LAUREA MAGISTRALE INGEGNERIA CIVILE. Docente: Marinella Giunta

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "LAUREA MAGISTRALE INGEGNERIA CIVILE. Docente: Marinella Giunta"

Transcript

1 UNIVERSITA DEGLI STUDI MEDITERRANEA DI REGGIO CALABRIA FACOLTA DI INGEGNERIA LAUREA MAGISTRALE INGEGNERIA CIVILE Corso di PROGETTO E GESTIONE DELLE INFRASTRUTTURE VIARIE LECTURE 04 ELEMENTI DI RISK ANALYSIS CONCETTI DI PROBABILITA, FREQUENZA, MAGNITUDO Docente: Marinella Giunta

2 DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 1/4 Per certi eventi che investono la collettività e possono provocare gravi danni sia immediati che ritardati alle persone o alle cose si definisce: Rischio = Frequenza prevista per l evento x R = F x M Magnitudo delle conseguenze Determinare la frequenza prevista per l accadimento dell evento ipotizzato e la gravità delle conseguenze significa con una espressione tecnica effettuare una valutazione probabilistica del rischio.

3 DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 2/4 La valutazione del rischio si articola in tre studi: 1. Individuazione degli eventi che possono dar luogo ad un incidente rilevante 2. Determinazione della frequenza di accadimento dell evento 2. Analisi delle conseguenze

4 DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 3/4 La definizione del rischio come prodotto della frequenza di accadimento dell evento per la magnitudo delle conseguente ha l enorme vantaggio di consentire una valutazione quantitativa del rischio ed abbandonare il significato vago che il termine rischio ha nel linguaggio comune. Con i numeri è più facile effettuare confronti e stabilire graduatorie!

5 DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 4/4 Frequenza prevista Protezione R 1 R 2 Prevenzione R 3 R 1 > R 2 > R 3 Magnitudo delle conseguenze Nel caso in cui il rischio non venga considerato tollerabile si potrà ridurre operando sulla frequenza di accadimento (azione di prevenzione) o sulla magnitudo delle conseguenze (azione di protezione)

6 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 1/21 Esistono due definizioni di probabilità: probabilità oggettiva (o classica) probabilità soggettiva PROBABILITA OGGETTIVA La definizione di probabilità oggettiva, introdotta da Pascal nel XVII secolo è la seguente: Dati N eventi che hanno uguale possibilità di verificarsi, la probabilità di accadimento dell evento A, vale: P(A) = Numero di eventi A Numero totale di eventi

7 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 2/21 PROBABILITA OGGETTIVA ESEMPI Nel lancio di un dado: Nel lancio di una moneta: P(uscita del 2) = 1/6 P(TESTA) = 1/2 CONSIDERAZIONI La definizione presuppone il conteggio di tutti gli eventi ugualmente possibili e questo è fattibile nel caso di giochi con carte, monete, dadi, al lotto, alla roulette. Questa probabilità si può anche chiamare teorica, nel senso che può essere valutata a tavolino, una volta nota la situazione. Nei casi reali il conteggio di tutti gli eventi non è sempre possibile e spesso non ha addirittura alcun significato. Gli eventi possibili possono non essere equiprobabili.

8 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 3/21 PROBABILITA OGGETTIVA VANTAGGI A. Permette di stabilire alcune relazioni matematiche relative alla probabilità B. Costituisce una scala di riferimento per la probabilità soggettiva A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA La definizione classica ci dice che la probabilità è un numero puro e può variare dallo zero (per un evento impossibile) all unità (per un evento certo), cioè: 0 P 1

9 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 4/21 PROBABILITA OGGETTIVA A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA Si può affermare che il verificarsi dell evento A e il non verificarsi (che indichiamo con not A) soddisfano alla relazione: P(A) + P(not A) = 1. considerando il caso in cui un evento possa verificarsi in relazione all accadimento di altri, questi ultimi fra di loro indipendenti, si possono avere due casi:

10 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 5/21 PROBABILITA OGGETTIVA A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA (I) L evento H capita quando si verifica l evento A oppure l evento B oppure entrambi, e si scrive simbolicamente: H = A or B La formula del calcolo delle probabilità per l evento H è la seguente: P(H) = P(A or B) = P(A) + P(B) P(A).P(B)

11 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 6/21 PROBABILITA OGGETTIVA A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA (II) L evento K capita quando si verifica l evento C e l evento D; si scrive simbolicamente: K = C and D La formula del calcolo delle probabilità per l evento K è la seguente: P(K) = P(C and D) = P(C). P(D)

