Schede / appunti di. ( con alcune esercitazioni ) Carmelo Sena

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1 Schede / ppunti di TOPOGRAFIA ( con lcune esercitzioni ) Crmelo Sen Copyright: Licenz Cretive Commons 3.0 by-nc-nd 1

2 E un modo diverso, forse più moderno, di presentre i diversi rgomenti considerti essenzili, nell preprzione di bse dell TOPOGRAFIA. Le schede trttno inftti in modo snello ed sciutto concetti e pssggi, per un mggiore chirezz e semplicità di quelle prti dell Geodesi utili ll Topogrfi opertiv ed ll Crtogrfi. Viene ftto ltrettnto nel cpitolo del Trttmento delle misure ( o osservzioni) topogrfiche e nei cenni di Fotogrmmetri ere. Sono così trttte tutte le prti che costituiscono l ttule corpus del corso di Topogrfi, senz troppo entrre negli rgomenti così detti specilistici. All fine, vengono riportti gli rgomenti sviluppti nelle Esercitzioni, con riferimenti più specifici lle strumentzioni e d lcuni esercizi prtici. Il testo è composto in definitiv d 6 cpitoli: 1.Elementi di Geodesi. di Crtogrfi 3.Trttmento delle Misure topogrfiche 4.Topogrfi opertiv 5.Cenni di Fotogrmmetri ere 6.Esercitzioni topogrfiche E stt ftt un introduzione generle che spieg come il testo si nto, con quli criteri e finlità e che mette l ccento sulle sue prticolrità rispetto d un testo clssico. E riportto un indice generle (somm degli indici dei vri cpitoli). Per ogni cpitolo, viene ftt un premess breve che introduce gli rgomenti trttti, con spesso nche un riferimento storico e con i limiti dell trttzione. Segue l indice degli rgomenti principli svolti nel cpitolo ( indice prticolre di cpitolo). All inizio (nel 1 cpitolo) è stto introdotto un breve insieme di concetti-punti per meglio chirire quli sono le finlità ed i legmi scelti per quest trttzione ( in totle 16 schede, che precedono l trttzione dell Geodesi).

3 Premess Quest rccolt, in qulche modo ordint di schede, er l bse delle lezioni d me tenute nei Corsi di lure per Ingegneri Civili nel Politecnico di Torino, negli ultimi nni del mio insegnmento (00-007). Sono, nell rco dell ultimo decennio in prticolre, molte volte cmbite per degurle l sempre minore tempo disposizione per le lezioni e per dre, ssieme concetti ritenuti di bse, le novità ed i progressi più importnti vvenuti nche nell disciplin, sempre limittmente gli spetti professionlizznti. Spesse volte sono molto sintetiche (inqudrno il tem o l rgomento, poi integrto in sede di esposizione), ltre invece contengono nche brevi descrizioni. Queste ultime rigurdno rgomenti su cui si ritiene di dovere dre un più mpi informzione perché rigurdno temtiche più recenti. Si è ftt ttenzione non sovrpporre troppo rgomenti trttti si lezione che nelle esercitzioni/lbortori. Le schede richimno e chiriscono quindi i concetti e le formule che ho stimto più importnti per l preprzione, trscurndone purtroppo ltri. Le dimostrzioni sono stte ridotte l minimo, nche con metodi non sempre rigorosi m più vicini i metodi ingegneristici. Si sono così ggiunte schede di sintesi, per iutre vedere i collegmenti tr i vri pssggi. Sono stti limitti gli ccenni per certi rgomenti superti m ncor necessri per seguire e cpire l evoluzione storic dell disciplin L mteri del Corso è divis in due prti: l prim rigurd gli elementi di Geodesi e Crtogrfi ed il Trttmento delle Misure topogrfiche. L second trtt l Topogrfi opertiv, elementi di Fotogrmmetri e le Esercitzioni. Un breve cenno per un novità, rispetto l pssto, è rppresentt d esempio dl concetto di Sistem di Riferimento in Geodesi : inftti con l vvento dei sistemi G. P. S. ed in generle con lo sviluppo delle principli tecniche spzili, si è pssti d un visione qusi sttic dei problemi geodetici/ topogrfici d un visione dinmic. Non si definisce perciò un unico sistem vlido su scl plnetri, m diversi sistemi rispondenti differenti vincoli nche temporli ( epoche) e relizzbili con differenti livelli di precisione. Occorre fre ttenzione perché esistono così sistemi per ppliczioni topo-crtogrfiche m non dtti d esempio per operzioni di controllo del territorio. 3

4 Occorre notre che: negli ultimi cento nni circ, si sono vuti notevoli episodi evolutivi, comincire dll utilizzzione tecnic dell fotogrfi che h portto ll nscit dell fototogrmmetri, diventt l principle produttrice di crtogrfie. Negli nni 60/70 l rrivo dei distnziometri onde e.m. è stto un ltro pporto importnte. M il grnde slto è vvenuto con l vvento dei sistemi tipo GPS (nti sviluppo militre) ed infine con le recenti strumentzioni lser-scnner. In Topogrfi sono scivolte cioè ppliczioni dell Fisic, Informtic, Elettronic, Nvigzione spzile, ecc. che ne hnno rricchito e modificto le procedure opertive : quindi un grnde interscmbio tr settori e filoni del mondo dell ricerc, con espressioni ed influssi diversi Infine, un considerzione generle sui contorni dell disciplin: oggi esistono in qusi tutti i Pesi, crtogrfie nche grnde scl, sulle quli è possibile leggere molte informzioni si qulittive che quntittive, con dettgli e precisioni legte lle scle delle crte Esistono inoltre sistemi informtizzti ( d esempio su internet ) che forniscono immgini del territorio georeferenzite nche grndissim scl, su qusi tutto il pinet ( d esempio in Google). Settore in grnde effervescenz è questo dei servizi Web per l Crtogrfi: si rivolge d Utenti diversi per fornire informzioni si di immgini che di dti topogrfici -crtogrfici. Il problem d risolvere più livelli è ncor quello dell omogeneizzzione: inftti oggi dti e prodotti d softwre diversi, sono memorizzti in formti differenti, spesso proprietri, che ostcolno il loro libero ccesso e sono disponibili solo se si possiede softwre in grdo di interpretrli. Occorrerebbe vere invece disposizione dei formti stndrd ed è quindi necessrio un importnte processo di stndrdizzzione dell informzione geogrfic. Tutto questo è gestito oggi però si d topogrfi o crtogrfi m essenzilmente d informtici, con qulche problem. Ed infine ci sono d diversi nni, sistemi stellitri che permettono molti utilizztori di effetture il posizionmento di punti in tempo rele in qusi tutte le regioni dell Terr, con diverse precisioni: sono previsti inoltre ltri interessnti sviluppi ed utilizzi già nei prossimi nni. 4

5 Forse le schede di lezioni che qui vengono mostrte e proposte sono llor oggi considerbili superte ed inutili? Si possono forse ottenere gli stessi risultti, nelle necessità professionli, ricorrendo d lcune di queste nuove tecniche? L comprensione delle operzioni, nche delle nuove tecnologie, richiede credo ncor le conoscenze di bse dell Topogrfi, fornite per inqudrrne i limiti e le prestzioni ed in qulche cso nzi richiederebbe mggiori estensioni ed pprofondimenti rispetto quelli d noi qui dti. A conclusione, qulche veloce ringrzimento: nzitutto i Colleghi che, oltre che mici, mi sono stti guid : in prticolre Giuseppe Inghilleri, Mrino Cunietti e Bruno Astori ( lcuni purtroppo non più tr noi); i tnti vlidi Collbortori che ho vuto l fortun di vere vuto. E mi moglie che mi h sopportto con tnt pzienz nche in quest modest finle ftic. Torino giugno 013 Si preg di volere comunicre eventuli errori ed omissioni riscontrte crmelosen@virgilio.it 5

