Q = [0,1] [0,1] R E è un insieme finito di segmenti contenuti in Q,

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1 1 Gli origami piatti Molti modelli di origami sono progettati così abilmente che le loro forme finali non hanno alcuna somiglianza con il foglio di carta da cui sono stati creati. C è però una sostanziale classe di origami che condivide con il foglio di partenza una caratteristica fondamentale: l essere piatto. In realtà, gli origami piatti hanno tre dimensioni, ma è possibile descriverli come un oggetti matematici 2-D senza perdere informazioni importanti. Una domanda che si sono posti i matematici è se sia possibile sapere se un origami sarà piatto senza costruirlo, ma semplicemente analizzando il modello delle pieghe dell origami stesso. Se costruiamo un origami e poi lo apriamo tornando al foglio di partenza, questo non sarà più liscio, ma vi saranno impresse le pieghe fatte durante la costruzione. Il foglio che si ottiene dopo aver creato l origami e averlo smontato, viene chiamato crease pattern. Formalizziamo adesso il problema. Assumiamo di avere il quadrato: Q = [0,1] [0,1] R 2 Definizione 1. Un creasepattern è una coppia C = (V,E), dove 1. E è un insieme finito di segmenti contenuti in Q, 2. V è l insieme finito di tutti gli estremi dei segmenti di E contenuti in (0,1) (0,1) e tali che: 1. se e ed f sono due elementi di E allora la loro ilntersezione è un punto di V, 2. ogni punto di V è il punto finale di un numero pari di lati di E. Diciamo che due lati sono consecutivi se sono incidenti in un vertice v e almeno uno dei due angoli tra di loro non è attraversato da altri lati incidenti a v. Problema della piegatura piatta : è possibile determinare se un origami è piatto o no senza costruirlo, ma solo studiando il suo crease pattern o sapendo se le pieghe che verranno effettuate sono a valle o a monte? Definizione 2. Sia C = (V,E) un crease pattern. Una mappadipiegatura per C è una funzione ϕ : E Z/2Z. Una mappa di piegatura ci dice come piegare ogni piega: fissiamo un orientazione di Q (per esempio, vediamo Q in R 3 e giacente sul piano z = 0), se ϕ(e) = 0 allora e è una piega a valle, altrimenti, e è una piega a monte. Chiamiamo η 0 (ϕ) e η 1 (ϕ) rispettivamente il numero di pieghe di C mappate con 0 da ϕ e il numero di pieghe mappate con 1 da ϕ. 1

2 Definizione 3. Sia ϕ una mappa di piegatura per un crease pattern C. Una deformazioneiniettiva di C rispetto a ϕ è una funzione continua φ : Q [0,1] R 3 tale che: (1) φ(q,0) = q, q Q, (2) la funzione φ(,t) : Q [0,1] R 3 è iniettiva, t [0,1), (3) φ(,t) è un isometria per ogni faccia di C, t [0,1), (4) se F 1 e F 2 sono due facce adiacenti ed e è una qualunque piega, allora 0 + ϕ(e)π β(t) π + ϕ(e)π t [0,1], dove β(t) è l angolo tra φ(f 1,t) e φ(f 2,t). Pensiamo ad una deformazione iniettiva come un invisibile origamista che piega il quadrato Q seguendo le pieghe date dal crease pattern; così φ(q,t) è una foto dell origami all istante t [0, 1]. La condizione di iniettività formalizza il fatto che la carta non si può auto-intersecare. Definizione 4. Sia C = (V,E) un crease pattern. Una mappa di piegatura ϕ per C è piatta se esiste una deformazione iniettiva φ di ϕ tale che φ(q,1) H per qualche piano H R 3. In questo caso diciamo anche che ϕ è una mappa di piegatura piatta. Osservazione 1. Se ϕ è una mappa di piegatura piatta, allora anche 1 ϕ è una mappa di piegatura piatta, dove 1 ϕ è definita da: (1 ϕ)(e) = 1 ϕ(e). Definizione 5. Un crease pattern C = (V,E) è piegabile in modo piatto se esiste una mappa ϕ per C tale che ϕ è una mappa di piegatura piatta. 2 Il caso di crease patterns con un solo vertice Il problema degli origami piatti è stato completamente risolto nel caso di crease patterns con un solo vertice, grazie ai teoremi di Maekawa e di Kawasaki che mi limito ad enunciare. Per le dimostrazioni si può vedere [1], Theorem 2.1 e Theorem 2.2. Nota 1. Se C = ({v},e) è un crease pattern con un solo vertice, scriviamo E = {e 1,,e 2n } e intendiamo che i lati sono consecutivi e numerati in ordine antiorario. Allora denotiamo α 1,,α 2n gli angoli tra i lati in modo che α i è l angolo tra e i ed e i+1 per i = 1,,2n (dove e 2n+1 = e 1 ). Teorema 1 (Maekawa). ([1], Theorem 2.2) Sia C = ({v}, E) un crease pattern con un solo vertice. Se ϕ è una mappa di piegatura piatta, allora η 0 (ϕ) η 1 (ϕ) = ±2. 2

