LA DINAMICA del punto materiale

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1 LA DINAMICA del punto tele Studo del oto de cop n elone lle cuse che lo hnno podotto one d MOTO DINAMICA: FORZE nsee ognco d legg che desce n odo sstetco un ctego d fenoen TEORIA Pncp genel pncpo 0 pncpo pncpo pncpo 3 Dll osseone (espeent)

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3 Pleeo dell DINAMICA CLASSICA (Glleo e Newton) eloctà pccole spetto C n cso conto: eccnc eltstc gnd denson spetto ll too n cso conto: eccnc quntstc In eccnc quntstc cb ll dce l concetto d dnc. In elttà lgono nco tutt pncp dell dnc clssc tnne l secondo che dee essee foulto (è solo un possble descone t le cuse (foe) e gl effett (oto). I pncp fondentl: IL PRINCIPIO ZERO ( d elttà): c btu subto cpe l potn del oto elto de sste d feento ed n ptcole d quell n oto elto: tsltoo costnte oentento elto degl ss (tutt punt del sste subscono lo stesso spostento elto); ettlneo unfoe tutt punt s uoono d oto elto ettlneo ed unfoe. 3

4 o Moto tsltoo o Moto ettlneo unfoe 4

5 PRINCIPIO ZERO d elttà (d Glleo!) Se due lboto s uoono d oto elto tsltoo ettlneo unfoe non esste un espeento (d eccnc) che d sultt des nell uno e nell lto lbotoo. I DUE LABORATORI SONO INDISTINGUIBILI Sce Glleo ne: I DIALOGHI : nsete con qulche co nell ggo stn che s sotto copet d lcun gn nglo, e qu fte d ee osche, fflle e sl nlett olnt; s nche un gn so d cqu, e dento de pescett; sospends nche n lto qulche secchello, che gocc gocc d esndo cqu n lto so d ngust bocc, che s posto bsso:e stndo fe l ne, ossete dlgenteente coe quell nlett olnt con p eloctà nno eso tutte le pt dell stn; e pesc s ednno nd notndo 5

6 ndffeenteente pe tutt es; le stlle cdent entenno tutte nel so sottoposto; e o, gettndo ll co lcun cos non pù ggldente l doete gette eso quell pete che eso quest, qundo le lontne seno ugul; e sltndo o, coe s dce, pé gunt, egul sp psseete eso tutte le pt. Ossete che ete dlgenteente tutte queste cose, benchè nuno dubbo s che ente l ssello st feo non debbno succedee così; fte uoee l ne con qunt s ogl eloctà: ché (pu che l oto s unfoe e non fluttnte n qu e n là) l o non conosceete un n utone n tutt l nont effett, né d lcuno d quell potete copendee se l ne cn oppu st fe. Peché lg l pncpo d elttà non è necesso che l su delle gndee fsche s l stess (pnpo d nn) che le elon t le gndee fsche sno le stesse (pncpo d con) I due eb d un equone fsc deono essee cont pssndo d un sste d un lto n oto ettlneo unfoe 6

7 DEFINIZIONE DEL PROBLEMA DINAMICO. popetà del sste: punto tele ;. defnone dell bente esteno; 3. defnone delle condon nl; 4. studo dell eoluone, dl punto d st del oto, del sste punto tele. l sste l punto tele l bente esteno Un blocco Pll d golf Stellte tfcle L oll e l supefce scb L Te L Te N S + + N S elettone Un sfe cc Sbet gnetc Alt sbet gnetc 7

8 S pocede coe d seguto ( dnc d Newton): ntodueo l concetto d fo - dnco (oto?) - sttco (defoon?) ssegneeo un nuo popetà d ogn punto tele ( ss ) defneo le legg delle foe n bse lle popetà degl oggett e dell bente ( fenoenolog) Defnone opet sttc : F 8

9 0 f f 3 4 f f f f + f Il concetto d fo lo too nelle: legg delle foe: qule fo n elone ll bente? legg del oto : qule cceleone pe effetto d un fo? P d Glleo(564-64): lo stto d oto d un copo è nntule Dopo Glleo: l oto ettlneo unfoe è lo stto d oto ntule 9

10 Po pncpo dell dnc d Newton (64-77) pncpo d ne ( ne (peso d Glleo) Ogn copo solto pesste nel suo stto d quete o d oto ettlneo unfoe fnché non nteengno gent esten ( foe ) utne lo stto. N.B. è bsto sul concetto d copo lbeo è conseguen del pncpo d elttà stblsce un legge ntule ntoduce l concetto qultto d fo f uso del ( defnsce l) concetto d: Sste d feento nele 0

11 Sste d feento (nel) Il oto d un punto tele è legto l sste d feento Defnone: Un sste d feento nele è defnto dll condone che n esso un punto tele lbeo, posto nlente n quete, (o n oto con cost) peng ndefntente n quello stto. Pe l pncpo: due sste d feento nel possono dffee l sso pe un eloctà costnte N.B. In un ondo dele ( sste nele ) non see un fo pe ntenee un punto tele feo o n oto con eloctà costnte. fo Δ Che tpo d gnde è? Non s f dstnone t: Fo null Rsultnte delle foe nullo

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13 Se c lto, pe o, S.D.R.I. L cceleone h un loe ssoluto (ed le tsfoon d Glleo) l Te è un S.D.R.I.? Pendolo d Foucult Il po pncpo può nche enuncs coe: se su un copo non gscono foe l su cceleone è null ( S.D.R.I.) Un defnone opet d fo dee essee:. Qunttt (nueo). Qultt (ntu dell fo) 3

14 F F Mss nele 4

15 Defnone dell fo (unt) Consdeo: M ss unt se: cceleone unt llo: F fo unt Speentlente: l fo è un ettoe e con l espeento s detenno: odulo (gà sto l etodo) deone } Dll cceleone eso N.B. Se pù foe gscono su un p.., ognun poduce l su pop cceleone ognun delle qul è ndpendente dlle lte. 5

16 Vle l egol speentle del pllelog. F F Ogn fo gsce n odo ndpendente!! M Qule è l uolo dell ss? Abbo defnto l ss unt M 0. Applcho ll ss cpone (unt) un fo F e suo un 0 peto l eseco con un ss genec M (oggett des) e, con l stess fo (sto londo n densone!) M M 0 0 ( ptà d fo gente) Stblendo così un: cteo d confonto dnco delle sse 6

17 Posso qund sue le sse: M M 0 0 Suppono: 0 Kg Uso un dnoeto pe ccelel con: s 0 Sosttuo l ss cpone con un genec: Applcho l stess fo d p e suppono d sue un cceleone: 0. 5 s.00s 0 M M 0.00Kg 4. 00Kg 0.50s N.B. Il secondo copo, che subsce un cceleone p d un quto dell p h pe defnone un ss 4 olte ggoe!!!! L ss ene ntepett coe un su qunttt dell ne 7

18 Applcndo nece un fo dffeente F too un ppoto t le cceleon: 0 ugule p: 0 0 M M 0 Posso ssegne ss qulunque copo! Inftt d ogn lto copo ttbuo un ss M pe confonto con l ss cpone. Se confonto le due sse qulunque pplcndo l stess fo : M M '' '' M ttenone!!!!!!!!!!!!! E ndpendente dll fo!!! Il ppoto è lo stesso che eo toto pe confonto delle due sse M,M con l ss cpone M 0...e nco: ettendo ssee pù sse queste s copotno coe un unc ss p ll so delle sse n questone!!!! (gnde 8 estens)

19 pncpo dell dnc F Doe: F Vettoe sultnte d tutte le foe gent sul punto tele Questo pncpo contene plctente l nftt se: F 0 0 cos t. solo delle te legg d Newton sono ndpendent Denson? [ ] [ ][ ][ ] F M L T Untà d su? Kg s N( ewton ) 9

20 lcune foe e le loo ntenstà Fo esectt d Sole sull Te Fo esectt dll Te sull Lun Spnt d un ettoe pe stellt Tone d un gosso ochtoe Spnt de oto d un jubo (B747) Tone d un locootoe Fo esctt dll Te su un utooble Fo d fentu (utooble ) Fo d netone t due poton nel nucleo Fo cceletce su un utooble Fo esectt dll Te su un uoo Fo esctt dll Te su Kg Fo esctt dll Te su un el Fo esctt dll Te su un onet (00) Fo t nucleo ed elettone ( dogeno) N 0 0 N N 0 6 N N N N 0 4 N 0 4 N N 7. 0 N 9.8 N N N N le foe fondentl fo Agsce su ntenstà Rggo. gtonle sse 0-38 debole lepton 0-6 <0-7 elettognetc Cche elettche 0 - fote don 0-5 fnqu 3 Genno 007 0

