Dinamica e Controllo dei Sistemi Energetici Capitolo 4 DINAMICA DEI SISTEMI TERMICI

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1 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 CAPIOLO 4 DINAMICA DEI SISEMI EMICI Per l studi del cprtaent nn stazinari dei sistei terici è di fndaentale iprtanza l utilizzazine dell equazine generale dell energia che perette di definire l accuul e il trasferient dell energia terica stt fra di calre. utti gli ipianti di cnversine dell energia rappresentan pertant dei veri e prpri sistei terici cplessi. Ce nt, il trasferient del calre può avvenire naturalente ediante una delle tre fre di scabi teric: per cnduzine, per cnvezine per irraggiaent se esiste una differenza di teperatura fra i sistei che scabian calre. Gli scabi terici deterinan a lr vlta la variazine della teperatura dei crpi che nel cas di un evluzine libera prtan al raggiungient di un stat ister di tutt il sistea. L analisi dei sistei terici è tuttavia cplicata dal fatt che spess risulta difficile pter attribuire ad un crp ad un fluid una ben definita teperatura rappresentativa del su stat teric. Per i sistei e i prcessi terici per i quali tale iptesi sia raginevlente accettabile, è pssibile definire un dell ateatic del sistea teric a paraetri cncentrati. Quand invece il sistea presenta una distribuzine spaziale di teperatura per cui tale iptesi nn può essere applicata, si rende necessaria una dellazine a paraetri distribuiti ancra a paraetri cncentrati a adttand una pprtuna suddivisine del cpnente in diversi sttcpnenti. 4. Le leggi del trasferient di calre Le tre dalità di trasferient del calre: cnduzine, cnvezine e irraggiaent sn ce nt, caratterizzate da relazini ateatiche diverse. Nella dellazine ateatica diviene particlarente vantaggis utilizzare la legge lineare di Newtn sul trasferient di calre Q per cnduzine e cnvezine che risulta direttaente prprzinale alla differenza di teperatura presente fra i sistei interessati all scabi teric. Q dve è la resistenza terica che si presenta al fluss di calre e che vale /ha per l scabi teric per cnvezine e d/ka per quell per cnduzine. Nelle relazini cpain i cefficienti h e K che sn rispettivaente il cefficiente di scabi teric per cnvezine tra il fluid e la parete e la cnducibilità terica del ateriale avente spessre d e superficie A. Nell scabi teric per irraggiaent la ptenza terica netta trasferita segue la legge di Stefan-Bltzan Qβ( 4-4 ) dve e sn le teperature dei crpi e β è un cefficiente che tiene cnt della natura dei ateriali e della utua dispsizine geetrica delle superfici. 4. Il dell ateatic di una parete slida Nell scabi teric attravers una parete slida le resistenze teriche per cnduzine e per cnvezine si presentan spess cntepraneaente, sprattutt quand la parete si trva a cntatt cn un fluid su entrabe le superfici. Se si iptizza la parete cstituita da ateriale gene e si adtta una discretizzazine del dell a paraetri cncentrati, ad essa si può 79

2 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 attribuire una teperatura unifre. Il sttile strat di fluid a cntatt cn le pareti deterina una teperatura sul lat e sul lat, creand un gradiente di teperatura che cstituisce l strat liite teric. ale strat è caratterizzat da una resistenza terica vver da una cnduttanza terica funzine del cefficiente di scabi teric cnvettiv h. Le teperatura del fluid esternaente agli strati liite terici sn pari a i e e sl la parete, che viene scheatizzata cn la sua assa al centr della parete, presenta una capacità terica CMC v che cnsente l accuul dell energia terica, entre gli esigui spessri degli strati liite terici sn sl interessati al fluss di calre fra il fluid e la parete senza presentare una apprezzabile capacità di accuul. i q M q d Figura 4. Scabi teric attravers una parete slida Se si cnsidera l equazine di bilanci teric dell strat liite teric presente sul lat della parete slida si trva: q KA ( ) ( ) 4.) d / ha i dve cn A si indica la superficie di scabi teric K è la cnducibilità terica della parete slida ed h è il cefficiente di scabi teric cnvettiv del fluid che labisce la parete. Da tale equazine è pssibile deterinare la teperatura nte le teperature della parete e del fluid i. K + hdi 4.) K + h d ipetend il prcedient per il lat si può deterinare la teperatura espriend il calre scabiat q q KA ( ) ( ) 4.3) d / ha K + h d 4.4) K + h d Invece se si applica l equazine di cnservazine dell energia nella fra nn stazinaria alla parete slida si ttiene: d d q q MCv C 4.5) 8