12 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 7/21 PROBABILITA OGGETTIVA A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA ESEMPI: Si lancino due dadi. Le coppie di valori possibili sono in numero di 36: 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 P(5 sul primo dado or sul secondo) = 11/36 = 0,305 Lo stesso risultato si può trovare così: P(5 or 5) = 1/6 + 1/6 1/6.1/6 = 11/36 = 0,305

13 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 8/21 PROBABILITA OGGETTIVA B. SCALA DI RIFERIMENTO DELLE PROBABILITA Ritornando al gioco di TESTA o CROCE, si lancino due monete. La probabilità di avere tutte TESTE è 1/4, valutabile dal fatto che l evento favorevole è uno dei 4 eventi possibili: T.T, T.C, C.T, C.C o anche ricorrendo alla formula del calcolo delle probabilità P (Tand T) = 1/2.1/2 =1/4 Se si lanciano 3 monete la probabilità di avere TESTA SU tutte si calcola con una generalizzazione della formula: e lanciando N monete: P (Tand T) = (1/2) 3 = 1/8 = 0,125 P (Tand Tand Tand Tand T ) = (1/2) N

14 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 9/21 PROBABILITA OGGETTIVA B. SCALA DI RIFERIMENTO DELLE PROBABILITA Alcune potenze di 1/2 per una scala di riferimento: esponente valore valore N di (1/2) N approssimato 1 0,5 2 0,25 3 0, , , , , ,

15 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 10/21 PROBABILITA SOGGETTIVA Un altro punto di vista diverso, chiamato soggettivista o neobayesiano è importante per la maggior parte dei problemi. Si tenga presente che soggettivo non vuol dire arbitrario, ma semplicemente legato alle conoscenze del soggetto (De Finetti). A questa definizione si è costretti a ricorrere quando, volendo determinare il valore di una probabilità, non sono valide le condizioni discusse per la probabilità oggettiva. Il dominio di definizione della probabilità soggettiva comprende eventi unici, rari o capitati più volte nel passato in circostanze che non si ritengono più valide per il futuro. Rientrano in queste situazioni, per cu si può definire solo una probabilità soggettiva, terremoti, alluvioni avvenimenti sportivi, caduta di un aereo, ecc..

16 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 11/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: A. Valutazione frequentistica B. Valutazione tramite i bookmakers C. Metodo della decomposizione

17 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 12/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: A. Valutazione frequentistica Tale valutazione si basa sul teorema di von Mises che afferma: In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è pressappoco uguale alla sua probabilità. L approssimazione cresce ordinariamente con il crescere del numero delle prove.

18 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 13/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: A. Valutazione frequentistica Esempio: sono indicati i risultati di 10, 20, lanci di monete numero numero rapporto di lanci di TESTE TESTE/lanci , , , , , , ,5032 Il rapporto tra il numero delle volte che è apparso TESTA ed il numero totale dei lanci tende al valore teorico 0,5.

19 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 14/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: A. Valutazione frequentistica I risultati confermano la validità della legge dei grandi numeri e la disuguaglianza di Cebysev, che affermano che su un gran numero di prove è quasi certo che la frequenza coincide con la probabilità e che gli scarti hanno tendenza a compensarsi. ATTENZIONE Non dare a questo risultato interpretazioni eccessive e manifestamente assurde: non si pensi ad esempio che tale avvicinamento alla probabilità faccia attendere con maggiore facilità l apparizione di un evento in ritardo!

20 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 15/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: B. Valutazione tramite i bookmakers Per prevedere ad esempio il risultato di una corsa di cavalli si può studiare attentamente il lotto dei partenti, esaminare i risultati delle corse precedenti, tenendo conto della lunghezza del percorso, dello stato del terreno., e cercare di avere qualche confidenza dagli stallieri. E però più facile riferirsi alle poste dei bookmakers. Un cavallo dato S a T ha la probabilità di vincere in un gioco equo. P = S/(S+T)

21 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 16/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: B. Valutazione tramite i bookmakers La quota della posta S a T significa che si è disposti a ricevere T in caso di successo e dare S in caso di insuccesso. I bookmakers di Londra sono famosi in tutto il mondo ed accettano scommesse su tutto, ma anche loro incorrono in previsioni clamorosamente errate. Ai mondiali di calcio dell 82 la squadra azzurra, prima dell inizio delle gare, era data 1 a 20, il Cardinale Luciani non era neppure quotato dopo la morte di Papa Paolo VI!

