MATEMATICA. Il termine MATEMATICA

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1 METODI MATEMATICI PER LE ASSICURAZIONI INDIVIDUALI SULLA DURATA DI VITA

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3 MATEMATICA ATTUARIALE Il termine MATEMATICA ATTUARIALE o matematica delle assicurazioni designa un insieme di modelli matematici relativi a quella particolare attività economica consistente nella gestione di RISCHI trasferiti ad un assicuratore da operatori economici. Diversi aspetti di questa attività possono essere analizzati in termini quantitativi: in particolare è interessante studiare la domanda di assicurazione da parte degli operatori e l'analisi della gestione di un'impresa assicuratrice. L'obiettivo della matematica attuariale è dunque sintetizzabile nella valutazione del costo delle coperture assicurative, elemento fondamentale nella fissazione del prezzo, o premio, delle coperture stesse, nella gestione di questo premio nel tempo e nella definizione di metodi per il calcolo di vari tipi di riserve tecniche. Le varie metodologie proprie della matematica attuariale sono conseguenza delle caratteristiche dell'attività assicurativa, ove coesistono aspetti finanziari collegati a possibili differimenti nel tempo delle prestazioni assicurative ed aspetti probabilistici, scaturenti dall'ovvia aleatorietà della gestione dei rischi. Le metodologie probabilistiche impiegabili nella matematica attuariale sono molto diversificate, andando da semplici modelli discreti a più complessi modelli continui, nonché alla considerazione dei processi stocastici. E' necessario sottolineare che un'ulteriore causa di diversificazione nell'ambito della modellistica attuariale è imputabile alla grande varietà di tipologie assicurative. art cc Nozione L'assicurazione è il contratto col quale l'assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rivalere l'assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana E' dunque possibile, partendo dalla nozione di contratto assicurativo data dal Codice Civile, giungere ad una classificazione delle assicurazioni libere, cioè essenzialmente quelle stipulate per libera scelta da individui, aziende o collettività: Assicurazioni contro danni Assicurazioni sulla vita Assicurazioni sulla salute Assicurazioni sociali * ASSICURAZIONI CONTRO I DANNI Il settore delle assicurazioni contro i danni presenta un'ampia varietà di coperture assicurative, concernenti numerosi tipi di rischi ed interessanti sia le aziende sia i singoli individui o le famiglie. Assicurazioni incendi Assicurazioni furti Assicurazioni di Responsabilità Civile (R.C.) R.C. Auto R.C. Diversi R.C. dell'imprenditore R.C. Prodotti * Le assicurazioni sociali sono assicurazioni obbligatorie

4 R.C. Professionale R.C. Famiglia Assicurazione Auto Rischi Diversi (con esclusione della R.C. Auto) garanzia furto e incendio garanzia per guasti accidentali o kasko garanzia ritiro della patente Assicurazioni credito Cauzioni Assicurazioni grandine Assicurazioni trasporti Assicurazioni aviazione assicurazione di corpi (aeromobili) assicurazione di merci (oggetti di trasporto) R.C. per danni a persone o cose R.C. del datore di lavoro nei confronti degli equipaggi assicurazione contro infortuni dei viaggiatori assicurazioni spaziali Assicurazioni tecniche polizze all risks polizze monorischio polizze montaggio polizze contractor's all risks (C.A.R.) polizze guasti macchine polizza elettronica Assistenza (prestazione di servizio) Dunque, in questo tipo di contratti, la prestazione dell'assicuratore è un risarcimento a fronte di danni materiali subiti dall'assicurato (alla sua o ad altre persone) o dal suo patrimonio o di situazioni di responsabilità civile. L'aleatorietà dell'esborso, che si tramuterà in un costo per l'assicuratore e nel premio per l'assicurato, sarà funzione di due processi stocastici: uno riguardante il numero aleatorio dei sinistri e l'altro concernente l'entità aleatoria del danno causato da ciascun sinistro. La durata di una copertura assicurativa contro i danni è piuttosto breve: dura (di solito) 1 anno. Questo implica una limitata esposizione sui mercati, dunque un basso rischio finanziario per la compagnia assicuratrice ma al contempo un elevato rischio tecnico, dovuto all'alea riguardante il sinistro da coprire.

