Dispense di IDRAULICA per gli allievi ingegneri civili del nuovo ordinamento

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1 Anea Balzano Dspense IDRAULICA pe gl allev ngegne cvl el novo onameno 0,5 U /g U L λ gd Ω Ω U g U L λ gd p A γ U /g U /g U /g η U /g U L λ gd U c g h A z A ε ε D D D.. ε p c γ p B γ h B L L L z c z B Unvesà egl S Cagla Facolà Ingegnea Dpameno Ingegnea el Teoo Gennao 009

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3 Gl esecz Ialca sono semplcssm: bsogna sae sempe l eqazone el moo e l eqazone connà. G. R. Aspon Gl esam non fnscono ma. E. De Flppo

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5 Pefazone alla pma ezone Qese spense accolgono n foma onaa conen elle lezon el coso semesale Ialca pe allev ngegne el-ache e ngegne el specals ella Facolà Ingegnea ell'unvesà Cagla, cosene l pmo molo el Coso Inegao Ialca e Coszon Ialche. La sponblà spense vene genealmene sempe accola con favoe agl sen cos nvesa, sa peché cosscono n pecso scono elle lezon che consene alleggee noevolmene l'avà amanens c ess evono almen ecas, a scapo ella sessa compensone vebale el ocene e ella possblà neage con esso con chese chamen n paole povee: peeno n po' l flo el scoso; sa peché aloa l ocene pesena alcn agomen n foma che ene pefeble, maga solo a n pno vsa pamene aco, speo a qano epeble e lb eso nca pe lo so ella maea e la pepaazone ell'esame; sa peché, pù banalmene, lo sene ene naalmene a gaae con cea smpaa alle menson genealmene oe elle spense speo a qelle e es nca, maga con l'neno omeee senz'alo la conslazone qes lm. Sebbene l'aoe non abba la mnma peesa che qese spense, come e le spense, possano essee assmlabl, pe compleezza e ogancà, a lb eso n passao aoa pe cos annal, egl è sao ava noo a egele affnché possano cose l femeno pncpale egl allev pe la pepaazone ell'esame, n conseazone ella scasà es aagla alle esgenze ella aca nel novo onameno egl s: n pacolae, pe qano gaa lo specfco coso c sono esnae, all'nsegnameno ell'ialca n 50 oe compensve lezon e esecazon e alla necessà compleae la pepaazone ell'esame n emp al a consene allo sene sosenelo nella sessone mmeaamene sccessva al emne el coso. I pù comple lb eso sponbl vengono comnqe nca pe maggo chamen o appofonmen: ole a es Ceneese, Cn-Nosea e Mach-Rbaa, anche le spense el Pof. C.A. Fassò, c n mol, a sen, abbamo appezzao l caaee esaene e gooso e la ovza pnalzzazon e esemp. Le pemesse ella ecene foma nvesaa ncavano, pacolamene pe qano gaa le facolà ecnche come Ingegnea, l'obevo congae na maggoe pepaazone pacopofessonale e neolaea con la sola fomazone clale azonalmene fona, almeno n senso ecnco, a ale Facolà, nonché con n accocameno sensble e emp necessa al consegmeno ella laea. Oa, anche a vole veamene poe mano a an fe ell'nvesà alana, enenola smle, pe esempo, alle celebae nvesà anglosasson, con la laea pmo lvello non s poebbe che poe qel che s sa bene essee l laeao pmo lvello sanense o bannco: n ecnco oao ablà alqano lmae, nclsve maga aesameno nensvo all'so sofwae pe l'eseczone comp specfc, pvo na sola cla ngegnesca a ampo speo, l c lavoo eve essee necessaamene coonao a ecnc fomazone speoe fa l'alo, nel coneso na oganzzazone el lavoo pofessonale pù macaamene nsale qano non avvenga, noma, n Iala. Rnncano qn al consegmeno e mabl obev ella foma, peché mpossbl a consege a paee ell'aoe, e non esseno concepble che no sene che spea l'esame Ialca non possea na sffcene ablà nella solzone e pncpal poblem po applcavo, necessano a ale scopo aegaa avà esecava, seppe a malncoe c s vee cose a lmae conen clal el coso, ceno le aazon eoche a cò che è veamene essenzale pe la compensone e conce fonamenal, ma sopao aspeo che l'aoe non s sanca ma poae all'aenzone egl sen e che vene evenzao, ove occoa, anche n qese spense pe la sessa coea applcazone e meo pac. Seppe consevano, speo agl ann passa, l'so ella noazone pe componen con la convenzone Ensen a vanaggo ella snes, a pae all'a.a s abbanoneà l pocemeno ezone elle eqazon n foma locale alle fome global lagangane, segeno nvece l pocemeno nveso, basao slla fomlazone elle legg ella meccanca pe volm elemena, pe qal sla genealmene pù chao l sgnfcao fsco elle opeazon che vengono conoe pacolamene nel caso egl sen el amo Ele, che non sosengono ane l loo coso s n esame Meccanca Razonale. III

6 In conseazone el empo lmao a sposzone el ocene, alcn (poch) conce vengono llsa chaaamene pe va esca, pealo sempe con ncazone e femen a aazon pù complee. Talvola, s nnca nvece alla snes pe qalche maggoe pnalzzazone che, sebbene possa appae spefla, peché sconaa, e pecò noppona nell'ambo n lbo eso, ale non sla alla espeenza paca ell'aoe. Il o, speablmene, senza nncae a n sosanzale goe scenfco geneale ella aazone. A poposo e femen bblogafc nca pe maggo chamen e appofonmen, s chama l'aenzone ello sene slla necessà vefcae accaamene, alloché conslasse no al es, anche le convenzon v aoae, confonanole con qelle lzzae nel coso e enenos così cono el movo evenal ffeenze nelle fomle c s pevene ne va cas. Le ffeenze pù levan qano alle convenzon aoae ne es nca veanno comnqe chamae anche n qese spense n noe a pè pagna. Pù n geneale, s sconsgla vvamene lo sene convnces ave pepaao n ceo agomeno el coso pe l fao sape peee va passagg poa nelle spense, qaloa non sa n gao spegane l sgnfcao llsao pealo con maggoe pofsone eagl nelle lezon, che sevono popo a qeso, e che s nva pecò calamene a sege esseno n al caso pefeble appofae el cevmeno sen. Tale evenalà poà ava essee pù feqene l pmo anno sccessvo alla sesa elle spense, qesa vola pe colpa ell'aoe, peché nevablmene le pme ezon sono sempe affee a n ceo nmeo efs, che l'aoe pega qn vvamene gl sen segnalagl, a pù foe agone nsseno slla accomanazone non penee pe bona n'eqazone solo "peché c'è sco nelle spense". T pocemen seg hanno na pecsa logca, che lo sene eve compenee; evenal eccezon mpose alla mancanza empo veanno esplcamene segnalae nel eso. Infne, sempe nell'neno agevolae la pepaazone ell'esame a pae ello sene, l pmo capolo elle spense è ecao, ole che alla pesenazone alcne nozon nove, al chamo e le nozon pelmna necessae allo so ella maea, che ovebbeo essee gà (ben) noe allo sene a cos peceen. A ale poposo, e anche slla scoa ella sconfoane vefca qoana ella ffsa enenza a sosenee gl esam n one esaamene nveso a qello eao al bon senso pealo faclmene elmnable meane sane popeecà obblgaoe, che peò sono sae ncompensblmene abole s maca che al cham evono nenes come al, poso che come n Bgnam elle elave maee, le c lezon sono mpae, ovvamene, ben meglo che all'aoe, a ola e elav cos, e c esam s pesme sano sa spea con sccesso allo sene che s pesena all'esame Ialca. L'neno è ncamene qello oae lo sene n femeno che ca al mnmo la necessà conslazone al es, almeno pe al nozon gà acqse, che vengono nole popose nel meesmo fomalsmo lzzao nel eso elle spense. Affonae la maea aveno cha n mene pncp fonamenal ella Fsca ne eneà pù agevole lo so. Rnncae a consolae, ove necessao, le nozon base pe nsege na aa esame a cos, poce n genee empo peso e fsazone nello sene. La vefca ella pepaazone mea n see esame consenà valae l'effcaca ale lavoo, maga pe appoae sccessvamene ole alle nevabl coezon efs qalche effeva coezone o. La paca soopoe l coso al gzo anonmo egl sen consenà nole all'aoe vefcae l gameno egl sen anche pe qeso maeale aco, el che anche veà eno cono. Pe qano gaa, peò, evenal mosanze (gà sconae n passao), el po "la maea è pesane" o "voemmo emnae la lezone mezz'oa pma", ole a coae l'afosma Albe Ensen: "Thngs shol be as smple as possble, b no smple" (peché almen s pee l sgnfcao elle cose c s sa palano), s pò solo nvae lo sene a conseae aenamene che, sl fao che l'acqa sa qesa sosanza lqa (aloa), vscosa, nsosa e sfggene, see mo alvola lamna, pù spesso bolen e caoc, o come l noo comco R. Pozzeo ceva, n chave seale e salnaa, a poposo el mae semovble, l poveo aoe avveo non pò fac nene! Anea Balzano Cagla, gennao 006 IV