22 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 17/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: C. Metodo della decomposizione Il metodo della decomposizione è importante per la valutazione della probabilità soggettiva riferita ad eventi rari o unici. Consiste nel considerare che un evento finale H o K può accadere per l avverarsi di eventi A, B, C, D,. indipendenti tra loro, secondo una delle relazioni logiche: H = A or B K = C and D

23 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 18/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: C. Metodo della decomposizione ESEMPIO Un treno non si arresta davanti ad un ostacolo per due motivi: la segnalazione luminosa è errata oppure il macchinista non avverte l indicazione o per entrambi i motivi. Naturalmente potrebbero essere considerati altri motivi, come il non funzionamento dei freni. Si ponga H = il treno non si arresta A = la segnalazione luminosa è errata B = il macchinista non avverte l indicazione Si può scrivere: H = A or B

24 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 19/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: C. Metodo della decomposizione ESEMPIO Se sappiamo in base all esperienza passata (cioè mediante una valutazione di probabilità tramite frequenza) che: P(A) = 1/100 (segnalazione luminosa errata) P(B) = 1/10 (errore umano) P(H) = P(A) + P(B) P(A).P(B) = 1/ /10-1/100.1/10 =1/10 L evento indesiderato è legato essenzialmente all errore umano..altri ESEMPI SU INCIDENTI STRADALI

25 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 20/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: C. Metodo della decomposizione ESEMPIO Un reattore chimico può esplodere perché si è formata una miscela esplosiva e c e un innesco per lo scoppio. Siano: K = esplosione del reattore C = presenza di miscela esplosiva D = presenza di innesco Si può scrivere K = C and D P(K) = P(C).P(D) Se P(C) = 1/100 e P(D) = 1/10 la probabilità che accada l esplosione è P(K) = P(C).P(D) = 1/100.1/10 =1/1000

26 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 21/21 VARIABILE O NUMERO ALEATORIO Una variabile aleatoria o numero aleatorio ha un valore non noto a priori e può essere valutato attraverso una stima più o meno affidabile. ESEMPIO Numeri di incidenti con sversamento di materiali pericolosi che si verificano in una tratta autostradale in un anno; Talvolta, per convenienza, anche fenomeni e grandezze prevedibili empiricamente sulla base di modelli fisici sono interpretati nel senso di variabili aleatorie, rinunciando ad analizzare la complessità dei fenomeni e studiando solo la statistica delle sue manifestazioni. La serie storica dei valori assunti da una variabile aleatoria costituisce il campione o spazio campione e definisce i limiti conoscitivi o lo stato di conoscenza. La variabile aleatoria nelle sue realizzazioni storiche si definisce variabile campionaria.

27 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 1/13 Dopo avere richiamato i concetti di base della probabilità, definiamo il rischio ed esaminiamo come valutare in modo quantitativo i due fattori che entrano in gioco: la frequenza e la magnitudo. Indice di Rischio = Frequenza prevista per l evento x R = F x M Magnitudo delle conseguenze

28 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 2/13 Nella formula di calcolo dell indice di rischio, o semplicemente rischio, è insita la circostanza che risulta lo stesso rischio per un sistema che si prevede provochi 1 vittima all anno e per quello che ne provoca 25 in un evento che si prevede ogni 25 anni. In generale, noi siamo colpiti più dalla magnitudo delle conseguenze che dalla frequenza dell evento. Relativamente al calcolo delle frequenze abbiano richiamato il problema del giudizio soggettivo e quello delle frequenze estremamente basse. Si approfondisce adesso il carattere di accidentalità dell evento. Mentre alcuni eventi (caduta di un oggetto, ritorno di una cometa) sono previsti da leggi deterministiche, per altri eventi non è possibile formulare una previsione (scoppio di un pneumatico di un automobile, scontro tra due treni.)

29 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 3/13 Gli eventi accidentali possono essere di due tipi: - Eventi casuali uniformi nel tempo; - Eventi casuali non uniformi nel tempo. Eventi casuali uniformi nel tempo Si consideri un avvenimento che si verifica a ripetizione nel tempo. L evento è detto periodico se è costante l intervallo di tempo fra due accadimenti successivi: questo intervallo è detto periodo o tempo di ritorno (ed è indicato comunemente con T). La frequenza ν ne è l inverso. Nell ingegneria della sicurezza interessano prevalentemente eventi non periodici, e fra questi, quelli che accadono nel tempo secondo una legge casuale uniforme.

