Parte 3. Trasformata di Laplace

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1 Parte 3 Trasformata di Laplace

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3 Indice Parte 3. Trasformata di Laplace Capitolo. La trasformata di Laplace 5 Capitolo 2. L antitrasformata di Laplace 23 Capitolo 3. Equazioni differenziali ordinarie con metodo di Laplace 33 Complementi 45 3

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5 Capitolo La trasformata di Laplace Introduciamo ora un altra trasformazione che, così come le trasformata di Fourier, associa ad una funzione una nuova funzione, definita mediante un integrale. Questa è dovuta a Laplace. Definizione.. Prendiamo una funzione F : (, + ) R, ed un numero s (che può essere reale o complesso). Si dice Integrale di Laplace e st F(t) dt. È un integrale generalizzato, infatti quando scriviamo l integrale da a + sottintendiamo lim lim T + r + T r e st F(t) dt. Pertanto, la prima domanda da farsi è se questo integrale converge o no. Dipenderà sia dalla funzione F che dal numero s. Si noti che in generale F è definita solo per t positivi, dunque nulla ci assicura che sia limitata per t vicino a. 5

6 6. TRASFORMATA Indichiamo A := { s R : e st F(t) dt converge Per ogni s dentro A, l integrale di Laplace ci dà come risultato un numero reale. Resta cosí definita una funzione f : A R, f(s) = e st F(t) dt, che chiamiamo trasformata di Laplace (reale) della funzione F. Scriviamo anche L(F(t)) (s) = f(s). L insieme A si dice dominio della trasformata di Laplace (reale) della funzione F. Se s = x + iy è un numero complesso, abbiamo = e st F(t) dt = e xt cos ytf(t) dt i }. e xt [cosyt i sin yt] F(t) dt e xt sin ytf(t) dt. Dunque, quando s è complesso, l integrale di Laplace converge se, e solo se, i due integrali reali e xt cosytf(t) dt e convergono. Indichiamo poi { Ã := s C : e xt sin ytf(t) dt e st F(t) dt converge per ogni s dentro Ã, l integrale di Laplace ci dà come risultato un numero complesso. Resta cosí definita una funzione f : Ã C, f(s) = e st F(t) dt, } ;

7 . TRASFORMATA 7 che chiamiamo trasformata di Laplace (complessa) della funzione F. L insieme à si dice dominio della trasformata di Laplace (complessa) della funzione F. Se non viene specificato diversamente, d ora in poi intenderemo la trasformata di Laplace reale. Diremo che una funzione F è trasformabile secondo Laplace se esiste almeno un valore di s tale che il corrispondente integrale di Laplace converge. Osservazione.. Si noti che, quando definiamo l integrale di Laplace (e dunque anche la trasformata), stiamo pensando che la funzione F è uguale a zero sul semiasse negativo < t < +. In tal modo e st F(t) dt = e st F(t) dt. Poiché, come abbiamo appena visto, stabilire se una funzione è trasformabile o meno è equivalente a studiare la convergenza di opportuni integrali generalizzati, è utile richiamare alcuni criteri di convergenza. Li trovate nei complementi. Vediamo con qualche esempio cosa può succedere. Certamente ci sono funzioni che non sono trasformabili secondo Laplace. Esempio.. Prendiamo F(t) = e t2, e studiamo la convergenza del suo integrale di Laplace e t2 st dt. Per ogni s fissato, la funzione integranda è G(t) := e t2 st, che è continua su [, + ): dunque l integrale vicino a zero è un

8 8. TRASFORMATA integrale classico e non abbiamo problemi. Studiamo la convergenza dell integrale vicino a + : poiché lim st = + 2, t + et2 il Teorema 3. ci assicura che l integrale di Laplace non converge per nessun valore reale di s. E se s è complesso? cambia qualcosa? L Esempio. ci suggerisce che F(t) non è trasformabile se cresce troppo velocemente. Vediamo un altro esempio Esempio.2. 3 Studiamo la convergenza dell integrale di Laplace (reale e complesso) della funzione: Trasformata reale, cioè s R. F(t) = e at, a R. e st e at dt = lim T + T e (a s)t dt. Se s = a, abbiamo immediatamente che tale integrale è uguale a T lim T + dt = lim T + T = +. Se, invece, s a, l integrale di Laplace è [ ] t=t ( lim T + a s e(a s)t = lim e (a s)t ) T + t= a s + se s < a, = se s > a. s a Il calcolo appena fatto può essere sintetizzato dicendo: Per ogni numero reale a, la funzione F(t) = e at è trasformabile secondo 2 s è un numero fissato, dunque t 2 st + quando t +! 3 È bene ricordare le trasformate delle funzioni elementari, come e at, sin(at), cos(at), t n...

9 . TRASFORMATA 9 Laplace (reale). Il dominio della trasformata (reale) è l insieme (a, + ), e l espressione della trasformata (reale) è f(s) = /(s a). Trasformata complessa, cioè s = x + iy C. + T T e st e at dt = lim e (a x)t cosytdt i e (a x)t sin(yt) dt. T + Quando y =, abbiamo in effetti s = x R: si applicano pertanto i ragionamenti fatti per la trasformata reale. Quando, invece, y, distinguiamo i casi seguenti. Se x = a, l integrale di Laplace è uguale a lim T + T cosytdt i T [ sin ytdt sin yt = lim + i T + y e tale limite, come è ben noto, non esiste. Se x a, calcoliamo separatamente T I P = I P = e (a x)t cosytdt ] t=t cos yt y t= = lim [sin yt + i (cosyt )] T + y [ ] t=t a x e(a x)t cosyt + y T e (a x)t sin ytdt t= a x [ ] t=t y a x e(a x)t cosyt + sin yt (a x) 2e(a x)t t= y2 (a x) 2 T e (a x)t cosytdt,

10 . TRASFORMATA e dunque ) T ( + y2 e (a x)t cosytdt (a x) 2 = [ ] t=t y a x e(a x)t cosyt + sin yt. (a x) 2e(a x)t t= Pertanto T e (a x)t cosytdt [ ( )] t=t = (a x)2 e (a x)t (a x) 2 + y 2 a x cosyt + y sin yt (a x) 2 t= = (a x) 2 + y 2 [ e (a x)t ((a x) cosyt + y sin yt) + x a ]. In modo simile si calcola T = e (a x)t sin ytdt (a x) 2 + y 2 [ e (a x)t ((a x) sin yt y cosyt) + y ].

11 . TRASFORMATA Sommando i due termini otteniamo che, se x a e y, l integrale di Laplace è { lim (a x) 2 + y 2 T + e(a x)t [(a x+iy) cosyt = } i(a x+iy) sin yt] + x a iy non esiste il limite se x < a, x a iy (a x) 2 + y 2 = s a s a 2 = s a se x > a. Il calcolo appena fatto può essere sintetizzato dicendo: Per ogni numero reale a, la funzione F(t) = e at è trasformabile secondo Laplace (complesso). Il dominio della trasformata (complessa) è l insieme {s C : R(s) > a}, e l espressione della trasformata (complessa) è f(s) = /(s a). Sull onda di questo esempio ci aspettiamo che, quando riusciamo a controllare la crescita di F(t) con un esponenziale, la funzione sia trasformabile. Questo è vero in generale. Per esprimerlo chiaramente, introduciamo una definizione. Definizione.2. Diciamo che una funzione F : (, + ) R è di ordine esponenziale se esisistono un numero reale γ ed un numero positivo m tali che F(t) me γt per ogni t >. Vale il seguente teorema: Teorema.2 (Condizione sufficiente di trasformabilità). Sia F : (, + ) R una funzione generalmente continua di ordine