7 Pefazone alla secona ezone Qesa secona ezone elle spense è saa pesposa pe l coso Ialca pma pae a mpae agl allev ngegne cvl ss el coso laea ennale e agl allev ngegne cvl specals n possesso el olo laea ennale n ngegnea ele. A pma vsa, l coso sembeebbe pesenae alcn se nconvenen, pealo eemna a scele assne agl ogansm accaemc compeen n ann passa, ne qal l'aoe eneva n coso Ialca pe n coso s ffeene a qello Ingegnea Cvle. Il coso ha la aa 60 oe pe cnqe ce: ec oe n pù speo al coso pe allev ngegne-ache, pe l qale ea saa pesposa la pma sesa elle spense, pe gl sess ce el veccho coso. Se qalcno ce, come effevamene ce qes emp, che l meoo e ce non va bene anche pe l moo n c esso vene applcao, non s fa ceo faca a ceegl. Lo sene poà fose essee neessao al movo ale anomala. Rfee q, ne eagl, l coneno elle see egl ogan accaemc compeen slle qeson ache, nelle qal l'aoe ha poso l poblema ella coea assegnazone ce al coso, saebbe ava fo logo anche se fose poso svo. Cò che l'aoe s sene affemae è che non v è alcn movo sensao, che spona al conceo genno ceo fomavo qale msa ell'mpegno cheso allo sene pe la pepaazone ell'esame. D'alo cano, l'aoe non coa avee seno, nelle meesme se szonal, neven e appesenan egl sen a ale poposo, pe c s è seno, n efnva, pvo n valo movo pe nssee leomene nelle se mosanze (anz, slla base el pncpo appesenanza emocaca c sono nfoma gl ogan accaemc, s ovebbe popo e che la caegoa egl sen è sosfaa così). Il nmeo ce non saebbe peò l solo nconvenene. Nella pefazone alla pma ezone venva fao femeno alla scagaa scela elmnae le popeecà egl esam. S è sc a fae meglo: s è abola la popeecà ella ocenza, ncleno nello sesso semese cos Meccanca Razonale, Scenza elle Coszon e Ialca. L'aoe confessa non ave ealzzao ale sazone empesvamene, ma la cosa non fa alcna ffeenza: l manfeso non saebbe sao mofcable se non con laghssmo ancpo sll nzo el coso, n emp ne qal qeso non ea ancoa sao abo all aoe, né l'opeazone saebbe poa essee comnqe ealscamene fable, non essenov scaenze legge o neess specfc n goco che poesseo movae gl ogansm compeen a fas caco el poblema. D'alo cano, l'aoe ene ecsamene al là elle se capacà mpae l'nsegnameno ell'ialca senza fae so elle nozon fonamenal elle e maee menzonae. Il leoe s omaneà, a qeso pno, l peché el conzonale feo a fe el coso. Il movo è semplce: gl nconvenen essono, ma s sono els vcenevolmene, o qas. Infa, la necessà fone n connazone spegazon s conce che gl sen non posseevano, n qano saebbeo sa mpa loo n emp sccessv e n al cos (pncpalmene e chama n peceenza), ha eemnao, ole a na cea fammenaeà el coso, na noevole pea empo. Come consegenza, l pogamma svolo n 60 oe ha speao n msa molo meno che popozonale qello svolo, ne cos Ialca en all aoe n ann peceen, n sole 50 oe. Un anmo sofsa poebbe qn agomenae che 5 ce s sano vela, a poseo, popozona all'mpegno cheso allo sene, n qano popozona all esensone el pogamma svolo. Naalmene, gl sen poanno obeae ave ovo peee ec oe nlmene, 60 passae a ascolae scos non sempe compensbl (a pae lm ell aoe come aa), peché fe a conce c ess eano, pe mov e n peceenza, spovvs. D pù, e non senza agone a go logca, poebbeo sosenee che, esseno sae mpegnae 60 oe lezone el caco oale lavoo cosponene a 5 ce, la pae manene lavoo a svolgee pe lo so ella maea ovebbe essee nfeoe a qella pevsa pe l veccho coso 50 oe pe gl sess 5 ce, se s vole che l caco oale manga nvaao l che ovebbe compoae, logcamene, na zone e conen el novo coso speo al veccho. Il o, senza vole conseae la ffcolà ella maea, oggeva e ben noa, ella qale pealo l'aoe non s bea affao. Ma e qese conseazon, n fn e con, non hanno alcna mpoanza. Gl neess V

8 egl sen sono n omo agomeno, a sae all occoenza, qano ess concono con gl neess el ocene che se ne fa poaoe amenano, oleo, molo l eleganza ell eloqo, peché asane sneesse. Cò che cona è che la foma sa salva, peché la foma è cò che cona veamene, n geneale, n qesa nosa Unvesà alana (con o senza l On.Gelmn, o l On. Belnge, al mnseo). Tan'è. Pecò, a maggo agone e, qesa vola, fo a ogn ona, l aoe s sene conclee accomanano vvamene agl sen poceee allo so ell'ialca solano na vola sosen con sccesso gl esam Meccanca Razonale e Scenza elle Coszon, o, qano meno, aveno poceo allo so e alla assmlazone al e maee. Anea Balzano Cagla, gennao 009 VI

9 INDICE. RICHIAMI DI NOZIONI NOTE ED ALTRE NOZIONI INTRODUTTIVE.... Rcham Anals Maemaca..... Fnzon na vaable. Devae, ffeenzal e svlpp n see Inegazone fnzon na vaable..... Eqazon ffeenzal onae Fnzon pù vaabl. Devae, ffeenzal e svlpp n see Inegazone fnzon pù vaabl Rcham Anals Veoale e Tensoale Genealà Opeazon fa veo Tenso Camp scala, veoal e ensoal. Opeao ffeenzal Rcham Meccanca Msa elle ganezze fsche Schemazzazone ello spazo fsco nella Meccanca Newonana. Il pno maeale.. Cnemaca Saca Dnamca PROPRIETÀ FISICHE DEI FLUIDI Schema mezzo conno Defnzone flo Sfoz ne fl. Foze spefce Densà e peso specfco. Foze volme Vscosà Fl newonan Fl non newonan Tensone spefcale Tensone vapoe Compmblà Assobmeno e gas ne lq...5. IDROSTATICA Inozone Sao sfozo n n pno Eqazone nefna ell'osaca Eqazone globale ell'osaca Fl pesan, soem, omogene e ncompmbl. Legge Sevn Pncpo Pascal Fl non mscbl sovappos Aefom Smen msa ella pessone Spne s spefc VII