30 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 4/13 Eventi casuali uniformi nel tempo Per gli eventi casuali uniformi nel tempo detto N il numero di accadimenti nell intervallo complessivo considerato, possono essere definiti: - la frequenza ν; - l intervallo medio di tempo fra un accadimento ed il successivo: avendo indicato con t i successivi. T medio = Σ i t i /N l intervallo generico fra due eventi L intervello t medio vale approssimativamente l inverso di ν.

31 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 5/13 Eventi casuali uniformi nel tempo ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI Esperimento: Si facciano estrazioni successive da un urna contenente gettoni marcati 0, 1, 2, 9 in numero estremamente grande. I gettoni delle diverse cifre sono in numero uguale e pertanto da questa popolazione avente distribuzione rigorosamente uniforme c è da aspettarsi che un campione di estrazioni (con reimbussolamento) presenti una distribuzione pressoché uniforme della 10 cifre. L aver effettuato estrazioni assicura che il processo è casuale. In pratica si utilizza una serie di numeri casuali uniformi ottenuti da un computer.

32 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 6/13 Eventi casuali uniformi nel tempo ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI Esperimento: Si sostituisce SI allo zero e NO alle altre cifre e si considerino il SI e il NO come l etichetta attribuita ad ognuno dei anni, a seconda che si sia o no verificato un certo avvenimento nell anno. L anno di accadimento è casuale: ci aspettiamo di trovare nell intera storia degli ultimi anni circa 200 anni marcati SI. Nell esperimento si sono avuti 198 SI. La frequenza dell evento è quindi: e conseguentemente: ν = 198/2.000 ~ 0,1/ anno t medio = 1/ν =~ 10/ anni

33 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 7/13 Eventi casuali uniformi nel tempo ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI a) Distribuzione delle frequenze Prendendo in considerazione intervalli di osservazione abbastanza lunghi si trovano valori delle frequenze dei SI con una distribuzione a campana, attorno al valore della moda (valore dell ascissa di maggior frequenza della funzione di distribuzione). NUMERO DI EVENTI (a) NUMERO DI EVENTI (b) L istogramma (a) è stato ricavato sperimentalmente: in ascissa è riportato il numero X di SI per secolo (e la frequenza corrispondente), in ordinata il numero di secoli caratterizzati dal valore X.

34 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 8/13 Eventi casuali uniformi nel tempo ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI b) Distribuzione degli intervalli di tempo E stato ricavato t medio dall inverso della frequenza. Lo stesso valore si trova facendo la somma degli intervallo di tempo t 1, t 2, t 198 fra un evento SI ed il successivo e dividendola per il numero di eventi. Essendo t medio un valore medio, gli intervalli siano disposti attorno a questo, ancora secondo una distribuzione simmetrica: nel caso considerato si potrebbero aspettare molti intervalli di 10 anni, un po meno di 9 e 11, ancor meno di 8 e 12, e così via. La legge afferma invece che la distribuzione degli intervalli di tempo è una funzione decrescente. In effetti la distribuzione del numero degli intervalli non può essere simmetrica, ma decrescente: essendo fissato t medio, per ogni t i >> t medio devono esserci più valori con t i < t medio.

35 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 9/13 Eventi casuali uniformi nel tempo Le due leggi sono ben note nel calcolo delle probabilità: se l apparizione degli eventi è casuale uniforme la distribuzione delle frequenze è data da una funzione poissoniana e quella degli intervalli di tempo fra un evento ed il successivo da una funzione esponenziale negativa.

36 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 10/13 Eventi casuali non uniformi nel tempo La maggior parte dei sistemi e dei componenti tecnici mostrano durante certi periodi della loro vita ratei variabili: si hanno ancora eventi accidentali, guasti per esempio, ma con rateo o decrescente o crescente con l età. E molto comune per auto, televisori, sistemi di allarme un andamento del rateo di guasto che mostra un tratto che scende rapidamente, più piatto, poi in salita sempre più accentuata. Agli intervalli corrispondono: I. il rodaggio II. la vita utile III. l usura

37 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 11/13 OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDO La valutazione dei danni, sia a priori sia a posteriori, è attuata nel campo assicurativo attraverso criteri prefissati di monetizzazione. I rischi facilmente assicurabili non sono quelli che si verificano raramente, perché questi mettono in gioco grandi valori concentrati su un mercato ristretto: essi impediscono il funzionamento della legge dei grandi numeri. Nella nostra trattazione interessano gli eventi che si verificano raramente: i problemi sono numerosi, e tra questi: a. Misurare la magnitudo scegliendo come unità di misura una vittima b. Ambiguità di considerare insieme, e con la stessa unità di misura, effetti immediati e a lungo termine