21 π + 0 p Λ + K 0 π π p π + decdent debol

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24 F L legge ettole è equlente : MA: F F F doe: F F F F F F,,, le foe sono sepe l sultto dell nteone con gl lt cop e l nteone è sepe ecpoc Non esste l fo sngol c penseà l III pncpo!! 4

25 Wfo sul blocco d pte dell Te W sull Te d pte del blocco Ndl tolo sul blocco N dl blocco sul tolo 5

26 Questo c peette d ntodue l ( dffcle ) 3 pncpo dell dnc PRINCIPIO DI AZIONE E REAZIONE Ad ogn one cosponde sepe un eone ugule e cont; le utue on d due cop sono sepe ugul n odulo e deone ed hnno eso opposto 6

27 M b F F UC CB + F + F 0 CU BC 0 0 F UC + F BC FUC FBC c c M b 0 qund n genele: F UC F BC Non costtuscono un sste one-eone Le due foe sono ugul solo se: 0 c 0 ss dell fune tscuble condon sttche (l fune tsette l fo nltet) Se c 0 ( ppossone!) l fo è costnte n cscun punto dell fune genelente ene cht: tensone N.B. le foe d one-eone gscono sepe su cop dffeent ltent non s ebbe oto cceleone! 7 In genele non sono equlbte

28 Rsoluone delle equon del oto e coè toe un fo ed un legge o tl d soddsfe l: (t) Scopo dell dnc F F Il poble può essee:. Detto: dt. Ineso: dto F ( t) ( t) F Cso ptcole: Sttc: dte delle foe...tone lte 8

29 L second legge non è un legge ntule nel eo senso del tene e può nche essee ust coe: Defnone dell fo nteone con l' bente foe dg copo lbeo L ulto psso peette d sosttue le nteon d un copo con l bente con le foe deo peò detene le legg delle foe legg delle foe : coe clcole le foe n funone delle popetà del copo e dello spo ccostnte 9

30 Esepo 0 M 00Kg M 0Kg s R M tot 0ˆ R 0N F M 0ˆ F 0N F M 00ˆ F 00N o M M Qul è l eone e qule l one? Su M (+M ) è pplct un fo tot. d 0N M h un cceleone che cosponde sol 00N cus dell eone d M. Vedolo n un lto odo: o M M M Kg M Kg R3N R F, In un densone ( notone ettole supeflu): ( M M ) s R + F F, M N F, F L eone su M : e nftt l fo su M :, F M N( 3N N ) E se l fo R è pplct M? 30

31 Se l ss M è n equlbo (sttc): ) Sul blocco F tot. T + P 0 F T + P 0 T P () T P b) Sull oll ' R + T + p 0 R T + p ' R T one del blocco sull oll (eone ll fo T) Coe s Pss d Un ll Alt? ) T è un su estt del peso del cop (etodo dnoetco:sttco!) R è l eone esectt dll oll sul sofftto R ' R T ' + p P + p In genele R T eno che non s... M è sepe eo? M 0 3

32 Esep d foe e delle loo legg: blocco tscnto d un oll F Kî pll d golf n olo F g stellte tfcle M F G ˆ Inteone d due cche elettche qq F 4πε 0 ˆ due stccole gnetche 3μ π 0 F 4 ˆ 3

33 P g D : Il peso dpende dl loe locle d g. In luogh dffeent sull supefce teeste l ss è l stess Cus llungent leggeente des su un dnoeto. Dnoet: nfoon dese con l luogo Blnce: l stess nfoone ounque Nello spo doe g 0 (???) P 0 ente 0 E de un clco d un copo d gnde ss non chede lcuno sfoo.. c s schcc egulente l lluce!!! fo e cceleone sono collne notone ettole supeflu F P g P g F P g Alt untà pe l fo (ng.): Kg Fo che pplct ll ss d Kg cus un cceleone p s - Kg p P 80 Kg In un posto doe: p g 9.78s p Kg 33

34 PESO E MASSA Sen petendee d conoscene l ogne sppo che: ogn copo (sull te ) lscto cdee lbeente cqust un cceleone tle che g g 98. s N.B. In un dto luogo g è lo stesso pe tutt cop. Pe l II legge d Newton: F P g Pe cu dt due cop d sse M ed M (n uno stesso luogo) P P M M Con un blnc nltc pgono (n ptc) le sse M peso e ss sono des l ss è uno scle l peso è un ettoe ( fo ) 34

35 Coe s pplc l II legge dentfcone del copo l cu oto s fesce l poble defnone de cop che costtuscono l bente scelt oppotun del sste d feento ( nele ) dsegne l dg del copo lbeo pplcho l II legge dell dnc F F b o o F c Qul è l oggetto n questo cso? Coe è defnto l bente? 35 fnqu 0 febbo 007

36 Esepo α β F F b β45 α30 α o β F c ( F ) + Fb + Fc 0 ( + F b + F c F + F + F ) b c F ( F ) ( cos50 + F b cos 45 + F c cos 70 F cos 60 + F cos 45 + F cos80) b c F cos30 + Fb cos 45 0 F cos 60 + Fb cos 45 Fc F Fb F Fb P 0 Se d esepo: Fc 00Kg p p b p î 0 ĵ 0 0 F 73. 3Kg ;F 89. 6Kg 0 0 È un untà stn 36

37 37 o T T P P + + P T P T ( ) ( ) + + j j P T j j P T ˆ ˆ ˆ ˆ g T g T M - Esepo 3 Flo nestensble Mss del flo e dell cucol tscubl Attt tscubl g + g T + E le denson? E le denson? se l fune h ss M0 T T T

38 o T 3 3 M 5 0 Kg 00Kg F 3000N Esepo 4 T F M M (sul co!!!! ) cceleone dell ss M : F 0. 9 M + s M tn con un fo F3000N T F Dg copo lbeo? Aone e eone T 3000N 38

39 Il co esecteà un tone sull ss M : F M E, sepe pe l pncpo d one-eone l fune sentà d un tensone: T3 M 796 N ente pe T ( T pechè 0) s à T M N Attenone lle pposon!!!!! : Inftt: 3 F N F F N c F c c 5 0.5s 0.9s!!!!( + 5%) 00 F F M c F M M + M + c F 0. 9 M + s 39

40 Esepo 5 M N o Mg T o T Mg M Pe l ss M : T + N + P Pe l ss M : P + T M N Mg M T M M g T M Con l o condone: D cu: M M + M g T MM M + M g 40

41 Qulcos d pù su S.D.R. ) S.D.R.I. Abbo sto suo tepo che n quest lgono le tsfoon: V 0 R V0 R V 0 le coponent cbno ntenendo l ettoe cceleone dentco: ' $ ' ' + j $ ' ' + k$ ' $ + j $ + k$ Nel cso d ss pllel ( tslone unfoe): S hnno le T.d.G. pe le qul: ' ' ' ' M cos succede l II pncpo dell dnc? (sepe ne SdRI) Sppo ( blnce, dnoet ) che l ss è un nnte scle: ' 4

42 L fo s tsfo coe un ettoe: Se gl ss hnno lo stesso oentento: Ptendo d: f Applcndo l opetoe R : f f f f f f ' ' ' ' ' ' f ' f f f f R f f ' ' f f f Genele Con In ptcole se S.d.R. hnno lo stesso oentento: Inn pe f tsf. d Glleo Nel sste fsso Nel sste oble 4

43 b) S.D.R.N. N.I. In genele qunto detto p non è eo: Ossetoe B o Ossetoe A o Se l teno fen: pe B gl oggett subscono un cceleone sen che c s nteone Con l bente!! S h qund l nsogee d : Foe ftte (ppent) 43

44 44 L elone che leg le coodnte ne due sste fsso e cceleto (consdeo pe o un oto tsltoo non unfoe) è pù pofond. Se sul punto gsce un fo, questo, nel sste fsso s uoeà secondo: ' ' ' Z Y X doe : t Z t Y t X o 0 0 ; ; coodnte dell ogne del Sste oble. A A A V V V ' ' ' ' ' ' A ' f nel sste d feento oble: costnte. t ( ) Z Y X o,, ' ; ; t Z t Y t X : ( ) 0 0 0,, o dendo:

45 f ' f R A N.B. t. ' V ' ' t. ' A ( ) ' ' + At. + At. t. Fo d ne (ss * cc. d tsc.) dett nche ftt Anche se l ossetoe esegue un su sttc pe l qule: ' 0 Esste sepe l fo d ne Msu dnc: Msu sttc: fo ele + tene nele dee pplce un fo ele che sot l tene nele deten l equlbo ( coè 0) 45