3 Corollario 1. Il numero di pieghe in C è pari. Teorema 2 (Kawasaki). ([1], Theorem 2.1) Sia C = ({v}, {e 1,,e 2n }) un crease pattern con un solo vertice. Allora C è il crease pattern di un origami piatto se e solo se α 1 α α 2n 1 α 2n = 0 3 Il problema generale Osserviamo che nel caso generale il teorema di Kawasaki non è sufficiente a risolvere il problema. Premettiamo la seguente osservazione: Osservazione 2 (Kawasaki). Sia C = ({v}, {e 1,,e 2n }) un crease pattern con un solo vertice. Se α i 1 > α i < α i+1, allora ϕ(e i ) ϕ(e i+1 ) per ogni mappa di piegatura ϕ. Nel caso di crease pattern con più vertici, la condizione data dalla Osservazione 2 crea condizioni globali non banali, come vediamo nei seguenti esempi. Esempio 1. Il crease pattern nella figura sottostante non può generare un origami piatto. e 2 e 1 e 3 Esempio 2. Consideriamo il crease pattern della figura sottostante. Questo crease pattern non genera un origami piatto. v 1 e 1 e 2 v 2 v 4 e 3 v 3 e 4 3

4 Esempio 3. Il crease pattern rappresentato nella figura seguente non dà origine ad un origami piatto a meno che d non diventi più lungo. Da questi esempi, si capisce che il problema generale dipende anche dal tipo di pieghe che abbiamo (se a valle o a monte) e dalla lunghezza delle pieghe stesse. d 4 Piegatura piatta di due vertici consecutivi Definizione 6. Diciamo che due pieghe consecutive e ed f sono costrette ad essere uguali (rispettivamente costretteadesserediverse) se per ogni mappa di piegatura piatta ϕ, abbiamo che ϕ(e) = ϕ(f) (rispettivamente ϕ(e) ϕ(f)). In più diciamo che una piega e è costretta se per ogni vertice v di e esiste almeno una piega f e, passante per v e consecutiva ad e, tale che e ed f siano costrette ad essere uguali o diverse. Queste definizioni portano a delle condizioni sulle somme degli angoli dei crease pattern. Lemma 1. ([2], Lemma 1) Sia ({v},e) un crease pattern che crea un origami piatto con E = {e 1,,e 2n }. Le pieghe e 1 ed e 2 sono costrette ad essere diverse se e solo se esistono 1 i j n 1 tali che (1) σ i > α 1 < σ j, (2) σ l < α 1 j < l n 1, (3) σ r < α 1 1 r < i; dove σ s = α 1 α 2n + + α 2s+1, σ s = α 1 α α 2s+1. Lemma 2. ([2], Lemma 2) Sia ({v},e) un crease pattern che crea un origami piatto con E = {e 1,,e 2n }. Le pieghe e 1 ed e 2 sono costrette ad essere uguali se e solo se σ i < α 1 > σ j per ogni 1 i,j n 1. Nota 2. Chiamiamo P (e 1,e 2 ) due pieghe costrette ad essere diverse e P = (e 1,e 2 ) due pieghe costrette ad essere uguali. 4