12 2. TRASFORMATA esponenziale γ. Allora la funzione è trasformabile secondo Laplace; inoltre il dominio della trasformata reale contiene la semiretta (γ, + ), mentre il dominio della trasformata complessa contiene il semipiano {R(s) > γ}. Dim. Verificheremo che la funzione t e st F(t) è assolutamente integrabile sull intervallo (, + ) per ogni s > γ. Da ciò segue la nostra tesi perché allora l integrale di Laplace converge per tali s reali (e con minime modifiche si tratta anche l integrale di Laplace complesso). Poiché la proprietà di essere a crescita esponenziale assicura che e st F(t) è limitata per t +, non abbiamo problemi in un intorno destro di t = (qui si tratta di un integrale standard). Per quel che riguarda l altro estremo di integrazione, se s > γ abbiamo e st F(t) me (s γ)t, con s γ <. In particolare, e st F(t) va a zero più velocemente di qualunque potenza /t α con α > (per t + ). Dunque l integrale di Laplace converge per il criterio 3.2. Vediamo con un esempio come possiamo calcolare direttamente la trasformata di Laplace. Esempio.3. Consideriamo la funzione t se < t <, F(t) = 2 se t Si vede che F è generalmente continua, ed è a crescita esponenziale di ordine, infatti F(t) 2 = 2 e t per ogni t >,

13 . TRASFORMATA 3 Dunque il Teorema.2 implica che F è trasformabile, e il dominio della trasformata contiene (, + ). Calcoliamo ora esplicitamente l espressione della trasformata. Dalla definizione stessa abbiamo e st F(t) dt = e st ( t) dt + e st 2dt. Il primo integrale è classico, lo possiamo calcolare con il solito metodo di integrazione per parti successive: [ e st ( t) dt I P = ] t= s e st ( t) e st dt t= = [ s e st ( t) + s ] t= = 2e st s + ( e s ). s 2 Per quel che riguarda il secondo integrale, cominciamo con l osservare che, se s =, ci dà Se, poi, s, ci dà t= e t 2dt = 2 lim (T ) = +. T + lim 2 [ ] e st t=t T + s = 2 t= s = [ e s ] lim T + e st 2 s e s se s >, + se s <. Ricapitolando, abbiamo visto che la funzione F(t) ha come dominio della trasformata l insieme (, + ), e l espressione esplicita della trasformata è L(F(t))(s) = ( ) + 2e s + ( e s ) s >. s s 2

14 4. TRASFORMATA Si noti che è possibile determinare il dominio della trasformata studiando direttamente la convergenza dell integrale di Laplace. Potete già da ora cominciare a calcolare le trasformate di alcune funzioni elementari, che costituiscono i mattoni con cui poi calcoleremo le trasformate di funzioni più complicate. Esercizio 3. (Trasformate elementari). Calcolare le trasformate delle seguenti funzioni, specificandone il dominio. ) F(t) = sin t, 2) F(t) = cost, 3) F(t) =, 4) F(t) = t. svolgimento Esercizio 3.2. Dimostrare che, per ogni n =,,, si ha L(t n )(s) = n! s n+ per ogni s >. svolgimento Per poter fare qualche altro esempio, introduciamo una una funzione speciale, la funzione Gamma, cosí definita: Γ : (, + ) R, Γ(r) := u r e u du. Si osservi che l integrale che definsce la Γ è effettivamente convergente per i Teoremi 3.2 e 3.3. Esercizio 3.3. Dimostrare che, per ogni r >, si ha L(t r )(s) = svolgimento Γ(r + ) s r+ per ogni s >.

15 . TRASFORMATA 5 Osservazione.3. Confrontando gli Esercizi 3.2 e 3.3, otteniamo una utile proprietè della funzione Γ: Γ(n + ) = n! per ogni n =,, Risolvendo questi esercizi potete calcolare direttamente alcune trasformate notevoli, che molti libri riportano su tabelle da imparare a memoria. Non è necessario ricordare a memoria nessuna formula, se si è in grado di ricavarla! È bene sottolineare che il Teorema.2 ci fornisce una condizione sufficiente di trasformabilità, che però non è necessaria. In altre parole, ci sono funzioni che non soddisfano le ipotesi del Teorema.2, ma sono comunque trasformabili. Esempio.4 (Ci sono funzioni trasformabili che non sono a crescita esponenziale, nè generalmente continue). Consideriamo la funzione F(t) = / t. Si osservi che lim / t = +, sicché t + qusta funzione non è generalmente continua, e non è neppure a crescita esponenziale (infatti, comunque scelga m e γ, si ha lim meγt = m < + ). Proviamo a studiare direttamente la t + convergenza dell integrale di Laplace Per t vicino a+, abbiamo e st t dt. e st lim = + se s <, t t che ci assicura che l integrale diverge se s <, per il Teorema 3.. Se invece s, poiché l integrando è positivo possiamo usare i criteri di assoluta convergenza enunciati nei Teoremi 3.2

16 6. TRASFORMATA e 3.3. Prendiamo un qualunque α > ; si ha e st se s >, lim t α = t t + se s =. Dunque certamente esiste un certo T > per cui e st /t α se s >, per ogni t > T. t /t α se s =, Ne segue che l integrale su [T, + ) converge se s >, e diverge se s. Infine, per ciò che concerne l integrale su (, T] abbiamo e st t e st /t 2 per ogni t < T, dove chiaramente /2 <. Dunque il Teorema 3.3 ci assicura che l integrale su [, T] converge se s >. I ragionamenti fin qui svolti possono essere sintetizzati dicendo che la funzione F(t) = / t è trasformabile secondo Laplace (reale) e il dominio della trasformata (reale) è l insieme (, + ). Esercizio 3.4. Stabilire se le seguenti funzioni sono trasformabili e, in caso affermativo, scriverne la trasformata, specificandone il dominio. t ) + t 2, t 2) + t 2, t 3) sin t, 4) cost, t 5) tant, t

17 . TRASFORMATA 7 6) arctant. t Elenchiamo ora alcune proprietà qualitative della trasformata di Laplace. Teorema.4. Sia F : (, + ) R una funzione generalmente continua e di ordine esponenziale γ. Indichiamo con f la sua trasformata di Laplace, e con A il relativo dominio. Valgono le seguenti proprietà: (i) lim f(s) =. s + (ii) Se, inoltre, anche F (t) è generalmente continua e di ordine esponenziale, allora lim F(t) = lim s f(s). t + s + Dim. (i) Calcoliamo, per s > γ, f(s) = e st F(t) dt e st F(t) dt me (s γ)t dt = m s γ. Dunque m lim f(s) lim s + s + s γ =. (ii) Calcoliamo, per s > γ,

18 8. TRASFORMATA s f(s)= s e st F(t) dt = I P = [ e st F(t) ] t=+ t= + d ( ) e st F(t) dt dt e st F(t) dt = lim t + e st F(t) + F( + ) + L(F (t)) (s) = F( + ) + L(F (t))(s), dove abbiamo usato il fatto che lim t + e st F(t) = poiché F è di ordine esponenziale. Passando al limite per s + e applicando la proprietà dimostrata al passo (i) a f(s) = L(F (t)) (s) otteniamo lim f(s) = F() + lim L(F (t)) (s) = F(). s + s + Nel calcolo delle trasformate di Laplace, risultano molto utili alcune proprietà, che possono essere direttamente ricavate dalle proprietà dell integrale. Prima di elencare queste proprietà introduciamo una nuova funzione speciale, la funzione a scalino (o di Heaviside), cosí definita: { se r <, H : R R, H(r) := se r >. Teorema.5 (Proprietà della trasformata di Laplace). Siano F, F e F 2 tre funzioni trasformabili; indichiamo con f, f e f 2 le rispettive trasformate e con A, A e A 2 i rispettivi domini delle trasformate. valgono le seguenti proprietà: Linearità Per ogni c, c 2 R, la funzione c F (t)+c 2 F 2 (t) è trasformabile, il dominio della trasformata è A A 2, e l espressione della trasformata è L(c F (t) + c 2 F 2 (t))(s) = c f (s) + c 2 f 2 (s).

