Richiami su alcuni concetti di base

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1 PARTE I FUNZIONI DI UNA VARIABILE Capitolo Richiami su alcuni concetti di base Questo capitolo preliminare contiene una sintesi estremamente succinta delle principali nozioni e dei simboli matematici che verranno utilizzati nel seguito del testo. Senza pretesa di essere esaustivo, esso vuole costituire un dizionarietto tascabile da consultare ogni qual volta il lettore non si ricorda la definizione di un concetto utilizzato nel testo, concetto che peraltro si presuppone sia già stato studiato in precedenza. Per ulteriori approfondimenti sulle nozioni di base si rinvia a qualsiasi testo utilizzato nei precorsi di matematica delle facoltà di Economia.. Insiemi Assumiamo la nozione di insieme come primitiva e non ne diamo una definizione. L intuizione è che un insieme è una collezione di oggetti. Per definire un insieme si può fornire la lista degli elementi che contiene; ad esempio, A = {a, b, c} è l insieme delle prime tre lettere dell alfabeto, N = {,, 2, 3, 4,...} è l insieme dei numeri naturali. Per insiemi contenenti tanti (o infiniti) oggetti è più comodo individuare un insieme mediante una proprietà che accomuna tutti i suoi elementi; ad esempio, A = {prime tre lettere dell alfabeto}, N = {i numeri naturali}. Infine, una rappresentazione astratta dell insieme (utile se si studiano relazioni o operazioni fra insiemi) è fornita dai diagrammi di Venn; ad esempio, la figura. riporta l insieme A = {a, b, c}. Indicheremo con lettere (o simboli) minuscole, ad esempio, a, b, c, gli elementi di un insieme e con lettere maiuscole, ad esempio, A, B, C, l insieme stesso. Il simbolo denota l appartenenza di un elemento a un insieme: la scrittura a A indica che l elemento a appartiene all insieme A, mentre la scrittura a/ A indica che a non appartiene a A. Per definire la proprietà che caratterizza gli elementi di un insieme usiamo i due punti :, che si legge tale che ; ad esempio, F = {n N : n 5} è l insieme dei numeri naturali (tali) che sono minori o uguali a 5. A =.b.a.c FIGURA.: A = {a, b, c}. L insieme vuoto è l unico insieme privo di elementi e si indica con ; esso contiene gli elementi caratterizzati da una proprietà impossibile. Un testo consigliabile è, ad esempio, [3].

2 2 Capitolo Due insiemi, A e B, si dicono uguali se ogni elemento di A appartiene a B e ogni elemento di B appartiene a A; scriveremo A = B. B si dice essere sottoinsieme di A se tutti i suoi elementi appartengono a A; in simboli, B A significa che B è sottoinsieme proprio, mentre B A significa che B è sottoinsieme improprio. I simboli e indicano l inclusione insiemistica. Nel primo caso esiste almeno un elemento di A che non è in B, mentre il secondo caso (detta inclusione debole) contempla la possibilità che A = B, significa, cioè, che tutti gli elementi di B sono in A ma non è noto se esiste un elemento di A che non sta in B. Ad esempio, F = {n N : n 5} N, mentre se A = B = {a, b, c} sono valide le tre scritture B A, A B o A = B, di cui l ultima fornisce l informazione completa. La tabella. riassume il significato dei simboli logici che useremo nel seguito. Simbolo Significato appartenente a per ogni (quantificatore universale) esiste (quantificatore esistenziale) = implicazione logica biimplicazione logica (equivalenza) : tale che e (connettivo logico, et latino: entrambi, contemporaneamente) o, oppure (connettivo logico, vel latino: o uno, o l altro, o entrambi) TABELLA.: Significato dei simboli più usati. Ad esempio, è equivalente scrivere B A oppure B = A [ovvero (B A) ( B = A)]; l ultima espressione si legge per ogni elemento in B, segue (implica) che appartiene anche a A, oppure, in forma di proposizione, se appartiene a B, allora (implicazione logica), appartiene a A. L espressione oggi piove fa freddo significa che oggi piove e fa freddo contemporaneamente, mentre oggi piove fa freddo significa che oggi piove oppure fa freddo (almeno uno dei due casi) oppure piove e fa freddo contemporaneamente. Si dice unione di due insiemi A e B, e si indica con A B,l insieme degli elementi che appartengono a A oppure a B: A B = { :( A) ( B)}. Ad esempio, se A = {n N : n 5} e B = {n N :2 n 7}, allora A B = {n N : n 7}. Si dice intersezione di due insiemi A e B, e si indica con A B, l insieme degli elementi che appartengono a entrambi gli insiemi A e B: A B = { :( A) ( B)}. Ad esempio, se A = {n N : n 5} e B = {n N :2 n 7}, allora A B = {n N :2 n 5}. Segli insiemi A e B sono disgiunti, la loro intersezione è vuota, A B =. Un insieme costituito da un solo elemento si chiama singleton. Ad esempio, Se A = {,, 2} e B = {, }, l insieme intersezione è un singleton, A B = {}. Attenzione a non confondere l unico elemento di un singleton con l insieme (il singleton) stesso, sono due concetti ben distinti! Si dice differenza di due insiemi A e B, nell ordine, e si indica con A B, l insieme degli elementi che appartengono a A e non appartengono a B: A B = { :( A) ( / B)}. Ad esempio, se A = {,, 2} e B = {, }, allora A B = {, 2}. Se A e B sono disgiunti vale A B = A; ad esempio, se A = {n N : n 5} e B = {n N : n 6}, allora A B = A = {n N : n 5}. Infine, se A = B oppure A B, allora A B = ; ad esempio, se A = {n N : n 5} e B = {n N : n 7}, allora A B =. Si dice insieme universale (o insieme ambiente) l insieme più ampio che contenga gli insiemi

3 Richiami su alcuni concetti di base 3 rilevanti oggetto di studio; di solito si indica con E oconx. Quando si lavora con insiemi numerici, l insieme universale viene di solito indicato nella parentesi graffa a sinistra dei due punti, cioè prima del simbolo tale che ; ad esempio, l insieme {n N : n 5} è un sottoinsieme dell ambiente E = N, mentre l insieme { R : 5} è un sottoinsieme di un ambiente ben più vasto, l insieme dei numeri reali, indicato con R, per cui E = R. Dato l insieme universale E, sidiceinsieme complementare dell insieme A E, e si indica con A c, l insieme contenente tutti gli elementi di E A c E che non stanno in A: A c = E A = { E : / A}. Notazioni equivalenti sono: A c, CA oppure A. La figura.2 mostra l insieme universale A E e l insieme complementare A c con l ausilio dei diagrammi di Venn. Ad esempio, se E = N e A = {n N :(n =2m) (m N)}, allora A c = {n N :(n =2m +) (m N)}, ovvero A è l insieme dei numeri pari mentre A c è l insieme dei numeri dispari. FIGURA.2: E e A c..2 I numeri Non diamo la costruzione analitica rigorosa dell insieme dei numeri reali che costituisce l insieme delle particelle elementari con le quali andremo a costruire i principali strumenti matematici utilizzati in economia. Ci limitiamo ad osservare che tale insieme corrisponde all insieme deipunti che formano una retta; in altre parole, per i nostri scopi è sufficiente la rappresentazione intuitiva dei numeri reali come i punti di una retta. In realtà, i numeri reali sono oggetti molto complicati e il loro insieme ha una struttura molto intricata e oscura, e immaginarli come i punti di una retta non aiuta molto, essendo la retta stessa (come, del resto il concetto di punto) un concetto primitivo anch esso piuttosto involuto. Questa corrispondenza, però ha il vantaggio di consentire sempre una rappresentazione grafica dei fenomeni che studieremo e aiuta la comprensione, almeno a livello unità di misura FIGURA.3: i numeri naturali sulla retta. intuitivo, delle principali proprietà dei numeri. Un sottoinsieme importante dei numeri reali è l insieme dei numeri naturali, N = {,, 2, 3,...}, che ci permette di contare gli oggetti. Una volta fissata un origine (che chiameremo zero, ), un unità di misura e un verso di percorrenza (per convenzione, da sinistra verso destra), è facile rappresentare i numeri naturali sulla retta, come mostra la figura.3. Già questo sottoinsieme ci permette di definire una proprietà importantissima che caratterizza anche i numeri reali e che sfrutta il verso di percorrenza introdotto: la struttura d ordine dei numeri. La relazione d ordine fra i numeri si indica con i simboli di disuguaglianza < e >. Ad esempio, se m, n N sono tali che n si trova a destra di m (ovvero m si trova a sinistra di n) sulla retta, scriveremo m<n(oppure n>m). Analogamente, se n si trova a sinistra di m (ovvero m si trova a destra di n) sulla retta, scriveremo m>n(oppure n<m). I numeri naturali permettono inoltre di introdurre un concetto matematico fondamentale estremamente ostico: il concetto di infinito. Esso non è altro che una possibile risposta alla domanda quanti sono i numeri naturali?, ovvero, alla sua equivalente in senso dinamico a che punto (della retta) bisogna smettere di contare? Poiché è insito nell istinto umano cercare di superare qualsiasi barriera, si è deciso di non smettere mai, aprendo così orizzonti alle scienze matematiche altrimenti impensabili. Questa considerazione suggerisce una definizione di infinito (per i numeri naturali) come la proprietà che per ogni numero n N esiste sempre un numero più grande m N, cioè

