Controllo dei robot. Controllo del moto. Prof. Paolo Rocco

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1 Controllo dei robot Controllo del oto Prof Paolo Rocco

2 Controllo del oto Parte I Attuatori, riduttori e enori Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco []

3 Preea Coinciao la dicuione ul controllo del oto nei anipolatori robotici con un inquadraento ugli attuatori, gli organi di riduzione del oto e i principali itei per la iura di poizione utilizzati nella robotica indutriale Per quanto riguarda gli attuatori, i principali requiiti che i pongono nell utilizzo in abito robotico ono i eguenti: baa inerzia ed elevato valore del rapporto potenza/peo poibilità di ovraccarico capacità di viluppare elevate accelerazioni elevato capo di variazione di velocità elevata preciione di poizionaento La oluzione tecnologica che ottiizza il oddifaciento di queti requiiti è cotituita dai otori elettrici a agneti peranenti, a corrente continua (a pazzole e collettore) oppure a coutazione elettronica (bruhle) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [3]

4 Motore a corrente continua È cotituito da un cilindro obile di ateriale ferroagnetico (rotore) u cui ono dipote le pire a forare un circuito chiuo (aratura) e da una parte fia (tatore) u cui ono alloggiati i agneti peranenti rotore (aratura) pazzola coutatore pazzola alloggiaento tatore rier egenti iolante (agnete) iolante Coutatore Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [4]

5 Motore a corrente continua Le pire ono connee ad anello l una all altra Quando il circuito di aratura è alientato, la corrente d aratura viene ripartita in due circuiti Con la rotazione del rotore, cabiano i egenti del collettore a contatto con le pazzole e quindi cabiano le pire che forano i due circuiti Studiando il otore con i principi dell elettroagnetio i conclude che: egento i h a g V b f pire I c Ι e = pazzola d Ι Ι = b) Ι Su ciacuna pira viene eercitata una forza tangente alla circonferenza eterna del rotore Copleivaente quete forza equivalgono ad una coppia eercitata ul otore, proporzionale alla corrente circolante nel circuito d aratura Se il rotore è in oto, i induce nel circuito d aratura una forza controelettrootrice, proporzionale alla velocità angolare del rotore Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [5]

6 Modello dinaico I Nel uo copleo, la dinaica elettrica del otore a corrente continua è riconducibile al eguente circuito: R L V E V = RI L E = K ω τ = e K t I di dt E V: tenione applicata alle pazzole R: reitenza del circuito d aratura L: induttanza del circuito d aratura La velocità angolare ω non è una variabile eogena in quanto dipende dalla coppia τ e dalla dinaica eccanica del otore Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [6]

7 Il otore bruhle È cotituito da un rotore u cui ono alloggiati i agneti peranenti e da uno tatore u cui ono dipoti tre avvolgienti (per otore trifae) Inverter La coutazione eccanica del itea pazzole-collettore è otituita dalla coutazione elettronica della corrente negli avvolgienti di tatore, affidata ad un inverter Controllo Elettronico Avvolgiento trifae Non entriao nei dettagli del eccanio di coutazione, oervando olo che per eeguire la coutazione ulla bae della poizione del rotore è neceario un enore di poizione angolare Induttore Senori di poizione Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [7]

8 Dinaica elettrica Tr Tr3 E Tr5 I a V a Centro tella Tr Tr4 Tr6 V b I b V n I c V c Le fai ono collegate a tella V V V a b c = R I I I a b c L d M dt M a ba ca M L M ab b cb M M L ac bc c I I I a b c E E E a b c V V V n n n I a Ib Ic = 0 L: auto induttanze M: utue induttanze Tenione del centro tella Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [8]

9 Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [9] Dinaica elettrica: acchina iotropa Dinaica elettrica: acchina iotropa V a V b V c I a I b I c V n Tr Tr Tr4 Tr3 Tr5 Tr6 E = 0 c b a I I I = n n n c b a c b a c b a c b a V V V E E E I I I dt d L I I I R V V V = cot L i = cot M ij L i M ij L =

10 Motore bruhle inuoidale N ϕ dϕ θ La forza controelettrootrice è legata alla velocità angolare da una funzione di fora che dipende dall angolo θ E i = ωki (θ) S In queto otore, grazie ad un opportuna configurazione dei agneti peranenti, è poibile fare in odo che la funzione di fora abbia una dipendenza inuoidale dall angolo θ: E = ωk in(θ) (per una coppia di poli) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [0]

11 Calcolo della coppia La potenza eccanica uguaglia la potenza elettrica: P = E I E I e a a b b E c I c P = τ ω P e = P τ = E a I a E b I ω b E c I c Coe iporre che la coppia ia indipendente dall angolo θ (coe in un otore a corrente continua)? Si deve fare in odo che nelle fai circolino correnti dipendenti in odo opportuno dall angolo Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco []

12 Calcolo della coppia Siano: p: nuero di coppie polari α=pθ : angolo elettrico Profili di fe (ipoti con il progetto eccanico-elettrico): K K K a b c ( θ) = pk in( pθ) = pk in( α) ( θ) = pk in( pθ π / 3) = pk in( α π / 3) ( θ) = pk in( pθ 4π / 3) = pk in( α 4π / 3) Correnti (ipote con l inverter): I = I ( θ) = I in( α) I I a b c = I = I a b c ( θ) = I in( α π / 3) ( θ) = I in( α 4π / 3) Coppia: τ pki in ( α) pki in ( α π / 3) = pki in ( α 4π / 3) = 3 = pki = K I t Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco []

13 Ripple di coppia τ = K t I Idealente la coppia non dipende dall angolo In realtà, a caua di iperfezioni nel progetto del otore e dell inverter, la coppia ha ovrappota una ondulazione (ripple) dipendente dall angolo: Coppia (N) Il ripple può eccitare le rionanze del robot Corrente (Unità DAC) Angolo eccanico (Gradi) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [3]

14 Funzione dell organo di traiione La funzione di un organo di traiione (riduttore) è di rendere copatibili velocità e coppie dei otori e dei carichi ovientati Si caratterizza per il rapporto di traiione: q = l q n τll = nτ l La velocità del carico è olto ridotta ripetto a quella del otore La coppia ull ae del carico è olto aggiore ripetto a quella ull ae otore n >> Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [4]

15 Gli haronic drive ono riduttori particolari, olto uati per le doti di copattezza e per il gioco ridotto Sono copoti da tre parti: Haronic Drive olidale al carico olidale al otore (rotore) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [5]

16 HD: principio di funzionaento La corona fleibile ha due denti in eno della corona circolare È tenuta in fora ellittica dal generatore di deforazione Ruotando il generatore di deforazione, la zona d ingranaento dei denti i uove iniee all ae aggiore dell'ellie Quando il generatore di deforazione avrà copiuto 80, la corona fleibile arà riata indietro di un dente ripetto alla corona circolare Ogni giro copleto del generatore di deforazione uove la corona fleibile indietro di due denti ripetto alla corona circolare Se d è il nuero totale di denti della corona fleibile, il rapporto di riduzione vale: n = 360 = d 360 d Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [6]

17 L attrito L attrito i anifeta alla uperficie di contatto tra due corpi, opponendoi al oto relativo: f n corpo A corpo B area di contatto acrocopica Per tudi in cui non è rilevante il coportaento a velocità nulla, i può adottare un odello in cui la forza (o coppia) d attrito è proporzionale alla velocità Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [7]

18 Il odello claico dicontinuo Il odello claico dicontinuo ditingue tra le ituazioni di velocità nulla (quiete) e velocità divera da zero: τ τ c τ a τ c τ α q τ S : coppia di prio ditacco τ C : coppia di Coulob Per q 0 : τ = D q τ ign(q) = tan( α) a Per q = 0 : c τ D τ a (q = 0) τ τ τ' τ': coppia attiva τ Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [8]

19 Il gioco Se i inverte il eno di rotazione del otore, per un angolo di rotazione corripondente al gioco, l angolo del carico non cabia nq l Il gioco nace da ipreciioni di accoppiaento tra gli ingranaggi: può eere ridotto precaricandoli q In un Haronic Drive il gioco è di 05 lato carico ed è dovuto principalente al cucinetto Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [9]

20 Inertia atching Coe cegliere il rapporto di traiione, note le caratteritiche inerziali di otore e carico? Tracurando gli attriti e l eventuale coppia eterna ul carico, i ha: ω l ω l τ = J ω Jl = nj ω l Jl n n Il rapporto tra accelerazione del carico e coppia otrice è quindi: ω l = τ nj Jl n Queto rapporto aue valore aio quando: n = J J l J = J n l condizione di inertia atching : il oento di inerzia lato otore e quello del carico riportato all ae otore ono uguali Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [0]

21 Claificazioni dei itei di iura Metodo di iura increentale aoluto Principio fiico fotoelettrico induttivo (agnetico) (interferenziale) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco []

22 Encoder increentale Si baa ul principio fotoelettrico È cotituito da un dico con due tracce in cui ono dipote alternativaente zone traparenti ed opache Canale A Tacca per la definizione di uno zero eccanico aoluto Canale B La preenza delle due tracce conente di rilevare anche il vero della rotazione N: nuero pai (nuero di zone chiare/cure per giro) Poiché i due egnali ono faati di /4 di pao: Rioluzione: 360 /(4N) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco []

23 Encoder aoluto È un dico con aree traparenti ed opache, dipote u corone circolari concentriche Per una parola di N bit i hanno N corone circolari Rioluzione: 360 / N # Codice # Codice Per evitare abiguità di lettura i utilizzano codici binari a variazione ingola (codice Gray) Per le applicazioni robotiche ono richiete aleno tracce (rioluzione di 360 /4096) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [3]