38 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 12/13 OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDO a. Nella valutazione probabilistica del rischio la magnitudo deve essere determinata per un avvenimento previsto futuro, necessariamente affetto da incertezze. Accanto a questa difficoltà di principio, ne esiste un altra, presente anche per un evento già accaduto, relativa al problema di pesare le diverse conseguenze (feriti, morti, distruzione di cose) per attribuire un valore numerico alla magnitudo. Vi sono poi danni difficilmente valutabili, ma spesso gravi (disagio dello sfollamento, sospensione di attività). Entrano in gioco anche fattori psicologici. Per questo motivo spesso non c è accordo nello stabilire una graduatoria si magnitudo delle conseguenze.

39 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 13/13 OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDO b. Le due affermazioni: Il terremoto uccide persone Il fumo ha ucciso persone Nel primo caso un terremoto ha causato in una zona abitata un gran numero di vittime: ci saranno anche case distrutte, servizi interrotti ecc La seconda affermazione evidenzia un fenomeno del tutto diverso: non si è mai visto stramazzare a terra nessuno perché avena una sigaretta in bocca. Semmai l abuso di tabacco provoca una riduzione della speranza di vita.

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Appunti: elementi di Probabilità

Appunti: elementi di Probabilità Università di Udine, Facoltà di Scienze della Formazione Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Multimediali Corso di Matematica e Statistica (Giorgio T. Bagni) Appunti: elementi di Probabilità. LA PROBABILITÀ..

Dettagli

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La definizione di probabilità che abbiamo finora considerato è anche nota come probabilità a priori poiché permette di prevedere l'esito di un evento

Dettagli

Analisi statistica degli errori

Analisi statistica degli errori Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale

Dettagli

Un gioco con tre dadi

Un gioco con tre dadi Un gioco con tre dadi Livello scolare: biennio Abilità interessate Costruire lo spazio degli eventi in casi semplici e determinarne la cardinalità. Valutare la probabilità in diversi contesti problematici.

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa.

Una sperimentazione. Probabilità. Una previsione. Calcolo delle probabilità. Nonostante ciò, è possibile dire qualcosa. Una sperimentazione Probabilità Si sta sperimentando l efficacia di un nuovo farmaco per il morbo di Parkinson. Duemila pazienti partecipano alla sperimentazione: metà di essi vengono trattati con il nuovo

Dettagli

187. Casualità Matematica e Metodo Monte Carlo Nicola De Nitti nicoladenitti@gmail.com

187. Casualità Matematica e Metodo Monte Carlo Nicola De Nitti nicoladenitti@gmail.com 187. Casualità Matematica e Metodo Monte Carlo icola De itti nicoladenitti@gmail.com Premessa Il concetto di probabilità, impiegato a partire dal XVII secolo, è diventato con il passare del tempo fondamentale

Dettagli

Probabilità. Esperimento, risultati e spazio campionario

Probabilità. Esperimento, risultati e spazio campionario Probabilità La probabilità è usata nel linguaggio comune per dare indicazioni quantitative sul verificarsi di certi eventi: i) probabilità di incorre in un data patologia causa l abuso di alcol, fumo,

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Esercitazioni 2013/14

Esercitazioni 2013/14 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

Inferenza statistica. Inferenza statistica

Inferenza statistica. Inferenza statistica Spesso l informazione a disposizione deriva da un osservazione parziale del fenomeno studiato. In questo caso lo studio di un fenomeno mira solitamente a trarre, sulla base di ciò che si è osservato, considerazioni

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte I

Elementi di Statistica descrittiva Parte I Elementi di Statistica descrittiva Parte I Che cos è la statistica Metodo di studio di caratteri variabili, rilevabili su collettività. La statistica si occupa di caratteri (ossia aspetti osservabili)

Dettagli

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A L M T I D I P R O B A B I L I T A CI STORICI Il calcolo delle probabilità si è andato sviluppando piuttosto di recente, intorno al 500 e per lungo tempo solo come una branca della matematica Solo dal secolo

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Probabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità

Probabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità: indicazioni quantitative sul verificarsi di certi eventi (linguaggio comune), ad es. P di superare o

Dettagli

LA PROVA STATISTICA NEL PROCESSO PENALE

LA PROVA STATISTICA NEL PROCESSO PENALE Benito V. Frosini Università Cattolica del Sacro Cuore LA PROVA STATISTICA NEL PROCESSO PENALE Roma, 26 gennaio 2013 1. Processo civile e processo penale 1.1. Riguardo alla valutazione delle prove statistiche,