5 ASSICURAZIONI SULLA VITA Nonostante l'insieme delle assicurazioni sulla vita non sia paragonabile per varietà di coperture a quella che caratterizza le assicurazioni contro i danni, la diversificazione presente in tale insieme suggerisce di operare un'opportuna classificazione. Assicurazione sulla durata di vita Assicurazione di nuzialità e natalità Assicurazioni legate a fondi di investimento Operazioni di capitalizzazione Rendite di invalidità Assicurazioni complementari Dunque, in questo tipo di contratti la prestazione dell'assicuratore è un pagamento di somme al verificarsi di prestabiliti eventi inerenti alla vita di una o più persone. L'aleatorietà dell'esborso riguarderà l'eventualità che la prestazione sia erogata (il se dovrà esser pagata la prestazione) e la tempistica di pagamento (il quando la prestazione dovrà essere erogata). Per quel che concerne il quantum, le somme, in un'assicurazione sulla vita se non son già stabilite, sono comunque determinabili (il quanto è certo). Contrariamente alla copertura assicurativa contro i danni, la durata di un'assicurazione sulla vita è medio-lunga: (di solito) minimo anni. Questo comporterà un'elevato rischio finanziario per la compagnia assicuratrice, la quale dovrà gestire patrimoni in un'ottica prudenziale medio-lunga ed un rischio tecnico sostanzialmente limitato. ASSICURAZIONI SOCIALI Tutte le forme assicurative di questo settore sono caratterizzate dal fatto che esse riguardano una collettività, opportunamente definita: può trattarsi dell'insieme dei dipendenti di un'azienda, degli aderenti ad un'associazione professionale, dei cittadini di uno Stato. Queste polizze sono infatti fornite o dai sistemi pubblici, dunque dallo Stato stesso o da enti previdenziali o sanitari, oppure sono gestite direttamente dalle aziende private, da assicuratori, banche ed altri intermediari finanziari, nella forma di fondi pensione, con il principale scopo di provvedere alla costituzione di rendite vitalizie pagabili dall'ingresso in quiescenza. Queste coperture assicurative obbligatorie comprendono: pensioni pagabili dall'ingresso in quiescenza (di anzianità) pensioni ai superstiti pensioni di invalidità ASSICURAZIONI SULLA SALUTE La quasi totalità di queste coperture, fornite da assicurazioni private, non ha, a differenza delle assicurazioni contro i danni, carattere risarcitorio, in quanto la prestazione dell'assicuratore è quasi sempre commisurata ad un importo forfettariamente stabilito in polizza e non al reale danno subito dall'assicurato (fanno comunque eccezione le polizze che garantiscono un rimborso di spese mediche). La causa dell'alterazione dello stato di salute dell'assicurato, il cui insorgere determina la prestazione dell'assicuratore, è data da infortunio o malattia. Con riguardo alla durata contrattuale, si hanno polizze monoannuali e polizze pluriennali.

6 ELEMENTI DI TEORIA DELL UTILITÀ Studia lo scambio di importi monetari aleatori, dunque di operazioni che comportano un RISCHIO FINANZIARIO. es. Generica operazione finanziaria rischiosa Un individuo I scambia una posizione finanziaria incerta x 1 con un altra posizione finanziaria incerta x 2, sia x 1 che x 2 sono variabili aleatorie, alle quali l individuo I, nell istante contrattuale, assegnerà una distribuzione di probabilità X. Queste due variabili rappresentano il patrimonio soggetto a rischio di I, prima e dopo lo scambio. Il guadagno di I è individuato dalla variabile aleatoria: G = x 2 x 1 Dati: I x 1 x 2 con Problema: G = x 2 x 1 In termini formali: Definendo l insieme delle opportunità, cioè l insieme di tutte le X possibili posizioni finanziarie nell istante decisionale, il problema delle decisioni finanziarie in condizioni di incertezza consiste nell introdurre nell insieme X un ordinamento di preferenza ( ), tale che: attraverso l introduzione di un numero reale:, tale che: E dunque necessario, per rappresentare un ordinamento di preferenza all interno dell insieme opportunità X, definire una funzione di valutazione: (*)