19 . TRASFORMATA 9 I traslazione Per ogni a >, la funzione { se < t < a, F a (t) := F(t a) H(t a) = F(t a) se t > a, è trasformabile 4, il dominio della trasformata è A, e l espressione della trasformata è L(F a (t))(s) = e as f(s). II traslazione Per ogni k R, la funzione F(t)e kt è trasformabile, il dominio della trasformata è {s R : s k A}, e l espressione della trasformata è L(F(t)e kt )(s) = f(s k). Cambio di scala Per ogni a >, la funzione F(at) è trasformabile, il dominio della trasformata è {s R : s/a A}, e l espressione della trasformata è L(F(at))(s) = ( s ) a f. a Per imparare a mettere in pratica ciò che abbiamo visto, potete cimentarvi con il prossimo esercizio: anche qui ci sono alcune cosiddette trasformate notevoli. Esercizio 3.5 (Regole di trasformazione). Calcolare le trasformate delle seguenti funzioni ) F(t) = 3t e 2t, 2) F(t) = sinh t, 3) F(t) = cosh t, 4) F(t) = sin at con a >, 5) F(t) = cosat con a >, 6) F(t) = e t cos 2t, 4 si noti che, in virtù dell Osservazione., è lecito pensare a F a come a una traslazione vestro destra (di lunghezza a) della funzione F

20 2. TRASFORMATA 7) F(t) = max{, (t 4) 3 }, 8) F(t) = 3t 4 2e 3t, 9) F(t) = (t 3) 2, ) F(t) = (sin t cost) 2, ) F(t) = cosh 2 4t, 2) F(t) = ( + te t ) 3, 3) F(t) = sin 2 t. ) 2) 3) 4) 5) svolgimento Esercizio 3.6. Calcolare i seguenti integrali: e 5t e t dt, t + + te 3t costdt, t 3 e t sin t dt, t=+ u=t t= + u= sin 2 t t 2 dt, e tsin u du dt, u svolgimento Vediamo ora altre proprietà che legano trasformata di Laplace, derivata e integrale. Teorema.6 (Altre proprietà). Sia F(t) una funzione generalmente continua di ordine esponenziale ; indichiamo con f(s) la sua trasformata, e con A il rispettivo dominio. Valgono le seguenti proprietà: Derivata se, inoltre, F è derivabile su (, + ), allora per ogni s A si ha L(F (t))(s) = sf(s) F( + ).

21 Integrale Prodotto per t Divisione per t. TRASFORMATA 2 Per ogni s A, s >, si ha ( t ) L F(u)du (s) = s f(s). Per ogni s A si ha L(t F(u)du)(s) = df ds (s). Per ogni s A si ha ( ) + t F(t) (s) = f(u)du. Non riportiamo la dimostrazione di questo Teorema. Alcune delle proprietà elencate sono domostrate negli esercizi; verificate le altre! Le proprietà di derivazione e di prodotto per t stabiliscono un morfismo fra derivazione e moltiplicazione. In modo speculare, le proprietà integrazione e di prodotto per t stabiliscono un morfismo fra integrazione ( l inversa della derivazione ) e divisione ( l inversa della moltiplicazione ). In queste corrispondenze consiste l utilità della trasformazione di Laplace nelle applicazioni, come vedremo in seguito nel Capitolo 3 e nella Parte Per ora, facciamo qualche esercizio per assimilare ed approfondire le proprietà appena viste. Esercizio 3.7. ) Dimostrare che, se F è derivabile n volte (n =, 2, ) e tutte le derivate sono di ordine esponenziale, allora n L(F (n) (t))(s) = s n f(s) s n i F (i) ( + ). 2) Dimostrare che s i= L(t n F(t))(s) = ( ) ndn f ds n (s).

22 22. TRASFORMATA svolgimento Esercizio 3.8. ) Calcolare, senza usare la definizione di trasformata, L(e 5t ). 2) Sia F(t) come nell Esempio.3. Controllare se è vero che L(F (t))(s) = sl(f(t))(s) F( + ). svolgimento Esercizio 3.9. Calcolare le trasformate delle seguenti funzioni: ) F(t) = t cos(3t), 2) F(t) = t 2 sin t, 3) F(t) = e t e 2t. t svolgimento

23 Capitolo 2 L antitrasformata di Laplace Ci poniamo ora il problema di tornare indietro rispetto alla trasformata di Laplace. Precisamente, dato un sottoinsieme A di R (di C) e una cunzione f : A R ( C), ci chiediamo. esiste una funzione F : (, + ) R tale che L(F(t))(s) = f(s) per ogni s A? 2. se tale funzione F esiste, come è fatta? (cioè qual è la sua legge?) 3. ammesso che tale funzione F esista, è unica? Se la risposta alla prima domanda è affermativa, diciamo che la funzione F(t) è una antitrasformata di Laplace di f, e scriviamo L (f(s))(t) = F(t). In generale, non è semplice stabilire se una funzione ammette antitrasformata o meno. Il Teorema.4(i) ci fornisce un utile condizione necessaria: 23

24 24 2. ANTITRASFORMATA Proposizione 2.. Se f(s) ammette un antitrasformata F(t) di ordine esponenziale, allora lim f(s) =. s + Per rispondere alla terza domanda, cerchiamo di capire come devono essere fatte due funzioni F (t) e F 2 (t) per essere entrambe le antitrasformate della stessa funzione f(s). Dovrà valere L(F (t) F 2 (t)) (s) = L(F (t)) (s) L(F 2 (t)) (s) = f(s) f(s) =. Cioè F F 2 deve avere trasformata di Laplace nulla. Siamo sicuri che da questo discende che F F 2 deve per forza essere zero? Vediamo un po, consideriamo la funzione { 27 se t =, 2, G : (, + ) R, G(t) = altrimenti. È facile rendersi conto che, anche se G non è identicamente nulla, la sua trasformata di Laplace è zero. Allora la risposta alla terza domanda è negativa, perché, ad esempio, abbiamo L ( s + 3 ) (t) = e 3t, ma anche ( ) L (t) = e 3t + G(t). s + 3 Per poter fare un discorso più generale, introduciamo una definizione. Definizione 2.. Chiamiamo funzione nulla ogni funzione N : (, + ) R tale che T Si vede poi che N(t)dt = per ogni T >.

25 2. ANTITRASFORMATA 25 Proposizione 2.2. Se N è una funzione nulla, allora L(N). Viceversa, se L(F), allora F è una funzione nulla. Dunque F e F 2 sono due antitrasformate della stessa funzione f se, e solo se, F F 2 è una funzione nulla. Come è fatta una funzione nulla N : (, + ) R che, in più, è anche generalmente continua? Ci deve essere una successione di punti < t < t < 2 < < t n < tale che N(t) = per ogni t t n (n =, 2, ). Nella classe delle funzioni generalmente continue, due funzioni che differiscono per una funzione nulla possono essere considerate identiche. Potete facilmente convincervi che, in questo contesto, non c è nessuna differenza sostanziale fra le due funzioni: F : (, + ) R, F (t) = e 3t, { 27 se t =, 2, F 2 : (, + ) R, F 2 (t) = e 3t altrimenti. Nell ambito dell antitrasformata di Laplace, le funzioni nulle giocano lo stesso ruolo che le costanti giocavano nell ambito della primitiva. Nel seguito chiameremo l antitrasformata una qualunque rappresentante della famiglia delle antitrasformate. Quanto fin qui osservato può essere sintetizzato nel seguente teorema. Teorema 2.3. Nella classe delle funzioni generalmente continue l antitrasformata di Laplace è unica (quando esiste). D accordo, ma come facciamo in pratica a scrivere l espressione dell antrasformata? Purtroppo, a differenza di quanto accade per la trasformata di Fourier, non abbiamo un espressione esplicita dell antitrasformata. Per omparare a calcolare le antitrasformate, cominciamo con

26 26 2. ANTITRASFORMATA l osservare che i calcoli che abbiamo fatto nel capitolo precedente ci forniscono qualche esempio notevole. Esercizio ( ) 3.. Verificare che ) L (t) = e at per ogni a R, ( s a ) a 2) L (t) = sin(at) per ogni a R, ( s 2 + a 2 ) s 3) L (t) = cos(at) per ogni a R, ( s 2 + a 2 ) a 4) L (t) = sinh(at) per ogni a R, ( s 2 a 2 ) s 5) L (t) = cosh(at) per ogni a R, ( s 2 ) a 2 6) L (t) = s n (n )! tn per ogni n =, 2,. Alle proprietà che abbiamo visto per la trasformata, corrispondono proprietà analoghe per la antitrasformata. Teorema 2.4 (Proprietà della antitrasformata di Laplace). Siano f, f e f 2 tre funzioni che ammettono antitrasformata, e indichiamo con F, F e F 2 le rispettive antitrasformate. Valgono le seguenti proprietà: Linearità Per ogni c, c 2 R, la funzione c f (s) + c 2 f 2 (s) ammette antitrasformata e L (c f (s) + c 2 f 2 (s))(t) = c F (t) + c 2 F 2 (t). I traslazione Per ogni a >, la funzione e as f(s) ammette antitrasformata e L ( e as f(s) ) { F(t a) se t > a, (t) = F(t a) H(t a) = se < t < a.

