi dall equazione precedene: 3 2 = v 2 = s 9.25s a 2 3 Se inseriamo 3 2 = v 2 a 2 nella (1.93) oeniamo lo spazio percorso: x def = x( 3 ) d = v2 2 2a m Esercizio 23 Il uidaore di un auomobile che viaia a una velocià v 0, avvisa una barriera B disane d (in meri). Nonosane l azione dei freni piiai nell isane di avvisameno, dopo un empo τ (in secondi) l auo sfonda la barriera. 1. Assumendo il numero reale τ > 0 come paramero indipendene, deerminare il modulo dell accelerazione durane la fase di rallenameno e la velocià nell isane dell uro. Discuere il comporameno al variare di τ. A quale inervallo deve apparenere τ affinchè l esercizio abbia senso? 2. Tracciare il diaramma orario. (Nella fase di rallenameno si consideri un moo uniformemene riardao). Soluzione Assumiamo un asse x orienao nella direzione e verso del moo, con oriine nel puno di avvisameno della barriera B (fi. 1.18). È preferibile raionare in ermini di diaramma orario, enendo cono che abbiamo l ovvia equazione oraria: x() = v a2, (1.94) ovvero l equazione (nel piano x) di una parabola per l oriine e con la concavià verso il basso. Siccomel auouralabarriera, sicheilvericev dellaparabolahacoordinae( V,x V ) ali che V > τ, come illusrao in fi

30 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 27 B v 0 O d x Fiura 1.18: Esercizio 23. x x V d Τ V Fiura 1.19: Esercizio 23. Andameno del diaramma della funzione (1.94).

31 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 28 Dalla (1.94) ricaviamo V = v 0 a, per cui τ < v 0 a D alra pare, la parabola (1.94) passa per il puno (τ,d), onde da cui ricaviamo il modulo dell accelerazione: Per definizione di modulo, deve essere d = v 0 τ 1 2 aτ2, a = 2 τ 2 (v 0τ d) (1.95) a 0 2 τ 2 (v 0τ d) 0 τ d v 0 (1.96) Il caso paricolare τ 0 def = d v 0, a(τ 0 ) = 0, (1.97) corrisponde alla siuazione in cui non venono azionai i freni, per cui il moo è reilineo ed uniforme con velocià v 0. Escludendo queso caso, la (1.96) si riscrive: La velocià a ui i empi è τ > d v 0 (1.98) v() ẋ() = v 0 a Ne conseue che al empo τ cioè nell isane dell uro il modulo della velocià è Tenendo cono della (1.95): v 1 = v(τ) = v 0 aτ v 1 = 2d τ v 0 (1.99) Evidenemene l auo ura la barriera B 2d τ v 0 > 0 In definiiva il paramero τ deve verificare la doppia disuualianza: τ 0 < τ < 2τ 0, dove τ 0 è dao dalla (1.97). Il racciameno del diaramma orario richiede la conoscenza dell accelerazione nella fase di penerazione della barriera. Assumendo una barriera impenerabile, si ha che l auo si ferma all isane τ, per cui x() = { v0 ( τ) 2(v0 τ d), [0,τ] d, (τ,+ ) (1.100)

32 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 29 x d P Τ Fiura 1.20: Esercizio 23. Diaramma orario. La velocià: per cui v() = { v0 2 τ 2 (v 0 τ d), [0,τ] 0, (τ,+ ), (1.101) 2d lim τ v() = τ v 0, lim τ +v() = 0 Quindi = τ è un puno di disconinuià di prima specie per la funzione v(). Ne conseue che P (τ,d) è un puno anoloso del diaramma orario, come mosrao in fi Concludiamo raficando (fi. 1.21) la velocià in funzione del empo daa dall eq v v 0 v 1 Τ Fiura 1.21: Esercizio 23.Andameno della velocià. Esercizio 24 Siano A e B due corridori. All isane = 0 enrambi parono dallo sesso puno. Il corridore A iune al rauardo disane D, nell isane in cui si rova a disanza d dal predeo rauardo. In seuio a ale vioria, A decide di dare la rivincia a B, posizionandosi a una disanza d più indiero dalla linea di parenza. Deerminare il risulao di quesa seconda confiurazione di ara.