Dettagli

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Variabili aleatorie

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Variabili aleatorie Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

La distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale La distribuzione binomiale 1. Che cos'è un numero casuale Stiamo per lanciare un dado. Fermiamo la situazione un attimo prima che il dado cada e mostri la faccia superiore. Finché è in aria esso costituisce

Dettagli

IL CONCETTO DI FENOMENO ALEATORIO

IL CONCETTO DI FENOMENO ALEATORIO IL CONCETTO DI FENOMENO ALEATORIO Osservazione di Fenomeni Naturali (fisici, chimici,...) Sociali (economici, finanziari, psicologici,...) sui quali è difficile fare una previsione a causa di meccanismi

Dettagli

Matematica Applicata. Probabilità e statistica

Matematica Applicata. Probabilità e statistica Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato

Dettagli

Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini

Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini 1 Elementi di calcolo delle probabilitá, teorema di Bayes e applicazioni 1.1 Definizione di probabilitá

Dettagli

CONTROLLI STATISTICI

CONTROLLI STATISTICI CONTROLLI STATISTICI Si definisce Statistica la disciplina che si occupa della raccolta, effettuata in modo scientifico, dei dati e delle informazioni, della loro classificazione, elaborazione e rappresentazione

Dettagli

Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo

Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo docente Giuseppe Sanfilippo http://www.unipa.it/sanfilippo giuseppe.sanfilippo@unipa.it

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.

Dettagli

Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio. M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano

Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio. M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano Errori cognitivi, probabilità e decisioni mediche nella diagnostica di laboratorio M. Besozzi - IRCCS Istituto Auxologico Italiano L argomento... Errori cognitivi Il problema gnoseologico Dati, informazione

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI

E NECESSARIO RICORRERE ALLE VARIABILI CASUALI IL CONCETTO DI VARIABILE CASUALE Associare una misura di probabilità al verificarsi di un certo evento (come esito di un esperimento) non sempre è sufficiente a risolvere gran parte dei problemi reali

Dettagli

Introduzione alla scienza della comunicazione (E. T. Jaynes)

Introduzione alla scienza della comunicazione (E. T. Jaynes) Introduzione alla scienza della comunicazione (E T Jaynes) S Bonaccorsi Department of Mathematics University of Trento Corso di Mathematical model for the Physical, Natural and Social Sciences Outline

Dettagli

Teoria della probabilità: eventi, proprietà additiva e moltiplicativa. L incertezza

Teoria della probabilità: eventi, proprietà additiva e moltiplicativa. L incertezza La probabilità Teoria della probabilità: eventi, proprietà additiva e moltiplicativa L incertezza Nella maggior parte delle situazioni la nostra condizione è caratterizzata dallincertezza Incertezza relativa

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

La probabilità nella vita quotidiana

La probabilità nella vita quotidiana La probabilità nella vita quotidiana Introduzione elementare ai modelli probabilistici Bruno Betrò bruno.betro@mi.imati.cnr.it CNR - IMATI San Pellegrino, 6/9/2011 p. 1/31 La probabilità fa parte della

Dettagli

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Questa raccolta comprende sia gli esercizi dell esercitazione del 14 febbraio sia gli esercizi di ricapitolazione sulle

Dettagli

CAPITOLO 10. Controllo di qualità. Strumenti per il controllo della qualità e la sua gestione

CAPITOLO 10. Controllo di qualità. Strumenti per il controllo della qualità e la sua gestione CAPITOLO 10 Controllo di qualità Strumenti per il controllo della qualità e la sua gestione STRUMENTI PER IL CONTROLLO E LA GESTIONE DELLA QUALITÀ - DIAGRAMMI CAUSA/EFFETTO - DIAGRAMMI A BARRE - ISTOGRAMMI

Dettagli

Il calcolo delle probabilità

Il calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità Cenni storici Come in molti altri casi, anche l'individuazione di una data precisa per la collocazione della nascita della teoria della probabilità non ha soluzione univoca.

