Alessandro Zaccagnini. Parma, 11 maggio 2000

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1 PERCHÉ IL PROBLEMA DI GOLDBACH È DIFFICILE? Alessandro Zaccagnini Para, aggio 2 In uesta conferenza intendo spiegare perché la congettura di Goldbach è difficile, tanto da non essere stata ancora diostrata, nonostante la sua apparente seplicità. Nella ia precedente conferenza dal titolo Variazioni Goldbach: problei con nueri prii [9], ho cercato di spiegare perché uesta congettura è naturale ed interessante, utilizzando un argoentazione essenzialente eleentare che perette di dare una forulazione uantitativa alla congettura stessa, fornita dalla forula 6: ora ci occupiao degli aspetti piú tecnici della uestione e per uesto otivo abbandoniao l esposizione divulgativa per entrare nel dettaglio delle idee ateatiche.. Problei additivi: il etodo del cerchio Nel corso degli ultii secoli si sono presentati all attenzione dei ateatici olti problei di natura additiva, coe per esepio il problea di Waring vedi Hardy & Wright [], Capp. 2 2 per un introduzione, e Vaughan [5] per uno studio piú approfondito ed il problea di Goldbach. Posto in generale, il tipico problea additivo può essere visto cosí: sono dati s sottoinsiei di N, A,..., A s, non necessariaente distinti, dove s N è aleno 2. Il problea consiste nel deterinare il nuero di soluzioni dell euazione n = a + a a s. dove n N è dato, e a j A j per j =,..., s, o per lo eno, diostrare che per n sufficienteente grande uesta euazione ha aleno una soluzione. Nel problea di Waring si prendono tutti gli insiei A j uguali alle k-esie potenze e si cerca di deterinare il inio s per cui l euazione. ha soluzione per ogni n N, oppure il inio s per cui l euazione. ha soluzione per ogni n N sufficienteente grande. Nel problea binario di Goldbach si prendono A = A 2 = P, l insiee di tutti i nueri prii. Si osservi che in uesto caso ed in altri analoghi ci sono otivi aritetici che ipongono delle restrizioni agli n per cui ci si chiede se la. abbia una soluzione. Il etodo per affrontare i problei additivi che esporrò ui ha la sua origine in un articolo del 98 di Hardy & Raanujan [9] sulle partizioni, a dato il nuero di problei affrontati e risolti in uesto odo da Hardy & Littlewood negli anni 2 si vedano fra gli altri [7] e [8] orai ha preso il loro noe o uello di etodo del cerchio. L obiettivo di uesta conferenza è una descrizione delle idee di Hardy, Littlewood & Raanujan, con una certa dose di dettagli. Per seplicità, parlereo del caso in cui s = 2 ed A = A 2 = A. Si parte ponendo fz = f A z := { se n A, anz n, dove an = altrienti. n=

2 2 ALESSANDRO ZACCAGNINI Se A è infinito in caso contrario il problea non ha interesse allora f è una serie di potenze con raggio di convergenza uguale ad. Ci interessa il nuero delle rappresentazioni di n nella fora a + a 2 con a j A, j =, 2. Poniao uindi r 2 n := {a, a 2 A A : n = a + a 2 }, Per le note proprietà delle serie di potenze prodotto di Cauchy, per z < si ha f 2 z = cnz n dove cn = ahak n= h,k n h+k=n ed ahak se e solo se h, k A; dunue cn = r 2 n. Allo stesso odo si diostra che f s z = n= r snz n dove r s n := {a,..., a s A s : n = a + + a s }. Per il teorea di Cauchy, per ϱ < si ha uindi r 2 n = 2πi γϱ f 2 z dz,.2 zn+ dove γϱ è la circonferenza di centro l origine e raggio ϱ. Per certi insiei A è possibile deterinare uno sviluppo asintotico per f in un intorno delle singolarità presenti sulla circonferenza