7 IMPOSTAZIONE ASSIOMATICA Lo scopo della teoria delle decisioni è quello di descrivere il comportamento di un individuo razionale in condizione di incertezza. Si tratterà non già di determinare un ordinamento di preferenza valido per tutti gli agenti economici, quanto di individuare una classe di criteri decisionali che raccolga al suo interno i singoli criteri individuali e che sia caratterizzata da pochi principi generali economicamente significativi. Questi criteri dovranno essere quindi coerenti con quelli individuali da cui sono indotti e dovranno descrivere degli ordinamenti di preferenza riflessivi, transitivi e completi. Transitività Considerando la proprietà riflessiva come auto evidente ( X è indifferente a X: ), la proprietà transitiva richiede che: se e allora. Questo naturale criterio di coerenza implica che se l individuo I gradisce la posizione x 1 almeno quanto la posizione x 2 e se considera la posizione x 2 gradita almeno quanto la posizione x 3, allora non potrà considerare x 3 strettamente preferita a x 1. Completezza Un ordinamento si dice completo se risulta definita ogni relazione di preferenza o di indifferenza tra le possibili posizioni che compongono l insieme X. In sostanza, le decisioni dell individuo saranno univocamente determinate se I dispone di un criterio di scelta in base al quale, per ogni possibile operazione di scambio, è sempre possibile dire che x 2 (la posizione finale) è preferita a x 1 (la posizione iniziale), oppure che x 1 è preferita a x 2, oppure che x 1 e x 2 sono indifferenti. Definizione Data una generica variabile aleatoria X k e la sua funzione di ripartizione: con (che racchiude tutte le distribuzioni di probabilità per ) affinché l individuo possa scegliere in modo razionale, dovrà costruire una relazione di preferenza nell insieme di tutte le funzioni di ripartizione delle variabili aleatorie, tale che: All interno dell insieme F si possono inoltre introdurre ordinamenti parziali basati su ipotesi generali, come ad esempio il criterio della dominanza stocastica. Dominanza stocastica Si supponga ad esempio che la distribuzione di x 2 domini quella di x 1, nel senso che: e che la disuguaglianza valga in senso stretto per almeno un valore di x. Questa proprietà è detta di dominanza stocastica del primo ordine. Definizione Date due distribuzioni di probabilità F 1 e F 2 sugli esiti x, dove: si dice che F 2 (x) domina stocasticamente F 1 (x) al primo ordine, se accade che: cioè deve accadere che per tutto l insieme delle opportunità, la probabilità di ottenere un premio maggiore o uguale di un determinato minimo x sia maggiore nella prima

8 lotteria rispetto alla seconda, cioè:. Dunque, comunque fissato il numero reale x, la probabilità che la situazione patrimoniale x 1 risulti maggiore di x non è mai maggiore (ed in almeno un caso è minore) della probabilità che x 2 risulti maggiore di x. es. Dominanza stocastica del primo ordine Si considerino due variabili aleatorie X 1 ex 2 e il relativo andamento delle funzioni di densità f 1 (x) e f 2 (x). Come evidenziato dall andamento delle rispettive funzioni di ripartizione F 1 e F 2, X 1 domina stocasticamente X 2, nel senso che G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi Manuale di Finanza, vol. II, pgg Sotto opportune ipotesi di continuità si dimostra che se x 2 domina x 1, cioè vale, allora ogni individuo massimizzatore di profitto, cioè che preferisce importi monetari certi maggiori ad importi monetari certi minori, preferirà x 2 ad x 1. In ogni caso, l ordinamento introdotto dal criterio della dominanza stocastica è di tipo incompleto, poiché potranno di certo esistere coppie di funzioni di ripartizione appartenenti ad F per le quali non risulti verificata la disequazione. La dominanza stocastica va quindi considerata come un requisito necessario ma non sufficiente per la costruzione di un criterio generale di scelta. Infatti per descrivere adeguatamente il comportamento in condizioni di incertezza è necessario prendere in considerazione la tendenza degli individui ad evitare situazioni considerate pericolose, introducendo quindi ipotesi sull avversione al rischio. Per questo motivo è più utile sviluppare la teoria delle decisioni basandosi sul criterio dell utilità attesa. Posizioni finanziarie composte (misture) E comunque possibile considerare postulati di razionalità diversi da quello della dominanza stocastica, partendo per esempio dal concetto di posizione finanziaria composta o mistura. Si tratta di una posizione finanziaria incerta in cui un individuo I deve scegliere tra due posizioni finanziarie X 1 e X 2, anch esse incerte, in base all esito che avrà un certo evento A, al cui verificarsi I attribuisce una probabilità P(A) =, di valore strettamente compreso tra 0 e 1. Se l evento A si verifica l individuo assumerà la posizione X 1, viceversa dovrà assumere la posizione X 2. In linguaggio delle probabilità, la posizione composta rappresenta una variabile aleatoria mistura, indicata come X 1 X 2, la quale presenterà come possibili determinazioni sia quelle di X 1 che quelle di X 2 e assumerà le prime con probabilità e le seconde con probabilità (1 ). E immediato notare come la funzione di ripartizione della mistura X 1 X 2 è data dalla combinazione lineare, con coefficienti e (1 ), delle funzioni di ripartizione F 1 (x) e F 2 (x) di X 1 e X 2 ; si ha cioè:. Sulle misture sono definite molte proprietà delle relazioni di preferenza in X ( o in F ).