5 Notiamo che se α 1 α h per ogni h, possiamo considerare il crease pattern C = ({v}, {e 3,,e 2n }) dove l angolo tra le pieghe e 2n e e 3 è α 2n α 1 + α 2. Per ottenere C, basta piegare e 1 ed e 2 in modi diversi. In questo modo, però, C non è più piatto e le pieghe e 3 ed e 2n sono consecutive. L ipotesi di piattezza non viene usata per ottenere i risultati dei Lemmi 1 e 2; così possiamo abusare delle notazioni e denotare P = (e 3,e 2n ) e P (e 3,e 2n ) a seconda che le pieghe e 3 ed e 2n siano costrette ad essere uguali o costrette ad essere diverse. Definizione 7. Diciamo che C è derivato da v via ϕ. Possiamo anche iterare questa costruzione ed avere altri crease pattern derivati. 5 Mappe di piegatura piatta Sia C = (V,E) un crease pattern e ϕ una mappa per C. Definizione 8. Diciamo che C e ϕ sono compatibili se sono soddisfatte le seguenti due condizioni per ogni coppia di pieghe consecutive (e,f): (1) se P = (e,f), allora ϕ(e) = ϕ(f) (2) se P (e,f), allora ϕ(e) ϕ(f). Nota 3. Dalla Nota 2 segue che se ϕ è una mappa di piegatura piatta, allora C e ϕ sono compatibili. Osservazione 3. Se ϕ è una mappa di piegatura piatta, allora per ogni vertice v V di grado almeno 4, esiste un angolo minimale α 1 in v, tale che ϕ(e 1 ) ϕ(e 2 ). Questa semplice osservazione ci dice che se C è un crease pattern a cui è associata una mappa di piegatura piatta tale che C ha almeno un vertice di grado almeno 4, allora è sempre possibile costruire un derivato C di C. Definizione 9. Sia v un vertice di C e sia ϕ una mappa di piegatura per C. Diciamo che: (1) se v ha grado 2, C e ϕ sono strettamentecompatibili in v se sono compatibili; (2) se v ha grado almeno 4, C e ϕ sono strettamentecompatibili in v se sono compatibili, e se per ogni crease pattern derivato C indotto da ϕ abbiamo che C e ϕ sono strettamente compatibili in v. Definizione 10. C e ϕ sono strettamentecompatibili se lo sono in ogni vertice. 5

6 Nota 4. Sia C = (V,E) e sia ϕ una mappa di piegatura piatta per C, allora C e ϕ sono strettamente compatibili. Vogliamo ora trovare un criterio per stabilire se ϕ è una mappa di piegatura piatta oppure no. Partiamo con il caso di un solo vertice. Lemma 3. Sia C = ({v}, {e 1,,e 2n }) un crease pattern con un solo vertice v e sia ϕ una mappa di piegatura per C. Allora ϕ è una mappa di piegatura piatta per C se e solo se (1) vale la condizione di Kawasaki, (2) vale la condizione di Maekawa, (3) C e ϕ sono strettamente compatibili. Per la dimostrazione, si veda [2], Lemma 3. Nel caso generale con più vertici, sia C = (V,E) un crease pattern, con V = {v 1,,v r }. Costruiamo una decomposizione poligonale di C come segue: 1. per ogni faccia F di C, prendiamo un punto interno p F ; 2. per ogni piega f del bordo di F, prendiamo il suo punto medio p f ; 3. cosideriamo i lati i cui estremi sono p F e p f. Sia D l insieme di tutti i lati costruiti in questo modo. Così D divide Q in un numero finito di poligoni {P 1,,P r } tali che (1) P i Q per ogni i e i P i Q (2) P i P j è contenuto nel bordo di P i e di P j (3) ogni v i è contenuto all interno di P i (4) se e D è un lato comune al bordo di P i e P j, allora e è trasversale al lato che unisce v i e v j ; in più e non interseca nessun altra piega incidente a v i, tranne, eventualmente, l unica incidente anche a v j. Teorema 3. Sia C = (V,E) un crease pattern e sia ϕ una mappa di piegatura per C. Allora ϕ è una mappa di piegatura piatta se e solo se (1) vale la condizione di Kawasaki per ogni vertice, (2) vale la condizione di Maekawa per ogni vertice, (3) C e ϕ sono strettamente compatibili. Dimostrazione. Sia ϕ una mappa di piegature piatta per C; per la Nota 4, ϕ e C sono strettamente compatibili e quindi vale la condizione (3) del teorema. Siano ora ϕ vi le restrizioni di ϕ ad ogni vertice v i. Sia inoltre {P 1,,P r } una decomposizione poligonale di C come descritto sopra. Le ϕ vi sono mappe di piegatura, ognuna definita per un poligono P i avente un solo vertice per 6