6 CONCETTI INTRODUTTIVI Cos trtt l TOPOGRAFIA : Determinzione e rppresentzione metric di prti dell superficie dell TERRA Riprtizione dell mteri: GEODESIA CARTOGRAFIA TRATTAMENTO delle MISURE STRUMENTI e OPERAZIONI CENNI di FOTOGRAMMETRIA 6

7 ) Principi fondnti dell Topogrfi Necessità di rispondere certe domnde: 1. Dove ci trovimo? (cioè: qul è l nostr posizione sull superficie dell Terr?). Dove si trov un corpo che ci interess? 3. Qunt è distnte, d chi? 4. Quli sono i limiti, i contorni di un cert re e come si possono ricostruire? 5. Qul é l form di un corpo? 6. Queste domnde trovno risposte più o meno dettglite nello svolgimento dei vri rgomenti suggeriti, con finlità si tecniche/prtiche che scientifiche. 7

8 Principli scopi dell Topogrfi 1) Descrizione geometric di: Superfici - Dell nostr Terr o delle sue prti CARTOGRAFIA - Di ltri corpi celesti Forme di mnuftti - Sull superficie dell Terr - 8

9 ) Posizionmento e/o loclizzzione di punti: Fissi - Nturli - Artificili X, Y, Z Mobili X, Y, Z, t 3 ) Vrizione di posizione ( deformzioni ) X, Y, Z, t L obiettivo fondmentle, in sostnz, è l determinzione di coordinte di punti, con diverse precisioni second delle finlità, ed in opportuni sistemi di riferimento (globli o locli). 9

10 b) Principi fondnti dell Topogrfi Occorre fre cenno d lcune grndezze geometriche: 1. Punti. Angoli 3. Distnze tr punti su rette (nche verticli) 4. Distnze tr punti su linee e d lcune grndezze fisiche, d esempio: il tempo Occorre disporre di riferimenti : necessità di introdurre sistemi di riferimento e di coordinte, collegte l cmpo di grvità terrestre. 10

11 Si richiede l conoscenz di: SISTEMI di RIFERIMENTO (S.R.): Globli Locli per prodotti geodetici per prodotti crtogrfici SISTEMI di COORDINATE (S.C.): Generli Locli 11

12 Il sistem di riferimento è costituito d: SUPERFICIE di RIFERIMENTO (Su.R.): Globle Locle PARAMETRI CHE DEFINISCONO l Su.R. : Dimensioni del corpo solido 4 prmetri:, e, GM, ω Posizione nello spzio 1

13 L superficie di riferimento (Su.R.) NATURALE ( o FISICA ): dell Grvità Geoidi (sup. equipotenzili) GEOMETRICA : Sferoidi Ellissoidi Sfer locle Pino tngente Ellissoide Locle Geocentrico 13

14 Un percorso di studio possibile può essere rppresentto di seguenti 9 punti: 1. Definire un superficie di riferimento Come si perviene lle superfici equipotenzili dell grvità: GEOIDE Come si pss gli sferoidi ed gli ellissoidi: SUPERFICI GEOMETRICHE Come si lvor sugli: ELLISSOIDI 14

15 Crtteristiche di un superficie di riferimento Trttbilità mtemtic: Ellissoide bissile, mtemticmente fcile d trttre m non individubile fisicmente e senz significtività fisic. Oggi con l metodologi stellitre cquist nche più fcile individubilità. Individulità fisic: Meglio il geoide in ogni suo punto ortogonle ll direzione del filo piombo, fisicmente riproducibile e significtivo. Significtività fisic: Cioè cpcità di denuncire le differenze di potenzile dell grvità. I stelliti d esempio risentono molto poco delle vrizioni del cmpo di grvità terrestre e forniscono solo informzioni geometriche, dell superficie. 15

16 Sistemi di coordinte (S.C.) GENERALI: Geogrfiche - Geoidiche o stronomiche (φ, λ) - Ellissoidiche (φe, λe) Geocentriche - X, Y, Z ( superficie di riferimento ellissoide G.P.S) LOCALI: Geodetiche - Polri (s, α ) - Rettngolri (x, y) Tern Eulerin 16

17 Trsformzioni d: SISTEMI di RIFERIMENTO LOCALI SISTEMI di RIFERIMENTO GLOBALE (ed lle vrie relizzzioni) 17

18 . Definire i sistemi di coordinte 3. Come si pss dll superficie di riferimento ll superficie del pino crtogrfico:. Equzioni di corrispondenz ( in generle ) b. Moduli di deformzione ed equzioni delle crte: - Isogoniche - Equivlenti - Afilttiche c. Crtogrfie ufficili itline d. Crtogrfi numeric 18

19 c) Principi fondnti dell Topogrfi Introduzione del concetto di misur: 1. Cos vuole dire misurre?. Quli sono le operzioni di misur che ci interessno? 3. Misure sulle grndezze geometriche e fisiche Necessità di introdurre sistemi di riferimento e sistemi di coordinte 19

20 d) Principi fondnti dell Topogrfi Sorge l esigenz di disporre di deguti strumenti di misur delle grndezze geometriche: derivnti di principi dell ottic derivnti dll meccnic di precisione derivnti dll trsmissione delle onde e dll elettronic Necessità di introdurre nche strumenti di clcolo e di disegno. 0

21 4. Introduzione ll teori delle misure: - Misure dirette - Misure indirette - (Misure condizionte ) 5. Misure di grndezze topogrfiche e strumenti: Per l misur di: - ngoli - distnze - dislivelli e quote 1

22 6. Reti e rilievi di dettglio 7. Strumenti specili 8. Sistemi di riferimento 9. Fotogrmmetri ( cenni) Due moderni strumenti usti in Topogrfi: il LASER SCANNER( sinistr) ed un STAZIONE TOTALE integrt con ntenn GPS ( destr)

23 1-Elementi di Geodesi 3

24 Schede/ppunti di TOPOGRAFIA Crmelo Sen H N ξ 4

25 PREMESSA Si fnno solmente cenni di Geodesi (svincolt dll bidimensionlità), quindi c è un limittezz nche spint di trttzione, perché finlizzt qunto si ritiene supporto necessrio per un corso di Topogrfi. Vedimo le cognizioni necessrie che vengono fornite e l loro successione: 1. Definizione delle superfici di riferimento, ovvero dei modelli mtemtici che meglio pprossimno l superficie fisic dell Terr, fcendo riferimento l cmpo di grvità terrestre; si giunge ll superficie equipotenzile dell grvità, dett geoide ed lle sue crtteristiche.. Si pss quindi ll pprossimzione con gli ellissoidi di rotzione, di solito mggiormente utilizzti 3. Per giungere, in situzioni limite, ll sfer locle o l pino tngente 4. Si f vedere come si può lvorre sugli ellissoidi, dll definizione degli schiccimenti geometrico e grvimetrico, i concetti di sistemi di riferimento ed lle coordinte geogrfiche ( stronomiche ed ellissoidiche). 5. Si fnno cenni l clcolo di rchi di prllelo, rchi di meridino ed lle linee geodetiche, utilizzndo l geometri differenzile e dll definizione dei rggi di curvtur principli. 6. Si giunge lle operzioni di misur sull ellissoide (distnze ed ngoli) ed gli importnti teoremi dell Geodesi Opertiv 7. Si trttno le operzioni di clcolo nel cmpo geodetico o di Weingrten e nel cmpo topogrfico, con cenni l teorem di Legendre. 8. Vengono trttti i problemi, diretto ed inverso, del trsporto di coordinte geogrfiche 9. Ed i problemi di trsformzione di coordinte geodetiche, d rettngolri polri e vicevers. 5