4 4 Capitolo tale che m>n; in simboli: n N, m N : m>n. Si può pensare all infinito come alla conclusione della retta verso destra, conclusione che peraltro non esiste e quindi non può essere un numero! Indicheremo questo oggetto astratto con il simbolo +. unità di misura FIGURA.4: i numeri interi sulla retta. La medesima costruzione sulla retta a partire dallo zero, però disponendo i numeri (con un segno davanti) da destra verso sinistra, genera l insieme dei numeri interi, Z = {..., 3, 2,,,, 2, 3,...}, come mostra la figura.4. Questa costruzione per simmetria presuppone che la struttura d ordine dei numeri negativi sia del tipo < < < < <. L idea di procedere sulla retta verso sinistra, ancora una volta senza fermarsi mai, porta all introduzione di un concetto di infinito analogo a quello precedente, che indicheremo con per distinguerlo da (= ) FIGURA.5: la successione /n per n che tende a +. Per (incominciare a) riempire gli spazi sulla retta fra un numero intero e l altro in figura.4 si introducono i numeri frazionari q definiti come rapporto fra numeri interi, i quali costituiscono l insieme dei numeri razionali, Q = {q = m/n : m, n Z}. La figura.5 mostra che è possibile associare una successione (infinita) di numeri razionali, ciascuno definito da /n, n N, a (infiniti) punti della retta che si trovano tra e. In modo analogo, è possibile associare successioni (infinite) di numeri a (infiniti) punti della retta che si trovano nello spazio fra coppie qualsiasi di numeri interi. Addirittura, presa qualsiasi coppia di numeri razionali distinti, p = m/n e q = m /n, è possibile inserire infiniti numeri razionali (punti sulla retta) fra di essi. Questa proprietà si chiama densità dei numeri razionali: fra due numeri razionali distinti qualsiasi (e quindi arbitrariamente vicini!) esistono infiniti numeri razionali. Per convincersi di ciò, si consideri, ad esempio, i due numeri espressi in forma decimale 2 p =2.587 e q =2.588, è chiaro che il numero r = ètalechep<r<q, e un operazione analoga si può fare per la coppia p, r (oppure r, q), continuando così indefinitamente (all infinito...). I numeri razionali, pur essendo tanti (infiniti tra ciascuna coppia di numeri razionali) non sono sufficienti per ricoprire tutta la retta, esistono ancora dei buchi nascosti in mezzo ai razionali, talmente nascosti che per dimostrare la loro esistenza è necessario ricorrere a dimostrazioni analitiche (è impensabile cercare di individuarli direttamente come punti della retta!). Tali numeri sono detti irrazionali (perché non sono esprimibili come rapporto m/n con m, n Z); esempi importanti sono radice di due, 2.442, che è la lunghezza della diagonale di un quadrato con lato unitario, pi greco, π 3.459, che misura la lunghezza della semi-circonferenza di raggio, e il numero di Nepero, e , che per noi sarà molto importante. Concludiamo dunque che l insieme dei numeri reali R è l insieme unione dei numeri razionali Q e l insieme (poco visibile ) dei numeri irrazionali. Poiché i numeri irrazionali non sono direttamente utilizzabili per fare i calcoli, diventa essenziale la possibilità di approssimare i numeri irrazionali con numeri razionali (che sappiamo gestire 2 Per non creare confusione con la notazione usata per gli intervalli, che discuteremo nel prossimo paragrafo, utilizziamo la convenzione americana per indicare le cifre decimali: essa presuppone l utilizzo del punto. al posto della virgola, comunemente usata in Italia.

5 Richiami su alcuni concetti di base 5 direttamente oppure mediante l uso di calcolatori). Il prossimo teorema dice che qualsiasi numero R (anche irrazionale) è approssimabile da un numero razionale arbitrariamente vicino a. TEOREMA. (DENSITÀ DEI RAZIONALI NEI REALI) Fra due numeri reali (indifferentemente razionali o irrazionali) distinti qualsiasi (e quindi arbitrariamente vicini) esistono infiniti numeri razionali; ovvero, comunque presi, R tali che <, esiste sempre un numero q Q tale che <q<. Ad esempio, il numero.442 fornisce un approssimazione per difetto (perché?) del numero irrazionale 2 con precisione fino alla quarta cifra decimale. Tale numero è razionale perché è esprimibile nella forma m/n con m, n interi:.442 = 442/. Volendo migliorare la precisione fino alla settima cifra decimale, otteniamo un approssimazione per eccesso (perché?): E possiamo continuare indefinitamente ad aggiungere cifre decimali (c è uno spazio infinito a destra della virgola decimale di qualsiasi numero...) migliorando di volta in volta l approssimazione..3 Sottoinsiemi importanti di R I seguenti sottoinsiemi assumono un importanza strategica, come avremo modo di apprezzare nel seguito: la semiretta positiva con l origine inclusa, R + = { R : }; la semiretta positiva con l origine esclusa, R ++ = { R : >}; la semiretta negativa con l origine esclusa, R R + = { R : <}. Un altra tipologia di sottoinsiemi fondamentale è costituita dagli intervalli di R. DEFINIZIONE. Dati due numeri reali (punti sulla retta) a, b R, inclusi i simboli a = e/o b =+, si dice intervallo l insieme di tutti i numeri reali compresi fra a (detto estremo inferiore) e b (detto estremo superiore). Bisogna distinguere i casi in cui gli estremi a e b sono o meno compresi nell intervallo. Alcuni esempi, rappresentati in figura.6, sono l intervallo chiuso [a, b] ={ R : a b}, che contiene gli estremi a e b, l intervallo aperto (a, b) ={ R : a<<b}, con gli estremi a e b esclusi, l intervallo né aperto né chiuso (semiaperto a destra) [a, b) ={ R : a <b}, che contiene solamente l estremo a mentre l estremo b è escluso, e l intervallo semiaperto e illimitato (a destra) [a, + ) ={ R : a}, con l estremo a incluso. [ a ] b ( a ) b [ a ) b [ a (c) (d) FIGURA.6: rappresentazione di alcuni intervalli; [a, b];(a, b); (c)[a, b); (d)[a, + ). È facile immaginare come si rappresentino gli intervalli (a, b] ={ R : a< b} (semiaperto a sinistra) e il generico intervallo semiaperto e illimitato a sinistra (,a]={ R : a}. Se uno degli estremi è il simbolo + o, l intervallo è necessariamente aperto in quell estremo poiché esso, per definizione, può contenere solo numeri, e + o non sono numeri. Si noti che anche le semirette R + =(, + ), R + =[, + ) e R ++ =(, + ) sono intervalli. Introduciamo ora un tipo particolare di intervallo di cui faremo molto uso nel seguito: l intorno.

