1 TIPO (primo metodo di Ziegler-Nichols): fa riferimento al comportamento del sistema ad anello chiuso (closed-loop method)

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1 RICHIAMI DI TEORIA I metoi per la taratura sistematia ei parametri el regolatore a partire a opportune prove sperimentali in impianto sono i grane importanza pratia, soprattutto nell'ambito el ontrollo i proessi inustriali. Le prime regole i taratura, peraltro anora molto utilizzate, furono introotte a Ziegler e Nihols negli anni '4. I metoi i preisposizione i Ziegler e Nihols sono essenzialmente i ue tipi: 1 TIPO (primo metoo i Ziegler-Nihols): fa riferimento al omportamento el sistema a anello hiuso (lose-loop metho) TIPO (seono metoo i Ziegler-Nihols): fa riferimento al omportamento el sistema a anello aperto (open-loop metho) Sono entrambi basati su una proeura he onsiste i ue fasi istinte: 1. Si effettuano opportune prove sperimentali sull impianto, volte alla eterminazione el valore i aluni parametri aratteristii el sistema in esame.. Si appliano opportune formule algebrihe (formule i Ziegler-Nihols) he legano i parametri el regolatore selto (i tipo P, PD, PI o PID) on i parametri aratteristii valutati al primo passo. Il primo ei metoi proposti a Ziegler e Nihols (il seono sarà ettagliato suessivamente) fa riferimento, per la prima fase, al omportamento el sistema a ilo hiuso quano venga utilizzato un regolatore i tipo proporzionale. In partiolare, i parametri aratteristii he bisogna valutare sono il valore ritio k p el guaagno proporzionale he porta il sistema al limite i stabilità, e il perioo T ell osillazione permanente (i ampiezza ostante) he aratterizza tale onizione (sotto l ipotesi he all'inizio ell'esperimento il sistema sia asintotiamente stabile on margine i guaagno finito). Si osservi innanzitutto he il guaagno ritio k p non è altro he il margine i guaagno el sistema proesso-trasuttore. E' utile anhe osservare ome la rihiesta i portare il sistema al limite i stabilità possa essere periolosa, o omunque non opportuna. E' possibile in tali asi utilizzare un metoo moifiato, he si basa sulla valutazione ei parametri aratteristii in una situazione lontana a quella ritia i ui sopra. La seona fase el primo metoo i Ziegler-Nihols prevee l appliazione elle opportune relazioni algebrihe, a seona i quale tipo i regolatore stanar si eia i utilizzare. Il regolatore stanar PID ieale ha funzione i trasferimento: 1 k p τ + + iτ s τ is 1 R() s k + + s p 1 τ τ is τ i s (3.1) Si osservi ome i regolatori P e PI siano asi partiolari el regolatore (3.1). Le formule i Ziegler-Nihols per il regolatore P e per il PID sono le seguenti: 1

2 Regolatore P k p.5 k p τ i τ Regolatore PID k p.6 k p τ i.5 T τ.15 T N.B.: La preisposizione el PID in aoro on il primo metoo i Ziegler-Nihols omporta la seguente espressione per il numeratore el regolatore τ τ s i + τ s T s +.5T s + 1 i (.5T ) s + (.5T ) s + 1 (.5T s + 1) T s (3.) Si noti la presenza i uno zero oppio in 4 s (3.3) T Come già aennato, il valore i k p viene ottenuto in impianto sperimentalmente, e ioè, più preisamente, rilevano il valore el guaagno k p he etermina una osillazione permanente (non smorzata) el segnale i errore, in risposta a una perturbazione el set-point (tale operazione può essere failmente simulata utilizzano SIMULINK.