γ e uindi si può stiare l integrale nella.2 prendendo ϱ una funzione di n che ha liite. Per aggiori dettagli si veda Vaughan [5], Cap.. Possiao usare uesto etodo per risolvere un problea piuttosto seplice: dato k N, deterinare in uanti odi è possibile scrivere n N coe soa di esattaente k nueri naturali. In altre parole, vogliao deterinare r k n := {a,..., a k N k : n = a + + a k }. Naturalente è possibile diostrare direttaente che r k n = n+k k, a ui ci interessa il funzionaento del etodo del cerchio. Evidenteente si ha fz = n= zn = z. Quindi, per ϱ <, r k n = 2πi γϱ dz z k..3 zn+ Si osservi che la funzione integranda ha una sola singolarità sulla circonferenza γ, e di un tipo piuttosto seplice. In uesto caso particolare è possibile calcolare esattaente il valore dell integrale a destra nella.3: infatti, poiché ϱ < vale lo sviluppo z k = + k z + k z 2 + = 2 = k z. La serie a destra converge totalente in tutti i copatti contenuti in {z C: z < } e dunue possiao sostituire nella.3 e scabiare l integrale con la serie: r k n = 2πi = 2πi k z n dz γϱ { k 2πi se = n, altrienti, = = k = n, n

3 PERCHÉ IL PROBLEMA DI GOLDBACH È DIFFICILE? 3 e non è difficile vedere che n k n = n+k k. Si osservi infine che la funzione integranda è relativaente piccola su tutta la circonferenza γϱ a parte un piccolo arco vicino al punto z = ϱ, il uale dà il contributo principale all integrale nella.3. In generale non sarà possibile valutare direttaente ed esattaente l integrale, ed inoltre la funzione integranda avrà piú di una singolarità sulla circonferenza γ. Per esepio, se si vuole deterinare in uanti odi è possibile scrivere n N coe soa di esattaente k interi dispari la funzione f dell esepio di sopra deve essere sostituita da gz = = z2+ = z, che ha singolarità in z = ±. In uesti casi, coe vedreo, z2 si dovrà cercare uno sviluppo asintotico per la funzione integranda valido in prossiità di ciascuna singolarità. Questo procediento è stato utilizzato da Hardy & Littlewood negli anni 2 [7] e [8] per diostrare olti risultati relativi al problea di Waring e per portare il prio vero attacco al problea di Goldbach. Negli anni 3 Vinogradov introdusse alcune seplificazioni che rendono la sua versione del etodo del cerchio piú seplice da esporre. L idea di base di Hardy & Littlewood è uella di avere una funzione fissata, fz k nell esepio precedente, e prendere ϱ coe funzione di n che ha liite ; inoltre si devono cercare opportuni sviluppi asintotici nei pressi delle singolarità che la funzione integranda presenta sulla circonferenza γ. Vinogradov osserva che alla uantità r 2 n possono contribuire solo gli interi n: dunue si può introdurre la funzione f N z := N = z = zn+ z.4 l ultia uguaglianza è valida per z. Per n N, il Teorea di Cauchy dà r k n = fn k z dz..5 2πi zn+ In uesto caso non ci sono singolarità della funzione integranda si ricordi che f N è una soa finita, e uindi non ci sono problei di convergenza: per uesto otivo possiao fissare una volta per tutte la circonferenza su cui si integra. Poniao ex := e 2πix e facciao il cabiaento di variabile z = eα nella.5: r k n = γ f k N eα e nα dα..6 Questa è anche la forula che dà l n-sio coefficiente di Fourier della funzione fn k eα, per l ortogonalità della funzione esponenziale coplessa. Per futura coodità poniao T N α = T α := f N eα ; per la.4 si ha uindi N e N + α = e T α := eα = eα 2 Nα sinπn + α se α / Z; sinπα.7 = N + se α Z. Si veda la Figura 2 per il grafico di T 2 α. La proprietà che ci serve per concludere la nostra analisi eleentare riguarda la rapidità con cui la funzione T decade uando α si allontana dai valori interi: posto α la distanza di α dall intero piú vicino, dalla.7 si ricava facilente che T N α in N +, in N +, α.8 sinπα

