Robotica industriale. Controllo di posizione e velocità. Prof. Paolo Rocco (paolo.rocco@polimi.it)

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1 Robotica indutriale Controllo di oiione e velocità Prof Paolo Rocco (aolorocco@oliiit)

2 Il roblea di controllo riduttore otore carico Si è vito che nei uoi tratti eeniali un ervoeccanio di oiione è cotituito da un otore, un riduttore ed un carico Il roblea di controllo i one nei terini di governare il oto del carico, odulando oortunaente la coia erogata dal otore Poono reentari diveri cenari er quanto riguarda la enoriaione del itea: i uò infatti diorre, er la oluione del roblea di controllo, di iure di oiione o velocità del otore e/o di iure della oiione del carico Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco []

3 L aroiaione rigida (/) Un rio odo di affrontare il roblea di controllo conite nell auere l iniee otore, riduttore e carico coe un itea coleivaente rigido In queto cao le equaioni del itea ono le eguenti: otore carico traiione q l q&& q&& l D nτ nq l l q& τ τ l τ l (n: raorto di traiione, τ l coia traea lato otore, τ l coia eterna lato carico) Poiao eliinare q l e τ l dalle equaioni, ottenendo: ( lr ) q&& Dq& τ τlr q τ l τ l q l con: lr l, n τ lr τ l n Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [3]

4 L aroiaione rigida (/) Il itea rigido i uò quindi decrivere in terini di funione di traferiento: con: τ τ lr G v () q q G v () D ( ) lr Se il coefficiente di attrito D è tracurabile (cao iù favorevole, erché l attrito dà un contributo tabiliante), i ha: µ Gv () µ lr Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [4]

5 Il controllo P/PI Chiudiao un controllore PI ulla velocità, ed un controllore roorionale ulla oiione: τ lr q o τ q q R G PI () v () / Lo chea revede di diorre di due iure, di oiione e velocità, indiendenti Tiicaente la iura di velocità è fornita da una dinao tachietrica Si tratta di uno chea di controllo in cacata: i rogetta daria l anello interno di velocità u banda aia, in odo da fornire anche una buona reieione dei diturbi L anello eterno, di oiione, i rogetta u una banda iù ritretta Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [5]

6 Progetto del regolatore PI di velocità q o R PI () τ τ lr G v () q Tiv RPI () v v T iv Tiv Funione d anello: Tiv µ Lv () RPI () Gv () v T Se T iv è ufficienteente grande, oia e lo ero del PI è ufficienteente in baa frequena, la ulaione critica è ben aroiata rendendo l aroiaione di alta frequena di L: T iv ( ) cv 3 iv db L v T iv cv (), Poiionaento dello ero del PI Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [6] w (ra d/ ) cv cv µ v

7 Progetto del regolatore P di oiione q o q o F v () q / q Il regolatore dell anello di oiione vede l anello chiuo di velocità, di funione di traferiento: F v () cv La funione d anello è quindi: L () Fv () ( ) cv db c cv -7 3 E ufficiente rendere << cv er w (rad/) garantire una banda ull anello di oiione c L integratore tra velocità e oiione aicura inoltre la reciione tatica a fronte di riferienti cotanti a regie Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [7]

8 Anticio di velocità q o R PI () τ τ lr G v () q / q Per rendere la riota al riferiento di oiione iù ronta, è oibile inerire un contributo di feedforward, noto coe anticio di velocità : i deriva il riferiento e i oa queto contributo nel nodo oatore dell anello di velocità Seo il contributo di feedforward viene eato da un coefficiente k ff coreo tra e : k ff q o R PI () τ τ lr G v () q / q Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [8]

9 Anticio di velocità e PID Se i ua un olo enore ulla oiione otore e la velocità i ottiene differeniando la iura di oiione, i ottiene uno chea di controllo del tutto equivalente ad un regolatore PID: q o R PI () τ τ lr G v () q / q q o R PID () τ τ lr G v () q / q Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [9]