3 Soluzione ell'eseritazione Quesito 1 Una valutazione a tavolino el valore i k p può effettuarsi faeno riorso al riterio i stabilità i Routh e al relativo algoritmo. L eq. aratteristia el sistema a ilo hiuso on regolatore proporzionale è 1+k p P 1 P T (3.4) k p (3.5) ( 1+.4s)( 1+ 33s + 11s )( 1+.7s) Sviluppano i onti si ottiene il polinomio aratteristio ( k ) s + 831s + 96s s + p (3.6) Costrueno la tabella i Routh n k p k p k p 1+8.3k p Si riava k p 1.31 Per k p k p l equazione aratteristia ha ue raii immaginarie, riavabili all`equazione 6s k p s 1 ±j.14±jω ω.14 [ra/se] T π/ω 9.5 [se] Determinazione grafia i ω Un metoo alternativo per la eterminazione i ω onsiste nella valutazione ella pulsazione i attraversamento el iagramma i Boe ei mouli ella FT a ilo aperto traiata per k p k p (onizione i limite i stabilità), he orrispone anhe alla pulsazione alla quale il iagramma elle fasi intersea la retta orizzontale ϕ-18. Possiamo riorare he in tali onizioni il iagramma i Nyquist ella FT a ilo aperto intersea il punto (-1,j) per un valore i ω pari a ω. Utilizziamo MATLAB per visualizzare i iagrammi i Boe e Nyquist kp1.31; Rtf(kp,1); P1tf([1],[.4 1]); 3

4 Ptf([.],[ ]); Ttf([4.16],[.7 1]); % FT a ilo aperto FaR*P1*P*T; % iagrammi i Boe e i Nyquist boe(fa) figure nyquist(fa) Boe Diagrams Phase (eg); Magnitue (B) ω Frequeny (ra/se) Fig. 3.1: Diagrammi i Boe el sistema a ilo aperto al limite i stabilità Nyquist Diagrams 6 4 ωω Imaginary Axis - (-1,j) Real Axis Fig. 3.: Diagramma i Nyquist el sistema a ilo aperto al limite i stabilità 4

5 Appliano la formula per il alolo ei parametri el regolatore P si ottiene R P (s).5k p.655 (3.7) Si osservi ome per la sintesi el regolatore stanar i tipo P la eterminazione i ω non sia neessaria Quesito Utilizzano il bloo i orrezione i tipo P sintetizzato al quesito preeente, la funzione i trasferimento tra il isturbo e l usita è ata a P () s () s P () s P ()() s T s ( +.4s)( 1+.7s). 1 W () s (3.8) 1+ R P 1 ( 1+.4s)( 1+.7s)( 1+ 33s + 11s ) Il valore a regime ella omponente ell usita ovuta a un isturbo a graino unitario si etermina failmente appliano il Teorema el valore finale lim y t 1 s () t lim s W () s limw () s. 31 s s (3.9) La risposta al isturbo a graino unitario può essere traiata utilizzano Matlab.5 risposta a un isturbo a graino [se] Fig. 3.3: Risposta al isturbo a graino unitario el sistema a ilo hiuso on regolatore i tipo P L M-file he permette la visualizzazione el grafio in figura 3.3 è il seguente kp1.31; kp.5*kp; 5

6 R_Ptf(kp,1); P1tf([1],[.4 1]); Ptf([.],[ ]); Ttf([4.16],[.7 1]); % alolo FT isturbo-usita WP/(1+ R_P*P1*P*T); % alolo e visualizzazione ella riposta iniiale [Y T]step(W,[:.1:5]) plot(t,y,'k'),title('risposta a un isturbo a graino'), xlabel('[se]'),gri Quesito 3 Per la eterminazione ei margini i stabilità utilizziamo anora Matlab e le assegnazioni el file preeente: % FT a ilo aperto FaR_P*P1*P*T; % alolo ei margini i stabilità [mg mfi]margin(fa); % riporto in b el margine i guaagno e valori ei margini i stabilita' mgb*log1(mg) mfi Boe Diagrams Phase (eg); Magnitue (B) Frequeny (ra/se) Fig. 3.4: Diagrammi i Boe el sistema a ilo aperto on regolatore i tipo P L'output elle istruzioni i ui sopra è il seguente mgb mfi