3 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 Le ptenze teriche q e q scabiate dalla parete slida ed espresse dalle relazini 4.) e 4.3) pssn essere pste nella fra seguente dp aver sstituit le espressini 4.) e 4.4). q q AKh K + h d AKh K + h d ( ) i ( ) 4.6) d C AKh AKh ( ) ( ) i 4.7) K + hd K + hd Nell equazine 4.7) i cefficienti assciati alle due differenze di teperatura rappresentan le cnduttanze teriche dei due lati della parete fferte al fluss teric. I lr reciprci cstituiscn pertant le resistenze teriche della parete. Per il lat si ha: K + h d d + 4.8) +,, KAh ha KA La resistenza terica sul lat è sa di due cntributi: la resistenza terica, dell strat liite teric e della resistenza per cnduzine di età spessre della parete slida,. Se anche per il lat si fann le stesse cnsiderazini, individuand una resistenza terica cpsta dalle analghe resistenze, ed,, è pssibile cstruire un circuit elettric equivalente cpst da una capacità C che rappresenta la caratteristica di accuul teric della parete slida e dalle resistenze teriche incntrate dal fluss teric nel passare dal lat più cald vers quell più fredd.,,,, i + + C - - Figura 4. Circuit elettric equivalente al fluss teric attravers una parete slida Nel circuit elettric equivalente la crrente prdtta dal generatre di tensine i fluisce attravers le resistenze in serie, entre parte della crrente che fluisce vers il capacitre C prvca un auent della tensine. Per l analgia elettrica la crrente elettrica è l analg del fluss teric che cntribuisce all auent della teperatura a cui crrispnde per analgia il ptenziale elettric. Nella scheatizzazine a paraetri cncentrati un unic valre della teperatura è rappresentativ dell stat teric dell intera parete. Quand nn è pssibile attribuire un unica teperatura all inter sistea, ccrre effettuare una discretìzzazine in eleenti principali ai quali pter assegnare una prpria teperatura rappresentativa. In quest cas l equazine di cnservazine ptrà essere applicata ad gni 8

4 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 assa cpnente l inter sistea ed il dell ateatic sarà cstituit da un sistea di equazini differenziali il cui rdine dipende dal nuer delle asse della discretizzazine. 4.3 Il dell ateatic di un sistea a due asse La deterinazine dell andaent della teperatura di un abiente al trascrrere del tep, cstituisce il classic esepi di un sistea a due asse. Il prblea può essere affrntat in aniera seplificata se si fa riferient all schea di figura 4.3. Figura 4.3 Schea seplificat di un dell a due asse L abiente si cnsidera perfettaente islat dal punt di vista teric su tutti i lati ad eccezine di quell deliitat dalla parete di capacità terica C e teperatura. La parete deterina una resistenza al fluss teric indicata cn sul lat intern alla caera e cn sul lat estern. La teperatura i è rappresentativa dell aria nell abiente, è quella della parete e indica invece quella dell abiente estern. Si suppne inltre che il fluss teric avvenga dall estern vers l abiente e quindi che > > i. Il dell ateatic viene creat cnsiderand ce cpnenti eleentari l abiente, la parete slida e il sistea estern. Se si accetta ce iptesi di lavr che l estern pssieda una capacità terica infinita rispett a quelle degli altri cpnenti, si può cnsiderare la teperatura cst. Nell applicare il principi di cnservazine dell energia alla parete slida e all abiente si farà riferient alle rispettive capacità teriche C e C. di C q d C q q ( ) i ( ) ( ) i 4.9) i i i i 3 + C C - Figura 4.4 Circuit elettric equivalente al fluss teric nel sistea a due asse 8