4 4 ALESSANDRO ZACCAGNINI poiché T è periodica di periodo ed inoltre α sinπα per α, 2]. Usando uesta disuguaglianza, non è difficile vedere che se δ = δn non è troppo piccolo, l intervallo [δ, δ] non dà un contributo apprezzabile all integrale nella.6: infatti, se δ N e k 2 abbiao δ δ δ TN k αe nα dα TN k dα α dα α k 2 k δ k.9 δ δ e uesto è o N k non appena δ = on. In altre parole, è sufficiente che δ sia appena piú grande di N affinché il contributo dell intervallo [δ, δ] all integrale nella.6 sia piú piccolo del terine principale che, ricordiao, è dell ordine di N k k!. In altre parole ancora, il terine principale è concentrato attorno ad α =. Può essere interessante notare che, aleno nel caso k = 2, è possibile spingere la nostra analisi ancora piú avanti: prendendo n = N e δ = on, per le.6 ed.9 si ha r 2 N = sin πn + α sinπα 2 δ dα = 2 δ 2 sin πn + α dα + on,. sinπα perché la funzione integranda è periodica di periodo se ne veda la definizione. Suddividiao l intervallo [, δ] negli intervalli I h := [δ h, δ h+ ], per h =,..., dove abbiao posto δ h := h N+. Stiando l integrale su I h con l area del triangolo inscritto nel grafico si trova che uest ultio vale approssiativaente 4N 2 πh 2 uando h è dispari. Facendo la soa su tutti i valori aissibili di h si trova, coerenteente con uanto già sappiao, che l integrale a destra nella. vale N + on. 2. Il problea di Goldbach Dopo uesta lunga introduzione volta alla spiegazione del eccaniso del etodo del cerchio in un caso relativaente seplice, siao pronti ad affrontare il ben piú coplicato problea di Goldbach. Da ui in poi, le variabili p, p, p 2,..., indicano sepre nueri prii. Ci interessa il nuero di rappresentazioni di n coe soa di due prii r 2 n := {p, p 2 P P : n = p + p 2 }, dove p e p 2 non sono necessariaente distinti, a consideriao distinte le rappresentazioni p +p 2 e p 2 +p se p p 2. Per il oento non facciao l ipotesi che n sia pari. Prendiao un intero grande N e poniao V α = V N α := p N epα. Per l ortogonalità della funzione esponenziale coplessa, per n N si ha V α 2 e nα dα = p N p 2 N e p + p 2 nα dα = r 2 n. 2. Di nuovo, uesta è la forula che dà l n-sio coefficiente di Fourier della funzione V α 2 cfr.6, e perette di trasforare il problea di Goldbach in un problea che può essere affrontato con le tecniche dell analisi reale e coplessa.

5 PERCHÉ IL PROBLEMA DI GOLDBACH È DIFFICILE? 5 Suddividiao l intervallo unitario [, ] o il cerchio unitario che si ottiene ediante l applicazione x e 2πix in sotto-intervalli centrati approssiativaente sui nueri razionali con denoinatore Q, dove Q = QN è un paraetro. Questa suddivisione si chiaa dissezione di Farey di ordine Q vedi Hardy & Wright [] Cap. 3. Gli intervalli corrispondenti ai nueri razionali con denoinatore P dove P = P N è un altro paraetro, che di solito viene scelto in odo tale che P Q valga circa N si chiaano archi principali e gli altri archi secondari a in italiano non è infreuente la dizione ipropria di archi aggiori e inori. Hardy & Littlewood osservarono che la funzione V N ha uno sviluppo asintotico su ciascuno degli archi principali che corrisponde ad un picco della