10 Anticio di velocità e PID q o R PI () τ Riulta: o o τ () R ( ) q ( ) q ( ) q ( ) q ( ) R PID PI v q ( ( ) T iv () P TD TI o ( ) q () q () ( ) ()( o R q () q () ) T T P D I v v T iv v PID Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [] T iv

11 Fora tandard ISA La realiaione della legge di controllo PID nei regolatori coerciali revede dei gradi di libertà aggiuntivi Un ereione che racchiude le divere verioni coe cai articolari è la coiddetta fora tandard ISA: τ o o () bq () q () q () q () P T I T ( ) ( () ()) D o cq q T dove N è il araetro del filtro ull aione derivativa, entre b e c ono due coefficienti che conentono di eare, riettivaente nell aione roorionale e nell aione derivativa, il etoint in aniera divera dalla iura c b T D T D /N P D N τ q o P /T I q Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco []

12 Liitaioni del odello rigido Il odello rigido non ette in evidena neun ignificativo liite di banda In linea di rinciio i otrebbe quindi rendere il itea in anello chiuo arbitrariaente veloce All atto ratica tuttavia eergono chiaraente liitaioni, otto fora di vibraioni, ruore, aturaioni, ecc Evidenteente il odello rigido non è in grado di iegare bene coe i coorta un ervoeccanio Occorre colicare il odello Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco []

13 L aroiaione aa-olla olla Un econdo odo di affrontare il roblea di controllo conite nell auere l iniee otore, riduttore e carico coe un accoiaento elatico tra due cori rigidi In queto cao le equaioni del itea ono le eguenti: otore carico traiione τ l q&& l q&& l τ nτ el l τ τ ( q nq ) D ( q& nq& ) l l l el l q, τ D el el l q, τ l l Schea a blocchi: q l l τ l È un itea di ordine 4 (ci ono 4 variabili di tato) q l τ q D q n D el el τ l n Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [3]

14 Funione di traferiento q /τ Riolvendo lo chea a blocchi, con τ l, i ottiene: q τ ( ) Gv ( ) ( ) con: G v ( ) lr 3 lr D el ( Del lr D ) ( el DDel ) Del el l lr, lr n Se D : G v ( ) µ ζ el Del, ξ µ lr lr el ζ ξ ρ > ξ dove ρ lr Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [4]

15 Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [5] Funione di traferiento Funione di traferiento q l /τ Riolvendo lo chea a blocchi, con τ l, i ottiene: G n q vl l ) ( ) ( ) ( τ con: ( ) ( ) el el el lr el lr el el vl D D D D D D G 3 ) ( ) ( vl G ζ ζ µ Se D : ) ( l G ζ ζ Riulta quindi, con τ d : ) ( ) ( ) ( G q nq l l

16 Natural frequency e locked frequency Dalle fdt ria ricavate riulta quindi, con τ l : ζ nq l ( ) G Gl ( ) l ( ) q ( ) ζ τ G v () q / q G l () nq l Il itea libero ocilla alla ulaione dei oli di G v, oia : queta ulaione è detta natural frequency Se invece i blocca eccanicaente il otore, il itea ocilla alla ulaione dei oli di G l, oia : queta ulaione è detta locked frequency Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [6] D el el D el el l l

17 Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [7] Noraliaione delle frequene Noraliaione delle frequene Per aiiare la generalità della dicuione, conviene noraliare la frequena ed oerare u araetri adienionali Introduciao la variabile colea adienionale / Riulta: ) ( v G ζ ζ µ ( ) ρ ζ ζ µ ) ( G v ) ( l G ζ ζ ) ( G l ζ ζ

18 Dioiione di oli e eri Coe ono ei nel iano coleo noraliato oli e eri di G v? G v ( ) µ ζ ζ ( ρ) i ρ ζ ρ ζ I oli ono a iù alta frequena e iù orati re Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [8]

19 Riota in frequena Cha aetto aue la riota in frequena di G v? G v ( ) µ ζ ζ ( ρ) ρ ζ 4 3 G v rionana antirionana w/w Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [9]