6 6 Capitolo DEFINIZIONE.2 Si dice intorno (circolare) di un punto (numero) c, detto centro, di raggio δ>, e si indica con I δ c, l intervallo aperto (c δ, c + δ); cioè l insieme I δ c = { R : c δ<<c+ δ}. (.) ( c δ c c + δ FIGURA.7: intorno di c di raggio δ. ) La figura.7 rappresenta graficamente l intorno. Per definizione gli estremi c δ e c + δ non sono inclusi, ovvero l intorno è sempre un intervallo aperto. Di solito l intorno viene usato per rappresentare intervalli piccoli; il raggio δ, dunque, assumerà valori piccoli. Sfruttando quest idea possiamo riscrivere la (.) come I δ c = { R : c <δ}, (.2) in cui si evidenzia il fatto che Ic δ è l insieme dei punti che distano da c meno della lunghezza δ. Per definizione, il valore assoluto individua la distanza tra due punti, e c, in quanto misura la lunghezza da percorrere tra un punto e l altro indipendentemente dal verso di percorrenza (dal segno di tale lunghezza); vale infatti: { c se c c = (.3) ( c) =c se c<. La (.3) spiega perché la (.2) e la (.) si equivalgono: il valore assoluto individua contemporaneamente entrambi i casi della (.) tenendo conto dei punti che distano da c meno di δ eche si trovano sia a sinistra di c che a destra di c. Ad esempio, l insieme I7 2 = { R : 7 < 2} è l intorno di centro c = 7e raggio δ = 2, è cioè l intervallo (7 2, 7+2)=(5, 9)..4 Funzioni DEFINIZIONE.3 Dati due sottoinsiemi X e Y di R, sidicefunzione reale di (una) variabile reale una legge che associa a ogni elemento X uno e un solo elemento Y. NOTAZIONE. L insieme X R si dice dominio o campo di esistenza (anche insieme di partenza), mentre l insieme Y R si dice codominio (anche insieme di arrivo). La funzione si indica con una lettera minuscola, di solito f (oppure g,h ecc.), e si scrive = f (). Il dominio è un informazione necessaria, la sola scrittura = f (), se non è accompagnata da una descrizione dettagliata dell insieme X, è priva di significato! Spesso si scrive f : X Y che contiene, appunto, dominio X e codominio Y. Il dominio X si indica anche con Dom (f), oppure con CE, campo di esistenza, quando è chiaro a quale funzione f si fa riferimento. La variabile X si dice variabile indipendente (o argomento). Per evidenziare il percorso inverso, da a, il numero viene chiamato anche controimmagine di tramite f. La variabile Y si dice variabile dipendente o valore di f o anche elemento immagine di tramite f. L insieme di tutte le immagini di tutti gli elementi X tramite f, ovvero tutti i valori possibili assunti dalla f, si chiama immagine di f e si indica con Im (f). Formalmente: Im (f) ={ Y : X tale che = f ()}.

7 Richiami su alcuni concetti di base 7 Naturalmente vale Im (f) Y, come illustra la figura.8. Ad esempio, sia X = Y = R e consideriamo la funzione che associa ad ogni numero R il suo doppio: scriveremo dunque =2 R, ovvero f () =2. Non c è dubbio che si tratti di una funzione perché a ciascun numero reale corrisponde un unico valore doppio, =2. È comodo rappresentare graficamente una funzione come curva nel piano. A tal fine, dobbiamo prima stabilire in modo rigoroso cosa intendiamo per piano. X =Dom(f) f Y Im (f) FIGURA.8: rappresentazione di una funzione f con i diagrammi di Venn. DEFINIZIONE.4 Si chiama spazio numerico reale bidimensionale, e si indica con R 2, l insieme delle coppie ordinate (, ) di numeri reali, cioè l insieme R 2 = {(, ) :( R) ( R)}. Il piano cartesiano è la rappresentazione geometrica degli elementi (coppie di numeri) di R 2. Il piano cartesiano è costruito mediante due rette ortogonali orientate detti assi cartesiani, chiamate asse delle ascisse e asse delle ordinate, fissando l origine in prossimità dell intersezione delle rette (lo zero per entrambe le rette) e fissando due unità di misura (non necessariamente uguali). In questo modo possiamo far coincidere ogni coppia ordinata (, ) di numeri reali con un punto P del piano cartesiano univocamente individuato dalle coordinate (detta ascissa) e (detta ordinata) come in figura.9. L ordine delle coordinate è fondamentale; ad esempio, è evidente che alle due coppie di numeri 3 (, 2) e (2, ), composte dagli stessi numeri ma in ordine inverso, corrispondono due punti distinti. Sono di interesse i seguenti sottoinsiemi di R 2 : R 2 + = { (, ) R 2 :( ) ( ) } R 2 ++ = { (, ) R 2 :(>) ( >) } ; unità di misura unità di misura P =(, ) FIGURA.9: un punto P di coordinate (, ) in R 2. il primo contiene tutte le coppie (, ) di numeri non negativi e si chiama ortante positivo, oprimo ortante, il secondo contiene tutte le coppie (, ) di numeri strettamente positivi, è cioè l ortante positivo esclusi i punti sugli assi cartesiani. I rimanenti tre ortanti determinati dall intersezione dei due assi cartesiani si chiamano, seguendo il verso antiorario, secondo, terzo e quarto ortante. La struttura di R 2, basata su coppie di coordinate (, ), si presta naturalmente a rappresentare le coppie, argomento di una funzione f,e = f (), elemento immagine di tramite f. DEFINIZIONE.5 Data f : X Y,doveX, Y R, sidicegrafico di f il sottoinsieme G f dello spazio R 2 definito da G f = { (, ) R 2 : = f () }. Il grafico di una funzione è dunque una curva nel piano. 3 Attenzione: in questo contesto, la scrittura (, 2) non va confusa con l intervallo aperto (, 2), che indica il sottoinsieme di R (e non di R 2!) { R :<<2}.