10 .0. Spne s spefc pane Spne s spefc foma qalnqe IDROCINEMATICA Genealà Camp velocà e aeoe Pn vsa Eleano e Lagangano Cenn all'anals el campo moo nell'nono n pno Classfcazone e mo Lnee coene e lnee fmo Flss aaveso spefc Pncpo consevazone ella massa. Eqazon connà Eqazone connà n foma locale Eqazone connà n foma globale EQUAZIONI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA DEI FLUIDI Genealà Sao sfozo n n pno. Teoema Cachy Smmea el ensoe egl sfoz Eqazone nefna el moo Legge cosva e fl newonan Eqazone Nave-Sokes Eqazone globale el moo Foma geneale Foma pe n flo vscoso Anals locale el moo na pacella lngo la sa aeoa Dsbzone ella qoa pezomeca nel pano nomale alla aeoa Teoema Benoll Tbolenza Evenze spemenal Anals sasca ella bolenza Eqazon pe le qanà mee Sgnfcao fsco el nmeo Reynols CORRENTI FLUIDE Defnzon Eqazone connà pe le coen Poenza na coene n na sezone Esensone el Teoema Benoll alle coen Smen msa ella poaa CORRENTI IN PRESSIONE Genealà Moo nfome nelle conoe n pessone Legg essenza al moo nfome Fomla Dacy-Wesbach Fomle pache VIII

11 7.4 Pee sbe nel moo sazonao non nfome Pee caco localzzae Pea Boa o pe bsco allagameno Pea mbocco Pea pe bsco esngmeno Pee n onch vegen (Fga 84) Pee nelle cve (Fga 85) Pogeo e vefca elle conoe n pessone Lnghe conoe Genealà Pogeo e vefca na conoa congngene e sebao Vefca na ee lnghe conoe con n noo neno MACCHINE IDRAULICHE Defnzon Deemnazone el pno fnzonameno na pompa Vefca elle massme epesson n n mpano pompaggo Calcolo ella poaa massma convoglable a na pompa Cenn a ce pogeazone egl mpan pompaggo CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA Genealà Moo nfome Caaesche enegeche ella coene n na sezone. Sao cco Caaesche cnemache elle coen a pelo lbeo Popagazone elle pebazon Classfcazone elle coen Classfcazone egl alve Pofl moo pemanene Eqazone ffeenzale e pofl moo pemanene Pofl moo pemanene n alve psmac Alve a ebole penenza Alve a foe penenza Alve eclv a penenza cca Alve a penenza nlla e alve acclv Taccameno e pofl moo pemanene Genealà Case pebac e conzon al conono Sezon conollo. Tanszone sponanea pe lo sao cco Conzon al conono n alve emnal Rsalo alco Desczone fenomenologca e ceo pe la localzzazone el salo Pofonà a mone o a valle el salo noa a po Pofonà congae enambe ncogne FORONOMIA... 7 IX

12 X 0. Genealà Efflsso a lce fono n paee sole Efflsso a lce n paee sole vecale Efflsso a lce n paee sole ggaa Efflsso a na paaoa pana vecale n paee sole Samazzo n paee sole Samazzo a laga sogla... 6

13 CAPITOLO PRIMO. RICHIAMI DI NOZIONI NOTE ED ALTRE NOZIONI INTRODUTTIVE. Rcham Anals Maemaca.. Fnzon na vaable. Devae, ffeenzal e svlpp n see. Una fnzone na vaable, f(), s ce evable nel pno 0 se esse, fno, l segene lme el appoo ncemenale: lm 0 f ( ) f ( ) 0 0 f ' ( 0 ). () Tale lme è la evaa ella fnzone f nel pno 0, f'( 0 ). Con femeno allo schema Fga a, ea y la vaable penene efna alla fnzone f, y f(), l valoe el appoo ncemenale appesena la angene gonomeca ell'angolo α che la ea passane pe pn ( 0,y( 0 )) e (,y()), con 0, foma speo all'asse elle ascsse. Nel passaggo al lme, la ea ene alla angene nel pno 0 alla cva appesenava ella fnzone f() e gl ncemen elle vaabl npenene e penene, e f f( 0 ) f( 0 ) y, enono a zeo e slano pecò qanà nfnesme enomnae ffeenzal, nca con e f (o y) spevamene. La evaa vene peano ncaa anche con la noazone smbolca (ma espessva el sgnfcao ell'opeazone) f/ o y/. Consege mmeaamene all'essenza el lme () che la fnzone ebba essee conna nel pno 0 (conzone necessaa pe la evablà): lm 0 f ( ) f ( ) 0. y y y( 0 ) y( 0 ) α f y( 0 ) α 0 0 (a) 0 0 (b) Fga. Rappesenazone gafca el sgnfcao geomeco (a) el appoo ncemenale e (b) ella evaa na fnzone na vaable. Dalla () consege anche che na fnzone evable n n pno 0 pò essee espessa n n nono sffcenemene seo ale pno come: f ( ) f ( ) f '( )( ) ( ) f ( ) f ( )( ) ε, () ' n c ε è l'eoe ell'appossmazone espessa al ezo membo ella (), nfnesmo pe enene a 0. Il ffeenzale ella fnzone nel pno 0 pò qn espmes come: ( ) f f ' 0 () 0 0

14 Slla base ella () s efnscono la evaa secona: ( ) ( ) 0 ' ' ' f f f e, n geneale, le evae one n: n n n n f f. Slla base el sgnfcao ella evaa pma na fnzone, n valoe posvo ella evaa pma sgnfca che la fnzone è cescene. Inole, poché la evaa secona è la evaa ella evaa pma, n valoe posvo ella evaa secona enoa na evaa pma cescene (la appesenazone gafca ella fnzone ha la concavà vola veso l alo); n valoe negavo na evaa pma ecescene (concavà vola veso l basso). Va eoem ell'anals pesppongono la connà na fnzone e elle se evae fno a n eemnao one. Salvo ffeene ncazone, vola n vola s assmeanno sempe sosfae al conzon, p senza ane na eaglaa esczone. Voleno evae al eaglae specfcazon, fnzon qeso po vengono genecamene efne egola. Una fnzone egolae pò essee espessa meane no svlppo n see aono a n pno 0 el po (see Taylo): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) !... 6 n n n n f n f f f f f f, (4) che, n n nono el pno 0 sffcenemene seo, pò essee appossmao alla (). S pala alloa svlppo n see Taylo aesao al pmo one; pe 0 la cosponene vaazone ella fnzone è l so ffeenzale, espesso alla (), e l'eoe ε c alla espessone () è ao al eso ella see Taylo che s oene sommano emn one n ella (4). Un opeaoe Φ efno s n omno na vaable w s ce lneae se, a e valo qalnqe ella vaable, w e w, e na cosane c, s ha: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) w c cw w w w w Φ Φ Φ Φ Φ (5) La evaa è n opeaoe lneae. Dae e fnzon egola, f e g, e na cosane c, s ha nfa: ( ) g f g f (6) ( ) f c cf. (7) Sono opeao lnea le evae qalnqe one. Inole, valgono le segen egole pe l'eseczone elle evae el pooo e fnzon: ( ) g f f g g f (8)