27 2. ANTITRASFORMATA 27 II traslazione Per ogni k R, la funzione f(s k) ammette antitrasformata e Cambio di scala antitrasformata L (f(s k))(t) = e kt F(t). Per ogni a >, la funzione f(as) ammette L (f(as))(t) = a F ( s a Esercizio 3.. Determinare, se esistono, le antitrasformate delle seguenti funzioni: 6s + 7 ) f(s) = s 2 + s 2, 2) f(s) = s3 s 2 4 (s 2 + 4)s, 3 3) f(s) = s4 + 5 s 2 + 3, 4) f(s) = 5) f(s) = (s + 5) 4, s 3 s 2 + 2s 3, 6) f(s) = e π 2 s + s 2, 7) f(s) = e 5s s 3, 3 8) f(s) = 4s 2 9. Abbiamo anche le proprietà che legano antitrasformate, derivate, integrali. Teorema 2.5 (Altre proprietà dell antitrasformata). Sia f(s) una funzione che ammette una antitrasformata F(t), generalmente continua e di ordine esponenziale. Valgono le seguenti proprietà: ).

28 28 2. ANTITRASFORMATA Prodotto per s Se, inoltre, F è derivabile su (, + ), allora Divisione per s L (sf(s))(t) = F (t) + F( + ) δ(t), ( ) f(s) t L (t) = F(u)du. s Derivata Integrale L ( L (f (s)) (t) = tf(t). s ) f(u)du (t) = F(t). t Esercizio 3.2. Calcolare le seguenti antitrasformate: 2s ) f(s) = (s 2 + 6) 2, 2) f(s) = log s 2, s 3) f(s) = s log s 2, s 4) f(s) = s(s 2 + 4). svolgimento Vale un utile proprietà che lega l antitrasformata con il prodotto per convoluzione. Osserviamo che, in virtù dell Osservazione., nell ambito della trasformata di Laplace è lecito pensare al prodotto per convoluzione fra F e G come F G (t) = t F(u)G(t u) du. Teorema 2.6. Siano F e G due funzioni definite su (, + ), generalmente continue e di ordine esponenziale; indichiamo con f e g le rispettive trasformate di Laplace. Allora L(F G (t))(s) = f(s) g(s)

29 2. ANTITRASFORMATA 29 Viceversa, se f e g sono due funzioni che ammettono come antitrasformate, rispettivamente, F e G, allora L (f(s) g(s))(t) = F G (t). Esiste un metodo diretto per calcolare la antitrasformata di una funzione. Esso passa attraverso il calcolo complesso: quasta è la principale ragione per cui hanno interesse le trasformate di Laplace complesse. Teorema 2.7. Sia f(s) una funzione di variabile complessa, e supponiamo che esita un numero reale γ tale che tutte le singolarità di f sono contenute nel semispazio a sinistra (o a destra) della retta s = γ. Se, inoltre, l integrale complesso γ+i γ i e st f(s)ds è finito per ogni t >, allora f è antitrasformabile e vale la formula L (f(s))(t) = γ+i e st f(s)ds. 2πi γ i Per calcolare nella pratica l integrale complesso in questione, possiamo integrare sul circuito C ottenuto intersecando la retta verticale s = γ con una circonferenza centrata nell origine di raggio R. Il Teorema dei Residui afferma che 2πi b(r) a(r) e st f(s)ds = s o polo racchiuso nel circuito Res ( e sot f(s o ) ) e st f(s)ds. 2πi Γ(R)

30 3 2. ANTITRASFORMATA Γ(R) b(r) -R γ a(r) Mandando R a +, il segmento [a(r), b(r)] approssima tutta la retta s = γ, e dunque otteniamo L (f(s))(t) = s o polo a sinistra di s = γ Res ( e sot f(s o ) ) lim e st f(s)ds. R + 2πi Γ(R) Quando il limite che appare a secondo membro è zero, otteniamo una formula molto semplice per il calcolo dell antitrasformata. Corollario 2.8. Sia f una funzione di variabile complessa, e supponiamo che i) esiste un numero reale γ tale che tutte le singolarità di f sono contenute nel semispazio a sinistra della retta s = γ,

31 2. ANTITRASFORMATA 3 ii) esistono tre numeri positivi R, m e k tali che f(s) m s k per ogni s con s > R. Allora f ammette antitrasformata e vale la formula L (f(s))(t) = Res ( e sot f(s o ) ). s o polo a sinistra di s = γ Potete testare il nuovo metodo calcolando direttamente alcune antitrasformate che già conoscete: Esercizio 3.3. Calcolare in modo diretto le antitrasformate delle seguenti funzioni: ) f(s) = s 5, 2) f(s) = s s 2 4. Esercizio 3.4. Calcolare in modo diretto le antitrasformate delle seguenti funzioni: ) f(s) = (s )(s 2 + 4), s 2) f(s) = (s 2 + ) 2, 3) f(s) = (s a)(s + 3) 2, dove a è un numero reale fissato, 4) f(s) = sinh s, 5) f(s) = s cosh s. svolgimento

32

33 Capitolo 3 Equazioni differenziali ordinarie con metodo di Laplace Abbiamo visto nel Teorema.6 che la trasformata di Laplace agisce sulle derivate trasformandole in prodotti per s. Questa proprietà ci fornisce un interessante metodo per risolvere le equazioni differenziali ordinarie (nel seguito, O.D.E., che sta per Ordinary Differential Equation). Illustriamo l idea di questo metodo attraverso un esempio giocattolo. Esempio 3.. Vogliamo risolvere l equazione differenziale ordinaria a coefficienti costanti: { Y (t) 3Y (t) =, per ogni t >, Y () = 4. Trasformando la ODE otteniamo L(Y (t) 3Y (t)) (s) = L()(s); 33

34 34 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE usando la linearità e calcolando la trasformata a secondo membro otteniamo L(Y (t))(s) 3L(Y (t)) = s. Applicando la regola di trasformazione della derivata otteniamo L(Y (t))(s) = s L(Y (t))(s) Y (). Ricordando che il valore di Y in è assegnato come dato di Cauchy otteniamo L(Y (t))(s) = s L(Y (t))(s) 4. Concludendo, la ODE dà luogo all equazione algebrica nella nuova funzione incognita s y(s) 4 3 y(s) = s y(s) := L(Y (t))(s). Attraverso questo esempio, abbiamo verificato che Applicando la trasformata di Laplace, possiamo trasformare una O.D.E. a coefficienti costanti nell incognita Y (t) in una equazione algebrica nella incognita y(s) := L(Y (t))(s). Il dato iniziale per la O.D.E. (Y () = 4) compare dentro l equazione algebrica ottenuta. Ora, possiamo risolvere l equazione algebrica in y: (s 3)y(s) = 4 + s cioè y(s) = 4 s 3 + s(s 3), e infine ritornare indietro per trovare la soluzione della O.D.E. di partenza ( ) 4 Y (t) = L (y(s))(t) = L s 3 + (t). s(s 3)