24 Struenti fotoelettrici avanzati Sitei per traiione della luce, baati ull effetto di Moiré: e i fanno correre parallelaente e uno ull altro due reticoli di diviione, i rilevano ocillazioni periodiche di luinoità, che i poono convertire in egnali elettrici Riga ottica Encoder rotativo Diegni tratti da: Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [4]

25 Sitei induttivi aoluti: il reolver Su un rotore è dipoto l avvolgiento di eccitazione, ullo tatore ono dipoti due avvolgienti in quadratura paziale S B θ I B r B S c V Gli avvolgienti ono realizzati in odo da ottenere le eguenti utue induttanze: M M c ( θ) ( θ) = = M M in θ co θ Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [5]

26 Sitei induttivi aoluti: il reolver Si eccita il reolver con una tenione alternata, che induce le eguenti tenioni ugli avvolgienti di tatore: d( M ( θ) I ) S ( θ, θ, t) = V ( t) = V coωt dt d( M c ( θ) I ) Sc ( θ, θ, t) = dt Supponendo nulla la reitenza del circuito d eccitazione (V=L di/dt): S S c ( θ, θ, t) = Ainθco ωt ( θ, θ, t) = Acoθco ωt ( θ / ω) Aco θin ω ( θ / Ainθin ωt con A=VM/L Scegliendo ω elevato: θ/ω 0 Rilevando le tenioni S e S c, con un opportuno circuito è poibile etrarre egnali rappreentativi del eno e del coeno di θ e quindi ricavare la iura dell angolo teo t Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [6]

27 Controllo del oto Parte II Controllo decentralizzato Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [7]

28 Modello decentralizzato Riprendiao il odello dinaico del anipolatore: B ( q) q C( q, q ) q g( q) = τ Supponiao che u ciacun giunto del anipolatore agica un otore, il cui odello eccanico è dato dall equazione: J q D q = τ τ i =, n i i i i i li, dove J i e D i ono oento d inerzia e coefficiente d attrito vicoo del otore, entre τ li è la coppia di carico per il otore i, pari a: τ li = τ i n i Nell ipotei di rigidità degli organi di traiione i ha anche: q = n q i i i Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [8]

29 Modello decentralizzato Scoponiao la atrice di inerzia nella oa di un terine diagonale e cotante (inerzie edie ) e un terine reiduo: B ( q) = B B( q) Poto: J { J }, D = diag{ D }, N = diag{ n }, B = N B = diag N i riorganizzando le equazioni i trova: i i r ( J Br ) q Dq d = τ con: inerzie edie calate per il quadrato dei rapporti di traiione d ( ) N q N C( q, q ) N q N g( q) = N B q Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [9]

30 Modello decentralizzato Le equazioni pria ricavate i laciano interpretare coe le equazioni di un itea lineare copletaente diaccoppiato, oggetto ad un diturbo derivante dai terini non lineari ed accoppiati del odello dinaico del robot: NON LINEARE ACCOPPIATO N g() N C(,)N Più elevati ono i rapporti di traiione, inore è la rilevanza del terine di diturbo N B()N d τ q (J B r ) q q D LINEARE DISACCOPPIATO Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [30]

31 Controllo indipendente dei giunti Il odello decentralizzato della dinaica del robot è alla bae del controllo indipendente dei giunti, oluzione largaente adottata nei controllori robotici indutriali Lo chea prevede che ciacuna coordinata di giunto venga controllata in un anello di controllo onovariabile, ignorando gli effetti di accoppiaento dinaico indotti dalla eccanica del robot, che vengono trattati coe diturbi q d R τ q q d R τ q dn q R n τ n q n I ingoli problei di controllo ono aiilabili a quelli del controllo di ervoeccanii Il etodo i affida peanteente all effetto diaccoppiante degli alti rapporti di riduzione delle traiioni adottate nella robotica Senza queto effetto, tracurare la variabilità dell inerzia del carico e gli effetti di accoppiaento eccanico con gli altri giunti arebbe poco giutificato Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [3]

32 Il ervoeccanio riduttore otore carico Coe è noto, nei uoi tratti eenziali un ervoeccanio di poizione è cotituito da un otore, un riduttore ed un carico Il problea di controllo i pone nei terini di governare il oto del carico, odulando opportunaente la coppia erogata dal otore Poono preentari diveri cenari per quanto riguarda la enorizzazione del itea: i può infatti diporre, per la oluzione del problea di controllo, di iure di poizione o velocità del otore e/o di iure della poizione del carico Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [3]

