Breve compendio su trigonometria e funzioni goniometriche (senza pretesa di completezza)

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1 dtt. ng. Frnc Burtt, Msur degl ngl n rdnt Breve cmpend su trgnmetr e funzn gnmetrche (senz pretes d cmpletezz) In un crcnferenz vente centr nell rgne degl ss e rgg rbtrr, cnsderm l ngl rentt. Chmm: RP rc sttes dll ngl ; P Il rpprt fr l lunghezz dell rc rentt RP ed l rgg l R nn dpende dll prtclre crcnferenz, m sl R dll mpezz dell ngl. In ltre prle, tle rpprt è un funzne dell ngl. Defnm llr cme msur n r rdnt dell ngl rentt l rpprt fr l lunghezz dell rc rentt RP sttes dll ngl e l lunghezz del rgg R dell crcnferenz. l rd r Es.: msur dell ngl gr n rdnt. Pché, per l nter crcnferenz, è l r, pplcnd l frmul trvm che, per l ngl gr, rd. Smlmente, per l ngl ptt s ttene rd. Per pssre d grd rdnt, e vcevers, pssm dunque utlzzre quest prprzne: rd : :80 Qund: grd rdnt 0 /6 /4 / / / D r n p utlzzerem sempre l msur degl ngl n rdnt; d cnseguenz metterem sempre l pedce rd ed ndcherem gl ngl cn un letter grec (, β, γ, ) cn l letter x. Sen, csen, tngente d un ngl Cnsderm un trngl rettngl. Indchm cn un de due ngl cut. Defnm: ctet ppst ll ngl ctet dcente ll ngl ptenus Cnsderm r due trngl rettngl sml, d lt rspettvmente,, ed ', ', ' (v. fgur). Dll smltudne de trngl segue l uguglnz de rpprt tr lt crrspndent: ' ' ; ;. ' '' ' È chr, qund, che tl rpprt nn dpendn dlle dmensn del trngl, m sl dll msur dell ngl. Cnvene llr dre lr un nme. ' ' '

2 dtt. ng. Frnc Burtt, Defnm: sen d sen (ctet ppst / ptenus) csen d cs (ctet dcente / ptenus) tngente d tg (ctet ppst / ctet dcente) N.B.: Ne test mercn e sulle clcltrc s trv sn l pst d sen, e tn l pst d tg. Ntm che: sen sen tg ; d cnseguenz, tg. cs cs Relzn tr gl element d un trngl rettngl ptenus ctet dcente (ll ngl ) ctet ppst (ll ngl ) β sen cs sen tg, (per ) cs sen cs β cs sen β tg ; tg β Il sen e l csen cme funzn dell ngl Nel pn crtesn cnsderm un crcnferenz cn centr nell rgne del sstem d ss crdnt, e rgg r. L crcnferenz d rgg untr è dett crcnferenz gnmetrc; nell crcnferenz gnmetrc l msur d un ngl è numercmente ugule quell dell rc sul qule ess nsste. Sull crcnferenz gnmetrc prendm un punt P, e cngungm P l centr ; l segment P frm cn l sse rzzntle un cert ngl, che ndcherem cn l letter. Cnsderm l trngl rettngl HP. L su ptenus cncde cn l rgg dell crcnferenz, e qund h lunghezz pr d. S defnsce sen dell ngl (e s ndc cn sen ) l cs : + destr snstr K cs sen H sen : + spr stt P(x P, y P ) rpprt tr l msur del segment rentt HP e quell del rgg P; tenend cnt che l lunghezz d P è pr, vrem dunque: sen HP/P y P. S defnsce nvece csen dell ngl (e s ndc cn cs ) l rpprt tr l msur del segment rentt H e quell del rgg P; dunque: cs H/P x P. Le funzn defnte trmte l crcnferenz gnmetrc s chmn funzn trgnmetrche ( gnmetrche). Il sen ed l csen vst cme funzn pssn ssumere s