33 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 30 Soluzione Assumiamo come sisema di riferimeno un asse x con oriine O nel puno di parenza e orienao da O verso T, essendo T il rauardo, come mosrao in fi I confiurazione di ara Dal momeno che non è specificao il caraere del moo (uniforme o non), lasciamo inespresse le lei orarie di A e B, rispeivamene, scrivendo: avendosi e essendo 1 > 0 l isane in cui A iune al rauardo. x 1 (), x 2 (), (1.102) x 1 (0) = x 2 (0) = 0, (1.103) x 1 ( 1 ) = D, x 2 ( 1 ) = D d, (1.104) O T x Fiura 1.22: Sisema di riferimeno. Il rauardo T disa D dall oriine, i.e. è il puno dell asse x di ascissa D. II confiurazione di ara In quesa confiurazione il corridore A nell isane iniziale = 0 è più indiero rispeo alla linea di parenza, di una disanza d (la sessa che comparare nella seconda delle (1.104)). Le equazioni orarie dei corridori si scrivono: x 1 () = x 1 () d, x 2 () = x 2 () Si noi che la seconda è invariaa, poiché la seconda confiurazione conserva le condizioni iniziali di B. Dalla prima delle (1.104) si oiene: menre dalla seconda delle si ha x 1 ( 1 ) = x 1 ( 1 ) d = D d, x 2 ( 1 ) = D d (1.105) In alri ermini, nell isane 1 enrambi i corridori si rovano alla sessa disanza d dal rauardo. MalavelociàdiAèmaioredellavelociàdiB, percuiapercorreràladisanza

34 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 31 d più rapidamene, vincendo la ara. Verifichiamo ale conclusione nel caso paricolare di moo reileneo ed uniforme: Seue cioè Ma enendo cono della (1.105) x 1 () = d+v 1, x 2 () = v 2, (v 2 < v 1 ) (1.106) x 1 () = x 2 () d+v 1 = v 2, = d v 1 v 2 1 (1.107) v 2 1 = D d D = v 1 v 1 v 2 d da cui d = v 1 v 2 D (1.108) v 1 Sia 1 > 1 l isane in cui A iune al rauardo, i.e. x 1 ( 1) = D d+v 1 1 = D, onde Tenendo cono della (1.108): 1 = D+d v 1 1 = D (2v v1 2 1 v 2 ), che ci consene di calcolare l ascissa di B quando A iune al rauardo: ( ) 2 ( x 2 ( 1) = v 2 v2 1 = 2 v ) 1 1 D (1.109) v 2 Definiamo il paramero adimensionale: Con ale posizione, la (1.109) divena: v 1 0 < α = v 2 v 1 < 1 (1.110) x 2 ( 1) = f (α)d, avendo definio: f (α) = α 2 ( 2 α 1 ) = α 2 +2α, α (0,1), risulando manifesamene menre neli esremi: 0 < f (α) < 1, α (0,1) f (0) = 0 = x 2 ( 1) = 0, v 2 = 0 (B è fermo) f (1) = 1 = x 2 ( 1) = 0, v 1 = v 2 (A e B iunono insieme al rauardo) Ne conseue che nell isane 1 in cui A iune al rauardo, B ha percorso una disanza x 2 ( 1) < D. I corrispondeni diarammi orari sono riporai in fi

35 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 32 x D d' D d 1 ' 1 d Fiura 1.23: Esercizio 24. II confiurazione di ara. Nell isane 1 in cui A iune al rauardo, B è indiero di d. Esercizio 25 Una veura ramviaria percorre in cià una linea chiusa luna l fermandosi n vole a disanze uuali; alla parenza da oni fermaa il ram accelera con accelerazione cosane a + fino a raiunere la velocià v 0, poi, in visa della successiva fermaa, decelera con decelerazione cosane a. Calcolare, rascurando il empo di fermaa, il empo T necessario per effeuare l inero percorso. Discuere, infine, il comporameno per n +, supponendo che l sia cosane. (La decelerazione è daa in valore assoluo, per cui è a > 0, assumendo poi a a + ). Soluzione È isruivo svolere alcune considerazioni riferendosi a un enerico n N, osservando innanziuo che il percorso seuio dal ram può essere schemaizzao araverso una polionale Λ n di lunhezza l, con lai di lunhezza uuale d = l. Ne conseue che oni n verice V k (per k = 1,2,...,n) è una fermaa. Ed è facile convincersi che il minimo numero di verici/fermae è n min = 3. Infai: Numero di fermae Luoo dei puni n = 0 Λ 0 = n = 1 Λ 1 = {V 1 } n = 2 Λ 2 = V 1 V 2 n = 3 Λ 3 = rianolo equilaero di verici V 1,V 2,V n Λ n = polionale di verici V 1,V 2,...,V n Denoiamo con k l isane in cui il ram pare dalla sazione V k. Siccome siamo rascurando il empo di fermaa, si ha che k è anche il empo di arrivo in V k. In alri ermini, il ram arriva e pare da V k all isane k, con k = 1,2,...,n. Consideriamo allora il percorso k-esimo, ovvero il semeno di esremi V k e V k+1 (cfr. fi. 1.24) che, per quano precede, ha lunhezza d = l/n. Ne conseue che k+1 k è il empo impieao per percorrere il predeo raio. Quindi il empo richieso per coprire l inero percorso è n 1 T n = ( k+1 k ) (1.111) k=1