9 Proprietà archimedea Se Proprietà di sostituzione Se allora, comunque scelta e per qualunque, deve risultare: Queste due proprietà piuttosto forti implicano altre proprietà più deboli ma comunque espressive e certo molto significative perché una relazione di preferenza sia transitiva e completa. Proprietà di continuità Se Proprietà di monotonia Se e se Proprietà di consistenza e, deve risultare: UTILITÀ ATTESA Adottando come assiomi alcune di queste proprietà delle relazioni di preferenza si può strutturare in maniera rigorosa la teoria dell utilità attesa. Ad esempio utilizzando il concetto di dominanza stocastica unito alle proprietà delle relazioni di preferenza, si giunge ad esporre un famoso teorema di rappresentazione, dimostrato da John von Neumann e Oskar Morgenstern. L enunciazione di quest ultimo avviene qui in forma semplificata, valida in effetti solo se gli elementi di X sono variabili aleatorie con un numero finito di determinazioni. Teorema di von Neumann e Morgenstern Se l ordinamento di preferenza ( dominanza stocastica, allora: ) definito su X è completo, consistente e coerente con la relazione di 1. Esiste una funzione u(x) tale che X 2 X 1, se e solo se: 2. La funzione u(x) è unica a meno di una trasformazione lineare crescente La prima conclusione di questo teorema di rappresentazione equivale ad affermare che esiste una funzione u(x), tale che: Dunque un ordinamento di preferenze così descritto può essere rappresentato attraverso un operatore ordinamento espresso come speranza matematica di una funzione u(x) degli importi aleatori. Supponendo

10 gli agenti massimizzatori di profitto, la funzione non potrà che essere strettamente crescente. Essa è nota come funzione di utilità di von Neumann e Morgenstern e l operatore di ordinamento E[u(X)] è l utilità attesa di X. Il secondo enunciato afferma che qualsiasi funzione z(x) che sia ottenuta effettuando una trasformazione lineare positiva di u(x), tale che sia con a costante positiva e b costante arbitraria, induce in X lo stesso ordinamento di preferenza di u(x), è cioè equivalente ai fini della rappresentazione delle preferenze dell individuo I. Ancora: funzioni z(x) che non rappresentano trasformazioni lineari di u(x) corrispondono necessariamente ad un diverso ordinamento di preferenza. Questo teorema, dimostrato su base assiomatica da von Neumann e Morgenstern nel 1947, è importante poiché qualifica l operatore E[u(X)] come l unica funzione di valutazione accettabile per descrivere le preferenze di un individuo dotato di caratteristiche di razionalità e coerenza. Inoltre lo studio dell andamento e del segno di questa funzione caratterizza l atteggiamento verso il rischio dell individuo: se si specifica una u(x) funzione lineare e crescente di x si definisce il criterio della speranza matematica, che caratterizza le scelte di un individuo indifferente al rischio. Se si sceglie una generale funzione crescente, si ottiene il principio dell utilità attesa, che unito alla concavità per u(x), fornisce il criterio di scelta caratteristico di qualsiasi individuo avverso al rischio. Criterio della speranza matematica Per trattare il problema del comportamento di un individuo di fronte ad una scommessa con guadagno aleatorio G, è necessario introdurre come metro di valutazione la speranza matematica del guadagno E(G). Ciò deriva dall aver assegnato alla funzione u(x) la forma di una qualsiasi funzione lineare crescente, accettando quindi, implicitamente, di considerare solamente il comportamento di un individuo I, massimizzatore di profitto. Se risulta, ad esempio,, con la scelta: la relazione dedotta da von Neumann e Morgenstern,, diventa: cioè: quindi, ricordando che G = x 2 x 1, la relazione, equivale a. Se vale, al contrario,, dovrà essere, mentre l annullarsi del guadagno atteso si avrà solo nel caso di. L operazione di scambio, deve esser valutata in base al segno di E(G): favorevole, equa, sfavorevole, se se se Il criterio seguito in questo contesto sarà dunque la massimizzazione del guadagno sperato. L utilizzo di questo criterio ha origini ben più lontane del lavoro di von Neumann e Morgenstern. Fino agli inizi del XVIII secolo, le nozioni di speranza matematica e di probabilità non erano ancora state distinte e si assumeva naturale che il valore di una scommessa e quindi il prezzo equo di un biglietto che dia diritto a parteciparvi, dovesse coincidere con il valore atteso della vincita. Tuttavia, nel 1738, Daniel Bernoulli descrisse il famoso paradosso di San Pietroburgo.