5 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 In figura 4.4 viene riprtat il circuit elettric equivalente al sistea teric a due asse di figura 4.3 in cui la crrente i identifica il fluss teric vers l abiente che si realizza per effett della differenza di teperatura - i, entre la crrente i 3 indica il fluss teric che viene accuulat dalla parete slida. La tensine elettrica è l analg della teperatura dell abiente estern entre la tensine ai capi del cndensatre C individua la teperatura della parete. 4.4 Metd di discretizzazine di un sistea a paraetri distribuiti Quand nn è pssibile cnsiderare la teperatura del sistea cstante, nn si può applicare il etd di discretizzazine a paraetri cncentrati, a ccrre sviluppare un dell ateatic del sistea a paraetri distribuiti che sarà caratterizzat da equazini differenziali alle derivate parziali. La sluzine di tali equazini richiede però tepi e risrse di calcl superiri a quelle che nralente sn richieste per i delli a paraetri cncentrati dve sn presenti sl le equazini differenziali rdinarie. Pertant si preferisce, ve pssibile, realizzare un dell a paraetri cncentrati più accurat di quell a singla assa, attravers la suddivisine del sistea in un nuer sufficiente di asse eleentari. Se ad esepi si vule studiare l andaent della teperatura in una barretta circlare perfettaente islata dall estern ad eccezine di un lat che si trva a cntatt cn l abiente a teperatura, si può pensare di suddividere il cpnente in 3 parti ce rappresentat in figura 4.5. Figura 4.5 Schea della discretizzazine della barretta in 3 asse Cn questa suddivisine si nta che la teperatura della barretta nn è più unifre a dipende ltre che dal tep anche dalla psizine x. Si iptizza allra che gni eleent sia caratterizzat da una capacità terica e da una resistenza terica presente sl all interfaccia fra i diversi eleenti. Se si applica l equazine di cnservazine dell energia ad gni eleent si ttiene il seguente sistea di equazini differenziali rdinarie: di Ci i dn CN ( ) ( ) N i ( ) N i N i+ i i+ i,,...n 4.) 83

6 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 ale sistea di equazini può essere rappresentat nella fra atriciale cpatta tipica dell spazi di stat in cui le variabili di stat sn le teperature degli eleenti della barretta e la variabile di ingress è la teperatura esterna. x Ax + Bu x u { } 4.) 3 + C C A + B 4.) C C 3 3C C 3C3 3C3 Un esepi classic che invece richiede la scheatizzazine a paraetri distribuiti è la dinaica del prcess di cnduzine unidiensinale del calre lung una barretta sttile. In quest cas sia la teperatura della barretta sia il fluss teric sn a tutti gli effetti funzine della psizine x e del tep t. y (x,t) ( x,t ) + dx x x q(x,t) q q( x,t ) + dx x dx xl x x Figura 4.6 Schea della discretizzazine a paraetri distribuiti di una barretta sttile Indicand cn A, K, C e ρ rispettivaente la superficie di scabi teric, la cnducibilità terica, il calre specific e la densità del ateriale, l equazine di cnservazine dell energia applicat all eleent di lunghezza dx della barretta e la legge di Furier frniscn: q(x, t) q(x, t) q q(x, t) + dx ρadxc x t KA (x, t) dx (x, t) dx + x q t ρac x q(x, t) KA x 4.3) La 4.3) rappresenta un sistea di equazini differenziali alle derivate parziali 84

7 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 Una espressine equivalente dell equazine nn stazinaria del trasferient del calre per cnduzine può essere ttenuta effettuand la derivata dell equazine di Furier e sstituendne il risultat nell equazine di cnservazine dell energia. q KA x x K α t ρc x x 4.4) Quest ultia relazine rappresenta l equazine del calre ed è del pri rdine nel tep e del secnd rdine nell spazi cn α che rappresenta la diffusività del ateriale di cui è cpsta la barretta. Per la sluzine di questa equazine ccrre effettuare una discretizzazine spaziale della barretta, definire una distribuzine iniziale di teperatura per gni eleent della discretizzazine e assegnare due cndizini al cntrn che pssn essere la teperatura agli estrei del dini ppure la teperatura ed il fluss teric ad un estre del crp. 4.5 I delli ateatici di alcuni sistei terici Scabiatre di calre Si cnsideri un dell di scabiatre di calre a tubi e antell che pera cn flussi in equicrrente. L acqua calda di prcess (fluid B) percrre le tubazini interne cn prtata b entre lung il antell viene iessa aria (fluid A) cn prtata a. a b L Figura 4.7 Scheatizzazine di un scabiatre a tubi e antell in equicrrente Si applichi l equazine dell energia al fluid B cntenut nel tub: ( h h ) b b B q b a M B c b d B 4.5) dve (h b -h B )c b ( b - B ), q b-a ( B - A )/ b-a, M B c b C B ed M B ρ b Lπr i. b-a è la resistenza terica cplessiva che tiene cnt sia della resistenza terica cnvettiva lat acqua e lat aria sia di quella cnduttiva della parete etallica del tub. 85