15 el appoo e fnzon, ecble alla (8): ( f g) g( f ) f ( g ) g e na fnzone fnzone: [ g( ) ] f f g. (9) g S omeono le espesson elle evae elle fnzon pù comn, pe le qal s mana a es Anals. A olo esempo, s llsa l calcolo ella evaa ella fnzone fnzone z /y y -, con y c, ove c è na cosane. Rcoano che, aa la fnzone z f(y) y n, s ha z' n y n-, mene y' c, pe la fnzone z(y()) s ha peano: z y y ( c) c z y y [( ) y ] c c ( c) c L'esempo (0) mosa che le sole egole (8) e (9) possono essee lzzae pe l'eseczone ella evaa sa el pooo che el appoo e fnzon. In geneale, slla base al egole, pò essee esega la evazone na fnzone qannqe complessa... Inegazone fnzon na vaable. Una fnzone na vaable, f(), affgaa n Fga, s ce negable nell nevallo [a, b], ove a e b sono e nme fss assegna, se esse, fno, l segene lme (negale efno): (0) b a f ( ξ ) ξ ma lm { δ } 0 f ( ξ ) δ, () n c ξ è n qalnqe valoe ella vaable neno al geneco nevallo δ e la qanà f(ξ )δ appesena l'aea ella spefce eangolae campa n aeggo. L'negale efno () appesena peano l'aea soesa fa la cva y f() e l'asse elle ascsse nell'nevallo [a, b] (omno negazone), campa nfomemene n Fga a. Il valoe nmeco ell'negale efno è ao a: b a f b ( ξ ) ξ [ Θ ( ) ] Θ ( b) Θ ( a) a, y y y(ξ ) δ a ξ b a c b (a) (b) Fga. Rappesenazone gafca (a) ella efnzone negale efno e (b) ella popeà ava ell'opeaoe.

16 n c Θ() è na fnzone pmva f(), ale coè che f() Θ ()/. Daa na fnzone pmva, sono al anche e le fnzon che ffescono a essa pe na cosane. Te le pmve na fnzone f sono qn ae a: ( ) c f ( ) F ξ ξ, eo negale nefno ella fnzone f, n c F() è la fnzone negale f speo al pno 0 : F ( ) ( ) 0 f ξ ξ, () n c 0 s nene fsso e vaable. La evaa na fnzone negale el po () è peano pa alla fnzone negana valaa n, f(): ( ) F f Sebbene l'opeazone negazone sl, genealmene, meno agevole eseczone speo all'opeazone evazone, le conzon pe l'negablà na fnzone (coè, pe l'essenza el lme ()) sono meno esve qelle pe la sa evablà, non esseno chesa, n pacolae, la connà ella fnzone. L'negale è n opeaoe lneae. Dae e fnzon negabl, f e g, e na cosane c, s ha nfa: b ( ) [ f ( ξ ) g( ξ )] ξ f ( ξ ) ξ ( ) a b b a ( ξ ) ξ c ( ) cf a b a b a f ξ ξ. g ξ ξ, () L'negale goe ella popeà ava, secono la qale, ao n valoe c appaenene all'nevallo [a, b], s ha (ve Fga b): Inole, s ha: b ( ξ ) ξ f ( ξ ) ξ ( ) f a c a b c f ξ ξ. (4) b f ( ξ ) ξ f ( ξ ) a a b ξ (5).. Eqazon ffeenzal onae S efnsce eqazone ffeenzale onaa one n na eqazone conenene na fnzone ncogna y() e se evae one massmo n, el po: ( n) (, y, y',, y ) 0 f L Le solzon (ee anche negal) na eqazone ffeenzale one n penono a n cosan negazone abae, eemnabl meane onee conzon al conono. Il po pù semplce eqazon ffeenzal onae, che è anche l'nco c veà q fao femeno, è el pmo one a vaabl sepaabl, nella foma: 4

17 y ( ) ( y) g w. (6) Tale eqazone vene sola eemnano gl negal nefn oenbl, pe l appno, sepaano le vaabl fa pmo e secono membo: ( ξ ) ξ w( η) g η. Esseno gl negal nefn eemna a meno na cosane, la solzone ello specfco poblema n oggeo appesenao alla (6) s oene mponeno na onea conzone al conono, anch essa espessva el pacolae poblema n esame, aa a eemnae l valoe ella cosane negazone...4 Fnzon pù vaabl. Devae, ffeenzal e svlpp n see. S ce evaa pazale na fnzone n vaabl, f(,,,,, n-, n ), speo alla vaable la evaa onaa ossa, el po () ella fnzone ell'nca vaable che s oene pe valo cosan elle vaabl manen: f lm 0 (,...,,,,..., ) 0 f (,...,,,,..., ) f (,...,,,,..., ) n0 n0 Analogamene a qano vso pe l caso na fnzone na vaable, sono efnbl le evae one speoe, anche mse, slan coè a evazon sccessve speo a vaabl ffeen, el po: n0, k k k k f kn n kn n, (7) con k k k k n- k n k. Nel caso fnzon pù vaabl, l'abo egolaà gaa la connà elle evae pazal fno all'one che neessa pe l caso specfco. In geneale, nello scvee na evaa one speoe na fnzone pù vaabl, la seqenza e ffeenzal elle vaabl npenen che fga a enomnaoe ell'espessone fomale ella evaa eve fleee pecsamene l'one elle evazon sccessve; cambano l'one evazone pò nfa oenes n slao ffeene. Nel caso na fnzone egolae, nvece, non è levane l'one nel qale s effeano le evazon sccessve, avenos, a esempo: f f, e analoghe espesson pe le evae one speoe. La sca (7) cossce peano na foma geneale pe le sole fnzon egola. Il ffeenzale oale na fnzone egolae f n vaabl cosponene all'nseme egl n ffeenzal elle n vaabl npenen,,,,,, n-, n, è ao a: f f f n n f f f n n. (8) 5

18 Tale nseme ffeenzal elle vaabl npenen enfca no sposameno lngo na ezone, s, e secono n ceo veso, nello spazo elle sesse vaabl. La cosponene evaa ezonale ella fnzone f nella ezone s è aa a: s f s f s f s f s f s f n n n n......, n c s appesena lo sposameno nella ezone enfcaa alle componen lngo gl ass coona,,,,,, n-, n. In n conseo ssema femeno oogonale, nel qale s ha s n- n e s cos( ^s), la evaa lngo la ezone s è espmble come: ( ) ( ) ( ) s f s f s f s f n n ^ cos... ^ cos... ^ cos. (9) L'opeaoe evaa pazale goe elle meesme popeà (6)-(9) ella evaa onaa. S ossev che na fnzone el po: ( ) ( ) ( ) ( ) f y,,, è, n efnva, na fnzone ella sola vaable npenene e se ne pò qn calcolae la cosponene evaa onaa. Pe chae come ebba effeas ale opeazone, n conseazone ella penenza a anche aaveso le, convene conseae la fnzone: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g f y,,,,,,. A noma ella (8), e coano la egola pe l calcolo ella evaa na fnzone fnzone, eqazone (9), l ffeenzale ella fnzone è ao a: f f f f g g g g y. Nel caso pacolae n c, che q neessa, la cecaa evaa onaa ella fnzone f speo alla vaable npenene è aa qn a: f f f f f f f f y. (0) Anche le fnzon pù vaabl sono svlppabl n see Taylo, espmble nella foma sneca, e smbolca: ( ) ( ) ( !,...,,...,,...,..., k k n n n f k f f ) () n c la poenza ella sommaoa fa paenes va svlppaa analogamene alla poenza n polnomo, neneno peò gl esponen conen n ale svlppo come on evazone pe qano gaa le evae appesenae, nella (), al emne f/. A olo esempo, lo 6

19 svlppo n see Taylo na fnzone e vaabl s scve pe eseso, fno al ezo one, come sego poao: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ! 6,, k k f k f f f f f f f f f f f. Come pe na fnzone na vaable, n n nono el pno ( ) 0 0 0,...,,..., n sffcenemene seo na fnzone pù vaabl pò essee appossmaa meane no svlppo n see Taylo aesao al pmo one. Pe ncemen elle vaabl npenen enen a zeo, la vaazone ella fnzone è aa al so ffeenzale, espesso alla (8)...5 Inegazone fnzon pù vaabl. D'oa n avan esngeemo l scoso allo spazo ecleo a e menson, nell'ambo el qale sono escvbl fenomen fsc neesse el coso, meane gl smen ella Meccanca classca (newonana). Inole, conseeemo sempe gl sal ssem femeno oogonal es, le c e coonae ncheemo con smbol,, (Fga ). V V n S n S S P P Γ s Fga. Schema appesenavo egl negal lnea, spefce e volme. In ale spazo fsco s efnscono, n emn sosanzalmene analogh a qell espess alla (), gl negal lnea:, () ( ),, P P s f 7