35 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE 35 Per calcolare l antitrasformata, decomponiamo in fratti semplici: da cui s(s 3) = 3(s 3) 3s, Y (t) = L ( 4 s 3 + = L ( 3 3 3(s 3) 3s s 3 3s ) (t) ) (t) = 3 3 e3t 3. Per sicurezza, verifichiamo che la Y così ottenuta risolve la O.D.E. Y (t) 3Y (t) = 3 e 3t 3 e 3t + =, e soddisfa il dato di Cauchy Y () = = 2 3 = 4. Ovviamente quasto metodo può essere usato anche per O.D.E. in cui compaiono derivate di ordine superiore. Esempio 3.2 (Ordine superiore). Vogliamo risolvere l equazione differenziale ordinaria a coefficienti costanti: { Y (t) + 4Y (t) = 9t, per ogni t >, Y () =, Y () = 7. Trasformando la ODE otteniamo cioè L(Y (t) + 4Y (t)) (s) = L(9t)(s), L(Y (t)) (s) + 4L(Y (t)) (s) = 9 s 2. Per poter procedere come nel caso precedente, dovremo porre y(s) := L(Y (t))(s)

36 36 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE e poi dovremo scrivere L(Y (t)) in funzione di y. Ricordiamo che L(Y (t))(s) = s L(Y (t))(s) Y () = s y(s) (dove abbiamo usato uno dei due dati di Cauchy), e dunque L(Y (t))(s) = s L(Y (t))(s) Y () = s (s y(s)) 7 = s 2 y(s) 7 (dove abbiamo usato l altro dato di Cauchy). Concludendo, la ODE dà luogo all equazione algebrica s 2 y(s) y(s) = 9 s 2 nella nuova funzione incognita y(s) := L(Y (t))(s). Ora, possiamo risolvere l equazione algebrica in y: (s 2 + 4)y(s) = s 2 cioè y(s) = 7 s s 2 (s 2 + 4), e infine ritornare indietro per trovare la soluzione della O.D.E. di partenza ( ) 7 Y (t) = L (y(s))(t) = L s (t). s 2 (s 2 + 4) Per calcolare l antitrasformata, decomponiamo in fratti semplici: 9 s 2 (s 2 + 4) = 9 4s 2 9 4(s 2 + 4), da cui ( Y (t) = L 9 4(s 2 + 4) + 9 ) (t) = 9 4s 2 8 sin(2t) t. Esercizio 3.5. Risolvere la seguente O.D.E. { Y (t) + 4Y (t) + 3Y (t) = t e t, per ogni t >, Y () =, svolgimento Y ( π 2) =.

37 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE 37 Esercizio 3.6. Determinare, al variare della funzione F, la soluzione dell O.D.E. { Y (t) + 4Y (t) = F(t), per ogni t >, Y () =, Y () =. Usando la formula di rappresentazione appena ottenuta, determinare la soluzione quando ) F(t) = H(t 3) (H funzione di Heaviside), 2) F(t) = δ(t 3) (δ funzione di Dirac). svolgimento Vediamo ora, tramite un altro esempio, come funziona il nostro metodo se proviamo ad applicarlo ad una O.D.E. a coefficienti variabili. Esempio 3.3 (Coefficienti variabili). Risolviamo la O.D.E. a coefficienti variabili: { t Y (t) + ( 2t)Y (t) 2Y (t) =, per ogni t >, Y () =, Y () = 2. Come nei casi precedenti, poniamo y(s) := L(Y (t))(s) e calcoliamo L(Y (t))(s) = s L(Y (t))(s) Y () = s y(s), L(Y (t))(s) = s L(Y (t))(s) Y () = s 2 y(s) s 2. In realtà, trasformando la O.D.E. a coefficienti variabili otteniamo L(t Y (t))(s) + L(Y (t))(s) 2L(t Y (t))(s) 2L(Y (t))(s) =, dunque per poter andare avanti dobbiamo esprimere L(t Y (t)) e L(t Y (t)) in funzione di y(s). Utilizzando il Teorema.6

38 38 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE otteniamo L(t Y (t)) (s)= d ds L(Y (t))(s) = d (s y(s) ) ds = y(s) s y (s), L(t Y (t)) (s)= d ds L(Y (t))(s) = d ds (s2 y(s) s 2) = 2s y(s) s 2 y (s) +. Pertanto, applicando la trasformata di Laplace alla O.D.E. a coefficienti variabili, otteniamo 2s y(s) s 2 y (s)++s y(s) +2 (y(s) + s y (s)) 2 y(s) = cioè (2 s)y (s) y(s) =. Applicando la trasformata di Laplace alla O.D.E. a coefficienti variabili, otteniamo una nuova O.D.E. nella nuova incognita y(s). In generale, non avremo dei dati di Cauchy per questa nuova O.D.E., ma dovremo a posteriori determinare i parametri in modo da riottenere, tornando indietro, la soluzione della O.D.E. di partenza. Cerchiamo la soluzione generale della nuova O.D.E.: d ds log(y(s)) = y (s) y(s) = s 2 = d ds log s 2 e dunque y(s) = c s 2, dove c può essere una qualunque costante in modo che c/(s 2) > nel dominio di y(s) (ovvero nel dominio della trasformata di Y (t). Infine torniamo indietro calcolando ( ) c Y (t) = L (t) = ce 2t. s 2

39 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE 39 Per concludere, dobbiamo determinare la costante c. A tal scopo, controlliamo che siano effettivamente soddisfatte le condizioni di Cauchy della O.D.E. di partenza: Y () = ce = c( = ), Y () = 2ce = 2c( = 2 ). Dunque l unico valore della costante c per cui sono soddisfatte le condizioni di Cauchy è c =, da cui Y (t) = e 2t. Esercizio 3.7. Risolvere la seguente O.D.E. a coefficienti variabili: { Y (t) + t Y (t) + Y (t) =, per ogni t >, Y () =, Y () =. svolgimento Proviamo ora ad usare il nostro metodo per risolvere sistemi di O.D.E. Come sempre, partiamo da un esempio concreto. Esempio 3.4 (Sistema). Proviamo a risolvere il sistema: Y (t) + Z (t) = t, per ogni t >, Y (t) Z(t) = e t, per ogni t >, Y () = 3, Y () = 2, Z() =. Applicando la trasformata di Laplace alle due equazioni che costituiscono il sistema otteniamo { L(Y (t))(s) + L(Z (t))(s) = s 2, L(Y (t))(s) L(Z(t))(s) = s+ Poniamo allora y(s) := L(Y (t))(s), z(s) := L(Z(t))(s) e calcoliamo L(Y (t))(s) = s y(s) 3, L(Y (t))(s) = s (s y(s) 3) + 2 = s 2 y(s) 3s + 2, L(Z (t))(s) = s z(s).

40 4 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE Sostituendo { s y(s) 3 + s z(s) = s 2, s 2 y(s) 3s + 2 z(s) = s+ ovvero { y(s) + z(s) = + 3, s 3 s s 2 y(s) z(s) = + 3s 2 s+ Applicando la trasformata di Laplace ad un sistema di O.D.E. a coefficienti costanti, otteniamo un sistema algebrico nelle nuove incognite y(s) := L(Y (t))(s) e z(s) := L(Z(t))(s). Possiamo ora risolverlo scrivendolo in forma matriciale ( ) ( ) y(s) s 2 = z(s) s s s + + 3s 2 e applicando il metodo di riduzione alla matrice completa associata ( ) ( ) + 3 s 3 s + 3 s 2 + 3s 2 s 3 s s s s+ s+ s 3 s sicché z(s) = s 3 3 s y(s) y(s) = ( s 2 + s+ + 3s 2 + s + 3 ) 3 s = 3s s s (s 2 +)(s+) + s 3 (s 2 +) + 3 s(s 2 +). Per ottenere le soluzioni del sistema di partenza, dovremo calcolare le antitrasformate Y (t) = L (y(s))(t) ( = 3 cost 2 sint ) +L (s 2 + )(s + ) + s 3 (s 2 + ) + 3 (t), s(s 2 + ) Z(t) = L (z(s)) (t) = 2 t2 3 Y (t).