3 dtt. ng. Frnc Burtt, vlr pstv che negtv null. Ntm nftt che l rdnt d P è pstv qund P s trv l d spr dell sse x, e negtv qund P s trv l d stt dell sse x; nlgmente, l scss d P è pstv qund P s trv destr dell sse y, e negtv qund P s trv snstr dell sse y. sen D cnseguenz srà: sen > 0 qund P è nel sempn delle y pstve, sen < 0 qund P è nel sempn delle y negtve; nvece, cs > 0 qund P è nel sempn delle x pstve, cs < 0 qund P è nel sempn delle x negtve. I segn delle funzn sen e csen ne vr qudrnt srnn percò quell evdenzt qu lt. cs Per l terem d Ptgr pplct l trngl HP, s h nltre (sen ) + (cs ). Pché nn bbm ftt lcun ptes crc l ngl, è fcle cnvncers che quest equzne vle qulunque s l ngl n questne. Quest equzne è dett percò l denttà fndmentle dell gnmetr e pù spess s scrve, cn ntzne bbrevt, sen + cs, dve sen è d ntenders cme un ntzne cmptt per (sen ), e cs un ntzne cmptt per (cs ). L tngente cme funzne dell ngl S defnsce tngente dell ngl (e s ndc cn tg ) l T tg : + rpprt tr l msur del segment rentt HP e quell del segment rentt H: K P cs tg HP/H sen / cs y P /x P. tg : S R l punt d crdnte (0; ); l tngente n R ll crcnferenz ncntr l prlungment del lt P nel punt T. Per le prpretà de trngl sml, l rpprt tr le lunghezze de segment rentt HP ed H è ugule quell H R tr le lunghezze de segment rentt RT ed R; tenend cnt del ftt che R è l rgg dell crcnferenz tg : + tg : gnmetrc, vrem dunque: tg RT/R y T. tg Il segn d tg ne vr qudrnt s rcv dl prdtt de segn d sen e cs ; ess srà pertnt pstv qund le crdnte d P hnn segn cncrde (nel e nel qudrnte), negtv qund le crdnte d P hnn segn dscrde (nel e nel 4 qudrnte). Funzn gnmetrche d lcun ngl prtclr rd sen cs tg sen tg

4 dtt. ng. Frnc Burtt, Angl ssct (ngl che dfferscn d per un multpl nter d /) / + / sservnd l fgur e tenend nltre cnt dell perdctà delle funzn gnmetrche, è mmedt stblre le relzn che ntercrrn tr le funzn gnmetrche reltve ll ngl e quelle reltve gl ngl ssct, ss: + / ± ± ± Abbm dunque: sen ( ) sen cs ( ) cs tg ( ) tg sen + cs cs + sen tg + x ctg sen cs cs sen tg ctg sen + sen cs ( + ) cs tg ( + ) tg ( ) sen ( ) sen cs ( ) cs tg ( ) tg sen ( + ) sen cs ( + ) cs tg ( + ) tg sen ( ) sen cs ( ) cs tg ( ) tg Frmule d ddzne e sttrzne sen( ± β) sen csβ ± cssenβ cs( ± β) cs csβ sen senβ tg ± tgβ tg( ± β) tg tgβ Frmule d duplczne (cs prtclre d quelle d ddzne, qund β ) sen( ) sen cs Frmule d bsezne cs() cs sen sen cs tg( tg ) tg sen ± cs cs ± + cs tg ± cs + cs 4

