Aritmetica CAPITOLO 1. Numeri e unitàdimisura. Esercizio 1.1. (a), (b), (c), (e), (f). Esercizio < 0.5 < ( 2) 4 < 3 5 < 2 < .

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1 CAPITOLO 1 Aritmetica Esercizio 1.1 (a), (b), (c), (e), (f). Numeri e unitàdimisura Esercizio < 0.5 < ( 2) 4 < 3 5 < 2 < Esercizio 1.3 (a) 63 libbre = 63/2.2 kg; (b) 2.5 kg = 5.5 libbre. Esercizio 1.4 (a) Kelvin=Celsius (b) Fahrenheit= 9/5 Celsius+32 (c) Celsius=Kelvin (d) Fahrenheit= 9/5 Kelvin (e) Kelvin= 5/9 Fahrenheit Esercizio 1.5 (a) Kelvin (b) 104 Fahrenheit (c) Celsius (d) Fahrenheit (e) Kelvin (f) -35 Celsius ( ) Esercizio 1.6 (a) 7 2 ; (b) 3 3/4 (c) 1; (d) 3 4 ; (e) 2 7/4 ; (f) 6 5/6 ; (g) 2 19/4. Esercizio 1.7 (a) b + a ab ; (b) ab a b 2 ; Operazioni 1

2 2 1. ARITMETICA 2a 4b (c) a 2 b 2 ; b +2a (d) ab(a + b). Esercizio 1.8 Applicando 2 volte la proprietà distributiva otteniamo (a 2 ab) (b 2 + ba). Applicando la proprietà commutativa della somma e quella del prodotto otteniamo poi (a 2 ab)+(ab b 2 ).Infine,applicandolaproprietàassociativaotteniamo(a 2 ab)+ (ab b 2 ). Esercizio 1.9 Per la proprietà commutativa del prodotto by b 3 = yb b 3 eperlaproprietà associativa del prodotto yb b 3 = yb 4. Consideriamo ora l espressione x(3 y) y(3 x). Perlaproprietàdistributivadelprodot- to rispetto alla somma diventa x3+x( y) y3+( y)( x). Perleproprietàassociativae commutativa del prodotto quest ultima diventa x3 xy y3+xy. Applicandolaproprietà commutativa della somma otteniamo poi x3 y3,infineperlaproprietàdistributivadella somma rispetto al prodotto concludiamo (x y)3. Esercizio 1.10 R 1 = RR 2 R 2 R. Esercizio 1.11 cono. Il secondocono haaltezza ugualea h/20,doveh è l altezza del primo Esercizio <c<10 2. Esercizio g. Esercizio Esercizio Esercizio Notazione scientifica e ordini di grandezza Esercizio Quindiinognigruppodiesseriumanicomprendentepiùdi3 milioni di persone ce ne devono essere almeno due con lo stesso numerodicapelli. Esercizio Esercizio m. Esercizio 1.20 La massa totale dell atmosfera è di kg, mentre quella dell ossigeno in essa è di kg. Esercizio anni. Esercizio l. Esercizio Esercizio 1.24 (a) falso; (b) vero; (c) vero; (d) vero. Approssimazioni