20 Controllo P/PI ul otore Nella robotica indutriale i enori ono di nora dioti olo dal lato otore Concentrandoci ulla riota al riferiento (τ l ) i ha: q o R PI () τ G v () q / q G l () nq l Nel cao di velocità ottenuta er derivaione della oiione: q o R PI () τ G v () q / q G l () nq l Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco []

21 Controllo PI di velocità otore R PI () τ G v () q Tiv RPI () v v T iv Tiv Funione d anello: ζ Tiv µ Lv () RPI () Gv () v Tiv ζ Paiao ai araetri adienionali: L v ( ) cv τ τ iv iv ζ ζ ( ρ) τ cv iv vµ T iv Guadagno d anello noraliato Cotante di teo dello ero norali Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco []

22 Criterio di Bode cv v µ Èla ulaione critica di rogetto, valutata ul odello rigido ( v µ), noraliata alla ulaione τ iv ρ ζ τ iv T iv Ponendo τ iv, oiioniao lo ero del PI una decade ria della ulaione cv cv db deg db deg Il argine di fae è elevato Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco []

23 Criterio di Bode Dal criterio di Bode riulta ere argine di fae olto elevato Non eergono liiti ignificativi Guardiao erò la riota in frequena in anello chiuo lato otore e carico: cv ra d otore carico C è una rionana lato carico che il criterio di Bode non coglie Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [3]

24 Anello di velocità: luogo delle radici Tracciao il luogo delle radici al variare di cv : Iag Axi Real Axi Ci ono dei oli colei il cui oraento ria auenta e oi diinuice Lo oraento aio i ottiene er: cv ( 7 ) cv 7 Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [4]

25 Controllo P di oiione q o F v () q / q G l () nq l F v () Lv L () () v In terini noraliati: F ( ) ( ) v L γ F ( ) Anello chiuo di velocità La funione d anello er il controllo di oiione è: L v v Lv ( ) ( ) γ L () F v ( ) Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [5]

26 L Anello di oiione: luogo delle radici Fv ( ) ( ) γ Tracciao il luogo delle radici al variare di γ, er diveri valori di cv : cv 5 cv 5 cv Iag Axi - Iag Axi - Iag Axi Real Axi Real Axi Real Axi All auentare della banda dell anello di velocità i generano dei oli in anello chiuo oco orati Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [6]

27 Siulaioni Sitea:, ρ, ζ PI di velocità: τ iv P di oiione: γ cv 5 5 cv 6 4 otore carico 8 6 otore carico diturbo di coia t () t ( ) Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [7]

28 Controllo P ul carico e PI ul otore In alcune alicaioni, coe nelle acchine utenili e in alcuni robot, l anello di oiione è chiuo lato carico: nq o l R PI () τ G v () q / q G l () nq l Nel cao di velocità otore ottenuta er derivaione della oiione: nq o l R PI () τ G v () q / q G l () nq l Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [8]

29 Controllo P di oiione nq o l F v () q / q G l () nq l F v () Lv L () () v La funione d anello er il controllo di oiione è: L () In terini noraliati: Fv ( ) ( ) L γ Gl Anello chiuo di velocità: nulla cabia nel uo rogetto ( ) F ( ) L v v Lv ( ) ( ) γ F v ( ) G l () Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [9]

30 L ( ) γ F v ( ) G Luogo delle radici l ( ) Tracciao il luogo delle radici al variare di γ, er diveri valori di cv: cv 5 cv 5 cv 3 γ ax 7 3 γ ax 63 3 γ ax 5 Iag Axi Iag Axi Iag Axi Real Axi Real Axi Real Axi All auentare della banda dell anello di velocità i colica il rogetto dell anello di oiione Anche er iccoli valori di il itea uò diventare intabile Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [3]

31 Siulaioni Sitea:, ρ, ζ PI di velocità: τ iv P di oiione: γ cv 5 5 cv 4 otore carico 8 6 otore carico diturbo di coia t ( ) t ( ) Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [3]

32 Siulaioni Sitea:, ρ, ζ PI di velocità: τ iv P di oiione: γ 7 3 x 6 cv 5 otore carico Il itea è intabile t () Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [3]