26 1-Indice generle Premess 1. Concetti introduttivi. Principi fondnti 3. Principli scopi 4. Sistemi di riferimento e superfici di riferimento 5 D superficie di riferimento superficie crtogrfic 1-1-Indice Elementi di Geodesi 1. Forze derivnti di movimenti dell Terr. d zioni di tipo e.m. 3. Forz di grvità 4. Anlogi dinmic 5. Grvimetro 6. Espressione mtemtic dell superficie di riferimento 7. Determinzione dell grvità pprossimt 8. Schiccimento geometrico e grvimetrico 9. Relzione di Clirut 10. Equzione dello sferoide in coordinte polri 11. Espressione dell grvità pprossimt 1. Pssggio d sferoide d ellissoide Sviluppo in serie di rmoniche sferiche 14. Sistemi di riferimento 15. Superfici 16. Coordinte geogrfiche 17. Determinzione coordinte geogrfiche stronomiche 18. Equzioni prmetriche dell ellissoide 19. Rggi di curvtur

27 1--Indice -GEODESIA 0. Determinzione vlori dei rggi di curvtur 1- Lunghezz di rchi -Equzione delle geodetiche 1. 3-Devizione dell verticle 4-Anomli di grvità e formule di Bruns 5-Operzioni di misur e teoremi dell geodesi opertiv 6-Operzioni di clcolo 7-Cmpo geodetico o di Weingrten e cmpo topogrfico 8-Cenni di trigonometri sferic 9-Teorem di Legendre 30-Problemi di trsporto coordinte 31- di trsformzione di coordinte Equzione delle geodetiche 7

28 GEODESIA ( ric.1) Necessità dell superficie di RIFERIMENTO Crtteristiche dell Superficie Studio del cmpo di GRAVITA Introduzione del POTENZIALE WV+v Impossibilità di clcolre V Espressione pprossimt di V V (medinte sviluppi di funzioni sferiche) Potenzile complessivo pprossimto UV + v Le schede ric.. sintetizzno gli rgomenti trttti. 8

29 Forze derivnti di moti dell Terr L Terr h numerosi movimenti (~14). I più importnti sono: il MOTO di ROTAZIONE ttorno l suo sse polre: l Terr compie un giro completo in un giorno siderle ( più corto del giorno solre medio) secondi in un giorno solre medio 86164,091 secondi in un giorno siderle Si introduce l velocità ngolre π π ω rd s T [ C.G.S. ] Questo moto cus sui punti dell Terr un ccelerzione centripet ( c ): C ω r FIG.1 Un prticell del globo, di mss unitri m, è quindi sollecitt d un forz centrifug: f c m C m ω r 1ω r 9

30 Forze derivnti di moti dell Terr il MOTO di RIVOLUZIONE intorno l Sole: l Terr compie un orbit complet in un nno siderle (366,4 giorni siderli o 365,4 giorni solri medi) velocità medi circ m/s ~ Km/h percorso ftto in un nno, circ ~ Km FIG. Questo moto NON cus prticmente nessun ccelerzione e quindi nessun forz. Anche il moto di tutto il sistem solre (verso l stellαlyre?), che può essere considerto come un perturbzione più o meno sensibile dei moti principli, non provoc ccelerzioni pprezzbili. 30

31 Forze derivnti d zioni di tipo elettromgnetico. Le forze derivnti d zioni di tipo elettromgnetico sono di ntur divers e di notevole entità: sono zioni che sollecitno le prticelle dell Terr e si identificno con l ATTRAZIONE NEWTONIANA, l cui espressione generle per due punti generici di mss m ed m è descritt dll seguente equzione: F N mm' G l G 66, cm g s 3 Nel cso dell Terr, in relzione d un mss puntiforme concentrt nel punto P e di vlore unitrio, deve pplicrsi l formul per elementi infinitesimi dm dell mss dell Terr ( G costnte di grvitzione universle): dm1 df G Mss: nell equzione fondmentle dell dinmic,si colleg il vettore forz con il vettore ccelerzione medinte un coefficiente di proporzionlità m, chimto mss. Si definiscono l mss inerzile e l mss-grvitzionle: l esperienz dimostr che esse coincidono. L mss vri con l velocità del corpo m mo/ V 1-(v/c)² l 31

32 Forze finli L forz risultnte, cioè l somm geometric di tutte le forze elementri, esprime l ttrzione newtonin esercitt dll inter mss dell Terr sul punto P e si ottiene integrndo l equzione F df V FIG.3 Le due forze ( fc e F) NON sono rppresentte in scl nelle figure finco (fig. 3 ): l forz centrifug è inftti molto piccol rispetto ll forz di ttrzione newtonin (ll equtore è circ 0,35%) 3

33 Forze risultnti Forze genti su un generico punto P dell Terr: FIG.4 g p i poli vle 9,83166 m s - g e ll equtore vle 9,78 m s - g 45 ltitudine vle 9,80665 m s - 33

34 Forze di grvità g L grvità costituisce un cmpo di forze conservtivo: le linee di forz prendono il nome di VERTICALI e le loro TANGENTI definiscono le direzioni delle VERTICALI nei punti di tngenz FIG.5 Un filo piombo, d esempio, mterilizz l direzione delle linee di forz: due fili piombo, distnti 100 m, formno tr di loro un ngolo di convergenz di circ 3 (fig.5). L grvità cmbi nche con l quot. Ad esempio, l grvità diminuisce di circ 0,8% tr un punto in bsso e l ltro in cim l monte Everest (cioè decresce solmente dell 1% con un umento di quot di 3 Km) s errore di sfericità e s R R ~ m Distnz s 100 m 500 m 1000 m 5000 m errore di sfericità e 1 mm cm 8 cm 196 cm 34

35 Anlogi dinmic Qul è l figur di equilibrio di un mss fluid omogene che è ssoggettt soltnto ll forz centrifug ed ll forz di ttrzione newtonin? È un ELLISSOIDE di ROTAZIONE, con rpporto /c dei semissi legto ll velocità ngolre ω, secondo l curv sotto indict: FIG.6 b Si vede che per ogni ω ci sono due vlori del rpporto /c, ossi si possono vere due ellissoidi possibili, diversmente schicciti. 35

36 I pineti del Sistem Solre corrispondono tutti llo schiccimento minore (prim soluzione); gli ellissoidi di schiccimento mggiore ppiono forme di equilibrio instbile. Per ω 0 si hnno due vlori: /c 1 SFERA /c PIANO Qundo ω super un certo vlore ω mx ( in relzione ll densità del pinet) non è possibile lcun form di equilibrio: l mteri del pinet tende sprgersi nello spzio (perché ciò succed per l Terr, l velocità di rotzione dovrebbe diventre lmeno 17 volte mggiore dell ttule). Esistono ltre soluzioni l problem posto: d esempio l soluzione dell ellissoide tre ssi (ipotesi Jcobi) o nche l soluzione rppresentt dl pinet Sturno. 36

37 Si riport l esempio del Grvimetro IMGC 0 Si lnci verso l lto un corpo G e si osserv il suo libero moto di slit e di disces nell interno dell cmpn, in cui è stto ftto il vuoto. Lungo l triettori del corpo sono stbilite due stzioni, l cui distnz H viene determint trmite un interferometro, mentre l intervllo di tempo impiegto nel pssre d un stzione ll ltr, è misurto d due cronometri elettronici che ricevono i comndi di strt e stop dll interferometro ottico, ottenendo così T e T b ( fig. 7 ). Con questo strumento si ottengono misure di g con incertezz di 10 microgl (il gl è il simbolo di unità di misur di grvità, pri d 1 cm s ). E un MISURA ASSOLUTA. (di solito grvimetri e pendoli misurno differenze di grvità). H FIG.7 8H T g (T b ) 37

38 Espressione mtemtic dell superficie di riferimento Si introduce un tern crtesin ortogonle X, Y, Z : come sse Z si ssume l sse polre, sse permnente di rotzione del corpo rigido, sse principle d inerzi e, come tle, sse bricentrico; come ssi X e Y si ssumono due rette pssnti per O (bricentro), perpendicolri tr loro ed Z : è opportuno scegliere gli ltri ssi principli d inerzi. Si prendno in esme due punti : P sull superficie fisic dell Terr, di mss m1 Q centro di mss dm, ll interno dell Terr df G (x ) dm + (y b) + (z c) FIG.8 f ω x + y Assi di inerzi: sono tre e si dicono ssi liberi : formno un sistem di ssi coordinti ortogonli,in modo che i momenti centrifughi,rispetto i pini coordinti, sino nulli. Il punto P deve essere un pò fuori dell superficie di riferimento per potere fre un certo sviluppo in serie. 38