5 dtt. ng. Frnc Burtt, Frmule d prstferes (servn per trsfrmre un smm d funzn gnmetrche n un prdtt) sen ± senβ cs + csβ ± β β + β β sen cs cs cs N.B.: Attenzne ll dfferenz tr segn ± e. cs csβ + β β sen sen Frmule per l rsluzne de trngl Le seguent frmule sn vlde per trngl qulss, nche nn rettngl. Indchm vertc del trngl cn le lettere A, B, C, crrspndent ngl cn, β, γ, ed lt ppst cn, b, c. Terem de sen sen b c senβ sen γ Terem del csen d Crnt b + c bc cs ; b + c c cs β; c + b b cs γ Are d un trngl S bsen γ bcsen csenβ Terem d frequente mpeg Terem d Ptgr: b + c (vver l qudrt cstrut sull ptenus è l smm de qudrt cstrut su ctet) Prm terem d Euclde: b b, c c (vver l qudrt cstrut su un ctet è equvlente l rettngl che h per lt l ptenus e l prezne del ctet sull ptenus; ncr, un ctet è med prprznle tr l ptenus e l su prezne sull ptenus) Secnd terem d Euclde: h b c A (vver l qudrt cstrut sull ltezz reltv ll ptenus è ugule l rettngl che h per lt le prezn de ctet sull ptenus; ncr, l ltezz reltv ll ptenus è med prprznle tr le due prezn de ctet sull ptenus) B c b h c b H C 5

6 dtt. ng. Frnc Burtt, Grfc dell funzne y sen x L funzne y sen x h cme dmn l nseme de numer rel (D sen x R) e cme nseme mmgne l ntervll chus I [ ; +] p -p/ -p -p/ 0 p/ p p/ p È un funzne perdc, d perd. Defnzne. Un funzne y f(x) è dett perdc se esste un numer pstv T, dett perd, tle che, per gn x, rsult f(x + T) f(x). [S ssume cme perd l pù pccl tr numer che gdn d quest prpretà.] Il perd dell funzne y sen x è T. Inftt, sen x sen (x + k ), dve k è un numer nter qulss. È un funzne lmtt. Defnzne. Un funzne y f(x) è dett lmtt se esste un numer pstv M, tle che, per gn x nel dmn, rsult M f(x) M. In quest cs, sen x. sservnd l grfc dell funzne y sen x, pssm nltre dre che ess è un funzne cntnu. L defnzne estt d funzne cntnu srà dt pù vnt durnte l crs; per l mment dcm sl che l grfc d un funzne cntnu è csttut d un unc lne, senz nterruzn. Grfc dell funzne y cs x L funzne y cs x, cme l precedente, h cme dmn l sse rele (D cs x R) e cme nseme mmgne l ntervll chus I [ ; +] p -p/ -p -p/ 0 p/ p p/ p

7 dtt. ng. Frnc Burtt, Anche l funzne y cs x è un funzne: perdc, d perd lmtt cntnu Grfc dell funzne y tg x L funzne y tg x h cme dmn l nseme de numer rel, esclus punt per qul cs x 0 (qund, D tg x {x R x / + k}) e cme nseme mmgne l nter nseme R. L funzne y tg x è un funzne: perdc, d perd nn lmtt nn cntnu L funzne tngente è perdc d perd, pché, n tutt punt x n cu ess è defnt, rsult tg x tg(x + k) p -p/ -p -p/ 0 p/ p p/ p Abbm dett che l funzne tngente nn è defnt per x / + k. C nteress vedere che cs succede qund x s vvcn d un d quest vlr, d esemp /. Il cmprtment è dfferente, secnd che x tend / d snstr (x / ) d destr (x / + ). S ntusce fclmente che: tg x prende vlr pstv e grnd pcere n vlre sslut, qunt pù x prende vlr vcn / m nferr tle numer (cè, qund x tende / d snstr ) tg x prende vlr negtv e grnd pcere n vlre sslut, qunt pù x prende vlr vcn / m superr tle numer (cè, qund x tende / d destr ) Utlzznd l frmlsm mtemtc, quest s scrve: lm tg x + x lm tg x x + Il lmte d tg x, per x che tende / d snstr, è +. Il lmte d tg x, per x che tende / d destr, è. 7