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il problema di Monty Hill nel film 21 Elementare!! Statistiche, cambio di variabili. 1 Il coefficiente di correlazione tra Indicee Stipendio vale 0,94. E possibile asserire che

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ 1. Che cos è la probabilità? «La teoria delle probabilità non è altro che il tentativo del genere umano di comprendere l incertezza dell universo,

Dettagli

15. Antico gioco russo

15. Antico gioco russo 15. Antico gioco russo In un antico gioco russo, attraverso i risultati casuali ottenuti dall allacciamento di cordicelle, i giovani cercavano una previsione sul tipo di legame che si sarebbe instaurata

Dettagli

Marco Di Marzio. Primi elementi di inferenza statistica

Marco Di Marzio. Primi elementi di inferenza statistica Marco Di Marzio Primi elementi di inferenza statistica Ringraziamenti Un sentito ringraziamento a Fabiola Del Greco e Agnese Panzera per la preziosa collaborazione. Indice Probabilità. Esperimenti casuali...........................................2

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Elementi di statistica descrittiva I 31 Marzo 2009

Elementi di statistica descrittiva I 31 Marzo 2009 Il Concetti generali di Statistica) Corso Esperto in Logistica e Trasporti Elementi di Statistica applicata Elementi di statistica descrittiva I Marzo 009 Concetti Generali di Statistica F. Caliò franca.calio@polimi.it

Dettagli

GUIDA PER LA VALUTAZIONE E LA ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA NELLE MISURAZIONI

GUIDA PER LA VALUTAZIONE E LA ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA NELLE MISURAZIONI SISTEMA NAZIONALE PER L'ACCREDITAMENTO DI LABORATORI DT-000 GUIDA PER LA VALUTAZIONE E LA ESPRESSIONE DELL INCERTEZZA NELLE MISURAZIONI INDICE parte sezione pagina 1. INTRODUZIONE. FONDAMENTI.1. Misurando,

Dettagli

Capitolo 4 Probabilità

Capitolo 4 Probabilità Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 4 Probabilità Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.

Dettagli

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che: Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette

Dettagli

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott.

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Modello probabilistico di un esperimento aleatorio Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek 1 Un esperimento è il processo attraverso il quale un osservazione

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n

E naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile

Dettagli

Introduzione alla Simulazione Numerica

Introduzione alla Simulazione Numerica Introduzione alla Simulazione Numerica Daniele Vigo D.E.I.S. - Università di Bologna dvigo@deis.unibo.it rev. 1.0 - Novembre 2001 Simulazione numerica Tecnica che permette di eseguire esperimenti su un

Dettagli

Appunti di Probabilità

Appunti di Probabilità Appunti di Probabilità Bruno Betrò CNR-IMATI, Sezione di Milano bruno.betro@mi.imati.cnr.it www.mi.imati.cnr.it/ bruno Testi di riferimento: Dall Aglio G., Calcolo delle Probabilità, Zanichelli Scozzafava

Dettagli

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA IL CALCOLO DELLE PROBABILITA 0. Origini Il concetto di probabilità sembra che fosse del tutto ignoto agli antichi malgrado si sia voluto trovare qualche cenno di ragionamento in cui esso è implicitamente

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Introduzione Livelli di significatività Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale Verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale Verifica di ipotesi

Dettagli

Aspetti probabilistici del gioco d azzardo

Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Università degli Studi di Genova Scuola di Scienze Sociali Dipartimento di Economia Perché il banco vince sempre? Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Enrico di Bella (edibella@economia.unige.it)

Dettagli

Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛

Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛ Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori con determinate probabilità; Ad una variabile casuale è associata

Dettagli

PARTE PRIMA PROBABILITA

PARTE PRIMA PROBABILITA i PARTE PRIMA PROBABILITA CAPITOLO I - Gli assiomi della probabilità 1.1 Introduzione........................................................... pag. 1 1.2 Definizione assiomatica di probabilità.......................................

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( )

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( ) Perché il calcolo combinatorio Basato sulle idee primitive di distinzione e di classificazione, stabilisce in quanti modi diversi si possono combinare degli oggetti E molto utile nell enumerazione dei

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Statistica, CLEA p. 1/55 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità Luca Mari, versione 2.3.15 Contenuti La generazione combinatoria di campioni...1 L algebra dei campioni...4 Il calcolo delle frequenze relative dei campioni...5 Indipendenza

Dettagli

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità CAPITOLO 12 Calcolo delle Probabilità 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità Una storia d amore Luca abita a Lecco, Bianca a Brindisi. Lui è innamorato perso. Anche lei ama lui, ma, ultimamente,

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ

DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÀ Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2009-10 Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain 1 LE PRINCIPALI DISTRIBUZIONI

Dettagli

Il ruolo del caso nella nostra vita: ignorarlo o comprenderlo? La probabilità: capire la realtà e prendere decisioni migliori.