33 La dinaica elettrica Supponiao di adottare un otore a corrente continua, il cui circuito elettrico è, coe già oervato, il eguente: rotore (aratura) pazzola coutatore pazzola I R L V E Il otore, caratterizzato eccanicaente da un oento d inerzia J, eroga una coppia τ proporzionale alla corrente I nel circuito d aratura, coneguente all ipoizione di una tenione V Su queto circuito, avente reitenza R ed induttanza L, agice anche la forza controelettrootrice E, proporzionale alla velocità angolare ω del otore alloggiaento tatore (agnete) NB Le coniderazioni che fareo aranno in realtà valide anche per un otore bruhle a agneti peranenti, il cui odello elettrico è aiilabile, per ezzo di opportune traforazioni di variabili, a quello del otore a corrente continua Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [33]

34 La dinaica elettrica Il itea è retto dalle eguenti equazioni: q V E τ τ () t = RI( t) LI ( t) E( t) () t = Kω () t () t = KI() t () t = J ω () t () t = ω () t Traducibili nello chea a blocchi: V E I LR V I R K K τ L E ω J q Si oervi che la forza controelettrootrice accoppia la dinaica elettrica con la dinaica eccanica Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [34]

35 Il controllo di corrente Diponendo della iura di corrente, i può chiudere un anello di controllo ulla corrente tea: I o R I () V E LR I K K τ Vita la dinaica veloce legata ai tranitori elettrici i potrà progettare R I () per ottenere una banda paante olto apia, dell ordine delle igliaia di rad/ Nel progetto del regolatore di corrente i potrà inoltre auere la forza controelettrootrice coe un diturbo di baa frequenza Una volta chiuo l anello di controllo della corrente, queto potrà riteneri praticaente itantaneo ai fini del progetto del controllore di poizione eterno: τ o () t = KI( t) KI ( t) Potreo quindi auere coe variabile di controllo per il controllo poizione/velocità direttaente la coppia otrice τ J ω q Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [35]

36 L approiazione rigida (/) Un prio odo di affrontare il problea di controllo del oto conite nell auere l iniee otore, riduttore e carico coe un itea copleivaente rigido In queto cao le equazioni del itea ono le eguenti: otore carico traiione J J q l q q l = D = nτ nq l l q τ = τ ( J J lr ) q Dq = τ τlr l τ l (D : coefficiente di attrito vicoo otore, J l : oento di inerzia carico, n: rapporto di traiione, τ l : coppia traea lato otore, τ l : coppia eterna lato carico) Poiao eliinare q l e τ l dalle equazioni, ottenendo: con: J lr J l =, n τ lr = τ l n q τ J J l τ l Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [36] q l

37 L approiazione rigida (/) Il itea rigido i può quindi decrivere in terini di funzione di traferiento: con: τ τ lr G v () q q G v () = D ( J J ) lr Se il coefficiente di attrito D è tracurabile (cao più favorevole, perché l attrito dà un contributo tabilizzante), i ha: µ Gv () = µ = J J lr Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [37]

38 Il controllo P/PI Chiudiao un controllore PI ulla velocità, ed un controllore proporzionale ulla poizione: τ lr q o τ q q K R G pp PI () v () / Lo chea prevede di diporre di due iure, di poizione e velocità, indipendenti Tipicaente la iura di velocità è fornita da una dinao tachietrica Si tratta di uno chea di controllo in cacata: i progetta dappria l anello interno di velocità u banda apia, in odo da fornire anche una buona reiezione dei diturbi L anello eterno, di poizione, i progetta u una banda più ritretta Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [38]

39 Progetto del regolatore PI di velocità q o R PI () τ τ lr G v () q Tiv RPI () = K pv = K pv T iv Tiv Funzione d anello: K pvµ T Lv () = RPI () Gv () = T Se T iv è ufficienteente grande, oia e lo zero del PI è ufficienteente in baa frequenza, la pulazione critica è ben approiata prendendo l approiazione di alta frequenza di L: Lv (), T iv ( 0 0 ) ω cv = 3 iv iv ω Poizionaento dello zero del PI db T iv cv w (rad/) ω cv = K Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [39] ω cv pv µ

40 Progetto del regolatore P di poizione q o K pp q o F v () q / q Il regolatore dell anello di poizione vede l anello chiuo di velocità, di funzione di traferiento: F v () ω La funzione d anello è quindi: K pp Lp () = K ppfv () = ω cv ( ) cv db ωcp ωcv E ufficiente prendere K pp << ω cv per w (rad/) garantire una banda ull anello di poizione ω cp K pp L integratore tra velocità e poizione aicura inoltre la preciione tatica a fronte di riferienti cotanti a regie Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [40]

41 Anticipo di velocità q o K pp R PI () τ τ lr G v () q / q Per rendere la ripota al riferiento di poizione più pronta, è poibile inerire un contributo di feedforward, noto coe anticipo di velocità : i deriva il riferiento e i oa queto contributo nel nodo oatore dell anello di velocità Speo il contributo di feedforward viene peato da un coefficiente k ff copreo tra 0 e : k ff q o K pp R PI () τ τ lr G v () q / q Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [4]