8 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 πlk b a + + cn 4.6) h r iai h A ln r In base a queste cnsiderazini l equazine 4.5) assue la fra seguente: i C B d B B A b cb( b B ) 4.7) b a Si può ra applicare l equazine dell energia al vlue di cntrll cstituit dal fluid cntenut all intern del antell ( h h ) a a A + q b a M A c a d A 4.8) Se anche in quest cas si intrduce la capacità terica del fluid A e si esprie la variazine di entalpia specifica del fluid in ingress ed uscita dal antell ediante il prdtt del calre specific per la differenza di teperatura, l equazine 4.8) assue la fra seguente: C A d A B A a ca ( a A ) + 4.9) b a Avend trascurat le capacità teriche delle pareti etalliche del tub e del antell l scabiatre è stat scheatizzat secnd un sistea a paraetri cncentrati cstituit da due equazini differenziali che definiscn le due variabili di stat A e B. Il crrispndente diagraa di fluss è stat realizzat cn Siulink e viene riprtat in figura 4.8, cnsiderand le teperature dei fluidi in ingress a e b cnstanti e le crrispndenti prtate ce ingressi variabili nel tep. Dinaica di un scabiatre a tubi e antell A a b b b B b B A a a a A B Mantell ep.a ub ep.b Duble Click t Lad Data Duble Click t Plt Data Clck t tie Figura 4.8 Diagraa di fluss dell scabiatre a tubi e antell Cllettre slare pian Si cnsideri il sistea di figura 4.9 che utilizza un cllettre slare pian per il riscaldaent dell acqua. L'ipiant si cpne sstanzialente di tre eleenti: il serbati, il cllettre slare pian e l scabiatre di calre. Per rappresentare l stat teric del sistea ccrre 86

9 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 applicare l'equazine dell'energia nella fra generale. Dal punt di vista del cprtaent dinaic del sistea il serbati è sicuraente il cpnente che influenza in d prepnderante la dinaica dell'inter sistea. Figura 4.9 Schea seplificat di un cllettre slare pian Se si applica l'equazine dell'energia al serbati si ptrà scrivere: C pw d ρ w ρqcp( i ) ρwqdcpw ( s ) 4.) D'altra parte il fluss di energia terica entrante nel serbati deriva dalla radiazine slare captata dal cllettre e ceduta al fluid tervettre. i a ρ QCp( i ) AcF Φ 4.) Ac c Φ è la radiazine slare assrbita dal cllettre ed espressa ce ptenza per unità di superficie, A c è la superficie del cllettre, F è il fattre di rizine terica che riduce la ptenza utile calclata nell'iptesi che tutt il cllettre si trvi alla teperatura i per tener cnt che il fluid varia la prpria teperatura lung il cllettre. Per caratterizzare l scabiatre di calre in quest cas si iptizza un cprtaent stazinari e si utilizza l'espressine che definisce la sua efficienza per ricavare le teperature del fluid in ingress e uscita dal cllettre i e : i ε i ( ε) + ε 4.) ε 87