46 f g f g f f g T f g f g T 46 fnqu 07 Febbo 007

47 Ogn punto dell pttfo s uoe d oto ccole ed h un cceleone centpet: un feento soldle con l pttfo è NON INERZIALE. Ossetoe Inele: l cceleone è dout tensone dell fune T Ossetoe Non Inele: L plln dee esseelegt l plo sennò, se nche l colloc fe n un punto, cqust un cceleone centfug. Pe nnulll dee use popo l tensone dell fune pep endee ldo l II pncpo. T ˆ 47

48 Queste foe ppent: non deno dll nteone con lt cop; s chnonel peché dpendono dl oto del S.d.R; sono foe el pe l S.N.I.: c oglono foe el pe nnullne l effetto; ne sste ccelet non lgono pncp d Newton (ed l po!!) s può nco use l II pncpo se s consdeno le foe ftte (dette nche d tscnento) Tutto questo nel cso n cu l oto del S.D.R.N.I. S uo d oto tslonle. M cos succede n cso d oto Qulunque? 48

49 Sste d feento non nel ω p o o ˆ ' ' + ˆ' j ' + kˆ' ' Coe nel cso pecedenteente sto: ˆ( X ) + ˆ( j Y ) + kˆ( Z) O peò eso del sste non nele non sono costnt dˆ' dt dj ˆ' dkˆ' ω ˆ' ω ˆ' j ω kˆ' dt dt Foul d Posson!!! ˆ' Dendo spetto l tepo t ( che è ssoluto!!! ): ˆ( ' ' + ˆ' j V ' + kˆ' ) + ˆ( j ' + ω (ˆ' ' + V ˆ' j V [ ] () t () t () t () t V () t + ω() t O' P() t ) + kˆ( ' + kˆ' ') ) t 49

50 ' ˆ' ' + ˆ' j ' + kˆ' ' Veloctà d P spetto l sste oble ( el. elt) ˆ + ˆj + kˆ Veloctà d P spetto l sste fsso ( el. ssolut) ˆ ˆ ˆ t V + jv + kv + ω (ˆ' ' + ˆ' j ' + kˆ' ') È l eloctà con cu s uoe, spetto l sste fsso, l punto soldle con l sste oble che nell stnte consdeto è occupto d P ( eloctà d tscnento) C bbo peso gusto e... deo nco! î' ' + ĵ' ' + kˆ' ' + ω ( î' ' + ĵ' î( V ) + ĵ( V ) + kˆ( ˆ' ' + ˆ' j ' + kˆ' ' + ω ( ˆ' ' + ˆ' j ' + kˆ' ') + α ( ˆ ' ' + ˆ' j ' + kˆ' ' )+ ω ( ˆ' ' + ˆ' j ' + kˆ' ') + [ ω ω ( ˆ ' ' + ˆ' j ' + kˆ' ' )] ˆ( A ) + ˆ( j A ) + kˆ( A ) ' + kˆ' ' V ) ) 50

51 ' Che pù seplceente: ' ' t c t c [ ] A + α O' P + ω ( ω O' P) ω ' Acceleone del punto P spetto l sste d feento oble ( cc.ne elt ) Acceleone del punto P spetto l sste d feento nele (cc.ne ssolut ) Acceleone con cu s uoe, spetto l sste fsso, l punto soldle con l sste oble che nell stnte consdeto è occupto d P ( cc.ne d tscnento) α Acceleone ngole del sste d feento oble (αdω/dt) A : cceleone dell ogne oble spetto l fsso α O' P αd ω ( ω O' P ) ω d : cc.ne tngenle dell esteo lbeo d O P : cc.ne dle dell esteo lbeo d O P Èl fget cceleone d Cools. È null qundo P è n quete nel sste oble ( o n ssen d otone!!!) ω d P o' 5

52 N D ω O C R ω cos g 0 λ P λ Pno equtole Esepo 7 Vet. ω ω ω ( ) Pe l te: d s 5 ( ) S g 0 l cceleone d gtà sut d un ossetoe non uotnte. L cceleone sut d un ossetoe teeste sà ( n questo cso non c è oto tslonle elto: A0 e l otone è unfoe: α0): g ω 0 ( ω ) ω L eloctà e l cceleone d un punto sull supefce teeste snno ω R ω cosλ dpende dll eloctà con cu s uoe l copo sull Te!!! ω R ω cosλ 459cosλ s cosλ s L cceleone d un punto dpende dll su eloctà e dll su posone ( o eglo R). 5

53 Il tene centfugo ( se è tscuble coe nel cso d un punto che s uoe olto lentente) le l sso( equtoe): s ω ' Tene d Cools: ( ) s Il tene d Cools è tscublespetto l tene centfugo pe pccole Pe eloctà pccole ( e pe cop poso sull Te) g effcce le < 500 Kh g g ω ω 0 ( ) N D ω È l deone del flo pobo enon punt l cento dell Te O C R ω g 0 λ ω cos ( ω ) ω cosλ cosλ s P λ Pno equtole Vet. ω ω ( ) g g 0 ω cos ( ω ) 0.3% g0. 53 λ

54 Effett del tene centfugo : 54

55 S B ω cosλ sn λ l fgu non è n scl α è olto pccolo! g uent con l lttudne A α N oonte Il tene dle ost che cop, nell esfeo nod sono det eso sud lungo l etcle AB: flo pobo e cop n cdut lbe g ( g ω cos )ˆ 0 λ deone dle 55

56 Effett del tene d Cools : 56

57 57

58 58

59 59

60 Qulcos d pù sul III pncpo... codo che one e eone:. Agscono sepe su cop des. In genele non s fnno equlbo Defno un nuo gnde fsc: Qunttà d oto P Denson? [ ] [ ][ ][ ] p M L T Untà d su? L p legge dell Dnc: L second legge dell Dnc: P cost F Kg d s dt dp dt Coe l s ntepet? 60

61 Coe s può enunce desso l III legge: Sno dt due sste (punt tel) ntegent:, P, F, F, P, dp dt F Se due cop solt: F F P dt d dp dt F dp d ( P ) + P 0 dt che espe un potnte legge d conseone: + P P cost. dt L qunttà d oto totle d un sste coposto d punt tel soggett solo ll loo utu nteone ne costnte nel tepo 6

62 Qulcos d ptco sull qunttà d oto: Sno dt:, F F F F d dt Consdeo un ntello d tepo dt: t Fdt dt t t t d dt Pe sste ss costnte: Defno: t t Fdt ΔP I Fdt ( ) Denson? d d ( ) Vone dell qunttà d oto Ipulso dell fo [ ] [ ][ ][ ] I M L T Untà? fnqu 09 febbo 007 N s 6

63 Fondentle: not che s l legge dell fo, s cno nfoon cnetche sul oto del punto Teoe dell pulso: L pulso dell fo gente su un punto tele f gl stnt t e t è ugule ll one dell qunttà d oto subt dl punto. Posso qund scee n genele: I ( t) I ( t) () t + I() t + F() 0 t dt M n genele non conosco l fo n funone del tepo!!!! E pe ntege le equon del oto c seeo d lte gndee: 0 0. Loo. Eneg 63

64 Esepo 9 Un tgltce sp R poettl d ss e eloctà l secondo. Qul è l fo ed esectt sul besglo colpto e nel qule s estno? f Δt t t fn. n. fdt I Δt # d poettl che colpscono l besglo n Δt: RΔt Se è l pulso esectto d ogn poettle, l fo ed le: I Δp RΔt f Δt Δt Δt R 64

65 LAVORO É sepe ssocto l concetto d spostento!!! ) Cso undensonle W o. Fo costnte FΔ F Δ F : F F cost. : Δ < > fo e spostento concod fo e/o spostento null 0 00 fo oppost llo spostento qul denson? [ W ] [ M ][ L ][ T ] untà S.I.? Kg s N J ( oule) F Fcost o w 65

66 T M9 0 Kg P X Il concetto d loo è ssoluto? Qunto le l loo ftto dll fo peso nell dsces? Qunto quello ftto d T e sotto qul condon? Qunto le l loo dell fo sultnte? È ndffeente se l oto è cceleto o eno? Se s ope l co qunto le l loo coputo d P e T? W W W W T T P P FΔ W PΔ ( 3 ) ( ) N J FΔ W TΔ ( 3 ) ( ) N J 66

67 b) Cso undensonle con fo ble F F F ( ) o S clcolno ( oente ) lo nfntes ( eleent ) e s f l so (ntegle). W W l Δ 0 k F F( ) d, ( ) Δ È nco l e sottes dll F t e posone d equlbo F ( N ) F k 0 ( c) loo coputo sull oll dunte l espnsone d 67