42 Anticipo di velocità e PID Se i ua un olo enore ulla poizione otore e la velocità i ottiene differenziando la iura di poizione, i ottiene uno chea di controllo del tutto equivalente ad un regolatore PID: q o K pp R PI () τ τ lr G v () q / q q o R PID () τ τ lr G v () q / q Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [4]

43 Anticipo di velocità e PID q o K pp R PI () τ Riulta: τ q ( pp ( ) = o o ( K )( q () q () ) = R () ( q () q () ) o o () = R ( ) q ( ) q ( ) K q ( ) q ( ) = K PI pv T iv pp PID R PID () = K P TD TI K T T P D I = = = K K pv pv K K K p pp K p T K iv pv pp T iv (forule per il paaggio dal P/PI al PID) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [43]

44 Liitazioni del odello rigido Il odello rigido non ette in evidenza neun ignificativo liite di banda In linea di principio i potrebbe quindi rendere il itea in anello chiuo arbitrariaente veloce All atto pratico tuttavia eergono chiaraente liitazioni, otto fora di vibrazioni, ruore, aturazioni, ecc Evidenteente il odello rigido non è in grado di piegare bene coe i coporta un ervoeccanio Occorre coplicare il odello Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [44]

45 L approiazione a due ae Un econdo odo di affrontare il problea di controllo conite nell auere l iniee otore, riduttore e carico coe un accoppiaento elatico tra due corpi rigidi In queto cao le equazioni del itea ono le eguenti: otore carico traiione J J τ l q l q l = D = nτ K el l q ( q nq ) D ( q nq ) τ = τ l l τ l el l q, τ J D K el el J l q, τ l l Schea a blocchi: τ q J D q q l n q l J l D el K el τ l n τ l È un itea di ordine 4 (ci ono 4 variabili di tato) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [45]

46 Un itea SITO Concentriaoci ulla ripota del itea al coando di coppia τ (poniao τ l =0) Il itea è interpretabile coe itea ad un ingreo e due ucite (SITO: Single Input Two Output) τ G v () G vl () q nq l Riolvendo lo chea a blocchi i ottiene: G v ( ) = J lr J 3 J lr D el K / / q nq l ( JDel Jlr D ) ( JKel DDel ) DKel el i nueratori ono diveri G vl ( ) = J lr J 3 D el K el ( JDel Jlr D ) ( JKel DDel ) DKel Jl J lr =, J = Jlr J n Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [46]

47 Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [47] Paraetri notevoli Paraetri notevoli Poniao D =0 ed introduciao i eguenti paraetri: ) ( p p p z z z v G ω ω ζ ω ω ζ µ = el lr el z lr el z K J D J K, = ζ = ω z p z p ζ ρ = ζ ρ ω = ω, lr J J ρ = µ = J Si ottiene: ) ( p p p z z vl G ω ω ζ ω ζ µ = (rapporto di inerzia) (pul naturale e orzaento degli zeri) (pul naturale e orzaento dei poli)

48 Natural frequency e locked frequency Si può anche rappreentare inteticaente il itea con il eguente chea a blocchi: dove: τ G v () G l q / Il itea libero ocilla alla pulazione dei poli di G v, oia ω p : queta pulazione è detta natural frequency Se invece i blocca eccanicaente il otore, il itea ocilla alla pulazione dei poli di G l, oia ω z : queta pulazione è detta locked frequency q ζ z ωz ( ) = ζ z ω ω z G l () z nq l J J D K Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [48] el el D K el el J l J l

49 Dipoizione di poli e zeri Coe ono ei nel piano copleo poli e zeri di G v? G v ( ) = µ ζ z ω z ζ p ω p ω ω z p ω p ω z I ω ω p z = ζ ζ p z = ρ > ζ p ω p ζ z ω z Re I poli ono a più alta frequenza e più orzati Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [49]

50 Ripota in frequenza Cha apetto aue la ripota in frequenza di G v? ρ= ζ z = G v µ ( ) = ζ z ω z ζ p ω p ω z ω p G v 0 0 rionanza antirionanza w/w z Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [50]

51 Controllo P/PI ul otore Nella robotica indutriale i enori ono di nora dipoti olo dal lato otore Concentrandoci ulla ripota al riferiento (τ l =0) i ha: q o K pp R PI () τ G v () q / q G l () nq l Nel cao di velocità ottenuta per derivazione della poizione: q o K pp R PI () τ G v () q / q G l () nq l Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [5]