10 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 ε i i s Figura 4. Scabi teric in equicrrente Sstituend nell'equazine 4. ed rdinand i terini si ttiene: H F ( ε) A F Φ + ρqc ε + ε ρqc F ρ QCpε + c p a p 4.3) c c Per l'equazine 4.) si ttiene invece: C pw d ρ w ρqcpε( ) ρwqdcpw ( s ) 4.4) Il diagraa di fluss relativ alle equazini 4.4) e 4.3) è rappresentat in figura 4.. Cllettre slare pian [tep,s] S adiaz. [tep,a] a ep. a S a Cllettre [tep,qd] Qd s s qd s Serbati Duble Click t Lad Data Duble Click t Plt Data Clck t tie Figura 4. Diagraa di fluss del cllettre slare pian 4.6 Mdelli di prcessi industriali Gli ipianti industriali che realizzan dei prcessi energetici prevedn diverse unità eleentari quali serbati, ppe, cpressri, scabiatri di calre, clnne di distillazine, iscelatri, caldaie, caere di cbustine, ricevitri, ecc. Mlte unità di prcess industriale prevedn anche il trasprt di ateria stt le varie fre benché l biettiv principale riane il trasferient di calre da un fluid di prcess all altr. Miscelatre Si cnsideri il sistea rappresentat in figura 4. cstituit da un serbati nel quale vengn iscelati due fluidi un cald e l altr fredd, realizzand un scabi teric per cnvenzine all intern del iscelatre grazie anche all azine cntinua dell agitatre che 88

11 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 perette una esclanza perfetta dei fluidi e di ttenere una teperatura della iscela unifre.,, H H O calda H O fredda,, H Z Q Figura 4. Schea del iscelatre H O utenza,, H Iptizzand che la parete del cntenitre e il fluid cntenut al su intern sian caratterizzati da una teperatura unifre e pari rispettivaente a e, si applica l equazine dell energia ai due sistei. Si applichi inizialente l equazine dell energia al vlue di cntrll individuat dal fluid cntenut nel serbati: d ( ρc ) v.. H + H.. H Q. cn Q 4.5) /(ha ) rappresenta la resistenza terica glbale nell scabi teric fra fluid e parete, entre Q è la ptenza terica ceduta al etall del serbati cn A l area della parete a cntatt cn il fluid e dipendente dalla quta del liquid z. Se ra si applica l equazine dell energia al sistea cstituit dalla parete del recipiente, nell iptesi di trascurare le perdite di calre vers l estern si ha: d ( M C ). v Q Per l equazine di cntinuità si ttiene inltre: 4.6) ( ρ)... d dz ρa 4.7) enend cnt che per un liquid HUC p e ρcst. e Az si ha:... H + H H... dz + ρa d CvM ( z) d ρcpa ρc A p dz + ρc Az p d 4.8) 89

12 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 Le tre equazini differenziali individuan i tre stati del sistea, e z.. uttavia si può cbinare la pria equazine differenziale cn la secnda d H + H H Cp + MCp 4.9) + Pertant, seplificand, il sistea di equazini diviene:... + CvM. d MCp. dz ρ A 4.3) d ( H H) + ( H H) Da ntare che la deterinazine degli stati e richiede l'integrazine dell'equazine di cntinuità per ricavare l stat z in quant sia che M dipendn da z. In figura 4.3 è rappresentat il diagraa di fluss del iscelatre, cplet dei sistei di reglazine della teperatura, della quta z e della prtata vers l'utenza, realizzat cn Siulink. Dinaica di un iscelatre (dell nn lineare) _rif _in _rif Z Z z_rif z eg. Z M M Z Av M ank Av _rif eg. eg. Wall z Fluid Scpe Scpe Duble Click t Lad Data Duble Click t Plt Data Clck t tie Figura 4.3 Diagraa di fluss del iscelatre Un tale sistea deve infatti frnire una prtata di fluid variabile in relazine alle esigenze dell utenza a deve antenere la sua teperatura cstante. A tale prpsit è necessari disprre di una valvla di reglazine a valle del iscelatre per reglare la prtata vers l utilizzatre. La teperatura del fluid di prcess viene invece cntrllata agend sulla prtata del fluid cald. Negli ipianti industriali spess si effettuan delle iniezini di vapre che dulan il fluss di calre necessari al riscaldaent del liquid del serbati. Per cntrllare la teperatura del fluid di prcess si può agire eseguend anche l atteperaent ediante un iniezine 9