11 Caso storico: il paradosso di San Pietroburgo Si consideri un individuo I che partecipa a un gioco T o C con il lancio di una moneta perfetta e indeformabile. Se il risultato del lancio è TESTA, I vince 2 euro e il gioco termina; altrimenti la moneta viene lanciata una seconda volta e, se il risultato è TESTA, I vince 4 euro ed il gioco ha termine. Se il risultato è CROCE viene effettuato un terzo lancio, che frutterà ad I un guadagno di 8 euro nel caso si ottenga TESTA, in caso contrario, si continuerà a lanciare la moneta, ogni volta con guadagno raddoppiato. Il gioco consiste nella ripetizione del lancio della moneta finché non si ottiene TESTA per la prima volta. Se questo accade all n-esimo lancio, allora I incasserà 2 n euro. Dunque il problema è calcolare il valore atteso della vincita G di I. Dati: C n Problema: La variabile aleatoria X ha supporto numerabile, coincidente con l insieme delle potenze di 2, cioè. Se si indica con A n l evento La prima TESTA è estratta all n-esimo lancio, la speranza matematica di X è data da: dato che gli eventi A n sono tutti a due a due incompatibili. Se si indica con C n l evento Il risultato del lancio n-esimo è CROCE, l evento A n, per ogni, è rappresentato da: avendo indicato con la negazione di C n e dunque l evento Il risultato dell n-esimo lancio è TESTA. Ipotizzare l indeformabilità della moneta vuol dire accettare l ipotesi che i lanci siano stocasticamente

12 indipendenti e se si aggiunge a questa l ipotesi che a ciascun evento C n corrisponda una probabilità di ½, allora la probabilità di A n è data da: Il valore atteso del gioco risulta quindi: dato che tutti i termini della serie sono uguali a 1. Questo equivale a dire che il costo del biglietto è infinito o meglio, è maggiore di qualunque cifra l individuo I proponga di pagare, per elevata che essa sia. Proprio per superare il problema del valore monetario atteso della vincita pari a, la soluzione classica del paradosso richiede l'introduzione esplicita del concetto di utilità attesa e di diminuzione dell'utilità marginale del denaro. Quest'ultima idea fu un'intuizione di Bernoulli, sebbene già dieci anni prima che il matematico svizzero pubblicasse la sua opera, un altro suo illustre concittadino nonché matematico di fama, Gabriel Cramer, avesse introdotto parzialmente la stessa idea, scrivendo al fratello maggiore Nicholas Bernoulli: "I matematici stimano il denaro in proporzione alla sua quantità, mentre un uomo di buon senso lo stima in proporzione all'uso che può farne". Dunque la vincita non deve esser presa in considerazione solo per il suo importo monetario, quanto piuttosto secondo una funzione di questo importo che sia adatta a esprimere il valore morale che l'individuo I attribuisce alla vincita. Bernoulli introdusse così una funzione di utilità logaritmica, abbandonando quella che veniva considerata una pietra miliare delle funzioni di utilità: funzioni lineari positive crescenti e superando d'altro canto, anche grazie alle proprietà delle funzioni logaritmiche, l'impasse del valore atteso infinito. Scegliendo infatti di misurare gli importi secondo una scala logaritmica si ottiene il nuovo valore del gioco, che Bernoulli chiamò speranza morale di G: Utilizzando le proprietà delle serie geometriche, si ricava che il valore morale del gioco risulta finito: Questo risultato introduce un superamento del criterio della speranza matematica e può essere considerato l origine storica della teoria dell utilità attesa. Il valore morale della vincita introdotto da Bernoulli produce una distorsione non-lineare della scala degli importi corrispondente all uso di una funzione di utilità logaritmica. G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi Manuale di Finanza, vol. II, pg.58 Criterio dell utilità attesa Il paradosso di San Pietroburgo dimostra dunque come l approccio del guadagno sperato non tenga conto di ulteriori importanti circostanze che dipendono dall individuo e che concorrono a determinarne l effettivo comportamento di fronte al rischio. Dal punto di vista bernoulliano invece il criterio dell utilità attesa utilizza un cambiamento della scala con cui si misurano gli importi, sostituendo la scala oggettiva del valore monetario con una scala soggettiva basata sull utilità. Viene cioè introdotta una funzione u(x) del capitale x, che rappresenta l importanza che ha per l individuo I il possesso del capitale x. Questa funzione, detta