funzione vicino ai punti razionali con denoinatore piccolo vedi Figura. Sfruttando il contributo di uesti picchi, e trascurando i terini d errore, Hardy & Littlewood ritrovarono le forule che nella ia conferenza precedente [9] hanno il nuero 6, 8 e ed anche l ultia forula nella Coda. Per otivi tecnici che saranno piú chiari in seguito, invece di studiare la funzione r 2 n consideriao piuttosto la versione pesata R 2 n := p +p 2 =n log p log p 2. In altre parole, invece di contare ogni rappresentazione di n coe p + p 2 con peso, la facciao pesare log p log p 2. Naturalente r 2 n è positiva se e solo se R 2 n lo è, e uindi se l obiettivo è sepliceente uello di diostrare la congettura di Goldbach nella sua fora originaria, possiao tranuillaente forularla ediante R 2 n. Con notazione orai tradizionale scriviao log p epα e θn;, a := log p. Sα = S N α := p N p N p a od Ricordiao ora il Teorea dei Nueri Prii nelle progressioni aritetiche: uniforeente per log N A, dove A > è una costante arbitraria a fissata, si ha θn;, a = N ϕ +E N;, a dove E N;, a = O A N exp{ CA log N} 2.2 purché a, = vedi Davenport [2] Cap. 22, dove ϕ è la funzione di Eulero, che conta il nuero degli interi h nell intervallo [, ] tali che h, = e CA è una costante positiva che dipende solo da A. In analogia con la 2., per n N si ha R 2 n = Sα 2 e nα dα. 2.3 Coe operazione preliinare, calcoliao i valori di S, S 2, S 3, S 4 vedi Figura. Tenendo presente il fatto che e 2 =, e 3 + e 2 3 =, e 4 + e 3 4 = e che per la 2.2 si ha θn;, a ϕ N, abbiao S = θn;, N; S 2 = θn;, + 2 log 2 N; S 3 = e 3 θn; 3, + e 2 3 θn; 3, 2 + log 3 2 N;

6 6 ALESSANDRO ZACCAGNINI Figura. Il grafico della funzione S 2 α nel uale si notano olto bene i picchi in prossiità dei valori razionali di α =, 2, 3, 2 3, 6, 5 6, entre in α = 4, 3 non c è picco poiché µ4 =. 4 S 4 = e 4 θn; 4, + e 3 4 θn; 4, 3 + log 2 ; Piú in generale, ora calcoliao S su un razionale a, uando a ed a, = : S a = = h= p N p h od e h a h= log p e p a = e h a θn;, h = h= h= p N p h od log p e h a θn;, h + Olog log N, 2.4 dove significa che alla soa abbiao aggiunto la condizione suppleentare h, =. Per il Teorea 272 di [] e per la 2.4 abbiao dunue S a = N ϕ h= = µ ϕ N + e h a h= + h= e h a E N;, h + Olog log N e h a E N;, h + Olog log N, 2.5 dove µ è la funzione di Möbius vedi [] 6.3: ui è sufficiente ricordare che µ = se è divisibile per il uadrato di ualche nuero prio, entre µ = k se è prodotto di k nueri prii distinti. È uesto il senso preciso in cui si deve intendere l afferazione precedente che Sα è grande uando α è un nuero razionale: si noti che la grandezza di S a decresce essenzialente coe. Poiché S è una funzione continua, ci si aspetta che S sia grande in un intorno di a, e cerchereo di sfruttare uesto fatto per trovare una forula approssiata per R 2 n. Per coinciare, estendiao l influenza del picco vicino ad a per uanto ci è possibile: lo struento piú seplice da usare a uesto proposito è la forula di soazione parziale vedi Hardy & Wright [], 22.5, Teorea 42, oppure Vaughan [5], Lea 2.6, o anche