3 PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI 3 Esercizio 1.25 b =14. Esercizio 1.26 Prima classe: s [3, 3.2], 3 s 3.2, 3.1 ± 0.1. Seconda classe: s (3.2, 3.5], 3.2 <s 3.5, 3.35 ± Terza classe: s (3.5, 3.9], 3.5 <s 3.9, 3.7 ± 0.2. Esercizio , 0.12, , 11.46, , 12.67, , 0.12, , , Esercizio 1.28 Rispettivamente 10%, 11%, 12%, 67%. [Errata per la prima edizione: nel testo dell esercizio l ultima percentuale 56.6% va sostituita con 66.6%] Uguaglianze e disuguaglianze Esercizio 1.29 (a) (3a +5)2= 1 2 (a + a 40 2 ) = a = 21 ; (b) 2b+6 3 =2 ( b 2 + 3) b = b = ±1; (c) 4c 3 2 =2 ( ) c + c 3 = c = 9 4 ; (d) 4d+3 3 =3 ( ) d + d 2 = d = Esercizio 1.30 (a) x =0 x =4; (b) x =0 x = 5 x = 5; (c) x =0 x = c x = c. Esercizio <x<5. Esercizio 1.32 a =2. Esercizio <y x<2.1. Esercizio 1.34 x>4. Esercizio 1.35 (a) No. (b) Sì. Esercizio 1.36 Il ragionamento è corretto fino a quando si ottiene l uguaglianza a(b a) =(b + a)(b a), maaquestopuntononpossiamosemplificaredividendoamboi membri per b a,datocheb a =0per ipotesi. Propagazione degli errori x Esercizio 1.37 y = ± Esercizio ± 30. Esercizio 1.39 Il valore stimato è circa 0.1,mentrel erroreassolutoècirca Esercizio 1.40 Il valore stimato è 100,mentrel erroreassolutoè4. Esercizio 1.41 Il valore stimato è 10,mentrel erroreassolutoè0.2.

4 4 1. ARITMETICA Esercizio 1.42 Il valore stimato è 2000 m 2,mentrel erroreassolutoè120 m 2. Esercizio 1.43 (a) ± (b) π 4 ± π 4 Gli errori assoluti sono e π 4 icasil errorerelativoè2.8832/ per (a) e (b) rispettivamente, mentre in entrambi Esercizio 1.44 Il valore stimato è 5 h, mentre l errore assoluto è 0.75 h. Esercizio 1.45 Il valore stimato è ,mentrel erroreassolutoè Esercizio 1.46 Ècompresotra m 3 e m 3. Esercizio %. Esercizio %. Esercizio 1.49 Esercizio 1.50 Esercizio 1.51 Esercizio 1.52 Esercizio 1.53 Èindifferente. Èdiminuitodell 1%. In quello sotto casa. 0.3% %. Percentuali Esercizio 1.54 Nell esercizio 1.52 l abbassamento di popolazione è dell 1.8% rispetto alla popolazione iniziale, mentre nell esercizio 1.53 l abbassamento di popolazione è dell 1.8% rispetto alla popolazione iniziale aumentata dal 1.5%. Esercizio 1.55 Iprezzisonoaumentatidel21% rispetto al prezzo di prima di lunedì, edevonoessereabbassatidicircail0.17% sul loro valore di venerdìper tornare al valore originale. Esercizio 1.56 Esercizio 1.57 Nel secondo euro. Esercizio g. Esercizio 1.59 (a) 700 kg. (b) 25%. (c) Tra 190 kg e 210 kg. (d) 25.5%. Esercizio 1.60 (a) (b) Il 12.5% per la RR, il 62.5% per la VV. (c) 50%. (d) Èdiminuita. Esercizio 1.61 Rispettivamente 5 e 7.