13 funzione di utilità, per semplicità, sarà definita su un intervallo, eventualmente coincidente con R + stesso e avrà media finita, ovvero l opportunità X 2 sarà preferita ad X 1 se e solo se. Per il teorema di rappresentazione,. Il criterio decisionale di I consisterà quindi nella massimizzazione dell utilità attesa. In base a questo criterio, l individuo I, dotato di funzione di utilità u(x) come descritta, che si trovi nella situazione finanziaria X 1, reputerà l operazione finanziaria di scambio : vantaggiosa, indifferente, svantaggiosa, se se se Ad esempio, un individuo che possiede un capitale certo c reputerà l operazione di guadagno aleatorio G : vantaggiosa, se indifferente, se svantaggiosa, se Oss. E utile osservare che se la funzione di utilità è lineare e crescente, cioè se: allora ci si ricondurrà al criterio della speranza matematica e si avrà sempre: Perciò si può affermare che un individuo che presenti funzione di utilità lineare e crescente ritiene indifferente un operazione equa. Scala dell utilità Le caratteristiche della scala dell utilità significative per la descrizione delle decisioni economiche in condizioni di incertezza possono essere riassunte e precisate nella forma di proprietà della funzione reale di variabile reale u(x). G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi Manuale di Finanza, vol. II, pg.71 Insieme di definizione Crescenza Come già notato il dominio D della funzione di utilità u(x) sarà un opportuno intervallo o eventualmente coinciderà con l insieme dei numeri reali nonnegativi. Tuttavia in casi particolari potrà avere senso utilizzare funzioni di utilità definite anche per numeri negativi ad esempio per considerare situazioni patrimoniali che includano anche posizioni debitorie. Converrà inoltre supporre che la funzione sia continua su tutto il suo insieme di definizione. Avendo ipotizzato agenti economici massimizzatori di profitto, la u(x) sarà una funzione strettamente crescente di x, per cui varrà la relazione:

14 Concavità Secondo Bernoulli: Non c'è dubbio che un guadagno di mille ducati ha più valore per un povero che per un ricco, nonostante entrambi guadagnino la stessa quantità. Si può affermare infatti che l ipotesi fondamentale sulla funzione di utilità è che ad incrementi uguali di capitale corrispondono incrementi di utilità tanto più piccoli quanto più grande è il capitale posseduto dall individuo. Questa affermazione, avendo supposto la funzione continua su tutto il suo insieme di definizione, implica che u(x) sia concava su tutto il dominio D. Infatti se si scelgono due incrementi x 0 consecutivi a partire da (x x 0 ), si può notare come: cioè: Quest ultima relazione è valida e. Questa disuguaglianza si presta poi ad un ulteriore interpretazione: se un individuo con capitale x scommette x 0 euro a T o C, il valore sperato dell utilità, media dell utilità in caso di vincita e dell utilità in caso di perdita, è minore dell utilità che esso avrebbe astenendosi dal gioco, I reputa dunque svantaggioso scommettere ed è quindi avverso al rischio.

15 Proprietà differenziali della funzione di utilità Assunto che u(x) sia continua, derivabile almeno due volte e, in alcuni casi, sviluppabile in serie di Taylor, la derivata prima u (x), detta utilità marginale del capitale x, sarà strettamente positiva su tutto D (per la crescenza) e la derivata seconda u (x) sarà strettamente negativa su tutto D (per la concavità, data l avversione al rischio). Dunque si dirà che, se u (x) > 0 e u (x) < 0, l utilità marginale diminuisce all aumentare del capitale. Sarà proprio l andamento della derivata seconda di u(x) la discriminante della propensione/avversione al rischio dell individuo I: avversione al rischio, se indifferenza al rischio, se propensione al rischio, se Misure di avversione al rischio Se il segno di u (x) individua il comportamento dell individuo I rispetto al rischio, esistono operatori in grado di misurare il livello di propensione al rischio. Ad esempio, un utile misura di avversione al rischio, detta appunto misura assoluta di avversione al rischio in forma locale, introdotta in teoria dell utilità da J. Pratt e K. Arrow, è data dalla cosiddetta funzione concavità relativa di u(x): Le dimensioni di questo coefficiente saranno pari al reciproco di un importo, dunque euro -1. Questa funzione misura localmente la concavità di u(x) e, pur misurandola solo in un intorno di x, la misura più correttamente rispetto a u (x). Né u (x) né la curvatura di u(x) possono infatti misurare il grado di avversione al rischio di un individuo poiché non sono invarianti per trasformazioni lineari della funzione utilità. Il che significa che qualificherebbero come caratterizzati da diverso grado di avversione al rischio individui dotati di funzioni utilità u(x) e z(x) equipollenti nel senso di von Neumann Morgenstern. Infatti se si calcola la misura di avversione al rischio di Arrow-Pratt per trasformazioni lineari crescenti di u(x), si ottiene, correttamente: A sua volta, il reciproco di r(x): fornisce una misura di tolleranza del rischio in forma locale dell individuo I. Questa relazione, che ha dimensioni euro, rappresenterà un importo tanto più grande quanto meno l individuo è avverso al rischio. In conclusione, è importante supporre che r(x) sia una funzione non crescente di x. Ciò è suggerito da un comportamento degli agenti economici, spesso osservato nella pratica, per cui si paga tanto meno per assicurarsi contro un dato rischio quanto maggiore è il capitale posseduto. Infatti una compagnia di