68 W dw F( dw F( )d )d Loo nfnteso l loo nfnteso è posto (negto) se fo e spostento sono concod (dscod) l loo ntegle è posto o negto second de contbut de sngol lo nfntes Tpco (fo elstc): F K W, b b Kd K b d K b k ( b ) Esepo è l odulo dell fo? Un blocco ppoggto su un supefce oontle lsc è ttccto d un oll oontle che ubbdsce ll legge d Hooke ed esect sul blocco un fo F -K, doe è sut pte dll posone d equlbo dell oll e l costnte elstc è K 400N/. L oll ene copess fno -5c dll su posone d equlbo 0.Qul è l loo coputo dl blocco? W ΔF 5 ( 0.05)( [ 400N / )( 0.05) ] 0. J Ae sotto l cu FF(). W>0 pechè F e Δ sono concod 68

69 c) Cso 3-D 3 D con fo costnte F o cost P(t ) F.( ettole θ Δ P(t ) F W!!!) F Δ + F Δ + d) Cso genele: : 3-D 3 D con fo ble: W b, F d Integle d lne b dw W W F d F d FΔ cosϑ F Δ F Δ W, b W, b b F + d Fd + b b b F d ( F d + F d F d) + 69

70 Rssuo le popetà del loo ssocto l oento: non s dee copee loo pe ntenee feo un copo n un S.d.R. dpende dl sste d feento: (esepo dell scensoe n te denson, se l fo è costnte: L f Δ+ f Δ+ f Δ f Δ. t () o L nel cso genele: b t f d ( + dt) b b. d t + dt t L dl b ( ) ( ) b f d f d ( f d + f d + f d) Integle d lne dell fo dffeenle 70

71 Se gscono pù foe: W N.B. L b L b b R d b f L f f d R b b d Rsultnte delle foe gent sul punto tele ed l loo è un qunttà ddt Non è un sultto genele: non le, d esepo, pe cop estes pe qul le foe subscono, n genele, spostent des W b F d Eneg f d 3 b, b W, b F d W + W + W3 Clcolo uno de ten ( gl lt snno sl ): pechè? W W b b b d F d dt d d d d dt d b d È lecto? 7

72 W b d In te denson l loo totle sà llo: E defno: W K denson? W W + W untà S.I. & C.G.S.? W b + W teoe dell Eneg Cnetc: 3 b ( ) Eneg cnetc Il loo coputo dll sultnte delle foe gent sul punto tele che s spost d A B è ugule ll one dell eneg cnetc del punto stesso W ΔK N.B. Vle sepe. Qulunque s l ntu delle foe!! b W [ K ] [ M ][ L ][ T ] Kg s ( ) b ( ) b Kb K J 7

73 Alcune enege tpche Cobustble nuclee nel sole Esplosone d un supeno Cobustble fossle teeste Eneg ust n USA n un nno Esplosone ulcnc ( KKto ) Annchlone d Kg te/ntte Cobustble nuclee n un ettoe tpco Esplosone nuclee ( Mton) Fssone d Kg d uno fulne Cobustone d lto d benn Eneg lente un (3000 Kcl) Esplosone d Kg d ttolo Metbolone d un el (0 Kcl) Eneg cnetc d un uoo d cos Solleento sulle bcc Fssone d un nucleo d Uno Annchlone e + e - Eneg d onone dell too d dogeno 0 45 J 0 44 J J J J J 0 6 J J J J J J J J J 3 0 J J J. 0-8 J 3.6 ev Kcl 4, J ev, J Mton TNT 4,8 0 5 J 73

74 Esepo 3 Un ss 50g è ppes, tte un flo nestensble d lunghe l5c e d ss tscuble, d un punto d sospensone. Il flo ene spostto d un ngolo θ 0 60 spetto ll etcle ed bbndonto d feo. Qunto le l eloctà d qundo pss pe l etcle? A o' o ϑ 0 60 B O d l τ A P g ds L b b b f ds τ ds + b b ( τ + g ) g ds Il po ntegle è nullo: pechè? b b l gd g d g b 0 Dl teoe dell eneg cnetc ( l punto pte d feo): ( ) g ds b b L, b g ds g ds g ds d g è l podotto del odulo pe l poeone d ds sull deone d g ( coè ), ds ĵ d l b g fnqu 4 febbo 007 b gl. 58s 74

75 Un fo ble con l posone è del tpo: In questo cso so n pesen d un: Cpo d foe I cp, n genele, dpendono nche dl tepo: f f, t ( ) cp ston no pe o consdeo solo cp (non dpendent dl tepo). Il loo può essee clcolto coe: W b ( ) d f (,,) d (,,) d+ f (,,) d+ f (,,) [ f ] d,b f b f f ( ) f f f b f f f (,, ) (,, (,, ) Se n ogn punto del cpo, l fo che gsce sul punto tele è costnte (odulo, deone e eso) l cpo s dce: oogeneo fo dffeenle lnee 75

76 Cp (d foe) conset funone potenle Defnone: Un cpo s dce CONSERVATIVO se l loo delle foe NON dpende dl pecoso solo dgl este. b Wb f ds f, Dee essee stono? N.B. s? no? ndffeente? è suffcente? ( b) NO!! Peò se è stono ed l loo dpende solo dgl este del pecoso llo (s può doste) esste un V(,,) tle che: W b ( b) V ( ) V V V (,, ) Funone potenle n ptcole se b l loo e nullo: n un cpo d foe conseto l loo lungo un pecoso nullo qulunque e nullo 76

77 Popetà del potenle V( b ) V( ) b f ds b b V ( b) f ds + V t ( ) f ds + cos. loe d feento è defnto eno d un costnte ddt ( potenle d un punto!) esste solo se l cpo è conseto se A B, e l cpo è conseto llo l loo è nullo è un funone scle denson? untà d su? 77

78 78

79 Teoe d conseone dell Dto un cpo d foe conseto s h che: W b Eneg (eccnc( eccnc) V ( b) V ( ) loo delle foe del cpo pe pote ul punto d b s E pe l teoe dell eneg cnetc: W, b W, b K W, n b K K b K W,b K b K V( b ) V( ) K b DEFINIAMO: K K b + U E V( b ) K + U b) K + U ( ) V( ) U (,, ) V (,, ) (,b punt genec U costnte E eneg eneg totle potenle Teoe d conseone dell eneg Pe un sste che s uoe sotto l one d foe consete solente, l eneg eccnc totle ne costnte. 79

80 F Kˆ M 0 M ' M. S tscuno gl ttt. S tscu l ss dell oll 3. Tutt l En. Cnetc è concentt nell ss, ' 4. coe s confontno le eloctà? 5. L oscllone ene su un pecoso chuso! 80

81 In un cpo d foe consete ( cpo conseto) So utot d ssegne un loe d un funone: U U (,,) d ogn punto del cpo n odo che l loo coputo dlle foe del cpo pe pote un punto tele d un punto un punto è dto d: W P ΔV ΔU ( U ) P, U P, U P, U P, Coe s defnsce opetente l funone? S fss btente l loe n un punto d feento U(0)U P, e, d conseguen, ogn lto punto PP h l loe: ( P) U ( 0 ) W P, 0 U + Loo coputo dlle foe del cpo pe pote l punto tele d P l punto d feento. d solto: l punto d feento s scegle doe l fo è null! ( P ) U ( 0) + W0 U ( P ) U ( 0) W0 U + ( P ) ( ) U P W0 W0 W0 W0 U +. ndpendente dl feento. so de lo 0 e 0 8

82 n un densone: ( ) b U f d + cost. F U In te denson: F U ; F U ; F U U b ( ) U ( b) ( F d + F d F d) + F F î + F ĵ + F kˆ U î U ĵ U kˆ F U U î + ĵ + kˆ opetoe ettole Opetoe gdente Il gdente d un funone scle è quel ettoe che, oltplcto sclente pe lo spostento eleente fonsce l dffeenle dell funone V d dv 8

83 In coodnte pol l dffeenle d un funone scle V è dto d: dv V V ϑ V ϕ (, ϑ, ϕ) d dϑ dϕ ente pe lo spostento d h che: ( d ) d; ( d ) ˆ dϑ ( d ) senϑdϕ ˆ ϑ ; ˆ ϕ V d dv Vd V d + ϑ Vdϑ + V + dϑ + ϑ ϕ Vsenϑdϕ V dϕ dv ϕ V ; ϑ V ; ϑ ϕ V senϑ ϕ ppesentone pole sfec dell opetoe gdente. Se V è l potenle d un cpo d foe conseto è nche l ppesentone pole delle coponent del cpo d foe 83

84 Se l loo delle foe del cpo è nullo su un pecoso chuso llo le foe ( /l cpo ) sono (/è) consete (/o). E se sono pesent foe d ttto...? 84

85 ...e qundo gscono foe non consete Nell ptc è l noltà. f nc Pe le sole foe consete bbo: W c ΔK ΔV V( b ) V( ) U( ) U( b ) ΔU Δ K ΔU ΔK + ΔU 0 K + U Cost. e n genele se gscono olte foe consete (su un punto!): W c ΔU ΔK + ΔU ΔE 0 L eneg eccnc totle s conse nche se esstono foe non consete posso scee ( teoe delle foe e): W nc + W c ΔK 85