8 8 Capitolo.4. Funzioni elementari La funzione costante f () =c associa a ciascun numero reale il valore (costante) c R. La figura. riporta un paio di esempi. Dom (f) =R e Im (f) ={c}, cioè l immagine contiene un singolo elemento (è un singleton) c R. Poiché la variabile dipendente è in realtà indipendente dalla variabile indipendente, spesso si identifica la funzione costante con il simbolo, che si legge identità, scrivendo f () c. La funzione identica f () = associa a ciascun numero reale se stesso. Il grafico della funzione identica è la bisettrice del primo e terzo ortante, è la retta a 45 gradi, come mostra la figura.. Dom (f) =R e Im (f) =R. La funzione affine f () =m+q, dove m, q R sono parametri (costanti, è l unica variabile della funzione), si dice impropriamente anche funzione lineare. La figura.(c) riporta il grafico della funzione affine definita dai parametri m =/2 e q =: si tratta di una retta. Il parametro m si chiama pendenza (della retta), o coefficiente angolare, e q si chiama intercetta con l asse delle ordinate. Chiaramente, Dom (f) = R e Im (f) = R. Tale funzione gode della proprietà che il rapporto fra le differenze tra coordinate è ovunque costante ed è uguale a m, cioè, per qualsiasi coppia di coordinate, (, ) e (, ), appartenenti al grafico di f () = m + q, valem = ( ) / ( ).Sem =abbiamo la funzione costante f () =q, mentre se m =e q =, otteniamo la funzione identica (non a caso, entrambe hanno una retta come grafico). La funzione valore assoluto è la naturale generalizzazione della funzione identica. È definita a pezzi, cioè è l unione di due (semi) rette di pendenza m =e m = a seconda che la variabile indipendente assuma valori positivi oppure negativi. Analiticamente: { se (cioè se R+ ) f () = = se < (cioè se R R + ). Ad esempio, =, 2 =2, 2 =2ecc.. Il suo grafico è riportato in figura.(d), da cui si vede che Dom (f) =R e Im (f) =R +. Questa funzione trasforma qualsiasi numero (negativo o positivo) in un numero positivo: se è positivo allora lo lascia invariato, =, altrimenti, se è negativo, lo trasforma nel suo opposto, =. La funzione quadrato trasforma nel prodotto di per se stesso: f () = 2 = (). Ilgrafico è riportato in figura.(e), dove si vede che si tratta di una parabola orientata verso l alto con asse di simmetria l asse delle ordinate e con vertice l origine. Anche in questo caso Dom (f) =R e Im (f) =R +. Anche f () = 2 trasforma qualsiasi numero in numero positivo. c c 2 q = (c) (d) (e) (f) FIGURA.: f () =c per c> e c < ;f () =; (c)f () =(/2) +;(d)f () = ; (e) f () = 2 ; (f) f () =. La funzione radice f () = è definita in modo analitico come la soluzione dell equazione

9 Richiami su alcuni concetti di base 9 2 = ; l elemento immagine =, cioè, è il numero reale che moltiplicato per se stesso restituisce il valore della variabile indipendente. ValeDom (f) =Im(f) =R + : la funzione radice trasforma numeri non negativi in numeri non negativi. La figura.(f) ne riporta il grafico. Le funzioni 2 e, combinate assieme, forniscono una definizione alternativa di valore assoluto: = 2. I polinomi di secondo grado sono la generalizzazione della funzione quadrato vista in precedenza. L espressione analitica generica è f () =a 2 + b + c, dove i parametri a, b e c possono essere qualsiasi numero reale. Il grafico è una generica parabola verticale, cioè con asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate, orientata verso l alto oppure verso il basso. Dominio e immagine variano a seconda dei valori dei parametri a, b e c, e sono facilmente individuabili per via grafica. Vediamo qualche caso particolare.. Se a =otteniamo la funzione affine già vista con m = b e q = c: f () =b + c. 2. Se b = c = distinguiamo due casi: se a> otteniamo parabole con vertice nell origine orientate verso l alto (in particolare abbiamo la funzione quadrato per a =), come mostra la figura.; se a< otteniamo parabole con vertice nell origine orientate verso il basso, come mostra la figura.. 3. Se b =e a otteniamo parabole simmetriche rispetto all asse delle ordinate (il cui vertice giace sull asse delle ordinate) traslate verso l alto per c> e traslate verso il basso per c<; la figura.(c) mostra qualche esempio. 4. Se, oltre a, c, anche b, otteniamo generiche parabole verticali con vertice V avente coordinate ( b/ (2a), Δ/ (4a)), dove Δ è detto discriminante evaleδ=b 2 4ac. Si veda la figura.(d) per un esempio con a>, b> e Δ=b 2 4ac <. a> a> a> a = a< a = a< c> a> c< a< Δ 4a V b/ (2a) (c) (d) FIGURA.: grafici di f () =a 2 + b + c per diversi valori dei parametri: b = c =e a>; b = c =e a<;(c)b =e a, c ;(d)a>, b> e Δ=b 2 4ac <. La funzione razionale fratta è definita da f () = a + b c + d, (.4) dove i parametri a, b, c e d possono essere qualsiasi numero reale, con l accortezza che c e d non siano contemporaneamente nulli. Si tratta della generalizzazione della funzione reciproca, f () = / =. Il grafico è una generica iperbole con asintoti paralleli agli assi cartesiani. Dominio e immagine variano a seconda dei valori dei parametri a, b, c e d; in particolare saranno entrambi tutto R tranne un punto. Vediamo qualche caso particolare.

10 Capitolo. Se a = d =, la (.4) diventa f () =k/, conk = b/c, c. Gli assi dell iperbole (asintoti) sono esattamente gli assi cartesiani: f non è definita per =e tende a per che tende a + e. Le figure.2 e.2 mostrano alcuni grafici di f per diversi valori di k. Nel caso particolare k =, cioè b = c, ritroviamo la funzione reciproca f () = /, il cui grafico si chiama iperbole equilatera. Dom (f) =R {} e Im (f) =R {}. 2. Se a, b, c, d, f è rappresentata graficamente da un iperbole con assi (asintoti) paralleli agli assi cartesiani. L asse verticale è la retta che interseca l asse delle ascisse nel punto = d/c, punto in cui si annulla il denominatore in (.4), mentre l asse orizzontale è la funzione costante f () =a/c, cioè è la retta orizzontale che interseca l asse delle ordinate nel punto = a/c. Pertanto, Dom (f) =R { d/c} e Im (f) =R {a/c}. Sivedala figura.2(c) per un esempio con a>, c> e d<. k> k = k< k< a/c d/c (c) FIGURA.2: grafico di f () =k/ per k>; grafico di f () =k/ per k<; (c) grafico di f () =(a + b) / (c + d) per a>, c> e d<..4.2 Funzioni implicite Dopo aver associato ad una funzione espressa in forma analitica dall equazione = f () una curva del piano come rappresentazione geometrica del suo grafico ci poniamo ora il problema inverso: data una qualsiasi curva sul piano R 2, esiste una funzione che ha quella curva come grafico? Più specificamente, data una curva sul piano cartesiano espressa analiticamente mediante un equazione che coinvolge entrambe le variabili e, ci chiediamo se da tale equazione è possibile estrarre un equazione del tipo = f () che esprime una funzione reale di una variabile reale. Indichiamo con g (, ) un espressione numerica 4 in cui compaiono entrambe le variabili e. DEFINIZIONE.6 L insieme dei punti (, ) R 2 che soddisfano un equazione del tipo g (, ) =c, (.5) dove c R è un parametro fissato, si chiama luogo geometrico. L equazione (.5) si chiama equazione in forma implicita. La rappresentazione del luogo nel piano cartesiano, ovvero il suo grafico, è una curva. Sec =, la (.5) assume la forma standard 5 g (, ) =. (.6) 4 Vedremo nel paragrafo 8.5 che g (, ) è a tutti gli effetti una funzione reale di due variabili reali e. 5 Si noti che le due forme (.5) e (.6) sono equivalenti perché la prima equazione può essere trasformata nella seconda sommando c a entrambi i termini e la seconda può essere trasformata nella prima sommando c a entrambi i termini.