33 Oltre il PID Anche e il nucleo di un controllore in anello chiuo er il controllo del oto è ere cotituito da un regolatore PID (o P/PI), vi ono altri chei di controllo che oono coletare o otituire lo chea bae Alcuni di queti chei trovano corrente alicaione nei controllori coerciali, altri l avranno fore in futuro Una lita ariale: Filtro notch Oervatore del diturbo di coia Controllo nello aio di tato Coenaione del rile di coia Inut haing Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [33]

34 Filtro notch Un filtro notch è un itea dinaico rogettato er cancellare una coia di oli colei e coniugati, tiicaente a bao oraento, reenti nel itea otto controllo E quindi caratteriato dalla funione di traferiento: G nf ( ) ζ ζ n n dove n è la ulaione dei oli colei da cancellare, ζ e ζ ono oraenti, il rio iccolo, il econdo grande n n db w/wn ζ ζ In un itea di controllo del oto, il filtro notch viene di nora inerito nell anello di velocità, in erie al regolatore PI: q o R PI () G nf () τ G v () q Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [34]

35 Filtro notch: : roblei Sebbene il filtro notch oa eere utile er igliorare la riota al riferiento, ci ono alcuni roblei connei al uo utilio: La frequena di rionana ulla quale intoniare gli eri del filtro deve eere conociuta con buona aroiaione I oli oco orati del roceo cancellati dal filtro riangono autovalori del itea in anello chiuo e rieergono coe oli di altre funioni di traferiento, tiicaente quella dal diturbo di carico all ucita I etodi di dicretiaione dei regolatori roducono una certa ditorione della riota in frequena che otrebbe non far coincidere la frequena effettiva degli eri del filtro digitale con la frequena di rogetto Vi ono etodi er ovviare a queto roblea (frequency re-waring) Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [35]

36 Oervatore del diturbo di coia L oervatore del diturbo di coia (TDO: Torque Diturbance Oberver) è uno chea olto utiliato in alcune alicaioni di controllo del oto Il etodo tia la coia di diturbo in ingreo al otore, coenandola con una retroaione oitiva ul coando τ * τ τ c T f q D D T f T f TDO q τ l La coia di diturbo è cotituita da una coia eogena τ c e dalla coia traea dal carico τ l T f è una iccola cotante di teo che evita la nacita di anelli algebrici Elaborando lo chea a blocchi i ottiene che il diturbo di coia viene attenuato olto efficaceente, in articolare in baa frequena Eergono erò roblei nel cao di accoiaento elatico con il carico Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [36]

37 Controllo nello aio di tato Aegnaento degli autovalori con tia dello tato q l Feedforward Converione etoint q τ Servo oiionatore q q l Da rogettare: Aione integrale ^ Legge di controllo (u kx) Stia dello tato Aioni in anello aerto Controllore x^ Stia dello tato Potenialente è il etodo iù efficace, a ci ono roblei di carico coutaionale e di robutea Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [37]

38 Coenaione del rile di coia La coia generata da un otore bruhle è affetta da un rile Generatore di fore d'onda er i riferienti di corrente Inverter regolato in corrente τ I T ref Controllore oiione/velocità Riferiento di corrente I ref I ref i ref α θ π i ref i ref i 3ref Macchina PMAC θ θ i,,3 Senore di oiione θ Si odificano le fore d onda dei riferienti di corrente er ridurre l effetto di aroniche di ordine ueriore nei rofili di fora controelettrootrice (noinalente inuoidali), che generano rile Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [38]

39 Inut haing Tutti i etodi di controllo viti finora revedono una retroaione della variabile controllata: ono infatti etodi in anello chiuo L inut haing è invece un etodo in anello aerto (feedforward): conite nel odificare l ingreo al itea otto controllo in odo tale da annullare l effetto di una o iù rionane reenti nel itea teo Richiede la conocena della ulaione naturale e dello oraento dei oli colei e coniugati Può eere utiliato con un certo ucceo nel controllo di trutture fleibili, quali er eeio bracci robotici er alicaioni aiali RALF, Georgia Tech (Atlanta) Robotica indutriale - Controllo di oiione e velocità - P Rocco [39]