Il ruolo del caso nella nostra vita: ignorarlo o comprenderlo? La probabilità: capire la realtà e prendere decisioni migliori. ITCG "E. Fermi", Pontedera 2 dicembre 2014 La probabilità: capire la realtà e prendere decisioni migliori Leonardo Grilli grilli@disia.unifi.it local.disia.unifi.it/grilli Il ruolo del caso nella nostra

Dettagli

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni

Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni Fabio Spizzichino Associazione Civica XIX Libreria Passaparola, Roma Roma, 11 Aprile 2014 1 Ci sono tre tipi di bugie: le bugie normali,

Dettagli

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento

Dettagli

Laboratorio di dinamiche socio-economiche

Laboratorio di dinamiche socio-economiche Dipartimento di Matematica Università di Ferrara giacomo.albi@unife.it www.giacomoalbi.com 21 febbraio 2012 Seconda parte: Econofisica La probabilità e la statistica come strumento di analisi. Apparenti

Dettagli

Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti

Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti Problema (in piccoli gruppi di lavoro) Due giocatori di pari abilità disputano una serie di partite; vince il gioco chi, per primo, raggiunge

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4

OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4 OSSERVAZIONI TEORICHE Lezione n. 4 Finalità: Sistematizzare concetti e definizioni. Verificare l apprendimento. Metodo: Lettura delle OSSERVAZIONI e risoluzione della scheda di verifica delle conoscenze

Dettagli

Statistica descrittiva univariata

Statistica descrittiva univariata Statistica descrittiva univariata Elementi di statistica 2 1 Tavola di dati Una tavola (o tabella) di dati è l insieme dei caratteri osservati nel corso di un esperimento o di un rilievo. Solitamente si

Dettagli

Distribuzioni discrete

Distribuzioni discrete Distribuzioni discrete Esercitazione 4 novembre 003 Distribuzione binomiale Si fa un esperimento (o prova): può manifestarsi un certo evento A con probabilità p oppure no (con probabilità q = p). La distribuzione

Dettagli

8 Elementi di Statistica

8 Elementi di Statistica 8 Elementi di Statistica La conoscenza di alcuni elementi di statistica e di analisi degli errori è importante quando si vogliano realizzare delle osservazioni sperimentali significative, ed anche per

Dettagli

Pubblicato sul n 36 di Rassegna, periodico dell Istituto Pedagogico, agosto 2008

Pubblicato sul n 36 di Rassegna, periodico dell Istituto Pedagogico, agosto 2008 LA PROBABILITÀ Margherita D Onofrio Pubblicato sul n 36 di Rassegna, periodico dell Istituto Pedagogico, agosto 2008 Perché Le ragioni per introdurre la matematica dell incerto nella scuola di base possono

Dettagli

Conoscenza. Metodo scientifico

Conoscenza. Metodo scientifico Conoscenza La conoscenza è la consapevolezza e la comprensione di fatti, verità o informazioni ottenuti attraverso l'esperienza o l'apprendimento (a posteriori), ovvero tramite l'introspezione (a priori).

Dettagli

La probabilità: capire la realtà e prendere decisioni migliori

La probabilità: capire la realtà e prendere decisioni migliori Anno scolastico 2015/16 La probabilità: capire la realtà e prendere decisioni migliori Leonardo Grilli grilli@disia.unifi.it local.disia.unifi.it/grilli Il ruolo del caso nella nostra vita: ignorarlo o

Dettagli

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Esercizi su variabili aleatorie discrete Es.1 Da un urna con 10 pallina bianche e 15 palline nere, si eseguono estrazioni con reimbussolamento fino all estrazione

Dettagli

RISCHIO E CONTROLLO DI GESTIONE LA COSTRUZIONE DI UN BUDGET

RISCHIO E CONTROLLO DI GESTIONE LA COSTRUZIONE DI UN BUDGET LA COSTRUZIONE DI UN BUDGET Prof. Francesco Albergo Docente di PIANIFICAZIONE E CONTROLLO Corso di Laurea in Economia Aziendale Curriculum in Gestione Aziendale Organizzata UNIVERSITA degli Studi di Bari

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

CURRICOLO MATEMATICA

CURRICOLO MATEMATICA 1 CURRICOLO MATEMATICA Competenza 1 al termine della scuola dell Infanzia 2 NUMERI Raggruppare, ordinare, contare, misurare oggetti, grandezze ed eventi direttamente esperibili. Utilizzare calendari settimanali

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2014-2015 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli