DI STATO E MODELLI ITERATIVI

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1 4 VARIABII DI STATO E MODEI ITERATIVI 4.1 Corpo in aduta on attrito isoso 4.2 Calolo del odello ateatio iteratio e selta di t 4.3 Il ondensatore 4.4 Il iruito resistenza-ondensatore in serie 4.5 'induttore ed il iruito R serie 4.6 Variabili di stato 4.1 Corpo in aduta on attrito isoso Nel apitolo 1 abbiao studiato il oportaento di un sistea ostituito da un oggetto in aduta sotto l'effetto della forza di graità, supponendo l'assenza di forze di attrito. Nelle stesse ipotesi è stato effettuato lo studio del sistea "fionda + sasso" nel paragrafo 2.8. In questo paragrafo studiereo nuoaente il oto di un oggetto in aduta, on l'obbiettio però di inludere nella nostra trattazione anhe la forza di attrito del orpo on l'aria. Per fissare le idee, supponiao dunque di oler studiare la eloità di aduta di un sasso nell aria. Il sistea in questo aso è estreaente seplie, essendo ostituito dal solo sasso in aduta. Gli ingressi 1 he agisono sul sistea sono la forza di graità Fg e la forza di attrito on l aria Fa. 'usita del sistea è la eloità del sasso. Il odello ingressi-usite è ostrato in figura 4.1 Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Modello ingressi-usite del sistea "sasso in aduta" Il sistea è estreaente seplie e dunque non sebra neessario suddiiderlo ulteriorente in sottosistei: pertanto non oorre disegnare il odello a blohi. 1 Naturalente sarebbe possibile onsiderare anhe altri ingressi per il sistea (ad es. la forza del ento), a supponiao he tali altri ingressi possano essere onsiderati ininfluenti al fine del nostro studio. 1

2 Forze agenti sul sasso Per riaare il odello ateatio, studiao anzitutto le forze he agisono sul sasso. Per quanto riguarda la forza di graità, essa ale Fg =. g, doe è la assa del orpo e g è l aelerazione di graità (ira 9,8 /s 2 ). a forza di graità è sepre orientata ertialente dall alto erso il basso. Abbiao poi la forza di attrito he l'aria eserita sul orpo in aduta. Vi sono olti tipi differenti di forze di attrito ( sheda di approfondiento n.1): l'attrito on un gas (oe l'aria) iene detto attrito isoso. In pria approssiazione la forza di attrito isoso Fa risulta direttaente proporzionale ( sheda di approfondiento n.1 ap. 3) alla eloità del orpo ed il oeffiiente di proporzionalità iene detto oeffiiente di attrito isoso (K). Pertanto in generale la legge dell attrito isoso può essere sritta nel seguente odo: Fa = K. Il alore del oeffiiente di attrito isoso K dipende dal ezzo entro il quale si uoe il orpo (abia ioè a seonda del tipo di gas onsiderato) e dalla fora del orpo (ad es. una fora aerodinaia ridue il oeffiiente di attrito isoso). e unità di isura di K sono newton per seondi diiso etri (N. s/). Forza totale Torniao adesso al sasso in aduta. Coe si è detto, la forza di graità agise sepre dall'alto erso il basso. a forza di attrito isoso inee, oe tutte le forze di attrito, è sepre orientata in odo tale da opporsi al oiento del orpo. Pertanto per il sasso in aduta essa sarà orientata ertialente dal basso erso l alto. Se segliao oe erso positio 2 quello della aduta del orpo (ioè dall alto erso il basso), la forza totale he agise sul orpo stesso è data dalla differenza fra la forza di graità e la forza di attrito ( fig. 4.2): Ftot = Fg - Fa =. g - K. Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Versi delle forze agenti sul orpo in aduta 2 a selta di quale erso iene onsiderato positio è del tutto libera e arbitraria. A ondizione he tutti i segni engano stabiliti in odo onfore alla selta effettuata, in entrabi i odi si ottengono alla fine gli stessi risultati. 2

3 Seonda legge di Newton a forza totale agente sul orpo è iportante in quanto i onsente di deterinare l aelerazione ipressa al orpo stesso. Infatti per la seonda legge di Newton : Ftot =. a da ui l aelerazione a del sasso può essere ottenuta da : a F F F g K tot g a Dipendenza dal tepo delle ariabili Questa forula non ostituise anora il odello ateatio del sistea, dal oento he non onsente il alolo della eloità di aduta del sasso (usita del sistea). Osseriao he nella preedente equazione alune 3 "ariabili" assuono alori ostanti: ad esepio hanno un alore ostante nel tepo la assa del sasso, l'aelerazione di graità g, la forza di graità Fg ed il oeffiiente di attrito isoso K. Non è inee ostante la eloità di aduta del orpo: infatti il sasso auenta progressiaente la propria eloità (ioè aelera). Pertanto non sono neppure ostanti la forza di attrito isoso Fa e l aelerazione a: infatti Fa e onseguenteente a dipendono da. Questa osserazione può essere resa più espliita, sriendo la dipendenza dal tepo aanto alle ariabili il ui alore non è ostante: a( t) F t F F t tot ( ) g a ( ) g K ( t) Moto on aelerazione non ostante Aelerazione edia ed aelerazione istantanea Poihé l aelerazione del orpo abia il proprio alore nel tepo, in questo aso non possiao utilizzare le leggi del oto uniforeente aelerato ( sheda di approfondiento n.1 ap. 1). Tali leggi algono infatti solo se l'aelerazione è ostante (è questo infatti il signifiato dell'espressione "uniforeente aelerato"). Pertanto è neessario troare un etodo alternatio per il alolo della eloità di aduta del sasso, ioè della usita del nostro sistea. Pria di proseguire oltre nello studio del nostro sistea, approfondiao breeente il onetto di aelerazione. In generale per deterinare l'aelerazione di un orpo in oiento, oorre sapere di quanto è auentata (o diinuita) la sua eloità in un interallo di tepo t. Ad esepio, olendo alolare l'aelerazione di un'auto durante un sorpasso, dobbiao onosere la eloità dell'auto pria 4 del sorpasso (t), la eloità dell'auto dopo il sorpasso (t+t) e la durata del sorpasso t. In base ai alori preedenti, l'aelerazione 5 a dell'auto è data da 3 In questo ontesto (e nel seguito del paragrafo) il terine ariabili iene usato in senso generio, senza distinguere fra ariabili propriaente dette e paraetri. A questo proposito edi anhe il paragrafo 2.9 e la sheda di approfondiento n.2 in fondo al apitolo. 4 Seondo la terinologia introdotta nel paragrafo 3.1, t rappresenta l'istante preedente e t+t rappresenta l'istante suessio. 5 In odo olto siile può essere sritta la definizione della eloità di un orpo in funzione dello spazio perorso. Infatti se s(t) rappresenta lo spazio perorso da un orpo in un erto istante t, la eloità istantanea del orpo (t) può essere definita oe 3