86 L posso scee coe: W nc + Δ ΔK U E l equone st p che pe le foe consete: ΔE ΔK + Δ 0 U Dent: ΔE ΔK + ΔU Wnc Le foe non consete sono, n genee, dsspte: W < 0 ΔE < 0 E < nc N.B. In pesen d foe non consete l eneg eccnc non s conse (E b E ). ). Se W nc >0 ( fo tt o otce) l eneg eccnc del sste uentndo; se nece W nc <0 ( fo dsspt o esstente) l eneg eccnc dnuendo. In genele l eneg ppe sotto e foe: fn E n Tec (Cloe) Chc Nuclee elettognetc 86

87 L eneg pedut n genee s nfest sotto fo d cloe Il loo ftto dll fo d ttto su un sste tele è ugule ll uento d eneg tec cbto d segno. Qund L f -Q ΔE + Q 0 lte untà d uso fequente: ev J KWh J Kc l 000cl J BTU J nteessnte Δ ΔE c E c se s nnchl un: Q M Kg ΔE L pedt d eneg eccnc è ugule ll uento d eneg tec con un: M Kg E J uoo n cos J 87

88 88

89 L poten Se un cpo d foe cope loo su un punto tele s enunc: L poten P eogt n un ceto stnte dl cpo è l ppoto, n quell stnte, t l loo eleente ed l tepo n cu esso è stto solto. P ΔW Δt Pe un punto tele: dw ; ΔW P P l Δt 0 Δt dw dt dw f d f d P f dt dt L poten che d un ceto stnte gsce su un punto tele n oento è p l podotto scle f l sultnte delle foe che gscono sul punto e l eloctà del punto stesso.. Denson?. Untà d su? dn g c N Kg N 3 g 0 0 E nel sste c.g.s.? joule W s HP 735W ( s) ( s) c ( s) 5 0 dne 0.735KW 5 J N 0 dne 0 c 0 W 7 0 eg s 7 eg 89

90 Esepo 6 P A Un punto tele è posto, nlente n quete, n A.Vene bbndonto, sotto l one dell fo peso, lscndolo scole lungo l gud l cu ttto è tscuble.clcole l eloctà con cu n B, pù n bsso, spetto d A, d un dslello p d h. Clcole nolte l quot ss 0, spetto B, ggunt dl punto P nel etce C dell tetto, se nel punto esteo l gud fo un ngolo d 45 spetto ll oontle. h B c 0 Qul foe gscono? P g N 0 45 Che loo copono? Posso pplce l conseone dell eneg? g g g 0 g 0 Tutte le coponent sono costnt. Sono soddsftte le: f j f j, j,3 pe cu l fo peso è conset. L su eneg potenle le: U b g d gd gd g + C eneg potenle gtonle 90

91 L costnte è bt e posso pol ugule eo. L conseone dell eneg s sce qund: + g b con : 0;( b + g ) b gh b gh h b Il punto tele cde con l stess eloctà che ebbe uto n cdut lbe. Ato n B s uoe sotto l one dell sol fo peso coe nel oto de poettl. Applcho peò l conseone dell eneg t punt B e C: c 0 b + gb c + g c c b g b b g c ( ) b c P A S ede che: b c 0 b c h + + B 45 b c c 0 b c c 0 b b b gh 0 h 9

92 Esstono nche lte untà potnt (pe sse l confusone!): Kg Kg 9.8 s 9.8N Kg f f Kg hp( etco!) hp( nglese) f 75Kg Esepo 7 Rpendo l nosto pendolo: Abbo sto che l fo gtonle è conset E E n. 9.8N f fn s 550 ft lb s Foot-pound 9.8J 736W 746W C d BO o' l θ 0 60 τ A g ds fnqu 6 Febbo 007 A + ga B + g gl b ( cosϑ) gl b g b 9 B

93 L equlbo Qul sono le condon dnche pe l equlbo? 0 f ( C?) 0 0 Il sultnte delle foe gent sul punto dee essee nullo. L condone non è suffcente: R R R P g P g P g. Equlbo stble. Equlbo nstble 3. Equlbo ndffeente È nteessnte l cso d un punto tele n un cpo d foe conseto. I stt d equlbo s possono dentfce n bse ll ndento dell eneg potenle 93

94 A olte è dffcle ( possble ) ntege le equon del oto nche n questo cso. Il gfco dell E.P. è peo stutto. U() E K o H A C E k E p M D A B B Inftt sppo che: M F M 3 G dest snst dest snst I (3) () () (4) U F penden dell cu Ne punt M,M,M 3 : l fo s nnull s h equlbo (stble o nstble?) 94

95 U() o K H C A E k E p M D B A B M (3) () () Pe un punto tele d eneg totle E: F M 3 I G E (4) pe ogn posone,u p è l odnt dell cu l dffeen spetto d E è E k E k >0!!!!oto ltto d un buc lello ()>oscllone t A,B lello ()> possbltà: oscllone t C,D oscllone t F,G possble psse d un egone ll lt ( be d potenle ) lello (3)>oscllone t H e I lello (4)>oto non osclltoo t k e nfnto 95

96 Qulche lt gnde potnte Aeo sto: cnetc tslonle: cnetc otonle:,, ϑ, ω, α dnc tslonle: fo dnc otonle? Acceleone tslonle fo F E suffcente un descone n ten dell sol fo? Esste un gnde fsc equlente ll fo che posso ssoce l oto ottoo? 96

97 Moento eccnco dell fo F P P P o P 3 Cos succede se sposto l punto d pplcone n: 0, P, P, P 3 L effetto dell fo dpende dl punto d pplcone!!! qund dll dstn: OP defno: τ F è un ettoe qul sono le denson? qul le untà d su? Moento dell fo ML T N 97

98 In ptcole: dto un S.R.I., un punto tele P ed un fo gente su d esso τ τ F ( F ) Pseudoettoe o ettoe ssle! o P ϑ F τ F senϑ F bcco dell fo Fsenϑ F coponente nole dell fo Il oento dell Fo è l nlogo otonle dell Fo τ bcco dell fo o ett d one dell fo o 80-θ F θ F θ bcco dell fo τ τ bcco dell fo o θ F 80-θ bcco dell fo τ o θ F 98

99 Qule gnde fcco cospondee, nel oto ottoo, ll qunttà d oto? l P Dto che f dp dt o P ϑ P se pplcho l ettoe : d un dstn dll ogne (P-O) defno: l P coe l oento ngole ( oento dell qunttà d oto ) del punto tele P d ss spetto d un punto fsso l p l psenϑ p coponente nole dell Q.d.M. l p senϑ p bcco del oento dell Q.d.M. coe con l tepo ( qul è l su legge del oto ) dl d dp d ( p) + p 0 dt dt dt dt dl dp d ( ) F τ dt dt dt dl dl dl τ τ dt dt ; τ dt ; τ polo dl dt 99

100 Il oento ngole è l nlogo otonìle dell Q.d.M f dp dt qul sono le denson? qul le untà d su? τ lcun tpc oent ngol ML T Js dl dt Moto obtle d tutt pnet del sste sole Moto obtle dell Te Rotone dell Te Rotoe d un elcotteo(30g/n) Ruot utooble (90 K/h) Ventltoe elettco fsbee Pccolo goscopo Dsco fonogfco (33.3g/n) Poettle d fucle cnn gt Moto obtle dell elettone n un too Spn dell elettone Js Js Js Js 0 Js Js 0 - Js 0 - Js Js 0-3 Js Js Js 00

101 Esepo 33 Toe l oento ngole d un ss puntfoe che s uoe su un cconfeen d ggo ( nel pno,) con eloctà ngole ω. 90 +ϕ ω l ϕ ϕ 90 l l p l Esepo 34 ωkˆ l ω Toe l oento ngole, spetto ll ogne, d un ptcell che s uoe con eloctà costnte su un lne ett, pllel ll sse, dstnte b dll ogne. l l b ω p sn 90 cosϕ k kˆ ( + ϕ) l bkˆ 0 kˆ

102 pù n genele: Moento dell qunttà d oto Dto un punto tele P che s uoe n un feento nele o ed un punto Ω (polo) d feento: o p f dp dt Il oento ngole d P spetto Ω Èdto d: l ΩP p Qul è l equone dnc che goen l eoluone d? d dt p Ω Ω P f d l dt dp dt Moento dell fo spetto l polo Ω: ( olte s ndc con ) τ p τ! dp dt ( p) dl dt d dt d dt p τ p + p dp dt dp dt l 0