52 Controllo PI di velocità otore R PI () τ G v () q T RPI () = K pv = K pv T iv Tiv Funzione d anello: L v () = R () G () PI v = K pv µ T T iv iv iv ζ z ω z ζ p ω p ω ω z p Introduciao il eguente paraetro di progetto adienionale: ω ~ cv = K ω pv z µ Èla pulazione critica di progetto, valutata ul odello rigido (K pv µ), noralizzata alla pulazione ω z Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [5]

53 Criterio di Bode Poizioniao lo zero del PI una decade pria della pulazione ω z Introduciao un altro paraetro adienionale: T iv = τiv ωz, τiv = 0 [ adi ] Tracciao il diagraa di Bode della fdt d anello: ω ~ cv = 05 ~ = 5 ω cv db deg db deg Il argine di fae è elevato ρ= ζ z =0 ω ω z ω ωz Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [53]

54 Criterio di Bode Dal criterio di Bode riulta epre argine di fae olto elevato Non eergono liiti ignificativi Guardiao però la ripota in frequenza in anello chiuo lato otore e carico: ~ ω cv = otore carico ωrad ω z C è una rionanza lato carico che il criterio di Bode non coglie Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [54]

55 Anello di velocità: : luogo delle radici ~ Tracciao il luogo delle radici al variare di ω cv : Iag Axi Real Axi Ci ono dei poli coplei il cui orzaento pria auenta e poi diinuice Lo orzaento aio i ottiene per: ω ~ cv ( ω 07ω ) cv 07 z NB In queto e nei ucceivi luoghi, per aggiore generalità, gli ai ono noralizzati ripetto a ω z Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [55]

56 Controllo P di poizione q o K pp F v () q / q G l () nq l F v () () () Lv = Anello chiuo di velocità L v La funzione d anello per il controllo di poizione è: L () p = Introduciao anche in queto cao un paraetro di progetto noralizzato: γ pp = K ω pp z K pp Fv Èla pulazione critica di progetto, valutata ul odello rigido (K pp ), noralizzata alla pulazione ω z ( ) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [56]

57 L Anello di poizione: luogo delle radici () p = K pp F v ( ) ~ Tracciao il luogo delle radici al variare di γ pp, per diveri valori di ω cv : ω ~ cv = 05 ω ~ cv = ~ = 5 ω cv Iag Axi 0 - Iag Axi 0 - Iag Axi Real Axi Real Axi Real Axi All auentare della banda dell anello di velocità i generano dei poli in anello chiuo poco orzati Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [57]

58 Siulazioni Siuliao in Siulink il itea copleto: Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [58]

59 Sitea: ω z =00, ρ=, ζ z =0 Siulazioni PI di velocità: τ iv =0 P di poizione: γ pp =0 ω ~ cv = 05 ~ = 5 ω cv 6 4 otore carico 8 6 otore carico diturbo di coppia t () t () Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [59]

60 Controllo P ul carico e PI ul otore In olte altre applicazioni, coe nelle acchine utenili, l anello di poizione è chiuo lato carico: nq o l K pp R PI () τ G v () q / q G l () nq l Nel cao di velocità otore ottenuta per derivazione della poizione: nq o l K pp R PI () τ G v () q / q G l () nq l Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [60]

61 Controllo P di poizione nq o l K pp F v () q / q G l () nq l F v () () () Lv = Anello chiuo di velocità: nulla cabia nel uo progetto L v La funzione d anello per il controllo di poizione è ora: L G () p = l () Fv K pp G ζ z ωz ( ) = ζ z ω ω z l z () Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [6]

62 L () p = K pp F v () Luogo delle radici G l () Tracciao il luogo delle radici al variare di γ pp, per diveri valori di ω ~ cv: ω ~ cv = 05 ω ~ cv = ~ = 5 ω cv 3 γ pp ax 07 3 γ pp ax γ pp ax 05 Iag Axi 0 Iag Axi 0 Iag Axi Real Axi Real Axi Real Axi All auentare della banda dell anello di velocità i coplica il progetto dell anello di poizione Anche per piccoli valori di K pp il itea può diventare intabile Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [6]

63 Siulazioni Siuliao in Siulink il itea copleto: Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [63]

64 Sitea: ω z =00, ρ=, ζ z =0 Siulazioni PI di velocità: τ iv =0 P di poizione: γ pp =0 ω ~ cv = 05 ~ = 5 ω cv 4 otore carico 8 6 otore carico diturbo di coppia t () t () Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [64]

65 Sitea: ω z =00, ρ=, ζ z =0 Siulazioni PI di velocità: τ iv =0 P di poizione: γ pp =07 3 x 06 0 ~ ω cv = 5 otore carico Il itea è intabile t () Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [65]

66 Oltre il PID Anche e il nucleo di un controllore in anello chiuo per il controllo del oto è epre cotituito da un regolatore PID (o P/PI), vi ono altri chei di controllo che poono copletare o otituire lo chea bae Alcuni di queti chei trovano corrente applicazione nei controllori coerciali, altri l avranno fore in futuro Una lita parziale: Filtro notch Oervatore del diturbo di coppia Controllo nello pazio di tato Copenazione del ripple di coppia Input haping Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [66]