20 spefce: e volme: S V f f (, ), (, ) S, V. Anche gl negal lnea, spefce e volme posseono le popeà lneaà e ava ()-(4). In pacolae, mene pe gl negal lnea la popeà ava s espme n moo fomalmene enco alla (4), con femeno a n pno P 0 nemeo a P e P nella cva Γ Fga, pù n geneale essa pò espmes nella foma: (,, ) I f (,, ) I f (,, ) I... f (,, ) f I I U I n I I, () n c l omno negazone I U è n nseme (cva, spefce o volme) ao all'none egl n soonsem I : IU I U I U... U I U... U I n. D noevole mpoanza pe le applcazon nella fsca maemaca sono le fomle Gass. Daa na fnzone egolae f(,, ), s ha: f V V S ( ^ n) f cos S, (4) pe na qalnqe elle e coonae, enfcaa al pece, n c S è la spefce conono el volme V, n appesena la ezone n segmeno oenao lnghezza naa (vesoe), localmene nomale alla spefce S ossa, nomale, pno pe pno, alla cosponene aeola S e volo veso l'eseno, eo nomale esena e ncao con l smbolo n. Nel posego, veà sempe aoaa la convenzone conseae la nomale esena a na aa facca na spefce (aoae la convenzone opposa compoeebbe n cambameno segno a secono membo ella (4) ). S ossev che, qaloa s conse na spefce chsa, come nelle fomle Gass, cosa s nena con l'abo "esena" feo alla nomale non chee leo pecsazon, peché eso evene alla pesenza el volme acchso alla spefce: la nomale è vola veso l'eseno el volme. Qano nvece s aeà negal esen a spefc non chse, occoeà pecsae (e avee chao) a qale elle e facce ella spefce c s sa feeno (pe esempo, la facca coloe pù sco ella spefce poaa n Fga ), la nomale esena esseno qel vesoe che, conseao come sposameno n ossevaoe, lasca alla vsa ell'ossevaoe la facca pescela.. Rcham Anals Veoale e Tensoale.. Genealà Nell'ambo ella meccanca newonana, alla qale faemo esclsvo femeno, le ganezze fsche sono espmbl meane en geomec vao po nello spazo ecleo a e menson. Uno scalae è na ganezza caaezzaa a n solo nmeo eale. Esemp ganezze fsche scala sono la pessone, la ensà e la concenazone n solo. Un veoe è n segmeno oenao, caaezzao peano a n molo (la lnghezza el segmeno), na ezone e n veso (ve Fga 4a). Eqvalenemene, n veoe è nvao compamene alle se poezon sgl ass coona (le componen, al femmnle), qn, nello spazo ecleo a e menson, a na ena onaa nme eal. Esemp ganezze Il Cn-Nosea e l Mach-Rbaa lzzano la convenzone nomale nena. 8

21 fsche veoal sono la velocà, l'acceleazone e la foza. Nel posego veanno lzza: pe veo la noazone con na fecca n sopassegno el smbolo aoao pe la ganezza ( n Fga 4), pe l molo l smbolo valoe assolo ( ), o anche l solo smbolo ella ganezza (), e pe le se componen l smbolo abo alla ganezza con l pece ell'asse coonao cosponene (,,, ). Sebbene veo sano sempe appesena nello spazo fsco (s è palao nfa "lnghezza el segmeno" a poposo el molo), a secona qale po ganezza fsca venga n al moo appesenaa, sabla na cea scala appesenazone gafca ella ganezza (p.es.: cm ms - pe le velocà), l molo el veoe è n effe espesso nelle nà msa ella ganezza n qesone. Genealmene, è anche levane la poszone el veoe nello spazo, ossa, l so pno applcazone, P. La ea conenene n veoe cossce la sa ea 'azone. Taloa n logo el molo el veoe s pala nensà ella ganezza fsca appesenaa al veoe. b v b v b v P v v c c c (a) (b) v v senα α 90 v v v cosα v v α (c) () Fga 4. Schem llsav : (a) efnzone veoe; (b) somma e veo e pooo n veoe pe no scalae; (c) pooo scalae; () pooo veoale... Opeazon fa veo S efnscono le segen opeazon fa veo: pooo n veoe pe no scalae (Fga 4b): s nca con la noazone ell'algeba, accosano smbol el veoe e ello scalae senza segn ( c ); l slao è ao a n veoe avene la sessa ezone el veoe ognao, veso concoe o scoe a qello el veoe ognao a secona che lo scalae sa posvo o negavo spevamene, molo pa al molo el veoe ognao molplcao pe l valoe assolo (o molo) ello scalae. Nel caso c -, c è l veoe opposo a, avene gal ezone e molo, ma veso opposo. Il pooo no scalae pe n veoe goe ella popeà sbva speo alla somma veo ( c( v) c cv ); 9

22 somma (Fga 4b): la somma e veo s nca con l segno ( v ) e s esege con la egola el paallelogamma, appesenaa n Fga 4b. S ossev che l'opeazone così efna eqvale a meee e veo no n coa all'alo e a accae l veoe somma (eo anche veoe slane) alla coa alla pna eseme. Tale moo poceee è senz'alo consglable, a n pno vsa paco, qaloa s ebba esege la somma pù e veo, nel qal caso l accameno sccessvo e va paallelogamm necessa eneebbe l segno alqano confso. La somma goe elle popeà commava ( v v ) e assocava ( v w ( v) w ( v w) ). La ffeenza e veo s oene alla somma el pmo con l'opposo el secono; pooo scalae (Fga 4c): s nca con n pno neposo fa veo opean ( v ); ha pe slao no scalae ao al pooo e mol e veo opean pe l coseno ell'angolo compeso fa veo. Consege a ale efnzone che l pooo scalae e veo oogonal sa nllo, e vcevesa (l vcevesa vale sempe, ovvamene, a meno el caso banale n c no e e veo opean sa esso sesso nllo). Il pooo scalae goe elle popeà commava e sbva speo alla somma. Non ha nvece senso palae popeà assocava, n qano l slao el pooo scalae e veo, esseno no scalae, non è pù molplcable scalamene con n ezo veoe; pooo veoale (Fga 4): s nca con l segno ( v ) ; l slao è n veoe oogonale a veo opean (qn, al pano fomao a al e veo), molo pa al pooo e mol e veo opean pe l seno ell'angolo compeso fa veo e veso ale che n ossevaoe avene la esa slla pna el veoe pooo vee l pmo veoe opeano sovappos al secono oano n senso anoao n angolo nfeoe a 80 (come l ezo asse,, ella sale ena esa, c l pmo e l secono veoe opeano sono, nello sesso one, pm e ass, e ). S ha qn v v. Da qano sopa poao, la componene (scalae) n veoe lngo na ezone oenaa (oaa coè n veso) s pò oenes come pooo scalae fa l veoe ao e n veoe paallelo e eqveso alla ezone oenaa aa, molo nao (vesoe), che ncheemo con s. Incano con s ale componene, s ha nfa (Fga 5): s cosα cosα. (5) s s 90 s α s cosα Fga 5. Componene n veoe lngo na ezone oenaa. Tale componene saà posva pe n angolo compeso fa l veoe e l vesoe nfeoe a 90 (come nell'esempo Fga 5), negava pe n angolo maggoe 90, nlla, come s'è eo, se l In alcn es s pò ovae l smbolo lzzao pe l pooo scalae o l smbolo pe l pooo veoale. Il Ceneese lzza la smbologa qese spense; l Mach-Rbaa lzza smbol e spevamene pe pooo scalae e pooo veoale; nel Cn-Nosea non compaono poo veoal; poo scala pe l calcolo componen nomal sono espess nella foma caesana (9). 0