103 Posso scee: d dt τ p dl dt p Ω ( τ Ω p dl dt Ω ) p + Ω p o p Ω Ω Pechè? P p Solo nel cso n cu l punto d feento (polo) s feo: τ dl dt Teoe del oento ngole In ogn sste d feento nle, se s scegle un punto fsso coe polo, l oento dell fo sultnte gente su un punto tele le l det spetto l tepo del oento ngole del punto tele stesso 03

104 Esepo 36 Un oggetto puntfoe P d ss è sospeso d un punto fsso o ednte un flo nestensble, d ss tscuble e flessble, d lunghe l. Spostndo l oggetto dll posone etcle d equlbo e lscndolo lbeo, esso ene chto eso l posone d equlbo dll fo peso e conc d osclle (pendolo seplce). Nel cso d pccole oscllon ( coè se l loe dell ngolo θ espesso n dnt è olto noe d l), le oscllon sultno socone, coè hnno tutte l stess dut. Tscundo l fo d soento dout ll, scee l equone del oto, e efce che l legge o ppesent oscllon socone. pechè? o sceglo : o ϑ < 0 ϑ d ϑ dt Ω ( ) R g OP g τ OP f OP + ϑ > 0 l dl d OP g OP R dt dt d d lgsenϑ l l p dt dt g d d d lgsenϑ l l l dt dt dt d ϑ lgsenϑ l g dt è un equone tscendente + senϑ 0 l d ϑ g senϑ ϑ + ϑ 0 dt l pe θ pccolo: ( ) () 04 ϑ

105 è l solt equone dffeenle del II odne, lenee,oogene ed coefcent costnt. L soluone: () ϑ t ϑ sen( ωt + ) ω 0 ϕ non content posso efce: dϑ ϑ0ω cos( ωt + ϕ) dt d ϑ ϑ0ω sen( ωt + ϕ) dt soddsf solo pe qul le denson d ω? qule l gfco d θ n funone del tepo? che sgnfcto h θ 0? l oto è peodco d peodo T: g l ω ϑ ( t) ϑ0sen( ωt + ϕ) ϑ( t + T ) ϑ0sen[ ω( t + T ) + ϕ] sen( ω t + ϕ) sen[ ω( t + T ) + ϕ] g l [ ω( t + T ) + ϕ] ( ωt + ϕ) π π ωt π T π ω l g gà sto!!! dϑ dt eloctà ngole del segento OP ϑ,ϕ 0 condon nl del oto : coe s detenno? ϑt 0 ϑ0sen ϕ & ϑt 0 ϑ0ω cosϕ qule eoe s coette ponendosenθ~θ? Ad esepo pe θ30 : π senϑ fnqu febo 007 4% 05

106 FENOMENOLOGIA (..legg..) DELLE FORZE ) REAZIONI VINCOLARI Il oto d un punto tele (sste) è nfluento d ncol: tolo d bldo pendolo bn lne feo ecc. ecc. Possono essee: unltel :ltno l posone sen foe l conttto con l ncolo bltel :ltno l posone e fono l conttto con l ncolo (cenee) Agscono ednte foe d conttto che geneno eon d ntu elstc ( elettc..... e d dffcle copensone! ). Anls fenoenologc (etodo dnco) 06

107 R p g Se l copo d ss (punto tele) è n equlbo ( cceleone null ): D cu: g + R 0 R g I ncol engono nlt n bse lle eon lle foe tte ( note ) nco l teo pncpo! R g Le eon de ncol non sono nol ncol N P f t N Cop. Nole llo spost. f t Cop tng.(fo d ttto) 07

108 Qundo s pl d supefce p d ttto ( e solo llo! ) s h che: Le foe d ttto sono tttte d: Legg epche (fenoenologche) ) ttto sttco f t f 0 R N t N F R θ g N Fno che : F F f t F f t F g 08

109 Alcune consdeon speentl Doe: F è ndpendente dll e dell supefce d conttto F N μ s μ s Qul sono le denson? D cos dpende? Segue qund che : f F se f : f μ N t t t s Coè fno che: M f t / N Coeffcente d ttto sttco f t tnϑ / N μ Qund: tnϑ μ s cho ngolo d ttto sttco ϑ : tn ϑ μ s È popoonle ll eone nole Mtel Tttento supefcle Pesen lubfcnt s f t R ϑ N g 09 F

110 R non può foe un ngolo ϑ> ϑ con l nole ϑ ϑ b) ttto dnco f μ N ˆ c t μ c Coeffcente d ttto dnco Speentlente: μ c < μ s 0

111 Moto sotto l effetto d un fo costnte M N o ϑ N + P ϑ P M se poetto l equone lungo gl ss coodnt: ( ) N + P î M î ( N + P) ĵ M ĵ Mgsenϑ M N Mg cosϑ 0 gsen ϑ N Mg cosϑ

112 E se sono pesent foe d ttto? M N o f s ϑ Se l blocco è feo: P N + fs + P0 θ Supponendo che n scole pe un ngolo: ϑ s. Qule è l coeffcente d ttto sttco? Poetto sugl ss: N + f + P $ 0 f Psnϑ 0 s N + f + P $ j 0 N Pcosϑ 0 ( ) s ( ) s Sppo che: f μ N s s

113 μ sn N P sn ϑ s p cosϑ s E ddendo ebo ebo: μ s tgϑ s Esepo 6 Un utooble s uoe d oto ettlneo unfoe con eloctà 0.. Se l coeffcente d ttto sttco t pneutc ed sflto è μ 0 qul è l pù bee dstn ento cu l cchn può essee fet? N f s Con qul odltà ene l oto? P Mg 3

114 Se s suppone l fo costnte, l oto è unfoeente deceleto: Pe l II pncpo: Poetto sull sse : 0 f s M 0 Se l uto s dee este: 0 + P+ f + N M P g ( P + f + N ) î M î f s g P f + N Poetto sull sse : ( P + ) ĵ M ĵ N P 0 N P μ s fs N fs P μ g s Se 0 00K/h; μ s gμ s ( 7. 78)

115 In genele l fo non è costnte ) Foe elstche-elstct elstctà Esepo ( n un densone ): d dt ( ) F Cso seplce: elstctà (legge d Hooke) Copo elstco: S defo se soggetto d un fo: tone } Fo d cho copessone pstno fo ognle ll nnulls dell fo Legge d Hooke (R.Hooke ) : speentle! Il odulo dell fo d cho (d Hooke) è dettente popoonle ll defoone F k F k S oppone ll defoone 5

116 dobbo solee un equone dffeenle nell ncognt (t). d dt ( ) F In genee non è possble tnne che ne cs seplc coe l: legge d Hooke: d dt d K K + dt 0 e un equone dffeenle del II odne lnee ed d d oogene coeffcent costnt del tpo: + + b 0 dt dt t l soluone è del tpo: e se + + b 0 l soluone genele: t ( t) c e + c e t, ± b 3 cs: > b b < b ( t ) c ( t ) e b n t t e + ce t ( c + ct ) t ( t ) e ( c e nt + c e nt 6 )

117 ( t) ce ( t) e ( t) e t t t ( c + c e + c t) ( Acos nt t + Bsn nt) nel nosto cso: d 0 + b 0 e se b > 0 b ω dt ( t) ( t) Acosωt + B snωt; C sn ( ωt + ϕ) b K ω C,φ cost. bte In ltent: Metod pposst Ad esepo: F ( ) A se 0 è un d dt A fo F è olto gnde " centle" ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) to 0 t t t t t t Δt t t t t t t Δt t t t t t 3 t 3Δ t... t t t t t t 7

118 F Kˆ s può doste che è conset! t U ( ) U ( ) F( ) U Se U()0 pe 0: 0 F ( ) K + U ( 0) ( ) d F( ) 0 d + C d Kd + C C0 e U ( ) K Dll conseone dell eneg:oe p : t t + K 0 Dll conseone Dell eneg 0 K Costnte tpc del sste K Se l eneg (fnle) è solo potenle: 0 8

119 f h Molt de cop con cu bbo che fe sebno essee ndefobl... F h denson? untà d su? se Δh è pccol spetto d h l defoone soddsf: Δh E E odulo d Young h F S le s n tone che n copessone [ ] [ ][ ][ ] E M L T N In genee l legge d Hooke ene espess n ten d Sfoo ( stess) e defoone (stn) : defoone Δh h E F S sfoo Ad esepo, n tone, coe egsce l tele (F h -f h )? All equlbo: K f h KΔh ES h l fo f h longtudnle con cu l cpone egsce (fo d cho) d un llungento Δh è popoonle ed oppost n segno ll llungento stesso (legge d Hooke) 9