7 PERCHÉ IL PROBLEMA DI GOLDBACH È DIFFICILE? 7 [8], A.. Si tratta di una forula siile a uella di integrazione per parti. È essenziale sottolineare il fatto che il nuero e la larghezza degli archi principali dipendono in odo cruciale dalla possibilità di ottenere una buona stia per il terine d errore che copare nel passaggio da S a ad Sα, dove α appartiene all arco che contiene a : si può diostrare che uesto errore è dell ordine di + N α a E N;, a Vaughan [5], Lea 3.. Poniao α := a + η. Ci si può dunue aspettare che per η piccolo si abbia S a + η = µ ϕ N eη + E 2 N;, a, η = µ ϕ T η + E 2N;, a, η 2.6 dove, per la forula di soazione parziale, per la 2.2 e per la 2.5, si ha E 2 N;, a, η = O A + N η N exp{ CA log N}. Queste forule ostrano piuttosto chiaraente che non possiao prendere i nostri archi principali troppo nuerosi o troppo api oppure troppo grande se vogliao ancora avere un terine d errore sufficienteente piccolo. Indichiao con M, a := a ξ, a, a + ξ, a l arco di Farey relativo al nuero razionale a osservando che si prendono ξ, a e ξ, a dell ordine di Q, e scriviao M := P a= M, a e := [ξ,, + ξ, ] \ M, dove di nuovo indica che abbiao aggiunto la condizione suppleentare a, =. M è dunue l insiee degli archi principali, ed il suo copleentare è l insiee degli archi secondari. Abbiao traslato l intervallo di integrazione da [, ] a [ ξ,, + ξ, ] per evitare di avere due sei-archi in ed in, a uesto è legittio perché tutte le funzioni di cui ci stiao occupando hanno periodo. Per n N dalla 2.3 abbiao R 2 n = = P Sα 2 e nα dα = a= ξ,a ξ,a = R M n + R n, S M a + η + 2 e Sα 2 e nα dα n a + η dη + Sα 2 e nα dα diciao. D ora in avanti scrivereo per indicare un uguaglianza asintotica attesa a non ancora diostrata. Se per il oento trascuriao il contributo degli archi secondari R n e tutti i terini d errore trovati fin ui, per la 2.6 abbiao R M n P = P a= µ 2 ϕ 2 ξ,a ξ,a a= µ 2 ϕ 2 T η2 e n a + η dη e ξ,a n a T η 2 e nη dη. 2.7 ξ,a

8 8 ALESSANDRO ZACCAGNINI Se estendiao l integrale a tutto l intervallo [, ] troviao T η 2 e nη dη = + 2 =n Dunue, si può pensare che R 2 n sia ben approssiato da R M n n P µ 2 ϕ 2 a= = n n. 2.8 e n a. 2.9 La soa interna si chiaa soa di Raanujan ed è possibile calcolarne il valore in terini delle funzioni µ e ϕ vedi [], 6.6, Teorea 272; nella 2.5 abbiao usato la stessa forula nel caso n = e uindi la 2.9 diventa R M n n P µ 2 ϕ 2 µ, n ϕ ϕ,n = n P µ 2 ϕ µ ϕ,n,n Ora estendiao la soa a tutti gli interi coettendo un errore stiabile in odo preciso: osserviao che l addendo della soa è una funzione oltiplicativa di vedi [8], Cap. 2, e uindi per il Teorea 285 di [] abbiao R 2 n n P µ 2 ϕ µ ϕ,n f n p := µp2 ϕp,n n µ 2 ϕ dove il prodotto è esteso a tutti i nueri prii ed µ p ϕ p,n p p,n µ ϕ,n,n = n p se p n, p = p 2 se p n.. + fn p 2. Coinciao subito con l osservare che se n è dispari il fattore + f n 2 vale, e uindi, correttaente, la nostra forula 2. predice che non ci dobbiao aspettare rappresentazioni di n coe soa di due nueri prii. In effetti, se n è dispari allora R 2 n = se n 2 non è prio, ed R 2 n = 2 logn 2 se n 2 è prio: il risultato della forula 2. deve essere inteso nel senso che R 2 n ha ordine di grandezza piú piccolo di n, e uesto è certaente vero. Viceversa, se n è pari possiao trasforare la 2. con ualche calcolo: R 2 n n p n = 2n p n p>2 + p p n p p 2 p pp 2 p 2 p>2 p 2 = C n p p 2, p n p>2 dove C è la costante dei prii geelli vedi [9], Coda. Questa è dunue la forula asintotica per R 2 n data dall euristica basata sul Teorea dei Nueri Prii nelle progressioni aritetiche. È piú grande della forula originale per r 2n vedi 6 in [9] di un fattore log n 2 a causa dei pesi log p log p 2 che abbiao dato alle rappresentazioni. Nel prossio paragrafo indichereo breveente uali dei punti lasciati in sospeso ui sopra rappresentano davvero un problea.