13 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 d acqua. Cn l perazine di iscelaent di fluidi a diversa teperatura, purché alen un di essi sia reglabile, è pssibile variare l'entalpia ttale in ingress e quindi cntrllare la teperatura del fluid da inviare vers l utilizzatre. Quest tip di reglazine si applica anche agli scabiatri di calre, dve la variazine della prtata del fluid cald di quell fredd si realizzan agend sulla velcità di rtazine della ppa di alientazine. Per cntrllare il trasferient di calre al fluid di prcess si può agire anche sui gas di cbustine all uscita della caldaia effettuand la ricirclazine di una parte di essi che vengn intrdtti a valle dei bruciatri. Per dificare l scabi teric in caldaia si può agire anche sulla superficie di scabi, scherand una parte della superficie dei fasci tubieri espsta all'irraggiaent. Si può in alternativa agire sulla prprietà di assrbient della radiazine creand un scher filtrante più en pac alla radiazine traite l intrduzine di vapre di anidride carbnica. Anziché sul prcess di trasissine dell energia terica, si può intervenire direttaente sul prcess di generazine, agend sulla prtata del cbustibile intrdtta nel generatre di vapre a patt però che il prcess di cbustine si antenga ttiale ediante il antenient di un idne rapprt aria-cbustibile. eattre a pressine atsferica Si cnsideri il sistea di figura 4.4 e si iptizzi che il fluid cntenut all'intern del serbati nn subisca reazini chiiche trasfrazini di stat. Si suppne inltre che i due fluidi in ingress, aventi prtata Q e Q trasprtin cncentrazini diverse C e C della stessa sstanza. E pssibile allra applicare il bilanci di assa sia ai singli cpnenti sia al sistea cplessiv. Q, C Q, C p Z A Q, C Figura 4.4 Schea del reattre a pressine atsferica Applicand il bilanci di assa (vlue) al sistea apert individuat dalle pareti del reattre e dal pel liber del liquid si ttiene: d dz + Q Q A 4.3) Q icrdand inltre che la cncentrazine C di una sstanza definisce la assa presente nell unità di vlue, il bilanci di assa per la generica sstanza diviene: 9

14 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 ( C) dm d d dc Q + CQ CQ C 4.3) C + e sstituend l equazine precedente 4.3) si ha: dc Q + CQ CQ C( Q + Q Q) 4.33) C + irdinand i terini e raggruppand si ttiene: dc 4.34) [ Q ( C C) + Q ( C C) ] L effluss dal reattre è reglat dalla valvla secnd la relazine Q K v p p e tenend cnt che p p +ρgz e che all'uscita della valvla vige la pressine atsferica vver che p p si ttiene: Allra sstituend l equazine 4.35) nella 4.3) si ha: ' Q K z 4.35) v ' dz Q + Q K v z A 4.36) Le equazini differenziali nn lineari 4.34) e 4.36) definiscn pertant il dell ateatic del reattre attravers gli stati z e C. La nn linearità delle equazini è iputabile alla legge del defluss 4.35) e al fatt che il vlue nella 4.34) varia cn la quta z, alterand in tal d la cncentrazine C. Il diagraa a blcchi di tale dell può essere csì rappresentat in figura 4.5 e 4.6. Dinaica di un reattre a pcst (dell nn lineare) Step Q Duble Click t Lad Data Step Q Kv Kv C C Duble Click t Plt Data Q Z Q Kv Livell C C Clck Scpe Q Q C C Scpe C Cncent. t tie Q Q u/a Fcn Su f(u) Fcn3 /s Integratr Mux Mux 3 Kv Z u*a Fcn Z quta lue Figura 4.5 Diagraa di fluss cplessiv del reattre e del blcc livell 9

15 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 4 C 5 C Su Su 3 Q Q Mux Mux Mux Mux f(u) Fcn3 f(u) Fcn Su Mux Mux f(u) Fcn /s Integratr C Cnc. C Figura 4.6 Diagraa di fluss relativ a calcl della cncentrazine Il sistea di equazini differenziali nn lineari può essere facilente linearizzat intrn al punt di equilibri stazinari individuat dalle cndizini Q e Q per le quali z Q Q QC QC C ' K 4.37) v Q + Q Linearizzand l equazine della valvla 4.35) si ha: L'equazine 4.3) allra diviene: δq δz Q z d ( ) ( ) ( ) ( z + z) Q + Q + Q + δq Q + δq A ' K v δq z δ 4.38) dz enend cnt che all equilibri Q + Q Q l equazine precedente assue la seguente espressine: δz ' K v d( δz) δ Q + δq δz A 4.39) z Linearizzand anche l equazine del bilanci di assa, trascurand i terini di rdine superire al e tenend cnt delle cndizini all equilibri si ha: C d( δ) d( δc) + QδC + QδC Q δc + CδQ + CδQ C δq 4.4) enend cnt infine che d( δ) δq + δq δq si ha: d( δc) ( C C ) δq + ( C C ) δq QδC + QδC Q δc + 4.4) Inltre se δc e δc l equazine 4.4) si seplifica ulterirente: 93