41 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE 4 Per concludere dovremo calcolare le antitrasformate di e 3. Per quel che riguarda il primo, lo decomponiamo in fratti s 3 (s 2 +) s(s 2 +) semplici: (s 2 +)(s+), (s 2 +)(s+) = A+Bs s C s+ = As+A+Bs2 +Bs+Cs 2 +C, (s 2 +)(s+) sicché Dunque L ( A + C = A + B = B + C = (s 2 + )(s + ) cioè A = C = 2, B = 2. ) = 2 L ( s 2 + = 2 sin t 2 cost + 2 e t. Decomponiamo anche il secondo in fratti semplici: s s ) s + = A+Bs+Cs2 + D+Es s 3 (s 2 +) s 3 s 2 + = As2 +A+Bs 3 +Bs+Cs 4 +Cs 2 +Ds 3 +Es 4, s 3 (s 2 +) sicché A = B = A + C = B + D = C + E = Dunque ( ) L s 3 (s 2 +) cioè A =, B =, C =, D =, E =. ( = L s 3 s + s ) = s t2 + cost.

42 42 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE Per quel che riguarda il terzo, usando la proprietà di divisione abbiamo ( ) L 3 t ( ) 3 (t) = L (u) du s(s 2 +) s 2 + = t 3 sin u du = 3 ( cost). Abbiamo infine Y (t) = 2 cost 3 2 sin t + 2 e t + 2 t2 + 2, Z(t) = 3 2 sin t 2 e t. Concludiamo con un esempio tratto dai circuiti elettrici. Sappiamo che la quantità di carica in funzione del tempo (Q(t)) in un circuito RCL è regolata dalla legge di Kirchoff LQ (t) + RQ (t) + Q(t) C = E, dove L sta per l induttanza, R per la resistenza, C per la capacità ed E per la forza elettromotrice. Per risolvere il sistema dovremo cononescere lo stato iniziale, assegnato mediante la carica iniziale Q o e la corrente iniziale I o = Q (). Otteniamo così un equazione del decondo ordine con dato di Cauchy in t =. Esempio 3.5. Consideriamo un circuito con induttanza e capacità unitarie, resistenza e forza elettromotice costanti, inizialmente in quiete. Esso è descritto dalla O.D.E. { Q (t) + RQ (t) + Q(t) = E per ogni t >, Q() =, Q () =.

43 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE 43 Ponendo q(s) = L(Q(t))(s) e applicando la trasformata di Laplace all equazione otteniamo s 2 q(s) + Rsq(s) + q(s) = E s Pertanto la carica Q è data da Q(t) = L ( Osservando che otteniamo Q(t) = E = E t s 2 + Rs + = = E t t cioè q(s) = E s(s 2 + Rs + ) ) (t) ( ) L (u) du. s 2 + Rs + L ( ( s + R ) 2 + R2 2 4, ( s + R 2 e R 2 u L ( ) 2 + R 2 4 s 2 + R2 4 ) E s(s 2 + Rs + ). ) (u) du (u) du. Quest ultima antitrasformata dipende pesantemente dal segno di l := R2 4. Se l >, cioè < R < 2, abbiamo Q(t) = E t e R 2 u l sin( lu) du. Integrando ripetutamente per parti giungiamo a ( E Q(t) = ) 2 [ e R2 t cos( lt) + R )] + l 2 l sin( lt). ( R 2

44 44 3. O.D.E. CON METODO DI LAPLACE Se l =, cioè R = 2, abbiamo Q(t) = E da cui, integrando per parti, Q(t) = E 2R 2 t Se l <, cioè R > 2, abbiamo Q(t) = E t e R 2 u 2 u du, [ e R2 t ( + R2 t )]. e R 2 u l sinh( l u) du. Con calcoli simili a quelli già fatti in precedenza giungiamo a [ ( E Q(t) = ) 2 e R 2 t cos( )] l t) + R + l 2 l sin( l t). ( R 2

45 Complementi Teorema 3.. (condizione necessaria di convergenza per gli integrali generalizzati). Sia a un numero reale, e f : [a, + ) R una funzione continua per cui esiste il limite lim f(t) (finito t + o infinito). Se l integrale converge, allora si ha che a f(t)dt lim f(t) =. t + Teorema 3.2. (criterio per l assoluta convergenza degli integrali generalizzati vicino a + ). Sia a un numero reale, e f : [a, + ) R una funzione continua, per cui esiste il limite lim t + f(t) (finito o infinito). Allora l integrale a f(t) dt converge se, e solo se, esistono due numeri reali c e α, con α >, tali che f(t) c/t α per ogni t a. Teorema 3.3. (criterio per l assoluta convergenza degli integrali generalizzati vicino a ). Sia a un numero reale positivo, 45

46 46 COMPLEMENTI e f : (, a] R una funzione continua, per cui esiste il limite lim f(t) (finito o infinito). Allora l integrale t + a f(t) dt converge se, e solo se, esistono due numeri reali c e α, con α <, tali che f(t) c/t α per ogni t a....torna su

47 COMPLEMENTI 47 Definizione 3.. Siano dati un intervallo I (chiuso o aperto, limitato o illimitato) ed una funzione f : I R. Diciamo che la funzione f è assolutamente integrabile sull intervallo I se f(x) dx < +, I di quadrato integrabile sull intervallo I se f 2 è assolutamente integrabile, ovvero f(x) 2 dx < +, I generalmente continua sull intervallo I se Caso I (I è limititato) esistono un numero infinito di punti x < x < < x k contenuti in I tali che i) f è continua in tutti i punti di I, esclusi al più x, x,, x k, ii) nei punti x i (con i =,,, k), f ammette limite destro e sinistro, ed essi sono finiti. Caso II (I è illimititato) f è generalmente continua (secondo la definizione data nel I caso) su ogni intervallo limitato contenuto in I regolare a tratti sull intervallo I se sia f che la sua derivata f sono generalmente continue su I. Se f è una funzione generalmente continua, si introduce la cosiddetta funzione normalizzata: (3.) f (x) := 2 [ f(x ) + f(x + ) ], dove f(x ) := lim t x f(t), f(x+ ) := lim t x + f(t).

48 48 COMPLEMENTI Queste definizioni erano già state introdotte nella Parte 2, a cui vi rimando per ulteriori approfondimenti.

49 Svolgimento dell esercizio 3.. COMPLEMENTI 49 ) Se s, l integrale di Laplace non converge per il Teorema 3.. Se, poi, s >, abbiamo [ e st sin t dt = ] t + s 2 + e st (s sin t + cost) t= = s 2 + dove abbiamo utilizzato i conti svolti nell Esempio.2, con s al posto di a x e al posto di y. Dunque L(sin t)(s) = s 2 + per ogni s >. 2) Anche in questo caso, sfruttando i conti svolti nell Esempio.2, otteniamo [ ] t + e st costdt= ( s cost + sin t) s 2 + 2e st t= = s s 2 + se s >, mentre se s l integrale di Laplace non converge per il Teorema 3.. Dunque L(cost)(s) = s per ogni s >. s 2 + 3) Calcoliamo e st dt = s [ e st ] t + t= = s se s >, mentre se s l integrale non converge per il Teorema 3.. Dunque L()(s) = s per ogni s >.

50 5 COMPLEMENTI 4) Se s >, abbiamo e st tdt = [ ts e st s ] t + = 2e st s 2, dove abbiamo integrato per parti due volte per calcolare l integrale. Se, invece, s, il Teorema 3. implica che l integrale non converge. Dunque t= L(t)(s) = s 2 per ogni s >. Svolgimento dell esercizio torna su Ragioniamo per induzione su n. Certamente l affermazione è vera per n = (l abbiamo verificato nell Esercizio 3..3). Supponiamo poi che l affermazione sia vera per n, e deduciamone che è vera anche per n +. Prendiamo s > e calcoliamo e st t n+ dt I P = ] t + [ e st s tn+ + n + t= s = n + L(t n )(s). s + e st t n dt. Poiché stiamo supponendo che la nostra tesi sia vera per n, otteniamo L(t n+ )(s) = n + s n! (n + )! =. sn+ s n+2 Segue allora dal Principio di Induzione che la tesi è vera per ogni n =,,....torna su Svolgimento dell esercizio 3.3. Se s >, effettuando il cambiamento di variabile u = st nell integrale di Laplace

51 abbiamo L(t r )(s) = COMPLEMENTI 5 e st t r dt = s r+ e u u r du = Γ(r + ) s r+. Se invece s, si vede subito che il corrispondente integrale di Laplace diverge a +....torna su Svolgimento dell esercizio 3.5. ) Applicando la proprietà di linearità si ottiene L(3t e 2t )(s) = 3L(t)(s) L(e 2t )(s) = 3 s s + 2, per ogni s che sta contemporaneamente sia nel dominio di L(t) (che è (, + )), che nel dominio di L(e 2t ) (che è ( 2, + )), ovvero per ogni s >. 2) Ricordiamo che sinh t = et e t, 2 dunque applicando la proprietà di linearità si ottiene L(sinh t)(s) = 2 L(et )(s) 2 L(e t )(s) = 2(s ) 2(s + ) = s 2 per ogni s > max{, } =. 3) Ricordiamo che cosh t = et + e t, 2 dunque applicando la proprietà di linearità si ottiene L(cosh t)(s) = 2 L(et )(s) + 2 L(e t )(s) = 2(s ) + 2(s + ) = s s 2 per ogni s > max{, } =.