11 Richiami su alcuni concetti di base Se la relazione tra le variabili e espressa dall equazione (.5) è una funzione, allora è possibile esplicitare la variabile e scrivere = f () al posto di g (, ) = c, ovvero, in questo caso, il luogo geometrico (la curva) definito da (.5) viene espresso in modo equivalente dalla funzione in forma esplicita = f (), e l equazione originaria equivalente g (, ) =c prende il nome di funzione implicita, e la curva individuata dall equazione in forma implicita è il grafico della funzione f (). Se, da un lato, non tutte le curve rappresentate da equazioni in forma implicita sono il grafico di qualche funzione, dall altro, essendo l espressione analitica di una funzione essa stessa un equazione, = f (), è sempre possibile esprimere una funzione esplicita in forma implicita: basta riscrivere l equazione = f () come g (, ) = f () =. ESEMPIO. L equazione =c, dove c R è una qualsiasi costante, esprime una funzione implicita. Infatti, ricaviamo = f () = c, dove si vede che il termine a destra, f (), è un polinomio di secondo grado. ESEMPIO.2 Consideriamo l equazione in forma implicita =. (.7) Per verificare se tale equazione è o meno una funzione implicita cerchiamo di isolare la da tutto il resto, fino a ottenere una forma che esprima la in funzione della. Applicando ben note regole sulle equazioni, 6 perveniamo facilmente alla: = f () = (.8) che ha senso per 2/3 e rappresenta senz altro una funzione razionale fratta del tipo discusso nel paragrafo precedente, con Dom (f) =R {2/3}. Dunque, la forma implicita (.7) è una funzione implicita e descrive una curva che è il grafico della funzione definita in (.8) riportato in figura.3. Vediamo un paio di esempi di equazioni in forma implicita che non sono esplicitabili nella forma = f (). ESEMPIO.3 Una circonferenza di centro l origine e raggio r> è esprimibile analiticamente dall equazione = r 2, (.9) /3 2/3 che è l equazione in forma implicita g (, ) =c con g (, ) = e c = r 2. La figura.4 mostra un esempio di tale circonferenza: è evidente che essa non può rappresentare il grafico di una funzione perché a ogni ( r, r) verrebbero associati due valori distinti di. Proviamo comunque a esplicitare la in funzione della in (.9); sommando 2 a entrambi i termini otteniamo l equazione 2 = r 2 2, che costituisce già la fine del FIGURA.3: la curva definita da (.7) è il grafico di f () =( +4)/ (3 2). nostro percorso perché esistono due valori distinti (opposti) di che la soddisfano: = r 2 2 e 2 = r 2 2. Deduciamo che non è possibile estrarre una funzione dall equazione (.9). 6 Da questi primi esempi in avanti faremo un uso pesante delle regole per la risoluzione di equazioni e disequazioni. Suggeriamo un approfondito ripasso di tali regole al lettore che ne sentisse il bisogno.

12 2 Capitolo ESEMPIO.4 Una retta si esprime in forma implicita con l equazione a + b = c. (.) I parametri a, b e c sono numeri qualsiasi. La forma esplicita della funzione affine (che ha una retta come grafico), f () =m+q, non è in grado di generare rette verticali (perché tali curve non potrebbero essere il grafico di una funzione); diversamente, la (.) è in grado di farlo. Ma procediamo con ordine. Per esplicitare la variabile nell equazione (.), sommiamo a a entrambi i termini ottenendo b = c a. Quest operazione è lecita per qualsiasi valore dei parametri a, b e c. Per isolare la, dobbiamo moltiplicare entrambi i termini /b, ma questo richiede di imporre la restrizione b ; ed è proprio questa restrizione che esclude la retta verticale come rappresentazione grafica della funzione affine esplicita f () = m + q. Se b, otteniamo la forma esplicita: = c/b (a/b), (.) che è proprio l espressione della funzione affine, f () =m + q, conm = a/b e q = c/b. L equazione (.) descrive tutte le rette possibili, per ogni valore di a, b e c con b, tranne quella verticale che si ottiene dalla forma implicita (.) proprio ponendo b =. Se b =, la (.) diventa a = c, che ha senso se a, e quindi possiamo riscrivere come = c/a, che è il punto in cui la retta verticale interseca l asse delle ascisse, come mostra la figura.4. Il prossimo esempio evidenzia quanto più potente sia la rappresentazione in forma implicita rispetto alla forma funzionale esplicita. ESEMPIO.5 La forma implicita della funzione radice consente di disegnare una curva più ampia di quella vista in figura.(f): la sua forma implicita in realtà rappresenta un intera parabola con asse orizzontale. La funzione radice = è definita come quel numero che moltiplicato per se stesso restituisce l argomento, cioè, per definizione, è tale che che equivale all equazione in forma implicita 2 =, (.2) 2 =. (.3) Se interpretiamo la (.2) come = f () = 2 otteniamo l espressione funzionale di una parabola con gli assi invertiti, in cui, cioè, abbiamo sostituito l asse delle ascisse con l asse delle ordinate e viceversa (la variabile è diventata la variabile dipendente e la variabile è diventata la variabile indipendente). In altre parole, la curva espressa dalla forma implicita (.3) è una parabola orizzontale. Si vede immediatamente che è impossibile esplicitare la (.3) [o la (.2)] rispetto alla perché la soluzione dell equazione presuppone di associare a ciascun due valori distinti, = e il suo opposto 2 =, come evidenzia la figura.4(c). Si noti che il ramo superiore della parabola coincide con la funzione radice della figura.(f). Negli esempi precedenti abbiamo cercato di esplicitare in funzione di. Nessuno ci vieta di indagare se è possibile esplicitare anche (o solo) in funzione di ottenendo una funzione = h () equivalente alla forma implicita g (, ) =c. In questo caso si tratterà di isolare la da tutto il resto nella forma implicita di partenza, fino a ottenere una forma del tipo = h (). ESEMPIO.6 Data la forma implicita 2 3 =, esplicitiamo sia = f () che = h (). Ciò è possibile perché la forma implicita rappresenta una retta che non è parallela ad alcuno dei due assi cartesiani. Vale 2 =3 =(3/2), quindi

13 Richiami su alcuni concetti di base 3 la prima funzione è f () =(3/2), mentre per la seconda svolgiamo 3 =2 ottenendo h () =(2/3). =(2/3) r? r r? c/a (c) FIGURA.4: curve che non rappresentano grafici di funzioni; circonferenza definita da = r 2 ; rette verticali, definite da a = c (cioè a + b = c con b =);(c)parabola orizzontale definita da 2 =. ESEMPIO.7 Data la forma implicita 2 +4 =, esplicitiamo = f (). Vale 2 = 4 + =( 4) / 2, dove l ultimo passaggio ha senso per. Quindi la forma implicita rappresenta il grafico della funzione f () =( 4) / 2 definita per. Verifichiamo che in questo caso non è possibile esplicitare = h (): vale 2 +4 = ( +4)=e dobbiamo bloccarci perché non è possibile separare la dalla. Provando a dividere per otterremmo 2 +4(/) =/; anche questa strada è impercorribile..5 Funzioni invertibili Data una funzione f : X Y, X, Y R, ci chiediamo se esiste un altra funzione g : Y X tale che a ogni Y associa esattamente il punto X da cui si parte per arrivare a = f (). In altre parole, se f associa a, esiste una funzione che fa il percorso inverso, cioè che associa al punto? La figura.5 illustra il problema con i diagrammi di Venn. La figura.5 invece mostra questo percorso inverso direttamente sul grafico di una data funzione f. Poiché vogliamo che g sia anch essa una funzione, è chiaro che quest ultima non deve associare più di un elemento di X a ciascun elemento di Y ; cioè vogliamo evitare una situazione del tipo indicato in figura.5(c). In altre parole, affinché una funzione f sia invertibile, bisogna evitare che punti distinti in X abbiano lo stesso elemento immagine Y tramite f. DEFINIZIONE.7 È data una funzione f : X Y, X, Y R.. f si dice iniettiva se associa elementi distinti di Y a elementi distinti di X cioè se = f ( ) f ( ), o, equivalentemente, f( )=f ( )= = ; 2. f si dice suriettiva se ogni elemento Y trova un elemento corrispettivo tale che = f (), ovverose Y =Im(f); 3. f si dice biiettiva (biunivoca) se è iniettiva e suriettiva.