36 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 33 Perano il problema è risolo se riusciamo a deerminare il ermine k-esimo della sommaoria, cioè l inervallo di empo k+1 k. A ale scopo, denoiamo con k,+ > k l isane in cui il ram raiune (nel k-esimo percorso) la velocià v 0. Il problema dice che per k,+ il ram viaia a velocià cosane (v 0 ) fino all avvisameno della fermaa V k+1. Indichiamo allora con k, > k,+ ale isane. È chiaro, quindi, che per [ k,, k+1 ] il moo è uniformemene decelerao fino al raiunimeno di V k+1. d V k V k 1 V k d d 0 d V k 1 k, k, Fiura 1.24: Percorso che unisce la fermaa V k alla fermaa V k+1, per un assenao k {1,2,...,n}. All isane k,+ il ram raiune la velocià v 0, menre al empo k, > k,+ avvisa la fermaa V k+1. In queso schema è a > a +. Ciò premesso, scriviamo l inervallo k+1 k come somma di re conribui: k+1 k = ( k+1 k, )+( k, k,+ )+( k,+ k ) (1.112) Si raa, dunque, di calcolare i sinoli ermini ra parenesi a secondo membro della (1.112). Prima di procedere, osserviamo che i dai fornii dal problema sono: v 0,a +,a a + Assenando un sisema di ascisse con oriine in V k, l equazione oraria del moo del ram è s() = 1 2 a +( k ) 2, [ k, k,+ ] (1.113) Qundi la velocià scalare: v() = ṡ() = a + ( k ), [ k, k,+ ] (1.114) Per quano precede da cui v 0 = v( k,+ ) = a + ( k,+ ), (1.115) k,+ = v 0 a +, (1.116)

37 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 34 cioè il erzo ermine a secondo membro della (1.112). Nell inervallo [ k,+, k, ] il moo è reilineo ed uniforme (a velocià v 0 ), per cui la disanza percorsa è d 0 = v 0 ( k, k,+ ), da cui ricaviamo il secondo ermine a secondo membro della (1.112) k, k,+ = d 0 v 0, (1.117) con l avverenza che non conosciamo d 0. Nell inervallo [ k,, k+1 ] il moo è uniformemene decelerao con decelerazione (in valore assoluo) a. Assenando un sisema di ascisse con oriine nella posizione occupaa dal ram all isane k,+, l equazione oraria del moo si scrive: Derivando oeniamo la velocià Il ram si ferma a V k+1 : da cui s() = v 0 ( k, ) 1 2 a ( k, ) 2, [ k,, k+1 ] (1.118) v() = ṡ() = v 0 a ( k, ), [ k,, k+1 ] (1.119) v( k+1 ) = 0 = v 0 = a ( k+1 k, ), k+1 k, = v 0 a, (1.120) cioè il primo ermine a secondo membro della (1.112). Sosiuendo le (1.120)-(1.117)-(1.116) nella (1.112), oeniamo: k+1 k = d ( 0 1 +v ) (1.121) v 0 a + a Per rovare d 0, denoiamo con d + e d lo spazio percorso nella fase acceleraa e nella fase deceleraa, rispeivamene (cfr. fi. 1.24). Deve essere d + +d 0 +d = d = l n Seue d 0 = l n (d + +d ) (1.122) Dobbiamo allora deerminare le disanze d ±. Dalla (1.113): Dalla (1.118) d + = s( k,+ ) = 1 2 a +( k,+ k ) 2 = eq. (1.116) v 2 0 2a + (1.123) d = s( k+1 ) = v 0 ( k+1 k, ) 1 2 a ( k+1 k, ) 2 (1.124) = eq. (1.120) v 2 0 2a