7 costruzione. L unione di queste mappe, ϕ, è piatta, quindi, per la Nota 2, le ϕ vi sono mappe di piegatura piatte e, per il Lemma 3, valgono la condizione di Kawasaki e quella di Maekawa per ogni vertice. Abbiamo, così dimostrato che valgono le condizioni (1) e (2) del teorema. Viceversa. Sia {P 1,,P r } una decomposizione poligonale di C. Possiamo piegare ogni P i separatamente con mappe di piegatura ϕ vi, essendo dei crease pattern con un solo vertice. Per ogni P i valgono le tre condizioni del Lemma 3, quindi le mappe di piegatura ϕ vi sono piatte. Per la condizione (3) del teorema, possiamo incollare queste mappa di piegatura a due a due, con l attenzione che se la piega comune a due poligoni P i e P j viene piegata in modo diverso da ϕ vi e ϕ vj, allora considero 1 ϕ vi oppure 1 ϕ vj. In questo modo otteniamo una mappa che creerà un origami piatto. 6 Il grafo associato a un crease pattern Sia C = (V,E) un crease pattern. Definizione 11. Il grafoassociatoac è il grafo G(C) = (P,L) (dove P è l insieme dei vertici di G(C) ed L è l insieme dei suoi lati) avente come vertici pieghe di C e costruito come segue: (1) se due pieghe e ed f di C sono consecutive e vale P = (e,f), allora in G(C) e ed f sono identificate con lo stesso vertice; (2) se due pieghe g e h di C sono consecutive e vale P (g,h), allora in G(C) g ed h sono identificate con due vertici distinti collegati da un lato. Nota 5. Sia C = (V,E) un crease pattern, C un suo derivato e G(C) il grafo associato a C. Sappiamo che C = (V,E {e i,e i+1 }), per qualche i, si ottiene togliendo due pieghe consecutive di C; queste due pieghe possono essere costrette ad essere uguali, costrette ad essere diverse oppure non costrette. Il grafo associato a C è un sottografo di G(C), in quanto è uguale al grafo G(C) meno un vertice ed eventualmente i lati incidenti a questo (se le due pieghe tolte sono costrette ad essere uguali), a G(C) meno due vertici, il lato che li collega ed eventualmente i lati incidenti a questi vertici (se le due pieghe tolte sono costrette ad essere diverse) oppure è uguale a G(C) meno due vertici isolati ed eventualmente i lati incidenti a questi (se le due pieghe tolte non sono costrette). Una colorazione dei vertici di un grafo G è un assegnazione di un colore a ciascun vertice di G in modo che vertici adiacenti non abbiano lo stesso colore. Osservazione 4. Se C è piegabile in modo piatto, allora G(C) = (P,L) è 2-colorabile. Dimostrazione. Sia ϕ una mappa di piegatura piatta per C e sia λ : P {0,1} una funzione definita come segue: λ(v) = ϕ(e), 7