39 I cmpi definiti d queste forze sono conservtivi, cioè mmettono un potenzile. Anche il cmpo risultnte dll somm dei due cmpi è conservtivo ed mmette un potenzile. Definimo : il potenzile di df il potenzile di f dv v G dm dm l [(x ) (y b) (z c) ] ω r ω (x + y ) G Per i potenzili (che sono funzioni sclri) vle l proprietà dditiv : Il potenzile dell grvità g vle V G V T δ d db dc l W V(x, y, z) + v(x, y) δ 5,5 g/cm 3 è l densità medi dell Terr; l δ in superficie,67 g/cm³. 39

40 Ponendo W costnte si trov l equzione crtesin di un fmigli di superfici equipotenzili, dette SUPERFICI di LIVELLO o GEOIDI. (fig. 9) Il geoide, nche se h un form più regolre rispetto ll superficie topogrfic (fisic) dell Terr, risult essere un superficie ncor troppo compless per l esecuzione di molti clcoli geodetici. FIG 9. Rppresentzione di : LINEE di FORZA E SUPERFICI EQUIPOTENZIALI (Un superficie equipotenzile o di livello, è fisicmente rppresentbile d quell di un liquido in perfett quiete). Linee di forz 40

41 VARIAZIONE DELLA DENSITA δ (o mss specific ) in funzione dell PROFONDITA ll interno dell TERRA Wg potenzile dell forz grvitzionle Wc potenzile dell forz centrifug W Wg + Wc Il peso è l forz che il cmpo di grvitzione esercit su tutti i corpi mterili in prossimità dell Terr. Uno stesso corpo h i poli un peso mggiore che ll equtore. FIG.10 41

42 GEODESIA (ric.) UU 0 costnte GEOIDE SFEROIDE Clcolo dell GRAVITA APPROSSIMATA SFEROIDE con prmetri geometrici Equzione SFEROIDE in coordinte polri Equzione ELLISSOIDE DI ROTAZIONE 4

43 Espressione mtemtic dell superficie di riferimento Possimo tentre di trovre un espressione pprossimt si di V che di W. Procedimo d un cmbio di coordinte: d crtesine polri. Si h per il Teorem di Crnot (fig.11): l σ +σ - σσ cos θ σ θ σ x σ cos ψ cos λ P y σ cos ψ sin λ Q z σ sin ψ σ cos ψ cos λ b σ cos ψ sin λ c σ sin ψ (PQ) l (x-) + (y-b) + (z-c) σ +σ - σσ [sinψ sinψ + cos ψ cos ψ cos (λ λ )] FIG. FIG.11 Quindi il potenzile V è: V e cioè cos θ sinψ sinψ + cos ψ cos ψ cos (λ λ ) G σ d db dc σ ' δ σ cos ψ ' dψ ' dλ ' dσ ' σ ' σ ' 1 + cos ϑ σ σ ' cos ψ ' dψ ' dλ ' dσ ' 43

44 L unic difficoltà procedere è dovut l ftto che non si conosce l legge di distribuzione dell densità δ. M ricordimo che vle l seguente equzione differenzile V lplcino Cioè V è un funzione rmonic nello spzio esterno dell Terr: ciò vuole nche significre che quell funzione è sicurmente sviluppbile in serie convergente. All interno dell Terr, V segue invece l legge di Poisson. di V z Uno sviluppo conveniente è quello in serie delle cosiddette funzioni sferiche di FOURIER. Lo sviluppo può mettersi sotto diverse forme tr cui l seguente : V n n 0 m 0 A nm R nm σ V R nm e S nm sono le funzioni sferiche, di cui si riportno lcuni dei termini primi: R 00 1 R 10 sinψ R 11 cosψ cosλ S 00 0 S 10 0 S 11 cosψ sinλ V x + V y ( ψ, λ ) S ( ψ, λ ) n+ nm + B m 1 nm n+ 1 σ + 0 n 44

45 R 0 3/ (sin ψ) -1/ R 1 3 cosψ sinψ cosλ S 0 0 S 1 3 cosψ sinψ sinλ R 3 (cosψ) cosλ I coefficenti A n,m e B n,m vlgono: Dimo lcuni vlori: A 00 GM B 00 0 B 10 0 A B n, m n, m G G ( n m )! ( n + m )! ( n m )! S 3 (cosψ) sin λ ( n + m )! σ σ n n R S n, m n, m ( ψ, λ ) dm ( ψ, λ ) dm A 10,A 11,B 11 rppresentno ( prte G) i MOMENTI STATICI dell Terr rispetto ll origine. Essendo l origine il bricentro, sono nulli. A 1,B 1,B, sono proporzionli i MOMENTI CENTRIFUGHI, sono nulli rispetto i pini XY, XZ, YZ. A 0 G A + B In definitiv, l equzione di V si può scrivere: C A ( B A ) 3 B A 1 ( 1 ( sinψ ) ) + ( cosψ ) cosλ T 4 GM 1 A+ B V 1 C σ + + σ M 4σ M 1 4 G (espressione limitt i termini del 3 ordine) A,B,C essendo i momenti d inerzi rispetto X,Y, Z Si ricord che : il momento sttico è un prodotto (sclre o vettorile) tr un lunghezz ed un ltr quntità (lunghezz,re,volume, forz, impulso ). I momenti di 1 grdo contengono un sol lunghezz, quelli di grdo due fttori di lunghezz. I momenti centrifughi sono momenti d inerzi,prodotti di distnze d due pini per un quntità. σ 45

46 Si riportno lcuni clcoli di momenti, come esempio: Z distnz di P dl pino [XY]: PP 0 σ sin ψ P x σ ) ψ λ P P o P y Y distnz di P dl pino [ZY]: distnz di P dl pino [XY]: P0 P y σ cosψ sin λ P0 P x σ cosψ cos λ Queste quntità, moltiplicte per dm, dnno i dmomentisttici rispetto i pini indicti. X Gli integrli dei dms estesi tutto i volume V sono pri 0, poiché i pini [XY], [ZY] e [ZX] pssno, per nostr costruzione, nel bricentro dell Terr e quindi: A 10 A 11 B 10 0 Il prodotto delle distnze di P di vri pini vle: PP 0 0 PP 0 P P x P P 0 P P 0 P P 0 y x y σ sin ψ σ cosψ sin λ σ sin ψ sin λ cosψ σ sin ψ σ cosψ cos λ σ sin ψ cos λ cosψ σ sin ψ cos λ σ sin ψ sin λ σ sin ψ sin λ cos λ 46

47 da db db 1 1 σ σ σ Clcolimo i MOMENTI CENTRIFUGHI: sin ψ cosψ cos λ dm sin ψ cosψ sin λ dm cos 1 ψ cos λ sin λ dm [XY][XZ] [XY][YZ] [XZ][YZ] Questi momenti possono essere correlti lle rispettive rotzioni intorno gli ssi X, Y e Z. Essendo, per nostr pprossimzione, l Terr un corpo simmetri centrle con centro coincidente con il bricentro, si ottiene: A 1 B 1 B 0 In bse lle considerzioni viste finor, l funzione sferic di Fourier si riduce : A 00 R00 σ R0 R 1 + A0 + A + T σ σ σ ecc. 47