16 assicurazione può trovare vantaggioso assumere posizioni rischiose, pur essendo avversa al rischio, fatta forte dell entità del capitale gestito. Molti contratti assicurativi possono essere giustificati anche in base al principio della compensazione dei rischi, secondo il quale, per la legge dei grandi numeri, l incertezza di un portafoglio di polizze relative a variabili aleatorie stocasticamente indipendenti diminuisce con l aumentare della numerosità del portafoglio G. Castellani, M. De Felice, F. Moriconi Manuale di Finanza, vol. II, pg.80 Alcuni tipi di funzioni di utilità Utilità logaritmica u Questo modello di funzione fu proposto inizialmente da Daniel Bernoulli, il quale assunse l incremento di utilità come direttamente proporzionale all incremento di capitale e inversamente proporzionale al capitale posseduto, cioè: 0 1 x da cui: dove sono costanti arbitrarie. In questo caso l avversione al rischio è data da: quindi la tolleranza al rischio è pari a:. Soddisfa perciò l ipotesi di decrescenza. Utilità esponenziale u a In alcune applicazioni è utile riferirsi a funzioni di utilità superiormente limitate. Tra queste, l utilità esponenziale, nella sua forma più semplice, è senz altro un caso interessante: 0 x Essa presenta come estremo superiore il parametro a, la cosiddetta potenzialità massima. La proprietà caratteristica di questa funzione consiste nell avere avversione al rischio costante. Infatti si ricava immediatamente che la misura assoluta di avversione al rischio in forma locale di Arrow Pratt è pari a:. Dunque se si escludono i casi di funzioni lineari, per cui, le funzioni utilità esponenziale sono le uniche dotate

17 di questa proprietà. Un altra proprietà interessante recita che, sotto ipotesi di utilità esponenziale, un operazione somma di più operazioni indipendenti e indifferenti è indifferente. Utilità quadratica u In molte applicazioni viene ipotizzata una funzione di utilità di tipo quadratico, nella forma: 1 2a La concavità è assicurata dalla nonnegatività del parametro a. Per garantire la monotonia è necessario limitarsi al ramo ascendente della parabola, riducendo quindi il dominio D della funzione all intervallo di valori x compresi tra 0 e 1/a. L utilità marginale è e la misura di avversione al rischio è pari a: 0 1/a x L avversione al rischio ha quindi un andamento iperbolico e, nel dominio di definizione funzione crescente di x., è una Funzioni di utilità di tipo HARA La denominazione di tale classe di funzioni di utilità deriva dall'inglese Hyperbolic Absolute Risk Aversion, a causa della forma funzionale del coefficiente assoluto di avversione al rischio r(x), ad esse associato: con a 1 e a 2 costanti tali da garantire valori sempre positivi di r(x). La forma funzionale delle funzioni della classe HARA è utilizzata soprattutto perché include classi di funzioni di utilità ampiamente utilizzate, come l'utilità quadratica (per a 1 = 1 / a e a 2 = -1), l'utilità esponenziale (per a 1 = a e a 2 = 0) e l'utilità logaritmica (per a 1 = 0 e a = 1). Per le loro proprietà di trattabilità e adattabilità a rappresentare diversi tipi di preferenze, le funzioni della classe HARA sono largamente utilizzate in macroeconomia e in finanza. Equivalente certo La strategia decisionale di un individuo risulta dunque determinata una volta introdotta una funzione di valutazione definita nell insieme X delle opportunità. Detto questo, assunte per la funzione utilità u(x) tutte le proprietà fondamentali e ipotizzando, in aggiunta, che la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria sia discreta e finita, si può introdurre il concetto di equivalente certo di una posizione finanziaria aleatoria come una specificazione molto espressiva della funzione. Come