4 a ( t t) ( t) t In realtà a rappresenta l'aelerazione edia su tutta la durata del sorpasso. Questo fatto può produrre uriose onseguenze. Ad esepio, se la eloità finale dopo il sorpasso è uguale alla eloità iniziale pria del sorpasso (t+t) = (t), la forula preedente fornise a = 0. Questo però non signifia affatto he non i sia stata aelerazione durante il sorpasso, a solo he l'aelerazione è uguale a zero in edia. Bisogna dunque distinguere il onetto di aelerazione edia da quello di aelerazione istantanea. 'aelerazione istantanea a(t), oe die il noe, è l'aelerazione in orrispondenza di un deterinato istante di tepo t. Per alolarla oorre appliare la forula preedente segliendo un interallo di tepo t olto bree (nel aso ideale si dorebbe aere 't = 0'): a( t) ( t t) ( t) t Il sibolo di ira uguale india he si tratta di una approssiazione: per ottenere il alore esatto dell'aelerazione istantanea bisognerebbe infatti porre t = 0, a questo non è possibile, poihé si arebbe una diisione per zero 6. Doreo pertanto aontentari di segliere per t un alore olto piolo, in odo he l'approssiazione di alolo risulti suffiienteente aurata. a forula preedente iene talolta sritta in notazione opatta nel seguente odo a( t) t doe on iene indiata la differenza (t+t) - (t). Modello ateatio iteratio Utilizzando l equazione troata per a(t), possiao ora sostituire la ariabile a(t) nella forula g K ( t) a( t) Abbiao dunque: ( t t) ( t) g K ( t) t Si noti la oparsa del sibolo di ira uguale, a ausa dell'approssiazione introdotta on il alolo della aelerazione. Non è diffiile edere he si tratta di una forula di tipo iteratio, sorprendenteente siile a quelle inontrate nel apitolo 3 per il alolo delle popolazioni. Risriiao infatti l'equazione isolando a sinistra dell uguale la eloità all istante t+t. Abbiao: s( t t) s( t) ( t) t 6 Per ezzo del alolo di un liite è possibile fare tendere a zero t. Vedi il apitolo 1 del olue 3. 4

5 g K ( t) ( t t) ( t) t usita opare sia a sinistra he a destra dell uguale, a alolata in due istanti di tepo diersi. a nostra equazione ostituise un odello ateatio per il sistea "sasso in aduta"? Per rispondere alla doanda è suffiiente erifiare se tale equazione onsente di alolare l'usita del sistea. Questo è effettiaente possibile, oe si edrà nel prossio paragrafo. Un altro odo per oprendere se una erta forula è oppure no un odello ateatio di un sistea onsiste nel erifiare se tutti i terini della forula (ad eezione della ariabile di usita, he ostituise l'inognita) sono noti. Nel nostro aso le "ariabili" presenti sono: - l'inognita 7 (t): iò he si uole alolare. - la assa ed il oeffiiente di attrito isoso K: si tratta di paraetri del sistea 8 e pertanto il loro alore si suppone noto. - la ostante di aelerazione graitazione g: ale ira 9,8 /s 2. - l'interallo di tepo t. Coe si ede l'unio terine di ui non si onose a priori il alore (a parte l'usita ) è l'interallo di tepo t. Tuttaia si è detto he t dee essere selto in odo he sia il più piolo possibile, per igliorare la preisione di alolo del odello iteratio. Nel prossio paragrafo edreo quale signifiato bisogna attribuire all'espressione "il più piolo possibile". 4.2 Calolo del odello ateatio iteratio e selta di t Il alolo del odello ateatio iteratio del sistea "sasso in aduta" può essere effettuato in odo analogo a quanto isto nel apitolo 3 per le popolazioni aniali. Coe sepre aade per il alolo di una equazione iteratia, è neessario onosere il alore iniziale dell usita per poter alolare di onseguenza tutti i alori suessii. Supponiao ad esepio he il sasso inizi a adere da fero. Pertanto la eloità iniziale è zero, ioè (0) = 0 /s. Supponiao poi he si abbia = 0,1 kg, K = 0,6 N. s/. Supponiao infine di oler onosere il alore della eloità del orpo nei prii due deii di seondo dall inizio della aduta. Per effettuare il alolo segliao arbitrariaente per t un alore pari a un deio di seondo (t = 0,1 s): in questo odo saranno neessarie due iterazioni del odello ateatio per ottenere tutti i alori dell usita. Iniziao il alolo sostituendo nella forula generale 9 all istante t il alore zero (istante iniziale). Abbiao dunque: 7 Il terine inognita è l'equialente ateatio del terine usato in teoria dei sistei "usita". 8 Più preisaente è un paraetro del sistea e K è un paraetro dell'interfaia fra il sistea ed il ondo esterno. Vedi la sheda di approfondiento n.2. 9 Il proediento di alolo del odello iteratio è lo stesso usato nel paragrafo 3.3 per il alolo di una popolazione on risorse liitate. 5

6 t t g K ( 0) ( 0 ) ( 0),,, ( t) ( 0, 1s) 0 0, , 98 / s 0, 1 Siao osì riusiti a alolare la eloità del orpo all istante t = 0,1 s. A questo punto possiao appliare nuoaente il odello ateatio iteratio sostituendo nella forula generale al posto di t il alore 0,1 s. Abbiao quindi: t t g K ( 1) ( 0, 1 ) ( 0, 1),,,, ( 0, 1 t) ( 0, 2s) 0, 98 0, , 37 / s 0, 1 Volendo il alolo potrebbe essere ripetuto allo stesso odo per gli istanti di tepo suessii. Abbiao detto he, per il alolo preedente, il alore di t è stato selto in odo arbitrario. Naturalente sarebbe possibile effettuare il alolo on t = 0,2 s: in questo aso sarebbe neessaria una sola ripetizione dell equazione iteratia. Al ontrario, segliendo ad esepio il alore t = 0,05 s, per alolare (0,2 s) oorrerebbero quattro iterazioni del odello ateatio. Da tali onsiderazioni eerge on hiarezza il fatto he più piolo è il alore selto per t, aggiore è il nuero di aloli da effettuare. Ciò ostituise una aratteristia generale dei odelli ateatii iteratii. Tuttaia è interessante erifiare he osa abia nei risultati, effettuando il alolo on diersi alori di t. a tabella 4.1 riporta i alori della eloità del sasso alolati on dierse selte di t (on = 9,1 kg e K = 0,6 N. s/). t [seondi] on t = 0,005 s on t = 0,01 s on t = 0,05 s on t = 0,1 s on t = 0,2 s 0,00 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,05 0,429 0,435 0,490 0,10 0,745 0,754 0,833 0,980 0,15 0,978 0,988 1,073 0,20 1,150 1,159 1,241 1,372 1,960 Tabella 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Calolo della eloità per diersi alori di t Tale tabella i perette di onstatare he, abiando il alore di t, effettiaente abiano anhe i alori alolati per la eloità. In partiolare si può osserare oe i 6