120 ) le fno che F/S non supe un loe sso L (lte d elstctà A); b) l supeento del lte d elstctà nduce defoon penent. c) uentndo l fo pe untà d supefce s ggunge l cco d ottu (C R ) : untà (N - ) e denson? sfoo Lte d essten C R L F k A B C C OA elstco AB plstco pto d ottu o defoone Def. Pe. L legge espess coe elone sfoo-defoone è ld nche pe defoon d scoento: S Δ F h Δ h G F S E d olue : Modulo d scoento ΔV V ε F S copessbltà 0

121 b A e se l defoone ene tseslente ll sse longtudnle? A B h B F Δs se suppono Δs<<h pe effetto dell defoone l bodo AB subsce un llungento Δh ed A B un copessone p cc -Δh. se b è olto noe d h Δh << Δs (Δsodulo dell flessone) S può doste che l elone t l fo con cu egsce l sb ll flessone e l flessone stess è, ll equlbo: : pofondtà dell sbett b: spessoe h: lunghe f KΔs K Eb 3 4h 3 Pe un oll d elc: l: lunghe dell oll : deto del flo R: ggo dell elc f KΔs K π G lr 4 F l Δs Modulo d gdtà: dpende dl tele

122 costnt elstche d lcun tel C R cco d ottu (0 7 N/ ) E (0 0 N/ ) odulo d YOUNG G (0 0 N/ ) odulo d gdtà Lte d elstctà (0 7 N/ ) tone copessone feo cco Alluno Re Ottone Pobo Veto cuccù ~ ~0 - ~

123 3) FORZA PESO-GRAVITA GRAVITA è l sultto dell nteone dell Te ( bente ) con l copo n ese (punto tele) g bbo sto che posso: p e qund F g p g Se consdeo g costnte: l ppoto t pes deten l ppoto t le sse M: MASSA: estens, ntnsec, effett ne. scle PESO : estnsec, effett g. ettoe Blnc : confonto t sse: ugule ounque Dnoeto: deso loe secondo l luogo 3

124 F P g s ede che è conset U ( ) U ( ) F ( ) d + C F( ) d + U ( 0) g d + U ( 0) Se U()0 pe 0: C0 t U ( ) Ne cso d un ge: g g t t h + gh 0 o Dll conseone Dell eneg gh Gà st!!!!!!!!!!!!!!! 0 fnqu Febbo 007 4

125 4) FORZE VISCOSE In genele cop n ese s uoono n un eo: cqu ecc ed l eo oppone un essten l oto che dpende: dlle denson dll fo del copo dll supefce dll denstà del eo dll scostà le foe scose chedono uno studo olto coplesso: tetc dffclss, sulon e su speentle d pet. Se s consdeno solo cs seplc foe egol bsse eloctà ssen d otc: fluss ln n quest cs: f β β : dpende dll fo e dl fludo Quest fo è conset? co è l loo coputo d quest fo? che denson h β? No Resstente [ ] [ ][ ] β M T qul le sue untà d su? In eltà è η β kη N s l coeffcente d scostà e K è un fttoe d fo [ ] [ ][ ][ ] η M L T Kg s N s Pose η : 0 5

126 Dnc de sste Fno d o: Oggett fsc Punt tel I punt tel sono dott d popetà dnche ( ss ) sen denson sste: tnt punt tel sste dscet sste contnu ll cnetc tslonle: è segut l dnc tslonle:,, M con le oton (o bon)? Nell cnetc: ϑ, ω, α Fo M punt d un copo: NON SONO TUTTI EQUIVALENTI! Se l copo non è gdo: L descone del oto è dffclss!! 6

127 Pss segut nell descone de sste. Il punto tele. Sste dsceto 3. Sste contnuo Le legg fondentl: consdeo un sste d n punt tel P su ognuno de qul gscno delle foe. Il sultnte delle foe che gscono sul punto P è: f f (,,... n) ( ) + f (,,... n) ( e) f cos sono e d ch dpendono? ( f f e) ( ) f f ( e) ( ) (,, t) ltoc l cso(pù fcle) pe cu: (,,... n) (, ) (j ; j,,...n,) j j ( e ) ( ) ( ) ( ) d f + f j (j, j,,...n ) dt sste d 3-n equon dffeenl... ptcente possble d solee gà pe n3 7

128 8 pe cscun punto del sste posso peò scee: ( ) ( ) e e e A K B K W W p dt dl dt dp f f Ω ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ. II Pncpo dell dnc. Eq. del oento ngole 3. Teoe En. Cnetc non sono ndpendent spetto ll p! Se peò soo su tutt punt del sste otteno le equon fondentl dell dnc ndpendent t loo ndpendent t loo: ( ) ( ) e scl A K B K W W ettole P dt dl ettole dt dp F F ) ( e ) ( ) ( e ) ( ) ( e ) ( Τ Τ + Ω Τ Τ e e e e e e W W f F f F ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ τ K K l L p P W W ) ( ) ( doe lgono le seguent defnon: e l eneg cnetc è defnt coe seplce so delle enege cnetche de sngol punt del sste

129 Esepo 38 Sno dt due punt tel d ss e. Su ognuno d ess gsc un fo. Sno le due foe ugul n odulo, pllele n deone ed opposte n eso. Clcole l fo sultnte ed l oento gent sul sste. T f f ϑ Ω + + ( R f ) f f f f 0 Se è nullo l sultnte è nullo l oento del sultnte delle foe... τ f; τ f Τ τ τ + τ f + f f f f Δ ( ) f Τ Δ f senϑ bf Δ b Non dpende dll scelt del polo cos cb se punt sono ncolt d un st? e se le coppe sono tttte e d one-eone? nel cso pecedente qunto le l loo totle? 9

130 n un feento nele e spetto d un polo fsso, ( pe un sste tele lbeo ( ) e ) ( ) Τ e Ω 0 F 0 le pe due equon fondentl dell dnc dentno: F ( ) dp dt se l sste tele è lbeo bbo gà sto che pe l III pncpo: Τ ( ) P costnte; L ; dl dt costnte ( ) In un sste d feento nele,, l qunttà d oto totle ed l oento ngole totle spetto d un polo fsso d un sste tele lbeo s conseno F ( ) 0; Τ ( ) 0 qund: l sultnte ed l oento sultnte delle foe ntene sono null e l cos h ldtà genele! F Τ nel cso ptcole d punt tel: ( ) costtuscono un copp... ( ) f τ + f + τ bcco nullo se l punto tele P esect un cet fo su P, llo P esect su P un fo ugule ed oppost ed gente sull stess ett d pplcone (one e 30 eone è dostto nche tetcente)

131 Cento d ss 3

132 In un sste fsco esste un punto geoetco plegto popetà: Cento d ss. s uoe dello stesso oto d cu s uoeebbe un punto tele d ss ugule quell del sste n ese e soggetto lle stesse foe. è unco cso seplce d due cop n un densone: o d doe s to l C.d.M. se: c + + è un ed pest. le due sse sono ugul. l ogne è peso n uno de due punt 3. le sse sono dese? + ; Mc + M c M c esepo: l dstn t cent degl to n un olecol d KB è 0.8 n. Se le sse de to sono: M k 39. u... B 79.9 u... toe l posone del C.d.M. ed ppost delle dstne 3 dl C.d.M. ;

133 n genele: c n ; c ; c n n n n n M c n ; M c n ; M c n Dto che: î + î + î c cî + cî + c î le te equon scl equlgono : L posone del C.d.M. dpende dl S.d.R.? c (l posone e non le coodnte!) n M Se ho un sste esteso nchè un nsee d punt tel? ΔV Mss totle Δ ΔV eleento d V Δ ss dell eleento d olue ΔV ett. Pos. d ΔV ρdenstà 33

134 U c c M M n l ΔV 0 Δ ρδv c M In genele, se l denstà è costnte: c c c d d d d d d M M M d d d n ρδv c ρdv M c d M pplcone: eneg potenle d un copo esteso g U g n Mg c coe un sngolo punto tele!!!!! nell ppossone d o denson s ntoducono: λ() d/d denstà lnee λ( )d c λ( )d σ (,) d/dsd/(dd)denstà supefcle λ( )d M c σ (, ) dd σds σ (, ) dd ; c σ (, ) dd M σ (, ) dd σds M 34

135 oto del cento d ss. sste (dscet) ss costnte bbo sto che: M se deo spetto l tepo: se c poo: M c c n M c n n n f F P dp dt oll f F f cos è? ( e) F foe ntene: foe estene: che foe sono? ( et un ptcole ttenone) f ( e) F f e po? foe ntene: nteon ntene, foe d conttto foe d fl o olle che collegno cop del sste foe estene: d gent esten l sste + ( f ) n f. est. Abo sto che l loo sultnte è null 35