14 4 Capitolo X f g? Y g? f f g? X f?? f Y (c) FIGURA.5: invertibilità con i diagrammi di Venn; invertibilità e grafico di f; (c) funzione non invertibile. La proprietà di iniettività serve a evitare situazioni del tipo riportato in figura.5(c). La suriettività serve a garantire che ogni elemento Y trovi un corrispettivo X candidato a essere l elemento immagine di tramite un eventuale funzione (inversa) g : Y X. DEFINIZIONE.8 Una funzione f : X Y, X, Y R si dice invertibile se (e solo se) esiste la sua funzione inversa, indicata con f.lafunzione inversa è l unica funzione f : Y X tale che = f () = f (), X e Y. X f f Y FIGURA.6: funzione inversa = f (). La figura.6 illustra la definizione con i diagrammi di Venn. TEOREMA.2 Una funzione f èinvertibileseesoloseèbiiettiva. Il Teorema.2 asserisce che la classe delle funzioni invertibili coincide con la classe delle funzioni biiettive. Si noti che la suriettività implica che X =Dom(f) =Im ( f ) e Y =Im(f) =Dom ( f ), e quindi ha senso scrivere f : Y X. Anche il prossimo risultato è ovvio e deducibile osservando la figura.6. TEOREMA.3 La funzione inversa f, se esiste, è sempre invertibile e ha come inversa la funzione f di partenza; cioè vale ( f ) = f. La definizione.8 lascia intuire che la funzione inversa, se esiste, ha lo stesso grafico della funzione di partenza però con il ruolo degli assi cartesiani invertito. La prossima regola sancisce quest idea illustrando come si disegna il grafico di f a partire dal grafico di f. REGOLA. Il grafico della funzione inversa f è il simmetrico 7 del grafico di f rispetto alla retta bisettrice del primo e terzo ortante. Pertanto, il grafico di f si ottiene ruotando di 8 il grafico di f attorno a tale retta bisettrice. La figura.7 illustra la regola. : la retta bisettrice è la retta id (id sta per funzione identica), il grafico di f è la curva in grigio mentre il grafico di f è la curva nera; la freccia indica il tipo di rotazione effettuato sul grafico di f per ottenere il grafico di f. La figura.7 mostra il caso di una funzione non invertibile: la rotazione di 8 del grafico di f è una curva che non può essere il grafico di una funzione perché assocerebbe a un unico valore Dom (f) due valori distinti sull asse delle ordinate. 7 Si rammenta che, data una curva C nel piano cartesiano e una retta r qualsiasi, la curva simmetrica a C,chiamiamola C, rispetto alla retta r si ottiene, in maniera figurata, ruotando di 8 gradi la curva C rispetto a r, in modo che i punti di C mantengano la stessa distanza da r che hanno i punti di C (però dalla parte opposta).

15 Richiami su alcuni concetti di base 5 La prossima regola consente di ricavare l espressione analitica della funzione inversa f a partire da quella della funzione diretta f. f id f? f id REGOLA.2 Data una funzione f : X Y, X, Y R, rappresentata dall equazione = f (), (.4)? la funzione inversa f : Y X, se esiste, si ricava risolvendo l equazione (.4) rispetto all incognita ; cioè esprimendo, se è possibile, in funzione di [ = f ()]. ESEMPIO.8. La funzione costante f () =c non è invertibile: la curva ottenuta ruotando i suo FIGURA.7: grafico di f ottenuto a partire dal grafico di f; ruotando il grafico di f attorno alla bisettrice si ottiene una curva che non è il grafico di una funzione. grafico attorno alla bisettrice è una retta verticale che non può rappresentare una funzione. 2. La funzione identica f () = èinvertibileel inversaèsestessa:f () =f () =. 3. La funzione affine f () = m + q, m, ha come grafico una retta non orizzontale, pertanto, dalla regola. deduciamo che il grafico della sua inversa è ancora una retta; applicando la regola.2 osserviamo che la funzione inversa di f () =m + q è ancora una funzione affine, f () =m + q, con pendenza m =/m e intercetta q = q/m. Il fatto che m =/m implica che m ha lo stesso segno di m; quindi, se f è crescente (retta inclinata verso l alto a destra), anche f è crescente, e viceversa. 4. La funzione reciproca f () =/, il cui grafico è l iperbole equilatera, è invertibile sul suo dominio naturale R {} e la sua inversa coincide con se stessa: f () =f () =/. 5. La funzione inversa di f () = è f () =(/) +9/, come si verifica immediatamente risolvendo l equazione = rispetto a. 6. Come nell esempio precedente, la regola.2 ci permette di ricavare la funzione inversa di f () =(3 /5) / [8 (5/6)], definita per 28/5, cheèf () =(8 +/5) / [(5/6) + 3], definita per 28/5. Considerazioni grafiche permettono di dedurre che la funzione quadrato f () = 2 non è invertibile. Però, se restringiamo il suo dominio alla semiretta positiva R + o alla semiretta negativa R R ++, f () = 2 diventa invertibile (perché?). Per questa particolare funzione si è deciso d autorità che la restrizione da operare sarà sulla semiretta positiva R + ; in questo modo, la sua inversa (ristretta a R + ) risulta essere la funzione radice f () = (si invita il lettore a verificare i dettagli). Restringere opportunamente il dominio di una funzione originariamente non invertibile può trasformarla in una funzione equivalente (anche se più piccolina, nel senso che la pensiamo definita su di un sottoinsieme proprio del suo dominio naturale) che sia invertibile. Grazie al Teorema.3 sappiamo inoltre quale sia la funzione inversa della funzione radice f () = : è proprio la funzione quadrato f () = 2 ristretta a R +. Abbiamo quindi scoperto che, opportunamente ristretta, la funzione quadrato è invertibile e ha la funzione radice come inversa, e la funzione radice è invertibile e ha la funzione quadrato (ristretta a R + ) come inversa..5. Funzioni monotone e invertibilità Stabiliamo un criterio teorico generale per verificare se una funzione f è invertibile o meno che sfrutta la proprietà di monotonia di una funzione.