8 con e v. Dimostriamo che λ è una 2-colorazione dei vertici di G(C). Notiamo che se l è una piega di C non costretta ad alcuna altra piega, questa sarà un vertice di G(C) non collegato ad alcun altro vertice, per la costruzione del grafo. Con questa definizione di λ, per ogni w e z, estremi di uno stesso lato e di G(C), per la costruzione di G(C), w e z sono due pieghe costrette ad essere diverse e quindi λ(w) λ(z). Segue che λ è una 2-colorazione dei vertici di G(C) e quindi che G(C) è 2-colorabile. Notiamo che G(C) può contenere cappi; in tal caso, ovviamente, il grafo non è 2-colorabile. Assumiamo che G(C) = (P,L) sia 2-colorabile e sia v V un vertice di C. Allora G(C) dá delle condizioni sull insieme delle pieghe E v = {e 1,...,e 2n } incidenti in v. In particolare, siano G 1,...,G r le componenti connesse di G(C) che coinvolgono le pieghe incidenti in v, tali che nessuna di queste componenti corrisponda ad una singola piega di C (cioè nessuna componente connessa è costituita di un solo punto). Sia λ : P {0,1} una 2-colorazione di G(C); denotiamo con λ 1,...,λ r le restrizioni di λ a G 1 E v,...,g r E v rispettivamente. Possiamo allora considerare i numeri interi η 0 (λ i ) e η 1 (λ i ), per i = 1,...,r che rappresenta il numero di pieghe a valle e a monte colorate da λ i : (V (G i E v )) {0,1}. Nota 6. ([2], Remark 13) Se C = (V,E) è un crease pattern che soddisfa le condizioni di Maekawa e di Kawasaki nel vertice v V, allora, per il Lemma 3, esiste una mappa di piegaura piatta ϕ v per ({v},e) tale che ϕ(e) = ǫ(i)λ i (e) + (1 ǫ(i))(1 λ i (e)), dove e G i. Più esplicitamente, la condizione di Kawasaki ci consente di scegliere una mappa di piegatura ϕ v che rispetta le pieghe costrette. Teorema 4. ([2], Theorem 4) Sia C = (V,E) un crease pattern. Allora C è il crease pattern di un origami piatto se e solo se (1) vale la condizione di Kawasaki per ogni vertice v V, (2) vale la condizione di Maekawa per ogni vertice v V, (3) il grafo G(C) associato a C è 2-colorabile. Dimostrazione. Se ϕ è una mappa di piegatura piatta, per il Teorema 3, valgono le condizioni (1) e (2) dell ipotesi; in più, per l Osservazione 4, G(C) è 2-colorabile. Viceversa. Vogliamo provare che se valgono le condizioni (1), (2) e (3) dell ipotesi, allora esiste una mappa di piegatura ϕ per C tale che ϕ e C sono strettamente compatibili. Sia µ una 2-colorazione di G(C); questa induce in modo naturale una mappa di piegatura ψ per C. Notiamo che possiamo cambiare il colore di µ per ogni 8

9 vertice isolato di G(C) (che corrisponde ad una piega non costretta di C) ed ottenere un altra 2-colorazione λ di G(C) che induce un altra mappa di piegatura ϕ per C. Analogamente possiamo invertire la colorazione di ogni singola componente connessa di G(C). In più, dato che valgono le condizioni di Maekawa e di Kawasaki per ogni vertice, per la Nota 6, queste nuove mappe rispettano le pieghe costrette di C. Dato che ϕ e C sono strettamente compatibili, supponendo che non lo siano, esiste un derivato C n tale che ϕ C n e C n non sono strettamente compatibili; cioè ϕ C n non rispetta le pieghe costrette di C n : esistono due pieghe consecutive e ed f di C n tali che, se vale P = (e,f), allora ϕ(e) ϕ(f) (equivalentemente se vale P (e,f), allora ϕ(e) = ϕ(f)). Ma e ed f sono pieghe anche di C e possono verificarsi due casi: 1. in C, e ed f sono due pieghe consecutive. Se così fosse e vale P = (e,f), per la costruzione di G(C), deve valere ϕ(e) = ϕ(f) e questo implica un assurdo con la non stretta compatibilità di ϕ C n e C n. Equivalentemente si ha se vale P (e,f); 2. in C, e ed f non sono consecutive e, poichè incidenti nello stesso vertice, non sono costrette in C. I vertici di G(C) che corrispondono a queste pieghe appartengono quindi a componenti connesse diverse (eventualmente sono punti isolati). Se in C n vale P = (e,f), in virtù della Nota 6, possiamo eventualmente invertire le colorazioni di una di queste componenti connesse ed ottenere una colorazione λ in modo che induca una mappa di piegatura ϕ, coerente sul derivato C n, tale che ϕ(e) = ϕ(f). Anche in questo caso si ha un assurdo con la non stretta compatibilità di ϕ C n e C n. Abbiamo così dimostrato che ϕ e C sono strettamente compatibili. Le tre condizioni dell ipotesi, implicano le tre condizioni dell ipotesi del Teorema 3; applicando questo teorema, abbiamo la tesi. Riferimenti bibliografici [1] T.Hull, The combinatorics of flat folds:a survey in The Proceedings of the Third International Meeting of Origami Science, Mathematics, and Education published by AK Peters, :29-38, [2] F. Poma, On the flat-foldability of a crease pattern, 5 Settembre 2009, pp. 14.