48 L equzione del GEOIDE richiede di considerre nche i termini superiori l 3 ordine nell espressione di V e cioè T( 1/σ4). Se si vuole l determinzione di un superficie di riferimento meno rigoros: si f meno dei termini superiori l 3 ordine si pone A B ( l figur dell Terr si vvicin molto quell del solido di rotzione) L espressione pprossimt di V I è llor: V I ( 1 3sin ) G M 1 C A 1 + ψ σ σ M POTENZIALE NORMALE E l espressione pprossimt del POTENZIALE COMPLESSIVO divent: I G M 1 C A 1 U V + v 1 σ + σ M + ω ( ) 1 3sinψ σ cosψ Se si pone U U 0 cost. si h l equzione di un fmigli di superfici equipotenzili dell grvità, dette SFEROIDI ( di BRUNS). (Ricordimo che le SUPERFICI EQUIGRAVITAZIONALI sono un po diverse dlle SUPERFICI EQUIPOTENZIALI dell GRAVITA ). 48

49 Gli sferoidi sono delle superfici di rotzione ( nell equzione scompre l ngolo λ) A e C sono momenti d inerzi equtorile e polre. Le normli queste superfici hnno direzione sufficientemente prossim lle VERTICALI θ FIG.1 θ DEVIAZIONE dell VERTICALE (dell ordine di qulche secondo sessgesimle). L mssim devizione è di circ 60, mentre vlori di 10 si verificno in zone nomle (in prossimità dei grndi mssicci montni o di forti vrizioni di densità dell crost. Gli scostmenti sono in ogni modo ccidentti o locli). Attenzione lle influenze che l devizione può vere si nell misur di ngoli zimutli che nelle misure di dislivelli ( d es. nell livellzione trigonometric). 49

50 Determinzione dell grvità pprossimt Si è visto che W W ± grd ( W ) g ( x, y, z ),, x y Cos succede se si f grd(u)? W z Essendo U W, si otterrà un vettore nturlmente diverso d g. Per ottenere il modulo di questo vettore (che indichimo con γ*) si dovrebbe derivre l U rispetto ll normle n ll superficie (cioè si dovrebbero eseguire le derivte przili rispetto x,y,z e clcolre clcolre poi l risultnte). Si dimostr che, nei limiti dell nostr pprossimzione, si può invece derivre l espressione di U rispetto σ. Si ottiene γ du γ dσ γ Grvità Approssimt o NORMALE FIG.13 ( 1 3sin ψ ) + ω σ ψ G M 3 C A 1 cos σ + σ M 50

51 In quest equzione compiono grndezze geometriche (σ,ψ) m nche grndezze meccniche ( G M, (C-A)/M, ω). Si vedrà di eliminre le costnti meccniche. Si ricord che vle: W (x,y,z) U (x,y,z) T (x,y,z) POTENZIALE ANOMALO T è l grndezz fondmentle ll bse delle teorie nlitiche del cmpo grvitzionle. Può essere espress in serie rmoniche sferiche di ordine m e grdo n nell form: T G M σ n n mx n 1 + Pn, m n, m n. n m 0 σ ( sin ϕ ') ( C cos( mλ ) + S sin( mλ ) m C, S P essendo: coefficienti grvitzionli normlizzti funzione normlizzt di Legendre L differenz tr il modulo dei vettori g e γ si chim nomli di grvità g g g γ L nomli di grvità è funzione linere di T(P) 51

52 SCHIACCIAMENTO GEOMETRICO e SCHIACCIAMENTO GRAVIMETRICO 1. Scrivimo le espressioni di U per Ψ 90 Ψ 0 1/) per Ψ 0 σ 1 ψ cos 0 ψ sen + + M G ω 1 M A C 1 M G U 3 0 ψ σ 1/b) per ψ 90 c σ 0 ψ cos 1 ψ sen 90 ψ c 1 M A C 1 c M G U 5

53 E siccome 90 ψ 0 ψ U U si h c k 1 c M G M G ω k 1 M G essendo 1 3 M G ω k 1 c k 1 M G M G c + + Fcendo uno sviluppo in serie e rrestndoci i termini lineri: M A C k Fcendo uno sviluppo in serie e rrestndoci i termini lineri: M G ω k M G ω k 3 1 c 3 + trscurbile M G ω k 3 α c c α si chim schiccimento geometrico dell superficie U U O 53

54 . Scrivimo le espressioni di γ per /) per 1 3 p M G ω 3k 1 c 3k 1 c γ γ + polo c 3k 1 c M G γ + M G ω 3k 1 M G γ 3 equt Ψ 0 Ψ 90 ψ 0 /b) per ψ 90 e M G c c γ M G ω 3k 1 γ γ 3 e p + M G ω 3k β γ γ γ 1 γ γ 3 e e p e p + Sviluppndo in serie fino i termini di primo ordine: β si chim schiccimento grvimetrico 54

55 se ponimo l membro M G ω 5 M G ω k 3 M G ω k 3 β α α β γ e M G si può scrivere RELAZIONE di CLAIRAUT e γ ω 5 β α + cioè l somm dello schiccimento α geometrico ( costnte) e dello schiccimento β grvimetrico (costnte) è ugule 5/ del rpporto tr l forz centrifug ω e l grvità γ e, entrmbe clcolte ll equtore. ALCUNI VALORI: kg M s cm GM , , IAG 55

56 Equzione dello SFEROIDE in COORDINATE POLARI ( ) 1 GM ω K 1 GM ωσ cosψ 1 3senψ 1 M A C σ 1 1 σ GM 0 ψ U U ( ) GM ω K 1 GM ψ cos σ ω ψ 3sen 1 σ K 1 σ ψ sen GM ω 3K 1 σ 3 ( ) ψ sen α 1 σ semisse equtorile coefficiente di schiccimento geometrico ngolo tr rggio vettore e pino equtorile α ψ σ 56

57 Espressione dell GRAVITA APPROSSIMATA Anlogmente qunto visto per lo sferoide, si scrive il rpporto γ/γ e : γ γ e... d cui si ricv: γ γ e ( 1 + β sen ψ ) Per le immedite vicinnze ll ellissoide ( h piccolo ) si h: γ h γ essendo ( ' ) '' δ + δ sen ϕ h + δ h ( ) 0, ,00045sen ϕ h + 0,00007 h γ ( 1 + 0, sen ϕ 0, sen ϕ ) γ FIG.14 con h espresso in km, mentre δ, δ e δ sono coefficienti, sopr indicti. 57

58 PASSAGGIO d SFEROIDE d ELLISSOIDE Z Y X c Z Y X 1 c Z Y X Lo sferoide è molto simile d un ellissoide di rotzione che bbi gli stessi ssi e c. Le due superfici coincidono meno di termini in α. Inftti m α) (1 c - ( ) ( ) ( ) 1 1 ψ sin α 1 σ ψ sin α 1 σ Z α 1 σ Z α Z Y X α 1 Z Y X ) α (1 Z Y X α) (1 Y X FIG.15 -

59 σ d cui si ricv: (1 α sin ψ ) Quindi nel sostituire l ellissoide llo sferoide, si commette un errore mssimo, nel vlutre i rggi vettori, dell ordine di (1/90000) σ Dlle nostre prti ( ltitudine 45 ) l errore è di 5 m. Il più recente vlore di α, ottenuto d informzioni fornite d stelliti, è: 1 α ± 89.5 ± Il rggio equtorile vrrebbe: 6378,16 ± 0,15 Km Il rggio polre vrrebbe: 6356,77 ± 0,15 Km ( d lontno l Terr è vist come un sfer ) 1,39 Km 59

60 Essendo: Sviluppo in serie di rmoniche sferiche (di LAPLACE) Un ltro modo di ffrontre il problem è il seguente: W potenzile di grvità terrestre, in un punto di ltitudine geocentric ψ distnz r dl centro; GM costnte grvitzionle geocentric (G costnte di grvitzione universle, M mss terrestre, includente l tmosfer); semisse equtorile; X n (senψ) rmonic zonle di grdo n, funzione di sen ψ; J il suo coefficiente numerico; ω velocità ngolre di rotzione. W n GM ω 1 J n X n + r r r ( sin ψ ) cos ψ L superficie sferoidic viene suddivis in riqudri ( tessere), tnto più numerosi e minuti, qunto mggiore è l pprossimzione desidert. In ciscun riqudro, l superficie medi è rppresentt dl vlore che ssume un prticolre funzione, sommtori di un serie di termini. Queste funzioni sono dette funzioni sferiche di Lplce FIG.16 60