9 2. PERCHÉ IL PROBLEMA DI GOLDBACH È DIFFICILE? Figura 2. Il grafico della funzione T 2 α nel uale si nota olto bene che uesta funzione ha un grosso picco in prossiità dei valori interi di α, ed è altrienti olto piccola. 3. Dove sono le difficoltà? Per brevità parlereo soltanto delle due piú iportanti uestioni che riangono da risolvere. Infatti, l approssiazione che facciao nel passare dalla 2.7 alla 2.8 può essere giustificata ricordando che per la.8 si ha T α in N +, α : la Figura 2 ostra che T α decade olto rapidaente allontanandosi dai valori interi di α. L errore coesso nella 2. può essere esso in una fora uantitativa sfruttando il fatto che la serie è assolutaente convergente e che la funzione f n è oltiplicativa. Rivolgiao dunue la nostra attenzione all approssiazione di θn;, a ed al contributo degli archi secondari. L approssiazione di θ. L approssiazione di θ fornita dal Teorea dei Nueri Prii nelle progressioni aritetiche 2.2 è piuttosto debole per due otivi: coe abbiao già osservato, uesta è valida in un intervallo di valori di ristretto e siao uindi costretti a prendere il paraetro P che serve per distinguere gli archi principali da uelli secondari piuttosto piccolo coe funzione di N. In secondo luogo la aggiorazione oggi nota per l errore è troppo grande: coe osservato nella Coda della conferenza [9], si congettura che uesto errore sia in realtà olto piú N piccolo. È noto vedi Davenport [2], Capp che la differenza θn;, a ϕ dipende N ϱ ϕϱ essenzialente da una soa infinita i cui addendi sono del tipo, dove ϱ indica il generico zero coplesso di certe funzioni dette funzioni L di Dirichlet. Nel caso piú seplice, uando = a =, c è una sola funzione di uesto tipo, detta funzione zeta di Rieann: si può diostrare vedi Davenport [2], del Cap. 7 che per T N si ha N ϱ N θn;, = N ϱ + O T log N2 + N log N 3. ϱ C t. c. ζϱ= ϱ=β+iγ γ T dove ϱ = β + iγ è il generico zero della funzione zeta di Rieann con β,. Non esiste una forula analoga a uesta ed altrettanto seplice valida per πn, ed è per

10 ALESSANDRO ZACCAGNINI uesto che si preferisce forulare il problea di Goldbach in terini di R 2 n piuttosto che r 2 n. Questa forula ostra che al posto della funzione T η definita dalla.7, conviene prendere coe approssiazione di S a + η la funzione Kη := n N γ T n ϱ enη 3.2 dove il coefficiente di enη nella 3.2 è la derivata rispetto ad N dei prii due terini nella 3., calcolata in n poiché se f è regolare fn ft dt. L approssiazione di S cosí ottenuta è valida solo vicino a, a introducendo le funzioni L di Dirichlet si possono trovare approssiazioni siili, valide su ciascun arco principale. È anche noto che il caso ottiale per la distribuzione dei nueri prii è uello in cui tutte le parti reali β di tutti gli zeri ϱ = β + iγ della funzione ζ con γ sono uguali ad 2 Congettura di Rieann: se cosí è, allora si hanno le buone approssiazioni euivalenti θn;, = N + O N /2 log N 2 N e πn = 2 dt log t + O N /2 log N. 3.3 Analogaente, se si riuscisse a diostrare che tutti gli zeri di tutte le funzioni L di Dirichlet hanno parte reale uguale ad 2 Congettura di Rieann Generalizzata, per x si avrebbe anche la stia Davenport [2], Cap. 2 θn;, a = N ϕ + O N /2 log N Si osservi che le stie 3.3 e 3.4 sono ottiali, e cioè l esponente di N nel terine d errore non può essere ulteriorente abbassato. Questo significa che, anche se si riuscisse a diostrarle e non c è alcun otivo di credere che una tale diostrazione sia iinente, neppure in uesto caso si riuscirebbe a diostrare la congettura di Goldbach. Al oento attuale, la situazione nel caso generale > è piú coplicata di uella nel caso = : infatti non è ancora possibile escludere che ualcuna delle funzioni L di Dirichlet abbia uno zero reale β,, con β olto prossio ad, e uesto è essenzialente il otivo per cui siao costretti