38 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 35 In al modo la (1.122) divena: d 0 = l n v2 0 2 ( ) a + a (1.125) Finalmene k+1 k = l + v ( ), (1.126) nv 0 2 a + a che è indipendene da k. Ne conseue che il empo necessario a compleare l inero percorso Λ n è: T n = n( k+1 k ) = l + nv ( ) (1.127) v 0 2 a + a Per n + lim T n = + n + Infai, il empo oale T n aumena linearmene in funzione del numero di fermae n. La rapidià con cui cresce è inversamene proporzionale a a ±. Eseuendo l operazione di passaio al limie per a ± 0 + : T n +, n, a ± 0 + iacché occorerebbe un empo infinio per passare da una velocià nulla alla velocià v 0 (per a + = 0). Nel limie opposo: l T n, n a ± + v 0 Cioè il ram passa isananeamene da v = 0 a v = v 0 in corrispondenza di una qualunque fermaa, e viceversa, da v = v 0 a v = 0 per fermarsi alla successiva. In al modo, ci si svincola da n: T = l, (1.128) v 0 e k+1 k = l = T nv 0 n, (1.129) per cui k+1 k 0 (1.130) n + Ovviamene Il corrispondene percorso è l n( k+1 k ) 0 T = (1.131) n + v 0 lim n + Λ n Si raa di una polionale in cui oni puno è un verice. Un ale luoo eomerico è manifesamene una curva di Koch.

39 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO Corpi in cadua libera Esercizio 26 Si deermini il rapporo ra i empi di cadua libera, a parià di alezza, su un pianea X e sulla Terra, sapendo che X = n, dove n > 1 menre = 9.8m/s2 è l accelerazione di ravià sulla Terra. Soluzione Orieniamo un asse vericale y verso il basso con l oriine nel puno in cui viene lasciaa cadere una paricella di prova nell isane = 0. Sul pianea X l equazione oraria si scrive: Se h è l alezza da cui è lasciaa cadere la paricella: y X () = 1 2 X 2 (1.132) h = y( X ) = 1 2 X 2 X, dove X è manifesamene il empo di cadua su X: 2h X = (1.133) X Ripeendo l esperimeno sulla Terra: T = 2h T (1.134) Seue X T = (1.135) T X Ma X =, per cui n X = n (1.136) T Ne concludiamo che sul pianea X il empo di cadua libera è maiore del corrispondene empo di cadua sulla Terra, di un faore n, per n > 1. Esercizio 27 Su un pianea X privo di amosfera e con accelerazione di ravià X = n, dove n > 1, un asronaua lancia un sasso vericalmene verso l alo con velocià iniziale v 0. Si deermini il rapporo ra la massima alezza H max raiuna su X, e il corrispondene valore H max raiuno sulla Terra, a parià di velocià iniziale. (Trascurare la resisenza dell aria sulla Terra). Ripeere l esercizio considerando velocià iniziali diverse: sul pianea X è v 0X, menre sulla Terra v 0T = v 0X n. Soluzione Pianea X Orieniamo un asse vericale y verso l alo con l oriine nel puno di lancio del sasso nell isane = 0. Ciò implica la seuene equazione oraria: y X () = v X 2 (1.137)

40 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 37 Derivando oeniamo la velocià scalare v X () = v 0 X, (1.138) equindil isaneincuivieneraiunalamassimaalezzah max, qualeradicedell equazione: v X () = 0 Cioè per cui max = v 0 X, H max = y X ( max ) = v2 0 2 X (1.139) Terra Ripeendo le considerazioni fae per il pianea X, si oiene: H max = v2 0 2 X (1.140) Perano Ma X = n, quindi H max H max H max H max = X (1.141) = 1 n (1.142) Nel caso di velocià iniziali diverse, cioè v 0X sul pianea X e v 0T sulla Terra, le (1.139)- (1.140) divenano H max = v2 0X 2 X, H max = v2 0T 2 X, onde Ma v 0T = v 0X n : H max H max = 1 n H max H max ( v0x v 0T ) 2 (1.143) = n (1.144) Cioè se la velocià iniziale sulla Terra è v 0X n, la massima alezza raiuna X è n vole la massima alezza raiuna sulla Terra. Concludiamo osservando che H max = H max v 0T = v 0X n (1.145) Esercizio 28 Un fan della paina facebook di Isaac Newon è affacciao su un cavalcavia di alezza h = 6 m rispeo al livello di un auosrada. Nell isane = 0 inavveriamene li cade una mela. Nello sesso isane il muso di un auoreno in moo si rova sulla vericale passane per la mela in cadua libera. Sapendo che l auoreno è luno l = 15m e che la mela cade sfiorando la coda del veicolo, calcolare la velocià di ques ulimo. (Trascurare la resisenza dell aria e supporre che il moo del camion sia reilineo ed uniforme).