61 Per definire il sistem di riferimento geodetico (U.A.I. 1964) si utilizzno: m GM m 3 s - J 0, J è il coefficiente dell prim rmonic zonle, il primo e più rilevnte termine dello sviluppo, legto l vlore dello schiccimento geometrico α. Il potenzile U è univocmente determinto dll superficie ellissoidic, dll mss rcchius M e dll velocità ngolre ω ( in ccordo l teorem di STOKES-POINCARE ), indipendentemente dll distribuzione intern dell densità δ. L teori dell ellissoide equipotenzile è stt sviluppt d Pizzetti (1894) e successivmente elbort d Somiglin (199). 61

62 GEODESIA (ric.3) SISTEMI di RIFERIMENTO GENERALI LOCALI 6

63 SISTEMI di RIFERIMENTO superfici e prmetri di posizione SISTEMI GEODETICI sistemi geodetici di riferimento ROMA 40 ED 50 WGS 84 ellissoide locle ellissoide locle ellissoide geocentrico 63

64 ALCUNI RECENTI SISTEMI Sistemi E.C.E.F. (erth-centered, erth-fixed) (definiti dl Diprtimento Difes mericno) Sistemi I.T.R.S. (IERS Terrestril Reference System) d es. WGS (definito dl Servizio Internzionle per l rotzione terrestre IERS): è un sistem di riferimento convenzionle, con relizzzione nnule denomint ITRF (IERS Terrestril Reference Frme). Sistemi E.U.R.E.F. (Europen Reference Frme) è l relizzzione del Sistem di Riferimento Europeo: h definito un sistem denominto ETRS (Europen Terrestril Reference System) con relizzzione nnule denomint ETRF (Europen Terrestril Reference Frme). Con l vvento del GPS ed in generle con lo sviluppo delle principli tecniche spzili (Lser Rnging, Doppler, GPS, Tecniche Inerzili, ecc.), si pss d un visione qusi sttic dell Topogrfi d un visione dinmic (l Terr si muove e l su form cmbi per fenomeni si periodici quli le mree, ecc. che per fenomeni irreversibili quli l subsidenz, l geodinmic, ecc.). Con l utilizzo dei sistemi GNSS (Globl Nvigtion Stellite System), occorre introdurre un concetto nuovo di SISTEMA di RIFERIMENTO (SR) per poter comprendere e definire il metodo del posizionmento tridimensionle di punti medinte strumenti, metodi e servizi del GNSS 64

65 SISTEMA GEOCENTRICO INERZIALE (Erth Centered Inertil ECI) Z Perigeo Centro di mss dell Terr Ω ν ω Equtore X FIG.17 Assi del sistem: X, Y, Z Origine: nel centro di mss dell Terr Nodo scendente Asse X: orientto verso l equinozio di primver d un cert epoc (J000-1 gennio 000 ore 1 UT) Asse Z: orientto verso il Polo Nord Celeste, ll stess epoc Asse Y: form l tern destrors con gli ssi X e Z Y 65

66 RIC.4 SISTEMI di COORDINATE SISTEMI di COORDINATE GENERALI SISTEMI di COORDINATE LOCALI COORDINATE GEOCENTRICHE COORDINATE GEOGRAFICHE COORDINATE GEODETICHE TERNA EULERIANA ASTRONOMICHE O GEOIDICHE ELLISSOIDICHE POLARI RETTANGOLARI 66

67 SUPERFICI SUPERFICIE EFFETTIVA dell TERRA (superficie FISICA) DINAMICA REALE: prticolre superficie di livello del cmpo effettivo dell grvità terrestre, coincidente con il pelo libero dei mri, supposti in equilibrio ed in ssenz di zioni perturbtrici (GEOIDE) *. SUPERFICIE di RIFERIMENTO DINAMICA TEORICA: prticolre superficie di livello del cmpo teorico dell grvità (SFEROIDE). DINAMICA GEOMETRICA ELLISSOIDE locle o geocentrico SFERA OSCULATRICE PIANO TANGENTE * Le misure topogrfiche di direzioni zimutli e di ngoli zenitli, con teodoliti, fnno riferimento l cmpo rele dell grvità W essendo l sse primrio dello strumento orientto secondo l direzione dell verticle l punto. 67

68 Per definire l ellissoide terrestre occorre fissre: posizione del centro O ( 3 prmetri o coordinte ) direzione dell sse minore ( verso il polo borele o polo nord) lunghezz del rggio equtorile schiccimento α oppure eccentricità e Le sole misure geometriche non possono risolvere soddisfcentemente il problem, specilmente nei rigurdi dello schiccimento. Si è ftto ricorso lle misure di grvità: l combinzione del metodo geometrico con quello grvimetrico h dto i migliori risultti, sino pochi nni or sono. Recentemente, un potente mezzo di indgine è stto introdotto medinte l osservzione delle orbite dei stelliti rtificili (le orbite sono funzione dell velocità inizile del stellite e del cmpo di grvità). 68

69 Alcuni prmetri dei principli ellissoidi (locli): (Km) α ERATOSTENE (84.C. 0d.C) BESSEL ( 1841) CLARKE (1866) HELMERT (1906) HAYFORD (1909) [INTERN. 194] semisse rggio equtorile 5950, , ,140 (circ ugule 1:300 ) consider un sfer 1:99,0 0, ,140 1:98, ,388 1:97,00 U.G.G.I. (1967) 6378,160 1:98,5 U.G.G.I. Unione Geodetic e Geofisic Internzionle (Lucern) Le misure topogrfiche clssiche (per l plnimetri) sono riferite ll ellissoide locle di Hyford, orientto Monte Mrio (Rom). Per l ltimetri ci si riferisce l geoide (gli scrti tr geoide ed ellissoide locle sono limitti qulche metro). SISTEMA di RIFERIMENTO GEODETICO del 1980 (GRS80) (o nche WGS 84 geocentrico ) semissi : 6.378,137 Km b 6.356,75 costnte grvitz. mss G M m 3 s - schiccimento α 1:98,57 0, momento di inerzi J velocità ngolre ω rd /sec grvità pprossimt γ c 978,033 gl 69

70 COORDINATE GEOGRAFICHE CASO GEOIDE (coordinte stronomiche o geoidiche) CASO ELLISSOIDE (coordinte ellissoidiche) L verticle coincide con l normle m non incontr, di solito, l sse di rotzione Z-Z. Si definiscono ( fig.18-): ltitudine stronomic φ (0 < φ < 90 ) ngolo tr verticle e pino equtorile longitudine stronomic λ (0 <λ < 360 ) ngolo tr proiezione ortogonle dell verticle su pino e sse X-X L normle intersec l sse di rotzione Si definiscono (fig. 18-b): Z-Z nel punto S. ltitudine ellissoidic φ e (0 < φ e < 90 ) ngolo tr normle e pino equtorile longitudine ellissoidic λ e (0 <λ e < 360 ) ngolo tr proiezione ortogonle dell normle sul pino e sse X-X FIG. 18 b 70

71 DETERMINAZIONE DELLE COORDINATE GEOGRAFICHE ASTRONOMICHE * S.P. 1. misur dell LATITUDINE φ nel punto di osservzione P (fig.19) si vede l stell polre (S.P.) in direzione prllel ll sse di rotzione dell Terr (le stelle sono delle direzioni); con un teodolite si misur l ngolo Z (zenitle): quindi φ 90 Z. FIG.19. misur dell LONGITUDINE λ ) Greenwich si ttende che il sole pssi per il pino meridino locle (meridino di riferimento): ciò indic il mezzogiorno ; si mette l orologio lle ore 1:00. b) ci si trsferisce nel punto P dove collimndo ncor ll stell polre si è, con opportune operzioni, determinto il pino meridino ( può essere ftt nche con l uso di un giroscopio geodetico). c) Si ttende che il sole pssi per questo pino meridino e si vede nell orologio, messo con l or di Greenwich, qunto tempo è pssto: d ogni or corrispondono 15 di longitudine. 71

72 Le vrie operzioni sono più rffinte rispetto come sono stte prim descritte e ndrnno ftte con mggiore cur. Un buon stzione stronomic di misur può costre -3 mesi di lvoro. Si ricord che: 1 l centro dell terr corrisponde circ 30 m sull superficie terrestre 1 l centro dell terr corrisponde circ 1800m (1 miglio) sull superficie 1 l centro dell terr corrisponde circ 110 Km sull superficie terrestre (le coordinte vnno clcolte con l pprossimzione del millesimo di secondo sessgesimle: tle quntità corrisponde per l ccordint φ uno spostmento del punto lungo il meridino di ~ 3 cm mentre per l coordint λ lo spostmento è di solito minore). ******************* *********************** Si x,y,z un tern crtesin locle e sino X,Y,Z le coordinte crtesine geocentriche. Il pssggio fr le due terne è espresso d (fig.0): x Xp + senϕ cosλ x senλ y+ cosϕcos λz y Yp + senϕ senλ x cosλ y + cosϕsen λ z z Zp cosϕ x FIG.0 7

73 Alcuni vlori unitri di ltitudine e longitudine l vrire di lcuni vlori di ltitudine Ponendo λ cost. meridini (ellissi) (geodetiche) FIG.1 Ponendo φ cost. prlleli (circonferenze) (non geodetiche) φ lt.[m] 30,83 30,88 30,83 30,84 30,844 30,85 30,855 30,86 30,866 1 lon.[m] 5,047 4,77 4,40.4,06 3,7 3,37 3,015,8 1,903 73

74 Ric.5 Equzioni prmetriche : ELLISSOIDE equzione ellisse meridin coseni direttori dell normle clcolo dell tngente eccentricità e clcolo di Z clcolo di r riclcolo di Z EQUAZIONI PARAMETRICHE 74

75 EQUAZIONI PARAMETRICHE di un ELLISSOIDE TERRESTRE L equzione di un ellisse meridin (fig.) è: r + c z 1 FIG. Ricordimo che i coseni direttori dell normle d un curv di equzione f(r,z)0 sono proporzionli lle derivte przili di quest funzione, rispetto d r e z, cioè: f r cosϕ k cosϕ k r f cos sen k sen k z z c ( 90 ϕ ) ϕ ϕ 75

76 z c c tn ϕ 1 eccentricità e 1 α ( α ) α r c 150 z 1 tn ϕ z r( 1 e ) tn ϕ r 1 e d cui, sostituendo nell equzione precedente: r + r ( 1 e ) ( tn ϕ ) ( 1 e ) 1 r ( tn ϕ ) e ( tn ϕ ) ( cos ϕ ) ( ) e sin ϕ cos ϕ r W 1 e z W ( ) sin ϕ r cos ϕ ( ϕ ) 1 e sin equzioni prmetriche dell ellisse Osservndo che: X r cosλ Y r sinλ W (1 e sin φ) 1/ Equzione prmetric ellissoide X Y Z cos ϕ cos λ W cos ϕ sin λ W ( 1 e ) sin ϕ W 76

77 Ric.6 RAGGI di CURVATURA cos succede nell intorno di un punto su un superficie per un curv, si determinno le curvture di flessione per un superficie, definire le sezioni normli principli rggi principli di curvtur teorem di Eulero rggio di un sfer oscultrice vlore di rggio minimo teorem di Meusnier vlore di rggio mssimo 77

78 RAGGI di CURVATURA Si vuole studire cos succede nell intorno di un punto non singolre dell superficie terrestre. Ricordimo che per studire l intorno di un punto di un curv è sufficiente determinre l curvtur di flessione e l curvtur di torsione. Sull superficie, si ricorre llo studio dell prim curvtur delle infinite linee pprtenenti ll superficie e pssnti per il punto stesso. Ricordimo che: il pino h rggio di curvtur ; l sfer h un solo rggio di curvtur; ltre superfici hnno più rggi di curvtur.. π π 1 Si possono llor definire i rggi principli di curvtur delle sezioni normli principli. FIG.3 78

79 M cos'è un SEZIONE NORMALE? E' l line pin intersezione, sull superficie di riferimento, di un pino che contiene l normle ll superficie. Si può intersecre l superficie con infinite sezioni normli. n π 1 π 3 Se l superficie è, d es., quell di un SFERA, le sezioni normli sono tutte uguli e sono dei CERCHI. P E se è un cilindro? Ci sono nche qui infinite sezioni normli, m ce ne sono due prticolri che hnno il rggio di curvtur minimo (r) e il rggio di curvtur mssimo ( ) (fig. 4). Fig.4 79

80 E nell'ellissoide? Succede qulcos di nlogo: si h un rggio di curvtur minimo ρ nell sezione - (pino meridino 1 cioè pino che contiene oltre ll normle in P ll superficie, nche l'sse di rotzione)( FIG.5). Poi si prende un pino che bbi come costol l normle in P e si 90 col pino precedente 1: si ottiene un'ltr sezione normle b-b con rggio di curvtur N (grn-normle). Quest sezione normle, nel cso dell'ellissoide, risult tngente l prllelo, cioè entrmbe hnno in P l stess tngente. Un sezione normle qulsisi, formt cioè d un pino che form un ngolo α col pino, h un rggio di curvtur (TEOREMA di EULERO): 1 R α cos α + ρ sen α N prllelo b π π 1 Z r Fig.5 P b n 80

81 DETERMINAZIONE dei VALORI dei RAGGI di CURVATURA FIG6 dr dz PT ρ PS N d ϕ ds ρ differenzindo le espressioni di r e di z rispetto φ: (1 e ) senϕ dr d 3 ϕ W (1 e ) cosϕ dz d 3 ϕ W e quindi: ρ ds dϕ (1 e ) (1 e ) ds ( senϕ ) ( cosϕ ) dϕ dϕ 6 3 W + W ρ dr + dz dϕ 81

82 In definitiv si ottiene: ρ W (1 e ) Dove si h che: 3 W f ( ϕ) (1 e ) 1/ Per ricvre il rggio di curvtur mssimo N (grn normle) bisogn ricordre il teorem di Meusnier: il rggio di curvtur r di un sezione FIG.7 obliqu qulsisi è ugule l rggio di curvtur dell sezione normle che h r l stes tngente moltiplicto per il coseno dell ngolo formto tr i pini N delle due sezioni (Alcuni vlori: ellissoide di Bessel ) Ncosϕ / W φ r N ρ osservzioni 0 0 r N m m m N ρ 44 Km ,0034 r 0 1, m N ρ m Per m (ellissoide.internzionle.) e²0,00676 W³0, rggio di curvtur minimo ρ m 8

83 Ric.7 LUNGHEZZE di ARCHI ARCO di ARCHI di ARCHI di PARALLELO MERIDIANI GEODETICHE SVILUPPO di ANDRAE TEOREMA di CLAIRAUT 83

84 LUNGHEZZA degli ARCHI di PARALLELO e MERIDIANO ϕ λ λ r λ λ ) S p rco di prllelo 1 b) ds rco elementre di meridino S m? cos ( ) W (1 e ) ρ dϕ dϕ 3 W ( ) 1 Si può fre uno sviluppo in serie del tipo: (1-x) n 1-nx + sviluppo di Andre FIG.8 ϕ ϕ ϕ (1 e ) ρ d ϕ d ϕ ϕ 3 W 1 1 considerndo si ottiene ϕ m ϕ + ϕ 1 1 e (1 e ) 5 1, ρ ϕ ϕ1 ϕm ϕm ϕm ϕ ϕ1 S ( ) + cos e sen sen3 ( ) trscurndo i termini successivi, si commette l errore di 1 mm per un rco di