7 Quesito 4 Nel aso in ui si selga i utilizzare un regolatore stanar i tipo PID, la preisposizione ei parametri seono il primo metoo i Ziegler-Nihols, ome in preeenza riorato, è la seguente: k p.6 k p.786 τ i.5 T [se] τ.15 T [se] La FT el regolatore è 1 () ( s) R s s.53 (3.1) 14.75s s Per il alolo ei margini i stabilità possiamo utilizzare il seguente M-file, he riprene le efinizioni i P1, P e T nei files preeenti kp.655,taui14.75,tau3.6875; R_PIDtf(kp*[taui*tau taui 1],[taui ]) % FT a ilo aperto FaR_PID*P1*P*T; % iagramma i Boe e alolo ei margini i stabilità [mg mfi]margin(fa); % riporto in b el margine i guaagno e valori ei margini i stabilità mgb*log1(mg) mfi he permette la visualizzazione ei seguenti iagrammi i Boe Boe Diagrams 5 Phase (eg); Magnitue (B) Frequeny (ra/se) Fig. 3.4: Diagrammi i Boe el sistema a ilo aperto on regolatore i tipo PID e ei seguenti risultati numerii 7

8 mgb mfi N.B. E' possibile enuniare un riterio qualitativo per la preizione el margine i fase onseguente all'utilizzo el regolatore PID progettato on il primo metoo i Ziegler-Nihols. Si può affermare, ovviamente senza aluna pretesa i rigore, he se il iagramma polare el proesso è suffiientemente regolare in un intorno ella pulsazione ωω allora il regolatore PID onue a un margine i fase i 3 4. Tale riterio qualitativo è onfermato al sistema in esame. Si può osservare, utilizzano MATLAB, ome l errore a regime in risposta a un isturbo a graino unitario sompaia per effetto ell azione integratrie nel regolatore, e ome si moifihino (in meglio) le proprietà transitorie (maggiore prontezza, minori osillazioni)..35 risposta a un isturbo a graino [se] Fig. 3.5: Risposta al isturbo a graino unitario el sistema a ilo hiuso on regolatore i tipo PID Quesito 5 Rioriamo he il seono metoo i Ziegler-Nihols (on formule i Cohen e Coon) prevee nella prima fase la valutazione (sperimentale) elle proprietà el sistema a anello aperto senza regolatore. Si ipotizza he il sistema a anello aperto sia esritto al semplie moello P K (3.11) 1 + Ts T s () s e m ioè sia aratterizzato a una inamia el primo orine on un ritaro finito (tale ipotesi implia he la risposta iniiale a anello aperto sia monotona resente). 8

9 Si tratta quini i eterminare i valori ei tre parametri K, T e T m. E obbligo tenere a mente he il sistema reale non sarà in generale esritto al moello (3.11), e pertanto la eterminazione ei valori i K, T e T m porta sempliemente a trovare la terna i parametri he meglio approssima il sistema reale seono il moello (3.11). A tal fine, si eve in primo luogo ottenere la risposta iniiale el sistema reale (a anello aperto), e, suessivamente, vanno iniviuati, attraverso una proeura i approssimazione i seguito ettagliata, i valori elle inognite he fanno si he la risposta al graino el moello approssimato (3.11) sia simile a quella el sistema reale. Banalmente il valore a segliersi per K è il guaagno el sistema a ilo aperto, ioè il valore i regime ella risposta iniiale. Con riferimento ai nostri ati si riava: K 8.3 Si eve quini iniviuare il punto a massima erivata ella risposta iniiale, e traiare la retta tangente alla risposta in tale punto (retta r in figura 3.6). L intersezione ella retta r on l asse ei tempi iniviua un punto la ui asissa ostituise il valore selto per T m. Si ottiene T m 6.9 [se] Si eve suessivamente valutare il punto i intersezione Q tra la retta r e la retta orizzontale y K. Sia T q l asissa el punto Q. Dalla figura si può notare ome T q [se] Il parametro T si valuta faeno la ifferenza tra T q e T m T T q - T m 4.85 [se] yk Q 6 5 retta r T q T m Tempo [se] Fig Risposta iniiale el sistema a anello aperto 9