16 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 ' ( C C ) ( C C ) K v z δq + δq δ C d( δc) 4.4).5 nn lineare lineare z [] t [s] Figura 4.7 isultati del dell lineare e nn lineare intrn al punt z.44 e Q3l/s Si riprta a titl di esepi, in figura 4.7, il cnfrnt fra il dell lineare e quell nn lineare nell intrn del punt di equilibri individuat dalle cndizini Q l/s Q 3 l/s, C.5-6 kg/l, C kg/l e K v.5 a seguit di una perturbazine sinusidale della prtata Q avente apiezza pari a l/s e perid pari a circa.5 s. La differenza che si riscntra tra i risultati ttenuti cn i due delli cresce allntanandsi dalla cndizine di equilibri e diventa assia in crrispndenza della perturbazine assia di prtata (figura 4.7). Cnsiderand il dell nn lineare è stata effettuata un'altra siulazine partend dalle cndizini stazinarie Q l/s, Q 3 l/s, C.5-6 kg/l, C kg/l e K v.5, per le quali è inltre z 4 e C.6-6 kg/l. I risultati ttenuti sn strati in figura 4.8 per quant riguarda gli andaenti della quta z e della cncentrazine C in seguit ad una variazine a gradin delle prtate Q e Q. 7 Z [] C [g/l] t [s] Figura 4.8 ispsta del dell nn lineare alle variazini a gradin delle prtate Q e Q (a t s Q è increentata di.5 l/s entre a t5 s Q è diinuita di.5 l/s) 94

17 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 eattre in pressine Si cnsideri ra il serbati chius rappresentat in figura 4.9 che cstituisce un reattre in pressine in quant sia l ingress che l uscita sn in pressine. uttavia il bilanci ttale di assa prta ancra ad una espressine siile all'equazine 4.3) dz Q A 4.43) Q p g l Z p, Q A p 3, Q p Figura 4.9 Schea del reattre a pressine atsferica La prtata in ingress e in uscita pssn essere espresse cn le relazini caratteristiche delle due valvle Q K v p p Q K v p p3 4.44) Occrre tener presente ra che p p + ρgz e p è la pressine del gas presente al di spra del pel liber del liquid e il cui valre varia in relazine all stat di accuul del reattre. Iptizzand che il gas sia assiilabile ad un gas perfett per ess si può scrivere: p 4.45) g g g Dve è la cstante del gas ed g è la assa del gas cntenuta in g. Se il gas subisce una trasfrazine plitrpica p g n cst, differenziand si ttiene dp np d g 4.46) g d d l g Piché il vlue del reattre g + l cst. si ha anche che Q Q L'equazine 4.46) allra diventa: dp np ( Q Q ) 4.47) g Pertant le equazini 4.43) e 4.47) definiscn i due stati del sistea rappresentati dalla quta z e dalla pressine del gas p. Per frnire una rappresentazine del fluss dell'infrazine fra 95

18 Dinaica e Cntrll dei Sistei Energetici Capitl 4 i due sistei deninati serbati e gas, si può far riferient alla figura 4. dve è rappresentat il diagraa a blcchi di tale sistea realizzat cn Siulink. Dinaica di un reattre in pressine (dell nn lineare) p Step p3 Step p p3 p Z Scpe Serbati Z p p3 p Scpe Gas Duble Click t Lad Data Duble Click t Plt Data Clck t tie Figura 4. Schea del reattre a pressine atsferica Perturband il sistea a partire da una cndizine stazinaria prefissata ediante una variazine a gradin delle pressini del fluid di alientazine p e di quella ipsta dall'utenza p 3, si sn ttenuti gli andaenti delle variabili di stat strate in figura Z [] Q [l/s] p-gas [bar] t [s] Figura 4. ispsta del dell nn lineare alle variazini a gradin delle pressini p e p 3 (a t5 s p è increentata del 5% entre a t5 s p 3 è diinuita del %) 96