23 veoe è oogonale alla ezone s. In pacolae, e b,, b b veso egl ass coona (Fga 4a), le componen n veoe s al ass sono ae a: b pe,,. Slla base ella efnzone somma veo, l veoe è espmble come: b b b, (6) n c cascno e e veo aen nella (6) è eo anch'esso componene el veoe, ma al maschle (n componene, l componene, ec ). La (6) pò qn scves n emn veo componen come:. (7) Dalla (6) scene anche che la somma e veo sa n veoe avene pe componen la somma elle (e e) componen e e veo somma, mene l pooo n veoe pe no scalae ha componen ae (a) alle (a) componen el veoe ognao, molplcae (molplca) pe lo scalae. In na ena oogonale qale qella aoaa, l molo n veoe pò scves n fnzone elle se componen come:. Ulzzano la popeà sbva speo alla somma, l pooo scalae a e veo e v s pò scvee: ( ) ( ) v v v b v b v b v b b b v, (8) peché l pooo scalae e veso vale se s aa veso gal, mene è nllo se s aa veso ffeen, esseno ess oogonal. L'espessone fnale ello svlppo (8) cossce la foma caesana el pooo scalae. Pe qano fnoa eo, la componene s n vesoe geneco s lngo no egl ass coona, ncao genecamene al pece, è aa a ( ) s b s s ^ cos, coè, al coseno ell'angolo fa la ezone oenaa e l'asse pescelo (coseno eoe). Peano, la componene n veoe lngo na ezone oenaa s pò espmes, aaveso la foma caesana el pooo scalae, come: ( ) ( ) ( ) ^ cos ^ cos ^ cos s s s s s s s. (9) L'espessone caesana el pooo veoale s oene solveno l segene eemnane: ( ) ( ) ( v v b v v b v v b v v v b b b v ). Dao n veoe applcao n n pno ello spazo P (Fga 6), s ce momeno el veoe speo a n pno O, eo polo, l pooo veoale: Μ, (0)

24 P α δ O Fga 6. Schema llsavo el momeno n veoe speo a n pno. n c è l veoe congngene pn O e P, oenao a O veso P. Il veoe momeno è nomale al pano conenene la ea 'azone ella foza e l polo. La somma e momen pù veo speo a no sesso polo O s ce momeno slane el ssema veo. Il momeno n veoe speo a n pno è nvaane pe scomeno el veoe lngo la popa ea 'azone. Infa, l molo el veoe pooo mane nvaao poché, pe qalnqe poszone el veoe lngo la popa ea 'azone, sla senα δ, ove δ (eo bacco el veoe speo al pno O) è la sanza O alla ea 'azone el veoe. Inole, l'angolo mane compeso fa valo 0 e 80, pe c mane nvaao anche l veso el veoe pooo. Nelle fomle (6), (8) e (9) sono pesen sommaoe e emn caaezza a e valo e pec enfcav egl ass coona, cascno e qal, nole, è coso al pooo qanà caaezzae allo sesso pece. Tale ccosanza è abbasanza feqene n va camp ella fsca maemaca n pacolae, nell'ialca e nella Meccanca e Fl l che ha sggeo l'nozone na noazone sneca basaa sll'so smbolco e pec (nca coè come,, ec ) secono la segene convenzone (egola ella sommaoa o Ensen): n emne na espessone n c compaa n pece peo ha l sgnfcao ella somma e e emn oen a qello n qesone al vaae el pece peo s e valo,,. A olo esempo, secono ale convenzone le fomle (6), (8) e (9) s scveebbeo: b v v () s ( s) s cos ^ () S ossev che la egola ha senso qano s pal pec che possono assmee pù n valoe: n qano sege, esclsvamene pec enfcav egl ass coona. Nel caso n emne con n pece peo enfcavo na pacolae, anche se geneca, ezone s, esseno evene che ale pece ha n valoe nvoco, la egola non s applca (né avebbe senso falo). Qaloa peò occoesse conseae na e na sola geneca qanà conenene pec pe enfcav egl ass coona, elava a n nco, anche se geneco, valoe el pece, ancoché espesso smbolcamene (,, ec ), pe espmee che non s nene ove esege la sommaoa s e valo pec veanno soolnea. A esempo, no geneco e e componen el veoe c alle fomle (6) e (7) s scveà: b L'so ella egola Ensen s gsfca, n paca, col fao che la necessà esege la sommaoa è molo pù feqene ell'ncazone valo smbolc a valoe nco el pece.

25 .. Tenso L'mposazone alcn poblem fsc poa a sable na cosponenza fa l veoe appesenavo na cea ganezza e le ezon oenae ello spazo, enfcae a n vesoe vaable n, secono n'espessone el po: τ n τ cos( ^ n) τ cos( ^ n) τ cos( ^ n), () ovveo, nella noazone sneca Ensen: τ τ cos ^ n, (4) n ( ) ove l pece n el veoe a pmo membo smbolegga la cosponenza con le ezon oenae ello spazo e e veo a secono membo appesenano veo assoca alle ezon oenae egl ass coona. S ossev che al veo non hanno nene a che veee con componen el veoe τ n, né hanno na pacolae ezone legaa, n qalche moo, all'asse coonao c sono assoca. Peano, na vola assegna veo τ (,, ), a noma ella () o (4), a cascna ezone oenaa ello spazo, enfcaa al vesoe n, cospone n ben pecso valoe el veoe τ n. S ossev l'analoga fa le espesson ella componene n veoe lngo na ezone oenaa (9) o () e le espesson () o (4) spevamene. Così come, assegnao n veoe meane assegnazone elle se e componen scala, a cascna ezone oenaa ello spazo è assocao no scalae ao alla componene el veoe lngo ale ezone, così, assegnao qeso novo ene maemaco meane assegnazone elle se e componen veoal, a cascna ezone oenaa ello spazo è assocao n veoe, n enamb cas meane combnazone lneae elle componen (scala pe l veoe; veoal pe qeso novo ene) ame cosen eo el vesoe enfcavo ella ezone oenaa. Un ene maemaco qeso po è eo ensoe e veà ncao con na oppa soolneaa el smbolo pescelo; nel caso specfco: τ. Poché cascna elle e componen veoal è efna meane assegnazone elle se e componen scala, complessvamene n ensoe è efno compamene assegnanone le se nove componen scala. Tal componen sono enfcae smbolcamene come τ, appesenane la componene scalae nella ezone ell'asse ella componene veoale assocaa all'asse, τ. Le componen el veoe τ n s oengono poeanolo sgl ass coona, esegenone l pooo scalae con veso egl ass coona. La geneca componene el veoe τ n lngo l'asse, ncaa, pe la convenzone assna pe gl nc, con τ n, è aa peano a: τ n τ n b τ b cos( ^ n) τ b cos( ^ n) τ b cos( ^ n), τ cos ^ n τ cos ^ n τ cos ^ n ( ) ( ) ( ) aveno applcao la popeà sbva el pooo scalae speo alla somma veo. In emn noazone sneca e ncano cosen eo come componen el vesoe n, s ha: n τ τ n. Tale sca consene oenee l valoe na qalnqe elle e componen, elava al cosponene valoe el pece, che assme, n qano non peo, sempe n valoe alla vola (o, o, o ). L'opeazone s pò esege smlaneamene pe e e e le componen el Il Cn-Nosea e l Mach-Rbaa lzzano la convenzone opposa.