5 TEORIA INTUITIVA DEGLI INSIEMI 5 Esercizio 1.62 (a) 37.5%. (b) Tra 76 m 2 e 84 m 2. (c) Di circa il 16.7%. (d) Il salotto diminuisce di circa il 44.3%,mentrelacameradalettodicircail66.7%. Esercizio 1.63 Nel 2009 sarà di 40.5 km 2.L algaimpiegheràcirca7anniacoprire tutta la superficie del lago. Esercizio 1.64 Dopo n giorni l intensità di radiazione sarà I 0 (1 0.05) n,epertanto si sarà dimezzata dopo log(0.5)/ log(0.95) 14 giorni. Esercizio 1.65 Circa il 10.2% hanno cancro alla prostata, il 6.1% hanno cancro al fegato ed il 83.7% non hanno malattie cancrogene. Esercizio %. Esercizio %. Esercizio 1.68 Può voler dire che il numero di diagnosi errate sia passato dal 60% al 40%. Oppure può voler dire che il numero di diagnosi errate sia passato dal 60% al 60 (1 0.2)% = 48%. Esercizio 1.69 Sta sbagliando: se il deficit resta costante ed il rapporto deficit/pil dimezza, allora il pil deve raddoppiare, ovvero deve aumentare del 100%. Teoria intuitiva degli insiemi Esercizio 1.70 Vero. Esercizio 1.71 C D. Esercizio 1.72 F E. Esercizio 1.73 A B = {1, 3, 5, 7, 9}; A \ B = {0, 2, 4, 6, 8}; N \ B = {2n n N}; N \ (A B) ={0, 2, 4, 6, 8} {n n N, n 10}. Esercizio 1.74 A B = {(1, 2), (5, 4), (6, 6), (7, 2), (1, 4), (5, 6), (6, 2), (7, 4), (1, 6), (5, 2), (6, 4), (7, 6)}. B A = {(2, 1), (4, 5), (6, 6), (2, 7), (4, 1), (6, 5), (2, 6), (4, 7), (6, 1), (2, 5), (4, 6), (6, 7)}. Esercizio Esercizio Esercizio 1.77 Se x A \ B, allorax A e x B c,quindix A B c.questo dimostra che A \ B A B c.ora,sey A B c,alloray A ma non si ha y B, quindi y A \ B. QuestodimostracheinoltreA B c A \ B,dunqueA B c = A \ B. Esercizio 1.78 Dapprima si verifica che A\(B C) A\B e A\(B C) A\C, da cui A \ (B C) (A \ B) (A \ C). Viceversa, se consideriamo un arbitrario a (A \ B) (A \ C),alloraaappartiene a A ma non a B né a C,dacuia A \ (B C), eperl arbitrarietàdia otteniamo (A \ B) (A \ C) A \ (B C). Analogamente, si verifica che A \ B A \ (B C) e A \ C A \ (B C), da cui (A \ B) (A \ C) A \ (B C). Viceversa, se consideriamo un arbitrario

6 6 1. ARITMETICA a A \ (B C), alloraa appartiene a A ma non contemporaneamente a B e C, ovvero a A \ B oppure a A \ C, dacuia (A \ B) (A \ C), eperl arbitrarietàdia otteniamo A \ (B C) (A \ B) (A \ C). Logica elementare Esercizio 1.79 L affermazione è vera. Esprime che ogni x A è un numero pari. Esercizio 1.80 L affermazione è vera. Esprime che ogni multiplo di 10 è multiplo di 5. Esercizio 1.81 Esiste un giovane che non ama le canzoni dei Beatles. Esercizio 1.82 Esiste un bambino alle scuole materne che non crede a Babbo Natale. Esercizio 1.83 Se domani piove non è detto che dorma fino a tardi. Equivalentemente: può essere che domani piova e io non dorma fino a tardi. Esercizio 1.84 Mostrargli un caso in cui qualche malato di cancro alla prostata mastica una foglia di ananas due volte al giorno ma non guarisce in unmesedalcancro. Esercizio 1.85 Controbatti osservando che l esempio di decine di persone guarite non costituisce una prova della sua affermazione. Chi ci dice chenonesistanoaltriesempi(che lui non conosce) di persone non guarite pur avendo masticato fogliedi ananas? Esercizio 1.86 Determinare un meccanismo biologico che spieghi l influenza delle foglie di betel sugli stimoli della fame. Esercizio 1.87 (c), (d). Esercizio 1.88 (a), (c). Esercizio 1.89 (a) falso (b) vero (c) {9} (d) N Esercizio 1.90 Esercizio 1.91 Esercizio 1.92 (b), (c). (a), (c). Sono vere (b), (c), (e) ed (f). La 1.è espressa dalla (b), e la 2. dalla (f).