67 Filtro notch Un filtro notch è un itea dinaico progettato per cancellare una coppia di poli coplei e coniugati, tipicaente a bao orzaento, preenti nel itea otto controllo E quindi caratterizzato dalla funzione di traferiento: G nf ( ) = ζ ζ ω ω n n ω ω dove ω n è la pulazione dei poli coplei da cancellare, ζ e ζ ono orzaenti, il prio piccolo, il econdo grande n n db ζ ζ w/wn In un itea di controllo del oto, il filtro notch viene di nora inerito nell anello di velocità, in erie al regolatore PI: q o R PI () G nf () τ G v () q Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [67]

68 Filtro notch: : problei Sebbene il filtro notch poa eere utile per igliorare la ripota al riferiento, ci ono alcuni problei connei al uo utilizzo: La frequenza di rionanza ulla quale intonizzare gli zeri del filtro deve eere conociuta con buona approiazione I poli poco orzati del proceo cancellati dal filtro riangono autovalori del itea in anello chiuo e rieergono coe poli di altre funzioni di traferiento, tipicaente quella dal diturbo di carico all ucita I etodi di dicretizzazione dei regolatori producono una certa ditorione della ripota in frequenza che potrebbe non far coincidere la frequenza effettiva degli zeri del filtro digitale con la frequenza di progetto Vi ono etodi per ovviare a queto problea (frequency pre-warping) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [68]

69 Oervatore del diturbo di coppia L oervatore del diturbo di coppia (TDO: Torque Diturbance Oberver) è uno chea olto utilizzato in alcune applicazioni di controllo del oto Il etodo tia la coppia di diturbo in ingreo al otore, copenandola con una retroazione poitiva ul coando τ * τ τ c T f q J D D J T f J T f TDO q τ l La coppia di diturbo è cotituita da una coppia eogena τ c e dalla coppia traea dal carico τ l T f è una piccola cotante di tepo che evita la nacita di anelli algebrici Elaborando lo chea a blocchi i ottiene che il diturbo di coppia viene attenuato olto efficaceente, in particolare in baa frequenza Eergono però problei nel cao di accoppiaento elatico con il carico Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [69]

70 Controllo nello pazio di tato Aegnaento degli autovalori con tia dello tato q l Feedforward Converione etpoint q τ Servo poizionatore q q l Da progettare: Azione integrale ^ Legge di controllo (u = kx) Stia dello tato Azioni in anello aperto Controllore K x^ Stia dello tato Potenzialente è il etodo più efficace, a ci ono problei di carico coputazionale e di robutezza Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [70]

71 Copenazione del ripple di coppia La coppia generata da un otore bruhle è affetta da un ripple Generatore di fore d'onda per i riferienti di corrente Inverter regolato in corrente τ K I T ref Controllore poizione/velocità Riferiento di corrente I ref I ref i ref α=p θ π i ref i ref i 3ref Macchina PMAC θ θ i,,3 Senore di poizione θ Si odificano le fore d onda dei riferienti di corrente per ridurre l effetto di aroniche di ordine uperiore nei profili di forza controelettrootrice (noinalente inuoidali), che generano ripple Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [7]

72 Input haping Tutti i etodi di controllo viti finora prevedono una retroazione della variabile controllata: ono infatti etodi in anello chiuo L input haping è invece un etodo in anello aperto (feedforward): conite nel odificare l ingreo al itea otto controllo in odo tale da annullare l effetto di una o più rionanze preenti nel itea teo Richiede la conocenza della pulazione naturale e dello orzaento dei poli coplei e coniugati Può eere utilizzato con un certo ucceo nel controllo di trutture fleibili, quali per eepio bracci robotici per applicazioni paziali RALF, Georgia Tech (Atlanta) Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [7]

73 Controllo del oto Parte III Controllo centralizzato Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [73]

74 Controllo centralizzato Si parla di controllo centralizzato ogniqualvolta il controllore, nel deterinare la coppia che deve eere applicata a ciacun giunto, prende in coniderazione iure e/o odelli di pertinenza anche degli altri giunti del anipolatore In generale un controllo centralizzato richiede la conocenza, aleno parziale, del odello ateatico del robot In aenza dell effetto diaccoppiante indotto da rapporti di riduzione elevati (coe per eepio nel cao di adozione di otori a prea diretta), l uo di una trategia di controllo centralizzato può rivelari necearia Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [74]