26 veoe τ n meane l segene pooo mace pe veoe secono le egole ell'algeba macale (pooo ghe pe colonne): τ τ τ n n n τ τ τ τ τ τ τ n τ n τ n τ n τ n τ n τ n τ n τ n τ n τ n τ n τ n τ n τ n, (5) ove la mace qaaa a secono membo è assocaa al ensoe τ e ne cossce la appesenazone n emn elle se nove componen scala, le qal, come s è eo, lo enfcano compamene. S ossev che veo colonna esabl a ale mace cosponono alle componen veoal el ensoe. La sessa opeazone s espme, nella noazone veoale: τ τ n, n la qale s scve senza alcn segno opeazone fa emn a secono membo. Un ensoe qale qello conseao n peceenza è eo, pù pecsamene, ensoe one, n qano caaezzao a e nc. Pù n geneale, s possono efne enso one qalnqe, caaezza, nello spazo a e menson, a componen; n pacolae, veo sono enso one e gl scala enso one 0. L'assocazone n ensoe one a na mace qaaa compoa l'aozone, pe enso, ella emnologa salmene lzzaa pe le mac. Un ensoe smmeco è qn appesenao a na mace smmeca (ale coè che τ τ ); n ensoe ansmmeco a na mace ansmmeca (τ τ ); n ensoe asposo n alo, ncao con n apce T, ha na mace che s oene alla mace el ensoe ognao scambano le ghe con le colonne ( τ T τ ); la acca n ensoe è la acca ella mace assocaa, aa alla somma egl ( ) elemen ella agonale ( τ τ τ τ τ ). Un ensoe a acca nlla è eo evaoe. Nel posego veanno lzzae le segen opeazon gaan enso e/o mac: pooo n ensoe pe no scalae: l slao è na mace avene pe elemen gl cτ cτ ); elemen ella mace ognaa molplca pe lo scalae ( ( ) somma e enso: è appesenao alla somma elle cosponen mac, l c slao è na mace avene pe elemen la somma egl elemen cosponen elle mac a b a b ); sommae ( ( ) pooo e enso: ncao con a b, pò effeas, secono la egola el pooo ghe pe colonne, se a ha ane colonne qane sono le ghe b ; pe esempo, l pooo mace pe veoe (5). Il slao è na mace con ane ghe qane qelle ella pma mace e ane colonne qane qelle ella secona mace: mene l slao el pooo (5) è n veoe, l pooo e mac qaae è n'ala mace qaaa. La mace che molplcaa pe n'ala mace qaaa la lasca naleaa è la mace (o ensoe) nà: 0 0 I 0 0, 0 0 componen δ (smbolo Konecke), con δ pe ; δ 0 pe. S ce soopo o sfeco n ensoe el po c I, ove c è no scalae, avene elemen non nll e gal fa loo 4

27 solano slla agonale. Nel posego veanno consea ncamene poo mace pe veoe, mene l ensoe nà veà lzzao ncamene nell'espessone n ensoe soopo. L'opeazone asposzone asfoma n veoe colonna n n veoe ga, e vcevesa: ( ) T. S coa che le opeazon fa scala, veo e enso n foma pamene macale sonenono sempe la specfcazone el ssema femeno aoao, ossa, aoano la emnologa ella eoa egl spaz veoal, ella base ello spazo veoale mensonale cosa alla ena veso ( b, b, b ). Dea eoa nsegna come mofcae le appesenazon macal n elazone a cambamen el ssema femeno meane semplc opeazon, che q ava non neessa chamae n qano non lzzae nel posego. Le noazon veoale e macale sono qn eqvalen; ale eqvalenza è espessa, pù coeamene, al smbolo (p.es.: ( ) T ) poso che al smbolo gaglanza,. D noma la appesenazone macale lzzaa pe n veoe saà qella el veoe colonna...4 Camp scala, veoal e ensoal. Opeao ffeenzal. Una egone ello spazo nella qale sa efnble, pno pe pno, e evenalmene n fnzone el empo, na cea ganezza scalae, veoale o ensoale, s ce campo scalae, veoale o ensoale spevamene. Nel caso el campo no scalae a, a esempo, s lzzeà la noazone: (, ) a,,, (6) ovveo, conseano che le e coonae el pno possono essee gaae come componen n veoe poszone applcao nell'ogne el ssema femeno, la noazone: a,, (7) ( ) e analogamene pe n campo veoale o ensoale. Come slao ell'mposazone eemna poblem fsc s pevene alla efnzone va opeao po ffeenzale applca a camp scala, veoal o ensoal oa oppone popeà egolaà. Defnamo appma: gaene no scalae: s ce gaene no scalae a n veoe avene pe componen le evae pazal a speo alle coonae omologhe: ga ( a) a b a b a b a b a a a ; (8) vegenza n veoe: s ce vegenza n veoe no scalae ao alla somma elle evae pazal elle componen el veoe speo alle coonae omologhe: v ( ). In logo e smbol ga e v, nel posego veà lzzaa na smbologa basaa slla efnzone el veoe, pamene smbolco, enomnao nabla e ncao con l smbolo, avene pe componen gl opeao evaa pazale speo alle coonae omologhe: 5

28 b b b b. Slla base ale efnzone, l gaene no scalae vene ncao con a; mene la vegenza n veoe vene nvece espessa al pooo scalae. S ossev come, nell'ambo ella genealzzazone el conceo ensoe ncaa n peceenza, l'opeaoe gaene fonsce n ensoe gao speoe a qello c l'opeaoe è sao applcao (s passa a no scalae a n veoe), mene la vegenza eemna l passaggo a n gao nfeoe (a veoe a scalae). Rcoaa l'analoga fa le componen scala n veoe e le componen veoal n ensoe, pe esensone s efnscono anche: vegenza n ensoe: fonsce n veoe ao a: () v τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ, l'espessone ella geneca componene (-esma) el qale è aa, nella noazone sneca, a: ( ) τ τ, e pe l qale, come s è vso, s lzza la meesma noazone ella vegenza n veoe, con l pno neposo fa l veoe smbolco nabla e l ensoe; gaene n veoe: fonsce n ensoe ao a: ( ), l'espessone ella geneca componene scalae (-esma ga, -esma colonna) el qale è aa, nella noazone sneca, a: ( ). Le fomle Gass (4) possono essee lzzae pe ee l Teoema ella vegenza. Applcano le fomle Gass a e negal volme conenen cascno la evaa na componene n veoe speo alla coonaa omologa e sommano, s oene: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) S S S S S V V V V V S n S n n n S n S n S n V V V V V ^ cos ^ cos ^ cos ^ cos ^ cos ^ cos, ossa, snezzano n foma veoale: 6

29 ( ) V ( n) V S S, (9) ovveo, nella noazone pe componen: V V n S, aveno lzzao l smbolo n pe le componen ella nomale n logo ella espessone esplca e cosen eo, come pù spesso faemo 'oa n avan. Nella fomlazone canonca el Teoema ella vegenza s poaa, a secono membo compae l'negale spefce el pooo scalae fa l veoe e la nomale (esena) alla spefce n. Tava, alle fomle Gass pò es anche na fomlazone smle n c non compae n pooo scalae: S τ V V S τ n S, la c foma veoale è: ( ) V ( τ n) V τ S, S n c nell'negale spefce a secono membo fga, come peannncao, non n pooo scalae, ma n pooo mace pe veoe, mene a pmo membo compae l'negale volme ella vegenza n ensoe. S aa qn ell'esensone el Teoema ella vegenza al caso ella vegenza n ensoe. L'nozone el veoe smbolco nabla consene anche ee espesson alenave pe l ffeenzale e pe la evaa ezonale na fnzone f(,, ), fomle (8) e (9) T spevamene. eo s ( ) n veoe sposameno elemenae e ( ) T ( ( ) ( ) ( )) T s s s s cos ^ s cos ^ s cos ^ s l cosponene vesoe, l ffeenzale ella fnzone pò scves come: e la evaa ezonale: f f f f f s f, (40) f s f f f f s s s s f s. Da al espesson s evnce anche che l gaene na fnzone scalae f(,, ) è pno pe pno pepencolae alle spefc ove f è cosane. Infa, consea n pno ello spazo, la spefce ove f cos passane pe qel pno e no sposameno elemenae s s ale spefce qn, sl pano angene alla spefce nel pno conseao eve ovvamene slae nllo l ffeenzale f; poché ava qeso è espesso aaveso l pooo scalae (40), veo f e s evono necessaamene essee oogonal (se enamb non nll, naalmene). Il gaene è volo nel veso elle f cescen peché l ffeenzale cosponene a no sposameno nel veso el gaene è posvo, esseno nllo l angolo fa f e s e pa qn all nà l elavo coseno. La evaa f nella ezone e nel veso el gaene assme peano anche l valoe massmo speo a e le ale possbl ezon, ao a f/n f. Dalla (40) s evnce anche che na fnzone scalae l c gaene sa ovnqe nllo eve slae cosane, oveno essee ovnqe nllo l so ffeenzale oale. 7