52 52 COMPLEMENTI 4) Applicando il cambio di scala otteniamo L(sin at)(s) = ( s ) a L(sin t) = a per ogni s >. 5) Applicando il cambio di scala otteniamo L(cosat)(s) = ( s ) a L(cost) = a a ( s 2 a 2 + ) = s a a ( s 2 a 2 + ) = per ogni s >. 6) Applicando la II proprietà di traslazione si ottiene L(e t cos 2t)(s) = L(cos 2t)(s + ) = per ogni s >. 7) Osserviamo che max{, (t 4) 3 } = a s 2 + a 2 s s 2 + a 2 s + s 2 + 2s + 5 { (t 4) 3 se t > 4, se t 4. Dunque possiamo applicare la I proprietà di traslazione che ci dà L(max{, (t 4) 3 })(s) = e 4s L(t 3 )(s) = 6 e 4s s 4 per ogni s >. 8) In virtù della linearità si ottiene L(3t 4 2e 3t )(s) = 72 s 5 2 s 3 per ogni s > 3. 9) Ci sarebbe la tentazione di dire, usando a sproposito la I proprietà di traslazione, che L((t 3) 2 )(s) = e 3s L(t 2 )(s).

53 In realtà si ha L((t 3) 2 )(s) = = e 3s COMPLEMENTI 53 e st (t 3) 2 dt u=t 3 = e su u 2 du = e 3s 3 + e s(u+3) u 2 du 3 e su u 2 du + L(t 2 )(s). Sviluppando ulteriormente i calcoli otteniamo L((t 3) 2 )(s)= e 3s [ s e su u 2 2 s 2e su u 2 s 3e su ] u + per ogni s >. ) Osserviamo che = 9 s 6 s s 3 (sin t cos t) 2 = 2 sin 2 (t) cos 2 (t) = sin 2t, 2 sicché L ( (sin t cost) 2) (s) = L ( 2 ) sin 2t per ogni s >. ) Poiché abbiamo ( e cosh 2 4t + e 4t (4t) = 2 L ( cosh 2 4t ) (s) = 4 = 4(s 8) }{{} se s>8 per ogni s > max{ 8, 8, } = 8. u= 3 (s) = s s ) 2 = ( e 8t + e 8t + 2 ), 4 ( e 8t + e 8t + 2 ) (s) + 4(s + 8) }{{} se s> 8 + 2s }{{} se s>

54 54 COMPLEMENTI 2) Poiché abbiamo ( + te t ) 3 = + t 3 e 3t + 3t 2 e 2t + 3te t, L ( ( + te t ) 3) = L() + L ( t 3 e 3t) + 3L ( t 2 e 2t) + 3L ( te t) = L() (s) + L ( t 3) (s + 3) + 3L ( t 2) (s + 2) + 3L(t) (s + ) 3! 2! (s + 3) 4 (s + 2) 3 = s }{{} se s> }{{} se s+3> per ogni s > max{, 3, 2, } =. 3) Poiché si ha }{{} se s+2> s + }{{} se s+> = s + 6 (s + 3) (s + 2) s + sin 2 t = [ ( 2 sin 2 t )] = [ cos 2t], 2 2 L ( sin 2 t ) (s) = [L() (s) L(cos(2t))(s)] (s) 2 = [ s ] = 2 }{{} s } s 2 {{ + 4 } 2s s 2(s 2 + 4). se s> se s> per ogni s >. Svolgimento dell esercizio torna su ) Dalla definizione di trasformata abbiamo e 5t e t dt = t e te 4t dt = L t ( e 4t t ) ().

55 Poiché otteniamo ( ) e 4t L (s)= t 2) Abbiamo 3) Si ha 4) Ponendo abbiamo t=+ u=t t= COMPLEMENTI 55 = e 5t e t dt= t [ = s + s L ( e 4t ) (u)du ( u + 4 ) du, u ( u + 4 u log u + 4 u ] u=+ u= ) du = log5. te 3t costdt = L(t cost) (3) = d ds L(cos t) s=3 = d s = s2 s=3 = 2 ds s 2 + s=3 (s 2 + ) t 3 e t sin tdt = L ( t 3 sin t ) () = ( ) 3 d3 ds 3 L(sin t) s= u= e tsin u u F(t) = du dt = u=t u= t=+ t= sin u u du, D altra parte, per ogni s > si ha L (F(t))(s) = ( ) sin t s L (s) = t s e t F(t) dt = L (F(t))(). s L (sin t)(u) du.

56 56 COMPLEMENTI Pertanto t=+ u=t t= u= e tsin u u dudt = L (sin t) (u)du....torna su

57 Svolgimento dell esercizio 3.7. COMPLEMENTI 57 ) Ragioniamo per induzione. Se n =, dobbiamo in sostanza verificare la prima proprietà elencata nel Teorema.6. Integrando per parti otteniamo L(F (t))(s) = e st F (t)dt I P [ = lim e st F(t) ] t=t + s e st F(t)dt t=τ T + τ + = lim T + e st F(T) lim e sτ F(τ) + sf(s). τ + Poiché F è di ordine esponenziale, otteniamo lim T + e st F(T) m lim T + e(γ s)t = se s > γ. D altra parte certamente lim τ + e sτ F(τ) = F( + ); sicché si ha in effetti L(F (t))(s) = sf(s) F( + ). Supponiamo poi che la formula sia vera per n, e proviamo che ( vale per n +. Cominciamo col ricordare che F (n+) (t) = F (n) (t) ), sicché applicando la formula con n = otteniamo d dt L ( F (n+) (t) ) ( d ( (s)= L F (n) (t) )) (s) dt = s L ( F (n) (t) ) (s) F (n) ( + ).

58 58 COMPLEMENTI Poiché stiamo supponendo che la formula sia vera per n, otteniamo L ( F (n+) (t) ) ( ) n (s) = s s n f(s) s n i F (i) ( + ) F (n) ( + ) i= n = s n+ f(s) s n+ i F (i) ( + ) F (n) ( + ) = s n+ f(s) i= n s n+ i F (i) ( + ), che è appunta la formula scritta per n+. La tesi segue allora dal Pincipio di Induzione. 2) Anche in questo caso procediamo per induzione. Innanzitutto verifichiamo la formula per n = (cioè dimostriamo la terza proprietà elencata nel teorema). Si ha df ds (s)= d ds = i= e st F(t)dt te st F(t)dt = L(t F(t))(s), dove abbiamo derivato (rispetto al parametro s) sotto il segno di integrale. Supponiamo poi che la formula sia vera per n, e proviamo che vale per n +. Si ha L(t n+ F(t))(s) = L(t t n F(t))(s) = d ds L(tn F(t))(s), dove abbiamo usato la formula per la potenza di t. Ora l ipotesi induttiva ci garantisce che L(t n+ F(t))(s) = d ( ) ( ) ndn f ds ds (s) = ( ) n+dn+ f (s), n dsn+ come richiesto.