ad iporre una severa liitazione per coe detto a proposito della forula 2.2. L eventuale contributo di uesto zero sarebbe ± N β, e cioè olto N ϕ ϕβ prossio al terine principale, cosí da vanificare la possibilità di avere un errore sufficienteente piccolo nella forula asintotica per θn;, a per uesto particolare valore di, e di conseguenza per R 2 n. Il contributo degli archi secondari. Il problea principale presentato dagli archi secondari è costituito dal fatto che non si riesce a dare una buona stia individuale del loro contributo: in altre parole, vedreo fra un istante che è relativaente seplice diostrare che in edia su tutti gli interi n [, N] gli archi secondari non danno un grande contributo ad R 2 n, a non è possibile trovare una aggiorazione altrettanto buona per ogni singolo valore di n. Per la forula che dà il coefficiente di Fourier n-sio, la disuguaglianza di Bessel ed il Teorea dei Nueri Prii 2.2 nel caso =, si ha n N Sα 2 e nα dα 2 Sα 4 dα sup Sα 2 Sα 2 dα α

11 PERCHÉ IL PROBLEMA DI GOLDBACH È DIFFICILE? = O N log N sup Sα. 2 α Dalla 2.5 possiao aspettarci e uesto può essere diostrato rigorosaente in una fora piú debole a sufficiente ai nostri scopi: vedi Davenport [2], Cap. 25 che l estreo superiore ui sopra valga essenzialente N 2 P 2 dato che se α allora è vicino ad un razionale con denoinatore > P. In effetti si riesce a diostrare che Sα 2 e nα dα 2 = O N 3 log N 4 P n N R n 2 = n N e uesto dice che, per la aggioranza degli interi n [, N] si ha R n = O NP /3, che ha ordine di grandezza inore del contributo degli archi principali dato dalla Varianti: il Teorea dei tre prii ed i Prii geelli Il etodo di Hardy & Littlewood è estreaente flessibile e si può applicare ad una grande uantità di problei diversi. Per esepio, con notazione analoga a uella di sopra abbiao R 3 n := p +p 2 +p 3 =n log p log p 2 log p 3 = Sα 3 e nα dα se n N. Un argoentazione siile a uella ui sopra ostra che R 3 n può essere bene approssiata dal solo contributo degli archi principali e uesto dà la relazione 8 della [9] oltiplicata per log n 3, sepre a causa della presenza dei pesi nella soa che definisce R 3 n. Il fatto di avere 3 addendi invece di 2 fa utare copletaente la natura del problea: ci liitiao ad osservare che in uesto caso è piuttosto seplice trovare una buona aggiorazione individuale per il contributo degli archi secondari, cioè per ogni n N. Infatti abbiao essenzialente vedi Davenport [2], Cap. 26 Sα 3 e nα dα sup α Sα Sα 2 dα = O N 2 log N 4 P /2. Deshouillers, Effinger, te Riele & D. Zinoviev [3] hanno diostrato che se è vera la Congettura di Rieann Generalizzata allora tutti gli interi dispari n 7 si possono scrivere coe soa di tre nueri prii. Una seplice osservazione ostra anche coe il problea dei prii geelli sia naturalente legato al problea di Goldbach: in analogia con la notazione di [9] poniao θ N n := p 2 N p 2 p =n log p log p 2 = Sα 2 e nα dα, coe si vede con un breve calcolo. Questo ostra che i due problei sono strettaente legati e della stessa difficoltà. 5. Riferienti Bibliografici Il riferiento classico per il etodo del cerchio è la onografia di Vaughan [5]. Si vedano anche Hardy [6], Cap. 8 in particolare i e Jaes [], 5. La genesi dell idea di

12 2 ALESSANDRO ZACCAGNINI studiare il coportaento della funzione generatrice in prossiità di diverse singolarità è esposta olto chiaraente in Hardy & Raanujan [9] in particolare i.2.5 ed in Hardy [6], Cap. 8 in particolare i Per il problea ternario di Goldbach si veda il 3. di Vaughan [5]. Nel 3.2 si diostra che, detto Ex := {2n x: r 2 2n = }, per ogni A > si ha Ex = O A xlog x A. Montgoery & Vaughan [3] hanno diostrato il risultato piú forte che esiste δ > tale che Ex = O x δ, calcolando con precisione il contributo del possibile zero reale β di cui si parla sopra. Un