16 6 Capitolo DEFINIZIONE.9 Una funzione f : X Y, X, Y R, sidice. crescente se, per ogni, X tali che, segue f ( ) f ( ); 2. strettamente crescente se, per ogni, X tali che <, segue f ( ) <f( ); 3. decrescente se, per ogni, X tali che, segue f ( ) f ( ); 4. strettamente decrescente se, per ogni, X tali che <, segue f ( ) >f( ). Se vale la o la 3 f si dice monotona, e se vale la 2 o la 4 f si dice strettamente monotona. Tradotto in termini geometrici, una funzione monotona ha il grafico che mediamente segue sempre la stessa direzione, nel senso che, se immaginiamo di doverci camminare sopra, nei primi due casi ci ritroviamo a salire, cioè ci dirigiamo da sud-ovest verso nord-est, mentre negli ultimi due casi ci ritroviamo a scendere, cioè ci dirigiamo da nord-ovest verso sud-est. La figura.8 illustra i quattro casi della definizione.9. Si noti che i grafici nei casi e (c) rappresentano funzioni solamente monotone e non strettamente monotone, perché sull intervallo [a, b] (evidenziato sull asse delle ascisse) sono costanti (e quindi né crescenti né decrescenti). Spesso le funzioni solamente monotone e non strettamente monotone si dicono anche debolmente monotone (debolmente crescenti o debolmente decrescenti). a b a b (c) (d) FIGURA.8: grafici di funzioni monotone: funzione strettamente crescente; funzione crescente; (c) funzione decrescente; (d) funzione strettamente decrescente. ESEMPIO.9 Osservando alcuni grafici del paragrafo.4., verifichiamo che:. la funzione costante f () =c è (debolmente) monotona, è cioè sia debolmente crescente che debolmente decrescente; 2. la funzione identica f () = è strettamente crescente; 3. la funzione affine f () = m + q è strettamente crescente se m > e strettamente decrescente se m<, per qualsiasi valore di q; 4. la funzione valore assoluto f () = non è monotona, cioè su alcuni tratti del dominio (R R + ) è strettamente decrescente e su altri (R + ) è strettamente crescente; se restringiamo opportunamente il dominio, possiamo ottenere una funzione strettamente monotona, in particolare, se : R R ++ R + otteniamo una funzione strettamente decrescente, se : R + R + otteniamo una funzione strettamente crescente; 5. per la funzione quadrato f () = 2 vale lo stesso discorso: sulle restrizioni 2 : R R + R + e 2 : R + R + essa risulta strettamente decrescente e strettamente crescente rispettivamente; 6. la funzione radice è palesemente strettamente crescente su tutto il suo dominio R +. TEOREMA.4 È data una funzione f : X Y, X, Y R. Se f è strettamente monotona (strettamente crescente o strettamente decrescente), allora essa è invertibile, esiste cioè la sua funzio-

17 Richiami su alcuni concetti di base 7 ne inversa f. Se f è strettamente crescente, f è anch essa strettamente crescente; se f è strettamente decrescente, f è anch essa strettamente decrescente. La monotonia è una condizione soltanto sufficiente e non necessaria per l invertibilità, esistono cioè funzioni invertibili che non sono monotone, come mostra il seguente esempio. ESEMPIO. La funzione f : {, 2, 3} {, 2, 3}, che ha come dominio e immagine lo stesso insieme X = Y = {, 2, 3}, definita punto per punto ponendo f () =, f (2) = 3 e f (3) = 2, certamente non è monotona perché < 2 = f () < f (2) ma 2 < 3 = f (2) > f (3); in compenso è senz altro biiettiva, e quindi invertibile. Purtroppo non siamo ancora in grado di applicare direttamente il Teorema.4 per verificare se una funzione è invertibile o meno perché ci manca un criterio analitico (e non solamente grafico) che ci permetta di stabilire se una funzione è strettamente monotona. Quando sapremo calcolare le derivate saremo in grado si stabilire analiticamente quando una data funzione è monotona..5.2 Forme implicite e invertibilità Con la nozione di invertibilità a disposizione, siamo in grado di apprezzare una proprietà importante che lega le due forme esplicite, = f () e = h (), derivanti dalla stessa forma implicita g (, ) =c. Rivediamo un paio di esempi trattati nel paragrafo.4.2 studiando la relazione che lega le due forme esplicite = f () e = h (). ESEMPIO.. Nell esempio.2 avevamo visto che la forma implicita =ammette la forma esplicita = f () =( +4)/ (3 2). Ripetendo l esercizio con l obiettivo di esplicitare = h () (si invita il lettore a sviluppare i dettagli) otteniamo = h () = (4+2) / (3 ). La funzione inversa della prima forma esplicita è, come si verifica facilmente, = h () =(4+2) / (3 ), che è proprio l altra funzione esplicita, = h () ottenuta dalla stessa forma implicita. 2. Nell esempio.6 avevamo visto che la forma implicita 2 3 =ammette le due funzioni esplicite = f () = (3/2) e = h () = (2/3). È immediato verificare ancora una volta che la funzione inversa della prima, f () =(3/2), è proprio l altra funzione esplicita, = h () =(2/3), ottenuta dalla stessa forma implicita. L esempio appena visto mostra che le due funzioni esplicite ottenute dalla medesima forma implicita g (, ) =c, sono una l inversa dell altra. Questo è un risultato che vale in generale. TEOREMA.5 La forma implicita espressa dall equazione g (, ) =c ammette 8 funzioni esplicite rispetto a entrambe le variabili, e, se e solo se le due funzioni esplicite = f () e = h () sono entrambe invertibili e sono una l inversa dell altra. L intuizione dietro a questa proprietà è facilmente leggibile dal punto di vista grafico: se la forma implicita g (, ) =c ammette funzioni esplicite sia rispetto a che rispetto a, questo significa che la curva individuata dalla forma implicita è contemporaneamente il grafico di = f () edi = h (), ovvero, anche invertendo gli assi cartesiani ( al posto di e viceversa) siamo sempre in grado di leggere la stessa curva come grafico di una funzione. Ma questo non significa altro che 8 Per ammette intendiamo qui che esistono entrambe le funzioni esplicite = f () e = h (). Altra cosa è essere capaci di calcolarle! Vedremo nel paragrafo 2.. che in alcuni casi esistono entrambe le forme esplicite ma non è possibile esprimerle analiticamente.

18 8 Capitolo ciascuna funzione ha come grafico il grafico dell altra con gli assi invertiti, ovvero la stessa curva ruotata di 8 attorno alla bisettrice, e questo (regola.), significa che sono una l inversa dell altra. Il prossimo esempio sfrutta il Teorema.5 all incontrario. ESEMPIO.2 Nell esempio.7 avevamo visto che la forma implicita 2 +4 =ammette funzione esplicita solamente come funzione di : = f () =( 4) / 2, definita per. La funzione = h () invece non esiste, ovvero non è possibile esplicitare in funzione di ; deduciamo pertanto dal Teorema.5 che f () =( 4) / 2 non è invertibile..6 Funzioni composte DEFINIZIONE. Date due funzioni g : X Y e f : Y W,doveX, Y, W R, seim (g) Y (cioè se l immagine di g è contenuta nel dominio di f), si definisce la funzione composta di f e g (e si dice f composto g) la funzione h : X W, che si indica con f g, ponendo h () =(f g)() =f [g ()]. La g : X Y si dice funzione interna elaf : Y W si dice funzione esterna. g f X Y W w Im (g) h = f g FIGURA.9: la funzione composta h = f g. Fissato X, la funzione composta restituisce il valore w = f () W ottenuto calcolando f nel punto = g () Y, che è un possibile valore del suo argomento grazie alla condizione Im (g) Y. La figura.9 illustra la situazione. Se per una sfortunata coincidenza Y Im (g), è necessario restringere il dominio di g in modo che Im (g) diventi un sottoinsieme del dominio Y di f. La ricerca della restrizione opportuna per il dominio di g è una procedura importantissima che si chiama ricerca del campo di esistenza di una funzione (composta). ESEMPIO.3. Date le due funzioni = g () = +e w = f () = 2, se interpretiamo la prima come funzione interna e la seconda come funzione esterna, otteniamo la funzione composta 9 : h () =(f g)() =f [g ()] = ( +) 2.Poichég : R R e f : R R non ci sono problemi di restrizione sul dominio di g perché Im (g) =R =Dom(f) =R, e quindi è soddisfatta la condizione Im (g) Dom (f). 2. Se aggiungiamo all interno la funzione = l (t) = /t all esempio precedente otteniamo una funzione composta di tre funzioni semplici, = l (t) =/t, = g () = +e w = f () = 2. Si noti che ogni funzione aggiunta richiede una variabile in più, in questo caso abbiamo introdotto la variabile t nella posizione più interna,ottenendo una funzione composta che ha t come variabile indipendente: h (t) =(f g l)(t) =f {g [l (t)]} = (/t +) 2,conh : R {} R + [la funzione più interna, l (t) = /t, non è definita in t =]. Anche in questo caso non ci sono (ulteriori) problemi di restrizione perché Im (l) = R {} Dom (g) =R e, come prima, Im (g) =R =Dom(f) =R. Valgono cioè entrambe le inclusioni: Im (l) Dom (g) e Im (g) Dom (f). Abbiamo visto un esempio di composizione a partire da funzioni semplici. In realtà, di solito è dato il problema inverso: è nota la funzione composta h ed è necessario scomporla in funzioni semplici ciascuna da studiare separatamente. 9 In questo esempio molto semplice vale h () =( +) 2 = , cioè la nostra funzione composta altro non è che una parabola. In effetti, ( +) 2 e sono due espressioni equivalenti che descrivono la stessa funzione.