59 COMPLEMENTI 59 Svolgimento dell esercizio torna su ) Per la definizione di trasformata si ha ( ) e 5t e t e 5t e t dt = L (), t t che, per la proprietà di divisione per t, risulta uguale a + L ( e 5t e t) (u) du = + ( u + 5 ) du u + [ = log u + 5 ] u + = lim logv log5 = log u + v u= 5. 2) Per la definizione di trasformata si ha te 3t costdt = L(t cost) (3), che, per la proprietà di moltiplicazione per t, risulta uguale a d ds (L(cost) (s)) s=3 = d ( ) s ( ds ) s 2 + s=3 s 2 = = 2 (s 2 + ) 2 s= ) Per la definizione di trasformata si ha t 3 e t sin tdt = L ( t 3 sin t ) (), che, grazie alla proprietà di moltiplicazione per t n, è uguale a ( ) ( ) 3 d3 ds (L(sin t)(s)) s= = d3 3 ds 3 s 2 + s= = 8s 2 s2 (s 2 + ) 4 s= = 2.

60 6 COMPLEMENTI 4) Ponendo si ha F(t) = u=t u= sin u u du t=+ u=t t= u= e tsin u u du dt = t=+ t= e t F(t) dt = L(F(t))(). D altra parte, usando prima la regola di trasformata dell integrale, poi di divisione per t, si ottiene Infine L(F(t))(s)= L( ) sint + t (s) L(sin t) (u) du s = s s = π s + u du = arctan s 2. 2 s t=+ u=t t= u= s e tsin u π u dudt = arctan 2 5) Per definizione di trasformata si ha sin 2 t dt = L t 2 ( sin 2 t t 2 ) (). = π 4. D altra parte usando due volte la regola di divisione per t, si ottiene ( ) sin 2 t + ( ) sin 2 t L (s) = L (u) du t 2 t = s u=+ v=+ u=s v=u L ( sin 2 t ) (v) dv du.

61 Sicché, per l Esercizio 3.5.3, ( sin 2 ) t L (s) = t 2 e infine I P = 2 [ = 2 u log sin 2 t dt = lim t 2 s + COMPLEMENTI 6 u + v + u=s u + u=s u2 + 4 = [ u v=u ( 2 v v ) dv du v [ logv ] v + 2 log du v v=u = u + u2 + 4 log du 2 u ] u + u=s u=s + 2 u + u=s 4 u du [ ] 2 u log u arctan u u + u 2 u=s = 2 s log s2 + 4 s 2 slog s2 + 4 s + π 2 arctan s 2, + π 2 arctan s 2 ] = π 2. Svolgimento dell esercizio torna su ) Poniamo G(t) = e 5t, e osserviamo che G (t) = 5G(t). Segue allora per linearità che L(G (t))(s) = 5L(G(t))(s),

62 62 COMPLEMENTI mentre per la proprietà di trasformazione delle derivate si ha che L(G (t))(s) = s L(G(t))(s) G() = s L(G(t))(s). Uguagliando le due espressioni si ottiene e dunque 5L(G(t))(s) = s L(G(t))(s) (s 5)L(G(t))(s) = cioè L(G(t))(s) = s 5. 2) Poiché la funzione F(t) introdotta nell Esempio.3 ha una discontinuità di tipo salto in t =, le ipotesi del Teorema.6 non valgono. Proviamo a calcolare direttamente la trasformata. Si ha { se < t <, F (t) = se t > ; dunque L(F (t))(s) = e st dt = s ( e s ). La formula standard ci darebbe invece [ ( s ) + 2e s + ( e s )] = 2e s + ( e s ). s s 2 s Che fine ha fatto il pezzo 2e s? Possiamo recuperare la formula se ci ricordiamo che, quando F ha una discontinuità di tipo salto in un certo punto t o, vale la formula corretta L(F (t))(s) = sl(f(t))(s) F( + ) e tos [ F(t + o ) F(t o ) ]. Infatti nel nostro caso si ha t o = e e tos [ F(t + o ) F(t o ) ] = 2e s.

63 COMPLEMENTI 63 Svolgimento dell esercizio torna su ) Applicando la proprietà di moltiplicazione per t si ottiene L(t cos(3t)) (s)= d ds L (cos(3t)) (s) = d ( ) s ds L s = s2 9 (s 2 + 9) 2, per ogni s >. 2) Usando la proprietà di moltiplicazione per t n (vedi Esercizio 3.7.2) si ha L ( t 2 sin t ) (s) = d2 d2 L (sin t) (s) = ds2 ds 2 = d ( 2s ) ds (s 2 + ) 2 ( ) s 2 + = 2 3s2 (s 2 + ) 3, per ogni s >. 3) Applicando la proprietà di divisione per t si ottiene ( ) e t e 2t L (s) = L ( e t e 2t) (u)du t s = + s ( u + ) u 2 [ du = lim log u + ] u=t T + u 2 u=s = lim T + logt + T 2 logs + s 2 = lim logv log s + v s 2 = logs 2 s + per ogni s > max{, 2} = 2....torna su

64 64 COMPLEMENTI Svolgimento dell esercizio 3.2. ) Osservando che 2s (s 2 + 6) 2 = d ds ( ) s e applicando la proprietà che lega derivata e antititrasformata si ottiene ( L (f(s)) (t)= L d ( )) (t) ds s = tl ( s ) (t) = t 4 sin(4t). 2) Osserviamo che, poichè lim f(s) =, si ha s + ( f(s) = f (u) du = s ) du. s 2 s Dunque, usando la proprietà che lega integrale e antitrasformata si ottiene ( ( L (f(s))(t) = L s s ) ) du (t) s 2 = ( t L s ) (t) = e2t. s 2 t 3) Utilizzando la proprietà che lega antitrasformata e prodotto otteniamo L (f(s))(t) = d ( dt L log s 2 ) ( (t) L log s 2 ) () δ(t). s s Possiamo così utilizzare quanto visto nell esercizio precedente: L (f(s))(t) = d ( ) e 2t e 2τ lim δ(t). dt t τ + τ s

65 Per la regola di De l Hôpital mentre ( ) d e 2t dt t sicché e 2τ lim τ + τ COMPLEMENTI 65 = lim τ + 2e2τ = 2, = 2te2t ( e 2t ) t 2 = ( 2t)e2t t 2, L (f(s))(t) = ( 2t)e2t + 2 δ(t). Osserviamo che (usando ancora De l Hôpital) lim f(s) = lim 2s = 2. s + s + s 2 Ciò non contraddice il Teorema.4(i), perché l antitrasformata di f non è generalmente continua! 4) Utilizzando la proprietà che lega antitrasformata e divisione otteniamo t ( ) t L (f(s))(t) = L (u) du = sin(2u) du s = [ 4 ] u=t cos(2u) = ( cos 2t). 4 u= In realtà, potevamo anche calcolare questa antitrasformata decomponendo f in fratti semplici da cui e dunque f(s) = A s + B + Cs s = As2 + 4A + Bs + Cs 2, s(s 2 + 4) A = 4, B =, C = A = 4 L (f(s))(t) = 4 L ( s t 2 s ) (t) = ( cos 2t). s

66 66 COMPLEMENTI...torna su

67 COMPLEMENTI 67 Definizione 3.2. se f e g sono due funzioni definite su tutto R, a quadrato integrabile e generalmente continue, il loro prodotto per convoluzione è una nuova funzione, che indichiamo con F G, definita come segue f g (x) = f(y)g(x y)dy....torna su

68 68 COMPLEMENTI Svolgimento dell esercizio 3.4. ) È evidente che f(s) m/ s 3 per s grande. Inoltre, comunque prendiamo t >, la funzione e st /(s )(s 2 + 4) presenta un polo semplice in s =, con residuo e t /5, un polo semplice in s = 2i, con residuo uguale a e st (s 2i) e st = = e 2it (s )(s 2 + 4) s=2i (s )(s + 2i) s=2i 4(2 + i) un polo semplice in s = 2i, con residuo uguale a e st (s + 2i) e st = = e2it (s )(s 2 + 4) s= 2i (s )(s 2i) s= 2i 4(2 i) Otteniamo cosí ( ) L (t) = (s )(s 2 + 4) 5 e t e 2it (2 i) + e 2it (2 + i) 4(2 + i)(2 i) = 5 e t 4 cos 2t + 2 sin 2t 2 = 5 e t 5 cos 2t + sin 2t...torna su