7 alori di alolati negli stessi istanti diinuisano progressiaente 10 al diinuire di t. Certaente i risultati più orretti sono quelli ottenuti on t = 0,005 s: infatti il odello ateatio del orpo in aduta risulta tanto più esatto quanto più piolo 11 è il alore di t: igliora infatti la preisione nel alolo dell'aelerazione istantanea a(t). Tuttaia si nota he ia ia he si ridue il alore di t, i alori di agli stessi istanti si aiinano sepre di più. Ad esepio i risultati ottenuti on t = 0,01 s sono pratiaente identii a quelli ottenuti on t = 0,005 s: la differenza fra i alori orrispondenti è infatti di poo superiore all'uno per ento. Ciò signifia he, nel nostro aso, la preisione del alolo non auenta sensibilente segliendo un alore di t inore di 0,01 s. Dal oento he al diinuire del alore di t auenta il nuero di aloli neessari, non oniene dunque segliere un alore inferiore 12 a 0,01s. Selta di t Possiao dunque afferare, in base alla preedente disussione, he in generale è possibile deterinare per t un alore di oproesso fra la preisione dei risultati ed il nuero di aloli neessari. In pratia si proede nel seguente odo: a) Si effettua la siulazione del sistea ol odello ateatio iteratio, utilizzando un alore t1 abbastanza grande da onsentire un nuero di aloli ragioneolente basso Si osseri inoltre he on t = 0,005 s sono neessarie ben 40 ripetizioni del odello iteratio, per poter alolare (0,2)! Con t= 0,2 s inee è suffiiente un solo alolo. Si noti infine he i alori in t = 0,05' s e in t = 0,15' s on t = 0,1 s ed i alori in t = 0,05 s, t = 0,1 s, t = 0,15 s on t = 0,2 s sono indeterinati, in quanto non possono esser alolati. 11 Segliendo ieersa un alore troppo eleato per t, il alolo del odello iteratio potrebbe anhe fornire alori del tutto assurdi e inonsistenti. Ad esepio eseguendo il alolo on t = 2 s, otteniao: (0) = 0 /s (2) = 19,6 /s (4) = -196 /s (6) = 2175,6 /s I alori preedenti sono eidenteente senza senso e iò è douto al alore eessiaente grande di t. Vedi anhe le analoghe osserazioni effettuate nel paragrafo 4.4 a proposito del odello iteratio del iruito RC serie. 12 Naturalente il disorso è alido se un errore pari a ira l'uno per ento può essere ritenuto aettabile. Se i si aontenta inee di un errore di ira il 10%, allora è possibile ridurre ulteriorente il nuero di aloli segliendo t = 0,05 s. Se inee si uole aere un errore inferiore, oorre segliere un alore di t più piolo. 13 Il nuero di aloli N dipende dalla durata dell'interallo di tepo he si uole siulare T e dal alore di t (N = T/t). Oorre inoltre tenere presente he la selta di t dipende anhe da quali e quanti istanti interedi si ogliono alolare: ad esepio, se si desidera onosere il alore assunto dall'usita ad interalli di un seondo, non è oiaente possibile segliere per t un alore aggiore di un seondo. 7

8 b) Si ripete la siulazione on un alore t2 diei olte 14 inferiore al preedente (t2 = 0,1 t1). ) Se i risultati della siulazione effettuata al punto b sono uguali (negli stessi istanti di tepo 15 e nei liiti del argine di errore ritenuto aettabile) a quelli alolati al punto a, allora il alore t1 (ioè il più grande 16 fra i due t) può essere ritenuto aettabile. d) In aso ontrario, oorre ripetere la siulazione on un alore t3 diei olte inferiore a t2 (t3 = 0,1 t2). Si effettua nuoaente il onfronto fra i alori ottenuti on t2 e on t3: se i alori sono approssiatiaente oinidenti, allora si può segliere t2 (ioè sepre il alore più grande). In aso ontrario oorre proare anora on alori di t sepre più pioli, fintantohé i dati alolati negli stessi istanti di tepo non si stabilizzano. Preisione Paraetro del odello ateatio Si è ripetutaente afferato he "pioli alori" di t onsentono di ottenere risultati più preisi. Si tratta in questo aso di una preisione di tipo ateatio, nel senso he l'errore di alolo derese al diinuire di t. E iportante sottolineare he inee la preisione fisia del odello ateatio, ioè la orrispondenza fra i risultati del alolo teorio ed i alori isurati sperientalente, non dipende affatto da t. Infatti in generale un odello ateatio risulta tanto più preiso rispetto alle isure sperientali, quanto più aurate sono le ipotesi fisihe su ui è basato. Ad esepio, nel aso del sasso in aduta, si è fatta l'ipotesi he la forza di attrito isoso on l'aria Fa sia direttaente proporzionale alla eloità del sasso. In realtà la legge he esprie la dipendenza di Fa da è più oplessa, in quanto la forza di attrito dipende anhe dal quadrato della eloità del orpo ( sheda di approfondiento n. 1). Ciò iplia he il odello ateatio del sasso in aduta risulta approssiato dal punto di ista fisio e tale approssiazione non può essere igliorata riduendo il alore di t. a selta di t è dunque un problea eslusiaente di tipo ateatio he infatti, oe abbiao isto, può essere risolto per ezzo di soli aloli, senza effettuare isure sul sistea. Tali onsiderazioni ipliano he t non è ertaente un paraetro del sistea ( par. 2.9), dal oento he esso non è una proprietà del sistea studiato. Infatti, se abia il alore di t, non abia il sistea, a solo i risultati del alolo del odello ateatio. Per questo otio possiao afferare he t è un paraetro del odello ateatio iteratio, ioè esso è una aratteristia della forula, a non del sistea he da tale forula iene rappresentato. 14 Non è obbligatorio diidere ogni olta il alore di t per diei. 'iportante è he ad ogni siulazione enga usato un alore di t inferiore al preedente. 15 Si presti attenzione al fatto he, abiando il alore di t, abia anhe il nuero di aloli neessario per arriare ad un dato istante. Ad esepio on t = 1 s bastano due aloli per arriare allo istante t = 2 s, entre on t = 0,1 s ne oorrono enti. Questa osserazione è iportante quando si effettua il onfronto fra i alori dell'usita alolati on diersi alori di t: bisogna onfrontare i alori negli stessi istanti di tepo, non i alori ottenuti dopo un uguale nuero di ripetizioni del odello iteratio. 16 Si seglie il alore più grande in quanto, essendo la preisione ounque aettabile, onsente di effettuare un nuero inferiore di aloli rispetto a t2. 8

9 Grafio dei risultati della siulazione A onlusione del paragrafo, si osseri il grafio in figura 4.3, he riporta l'andaento della eloità del sasso in aduta in funzione del tepo. Tale grafio è stato riaato per ezzo del odello iteratio, on i alori = 0,1 kg, K = 0,6 N. s/ e t = 0,01 s. Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Andaento della eloità del sasso in aduta on attrito on l'aria? Notiao he la eloità del sasso rese inizialente in odo olto rapido. Col passare del tepo però essa tende a stabilizzarsi su un alore finale, pari a ira 1,6 /s. Dunque il sasso inizialente aelera, auentando la propria eloità. a sua aelerazione però diinuise progressiaente, finhé si annulla opletaente e la eloità dienta ostante. Tale fenoeno può essere spiegato osserando he il sasso è sottoposto a due forze di erso ontrario: la forza di graità ostante, Fg =. g, e la forza di attrito isoso, Fa = K., il ui alore auenta al resere della eloità del orpo. In pratia ad un erto punto la forza di attrito isoso assue un alore esattaente uguale e ontrario alla forza di graità. Quando iò si erifia, la forza totale agente sul sasso è nulla ed il orpo ontinua a adere senza aelerazione e on eloità ostante. Nei prossii paragrafi affrontereo lo studio di altri due sistei fisii (il iruito RC, nei paragrafi 4.3 e 4.4, ed il iruito R, nel paragrafo 4.5) desritti da un odello ateatio di tipo iteratio. o studio di tali sistei non ondurrà a siluppare nuoi onetti, rispetto allo studio del sistea "sasso in aduta": si tratta piuttosto di un approfondiento dei tei e delle probleatihe introdotte in questi due prii paragrafi. E' tuttaia iportante he il lettore oini a failiarizzarsi on questi sistei di tipo elettrio, in quanto essi saranno più olte ripresi ed approfonditi nei prossii apitoli (edi in partiolare il apitolo 8, interaente dediato ai sistei iruitali). 'ultio paragrafo 4.6 del apitolo ha inee lo sopo di riassuere e di organizzare i onetti ed i tei siluppati nei paragrafi preedenti. Per segliere il alore di t oorre eseguire esperienti sul sistea? Coe bisogna proedere? Spiegare. Un odello ateatio iteratio è eno preiso di uno finito? E' più preiso? Spiegare. 9

10 4.3 Il ondensatore Un ondensatore è un oponente elettrio dotato di due terinali (si tratta ioè di un bipolo).errore. Il segnalibro non è definito.errore. Il segnalibro non è definito. Esso è internaente ostituito da uno strato di isolante (dielettrio), il quale separa due arature etallihe. Ciò appare anhe dal sibolo elettrio del oponente ( fig. 4.4), il quale iene rappresentato ediante due arature stilizzate, separate da uno spazio uoto (he sta a siboleggiare lo strato isolante fra le arature): Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Sibolo iruitale del ondensatore Condensatore in ontinua Quando si applia una tensione ontinua (ioè ostante) ai api di un ondensatore, non si ossera nessun passaggio di orrente. Infatti la orrente non può passare attraerso un isolante e dunque non può esseri passaggio di orrente fra le arature di un ondensatore 17. Si ha tuttaia un auulo di arihe elettrihe sulle due arature: le arihe positie si auulano sull'aratura ollegata al terinale + del generatore di tensione, entre un'uguale quantità di arihe negatie si auula sull'aratura opposta ( fig. 4.5). Il alore della aria q sull aratura positia può essere deterinato in base alla seguente legge del ondensatore: q = C. 'equazione preedente affera he la aria risulta direttaente proporzionale alla tensione appliata. a ostante di proporzionalità C iene detta apaità del ondensatore. C è naturalente un paraetro del ondensatore ed il suo alore si isura in farad 18 (F). a aria sull aratura negatia è pari a -q, ioè le due arature hanno una aria uguale e opposta. Il ondensatore nel suo oplesso risulta pertanto elettriaente neutro Si die infatti he il ondensatore in orrente ontinua equiale ad un "tasto aperto". 18 Dal odello ateatio del ondensatore si ottiene subito he 1 farad = 1 oulob / 1 olt. 19 a aria positia è douta alla presenza di atoi nell aratura etallia, i quali hanno perduto elettroni; tali elettroni ananti dall'aratura positia li ritroiao sull altra aratura a forare la aria negatia. 10

11 Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Condensatore on tensione ontinua Condensatore on tensione ariabile Supponiao ora di appliare ai api di un ondensatore una tensione ariabile nel tepo (ad es. una alternata sinusoidale). In questo aso si ossera sperientalente un passaggio di orrente, isurabile on un aperoetro. Tale orrente tuttaia non può attraersare il dielettrio (he è un isolante), a è douta al trasferiento di aria fra le due arature del ondensatore attraerso il iruito esterno. Per apire eglio il problea, onsideriao un generatore di tensione ariabile ollegato ai api di un ondensatore. Iaginiao di appliare inizialente, ediante tale generatore, una tensione (t) fra le arature 20 : sulle due arature iene a loalizzarsi una aria elettria, positia sull aratura ollegata on il + del generatore e negatia sull altra aratura. Tali arihe elettrihe, in base alla legge del ondensatore, sono date da sull'aratura aria positiaente e da q(t) = C. (t) - q(t) = - C. (t) sull'aratura aria negatiaente. Supponiao adesso di ariare la tensione prodotta dal generatore, appliando al ondensatore una tensione 21 (t+t) aggiore della preedente (t). Poihé (t)< (t+t), allora si ha anhe q(t) < q(t+t). Dunque la aria presente sulle due arature è auentata. Che osa è suesso? E' aaduto he un erto nuero di arihe negatie (ioè di elettroni 22 ), presenti inizialente sulla aratura positia, si sono trasferite sull aratura negatia. Dopo tale riesolaento, la aria netta su iasuna aratura risulta auentata della stessa quantità e dunque il ondensatore resta anora globalente neutro ( fig. 4.6). 20 t rappresenta oe al solito un generio istante di tepo. 21 t+t rappresenta un generio istante di tepo suessio a t. 22 Per la orretta oprensione della trattazione, è iportante aer ben hiaro he solo gli elettroni, ioè le arihe negatie, possono spostarsi nei onduttori. 11

12 Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Spostaenti di aria in un ondensatore auentando la tensione appliata Coe si può osserare, l'auento della tensione appliata ha ausato un passaggio di orrente nel iruito esterno al ondensatore. E iportante ribadire il fatto he la orrente non ha attraersato le arature, a è passata attraerso il iruito he onnette fra di loro le arature stesse. Quando la tensione auenta (oe nell esepio preedente), gli elettroni passano dalla aratura positia a quella negatia: iò signifia he nel iruito sorre una orrente dall aratura negatia a quella positia 23. Se inee la tensione diinuise, la orrente sorre dall aratura positia a quella negatia. Intensità di orrente in un onduttore Abbiao dunque soperto he ad ogni ariazione della tensione appliata ad un ondensatore orrisponde un passaggio di orrente nel iruito. Ma qual è il alore di questa orrente? intensità di orrente he passa in un onduttore iene definita oe la quantità di aria he attraersa una sezione del onduttore in un erto interallo di tepo. Indiando on q = q(t+t) - q(t) tale quantità di aria e on t l'interallo di tepo onsiderato, l afferazione preedente può essere espressa ateatiaente on: i( t) q t q( t t) q( t) t a preedente equazione può essere onsiderata oe la definizione ateatia della intensità di orrente i in un onduttore 24. Si osseri on partiolare attenzione la presenza del sibolo di ira uguale. Infatti la definizione di orrente i è tanto più orretta, quanto più bree è l interallo di tepo t onsiderato: on t troppo lunghi infatti, la forula fornise solo un alore edio della intensità di orrente nel onduttore. In teoria il alore di t dorebbe essere selto uguale a zero, a iò non è possibile, poihé in questo aso la forula non potrebbe più essere alolata 25 (areo infatti una diisione per zero). 23 a orrente ha per onenzione un erso opposto a quello del passaggio degli elettroni. 24 a alidità della forula di definizione dell'intensità di orrente è del tutto generale e non è liitata soltanto ai iruiti ontenenti ondensatori. 25 Si osserino le noteoli analogie esistenti fra forula he definise orrente e quella, ista nel paragrafo 4.1, per la definizione dell'aelerazione in base alla eloità di un orpo. 12

13 Nel aso del ondensatore, la aria he passa nel iruito è uguale alla aria he è stata trasferita fra le due arature a ausa della ariazione della tensione appliata. Se all istante t la tensione ai api del ondensatore è (t) e se all istante suessio t+t tale tensione è dientata (t+t), la aria presente sulle arature dee di onseguenza passare dal alore C. (t), al alore C. (t+t). a ariazione di aria (uguale alla aria transitata nel iruito nell interallo di tepo t) è data da: q = C. (t+t) - C. (t+t) = C. ( (t+t) - (t) ) Modello ateatio del ondensatore A questo punto siao in grado di alolare l intensità di orrente nel iruito: q C t t t i t C t t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t t oero in notazione opatta i t C ( ) t equazione preedente desrie il funzionaento di un ondensatore e ostituise dunque un odello ateatio del ondensatore. Essa onsente di alolare la orrente i nel ondensatore a partire dalla tensione appliata ai api del ondensatore stesso. Tale forula è dunque analoga alla legge di Oh i = VR / R di un resistore, salo he quello del resistore è un odello ateatio di tipo finito, entre quello del ondensatore è un odello ateatio iteratio, in quanto ontiene il paraetro t. E' interessante osserare he, nel aso partiolare in ui è una tensione ontinua, allora (t+t) = (t) (indipendenteente dal alore di t e di t) e dunque i(t) = 0, oe già sapeao. Si osseri inoltre oe l intensità della orrente in un ondensatore non dipenda dalla intensità della tensione appliata ai suoi api, a dalla rapidità on la quale tale tensione abia nel tepo. Infatti i è tanto più eleata quanto più grande è la differenza (t+t)-(t) a parità di interallo di tepo t. Ad esepio, affinhé in un ondensatore iroli una orrente ontinua, la differenza (t+t)-(t) dee essere ostante: iò signifia he la tensione sul ondensatore dee resere sepre della stessa quantità in ogni interallo di tepo t. Pertanto, la tensione dee aere l andaento di una retta resente. a pendenza di tale retta deterina l'intensità della orrente he attraersa il ondensatore. 4.4 Il iruito resistenza-ondensatore in serie Consideriao adesso un seplie iruito ostituito da una resistenza e da un ondensatore ollegati in serie, ai api dei quali enga appliata dall esterno una tensione in(t). Supponiao di essere interessati a deterinare l andaento nel tepo della tensione (t) sul ondensatore. Trattandosi di un sistea di tipo iruitale, possiao abbreiare l appliazione del etodo sisteio disegnando subito il odello iruitale del sistea ( fig. 4.7). 13

14 Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Modello iruitale del iruito RC serie In tale shea iruitale abbiao indiato i noi ed i ersi di tutte le tensioni 26 e le orrenti presenti nel iruito, oettendo per sepliità la dipendenza dal tepo dai noi delle ariabili. Per studiare il sistea 27 dobbiao riordare he il odello iruitale rappresenta già la soposizione del sistea in sottosistei (i oponenti R e C) e sostituise dunque a tutti gli effetti il odello a blohi. analisi del sistea proede dunque anzitutto riaando i odelli ateatii dei due sottosistei. Per quanto riguarda la resistenza il odello ateatio è rappresentato dalla legge di Oh: R(t) = R. i(t) Si osseri oe tale equazione sia stata sritta usando per la tensione e la orrente gli stessi noi riportati sul odello iruitale. Per quanto riguarda il ondensatore, il odello ateatio è quello riaato nel preedente paragrafo: i t C t t t ( ) ( ) ( ) t A questo punto dobbiao erare di ettere insiee i due preedenti odelli ateatii, in odo da ottenere il odello ateatio dell intero iruito. Per fare questo abbiao bisogno di espriere l interazione fra il sottosistea resistenza ed il sottosistea ondensatore. Tale interazione è rappresentata dal fatto he ondensatore e resistenza sono entrabi attraersati dalla stessa orrente i(t): di iò si è già tenuto onto sriendo i odelli ateatii dei due oponenti. Inoltre anhe le tensioni R(t) e (t) sono legate fra loro dalla legge di Kirhhoff 28 alla aglia nel iruito: 26 Si osseri oe la tensione in indiata nel iruito sia oiaente prodotta da un generatore di tensione: tale generatore non è stato però disegnato nel odello iruitale, in quanto si tratta di un ingresso e dunque di un azione esterna al sistea. 27 Il etodo generale per lo studio dei sistei iruitali iene desritto in dettaglio nel apitolo Per sriere la legge di Kirhhoff alle tensioni di una aglia bisogna per pria osa segliere arbitrariaente un erso di perorrenza, orario o antiorario, della aglia. Quindi bisogna onsiderare on il segno + tutte quelle tensioni he, perorrendo la aglia nel erso selto, si inontrano on la freia orientata nel erso di perorrenza; si onsiderano inee oe negatie tutte quelle tensioni he hanno la freia ontraria al erso di perorrenza. a soa algebria delle tensioni di aglia osì ottenuta dee quindi essere posta uguale a zero. Vedi anhe il apitolo 8. 14

15 in(t) = R(t) + (t) Per risolere il sistea possiao dunque partire dalla preedente equazione e sostituire in essa al posto di R(t) l'espressione riaata dalla legge di Oh della resistenza: in(t) = R. i(t) + (t) A questo punto è possibile eliinare i(t), usando il odello ateatio del ondensatore: t R C t t t ( ) ( ) in ( ) ( t) t Modello ateatio del iruito RC equazione osì troata ostituise il odello ateatio dell intero iruito, in quanto ontiene solo l usita (alolata nei due diersi istanti di tepo t e t+t), l'ingresso in, i paraetri del sistea R e C ed il paraetro t del odello ateatio ( par. 4.2). Si tratta eidenteente di un odello ateatio di tipo iteratio, analogo a quello riaato nel paragrafo 4.1 per il sasso in aduta on attrito isoso. Per renderle più seplie il alolo, bisogna sriere il odello ateatio isolando a sinistra dell uguale il terine in t+t. I passaggi ateatii sono i seguenti: R C in ( t) ( t) ( t t) ( t) t t RC t t t t t in ( ) ( ) ( ) ( ) da ui abbiao infine: t t t t RC t t ( ) ( ) in ( ) ( ) Selta di t e alolo del odello ateatio equazione troata i onsente di deterinare i alori assunti dalla tensione di usita per qualsiasi tipo di segnale di ingresso in. Supponiao ad esepio he si abbia R = 10 k e C = 2 F e supponiao he la tensione di ingresso sia ostante e pari a +5V. Per effettuare il alolo dobbiao onosere anhe il alore di all istante zero: supponendo il ondensatore inizialente sario, abbiao (0) = 0 V. A questo punto possiao troare un alore ragioneole di t per tentatii 29, oe indiato nella tabella 4.2 (i alori di C sono espressi in V). t [seondi] on t = 0,1 s on t =0,01s on t = 1 s on t =0,1s 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,000 0,0001 0,025 0,0002 0,050 0,0010 0,250 0,244 0,0020 0,490 0,477 0,0100 2,500 2,006 1,971 0,0200 3,750 3,208 3,165 0, ,000 4,995 4,970 4, Il etodo da seguire per la selta di t è desritto nel paragrafo

16 0, ,000 5,000 5,000 5,000 Tabella 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Calolo di on diersi alori di t Osseriao subito he i alori ottenuti on t = 0,1 s sono del tutto irragioneoli, poihé la tensione sul ondensatore alolata supera la tensione prodotta dal generatore di ingresso ed osilla fra alori positii e negatii. I alori alolati on t = 0,001 s non sono assurdi, a lo sarto rispetto agli stessi alori alolati on t più pioli è abbastanza eleato. Una buona soluzione di oproesso per la selta di t potrebbe in questo aso essere ostituita dal alore t = 1 s. Infatti i alori osì alolati sono olto iini a quelli ottenuti on t = 0,1 s. Questi ultii alori sono ertaente più preisi, a rihiedono un nuero di aloli diei olte aggiore 30. Il grafio in figura 4.8 ostra l andaento della tensione sul ondensatore alolata on t = 1 s. Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Andaento della tensione nel iruito RC serie Notiao subito la noteole soiglianza fra la ura he esprie l'andaento della tensione ai api del ondensatore nel iruito RC e la ura riaata nel paragrafo 4.2 per la eloità del sasso in aduta. Anhe in questo aso l'usita non rese indefinitaente, a si assesta su un alore finale 31 he, dal grafio, risulta pari a 5V. 30 Si osseri he il nuero di aloli neessari per riaare l usita all istante t = 0,1s, è pari a 10 on t = 0,01s, a 100 on t = 1 s e a ben 1000 aloli on t = 0,1 s! 31 Non è diffiile osserare he tale alore iene raggiunto quando il ondensatore si è ariato ad una tensione uguale a quella del generatore in. In tale aso infatti la tensione R sulla resistenza si annulla e dunque nel iruito non i è più nessun passaggio di orrente: pertanto il ondensatore sette di ariarsi e la tensione ai suoi api si antiene ostante. 16

17 Calolo del odello ateatio on ingresso ariabile Il odello ateatio del iruito onsente di effettuare i aloli anhe nel aso in ui l ingresso sia un segnale ariabile nel tepo. A titolo di esepio si onsideri un segnale di ingresso in ad onda triangolare tra 0V e 5V, on periodo 0,1 seondi, oe ostrato in figura 4.9 Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Segnale di ingresso a onda triangolare Vediao dunque oe può essere effettuato il alolo del odello iteratio on questo segnale di ingresso e on 32 t = 1 s. Abbiao dunque: 3 t t RC s V ( 0 ) ( 0) 10 in ( 0) ( 0) ( 1 ) Infatti, oe si può osserare dalla figura 4.9, il alore del segnale di ingresso in t = 0 s è pari a 0 V (l onda triangolare non ha anora oiniato a salire). Ipostiao quindi il alolo della forula all istante suessio: t ( 1s t) ( 1s) in ( 1s) ( 1s) RC In questo aso, per poter effettuare il alolo, è neessario onosere il alore di in all istante 1s. Tale alore può essere riaato osserando he l onda di ingresso rese da 0 V fino a 5 V in un seiperiodo, ioè in 0,05 seondi, oero in 50 s. Questo iplia he ogni illiseondo l onda triangolare di ingresso dee auentare il proprio alore di 0,1 V. Pertanto in t = 1 s il segnale di ingresso ale 0,1 V e quindi: 3 ( 2 s ) , 1 0 0, 005 V In odo analogo possiao alolare la tensione di usita in t = 3 s, osserando he, in base al preedente ragionaento, in(2s) = 0,2 V: 32 In realtà, se si abia il segnale di ingresso, oorre anhe rialolare il alore di t. Vedi a questo proposito la sheda di approfondiento

18 t ( 2s t) ( 2s) in ( 2s) ( 2s) RC 3 10 ( 3s) 0, 005 0, 2 0, 005 0, 015 V Si noti he, per alolare il alore della tensione in t = 3 s, si è douto usare il alore di in all istante 2 s, ioè all istante preedente. a figura 4.10 ostra l andaento dell usita siulata on la preedente onda triangolare in ingresso. Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Andaento della tensione sul ondensatore on un ingresso a onda triangolare? In questo aso oiaente la tensione sul ondensatore non si stabilizza su un alore finale ostante, dal oento he la tensione di ingresso in ontinua a abiare il proprio alore nel tepo. Se in un iruito RC serie, la tensione di ingresso ale 10 V e il ondensatore è inizialente sario, qual è il alore iniziale della tensione sulla resistenza? 4.5 induttore ed il iruito R serie induttore 33 Errore. Il segnalibro non è definito.è un bipolo, ostituito da un solenoide, ioè un filo onduttore aolto in spire elioidali su un supporto isolante ilindrio. Tale realizzazione iene suggerita anhe dal sibolo iruitale del oponente ( fig. 4.11). 33 Spesso l induttore iene detto anhe induttanza. In effetti i due terini engono usati indifferenteente per designare un bipolo in ui siano predoinanti gli effetti induttii. Tuttaia il terine induttanza si riferise anhe al paraetro del bipolo: per eitare onfusioni si è qui preferito usare il noe induttore per il oponente ed il noe induttanza per il paraetro. o stesso riterio di distinzione iene usato nel aso del oponente "ondensatore" e del suo paraetro "apaità" (gli inglesi usano i terini "apaitor" e "apaitane"). Analogaente aluni testi distinguono il oponente "resistore" dal suo paraetro "resistenza". 18

19 Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Sibolo iruitale dell'induttore Induttore in ontinua Induttore on orrente ariabile Il passaggio di orrente nell'induttore produe un apo agnetio 34 interno al solenoide. intensità di tale apo agnetio è direttaente proporzionale alla intensità della orrente he attraersa l induttore. Se l induttore iene attraersato da una orrente ontinua, il apo agnetio generato è ostante e il oponente si oporta esattaente oe un filo, ioè oe un orto iruito 35. Pertanto in tali ondizioni la tensione ai api del oponente è sepre identiaente nulla. Se il oponente iene attraersato da una orrente ariabile nel tepo, allora all interno del solenoide si iene a produrre un apo agnetio ariabile nel tepo. Tale apo agnetio ariabile genera una forza elettrootrie indotta, ioè una aduta di potenziale ai api dell induttore. Si potrebbe diostrare he questa tensione è direttaente proporzionale alla rapidità on ui aria la orrente nel bipolo, ioè t i t t i t ( ) ( ) t equazione preedente ostituise il odello ateatio del oponente induttore. Il paraetro iene detto induttanza e si isura in henry (H), doe 1 henry = 1 olt 1 seondo / 1 apere a ariabile rappresenta la tensione ai api dell'induttore. Tale tensione risulta direttaente proporzionale (attraerso il oeffiiente di proporzionalità ) alla rapidità di ariazione della orrente i nell'induttore, espressa da i t t i ( t) i t t Si noti oe la rapidità di ariazione di i enga definita faendo il rapporto fra la ariazione di i ed il generio interallo di tepo t: tale definizione è perfettaente analoga a quella della aelerazione di un orpo in funzione della eloità ( par. 4.1) e della orrente in funzione della aria ( par. 4.3). Anhe in questo aso la forula è 34 Data la aggiore oplessità dei fenoeni fisii he stanno alla base del funzionaento dell'induttore, la trattazione del oponente errà qui solta in odo eno approfondito di quanto fatto per il ondensatore nel paragrafo Si osseri il oportaento "opposto" rispetto a quello del ondensatore, he, in ontinua, si oporta oe un "tasto aperto". 19

20 esatta solo per alori di t tendenti a zero: per questa ragione abbiao la presenza del sibolo di "ira uguale" (). Ciruito R serie Consideriao adesso un seplie iruito ostituito da un induttore e da una resistenza ollegati in serie ( fig. 4.12). Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Modello iruitale del iruito R serie Supponiao di oler alolare la orrente i he passa nel iruito (usita del sistea). Coe già abbiao fatto per lo studio del iruito RC serie, dal oento he il odello iruitale sostituise a tutti gli effetti il odello a blohi del sistea, possiao proedere subito all analisi dei due oponenti presenti nel iruito. Per quanto riguarda la resistenza il odello ateatio è rappresentato dalla legge di Oh: R(t) = R. i(t) Si osseri oe quest'ultia equazione sia stata sritta usando per la tensione e la orrente gli stessi noi usati nel odello iruitale: dal oento he la resistenza è attraersata dalla stessa orrente he attraersa l induttore, la orrente nella resistenza è stata hiaata i. Per quanto riguarda l induttore, il odello ateatio è quello riaato preedenteente: t i t t i t ( ) ( ) t interazione fra i due oponenti può essere rappresentata per ezzo della legge di Kirhhoff alle tensioni nella aglia ( par. 9.1): in(t) = R(t) + (t) Sostituendo nella preedente equazione i odelli ateatii dei due oponenti, otteniao subito: t R i t i t t i t ( ) in ( ) ( ) t equazione osì troata rappresenta il odello ateatio iteratio del iruito, in quanto essa ontiene solo la ariabile di usita i (alolata nei due diersi 20

21 istanti di tepo t e t+t), l'ingresso in, i paraetri del sistea R e ed il paraetro t del odello ateatio. Si tratta oiaente di un'equazione di tipo iteratio, la quale, ai fini del alolo, può essere più onenienteente sritta nel seguente odo: t R i t i t t i t ( ) in ( ) ( ) t t R i t i t t i t ( ) in ( ) ( ) t t t R i t i t t i t in ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i t t i t t t R i t in Selta di t Anhe in questo aso, oe già isto a proposito del sasso in aduta e del iruito RC, il alore di t può essere selto per ezzo di siulazioni suessie. Supponiao ad esepio di aere i seguenti dati del problea: in = 5 V (ostante) = 1 H R = 100 Supponiao inoltre di essere interessati ai alori di i in un interallo di 500 s dopo l'appliazione del segnale di ingresso. Supponendo di oler effettuare 50 aloli del odello ad interalli di tepo di 10 s, possiao proare inizialente ( par. 4.2 e 4.4) on un alore t = 10 s. I risultati della siulazione deono quindi essere onfrontati on quelli ottenuti on t = 1 s (diei olte inore) per erifiarne la orrettezza. a tabella 4.3 ostra il onfronto fra i risultati negli stessi istanti di tepo delle siulazioni effettuate on diersi alori di t (tutte le siulazioni sono state ondotte assuendo i(0) = 0 A; i alori di i sono espressi in apere). t [s] i on t =0,1 s i on t =1 s i on t = 10 s ,032 0,033 0, ,043 0,044 0, ,048 0,048 0, ,049 0,049 0, ,050 0,050 0,050 Tabella 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Calolo di i on diersi alori di t Si osseri oe i alori alolati on t = 10 s siano sepre ostanti: iò è douto al fatto he il alore di t risulta troppo eleato. Inee i risultati ottenuti on t = 1 s e on t = 0,1 s sono pratiaente oinidenti. Possiao pertanto segliere t = 1 s per la nostra siulazione. Il grafio in figura 4.13 ostra l'andaento della orrente nell'induttore, alolata on l'equazione di stato iteratia on t = 1 s. 21

22 Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Andaento della orrente nell'induttore nel iruito R Notiao iediataente la soiglianza esistente fra questa ura e quelle riaate per la eloità del sasso nel paragrafo 4.2 e per la tensione sul ondensatore nel paragrafo 4.4. Anhe in questo aso la orrente nell'induttore rese inizialente piuttosto rapidaente, per poi stabilizzarsi infine sul alore 50 A. Tale alore iene raggiunto quando l'induttore è opletaente ario e la orrente ha pertanto raggiunto il alore assio.? Che tipo di tensione bisognerebbe appliare ai api di un induttore per fare in odo he esso enga attraersato da una orrente ostante? Per rispondere oniene fare riferiento al odello ateatio iteratio dell'induttore. 4.6 Variabili di stato Usita non oinidente on la ariabile di stato Consideriao di nuoo il iruito RC del paragrafo 4.4 e supponiao adesso di non essere interessati al alolo dei alori della tensione sul ondensatore. Supponiao ioè he l usita sia un altra ariabile del iruito, ad esepio la tensione sulla resistenza R. In questo aso il odello ateatio del iruito non può oiaente essere ostituito dalla equazione iteratia: t t t t RC t t ( ) ( ) in ( ) ( ) Tuttaia possiao failente notare he la tensione R può essere alolata a partire da in e da in base alla seguente relazione (equazione di Kirhhoff alla aglia): R(t) = in(t) - (t) Ciò signifia he per alolare la nuoa usita, non è neessario troare un nuoo odello ateatio per il iruito. E' infatti suffiiente usare i alori di alolati ol 22

23 odello iteratio ed appliare la preedente forula (non iteratia 36 ) per il alolo di R. Ad esepio onsideriao nuoaente i risultati della siulazione on ingresso ad onda triangolare. Abbiao già alolato ( par. 4.4) i seguenti alori: (0 s) = 0,000 V (1 s) = 0,000 V (2 s) = 0,005 V In base ai preedenti alori ed in base ai alori della tensione di ingresso in (riaabili direttaente dal grafio dell'onda triangolare) possiao quindi alolare i alori della tensione R: R(0) = in(0) - (0) = 0 V R(1 s) = in(1 s) - (1 s) = 0,1-0 = 0,1 V R(2 s) = in(2 s) - (2 s) = 0,2-0,005 = 0,195 V Quanto detto può essere foralizzato diendo he, se l usita è R, il odello ateatio del iruito risulta ostituito da una oppia di equazioni, l equazione iteratia per il alolo di e l equazione non iteratia per il alolo di R : t t t t RC t t ( ) ( ) in ( ) ( ) R ( t) in ( t) ( t) osserazione preedente può essere failente estesa: per qualsiasi usita diersa da, il odello ateatio è sepre forato dall equazione iteratia per e da una equazione finita per l usita, la quale onsente di riaare l usita in base ai alori di e dell ingresso in. Ad esepio segliendo oe usita la orrente i, l'equazione non iteratia è la seguente: R ( t) in ( t) ( t) i( t) i( t) R R e pertanto il odello ateatio a due equazioni del iruito è: t t t t RC t t ( ) ( ) in ( ) ( ) in ( t) ( t) i( t) R Anhe nel sistea sasso in aduta del paragrafo 4.1, se l usita selta non oinide on la eloità del orpo, essa può essere deterinata on una equazione non iteratia. Ad esepio, se siao interessati alla forza di attrito isoso he l aria eserita sul orpo, tale usita può essere iediataente alolata in base all equazione 36 Si osseri oe in questo aso, essendo l'equazione usata per il alolo di R non iteratia, i alori di tutte le ariabili usate nella forula risultano alolate in orrispondenza dello stesso istante di tepo t. E' iportante prestare attenzione a questo fatto per eitare di oettere errori nei aloli. 23

24 Fa = K. (t) Il odello ateatio opleto del sistea è dunque in questo aso ostituito dalle seguenti due equazioni: g K ( t) ( t t) ( t) t Fa ( t) K ( t) Se ad esepio inee siao interessati a onosere l aelerazione del orpo a(t) inee della sua eloità (t), possiao usare la seguente relazione: Ftot ( t) a( t) a( t) g K ( t) Il odello ateatio a due equazioni è in questo aso il seguente: g K ( t) ( t t) ( t) t g K ( t) a( t) Osserazioni analoghe possono essere ondotte a proposito del iruito R del paragrafo 4.5. Ad esepio segliendo oe usita la tensione R ai api della resistenza, l equazione finita per opletare il odello ateatio è la legge di Oh del oponente resistenza: R(t) = R i(t) Il odello ateatio opleto è in questo aso ostituito dalle seguenti due equazioni: i t t i t R ( t) R i ( t) t t R i t ( ) ( ) ( ) in Variabili di stato Notiao dunque he tutti e tre i sistei studiati in questo apitolo hanno una ariabile "speiale", he bisogna sepre alolare (per ezzo di una equazione iteratia), indipendenteente dalla ariabile di usita selta. Tale ariabile "speiale" iene detta ariabile di stato del sistea. Nel sistea sasso in aduta la ariabile di stato è la eloità ; nel sistea iruito RC è la tensione sul ondensatore ; nel iruito R è la orrente nell'induttore i. In generale la ariabile di stato di un sistea è quella ariabile he opare nel odello iteratio alolata nei due istanti di tepo t e t+t. 24

25 Se l'usita del sistea non oinide on la ariabile di stato, il odello ateatio è ostituito dalla equazione iteratia per il alolo della ariabile di stato (detta equazione di stato) e dalla equazione finita per il alolo dell'usita. In tutti i asi, la deterinazione della ariabile di stato è un presupposto indispensabile per la deterinazione di qualunque ariabile del sistea. E eidente oe le ariabili di stato riestano, all interno dei rispettii sistei, un ruolo olto iportante e partiolare: di iò disutereo più approfonditaente nel apitolo 5. Per adesso i liitiao ad osserare he non tutti i sistei hanno una ariabile di stato: ad esepio tutti i sistei desritti nel apitolo 2 hanno un odello ateatio di tipo finito e dunque sono prii di ariabile di stato. Il lettore può indiiduare per proprio onto le ariabili di stato dei sistei on odello ateatio iteratio studiati nel apitolo 3. Valore iniziale della ariabile di stato Un altra osserazione iportante riguarda il ruolo he assue il alore iniziale della ariabile di stato del sistea nel alolo dell equazione di stato iteratia. Tale alore iniziale è infatti un dato indispensabile per poter oiniare il alolo del odello iteratio. Ad esepio per alolare l andaento della eloità di aduta di un orpo è neessario sapere qual è il alore della eloità del orpo all istante iniziale; allo stesso odo nel iruito RC bisogna sapere qual è la tensione presente ai api del ondensatore all istante zero; nel iruito R è neessario onosere il alore della orrente he sorre inizialente nell'induttore; un ruolo analogo ha il alore iniziale della ariabile di stato nelle popolazioni studiate nel apitolo 3. Possiao afferare he, in un erto senso, il alore iniziale della ariabile di stato riassue in sé la storia del sistea per gli istanti preedenti all istante zero. Si supponga infatti ad esepio di oler alolare la eloità di aduta di un orpo, il quale enga inizialente sagliato erso il basso on una erta forza: l istante zero è il oento in ui il orpo iene lasiato libero di adere. Il alore della eloità all istante zero è douto alla forza he è stata appliata per sagliare il orpo pria dell istante zero. Si osseri he, di tutto iò he è aaduto al orpo pria del oento del lanio (ioè di tutta la storia preedente del orpo) i basta onosere uniaente il alore della eloità iniziale. Questa sola inforazione è suffiiente e indispensabile per poter alolare il odello iteratio. Ciò equiale ad afferare he la ariabile di stato rappresenta la eoria del sistea. I sistei senza ariabile di stato sono oiaente sistei senza eoria, ioè sistei per i quali la storia preedente non ha aluna iportanza. Così ad esepio una resistenza è desritta da un odello ateatio finito (la legge di Oh) e dunque è un sistea senza eoria. Infatti il alore della tensione ai api della resistenza ad un erto istante dipende solo dal alore della orrente he attraersa la resistenza nello stesso istante: tutto quello he è suesso al sistea pria di quell istante non ha nessuna iportanza. Vieersa, in un sistea on ariabile di stato, ogni alore alolato dipende dal alore preedente attraerso il odello ateatio iteratio: il sistea onsera eoria del proprio passato.? Per il iruito R ( par. 4.6), deterinare una equazione non iteratia da aggiungere alla equazione di stato per il alolo della tensione ai api dell'induttore. Cosa suede in un sistea on ariabile di stato, se tutti gli ingressi sono nulli? Cosa suede in un sistea senza ariabile di stato, se tutti gli ingressi sono nulli? In un sistea on ariabile di stato e 3 ingressi e 4 usite, di quante equazioni è ostituito il odello ateatio opleto? 25

26 ESERCIZIO SVOTO Un orpo solido di assa e olue V iene gettato in are da una bara. Al orpo è ollegata una fune, la quale, srotolandosi, ette in rotazione una arruola di raggio r ( figura seguente). Si uole studiare l'andaento nel tepo della eloità angolare di rotazione della arruola. Deterinare il odello ateatio oplessio del sistea (attenzione: l'usita non oinide on la ariabile di stato; si supponga trasurabile la assa della fune). SOUZIONE: Il sistea può essere suddiiso nei due sottosistei "orpo" e "arruola". Per il sottosistea orpo ale la seonda legge di Newton F tot = a, doe è la assa del solo orpo (infatti la assa della fune è trasurabile). a forza totale è data dalla differenza fra la forza di graità F g, la forza di Arhiede F A ( sheda di approfondiento n. 2) e la forza di attrito isoso on l'aqua F a ( sheda di approfondiento n. 1): F tot = F g - F A - F a = g - s g - K = g - d V g - K doe V è il olue e è la eloità del orpo, K è il oeffiiente di attrito isoso; la assa dell'aqua spostata s è stata sostituita ol prodotto della densità d per g. Eguagliando fra loro le due forule preedenti si ottiene: g dvg K a 'aelerazione a(t) è legata alla eloità dalla relazione ( t t) ( t) a( t) t Eguagliando fra loro le due equazioni preedenti ed espliitando la dipendenza dal tepo otteniao: ( t t) ( t) g dvg K ( t) t Questa è l'equazione di stato del sistea: la eloità del orpo (t) è la ariabile di stato. 'equazione preedente può essere riordinata, per renderla alolabile, nel seguente odo: g dvg K ( t) ( t t) ( t) t Dalle inforazioni riportate nel testo si riaa subito il seguente odello per il sottosistea arruola: (t)= (t) / r doe r è il raggio della arruola. 'usita del sistea (t) non oinide on la ariabile di stato (t): il odello ateatio oplessio è pertanto ostituito dalla preedente equazione di stato e dall'equazione finita per (t) sritta sopra. 26

27 SCHEDA DI APPROFONDIMENTO 1: FORZE DI ATTRITO In natura sono presenti olte differenti forze di attrito.errore. Il segnalibro non è definito. In generale una forza di attrito è una forza he si oppone al oiento di un orpo. Un orpo trasinato su una superfiie (ad esepio una slitta trainata da ani sul ghiaio) subise una forza di attrito detto attrito dinaio o radente.errore. Il segnalibro non è definito.errore. Il segnalibro non è definito. Tale forza è douta alle rugosità irosopihe presenti sulle superfii dei due oggetti a ontatto ed ha una intensità direttaente proporzionale alla forza N he "pree" i due orpi uno ontro l altro (detta forza norale).errore. Il segnalibro non è definito. Dunque la legge ateatia dell attrito radente è F a_radente = d. N doe d è il oeffiiente di proporzionalità (detto oeffiiente di attrito dinaio) ed è un alore prio di diensioni 37 : tale oeffiiente è tanto più eleato quanto aggiore è la rugosità e quanto più è apia l area delle due superfii a ontatto. Consideriao ad esepio un bloo solido di assa, trasinato da una forza esterna F su un piano orizzontale ( fig. 4.14). Figura 4.Errore. 'argoento paraetro è sonosiuto. - Corpo trasinato su un piano on attrito radente In questo sistea sono presenti alune forze he agisono orizzontalente (la forza esterna di trazione F e la forza di attrito radente F a) ed alune forze he agisono ertialente (la forza di graità he oprie il orpo sul piano F g e la forza di reazione del piano, non indiata in figura 4.14). Poihé il oto del orpo aiene orizzontalente, le unihe forze he interessano il oto sono le due forze orizzontali. a forza totale agente sul orpo è dunque data da: F tot = F - F a a forza di attrito F a è data da F a = d N doe N, in questo aso, oinide on la forza di graità (essendo il piano orizzontale). Pertanto: F a = d N = d F g = d. g da ui infine F tot = F - F a = F - d. g Un altro esepio di forza di attrito è il osiddetto attrito olente, il Errore. Il segnalibro non è definito.quale si anifesta quando un orpo rotola senza strisiare sopra una superfiie (oe ad es. le ruote di un autoobile e la strada). Solitaente il alore dell attrito olente è olto inore di quello dell attrito radente (questa la ragione per ui sono state inentate le ruote per il trasporto di oggetti 37 E' infatti uguale al rapporto fra due forze, la forza di attrito e la forza norale. 27