75 Copenazione in avanti a coppia precalcolata In queto chea, il controllore decentralizzato in anello chiuo viene affiancato da un controllore che opera in anello aperto, calcolando le coppie di diturbo ulla bae del riferiento di poizione, velocità ed accelerazione: d d q d q d q d d AZIONE IN AVANTI d CENTRALIZZATA MANIPOLATORE CONTROLLORE DECENTRALIZZATO ( ) N q N C( q, q ) N q N g( q ) = N B q d d d d d SISTEMA LINEARE q DISACCOPPIATO d d La copenazione delle non linearità può eere olo parziale (per eepio olo i terini gravitazionali ed i terini diagonali della atrice di inerzia) I terini di copenazione poono eere calcolati anche fuori linea, nel cao di traiettorie ripetute più volte Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [75]

76 PD con copenazione di gravità L azione integrale del regolatore PID può dare problei di tabilità in anello chiuo Un alternativa al controllo di tipo PID conite nell utilizzare un controllo PD decentralizzato corredato da un terine centralizzato che copena gli effetti gravitazionali q d K P τ K D MANIPOLATORE q q K P e K D diagonali q d cotante g() ^ Si può diotrare che con queto chea di controllo applicato ad un anipolatore rigido, e la tia del terine gravitazionale è perfetta, i ottiene un itea in anello chiuo il cui punto di equilibrio (caratterizzato da errore nullo) è globalente aintoticaente tabile Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [76]

77 Controllo a dinaica invera Si può utilizzare il odello dinaico del anipolatore in uno chea di controllo centralizzato che idealente copena tutti gli effetti di accoppiaento eccanico tra i giunti: q d q d q d K D K P v ^ B(q) τ MANIPOLATORE q q η(q,q) ^ ( q, q ) = Cˆ ( q, q ) q gˆ ( q) ηˆ Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [77]

78 Controllo a dinaica invera Le equazioni del itea controllato ono: v ( ) q η( q, q ) = τ = Bˆ ( q) v ηˆ ( q, q ) = q K ( q q ) K ( q q) B q τ d D d Se la conocenza del odello ateatico è perfetta (B=B, ^ η=η), ^ i ha: P d q d q d q d K D K P v ^ B(q) τ MANIPOLATORE η(q,q) ^ q q q = v e quindi, detto e=q d q, e K e K e D P = 0 Il controllore PD vede un itea copletaente diaccoppiato cotituito da doppi integratori, per i quali i può aegnare arbitrariaente la dinaica in anello chiuo Ci ono varianti del etodo intee a conferirgli robutezza a fronte di incertezze ul odello o a renderlo adattativo ripetto alla tia dei paraetri del odello Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [78]

79 Controllo nello pazio operativo Per controllo nello pazio operativo i intende una trategia di controllo in cui l errore viene forato direttaente ulle coordinate dello pazio operativo La traiettoria, generata nello pazio operativo, non è quindi oggetta all inverione cineatica D altra parte le iure delle variabili nello pazio operativo ono in realtà di nora il riultato del calcolo della cineatica diretta ulle uniche iure diponibili, ovvero ulle iure delle coordinate di giunto Schei di principio: controllo con invera dello Jacobiano controllo con trapota dello Jacobiano x d x J A (q) q MATRICE GUADAGNI MANIPOLATORE q x d x MATRICE GUADAGNI J AT (q) MANIPOLATORE q x k() x k() Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [79]

80 PD con copenazione di gravità In queto chea un controllo PD decentralizzato nello pazio operativo è corredato da un terine centralizzato che copena gli effetti gravitazionali nello pazio dei giunti: K D ẋ J A (q) x d x ~ K P J AT (q) τ MANIPOLATORE q q K P e K D diagonali x d cotante x k() ^ g() Coe nell analogo chea nello pazio dei giunti, anche in queto cao i può diotrare che, e la tia del terine gravitazionale è perfetta, i ottiene un itea in anello chiuo il cui punto di equilibrio (caratterizzato da errore nullo) è globalente aintoticaente tabile Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [80]

81 Controllo a dinaica invera Si può etendere il controllo a dinaica invera anche allo pazio operativo: x d x d x d x ~ x ~ K D K P B(q) v ^ J A (q) τ MANIPOLATORE q q x k() ẋ J A (q) J A (q,q) η(q,q) ^ Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [8]

82 Controllo a dinaica invera Le equazioni del itea controllato ono (enza errori di odello): v ( ) q η( q, q ) = τ = B( q) v η( q, q ) = J ( q) x K ~ x K ~ x J ( q, q ) B q τ A Poiché: J ( ) q d D d dt ( q) q J ( q, q ) q = ( J ( q q ) q ) = x = x A A A, P A d dt x d x d x d x ~ x x ~ K D K P k() B(q) v ^ J A (q) ẋ J A (q) J A (q,q) τ MANIPOLATORE η(q,q) ^ q q i ottiene: x ~ K ~ x K ~ D P x = 0, ~ x = xd x ovvero lo teo riultato, nello pazio operativo, del controllo a dinaica invera nello pazio dei giunti Controllo dei robot - Controllo del oto - P Rocco [8]