85 EQUAZIONI DELLE GEODETICHE FIG.9 L GEODETICA è definit come: quell line di superficie, che gode dell proprietà che l normle in ogni suo punto coincide con l normle ll superficie (è nche l minim distnz ds, sull superficie, tr due punti 1 e ) (fig.9). 1 85

86 1) Se f(x,y,z)0 è l equzione dell superficie, i 1 f coseni direttori dell normle ll superficie sono s X proporzionli : f f f essendo: s + + X Y Z 1 ) Se l line è in form prmetric, si h X X ( s ) Y Y ( s ) Z Z ( s ) 1 f s Y 1 f s Z essendo s l lunghezz dell line vlutt d un punto determinto; i coseni direttori dell normle ll line sono proporzionli : R X s R Y s ( con R indichimo il rggio di 1 curvtur) R Z s 86

87 f f f X 3) Uguglindo si ottiene: Y Z X Y Z s s s Per l ellissoide + si h che: X Y + 1 e 0 per cui ovvero ed integrndo poiché Z f Y Y f X X d Y d X X Y 0 ds ds d dy dx X Y 0 ds ds ds dy dx X Y costnte ds ds si h dx d λ dr d λ dr r sen λ + cos λ Y + cos λ X r cos λ ds ds ds ds ds dy d λ dr d λ dr Y r sen λ r cos λ + sen λ X + sen λ ds ds ds ds ds d cui si ottiene dλ d cui ed infine r costnte ds r d λ ds sen α r sen α costnte TEOREMA di CLAIRAUT 87

88 Indicndo con r 0 il rggio del prllelo in coincidenz del qule l geodetic tgli normlmente il meridino, dove cioè απ/: D cui: r sin α r o r0 sin α 1 r cost r r 0 α 0 α r N r 0 απ/ A r 0 Fig. 9 b Quindi l geodetic di un superficie di rotzione deve restre compres nell zon ove il rggio del prllelo r rest superiore o ugule l vlore r 0. A r 0 A (fig.9b) 88

89 DEVIAZIONE dell VERTICALE ed EQUAZIONE FONDAMENTALE dell GEODESIA FISICA Le coordinte geogrfiche stronomiche Φ e Λ individuno l direzione del vettore v (verticle); le coordinte geogrfiche ellissoidiche φ e λ individuno l direzione del vettore n. L differenz tr le due direzioni è not come DEVIAZIONE DELLA VERTICALE ed è espress dlle componenti ngolri ξ e η rispettivmente lungo il meridino e il prllelo (primo verticle). (ricordre che TW-U dove TPotenzile nomlo) ζ FIG.30 ζ 1 N 1 T φ ϕ σ ϕ σγ ϕ ϕ φ ζ 1 N 1 T Λ σ cos ϕ λ γσ cos ϕ λ η ( λ ) cos ϕ λ Λ η cos ϕ ζ e η possono essere in certi csi superiori 0 89

90 Sull DEVIAZIONE dell VERTICALE ε π/ - ϕ e ε m è l componente nel pino meridino ε v è l componente nel pino verticle V εn γ ε m ϕ e ε ε m ε sin ε v v sin λ Fig.30 λ λ ϕ ( λe ) cosϕ cosϕ v ( e ) π/ - ϕ ε meno di termini in ε v. ε v tn γ ε m Quindi: ε + ε m ε v sempre meno di termini in ε v. meno di termini in ε v4. 90

91 L differenz tr il modulo dell grvità g e quello dell grvità pprossimtγè esprimibile pprossimtivmente con: T g ( P ) γ ( P ) I n Si definisce ANOMALIA di GRAVITA riferit l geoide: g g ( P ) γ ( P ) Si h quindi l equzione fondmentle dell GEODESIA FISICA (Q è il piede dell normle ll ellissoide per P) (fig.31) ( ( ) γ ( ) ) ( γ ( ) γ ( ) ) g g P P + P Q T γ T 1 γ g + N + T I I I I n n n γ n 91

92 ANOMALIA di GRAVITA Si noti che il punto P rele si trov sull superficie topogrfic d un cert quot. Si definisce ANOMALIA di GRAVITA g F in ri liber (free ir) per l qule si suppone che il contributo in g dello spessore di terr lto H sottostnte il punto di osservzione P, si pri l contributo in γ, per lo stesso dislivello H sovrstnte l ellissoide di riferimento Dove γ n F g g P γ Q g P γ e H I γ I n mgl m FIG.31 9

93 FORMULA di BRUNS Si è imposto che il potenzile W sul geoide si pri l potenzile normle U sull ellissoide e cioè: Vle llor U W W ( Q ) ( P ) 0 U T ( P ) W ( P ) U ( P ) ( U ( P ) U ( Q ) ) PQ γ ( Q ) N nn ' not come FORMULA di BRUNS ( o nche N T ) T potenzile nomlo N ondulzione del geoide γ grvità pprossimt γ 93

94 Convergenz dei meridini c mn ϕ c m ϕ m α α 0 ϕ + ϕ0 ( λ λ ) 0 sin ϕ m Fig.31 V λ ε N λ PN EQUAZIONI DI LAPLACE tn ( α α ) sin ϕ tn( λ λ ) e e T αe α R φ S α α e ( λ λe ) sin ϕ meno di termini in ε 94

95 Dl TERRENO O SUPERFICIE FISICA, si introducono: GEOIDE SFEROIDE ELLISSOIDE GEODETICO di RIFERIMENTO ELLISSOIDE GEOCENTRICO di RIFERIMENTO SFERA PIANO TANGENTE TELLUROIDE: superficie l cui quot, rispetto ll ellissoide geocentrico di riferimento, è ugule ciò che si h tr il terreno ed il geoide. QUASIGEOIDE: non h significto fisico; è un pur invenzione mtemtic. Si possono definire delle quote qusigeoide chimte QUOTE ANOMALE, indicte con ξ, che si clcolno esttmente. Sono uste nell ex URSS ed in lcuni Pesi dell Est europeo. ELLISSOIDE IDROSTATICO di EQUILIBRIO : viene usto per scopi di geofisic. E un ellissoide bissile. 95

96 GEOIDE E C Equtore ELLISSOIDE GEODETICO DI RIFERIMENTO ELLISSOIDE GEOCENTRICO DI RIFERIMENTO Fig.31 96

97 Ric.8 OPERAZIONI di MISURA PLANIMETRICHE definizioni di: DISTANZE - ANGOLI Teoremi dell geodesi opertiv (formule di Puiseux-Weingrten) 97

98 MISURE Finor bbimo definito: distnz tr due punti : l lunghezz dell rco di geodetic tr i due punti (fig.3); ngoli tr geodetiche : gli ngoli tr le tngenti lle geodetiche (fig.3).. FIG.3 Le misure vengono effettute sul terreno, cioè sull superficie fisic dell Terr; le distnze e gli ngoli sopr definiti non possono quindi essere misurti rispetto quest superficie. Queste quntità vengono clcolte invece rispetto ll superficie di riferimento ( ellissoide o geoide). 98

99 Si ricord che con gli strumenti topogrfici si relizzno pini verticli. Lo strumento h il suo sse principle lungo l direzione dell verticle. Sppimo che può esserci un errore di verticlità nche nei teodoliti di precisione ed bbimo visto (o vedremo) come questo errore può ridursi o essere eliminto. Nell ipotesi che lo strumento bbi il suo sse principle lungo l direzione dell line di forz dell grvità (verticle), questo sse e l sse di collimzione d un punto definiscono un pino verticle. L verticle di un punto non coincide però con l normle nel punto ll superficie di riferimento/ellissoide: si h un devizione dell verticle che può ssumere in certi csi il vlore di 10-0 o nche mggiori. Per vlori bssi di questo ngolo di devizione e se si fnno misure non di lt precisione, si può pensre che verticle e normle coincidono. M se invece si fnno misure di lt precisione, occorre tenere conto dell devizione ed occorre vlutrl ed pportre le correzioni lle misure ngolri (zimutli e zenitli). 99