18 detto la variabile aleatoria X assumerà i valori: con probabilità (valendo naturalmente ). Il valore atteso di X, sarà quindi: e l utilità attesa sarà: Considerando il piano (x, y), si rappresenti sull asse delle x gli importi e sull asse delle y le utilità. Si può immaginare le masse p k, che rappresentano la distribuzione di probabilità di X, disposte sulla curva nei punti P 1, P 2, P3,, P n. Il baricentro B della distribuzione di masse ha coordinate e, uguali cioè al guadagno sperato e all utilità sperata (i baricentri degli assi). Per la concavità su u(x), B cade all interno del poligono convesso di vertici P 1, P 2, P 3,, P n e perciò sarà:

19 Questa relazione è un interpretazione in termini probabilistici della proprietà caratteristica delle funzioni concave, nota come disuguaglianza di Jensen. In teoria dell utilità, questa disuguaglianza afferma che l utilità sperata di un importo aleatorio non è mai superiore all utilità dell importo sperato. Per l ipotesi di monotonia, il segno di uguaglianza varrà soltanto se la variabile aleatoria ha una sola determinazione, cioè solo se X è una variabile aleatoria degenere. Definizione Si definisce equivalente certo dell importo aleatorio X, l importo certo m u che produce un utilità uguale all utilità sperata dell importo aleatorio X; m u si può anche intendere come il prezzo che si è disposti a pagare per acquisire il diritto di partecipare ad una scommessa che ponga nella situazione incerta X. L equivalente certo è anche detto speranza utilitaria di X. In simboli: ovvero: dato che u(x), per l ipotesi di monotonia e continuità, è dotata di funzione inversa u -1. Dato che u(x) è funzione crescente di x, lo stesso varrà per la sua funzione inversa. Quindi calcolando u -1 per ambo i membri della disuguaglianza di Jensen, il verso della disuguaglianza si conserva. Si ha cioè: ovvero: Si ricava quindi che l equivalente certo di un importo aleatorio X non è mai superiore alla speranza matematica di X. Il segno di uguaglianza vale ancora solo nel caso di X degenere. L equivalente certo è inoltre invariante per trasformazioni lineari della funzione di utilità: per una fissata distribuzione di probabilità di X, se è allora risulta. Ricordando inoltre la definizione di avversione al rischio di Arrow Pratt, si può scrivere: Ovvero: l equivalente certo di X per un individuo è tanto minore quanto maggiore è la sua avversione al rischio. es. Equivalente certo del gioco di San Pietroburgo In base alla funzione utilità logaritmica usata da Bernoulli, si ottiene calcolando l esponenziale (funzione inversa del logaritmo) del valore morale del gioco, dunque si avrà:

20 CONTRATTI ASSICURATIVI E TEORIA DELL UTILITÀ La teoria dell utilità attesa trova naturale applicazione in campo assicurativo. Una polizza d assicurazione infatti è essenzialmente un operazione finanziaria in cui il policyholder riduce o, se possibile, annulla l aleatorietà del valore monetario di un certo bene esposto a rischio. Per semplicità, si procederà ad analizzare polizze assicurative ramo danni, rappresentandole come contratti uniperiodali e come fossero ad esecuzione immediata. Il caso sarà quello delle polizze a copertura totale. Polizze a copertura totale Si consideri un individuo I, avverso al rischio, il cui patrimonio è composto da un capitale certo c e da un bene esposto a rischio, con valore aleatorio X. Poiché I si trova in una posizione finanziaria esposta a loss, si supponga che stipuli una polizza assicurativa che gli garantisca il rimborso integrale del danno da parte di una compagnia di assicurazione, dietro pagamento di un premio assicurativo. I u(x) c X x m L individuo si assicura totalmente: La posizione X 2 è dunque una posizione certa. Dunque se si suppone finito x m, il livello massimo di X, cioè il valore del bene se questo fosse esente da rischio e pari a zero il suo livello minimo, si può affermare che I, il cui patrimonio è composto da c e da X, si trova in una posizione finanziaria ed è esposto a un danno di ammontare aleatorio, il cui valore possibile è compreso tra un minimo di zero e un massimo di x m. Si consideri il premio puro, cioè il costo dell operazione di assicurazione: è possibile ora affermare che, per l individuo I, assicurarsi totalmente contro il rischio di danno, cioè assumere la posizione finanziaria X 2, vuol dire assumere una posizione certa pari a.