19 Richiami su alcuni concetti di base 9 ESEMPIO.4 Data la funzione h () = / ( ), vediamo alcune possibilità di scomposizione.. Ponendo = g () = e w = f () = /, se sostituiamo nella seconda funzione l definito nella prima funzione riesce proprio h = f g. 2. Ponendo = l () =, t = g () =/ e w = f (t) = t, riesce h = f g l. 3. Ponendo = g () = e w = f () = / ( + ), riesce h = f g. 4. Ponendo = g () = e w = f () = /, riesce h = f g [si noti che h () = / ( ) =/ ( )]. 5. Oppure, ponendo = g () =/ ( ) e w = f () =, riesce h = f g. E potremmo continuare. In tutti i casi è necessario restringere il dominio della funzione più interna. Ad esempio, nel caso f () = / è definita su R {}, cioè per. Questo si traduce nella restrizione g () sull immagine della funzione interna g, ovvero,che equivale a. Il campo di esistenza della composta h = f g è dunque CE = R {}. ESEMPIO.5 Scomponiamo le seguenti funzioni in funzioni elementari introducendo opportune variabili intermedie (naturalmente, altri tipi di scomposizione sono possibili).. Per f () =(2 3) 2 si può porre = g () =2 3 e w = f () = 2, con campo di esistenza CE = R perché la funzione esterna f () = 2 è definita su tutto R e quindi non richiede restrizioni alla funzione interna g. 2. Per f () = ( ) 2 +2si può porre = g () =, z = f () = 2, v = h (z) =z +2e infine w = l (v) = v, con campo di esistenza CE = R perché osserviamo che l argomento v della funzione esterna l (v) = v è sempre positivo, per ogni valore di. I prossimi due esempi pongono in modo drammatico la questione del campo di esistenza di una funzione composta, cioè la necessità di rispettare la condizione Im (g) Dom (f). ESEMPIO.6 La scomposizione naturale della funzione h () = +è nelle due funzioni semplici g () = +e f () =. Osserviamo che Im (g) =R, mentre Dom (f) =R +, e quindi Dom (f) Im (g) e la condizione Im (g) Y della definizione. non è soddisfatta. Per poter definire la funzione composta h è necessario restringere il dominio della funzione interna g in modo tale da far entrare la sua immagine nel dominio naturale di f, cioèfinoacheim (g) Dom (f). La condizione Im (g) Y = R + è espressa analiticamente dalla disequazione +, che ha come soluzione ; da ciò deduciamo che la funzione (composta) h () = +è definita per, cioè il suo campo di esistenza è CE =[, + ). ESEMPIO.7 Il campo di esistenza della funzione h () = / si determina studiando separatamente le condizioni imposte dalle due funzioni elementari componenti, g () =/ e f () =. Entrambe le funzioni f e g hanno come dominio naturale una restrizione di R: Dom (f) = R + e Dom (g) = R {}. Dobbiamo tener conto di entrambe le restrizioni contemporaneamente: ( ) ( ); la prima influirà sull immagine della funzione interna g al fine di dare un senso alla funzione composta. Conviene riscrivere tali condizioni sotto forma di sistema {, { /, dove nel secondo sistema abbiamo sostituito = g () =/. La soluzione del sistema è >, pertanto il campo di esistenza cercato è CE =(, + ) =R ++. In generale il campo di esistenza di una funzione composta (di una sola variabile) è un intervallo oppure l unione di intervalli disgiunti. Si ricordi che un sistema di condizioni (di equazioni, disequazioni, misto ecc.) è una scrittura che significa che tutte le condizioni elencate devono valere contemporaneamente.

20 2 Capitolo Sottolineiamo un importante relazione fra funzione inversa e funzione composta. Poiché la funzione inversa percorre nel verso contrario la strada che unisce la variabile alla variabile, è facile intuire che, componendo f con la sua inversa f, torniamo al punto di partenza,, otteniamo cioè la funzione identica h () =. TEOREMA.6 Data f : X Y, X, Y R, invertibile, sia f la sua funzione inversa. Allora vale ( f f ) () =f [f ()] = X ( f f ) () =f [ f () ] = Y. Questa proprietà si rivela estremamente utile per isolare la variabile dipendente nella risoluzione di equazioni e disequazioni. Nel prossimo esempio il Teorema.6 viene utilizzato per risolvere l equazione che determina la funzione inversa. ESEMPIO.8 Utilizzando la regola.2, ricaviamo l espressione della funzione inversa della funzione f () = 3/4. Il campo di esistenza di f è CE =[3/4, + ), che corrisponde all immagine della funzione inversa, mentre il dominio della funzione inversa è l immagine di f, Dom ( f ) = Im (f) =R +. Per risolvere rispetto a l equazione = 3/4, sfruttiamo il fatto che la funzione quadrato è l inversa della funzione radice ed eleviamo al quadrato entrambi i termini (necessariamente l uguaglianza rimane vera). Grazie al Teorema.6, quest operazione ci consente di eliminare la radice nel termine di destra, ottenendo 2 = 3/4 2 = 3/4, da cui ricaviamo ( ) 2cioè immediatamente = 2 +3/4, che è l espressione della funzione inversa, f () = 2 +3/4, che già sappiamo essere definita (solamente) su Dom ( f ) = R +. Si noti che la funzione f () = 2 +3/4, essendo pensata come funzione inversa della funzione f () = 3/4, ha un dominio ristretto rispetto alla generica funzione quadratica f () = 2 +3/4, che invece è definita su tutto R..7 Funzione potenza DEFINIZIONE. Si dice funzione potenza a esponente naturale, e si indica con n la funzione f () = n = } {{ }, n N. n volte Il parametro n si dice esponente elascrittura n si legge elevato alla n. È la generalizzazione della funzione quadrato 2 ehacomedominio naturale R, poiché il prodotto di qualsiasi numero R per se stesso n volte ha sempre senso. Se n =, si pone, cioè, f () = èlafunzione costante f () = ; se n = otteniamo la funzione identica f () = = ; mentre, se n =2, otteniamo la funzione quadrato f () = 2. In generale, l immagine di f () = n è R se n è dispari, mentre è R + se n è pari. La figura.2 riporta alcuni esempi di grafico di f () = n ; dalla figura si vede che, per n pari, al crescere di n la curva si restringe per / [, ], mentre si allarga (o se si preferisce, si affloscia ) per [, ]; elo stesso comportamento si ha anche per n dispari, però con un effetto simmetrico sui valori negativi <. DEFINIZIONE.2 Per ogni n N (quindi n ), la funzione potenza a esponente negativo si definisce come n =/ n =(/) n, dove n e (/) n assumono significato per la definizione..