applicazione del etodo del cerchio a diversi problei legati alla congettura di Goldbach si può trovare in Languasco [2], entre in [6 7] sono trattati problei additivi isti ed in [7] si può trovare anche una breve introduzione al etodo del cerchio siile alla presente. Nelle dispense [8] si può trovare un introduzione ad alcuni dei problei citati in uesta conferenza. Un altra argoentazione euristica per il nuero dei prii geelli si trova in Hardy & Wright [], Le congetture di cui si parla in uesta conferenza e nella [9] sono inuadrate nel contesto generale della congettura di Schinzel & Sierpiński nell introduzione di Halbersta & Richert [5]; si vedano le Note relative per la versione uantitativa di Batean & Horn vedi [9], Coda per il caso delle costellazioni di prii. Una aggiorazione per r 2 n del giusto ordine di grandezza è contenuta nel Teorea 3. di Halbersta & Richert [5]. La diostrazione copleta del Teorea dei tre prii di Vinogradov si trova nel Cap. 26 di Davenport [2]. Per altre strategie per la diostrazione della congettura di Goldbach si veda anche Ribenboi [4], 4.VI, e per ulteriori riferienti Guy [4], C.. Chen ha diostrato che ogni nuero pari sufficienteente grande può essere scritto coe soa di un prio e di un intero che ha al assio 2 fattori prii Halbersta & Richert [5], Cap.. Una diostrazione relativaente seplice di uesto fatto a con 4 al posto di 2 si trova nel 9 di Bobieri []. [] E. Bobieri, Le Grand Crible dans la Théorie Analytiue des Nobres, Astérisue n. 8, Societé Mathéatiue de France, Paris, 974. [2] H. Davenport, Multiplicative Nuber Theory, 2 a ed., Springer, Berlin, 98. [3] J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. te Riele & D. Zinoviev, A coplete Vinogradov 3-pries theore under the Rieann Hypothesis, Electr. Res. Announceents Aer. Math. Soc , [4] R. K. Guy, Unsolved Probles in Nuber Theory, 2 a ed., Springer, Berlino, 994. [5] H. Halbersta & H.-E. Richert, Sieve Methods, Acadeic Press, London, 974. [6] G. H. Hardy, Raanujan. Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work, 3 a ed., Chelsea, New York, 999. [7] G. H. Hardy & J. E. Littlewood, Soe probles of Partitio Nueroru ; III: On the expression of a nuber as a su of pries, Acta Math , 7. [8], Soe probles of Partitio Nueroru ; V. A further contribution to the study of Goldbach s proble, Proc. London Math. Soc , [9] G. H. Hardy & S. Raanujan, Asyptotic forulae in cobinatory analysis, Proc. London Math. Soc , 75 5, = S. Raanujan, Collected papers, edited by G. H. Hardy, P. V. Seshu Aiyar & B. M. Wilson, 3 a ed., AMS Chelsea, 999; n. 36, [] G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Nubers, 5 a ed., Oxford U. P., 979. [] R. D. Jaes, Recent progress in the Goldbach proble, Bull. Aer. Math. Soc , [2] A. Languasco, Soe results on Goldbach s proble, Rend. Se. Mat. Univ. Pol. Torino , [3] H. L. Montgoery & R. C. Vaughan, On the exceptional set in Goldbach s proble, Acta Arith , [4] P. Ribenboi, The New Book of Prie Nuber Records, Springer, Berlino, 996. [5] R. C. Vaughan, The Hardy Littlewood Method, 2 a ed., Cabridge U. P., Cabridge, 997. [6] A. Zaccagnini, Soe di prii e k-esie potenze, Tesi di dottorato, 994. [7], Additive probles with prie nubers, Rend. Se. Mat. Univ. Pol. Torino , [8], Metodi eleentari in teoria analitica dei nueri, Dispense del corso di Teoria dei Nueri, A. A , Università di Para.

13 PERCHÉ IL PROBLEMA DI GOLDBACH È DIFFICILE? 3 [9], Variazioni Goldbach: problei con nueri prii, L Educazione Mateatica, Anno XXI, Serie VI, 2 2, N. B.: I testi [8] e [9] sono disponibili su rete rispettivaente agli indirizzi zaccagni/psfiles/dispensetdn.ps zaccagni/psfiles/goldbach I.ps Dipartiento di Mateatica, Università di Para, via Massio d Azeglio 85/A, 43, Para E-ail address: zaccagnini@prat.ath.unipr.it URL: zaccagni/hoe.htl