10 Le formule i Cohen e Coon sono le seguenti Regolatore P k p τ i τ 1 K T T m Regolatore PID k p 1. K T T m τ i T m τ.5t m N.B.: Anhe in questo aso, ome nel primo metoo i preisposizione, gli zeri el regolatore PID sono oinienti, e entrambi uguali a 1/T. Un programma MATLAB per il alolo ei parametri el regolatore PID on il seono metoo i Ziegler-Nihols è il seguente. P1tf([1],[.4 1]); Ptf([.],[ ]); Trastf([4.16],[.7 1]); % alolo e visualizzazione ella riposta iniiale [y time]step(p1*p*tras,[:.1:]); % ilo for per la eterminazione el punto a massima penenza ella risp. % iniiale Ts.1; iffmax; for i1:(length(y)-1), if ( y(i+1)-y(i) ) > iffmax iffmax(y(i+1)-y(i)); Tmaxi*Ts; ymaxy(i); m(y(i+1)-y(i))/ts; en en % retta tangente nel punto a massima penenza ytan ymax + m*(time-tmax); figure hol off Gain1*.*4.16; plot(time,y,'k',time,gain*sign(y),'k',time,ytan,'k'),axis([ 1]) title('intersezione tra la retta tangente e la retta yk '),xlabel('[se]') 1

11 KGain; bymax-m*tmax; Tm-b/m; T(Gain-b)/m; isp('regolatore P') kp_p(1/gain)*(t/tm) isp('regolatore PID') kp_pid(1./gain)*(t/tm) taui_pid*tm tau_pid.5*tm Determiniamo meiante MATLAB i margini i stabilità he si ottengono utilizzano i regolatori stanar i tipo P e PID sintetizzati meiante il seono metoo i Ziegler e Nihols on formule i Cohen e Coon P1tf([1],[.4 1]); Ptf([.],[ ]); Trastf([4.16],[.7 1]); isp('seono metoo i Ziegler e Nihols: regolatore P') kp_p(1/gain)*(t/tm) R_Ptf(kp_P,1) Fa_PR_P*P1*P*Tras [mg_p mfi_p]margin(fa_p); mgb_p*log1(mg_p) mfi_p isp('seono metoo i Ziegler e Nihols: regolatore PID') kp_pid(1./gain)*(t/tm) taui_pid*tm tau_pid.5*tm R_PIDtf(kp_PID*[taui_PID*tau_PID taui_pid 1],[taui_PID ]) % FT a ilo aperto Fa_PIDR_PID*P1*P*Tras [mg_pid mfi_pid]margin(fa_pid); mgb_pid*log1(mg_pid) mfi_pid Si ottengono i seguenti valori: mgb_p 4.9; mfi_p 7.3; mgb_pid 1.8; mfi_pid 3.1. CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE. Come è anhe risultato al sistema in esame, i margini i stabilità ottenuti on il seono metoo sono solitamente inferiori rispetto a quelli he si ottengono in seguito all'appliazione el primo metoo. Esistono inoltre versioni moifiate ei metoi i preisposizione "stanar" he abbiamo presentato in questa see, he onsentono i influenzare, qualora e ne fosse bisogno, i margini i stabilità el sistema ontrollato. Conlueno, è opportuno tenere a mente he spesso i metoi i Ziegler e Nihols sono impiegati per una taratura iniziale i massima ei parametri el regolatore, he viene suessivamente "affinata" proeeno per tentativi sull'impianto reale. In partiolare, è importante tarare orrettamente l'azione erivatrie, per migliorare la veloità i risposta el sistema a atena hiusa senza prourre eessive solleitazioni ella variabile i ontrollo. 11