30 Nello svlppo alcne espesson sla convenene espmee l vesoe ella vecale n emn el veoe smbolco nabla. Infa, pe qano esé llsao, ea z la coonaa vecale, l veoe z è nomale alle spefc s c z è cosane ( pan ozzonal) e è peano vecale; ha molo pa a z z/n z/z e è oenao nel veso elle z cescen: esso è nqe l vesoe ella vecale (ve Fga 7). In pacolae, se l'asse z cossce no e e v v v ass na ena femeno yz veso b, b, b, s ha, pù semplcemene: y z z z z z b b y bz bz, (4) y z esseno z/ z/y 0. Il agonameno è valo, pealo, pe qalnqe ezone oenaa. z b v b v z z b v. Rcham Meccanca Fga 7. Vesoe ella vecale n n ssema femeno geneco... Msa elle ganezze fsche Pe msa na ganezza fsca s nene l appoo fa essa e n'ala ganezza ella sessa spece scela come nà, a esege con moalà eemnae. Allo scopo confee caaee oggevà al ssema msa, s chee che, vaano la ganezza campone assna a nà msa (opeazone 'alo che nfeqene nelle applcazon ecnche), s manenga naleao l appoo elle mse e ganezze ella sessa spece. Reqs mpoan elle ganezze campone sono l naleablà e la pocblà, l che ha sggeo efnzon elle sesse sempe pù sofscae. A esempo, se pe ceo empo l campone meo è sao coso alla sanza alla empeaa 0 C fa e acche ncse s na baa plano-o pacolae sezone, consevaa pesso l Bea of Pos e Meses Pag e pooa n esempla n oazone pesso ogn sao aeene alla convenzone meco-ecmale, sccessvamene la lnghezza el meesmo meo campone è saa legaa alla lnghezza 'ona na aazone emessa all'soopo 86 el Kypon, peché meno aleable e pocble con maggoe pecsone. È senz'alo possble aoae na ganezza campone come nà msa pe cascna spece ganezza fsca. Tava, la ssssenza elazon fa le vae ganezze fsche, n emn legg fsche escven coè na cea classe fenomen fsc n emn elavamene geneal o legae alle sole efnzon elle ganezze, compoa la possblà, pù convenene a n pno vsa paco, assmee n manea abaa l nmeo seamene sffcene ganezze campone, che vengono ee pecò fonamenal, efneno e le ale ganezze campone aaveso le elazon conosce vale fa le vae ganezze, enoanole pecò come ganezze evae. Le ganezze fsche veanno enoae, come 'so, con smbol 8

31 acchs fa paenes qae. Nella Meccanca, nel c ambo s svolge neamene l coso Ialca, è necessao sceglee e ganezze fonamenal. A esempo, scel l meo, m, e l secono, s, come nà msa elle lnghezze [L] e el empo [T] spevamene, la sola efnzone velocà consene assmene a nà msa, a esempo, qel valoe che, maneno cosane nel empo, consene pecoee la sanza m nel empo s, ossa, m/s o ms -. Pe efne l'nà msa ella foza [F], na vola assna l'nà msa ella massa [M], p. es., l chlogammo massa, kg, e efna, analogamene alla velocà, l'nà msa ell'acceleazone [a], p. es. ms -, c s poà nvece basae s na vea e popa legge fsca, qale la secona legge Newon, F ma, pe efne come nà msa qella foza che mpme alla massa kg l'acceleazone ms - (Newon, N), oppe, la foza che mpme alla massa kg l'acceleazone mea gavà, g 9,80665 ms - (chlogammo foza, o chlogammo peso, o chlopon, kp qes'lma enomnazone lzzaa pe bevà nel posego). Un ssema nà msa è ao all'nseme elle nà assne pe le vae spece ganezze fsche. De va ssem nà msa essen, aalmene è fao obblgo ell'so elle nà el Ssema Inenazonale (abbevao SI), l qale assme come ganezze fonamenal ella Meccanca e elave nà msa: lnghezza [L] e meo (m); empo [T] e secono (s); massa [M] e chlogammo massa, o chlogammo o-co (kg) 4. Le menson fsche na ganezza sono poo elle poenze elle ganezze fonamenal che la efnscono (p.es., con femeno alla foza: [F] [M] [a] [M L T - ]. Cascna ganezza fsca è pecò caaezzaa a pope menson e è pecò fonamenalmene ffeene a n nmeo po, che ne è pvo. La ffeenza è levane peché mene cambano le nà msa vaeà anche la msa na aa ganezza fsca, n nmeo po mane naleao. Il conceo mensone fsca fa sì che possano essee sommae solano ganezze fsche ella sessa spece e che e memb na eqazone ebbano posseee le meesme menson fsche (pncpo omogeneà mensonale). Fa l'alo, ale lmo conceo è le, a n pno vsa paco, pe vefcae apamene evenal eo nella sca na eqazone, nel senso che essa è ceamene eaa se non spea l pncpo omogeneà mensonale (mene, naalmene, l speo ale pncpo non mplca nvece, pe sé, che l'eqazone sa sca coeamene). Le menson fsche, come le cosponen nà msa, sono aabl con le egole ell'algeba, al fne sable le cosponenze fa nà msa ffeen, opeazone le anche pe scop ecnc. A esempo, voleno espmee n km h - (o km/h) na velocà 0 ms -, eneno pesene che km 000 m ( m /000 km ) e che h 600 s ( s /600 h), s ha: 0 ms m km 600 km km h. (4) s 000 h h Nonosane, come s'è eo, aalmene sa obblgaoo l'so el Ssema Inenazonale, ava nella paca sovene s è cose a effeae opeazon convesone nà msa. Nel caso ell'ialca, a esempo, è poso comne ovae manome (smen msa ella pessone che veanno esc nel capolo ecao all'iosaca) gaa secono svaae nà msa: Nm -, ba, kp cm -, qano non, aa, n m colonna 'acqa o mm meco, che non sembeebbeo affao essee nà msa ella pessone, se non soneneno elazon che veanno, anch'esse, sae n Iosaca. Nella Tabella sono poae le nà msa so pù feqene nelle applcazon ecnche, svse fa nà el SI e nà al ssem, con le cosponen eqvalenze. La abella è poaa a scopo assnvo; le efnzon elle vae ganezze veanno chamae vola n vola nel posego. D noma, nel coso s faà so elle nà SI, con alcne eccezon gaan nà el ssema paco o poche ale so coene. 4 Le ezon meno ecen el Cn-Nosea fanno so el ssema paco, le c ganezze fonamenal e elave nà msa sono: lnghezza (L) e me (m); empo (T) e secon (s); foza (F) e chlopon, ncao come chlogammo peso e pe l qale, s ba, s sa l smbolo che nel SI è sevao al chlogammo massa (kg). Le ezon pù ecen fanno nvece femeno alle nà SI. 9