136 N.B. Il C.d.M. d un sste ( d ptcelle ) s uoe coe se tutt l ss fosse concentt nel C.d.M. ( punto tele d ss ugule ll ss totle del sste) e tutte le foe ( l sultnte delle foe estene pplcte ) fosseo pplcte quel punto (ppossone del punto tele). l defnone è ndpendente dl sste d feento desso cop sono nse d punt tel l oto del C.d.M. è tsltoo l oto del C.d.M. c peette d descee l oto tsltoo d un copo o sste che, pe esepo, può conteponeente uote e/o be ssuo le cose fondentl: M M M n c c c f,est n n n ; dp dt P dp dt M c l cento d ss d un sste d ptcelle s uoe coe un sngol ptcell d ss M tot sotto l nfluen dell sultnte delle foe estene l sste 36

137 Esepo 39 F 3 6N 3 4Kg - F 6N 8Kg 4 f -3 F 4N 4Kg Cento d ss c c ( ) ( ) M tot,3 6Kg f f c 4 6 8N 6N 8 6.s f N 6 tgϑ ϑ 63 8 ϑ? 37

138 Abbo sto che pe un sste d punt tel: P M c F est M c Deno spetto l tepo: dp dt M d dt M F c c est dp dt E l estensone del cso del sngolo punto tele. L nnulls dell sultnte delle foe estene conduce d un estensone del pncpo d conseone dell Q.d.M. Τ 0 P cos t. L Q.d.M. dpende dl S.d.R. non l su conseone. Solo foe estene possono e l Q.d.M. Le f nt. no le sngole p non l P tot Abbo detto che: M p nell: ( e) + Τ ( ) dl dt + Ω c P 38 P 0 0 Ω c.. Ω

139 Pe l III pncpo dell dnc (foe ntenecoppe one-eone), e supponendo che l polo s fsso o concdente con l C.d.M. : F Τ ( e) ( e) dp d dt L dt EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA DEI SISTEMI. sono seplc. non copono le foe ntene 3. non dnno nfoon su sngol punt del sste ( tnne che pe cop gd) 4. dnno nfoon cnetche se sono note le condon dnche o cees 5. bsogn sepe usce :. clcole l sultnte ed l oento sultnte d sste d foe. esplcte nltcente le elon t due eb delle eq. cdnl fnqu 3 febbo

140 ω ω â qulcos d pù sul oento ngole n cs ptcolente seplc Τ (e) f d consdendo l polo nell ogne O ω d d o d L l + l d + d f â L dˆ dωd d L k ω ω se oglo e ω dobbo ge sul oento ngole e pe l second equone cdnle dell dnc: dl dt ( e ) 0 Τ 0 nell potes che l polo s fsso e concd con l C.d.M. del sste ( e ) 0 f ω ω â d d o (e) Τ â f. se oglo e l odulo d ω : dl dt L Τ ( e). se oglo e l deone d ω: dl L (e) dt sultnte delle foe estee nullo Τ F L â 40

141 se l sste è lbeo: Τ ( e) 0 L costnte ω ω â L d e dto che: L d ω L d ω d o d d ω costnte â eno degl ttt e se l geoet est costnte ATTENZIONE!!! le foe ntene possono cbe l geoet: suppono d e l dstn de due punt tel d d ' L' d' ω' hnno gto solo foe ntene: dl dt 0 L' L ' d ω' d ω ω' ω d d' 4

142 P, Anco un pplcone sul oento ngole: ω ωâ d nˆ l θ d cosθ o â l ω ωâ θ d P, P, l θ ( t) θ costnte 0 d cosθ ω cosθ d etto eloctà sono nol l pno dell sb e dell sse d otone : l d d d ; l d ;l d l,l d sono pllel,concod ed ugul d P, d l d dω ( d cosθ ) d ω cosθ L l + l d ω cos nˆ θ L [ d ω ]nˆ ( nˆ ). se θ0 too l sultto pecedente. se ωcost. L cost. L non è cost. se θ 0 dl dt 0 Τ ( e) 0 e l oto s può ntenee solo se s pplcno foe estene con oento non 4 nullo!!!!!!

143 Lp L se scopono l second equone cdnle del oto nelle due coponent nole e pllel ll sse d otone: L n L n θ ω L o p dl costnte dt dl costnte dt s nfest un copp otce p n Τ Τ ( e) p ( e) n 0 Τ 0 Τ ( e) p ( e) n dl d dt L dt 0 0 p n E edo che: nessu copp otce pe ntenee l oento L n f cos succede se ll stnte tt 0 s eln l ncolo? ω dln (e) Τ n dt ( e) dl Τ 0; 0 dt L ( t ) L ( t ) 0 costnte t > t0 f d ω' L' 0 0 ( t > t ) L( t ) d ω cosθ ω ' ω cos θ Il nuoo sse s ch: sse lbeo d otone 43

144 dnc de sste: Eneg Cnetc dto un sste d n punt tel cscuno d ss e eloctà : k n K M c ss totle eloctà del C.d.M K e eo????? M c o O O' ( 0,0,0) (,, ) c c c o c c d dt c sppo che: eloctà del cento d ss cho:,,... u, u... u, n n : eloctà delle : eloctà delle nel sste O nel sste O' 44

145 OO ' + ' u c ' OO + ' c + u o Se sosttuo nell espessone dell eneg cnetc: K c o n u + c M d dt c c OO' dt Eneg cnetc nten (oto ttono l cento d ss) S enunc così l: Eneg cnetc del oto del cento d ss TEOREMA DI KOENIG In un sste d feento nele qulunque, l eneg cnetc d un sste S può essee espess coe so dell eneg cnetc che l ste ebbe se tutt l su ss fosse concentt nel suo cento d ss, pù l eneg cnetc che l ste h spetto d un sste d feento con ogne nel cento d ss ed oentento fsso 45

146 Moento d ne Dto un sste gdo e dsceto con oto d pu otone ttono d un sse fsso, pe l su eneg cnetc s può scee: K ( + + ) K n n K ( ) n n ω n ω K I oento d ne Denson? Untà d su? [ ] [ ][ ] I M L Kg E se l sste è contnuo? 46

147 Copo gdo Sste d ptcelle pe le qul d,j cost. sste ndefoble l suo oto non è nfluento dlle foe ntene l suo oto è goento dlle equon cdnl oto del cento d ss F ( e ) dp dt Τ ( e ) dl dt ot otonl qule condone d equlbo? Condone necess e suffcente pechè un posone s d equlbo stble è che n tle posone sno null: F ( e ) Τ ( e ) Pe l oto, conco dlle cose seplc Consdeo un copo gdo n oto d pu otone ttono d un sse fsso pssnte pe l C.d.M. sepe pllelo se stesso con ω cost. Suppono l sste setco spetto d un pno qulunque pe l sse d otone 47

148 d l dlnˆ CdM Nell potes d copo gdo setco: ω β β P h h P d d α ĉ d l dlnˆ α 90 β dl d dhωnˆ dl d dhωnˆ le coponent pllele ll sse c: ( ) ( dl ) dω h cos β dωhsenα dωh dl le coponent otogonl ll sse c hnno so null pe cu: d l + dl [( dl ) + ( dl ) ] ĉ ( dh dh ) ĉ + ω L dl ( L dh ) ωĉ ω costnte ωd ω ( ) d h ωĉ I ω tot I c ω c snα Copletndo l so nell ppossone d un sste dsceto: Copletndo l so pe un sste contnuo: I c h d s ch: oento d ne 48

149 I l Δ 0 n Δ d 49

150 50

151 C I M Teoe d Hugens Stene o del tspoto Dto un sste d ss M, l suo oento d ne spetto d un qulunque sse fsso, n un ste d feento nele e quello spetto d un sse d esso pllelo pssnte pe l cento d ss, stnno nell seguente elone: ss del sste h dstn degl ss I I + c I oento d ne spetto ll' sse c c Mh oento d' ne spetto l C. d. M. p (, c c ) o ( +, b) c c + h b c h + b posone d : spetto C ( c, c ): I P spetto P:, p Consdeo due ss pllel pe C ( c, c ) e P ( c +, c +b): : +, c ( ) + ( b) [( ) ( ) ] + b I P ( + ) b + ( b ) + Sono null. Pechè? ( + ) + Mh I Mh I P c + 5

152 Alto odo nteessnte: θ h c c θ K M c + E c,el. c ω h Mc I c ω Mω h K M + ω h Icω K ( Mh + I ) ω c Nuoo oento d ne 5

153 Aeo sto che: L tot ( dh ) ĉ ω I ωĉ c Aeo gà sto che se l eloctà ngole è costnte: L c costnte C è fsso dl c dt 0 dp dt 0 Τ ( e ) 0 F ( e ) 0. Il copo può uote sen che s necess l l one d foe o d oent esten. Un sse che h quest popetà s ch: sse lbeo d otone o sse centle d d ne. se un sse è d set pe un copo è nche un sse centle d ne 53