41 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 38 Soluzione Orieniamo un asse vericale y verso il basso con l oriine nel puno in cui cade la mela nell isane = 0. Ciò implica la seuene equazione oraria: La mela colpisce il suolo all isane h ale che y( h ) = h. Quindi: y() = (1.146) h = h (1.147) Inolre, la mela sfiora la coda del camion, per cui nell inervallo di empo [0, h ] il veicolo ha percorso una disanza pari alla sua lunhezza, cioè l = 15m. Per ipoesi il moo è reilineo ed uniforme, onde la velocià dell auomezzo è: Ricaviamo h dalla (1.147): v 0 = l h (1.148) h = 2h, che sosiuia nella (1.148): v 0 = l 13.56m/s 48.80km/h (1.149) 2h Esercizio 29 Un affascinane ammirarice di Isaac Newon lancia una mela verso l alo. La mela ransia per il puno P 1 con una velocià inoa che denoiamo con v 1. Quando ransia per il puno P n siuao d meri più in alo rispeo a P 1, la velocià è v n = v 1 n, dove n 2 è un inero naurale noo. Deerminare: la velocià v 1 in funzione di d. La massima alezza raiuna dalla mela rispeo al puno P n (dai numerici: n = 3, d = 5m). Discuere il limie per n +. Soluzione È preferibile porre l oriine del sisema di riferimeno (asse y orienao verso l alo) non nel puno di lancio, ma nel puno P 1. Quindi l equazione oraria della mela è: La velocià della mela in funzione del empo si scrive: y() = v (1.150) v() = v 1, (1.151) da cui possiamo deerminare la massima quoa (rispeo a P 1 ). Precisamene, dalla (1.151) possiamo deerminare l isane in cui viene raiuna la massima quoa: v() = 0 = v 1 def = max (1.152)

42 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 39 E quindi l alezza massima raiuna: H = y( max ) = v2 1 2 (1.153) La coordinaa di P n è y n = d che è una quanià noa, menre la velocià in P n è: v n = v 1 n L isane di ransio per P n si ricava dalla (1.151): Cioè v 1 = v 1 n n = n 1 v 1 n D alra pare n è una radice dell equazione y() = d: (1.154) (1.155) v = d 2 2v 1 +d = 0, da cui = v 1 ± v 2 1 2d Il seno iuso è quello inferiore (cfr. fi. 1.25) per cui (1.156) che confronaa con la (1.155) pore n = v 1 v1 2 2d, (1.157) n 1v 1 n = v 1 v 2 1 2d Cioè v1 2 2d = v 1 n, che risola rispeo a v 1 : 2d v 1 = n n 2 1 La massima alezza raiuna rispeo al puno P n è: (1.158) h n = H d (1.159) Tenendo cono delle (1.153)-(1.158): h n = 1 2 n2 2d n 2 1 d Cioè h n = d n 2 1 (1.160)

43 CAPITOLO 1. MOTO RETTILINEO 40 H y d n max ' n Fiura 1.25: Deerminazione per via rafica dell isane n in cui la mela ransia per il puno P n poso d meri più in alo di P 1. Per n = 3, d = 5m: v 1 = 10.5m/s, h 3 = d 3 = 0.625m (1.161) Per n + è: cioè il puno è il puno di massima alezza. lim v n = 0, lim h n = 0, n + n + P = lim n + P n Esercizio 30 Una inriane superfan della paina Facebook di Isaac Newon è affacciaa a una finesra quando vede passare una pallina di omma in cadua libera. Da brava superfan di Newon, riesce a misurare il empo di ransio della pallina araverso l alezza h = 1.8m della finesra, oenendo τ = s. La pallina procede nella cadua libera per poi rimbalzare elasicamene, facendo così riorno sul bordo inferiore della finesra dopo un inervallo τ = 1.2 s misurao a parire dall isane di passaio per il medesimo puno durane la fase di discesa. Con quesi dai la superfan calcola l alezza dell edificio. Quale valore ha oenuo? Soluzione Assumiamo come sisema di riferimeno un asse y orienao verso il basso e con l oriine nel puno in cui viene lasciaa cadere la pallina che per quano precede, è schemaizzaa araverso un puno maeriale soeo all accelerazione di ravià, dove ques ulimo è un veore parallelo e concorde all asse y. Quindi: = j, = 9.8m/s 2 Quano deo è illusrao in fi Sia y() la funzione che definisce l equazione oraria; il problema fornisce i seueni dai: 1. incremeno y = y 2 y 1 della funzione corrispondene all incremeno = 2 1 della variabile indipendene. Qui y 1 e y 2 sono le coordinae dei bordi superiore ed inferiore della finesra, menre è il empo di ransio. I dai numerici sono: y = h = 1.8m, = τ = 0.122s (1.162) 2. La velocià subisce una variazione isananea nell isane H in cui la pallina occa il suolo rimbalzando elasicamene. Precisamene: lim v() = v H j, lim v() = v H j (1.163) H + H